Bianca Salomão Contardo Silvino Pereira

Estudo do Reforço Externo à Força Cortante em Vigas de Concreto Armado Utilizando Compósitos de Fibras de

Carbono

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Estruturas.

Orientadores: Marta de Souza Lima Velasco Ricardo Amorim Einsfeld

Rio de Janeiro

Fevereiro de 2005.

Bianca Salomão Contardo Silvino Pereira

Estudo do Reforço Externo à Força Cortante em Vigas de Concreto Armado Utilizando Compósitos de Fibras de Carbono

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Profa. Marta de Souza Lima Velasco Presidente / Orientador

Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

Prof. Ricardo Amorim Einsfeld Co-orientador

IPRJ/UERJ

Prof. Cláudia Ribeiro Eboli UFRJ

Prof. Emil de Souza Sánchez Filho UFJF

Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Prof. José Eugênio Leal

Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 25 de fevereiro de 2005.

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.

Bianca Salomão Contardo Silvino Pereira Graduou-se em Engenharia Civil na PUC-RIO (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro) em 2002. Na PUC-Rio, desenvolveu projetos de Iniciação Científica na área de estruturas.

Ficha Catalográfica

Pereira, Bianca Salomão Contardo Silvino Estudo do reforço externo à força cortante em vigas

de concreto armado utilizando compósitos de fibras de carbono / Bianca Salomão Contardo Silvino Pereira ; orientadores: Marta de Souza Lima Velasco, Ricardo Amorim Einsfeld. – Rio de Janeiro : PUC-Rio, Departa- mento de Engenharia Civil, 2005.

v. 154f.:il; 29,7cm Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.

Inclui referências bibliográficas 1. Engenharia civil – Teses. 2. Concreto armado. 3.

Fibras de carbono. 4. Reforço estrutural. I. Velasco, Marta de Souza Lima. II. Einsfeld, Ricardo Amorim. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil . IV. Título.

CDD: 624

Agradecimentos

Primeiramente a Deus, pelo dom da vida, por iluminar e guiar todas as etapas de

minha vida e pela graça de realizar este trabalho.

À minha orientadora professora Marta de Souza Lima Velasco, pelos seus

ensinamentos, disponibilidade, amizade e incentivo.

Ao meu co-orientador professor Ricardo Amorim Einsfeld, pela ajuda e estímulo.

Aos professores que contribuíram para a minha formação e decisão profissional,

em especial ao professor Raul Rosas e Silva.

Ao meu noivo César, pelo amor, paciência e incentivo constante.

Aos meus pais, por tanto carinho, dedicação e confiança, que sempre recebi e

tanto contribuíram para a minha formação.

Aos meus irmãos, pela amizade e grande amor que nos faz tão próximos.

Aos meus amigos, pelo companheirismo. Especialmente à Marcela Tôrno de

Azevedo Lopes pela disponibilidade e colaboração no desenvolvimento deste

trabalho.

À CAPES e à FAPERJ, pelo suporte financeiro.

Resumo

Pereira, Bianca Salomão Contardo Silvino; Velasco, Marta de Souza Lima; Einsfeld, Ricardo Amorim. Estudo do Reforço Externo à Força Cortante em Vigas de Concreto Armado Utilizando Compósitos de Fibras de Carbono. Rio de Janeiro, 2005. 154p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

A crescente demanda por reforços em estruturas de concreto motivou a

elaboração deste trabalho. Este estudo consiste na comparação entre modelos para

o cálculo da parcela da força cortante resistida pelo reforço externo e na

implementação computacional de um procedimento numérico para o

dimensionamento da área de reforço à força cortante utilizando a NBR 6118, o

modelo da treliça generalizada e a teoria do campo de compressão. Os objetivos

deste estudo são: fornecer um melhor conhecimento dos materiais utilizados,

promover um melhor entendimento dos parâmetros atuantes na interação do

concreto com os materiais compósitos e sistematizar o dimensionamento para

obtenção da área necessária de reforço com compósitos de fibras de carbono. A

análise dos modelos de cálculo da resistência à força cortante e do

dimensionamento da área de reforço foi feita através da comparação dos

resultados teóricos com resultados experimentais encontrados na literatura. O

modelo para o cálculo da parcela da força cortante resistida pelo reforço externo

publicado por Chen e Teng em 2003 foi utilizado na implementação

computacional por ser o modelo que apresentou melhor desempenho na

comparação. As comparações entre os resultados teóricos do dimensionamento e

os resultados experimentais da literatura indicaram a necessidade de se avançar

nos estudos para a elaboração de um modelo apropriado para o dimensionamento

da área de reforço à força cortante com compósito de fibras de carbono.

Palavras-chave

Concreto armado; fibras de carbono; reforço estrutural.

Abstract

Pereira, Bianca Salomão Contardo Silvino; Velasco, Marta de Souza Lima; Einsfeld, Ricardo Amorim (Advisors). A Study of External Shear Strengthening of Reinforced Concrete Beams Using Carbon Fiber Composites. Rio de Janeiro, 2005. 154p. MSc. Dissertation - Civil Engineering Department, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

The increasing demand for reinforcement of concrete structures using

carbon fiber composites was the main motivation of this work. This study consists

of the comparison of different models that compute the contribution of the

external reinforcement to the shear capacity of the beams, and of the

implementation of a numerical procedure for the shear design of strengthened

beams using the Brazilian code NBR 6118, the generalized truss model and the

compression field theory. The objectives of this study are to supply a better

knowledge of the materials used in the strengthening, to promote a better

understanding of the parameters that act in the interaction between the concrete

and the composite, and to systematize the design in order to obtain the carbon

fiber composite cross-section area necessary for the reinforcement. The analysis

of the shear reinforcement design models for determining the cross-section area of

the carbon fiber composite was developed comparing the analytical results with

the experimental results found in literature. The Chen and Teng model, published

in 2003, for computing the contribution of the external reinforcement to the shear

capacity of the beams, was used in the computational implementation due to the

fact that it presented the best performance. Comparing the analytical results

obtained by the theoretical model with the experimental results found in literature,

the investigations showed the necessity of further studies regarding the

implementation of a more appropriate model for the design of the shear

reinforcement, and for a more precise computation of the cross-section area of the

carbon fiber composite reinforcement.

Keywords

Reinforced concrete; structural strengthening; carbon fiber composites.

Sumário

1 Introdução 23

1.1 Considerações Gerais 23

1.2 Objetivos 23

1.3 Organização do Trabalho 24

2 Revisão bibliográfica 26

2.1. Introdução 26

2.2. Compósitos com Fibras de Carbono 26

2.2.1. Características 26

2.2.2. Utilização de Compósitos na Engenharia Estrutural 30

2.3. Resistência ao Esforço Cortante em Vigas de Concreto Armado 45

2.3.1. Introdução 45

2.3.2. Treliça Generalizada 47

2.3.3. Teoria do Campo de Compressão 49

2.3.4. NBR 6118/2003 55

2.4. Reforço ao Esforço Cortante com Compósito de Fibra de

Carbono 58

2.4.1. Considerações Gerais 58

2.4.2. Modelos de Cálculo da Parcela da Força Cortante Resistida

pelo Reforço Externo em Vigas de Concreto 63

2.4.2.1. Modelo de Chen e Teng (2003 a, b) 64

2.4.2.2. Modelo de Triantafillou e Antonopoulos (2000) 72

2.4.2.3. Modelo de Khalifa et al. (1998) 76

2.4.2.4. Modelo de Khalifa e Nanni (2000) 80

2.4.2.5. ACI Committee 440 (2001) 82

2.4.2.6. fib Bulletin 14 (2001) 85

2.4.2.7. ISIS-M05-00 (2001) 86

2.4.3. Estudos Experimentais Sobre Vigas com Reforço Externo de

CFRP 88

2.4.3.1. Khalifa e Nanni (2002) 89

2.4.3.2. Khalifa e Nanni (2000) 90

2.4.3.3. Täljsten (2003) 92

2.4.3.4. Beber (2003) 93

2.4.3.5. Diagana et al. (2003) 97

2.4.3.6. Chaallal et al. (1998) 99

3 Apresentação e Análise dos Modelos de Dimensionamento à

Força Cortante 101

3.1. Considerações Iniciais 101

3.2. Modelo para o Cálculo da Inclinação da Biela de Compressão

em Viga com Reforço Externo 101

3.3. Análise Comparativa entre Resultados dos Modelos Teóricos e

Resultados Experimentais 106

3.4. Algoritmo de Cálculo da Área de Reforço à Força Cortante 111

3.4.1. Algoritmo de Cálculo da Área de Reforço à Força Cortante

com Ângulo Variável de Inclinação da Biela de Compressão 114

3.4.2. Algoritmo de Cálculo da Área de Reforço à Força Cortante

com Ângulo Constante de Inclinação da Biela de Compressão 122

3.5. Análise Comparativa entre Resultados do Modelo Teórico de

Dimensionamento e Resultados Experimentais 127

4 Conclusões e Sugestões 135

4.1. Conclusões 135

4.2. Sugestões 137

5 Referências Bibliográficas 138

Anexo 143

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Diagrama de tensão x deformação específica de fibras e metais (Adaptada de Beber 2003). 28

Figura 2.2 - Aplicação de FRP em vigas 31

Figura 2.3 - Aplicação de FRP em pilares 32

Figura 2.4 - Aplicação de FRP em paredes 32

Figura 2.5 - Aplicação de FRP em tubos e túneis 33

Figura 2.6 - Aplicação de FRP em silos e tanques 33

Figura 2.7 - Aplicação de FRP em chaminés 34

Figura 2.8 - Aplicação de FRP em lajes 34

Figura 2.9 - A situação dos pilares com trincas e fissuras verticais é evidenciada neste exemplo 35

Figura 2.10 - Modificação da seção variável dos pilares, com utilização de forma e micro-concreto 35

Figura 2.11 - Aplicação do rolo tira bolhas sobre o tecido já aderido no substrato pela aplicação do epóxi estruturante. Foram utilizadas cerca de seis camadas, em média, nos diversos níveis da altura dos pilares 36

Figura 2.12 - Os diversos níveis de aplicação do reforço com fibra de carbono 36

Figura 2.13 - Situação típica de um pilar já reforçado com fibra de carbono, esperando o tempo de cura de sete dias para remoção do antigo reforço metálico existente 36

Figura 2.14 - A remoção do reforço da estrutura metálica em andamento 36

Figura 2.15 - O pilar no processo de acabamento 37

Figura 2.16 - Detalhamento da viga reforçada 37

Figura 2.17 - Recolocação da viga na posição original 38

Figura 2.18 - Vista da aplicação da fibra de carbono 39

Figura 2.19 - Vista da fibra de carbono 38

Figura 2.20 - Vista do serviço concluído 38

Figura 2.21 - Imprimação do tecido de fibra de carbono MBrace CF 130 com resina MBrace Saturant sobre bancada, instantes antes da instalação 39

Figura 2.22 - Colocação do tecido de fibra de carbono sobre substrato já regularizado com MBrace Putty 40

Figura 2.23 - Aplicação do rolo metálico frisado para remoção de possíveis bolhas de ar 40

Figura 2.24 - Aspecto do reforço antes do revestimento final 40

Figura 2.25 - A laje após o reforço com fibra de carbono 41

Figura 2.26 - O reforço no fundo da viga V11a 41

Figura 2.27 - A prova de carga atingindo o último estágio de carregamento 42

Figura 2.28 - A 2ª camada sendo aplicada na região inferior da viga V11a 42

Figura 2.29 - Edifício de apartamentos luxuosos 43

Figura 2.30 - Ponte sob via férrea 45

Figura 2.31 - Ponte sobre o rio Ouse 45

Figura 2.32 - Modelo de treliça (adaptado de Collins e Mitchell, 1987). 46

Figura 2.33 - Trecho de viga sujeito à força cortante (adaptado de Araújo 2003) 47

Figura 2.34 - Biela de compressão (adaptado de Araújo 2003) 48

Figura 2.35 - Trecho de viga 49

Figura 2.36 - Análise simplificada para viga (adaptada de Buchaim 1998) 50

Figura 2.37 - Elemento fissurado de viga de concreto armado 50

Figura 2.38 - Biela comprimida 51

Figura 2.39 - Biela comprimida 51

Figura 2.40 - Círculo de Mohr das deformações específicas 52

Figura 2.41 - Deformações específicas na viga 52

Figura 2.42 - Relação tensão x deformação específica para o concreto. (adaptado de Collins e Mitchell, 1987) 54

Figura 2.43 - Relação tensão x deformação específica para o aço 54

Figura 2.44 - Aumento da seção transversal (adaptado de Täljsten, 2003) 59

Figura 2.45 - Barras de aço na seção transversal (adaptado de Täljsten, 2003) 59

Figura 2.46 - Concreto projetado com fibras de aço (adaptado de Täljsten, 2003) 59

Figura 2.47 - Placa de aço colada externamente (adaptado de Täljsten, 2003) 60

Figura 2.48 - Protensão externa com cabo de aço (adaptado de Täljsten, 2003) 60

Figura 2.49 - Reforço contínuo ou em faixas (adaptado de fib, 2001) 61

Figura 2.50 - Figura 2.50 – Configurações de reforço 61

Figura 2.51 - Tipos de ancoragem (adaptado de fib, 2001) 62

Figura 2.52 - Modos de ruptura ao cortante. (adaptado de Täljsten, 2003) 63

Figura 2.53 - Modos de ruptura ao cortante da viga reforçada (adaptado de Täljsten, 2003) 63

Figura 2.54 - Viga reforçada (adaptada de Chen e Teng, 2003a) 65

Figura 2.55 - Detalhe do reforço contínuo (adaptada de Chen e Teng, 2003a) 65

Figura 2.56 - Gráficos Força cortante x abertura da fissura (adaptada de Teng et al., 2001) 68

Figura 2.57 - Testes realizados por Chen e Teng. (adaptada de Chen e Teng, 2003a) 69

Figura 2.58 - Posições eficazes ou ineficazes das faixas de FRP (adaptada de Chen e Teng, 2003a) 71

Figura 2.59 - Gráfico carga x deslocamento (adaptada de Triantafillou e Antonopoulos, 2000) 73

Figura 2.60 - Gráfico de deformação específica efetiva em função de Efρf/fcm

2/3 para descolamento do reforço (adaptada de Triantafillou e Antonopoulos, 2000) 74

Figura 2.61 - Gráfico da relação εf,e/εfu em função de Efρf/fcm2/3 para

ruptura do reforço (adaptada de Triantafillou e Antonopoulos, 2000) 74

Figura 2.62 - Contribuição do CFRP para a resistência à força cortante para dois valores de resistência à compressão do concreto e dois esquemas de ancoragem (adaptada de Triantafillou e Antonopoulos, 2000) 75

Figura 2.63 - Gráfico da relação εfe/εfu em função da rigidez axial (adaptada de Khalifa et al., 1998) 77

Figura 2.64 - Largura efetiva do reforço (adaptada de Concrete Society, 2000) 80

Figura 2.65 - Esquema especial de ancoragem (adaptado de Khalifa e Nanni, 2000) 91

Figura 3.1 – Elemento fissurado de viga de concreto armado com reforço externo de FRP 102

Figura 3.2 – Elemento fissurado de viga com reforço externo transversal decomposto 102

Figura 3.3 – Biela Comprimida 103

Figura 3.4 – Biela Comprimida 104

Figura 3.5 – Legenda dos gráficos 108

Figura 3.6 – Gráficos de Vf exp x Vf teo para o modelo de Chen e Teng (2003 a, b) 108

Figura 3.7 – Gráficos de Vf exp x Vf teo para o modelo de Chen e Teng (2003 a, b) de dimensionamento 109

Figura 3.8 – Gráficos de Vf exp x Vf teo para o modelo de Triantafillou e Antonopoulos (2000) 109

Figura 3.9 – Gráficos de Vf exp x Vf teo para o modelo de Khalifa et al. (1998) 109

Figura 3.10 – Gráficos de Vf exp x Vf teo para o modelo de Khalifa e Nanni (2000) 110

Figura 3.11 – Fluxograma de cálculo 118

Figura 3.12 – Tela do programa Maple, 1a parte 119

Figura 3.13 – Tela do programa Maple, 2a parte 120

Figura 3.14 – Tela do programa Maple, 3a parte 121

Figura 3.15 – Fluxograma de cálculo 124

Figura 3.16 – Tela do programa Maple, 1a parte 125

Figura 3.17 – Tela do programa Maple, 2a parte 126

Figura 3.18 – Gráfico de θ em função das taxas de armadura 131

Figura 3.19 – Gráfico de Vf em função de tf 133

Figura 3.20 – Gráfico de Vf em função de tf com limite de camadas 134

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 – Propriedades típicas das fibras (fib 2001) 28

Tabela 2.2 – Comparação quantitativa entre fibras (Méier, 1995) 29

Tabela 2.3 – Coeficientes de segurança para os compósitos para o modelo de Triantafillou e Antonopoulos, 2000 72

Tabela 2.4 – Fator de Redução para o CFRP dado pelo ACI 440 (2001) 83

Tabela 2.5 – Valores para os coeficientes de segurança para o compósito dados por fib (2001) 85

Tabela 2.6 – Características das vigas e do reforço, comuns a todas as vigas do estudo de Khalifa e Nanni (2002) 89

Tabela 2.7 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Khalifa e Nanni (2002) 90

Tabela 2.8 – Características das vigas e do reforço, comuns a todas as vigas do estudo de Khalifa e Nanni (2000) 91

Tabela 2.9 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Khalifa e Nanni (2000) 92

Tabela 2.10 – Características das vigas e do reforço, comuns a todas as vigas do estudo de Täljsten (2003) 93

Tabela 2.11 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Täljsten (2003) 93

Tabela 2.12 – Características comuns a todas as vigas do estudo de Beber (2003) 95

Tabela 2.13 – Características dos reforços, comuns a todas as vigas do estudo de Beber (2003) 95

Tabela 2.14 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Beber (2003) 95

Tabela 2.15 – Características comuns a todas as vigas do estudo de Diagana et al. (2003) 98

Tabela 2.16 – Características do reforço, comuns a todas as vigas do estudo de Diagana et al (2003)

do estudo de Diagana et al. (2003) 98 Tabela 2.17 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Diagana et al. (2003) 98

Tabela 2.18 – Características das vigas e do reforço, comuns a todas as vigas do estudo de Chaallal et al. (1998) 100

Tabela 2.18 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Chaallal et al. (1998) 100

Tabela 3.1 - Médias dos valores de Vf teo/Vf exp e coeficientes de variação 107

Tabela 3.2 – Resultados de Afpm calculado com o modelo de Chen e Teng (2003 a, b) de dimensionamento e θ variável 127

Tabela 3.3 – Resultados de Afpm calculado com o modelo de Chen e Teng (2003 a, b) e θ = 45o 129

Tabela 3.4 – Resultados de Vsd 132

Lista de Símbolos

Abreviaturas

AFRP Aramid Fibre Reinforced Polymer CFRP Carbon Fibre Reinforced Polymer FRP Fibre Reinforced Polymer GFRP Glass Fibre Reinforced Polymer

Romanos

a Distância do ponto de aplicação de uma carga concentrada ao apoio

ac Espaçamento entre as bielas de compressão Ac Área normal à força cortante Af Área do reforço externo Afrp Área do reforço externo Afv Área do reforço externo transversal

Afw Área do reforço externo transversal Afpm Área do reforço externo transversal por unidade de comprimento Afpm cont Área do reforço externo transversal contínuo por unidade de

comprimento Afl Área do reforço externo longitudinal As Área da armadura longitudinal tracionada

A´s Área da armadura longitudinal comprimida Asl Área da armadura longitudinal Asw Área de um estribo bw Largura da alma da viga c Cobrimento da armadura de flexão

Cw Peso do tecido

d Altura útil da seção df Altura útil do reforço ou altura útil até a base do reforço. Df Fator de distribuição de tensão Df D Fator de distribuição de tensão para o descolamento do

compósito Df R Fator de distribuição de tensão para a ruptura do compósito dfrp Altura útil do reforço

dft Altura útil até o topo do reforço Ef Módulo de elasticidade do compósito Efib Módulo de elasticidade da fibra Efrp Módulo de elasticidade do compósito

Efu Módulo de elasticidade do compósito Ecs Módulo de elasticidade secante do concreto Em Módulo de elasticidade da matriz Es Módulo de elasticidade do aço

fc Resistência à compressão do concreto f´c Resistência à compressão característica do concreto Fc Força de compressão na biela fcc Resistência à compressão do concreto no corpo-de-prova cúbico

fcd Resistência à compressão de cálculo do concreto fck Resistência característica de compressão do concreto no corpo-

de-prova cilíndrico fctd Tensão de tração no concreto de cálculo ffe Tensão média no compósito no estado limite último ffu Resistência última à tração do compósito ff Resistência última à tração do compósito

Fs Força de tração diagonal Fsw Força de tração em um estribo fyd Tensão de cálculo de escoamento da armadura transversal fyw Tensão de escoamento do aço da armadura transversal

fywd Tensão de cálculo na armadura transversal fywk Tensão na armadura transversal h Altura da viga

ho Largura da biela comprimida na direção perpendicular à força cortante

hf Altura do compósito hfe Altura efetiva do compósito

hw Altura da alma da viga k Fator de redução para a deformação específica efetiva k1 Coeficiente de modificação em função da resistência do concreto k2 Coeficiente de modificação em função do tipo de ancoragem

L Comprimento da viga Le Comprimento de ancoragem efetivo Lmax Comprimento máximo de ancoragem Mo Momento fletor que anula a tensão normal de compressão

Msd,max Momento fletor máximo de cálculo n Número de estribos em 2.3.2. Número de camadas de reforço

em 2.4.2.5 ne Número de extremidades do compósito em função do tipo de

ancoragem nf Razão entre os módulos de elasticidade do compósito e do

concreto ns Razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto

p Precisão adotada para a iteração R Razão entre a deformação específica efetiva e a deformação

específica última no compósito em 2.4.2.3. Fator de redução em 2.4.2.4. Fator de redução para a deformação específica última no compósito em 2.4.2.7

s Espaçamento entre os estribos da armadura transversal de aço sf Espaçamento entre faixas de compósitos sf max Espaçamento máximo entre faixas de compósitos sfrp Espaçamento entre faixas de compósito

smax Espaçamento máximo entre os estribos tf Espessura do compósito Tf Altura da mesa tfrp Espessura do compósito

v Tensão cisalhante média adimensional no concreto V Força cortante Vc Parcela de força cortante absorvida por mecanismos

complementares ao da treliça

Vf Parcela da força cortante resistida pelo reforço externo

Vf exp Valor experimental para a parcela da força cortante de cálculo resistida pelo reforço externo

Vf teo Valor teórico para a parcela da força cortante de cálculo resistida pelo reforço externo

Vfd Parcela da força cortante de cálculo resistida pelo reforço externo

Vfib Fração volumétrica da fibra Vfrp Parcela da força cortante de cálculo resistida pelo reforço externo Vm Fração volumétrica da matriz Vr Resistência ao cortante de cálculo

VR Força cortante na ruptura VRd2 Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das

diagonais comprimidas do concreto VRd3 Força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração

diagonal Vs Parcela da força cortante resistida pela armadura transversal de

aço Vsd Força cortante solicitante de cálculo Vsw Parcela de força cortante resistida pela armadura transversal

z Braço de alavanca wf Largura da faixa de compósito wfe Largura efetiva do compósito wfrp Largura da faixa de compósito

Gregos

α Ângulo de inclinação dos estribos. Fator de redução para a deformação específica efetiva no compósito em 2.4.2.2 e em 2.4.2.7. Ângulo de inclinação do compósito em 2.4.2.5 e em 2.4.2.6

αv2 Fator de efetividade para o concreto

β Ângulo de inclinação do reforço com compósito

ε1 Deformação específica na direção normal à biela de compressão

ε2 Deformação específica na direção da biela de compressão

ε´c Deformação especifica correspondente à tensão de pico

εfe Deformação específica efetiva no compósito

εf,e Deformação específica efetiva no compósito

εfd,e Deformação específica efetiva de cálculo no compósito

εfk,e Deformação específica efetiva característica no compósito

εfrpe Deformação específica efetiva no compósito

εfrpu Deformação específica última no compósito

εfu Deformação específica última no compósito

εf,u Deformação específica última do compósito

εmax Deformação específica máxima no compósito

εs Deformação específica no aço

εx Deformação específica na direção horizontal

εy Deformação específica na direção vertical

εy max Deformação específica máxima medida no compósito

φ Fator de segurança para o compósito

φc Fator de segurança para o concreto

φfrp Fator de segurança para o compósito

φs Fator de segurança para o aço

γb Coeficiente de segurança para o compósito na falha por

descolamento

γc Coeficiente de segurança para o concreto

γf Coeficiente de segurança para o compósito na falha por ruptura.

Coeficiente de segurança para o compósito em 2.4.2.2 e 2.4.2.6

γs Coeficiente de segurança para o aço

γxy Deformação de distorção

κv Coeficiente de redução para a aderência

λ Comprimento máximo de ancoragem normalizado. Fator que leva

em conta a baixa densidade do concreto em 2.4.2.7

λ1 Parâmetro em função do tipo de fibra

λ2 Parâmetro em função do tipo de fibra

θ Ângulo de inclinação das bielas de compressão

θi Valor inicial para o ângulo de inclinação das bielas de

compressão

ρf Taxa geométrica do compósito

ρfl Taxa geométrica do compósito do reforço longitudinal

ρfrp Taxa geométrica do compósito do reforço transversal

ρfw Taxa geométrica do compósito do reforço transversal

ρl Taxa geométrica de armadura longitudinal

ρsl Taxa geométrica de armadura longitudinal

ρsw Taxa geométrica de armadura transversal

σc Tensão de compressão na biela

σcl Tensão de compressão horizontal na biela

σcmax Resistência máxima no concreto à compressão

σcv Tensão de compressão vertical na biela

σf max Tensão máxima alcançada pelo reforço

σs Tensão no aço

σsl Tensão no aço da armadura longitudinal

σsw Tensão de tração em um estribo

σfl Tensão no reforço longitudinal

σfw Tensão no reforço transversal

σfvd D Tensão média no compósito no descolamento

σfvd R Tensão média no compósito na ruptura

σf max D Tensão máxima alcançada pelo reforço no descolamento

σf max R Tensão máxima alcançada pelo reforço na ruptura

ψ Fator de segurança para o compósito

1 Introdução

1.1. Considerações Gerais

O processo de reforço consiste em aumentar ou restabelecer a capacidade

resistente do elemento estrutural ou da estrutura como um todo. Este processo

pode ser necessário quando ocorre aumento do carregamento, redistribuição de

cargas, deterioração da estrutura, erros de projeto ou na construção e acidentes

como incêndios ou choques.

Neste trabalho, o reforço dos sistemas estruturais é constituído

basicamente por dois materiais, os compósitos de fibra de carbono e as resinas

de base epoxídica.

A técnica de reforço com aplicação de compósitos de fibras de carbono é

relativamente nova e tem recebido bastante atenção atualmente, pois possui

vantagens como: facilidade e rapidez de execução, manutenção das dimensões

originais do elemento estrutural, leveza, resistência à corrosão e alta resistência

mecânica.

1.2. Objetivos

O aumento na utilização de reforço estrutural com compósitos de fibra de

carbono exige um aprimoramento das técnicas de execução, análise e

dimensionamento desse reforço.

Este trabalho apresenta um estudo da força cortante resistida por vigas de

concreto reforçadas externamente com compósito de fibra de carbono, com o

objetivo de verificar a eficiência dos modelos utilizados para o cálculo deste tipo

de reforço, possibilitando ao engenheiro de projeto o dimensionamento do

reforço com segurança, dentro das normas de projeto, da realidade destes

materiais e com economia.

Os modelos para o cálculo da parcela da força cortante resistida pelo

reforço externo encontrados na literatura são baseados no modelo de treliça e

consideram que o ângulo de inclinação da fissura diagonal é constante e igual a

24

45º. A teoria do campo de compressão diagonal admite o ângulo de inclinação

da biela de compressão variável, sendo o cálculo efetuado a partir de equações

de equilíbrio, de compatibilidade e das relações constitutivas dos materiais.

Foi efetuada uma comparação entre os modelos para o cálculo da parcela

da força cortante resistida pelo reforço externo de Chen e Teng (2003 a, b),

Triantafillou e Antonopoulos (2000), Khalifa et al. (1998), Khalifa e Nanni (2000),

Os modelos de Triantafillou e Antonopoulos (2000) e Khalifa et al. (1998) são utilizados pela fib Bulletin 14 (2001), pelo manual ISIS (2001) e pelo ACI

Committee 440 (2001).

Na comparação foram adotados dois valores para o ângulo de inclinação

da biela de compressão, um valor constante e igual a 45o e outro variável,

calculado por meio da teoria do campo de compressão diagonal. Os valores

calculados para a parcela da força cortante resistida pelo reforço, utilizando

esses modelos teóricos, foram comparados com diversos resultados

experimentais encontrados na literatura.

Com base nesta comparação foram escolhidos os modelos para serem

utilizados na implementação computacional para dimensionamento da área de

reforço usando a NBR 6118 (2003). Foram implementados dois modelos, um

considerando o ângulo de inclinação das fissuras igual a 45o e outro

considerando este ângulo variável.

As áreas de reforço calculadas através dos modelos de dimensionamento,

utilizados na implementação computacional, foram comparadas com as áreas

adotadas nos estudos experimentais. Os resultados desta comparação foram

analisados e discutidos.

1.3. Organização do Trabalho

O trabalho está dividido da seguinte forma:

- Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica

A primeira parte deste capítulo apresenta as principais características dos

compósitos de fibras de carbono e alguns casos de utilização deste tipo de

reforço.

Na segunda parte estão os estudos da força cortante em vigas de concreto

armado, o modelo de treliça generalizada, a teoria do campo de compressão

diagonal e as prescrições da NBR 6118 para o dimensionamento e verificação

de vigas de concreto armado sujeitas à força cortante

25

A terceira parte apresenta o compósito com fibras de carbono como

material de reforço à força cortante, onde são resumidos os modelos de cálculo

da parcela da força cortante resistida pelo reforço externo com fibras de carbono, assim como as prescrições para o reforço da fib Bulletin 14 (2001), do manual

ISIS (2001) e do ACI Committee 440 (2001), e alguns estudos experimentais

sobre vigas de concreto reforçadas com este material.

- Capítulo 3 – Apresentação e Análise dos Modelos de Dimensionamento

do Esforço Cortante

Neste capítulo são desenvolvidos os principais tópicos deste trabalho,

onde os modelos de cálculo da parcela da força cortante resistida pelo reforço

externo são comparados e os modelos de dimensionamento são apresentados e

analisados.

- Capítulo 4 – Conclusões e Sugestões

Este capítulo apresenta as conclusões gerais e as sugestões para os

próximos estudos.

As tabelas com os valores calculados por cada modelo para a parcela da

força cortante resistida pelo reforço estão no Anexo.

2 Revisão Bibliográfica

2.1. Introdução

Neste capítulo estão reunidas informações encontradas na literatura que

servem de base para este trabalho.

Inicialmente são apresentados os materiais compósitos com fibras de

carbono, suas principais características e alguns casos de utilizações deste

material como reforço.

A seguir, é realizada uma revisão das teorias sobre o dimensionamento ao

esforço cortante para vigas de concreto armado e das prescrições da NBR 6118

(2003), que serão utilizadas no desenvolvimento do trabalho.

Também, são apresentados alguns estudos teóricos e experimentais sobre

o reforço à força cortante usando o compósito de fibras de carbono.

2.2. Compósitos com Fibras de Carbono

2.2.1. Características

Os compósitos são materiais formados a partir da combinação de dois ou

mais componentes com o objetivo de obter uma nova característica, que nenhum

dos outros materiais poderia apresentar isoladamente.

Os materiais compósitos, de origem natural ou sintetizados pelo homem,

vêm sendo utilizados por milhares de anos. A madeira é um exemplo de

compósito natural. Trata-se da combinação de fibra celulósica e lignina.

Compósitos sintéticos podem ser fabricados a partir de materiais naturais. Os

egípcios, por exemplo, utilizavam a palha misturada à argila para a fabricação de

tijolos com o objetivo de melhorar o seu desempenho estrutural (Emmons et al,

1998).

Os materiais compósitos são divididos em: particulados (concretos e

argamassas), fibrosos (fibro-cimentos e FRP) e estruturais (laminados, painéis

sanduíche).

27

Os polímeros reforçados com fibras (fiber reinforced polymers - FRP) são

materiais compósitos constituídos por uma matriz polimérica reforçada por fibras

longas de alta resistência.

Estes materiais oferecem ao engenheiro uma combinação excelente de

propriedades, incluindo o baixo peso (que resulta em baixo custo de mão de

obra), de imunidade à corrosão, possibilidade de utilização em comprimentos

muito longos, excelente resistência mecânica e rigidez etc., e são tipicamente

aplicados nas zonas de tração em elementos estruturais com o uso de adesivo

epóxi. (Triantafillou, 1998)

Os compósitos de FRP também apresentam algumas desvantagens como:

baixa resistência ao fogo e raios ultravioletas, incompatibilidade com superfícies

irregulares e elevado custo.

O sistema de reforço com compósito de FRP tem três componentes

principais: adesivo, matriz de resina e fibras.

O adesivo tem como objetivo prover a transferência de esforços entre a

superfície de concreto e o material compósito. O tipo mais comum de adesivo é

epóxi.

A função da matriz é unir as fibras, distribuir a carga, proteger as fibras da

abrasão, da umidade, da oxidação e de agentes agressivos. A matriz influencia

várias propriedades mecânicas do compósito, como resistência e módulo

transversal, propriedades ao cisalhamento e propriedades à compressão. Os

tipos mais comuns de matriz polimérica são as de epóxi, éster-vinílico e

poliéster.

Como a rigidez e a resistência das fibras são muito maiores do que a

rigidez e a resistência da matriz, as fibras governam essas propriedades dos

compósitos.

As fibras utilizadas como o reforço do material compósito são contínuas,

com diâmetro entre 5 e 20µm, com comportamento linear elástico até a ruptura,

sem patamar de escoamento como o do aço. (fib Bulletin 14, 2001)

As fibras mais comumente usadas em reforço de estruturas na engenharia

civil são: fibra de vidro, de carbono e de aramida. As propriedades físicas e

mecânicas de cada tipo de fibra podem variar muito. A Tabela 2.1 mostra alguns

valores típicos das propriedades das fibras.

28

Tabela 2.1 – Propriedades típicas das fibras (fib Bulletin 14, 2001)

Fibra Módulo de

Elasticidade (GPa)

Resistência à tração

(MPa)

Deformação específica

última na tração (%)

Carbono: Alta resistência 215-235 3500 - 4800 1.4 - 2.0 Ultra alta resistência 215-235 3500 - 6000 1.5 - 2.3 Alto módulo 350-500 2500 - 3100 0.5 - 0.9 Ultra alto módulo 500-700 2100 - 2400 0.2 - 0.4 Vidro: E 70 1900 - 3000 3.0 - 4.5 S 85-90 3500 - 4800 4.5 - 5.5 Aramida: Baixo módulo 70-80 3500 - 4100 4.3 - 5.0 Alto módulo 115-130 3500 - 4000 2.5 - 3.5

As fibras de carbono usadas na indústria da construção têm resistência

maior do que 4000 MPa – 10 vezes maior do que o aço CA-60 usado como

reforço e duas vezes mais resistente do que o aço usado na protensão. A rigidez

é similar à do aço (Nanni, 1999).

Na Figura 2.1 estão os diagramas de tensão x deformação específica do

aço e dos diversos tipos de fibra.

Figura 2.1 – Diagrama de tensão x deformação específica de fibras e metais (adaptada de Beber 2003).

As propriedades mecânicas dos compósitos podem ser estimadas em

função das propriedades dos seus materiais constituintes e suas respectivas

frações volumétricas através da regra das misturas, dada por:

29

mmfibfibf VEVEE += (2.1)

mmfibfibf VfVff +≈ (2.2)

Onde Ef, Efib e Em são os módulos de elasticidade do compósito, da fibra e da

matriz respectivamente, Vfib e Vm são as frações volumétricas da fibra e da matriz

respectivamente, e ff, ffib e fm são as resistências do compósito, da fibra e da

matriz respectivamente.

A relação entre as frações volumétrica da fibra e da matriz é dada por:

1=+ mfib VV (2.3)

Segundo a fib Bulletin 14 (2001), no caso de sistemas compósitos pré-

fabricados as propriedades do material baseadas na seção transversal total

(fibra e matriz) podem ser usadas nos cálculos e geralmente são fornecidas pelos fabricantes. No caso dos sistemas impregnados in-situ, a espessura final e

a fração volumétrica de fibras pode variar muito, por esse motivo, não é

apropriado utilizar as propriedades do compósito no cálculo, nestes casos, deve-

se usar as propriedades das fibras com a respectiva área transversal.

Méier (1995) realizou um estudo comparativo entre compósitos com três

tipos de fibras diferentes, com a finalidade de avaliar a substituição de placas de

aço por compósitos no reforço de estruturas de concreto. Uma comparação

quantitativa é mostrada na Tabela 2.2.

Tabela 2.2 – Comparação quantitativa entre fibras (Méier, 1995) Compósitos com fibra Critério Carbono Aramida Vidro - E

Resistência à tração Muito bom Muito bom Muito bom

Resistência à compressão Muito bom Inadequado Bom

Módulo de Elasticidade Muito bom Bom Adequado

Comportamento à longo prazo Muito bom Bom Adequado

Comportamento à fadiga Excelente Bom Adequado

densidade Bom Excelente Adequado Resistência à alcalinidade Muito bom Bom Inadequado

Preço Adequado Adequado Muito bom

Segundo Meier os resultados da Tabela 2.2 indicam que o compósito de

fibras de carbono é o mais recomendado para o reforço de estruturas.

30

Os compósitos para reforço estrutural utilizados na engenharia civil para

reforço estrutural são encontrados hoje principalmente na forma de:

- Faixas unidirecionais (com espessura da ordem de 1 mm).

- Folhas, feitas com fibras em uma direção, ou tecidos flexíveis, com fibras

em pelo menos duas direções.

Os vários tipos de sistemas de reforço com compósitos se dividem em: - Sistemas curados in situ

- Sistemas pré-fabricados (ou pré-curados)

- Sistemas especiais, como envolvimento automatizado, protensão etc. 2.2.2. Utilização de Compósitos na Engenharia Estrutural

O reforço com fibra tem sido usado há mais de 25 anos na Indústria

Aeroespacial e nos setores da indústria onde a exigência é pouco peso, elevada

resistência à tração e propriedades anti-corrosivas.

Na engenharia civil, a utilização de compósitos pode ser dividida em:

a) Reabilitação: que consiste em reparo, reforço e readaptação de

estruturas existentes.

b) Novas construções: com aplicação de FRP e com novos sistemas

compósitos de concreto-FRP.

Os estudos sobre reforço de estruturas de concreto com compósitos foram

iniciados na década de 90 e a utilização desta técnica tem crescido rapidamente

nos últimos 10 anos.

Os materiais compósitos competem diretamente com as técnicas de

reforço tradicionais, como alargamento da seção transversal, protensão externa

e placas de aço coladas externamente (Nanni, 1999).

Os compósitos com FRP oferecem muitas vantagens em relação a outros

materiais para reforço como: excelente resistência à corrosão, resistência aos

agentes ambientais, alta relação rigidez-peso e resistência-peso e fácil

aplicação.

O aparente alto custo dos FRP em comparação com as técnicas

convencionais é o maior obstáculo para o emprego dos FRP como material de

reforço de estruturas, porém a comparação com base no preço unitário não é

apropriada. Quando o custo da instalação é levado em consideração, o material

compósito pode competir com os materiais convencionais. O baixo peso dos

FRP reduz as despesas com transporte e alguns sistemas pré-fabricados

31

reduzem o tempo no local de trabalho. Se a comparação inclui custos de ciclo de

vida, os FRP podem ter uma vantagem significativa (Taljsten, 2003).

O reforço com FRP é aplicável a diversos tipos de estruturas como (as

figuras a seguir foram extraídas da página: http:// www.degussa-cc.com.br no dia

24/11/2004):

a) Vigas: aumentando a resistência à flexão e à força cortante (Figura

2.2).

(a) (b)

(c) (d)

Figura 2.2 – Aplicação de FRP em vigas.

b) Pilares: aumentando a resistência à flexão e à compressão por

confinamento e reabilitação de pilares após abalos sísmicos (Figura 2.3).

32

(a) (b)

Figura 2.3 – Aplicação de FRP em pilares.

c) Paredes: aumentando a resistência à flexão, à força cortante, ao

impacto proveniente de explosão no combate a efeitos de abalo sísmicos e a

cargas de vento (Figura 2.4).

(a) (b)

Figura 2.4 – Aplicação de FRP em paredes.

d) Tubos e túneis: aumento de resistência à compressão, necessárias pelo

excesso de carga lateral, pela curvatura e pelo esforço circunferencial (Figura

2.5).

33

(a) (b)

Figura 2.5 – Aplicação de FRP em tubos e túneis.

e) Silos e Tanques: diminuição da propagação de trincas em estruturas

hidráulicas e excesso de esforço circunferencial (Figura 2.6).

(a) (b)

Figura 2.6 – Aplicação de FRP em silos e tanques.

f) Chaminés: aumento de resistência à flexão e à compressão por

confinamento (Figura 2.7).

34

Figura 2.7 – Aplicação de FRP em chaminés.

g) Lajes: aumento de resistência à flexão e diminuição da flecha (Figura

2.8).

(a) (b)

Figura 2.8 – Aplicação de FRP em lajes.

A seguir são apresentados alguns casos reais de reforço de estruturas

com compósito de fibras de carbono. Reforço de Pilares em Condomínio de São Paulo Este caso de aplicação foi retirado da Revista Recuperar (Ano 7 - Nov/Dez

2000) e as figuras retiradas da página na Internet: http://www.casadagua.com,

em 09/12/2004.

Em um condomínio de São Paulo, com três edifícios de cinco andares

cada, cerca de 30 anos e 48 pilares de sustentação, durante um trabalho de

remoção do seu antigo revestimento foram encontradas trincas verticais mais ou

menos no meio da seção dos pilares (Figura 2.9). A causa das trincas foi

atribuída a uma deficiência de armadura no topo dos pilares para sustentar dois

pilares que nascem no primeiro pavimento e descarregam nos pilares do térreo.

35

Inicialmente os pilares receberam reforço com peças metálicas em forma

de anel, abraçando os 48 pilares. Foi feita uma inspeção nas armaduras para

detectar uma possível corrosão, o que não foi confirmado, então, as trincas e

fissuras receberam uma injeção de epóxi. A seção dos pilares foi modificada,

com a utilização de fôrma e a aplicação de agente colante epoxídico seguida por

micro-concreto (Figura 2.10). O reforço foi feito com aplicação de fibras de

carbono ao longo das seções, com seis camadas por seção (Figuras 2.11, 2.12,

2.13 e 2.14). Finalmente, aspergiu-se areia de quartzo para permitir a aderência

do chapisco, foi feito um enchimento para restabelecer a aparência original dos

pilares e depois aplicado o revestimento (Figura 2.15).

Figura 2.9 - A situação dos pilares com trincas e fissuras verticais é evidenciada neste exemplo.

Figura 2.10 - Modificação da seção variável dos pilares, com utilização de forma e micro-concreto.

36

Figura 2.11 - Aplicação do rolo tira bolhas sobre o tecido já aderido no substrato pela aplicação do epóxi estruturante. Foram utilizadas cerca de seis camadas, em média, nos diversos níveis da altura dos pilares.

Figura 2.12 - Os diversos níveis de aplicação do reforço com fibra de carbono.

Figura 2.13 - Situação típica de um pilar já reforçado com fibra de carbono, esperando o tempo de cura de 7 dias para remoção do antigo reforço metálico existente.

Figura 2.14 - A remoção do reforço da estrutura metálica em andamento.

37

Figura 2.15 - O pilar no processo de acabamento.

Reforço de Viga Pipe-Rack Estas informações e as figuras foram extraídas da página na Internet:

http://www.casadagua.com, em 09/12/2004.

Em Paulina (SP), uma estrutura de concreto armado para suporte de

tubulação recebeu reforço com manta de fibra de carbono em uma área de 24m2

devido a danos causados por um impacto acidental na estrutura.

A Figura 2.16 mostra o detalhamento da viga reforçada e as Figuras 2.17,

2.18, 2.19 e 2.20 mostram os detalhes da execução do reforço.

Figura 2.16 – Detalhamento da viga reforçada.

38

Figura 2.17 – Recolocação da viga na posição original.

Figura 2.18 – Vista da aplicação da fibra de carbono.

Figura 2.19 – Vista da fibra de carbono.

Figura 2.20 – Vista do serviço concluído.

Shopping Center Iguatemi São Paulo As informações a seguir foram retiradas da página na Internet:

http://www.masterbuilders.com.br, em 09/12/2004.

39

O Shopping ganhou dois novos pavimentos sobre as garagens.

Fundações, pilares e vigas do prédio foram reforçados para suportar a nova

carga. Em cada caso foi adotado o sistema de reforço mais conveniente. O

Shopping continuou funcionando normalmente, assim os serviços tiveram que

ser executados apenas no período noturno. A execução dos serviços requeria

rapidez e precisão, a fim de minimizar os transtornos aos clientes.

O reforço de 20 pilares, distribuídos nos seis pavimentos, foi feito por

encamisamento e confinamento com grout. Os blocos de fundação receberam

encamisamento e confinamento com concreto de fc3 > 35MPa aplicado por

bombeamento. As vigas do 6o pavimento foram reforçadas com fibra de carbono

MBRACE CF 130, em várias camadas. A escolha deste tipo de reforço foi feita

em função da rapidez de execução e para minimizar os transtornos que outros

tipos de reforço causariam. As Figuras (2.21), (2.22), (2.23) e (2.24) mostram os

detalhes da aplicação do reforço com fibras de carbono nas vigas.

Figura 2.21 - Imprimação do tecido de fibra de carbono MBrace CF 130 com resina MBrace Saturant sobre bancada, instantes antes da instalação.

40

Figura 2.22 - Colocação do tecido de fibra de carbono sobre substrato já regularizado com MBrace Putty.

Figura 2.23 - Aplicação do rolo metálico frisado para remoção de possíveis bolhas de ar.

Figura 2.24 - Aspecto do reforço antes do revestimento final.

41

Laje reforçada com fibra de carbono O seguinte caso de aplicação foi retirado da Revista Recuperar (Ano 7 -

Nov/Dez 2000) e as fotos foram retiradas da página na Internet:

http://www.casadagua.com, em 09/12/2004.

Uma laje convencional de concreto armado, apoiada em vigas periféricas,

situada em uma concessionária de automóveis no Rio de Janeiro, foi concebida

para suportar uma carga de 1,96 kN/m2. Devido a erros de projeto, sofreu uma

deformação crescente que chegou a 150mm no seu centro.

Foi executado um reforço à flexão composto por fibra de carbono no fundo

da laje e uma laje sobre a existente como zona de compressão. O reforço seguiu

as seguintes etapas: retirada do contrapiso; macaqueamento, retirando as

deformações da laje; apicotamento da face superior da laje; execução de cavas

de 15 cm x 15 cm x 10 cm na face superior da laje com aplicação de epóxi;

aplicação de malha cruzada com duas camadas superpostas de fibras de

carbono na face inferior da laje e nas vigas periféricas (Figuras 2.25 e 2.26);

aplicação de malha de aço CA50A sobre a laje; execução de concreto com

espessura de 6 cm e fck ≥ 35 MPa.

Figura 2.25 - A laje após o reforço com fibra de carbono.

Figura 2.26 - O reforço no fundo da viga V11a.

Durante a concretagem foram moldados três corpos de prova para controle

tecnológico, que romperam com 27, 28 e 29 MPa. Foram feitos exames

adicionais de esclerometria e novos corpos de prova, obteve-se o valor médio (e

42

insuficiente) de 28MPa. A construtora solicitou a execução de uma prova de

carga para conferir a situação de suporte da laje para a carga de 5,89 kN/m2.

Após 14 horas com a carga plena de 5,89 kN/m2 (Figura 2.27), a viga V11a

apresentou fissuras em suas laterais, nas proximidades dos apoios e ao longo

do seu comprimento. A região inferior da laje e a viga, reforçadas com fibra de

carbono não apresentaram qualquer alteração. O resultado da prova de carga

mostrou que a laje apresentava suficiente grau de segurança para absorver uma

sobrecarga de até 5,89 kN/m2. De posse do resultado, o projetista, decidiu

reforçar a viga V11a, tanto à força cortante quanto à flexão com fibra de carbono.

O reforço à força cortante foi feito aplicando as fibras transversalmente às

fissuras surgidas próximo aos apoios. O reforço à flexão foi feito aderindo-se

mais uma camada de fibra no fundo da viga (Figura 2.28).

Figura 2.27 - A prova de carga atingindo o último estágio de carregamento.

Figura 2.28 - A 2ª camada sendo aplicada na região inferior da viga V11a.

Reforma de Prédio Luxuoso em Melbourne – Austrália As informações e a foto a seguir foram retiradas da página na Internet:

http://www.mbtaus.com.au, em 09/12/2004.

A reforma do luxuoso prédio de apartamentos (Figura 2.29), situado em

Melbourne – Austrália, consistiu na incorporação de dois edifícios adjacentes

que foram integrados em um mesmo endereço. As três principais mudanças

foram: a construção de um pavimento de concreto adicional para a cobertura; a

43

reconstrução de dois pavimentos parcialmente demolidos em madeira

substituídos por novos pavimentos em concreto; a conversão do porão em

estacionamento subterrâneo.

O edifício já tinha sido reconstruído parcialmente durante a década de

1990. Nesta ocasião, um quinto nível tinha sido adicionado e os pavimentos,

originalmente em madeira, nos níveis 2, 3 e 4 tinham sido substituídos por laje

de concreto. O trabalho não tinha sido terminado (o edifício era inabitado até as

recentes reformas) e os pavimento em madeira do primeiro piso e do térreo no

leste do edifício tinham sido demolidos em parte. A nova construção incluía um

sexto nível adicional com cinco apartamentos (cada um com sua própria piscina).

Foi necessário assegurar que o nível existente da cobertura pudesse suportar

os carregamentos dos novos apartamentos.

A investigação da estrutura existente do nível 5 mostrou que mesmo que a

laje de 125mm de espessura fosse apropriada para o carregamento do

apartamento, as vigas eram inadequadas e requeriam reforço para o Estado

Limite Último de carregamento.

O laminado com fibra do carbono MBrace foi utilizado para reforçar à

flexão algumas vigas existentes na cobertura (para permitir que a estrutura

recebesse um novo pavimento) e na área em torno de uma abertura que havia

sido feita em um dos pavimentos com laje de concreto para permitir a instalação

de uma nova escada.

O reforço com compósito de fibra de carbono foi uma ótima solução para

as vigas de concreto e o pavimento da laje em torno da escada. Além de ser

extremamente fácil de usar e aplicar, o laminado tem uma espessura acabada

extremamente pequena, que é ideal para o uso nas situações onde o espaço é

reduzido - tal como a área em torno da escada onde não havia espaço suficiente

para que as vigas de aço estrutural fossem instaladas.

Figura 2.29 – Edifício de apartamentos luxuosos.

44

Reforço em Pontes na Tasmânia Este caso e as fotos foram retirados da página na Internet:

http://www.mbtaus.com.au, em 09/12/2004.

Uma grande porcentagem de pontes antigas não foi projetada ou

construída com a capacidade de suportar os tipos de veículos e de cargas

maciças que, hoje em dia, são relativamente comuns. O governo é desafiado

agora com a tarefa de promover estas pontes para suportar as novas

necessidades de cargas dos usuários modernos da estrada.

O reforço com sistema de compósito foi utilizado em duas pontes

localizadas na estrada de Devonport, que foram reforçadas com sucesso,

assegurando sua utilização a longo prazo.

O primeiro dos dois projetos envolveu o uso do reforço com sistema

compósito de MBrace para melhorar a capacidade de carga de uma ponte sob

via férrea ao longo da estrada em Devonport (Figura 2.30). Construída em 1970,

a ponte de 140 m de comprimento necessitou de reforço a fim de ter os limites

de carga aumentados. As tiras do laminado de fibra de carbono de MBrace

foram aplicadas no lado inferior da viga ao longo de cada um dos oito vãos da

ponte.

No segundo projeto foi utilizado o reforço com sistema compósito de

MBrace ao longo da ponte sobre o rio de Ouse na Tasmânia (Figura 2.31). O

motivo principal para este projeto foi a taxa elevada de tráfego de veículo pesado

que percorre a área industrial. Construída em 1947, a ponte do rio de Ouse

pareceu estar em condições relativamente boas, porém, devido à idade da

estrutura (e da natureza do concreto que foi usado em sua construção), o

trabalho foi iniciado com a limpeza e o reparo de algumas áreas antes da

aplicação do compósito de fibra do carbono.

A utilização deste sistema de reforço mostrou ser uma solução

financeiramente eficiente, melhorando significativamente a capacidade de carga

de ambas as pontes, que não apenas se tornaram capazes de suportar as

cargas do tráfego atual, mas também poderão permanecer em serviço por

muitos anos.

45

Figura 2.30 – Ponte sob via férrea.

Figura 2.31 – Ponte sobre o rio Ouse.

2.3. Resistência ao Esforço Cortante em Vigas de Concreto Armado

2.3.1. Introdução

O modelo de treliça começou a ser usado na análise e no

dimensionamento de vigas de concreto armado no início do século passado.

Segundo Ritter (1899), após a fissuração, a viga simplesmente bi-apoiada de

concreto armado pode ser idealizada como uma treliça onde as diagonais

comprimidas de concreto atuam como elementos diagonais da treliça, enquanto

que os estribos atuam como elementos verticais tracionados. A corda inferior da

treliça é representada pela armadura longitudinal de tração, enquanto que o

banzo comprimido atua como a corda superior da treliça.

No modelo de treliça, Mörsch (1920) assumiu que o cortante é resistido

pelas diagonais comprimidas de concreto inclinadas a 45o, acompanhando a

inclinação das tensões principais na altura da linha neutra, e que o concreto não

resiste a esforços de tração, considerando matematicamente impossível

determinar a inclinação das fissuras.

Vários autores introduziram modelos refinados utilizando mecanismos

especiais de resistência à força cortante, mas persiste a idéia principal da

analogia da viga fissurada à treliça equilibrada.(ACI – ASCE 445).

46

O dimensionamento usando o modelo da treliça de Mörsch fornece uma

armadura superior à necessária. Assim, o modelo de treliça de Mörsch foi

modificado para incluir a variação no ângulo das bielas de compressão, θ,

tipicamente menor do que 45o, constituindo o modelo de treliça generalizada.

Figura 2.32 –Modelo de treliça (adaptado de Collins e Mitchell, 1987 )

Para usar o modelo da treliça generalizada para calcular a resistência ao

esforço cortante da viga de concreto armado, é necessário obter o ângulo θ.

Kupfer (1964) e Baumann (1972) analisaram o modelo de treliça,

considerando que o concreto fissurado e a armadura transversal têm

comportamento linear elástico, e solucionaram o problema da inclinação das

fissuras. A principal inovação foi a introdução de uma eq. de compatibilidade

unindo três deformações específicas em direções diferentes a do ângulo de

inclinação do campo de compressão diagonal.

Collins e Mitchell (1980) abandonaram esta consideração sobre os

materiais e desenvolveram a teoria do campo de compressão diagonal para

elementos estruturais sujeitos à torção e à força cortante.

A teoria do campo de compressão diagonal modificada, que considera a

resistência à tração do concreto, foi apresentada mais tarde por Vecchio e

Collins (1982,1986).

A NBR 6118 (2003) admite o cálculo da resistência à força cortante com

diagonais de compressão inclinadas de θ em relação ao eixo longitudinal do

47

elemento estrutural com θ variando entre 30o e 45o. Admite ainda uma parcela

complementar Vc (referente à força cortante absorvida por mecanismos

complementares ao da treliça), que sofre uma redução com o aumento da força cortante solicitante de cálculo, Vsd.

A utilização do modelo de treliça de ângulo variável junto com a teoria do

campo de compressão diagonal tem várias vantagens como: relativa

simplicidade, satisfazer equilíbrio e compatibilidade e possibilidade de ser

estendido aos casos de vigas com reforço colado externamente.

Os modelos de treliça não consideram mecanismos complementares,

como engrenamento de agregados, encavilhamento da armadura longitudinal e a

força cortante resistida pela seção de concreto não fissurada.

Segundo Buchaim (1998) a teoria do campo de compressão diagonal

mostra que a força cortante exige não somente armadura transversal na alma,

mas também armadura longitudinal.

2.3.2. Treliça Generalizada

Após a fissuração da viga de concreto armado, a força cortante é

equilibrada pelas bielas comprimidas de concreto associadas às diagonais

tracionadas formadas por estribos (Figura 2.32).

Figura 2.33 – Trecho de viga sujeito à força cortante (adaptado de Araújo 2003).

Um trecho de viga sujeita à força cortante V, com bielas inclinadas de um

ângulo θ e estribos inclinados de um ângulo α, está indicado na Figura 2.33. O

espaçamento entre as bielas de compressão ac é:

)cot(cot αθ += zac (2.4)

O valor do braço de alavanca z pode ser aproximado por:

dz 9.0= (2.5)

48

Do equilíbrio em S1 e S2 são dados os valores da força de compressão na biela Fc e a força de tração na diagonal Fs:

θsenVFc =

(2.6)

αsenVFs =

(2.7)

Figura 2.34 – Biela de compressão (Adaptado de Araújo 2003)

Uma biela de compressão está indicada na Figura 2.34, ho a largura da

biela comprimida normal à força de compressão Fc é dada por:

θsenah co = (2.8)

A área normal à força de compressão Fc é dada por:

woc bhA = (2.9)

A tensão na biela é dada por:

θσ

senAV

cc =

(2.10)

Substituindo as eq. (2.4), (2.5) e (2.8) na eq. (2.10):

θαθσ 2)cot(cot9.0 sendb

V

wc +=

(2.11)

A força de tração em cada estribo é dada por:

swswsw AF σ= (2.12)

49

Figura 2.35 – Trecho de viga

Considerando o trecho de viga da Figura 2.35, com comprimento ac com

estribos espaçados de s, tem-se que o número n de estribos neste trecho é de:

sa

n c= (2.13)

Do equilíbrio vertical na Figura 2.35:

θα senFsennF csw = (2.14)

Substituindo as equações (2.4), (2.5), (2.6), (2.12) e (2.13) em (2.14) tem-

se a área dos estribos por unidade de comprimento:

ααθσ sendV

sA

sw

sw

)cot(cot9.0 +=

(2.15)

2.3.3. Teoria do Campo de Compressão

A Teoria do Campo de Compressão Diagonal pretende determinar não

apenas a resistência, mas o comportamento completo do elemento sujeito à

força cortante, para qualquer estágio de carregamento. Para isso, utiliza três

equações de equilíbrio, duas equações de compatibilidade e as relações

constitutivas dos materiais, que relacionam tensões e deformações específicas.

A análise da seção transversal da viga sujeita a solicitações normais e

tangenciais é simplificada, admitindo-se que a inclinação do campo de

compressão diagonal seja constante na alma da viga e uma distribuição

uniforme de tensões tangenciais na seção.

50

Figura 2.36 – Análise simplificada para viga (adaptada de Buchaim 1998).

Admitindo que o concreto não resiste a tensões de tração e que os

deslocamentos relativos entre as faces das fissuras são livres de tensões

normais e tangenciais, as fissuras inclinadas são paralelas ao campo de

compressão a um ângulo θ.

Figura 2.37 – Elemento fissurado de viga de concreto armado.

A Figura 2.37 mostra um elemento fissurado de viga de concreto armado, com estribos verticais e espessura bw.

Considerando v a tensão cisalhante média adimensional no concreto:

zbVvw

= (2.16)

Nas Figuras 2.38 e 2.39 é feito equilíbrio na direção da inclinação θ:

51

Figura 2.38 – Biela comprimida.

Figura 2.39 – Biela comprimida.

θσ vtgcv = (2.17)

θσ cotvcl = (2.18)

A tensão de compressão na biela, obtida do equilíbrio das forças na

direção de θ é:

)cot( θθσ += tgvc (2.19)

As taxas geométricas de armadura transversal e longitudinal são dadas

por:

sbA

w

swsw =ρ

(2.20)

zbA

w

slsl =ρ

(2.21)

Onde Asl é a área de armadura longitudinal.

Equação de compatibilidade das forças normais na face horizontal da

Figura 2.37:

0=Σ yF (2.22)

θσθσ cotcot ∆=∆ wcvsw

sw bs

A

(2.23)

θσρσ vtgcvswsw == (2.24)

Equação de compatibilidade das forças normais na face vertical da Figura

2.37::

0=Σ xF (2.25)

∆=∆ wclsl

sl bz

Aσσ

(2.26)

θσρσ cotvclslsl == (2.27)

52

Do círculo de Mohr das deformações específicas médias do elemento da

Figura 2.37 pode-se escrever as equações de rotação. Conhecidas as

deformações específicas εx εy e γxy em duas direções ortogonais, do círculo de

Mohr (Figura 2.40) decorrem as deformações específicas em qualquer direção.

Figura 2.40 – Círculo de Mohr das deformações específicas.

Do triângulo ABC:

22

xy

xtgγ

εεθ

−=

(2.28)

θεε

γtgx

xy)(2 2−

= (2.29)

Do triângulo A’BC’:

2

2εε

γθ

−=

y

xytg (2.30)

θεεγ tgyxy )(2 2−= (2.31)

Das equações (2.29) e (2.31):

)()(

2

22

εεεε

θ−−

=y

xtg (2.32)

Figura 2.41 – Deformações específicas na viga.

As Figuras 2.41-a e 2.41-b mostram que para valores baixos de θ a

armadura transversal apresenta maior deformação específica à tração, já para

53

valores altos de θ a armadura longitudinal é que apresenta maior deformação

específica à tração.

Para unir as tensões e deformações específicas são adotadas as relações

constitutivas dos materiais.

As condições do concreto existente na alma da viga são distintas das

condições do corpo-de-prova cilíndrico do ensaio de compressão axial, onde só

existem pequenos alongamentos devido ao efeito de Poisson, já o concreto da

alma da viga tem alongamentos e fissuras bem maiores na direção perpendicular

à tensão de compressão σcd. Por esse motivo o concreto da biela comprimida é

menos resistente e menos rígido.

Vecchio e Collins (1982) testaram elementos sujeitos ao cisalhamento puro

e estabeleceram uma lei (Figura 2.42) que relaciona a tensão e a deformação

específica no concreto em função da deformação específica de compressão, ε2,

e de tração, ε1:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

22max ´´

2cc

cc εε

εε

σσ (2.33)

onde a resistência máxima no concreto, σcdmax, é dada por:

0.1´/34.08.0

1

1

max ≤−

=cck

c

f εεσ

(2.34)

Onde ε´c é a deformação específica correspondente à tensão de pico,

geralmente em torno de – 0.002.

54

Figura 2.42 – Relação tensão x deformação para o concreto. (adaptado de Collins e Mitchell, 1987)

Um aumento na deformação específica ε1 reduz a relação σcdmax/fck, como

mostra a Figura 2.42.

A relação tensão-deformação para o aço está na Figura 2.43. A equação

de compatibilidade das armaduras antes do escoamento é dada por:

sss E εσ = (2.35)

Figura 2.43 – Relação tensão x deformação específica para o aço.

55

2.3.4. NBR 6118/2003

A seguir são apresentadas algumas prescrições da NBR 6118/2003 para o

dimensionamento e verificação de peças lineares sujeitas à força cortante

admitindo o estado limite último.

O Estado Limite Último corresponde ao colapso, ou qualquer outra forma

de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura.

A Norma admite dois modelos de cálculo baseados no modelo de treliça com uma componente adicional, Vc, que considera os mecanismos resistentes

complementares.

No modelo I as bielas de compressão têm inclinação θ = 45o em relação ao

eixo longitudinal da viga. No modelo II a inclinação das bielas, θ, pode assumir

valores entre 30o e 45o. Sendo, portanto, o modelo I uma simplificação do

modelo II, com uma modificação na parcela Vc.

No cálculo, os estribos podem ser inclinados de um ângulo α situado entre

45o e 90o.

A seguir são apresentados os métodos de cálculo pelos modelos I e II. A força cortante solicitante de cálculo VSd deve ser limitada para evitar o

esmagamento da biela de compressão e a ruína da seção por tração diagonal.

2RdSd VV ≤ (2.36)

3RdSd VV ≤ (2.37)

A tensão máxima na biela σc é dada pela resistência à compressão

reduzida do concreto, segundo a NBR 6118:

cdvc f26.0 ασ = (2.38)

onde αv2 é o fator de efetividade para o concreto que leva em conta o estado

fissurado, o abrandamento de tensões e a armadura que atravessa as fissuras:

)250

1(2ck

vf

−=α (2.39)

Com fck em MPa.

A força cortante resistente de cálculo relativa à ruína das diagonais

comprimidas de concreto, VRd2, é obtida substituindo-se a eq. (2.11) na eq. (2.38):

θαθα 222 )cot(cot54.0 sendbfV wcdvRd += (2.40)

56

A força cortante de cálculo resistente, relativa à ruína por tração diagonal, VRd3, é dada por:

swcRd VVV +=3 (2.41)

onde Vc é a parcela da força cortante resistida por mecanismos complementares

ao da treliça e Vsw é a parcela resistida pela armadura transversal. O valor de Vc

foi determinado empiricamente. O modelo de cálculo II admite uma redução no valor de Vc com o aumento de VSd.

αθα sendfs

AV ywd

swsw )cot(cot9.0 +=

(2.42)

No caso de estribos fywd é limitado por fyd.

Em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora

da seção:

0=cV (2.43)

Na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção:

1cc VV = (2.44)

Na flexo-compressão:

1max,

01 2)1( c

Sdcc V

MM

VV <+= (2.45)

M0 é o momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda

da seção (tracionada por Md,max), provocada pelas forças normais. MSd,max é o

momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise.

No modelo de cálculo I:

01 cc VV = (2.46)

No modelo de cálculo II o valor de Vc1 é calculado da seguinte forma:

01 cc VV = quando 0cSd VV ≤ (2.47)

01 =cV quando 2RdSd VV = (2.48)

No caso de valores intermediários de Vsd pode-se fazer o cálculo segundo

a equação:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=coRd

sdRdcoc VV

VVVV2

21

(2.49)

onde

dbfV wctdc 6.00 = (2.50)

c

ctkctd

ff

γinf,=

(2.51)

ctmctk ff 7.0inf, = (2.52)

57

3/23.0 ckctm ff = (2.53)

Para dimensionamento adota-se:

3Rdsd VV = (2.54)

csdsw VVV −= (2.55)

A taxa geométrica de armadura mínima prescrita na NBR é:

ywk

ctm

w

swsw f

fsensb

A2.0≥=

αρ

(2.56)

A NBR 6118 (2003) admite as seguintes reduções para o caso de apoio

direto (se a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas do

elemento estrutural, comprimindo-a):

a) a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face de apoio,

constante e igual a desta seção;

b) a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a ≤ 2d do eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a,

ser reduzida multiplicando-a por a/2d. Todavia, esta redução não se aplica às

forças cortantes provenientes dos cabos inclinados de protensão.

Estas reduções não se aplicam na verificação da resistência à compressão

diagonal do concreto.

O espaçamento máximo entre os estribos recomendado pela NBR é:

Se 267.0 Rdd VV ≤ , então mmds 3006.0max ≤= (2.57)

Se 267.0 Rdd VV > , então mmds 2003.0max ≤= (2.58)

A seguir são apresentadas as equações para o cálculo da parcela da força

cortante resistida por mecanismos complementares ao da treliça em algumas

normas internacionais. Eurocode 2 (2001)

3/1)100(18.0 cklwc fkdbV ρ= (2.59)

Onde:

02,0≤=db

A

w

sllρ

(2.60)

0,22001 ≤+=d

k (2.61)

ACI 318 (1995) Para elementos sujeitos apenas à flexão e ao cortante:

58

dbfV wcc ´16607.0= (2.62)

CSA-A23 Standard (1995)

dbfV wccc ´2.0 φ= (2.63)

2.4. Reforço ao Esforço Cortante com Compósito de Fibra de Carbono

2.4.1. Considerações Gerais

O reforço é necessário em diversas situações como:

- quando a estrutura é solicitada a suportar cargas com valores superiores

àqueles para os quais ela foi projetada;

- durante o processo de reforma, elementos estruturais ou paredes podem

ser modificados ou removidos, levando à redistribuição de forças e à

necessidade de reforço local;

- quando ocorre deterioração da estrutura ao longo do tempo, devida à

degradação normal ou ação de agentes agressivos (que é um problema comum

em pontes);

- quando há erros de projeto ou construção que podem colocar em dúvida

a segurança do elemento estrutural;

- na ocorrência de acidentes como choques ou incêndios.

Em cada um dos casos deve-se avaliar o método de reforço mais eficiente.

Tal avaliação deve levar em consideração fatores como: impacto na estrutura

existente e na arquitetura do local, vida útil do reforço, segurança, facilidade de

aplicação e custo.

A seguir são apresentados alguns métodos de reforço à força cortante em

vigas de concreto armado:

a) Aumento da seção transversal (Figura 2.44): o concreto no topo da laje

é removido, um novo estribo é colocado em torno da seção transversal e a seção

recebe uma nova camada de concreto. Apesar de ser muito eficiente esse

método consome muito tempo e, em muitos casos, não compensa

financeiramente.

59

Figura 2.44 – Aumento da seção transversal (adaptado de Täljsten, 2003).

b) Barras de aço na seção transversal: as barras podem ser protendidas

ou não, podem ser colocadas externamente (Figura 2.45-a) ou cruzar a seção

(Figura 2.45-b). Durante a execução há o risco de cortar a armadura de flexão,

além disso, pode ser necessário um revestimento de concreto acima dos

parafusos.

Figura 2.45 – Barras de aço na seção transversal (adaptado de Täljsten, 2003).

c) Concreto projetado com fibras de aço (Figura 2.46): esse método

oferece um aumento de resistência limitado.

Figura 2.46 – Concreto projetado com fibras de aço (adaptado de Täljsten, 2003).

d) Placa de aço colada externamente (Figura 2.47): são coladas

externamente com epóxi. Esse método foi o precursor do sistema de reforço com

mantas ou lâminas de compósitos de fibra de carbono.

60

Figura 2.47 – Placa de aço colada externamente (adaptado de Täljsten, 2003).

e) Protensão externa com cabo de aço (Figura 2.48): é feito apenas um

pequeno corte na laje, o cabo de aço é colocado externamente e protendido. Os

cabos ficam sujeitos a vandalismo e algum revestimento no topo da laje pode ser

necessário.

Figura 2.48 – Protensão externa com cabo de aço (adaptado de Täljsten, 2003). f) Reforço com compósito colado externamente

Os estudos sobre o reforço à força cortante de vigas de concreto armado

utilizando materiais compósitos ainda são limitados e, de certa forma,

controversos. Verifica-se que, apesar da existência de alguns estudos sobre o

reforço ao cortante de vigas de concreto armado, os procedimentos de

verificação e dimensionamento destes elementos são, ainda, bastante

complexos. Os modelos analíticos propostos são diversos e, em alguns casos,

contraditórios (Triantafillou, 1998).

Para a execução do reforço em uma estrutura, o concreto existente deve

ser de qualidade aceitável, já que o comprimento de ancoragem é limitado, e

deve ser preparado, ou reparado se necessário. Para evitar a ruptura do reforço

devido a concentrações de tensão nas arestas, estas devem ser arredondadas

com um raio mínimo de 35 mm (ISIS, 2001).

O reforço de vigas à força cortante com compósitos de fibras de carbono

pode ser aplicado de forma contínua (Figura 2.49-a) ou em faixas espaçadas

(Figura 2.49-b), respeitando um limite para o espaçamento máximo. A inclinação

das fibras pode variar, entre 45o e 90o com relação ao eixo principal da viga A

aplicação do reforço à 45o maximiza o efeito do compósito, porém, é mais prático

colar o compósito com as fibras perpendiculares ao eixo da viga.

61

Figura 2.49 - Reforço contínuo ou em faixas (adaptado de fib, 2001).

Há três possíveis configurações de reforço com compósitos: colado

apenas nas laterais (Figura 2.50-a), em “U” (Figura 2.50-b) ou envolvendo

completamente a seção (Figura 2.50-c e 2.50-d). O envolvimento completo da

seção é o mais eficiente, porém este tipo de reforço nem sempre é possível,

além de ser o mais difícil de executar, podendo tornar-se financeiramente

inviável. Em seguida, vem o reforço por envolvimento em “U”, o reforço apenas

nas laterais que é o menos eficaz, pois proporciona um comprimento de

ancoragem na maioria das vezes ineficaz.

Figura 2.50 – Configurações de reforço

É possível, ainda, ancorar o reforço de compósito na zona de compressão

da viga como ilustra a Figura 2.51.

62

Figura 2.51 – Tipos de ancoragem (adaptado de fib, 2001).

A maioria dos modelos de cálculo existentes trata o reforço com polímeros reforçados com fibras de carbono (carbon fiber reinforced polymers - CFRP) de

forma análoga à armadura transversal interna de aço, sendo a força cortante total resistida pela seção (VR) dada pela soma das parcela de força cortante

resistidas pela armadura transversal interna de aço (Vs), pelo concreto (Vc), e

pelo reforço externo colado (Vf).

fscR VVVV ++= (2.58)

Em situações normais, uma estrutura de concreto é projetada para

desenvolver grandes deformações antes da ruptura, o que é associado à ruptura

por flexão. No caso da força cortante, a ruptura ocorre de maneira frágil sem

apresentar grandes indícios de esgotamento da sua capacidade portante.

A ruptura por força cortante em elementos de concreto armado ocorre de

maneira súbita e catastrófica e deve ser evitada ainda durante a etapa de projeto

(Beber 2003).

São observados dois modos de ruptura à força cortante em vigas de

concreto armado (Figura 2.52):

a) Ruptura por esmagamento da biela comprimida: ocorre quando a tensão

de compressão na biela excede a resistência à compressão do concreto, que é

reduzida devido o seu estado fissurado.

b) Ruptura por tração diagonal: ocorre em um plano perpendicular à

direção da biela comprimida surgem tensões de tração. Se essas tensões de

tração se tornarem muito elevadas a viga irá romper através de uma fissura

diagonal, muitas vezes por escoamento da armadura transversal de aço (Carolin

2001).

63

Figura 2.52 – Modos de ruptura ao cortante (adaptado de Täljsten, 2003).

Na viga reforçada os modos de ruptura devido à força cortante observados

são (Figura 2.53):

a) Esmagamento da biela comprimida

b) Ruptura do compósito à tração: ocorre por deformação específica

excessiva do compósito, que rompe com uma deformação específica menor do

que a deformação última na ruptura por tração do compósito.

c) Descolamento do compósito: acontece por ancoragem insuficiente.

Figura 2.53 – Modos de ruptura ao cortante da viga reforçada (adaptado de Täljsten, 2003).

2.4.2. Modelos de Cálculo da Parcela da Força Cortante Resistida pelo Reforço Externo em Vigas de Concreto

A principal diferença entre os modelos para a obtenção da parcela da força cortante resistida pelo reforço externo colado, Vf, é o cálculo da tensão atingida

no FRP no momento da falha da viga, por ruptura ou por descolamento do

compósito.

Chen e Teng (2003 a, b) adotaram um modelo onde a tensão máxima é

calculada e multiplicada por um fator de distribuição, resultando na tensão média

64

no FRP no Estado Limite Último. Na ruptura são levados em consideração

fatores como a tensão máxima à tração no compósito e tipo de reforço. No

descolamento, são levados em conta ensaios de ancoragem, resistência à

tração do concreto, módulo de elasticidade e espessura do reforço e o

comprimento efetivo de ancoragem normalizado, dado em função da resistência

à tração do concreto, da geometria, da rigidez e do tipo do reforço.

Triantafillou e Antonopoulos (2000) adotaram um cálculo para a

deformação específica efetiva (que é a deformação específica correspondente à

tensão no FRP no momento da falha da viga) baseado em 75 resultados

experimentais em função da resistência à tração do concreto, da taxa geométrica

e do módulo de elasticidade do compósito. No descolamento não são

diferenciados reforço em “U” ou colado apenas nas laterais. Na ruptura também

é levada em conta a deformação específica última do compósito.

Khalifa et al. (1998) também adotaram um modelo de cálculo da

deformação específica efetiva baseado em resultados experimentais. Na ruptura

o valor para a deformação específica efetiva é dado em função do módulo de

elasticidade, da taxa geométrica e da deformação específica última do

compósito, sem diferenciar o tipo de reforço. No descolamento a deformação

específica efetiva é calculada em função da resistência à tração do concreto, do

tipo de reforço e do comprimento efetivo de ancoragem que varia com a rigidez

do compósito.

Khalifa e Nanni (2000) utilizaram o mesmo modelo de Khalifa et al. (1998)

para o cálculo da deformação específica efetiva na ruptura do compósito e

estabeleceram um novo modelo para o cálculo no descolamento, baseado nos

mesmos fatores do modelo de Khalifa et al. (1998) porém, com comprimento

efetivo de ancoragem constante.

A maioria dos autores também considera um limite para a deformação

máxima no compósito.

2.4.2.1. Modelo de Chen e Teng (2003 a, b)

Para um esquema geral de reforço, sendo θ o ângulo de inclinação da

fissura diagonal em relação ao eixo longitudinal da viga, considerando que as

faixas de FRP têm a mesma largura e estão coladas nos dois lados da viga, a

contribuição do reforço de FRP à resistência ao cortante da viga é dada por:

65

f

fefffef s

hwtfV

)sen()cot(cot2

ββθ +=

(2.59)

onde ffe é a tensão média no FRP que costura a fissura diagonal no estado limite

último.

Figura 2.54 - Viga reforçada (adaptada de Chen e Teng, 2003a).

É assumido que a ponta da fissura está à distância de 0.1d abaixo da face

comprimida da viga. Adotando um sistema de coordenadas orientado para baixo e com origem na ponta da fissura (Figura 2.54), a altura efetiva do FRP, hfe, é

expressa como:

tbfe zzh −= (2.60)

onde zb e zt são as coordenadas da base e do topo do FRP respectivamente.

[ ] ddhdz fb 1.0)( −−−= (2.61)

ftftt ddddz =−+= 1.0)1.0( (2.62)

Onde dft é a distância da face comprimida à borda superior do FRP (logo, dft = 0

para reforço com envolvimento completo da seção) e df é a distância da face

comprimida à borda inferior do reforço.

Figura 2.55 - Detalhe do reforço contínuo (Adaptada de Chen e Teng, 2003a)

Deve-se ressaltar que no reforço contínuo, para considerar a direção principal das fibras (Figura 2.55), a relação entre sf e wf é:

66

βsenw

s ff =

(2.63)

A distribuição de tensão no FRP ao longo da fissura não é uniforme no

estado limite último, tanto para a falha por ruptura do compósito quanto para a

falha por descolamento do FRP. A tensão média no FRP é dada por:

maxfffe Df σ= (2.64)

onde σfmax é a tensão máxima alcançada pelo reforço de FRP atravessado pela

fissura e Df é o fator de distribuição de tensão definido por:

maxf

fef

fD

σ=

(2.65)

Os valores para Df e σfmax dependem se a falha é controlada por ruptura ou

descolamento do compósito e serão definidos a seguir.

Modelo de Cálculo Considerando Falha por Ruptura do Compósito

Este modelo é aplicado a todas as vigas com seção completamente

envolvida pelo reforço, e também em vigas com reforço em ”U” ou colado

apenas nas laterais que possuem um esquema de ancoragem especial. As vigas

com reforço em “U” podem falhar tanto por ruptura quanto por descolamento do

compósito,portanto deve-se considerar este modelo e o modelo considerando a

falha por descolamento do compósito.

Nas vigas reforçadas que têm a resistência ao cortante controlada pela

ruptura do compósito, o processo de ruptura se inicia quando o ponto mais

tracionado do FRP atravessado pela fissura alcança a sua resistência última de

tração. Uma vez iniciada, a ruptura do FRP irá se propagar rapidamente ao

longo da fissura, levando a viga a uma falha catastrófica.

Para desenvolver um modelo cuidadoso para o cálculo da resistência à

força cortante de uma viga reforçada, uma distribuição racional de tensão no

FRP deve ser assumida e considerada em conjunto com a fragilidade do

compósito.

Os autores propuseram uma distribuição geral de tensões parabólica ao

longo da fissura, com uma distribuição linear como caso simplificado. Para a

distribuição de tensões linear no FRP ao longo da fissura, a tração no FRP

aumenta desde zero na ponta da fissura até a resistência última de tração no fim

da fissura. A distribuição linear de tensões é recomendada, pelos autores, para

um modelo simples e conservativo de uso prático.

Para um esquema geral de reforço mostrado na Figura 2.54 o fator de

distribuição de tensões é expresso por:

67

21 ζ+

=fD (2.66)

Onde

b

t

zz

=ζ (2.67)

Para reforço colado em toda a lateral da viga, ζ = 0 logo Df = 0.5.

A tensão máxima no FRP é:

ff f=maxσ (2.68)

onde ff é a tensão é a resistência última à tração do compósito.

Para efeito de dimensionamento a tensão máxima no FRP deve ser obtida

por:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤=

maxmax

max

max 8.0

8.0

minε

γε

εγ

σ

f

f

f

f

f

f

f

f

f

Ef

seE

Ef

sef

(2.69)

onde γf é o coeficiente de segurança adotado por Chen e Teng para a resistência

à tração no compósito, γf =1.25.

O fator de 0.8, introduzido na eq. (2.69) leva em conta efeitos não

considerados neste modelo, como efeito da aresta da viga na resistência à

tração do FRP, se estas não forem devidamente suavizadas.

A eq. (2.69) também inclui um limite para a deformação máxima no FRP

(εmax) para controlar a abertura da fissura. O limite sugerido pelos autores é de

1.5%.

Deve-se ressaltar que as equações (2.68) e (2.69) não podem ser usadas

nos casos em que a resistência última da viga é alcançada antes da ruptura do

compósito.

Tomando como exemplo uma viga de concreto sem armadura transversal

e com reforço colado em suas laterais, a força cortante total na seção é resistida

pelo concreto e pelo reforço externo. A força resistida pelo FRP aumenta

continuamente com o aumento da abertura da fissura, enquanto que a força

resistida pelo concreto (incluindo efeito de encavilhamento, engrenamento de

agregados e a força resistida pela seção não fissurada de concreto) pode

aumentar ou permanecer estável se a abertura da fissura for pequena. Quando a

abertura da fissura aumenta, a força resistida pelo concreto pode reduzir, mas a

força total resistida pelo concreto e reforço ainda aumenta se a abertura da

fissura não for muito grande. Neste caso, a resistência da viga alcança um

68

máximo quando o FRP chega a sua tensão última de tração, levando o FRP à

ruptura (Figura 2.56-a).

Entretanto, se a abertura da fissura se tornar muito grande antes da

ruptura do compósito, a força cortante resistida pelo concreto (especialmente

engrenamento de agregados) pode cair rapidamente. Quando esse decréscimo

corresponde ao aumento de resistência alcançado pelo FRP, a viga então

alcança a sua resistência máxima antes da ruptura do compósito. Neste caso é

necessário limitar a deformação específica máxima no FRP (Figura 2.56-b).

Figura 2.56 – Gráficos Força cortante x abertura da fissura (adaptada de Teng et al., 2001).

Modelo de Cálculo Considerando Falha por Descolamento do Compósito

O descolamento do FRP da superfície de concreto é o modo de ruptura

predominante de vigas reforçadas com compósito colado apenas nas laterais.

Este modo também controla a resistência da maioria das vigas com reforço em

“U”.

Um aspecto importante no comportamento de ancoragem do compósito é

que existe um comprimento efetivo de ancoragem além do qual um aumento na

sua extensão não proporcionará uma resistência de ancoragem maior. Há uma

diferença fundamental entre reforço externo colado e reforço interno. Para o

último, um comprimento de ancoragem suficientemente longo sempre pode ser

69

obtido, então, a resistência total de tração do reforço pode ser alcançada, desde

que haja um cobrimento suficiente de concreto.

Chen e Teng (2003 a, b) desenvolveram um modelo para avaliar a

resistência de ancoragem e o comprimento efetivo de ancoragem para o

compósito colado na superfície de concreto, que foi baseado em ensaios simples

ao cisalhamento (Figura 2.57).

Figura 2.57 – Testes realizados por Chen e Teng (adaptada de Chen e Teng, 2003a).

Na falha por descolamento do FRP que costura uma fissura, a tensão

máxima no compósito ocorre onde o FRP tem o maior comprimento de

ancoragem. A tensão máxima no FRP, σfmax, é limitada tanto pela resistência

ultima de ancoragem quanto pela resistência à tração do FRP:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

f

cfLw

f

f

tfE

f

`427.0

minmax ββσ

(2.70)

O valor para a resistência de ancoragem de projeto é obtido usando o valor

característico de 95% da curva de distribuição característica de Chen e Teng

(2001):

70

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

f

cfLw

b

b

f

f

tfE

f

`315.0

8.0

minmax

ββγ

γσ

(2.71)

onde γb é o coeficiente de segurança para resistência de ancoragem, igual a

1.25, o coeficiente βL leva em conta o efeito do comprimento de ancoragem e o

coeficiente βw reflete o efeito da razão entre a largura do FRP e do concreto

(bf/bc) nos ensaios realizados pelos autores (Figura 2.57), representados aqui

pela largura do compósito e o espaçamento entre faixas.

⎪⎩

⎪⎨⎧

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≥= 1

2

11

λλπλ

β sesen

seL

(2.72)

β

ββ

senswsensw

f

f

f

f

w

+

−

=1

2

(2.73)

O comprimento máximo de ancoragem normalizado λ é dado por:

eLLmax=λ

(2.74)

O comprimento máximo de ancoragem Lmax depende do tipo de ancoragem

do reforço:

Para envolvimento em “U”, o máximo comprimento de ancoragem ocorre

na extremidade inferior da fissura (Figura 2.58-b):

βsenh

L fe=max (2.75)

Para reforço colado apenas nas laterais, o comprimento máximo de

ancoragem está localizado no meio da altura (Figura 2.58-a):

βsenh

L fe

2max = (2.76)

O comprimento de ancoragem efetivo Le é calculado por:

c

ffe f

tEL

`=

(2.77)

A resistência de ancoragem em um ponto da faixa do reforço depende de

onde a fissura se encontra em relação à extremidade do FRP, assim, o fator de distribuição de tensões, Df, é dado por:

71

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−

−

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

121

1

2

2cos1

2

λλπ

π

λλπ

λπ

λπ

se

sesenD f

(2.78)

Para uma mesma geometria, o valor de Df é maior para reforço colado

em “U” do que para o colado apenas nas laterais, por causa da diferença no

valor de λ. Esta diferença no valor de Df reflete a maior eficiência do reforço em

“U” em comparação ao reforço colado apenas nas laterais.

Deve-se tomar um cuidado especial no cálculo da resistência de vigas nas

regiões de momento negativo, onde a face superior está tracionada e a inferior

comprimida. Como nestas regiões a fissura se inicia no topo da viga, as

grandezas indicadas na Figura 2.54 devem ser medidas a partir da face inferior

da viga.

Espaçamento das faixas O modelo apresentado leva em conta que o número de faixas que

interceptam uma fissura é suficiente (duas ou mais). Entretanto, este tratamento

pode levar a resultados conservativos ou não, dependendo da localização das

faixas. Alguns casos extremos são mostrados na Figura 2.58.

Figura 2.58 – Posições eficazes ou ineficazes das faixas de FRP (adaptada de Chen e Teng, 2003a).

72

Para que um esquema de reforço à força cortante seja eficiente, o

espaçamento entre as faixas não deve exceder metade do comprimento

horizontal da fissura, assim, ao menos duas faixas interceptarão a fissura, e,

pelo menos uma de forma eficiente.

2)cos(

max

ββ +=≤

senhss fe

ff (2.79)

Em todas as equações mostradas as unidades são em MPa e mm.

2.4.2.2. Modelo de Triantafillou e Antonopoulos (2000)

O reforço externo de FRP à força cortante pode ser tratado em analogia ao

reforço interno de aço, assumindo que no Estado Limite Último (tração diagonal

do concreto) o FRP desenvolve uma deformação específica efetiva εf,e, na

direção principal do material, menor do que a deformação última de ruptura à

tração εf,u. A contribuição do FRP para a resistência à força cortante é dada por:

ββρε sendbEV wffeff )cot1(9.0 , += (2.80)

O valor de projeto da parcela resistente referente ao reforço externo é:

ββργε

sendbEV wfff

efkf )cot1(9.0 , +=

(2.81)

Os coeficientes de segurança sugeridos pelos autores são dados na

Tabela 2.3

Tabela 2.3 – Coeficientes de segurança para os compósitos para o modelo de Triantafillou e Antonopoulos (2000).

Tipo de Falha γf - CFRP γf - AFRP γf – GFRP

Ruptura do Compósito 1.20 1.25 1.30

Descolamento do Compósito 1.30 1.30 1.30

εfk,e ≤ εmax 1.30 1.30 1.30

A deformação específica efetiva característica no FRP, εfk,e, pode ser

aproximada pela multiplicação da deformação específica efetiva εf,e por um fator

de redução α = 0.8, e deve ser limitada por εmax = 0.005 para garantir que a

integridade do concreto seja suficiente para manter ativo outros mecanismos,

como engrenamento de agregados.

max,, εεαε ≤= efefk (2.82)

73

O fator principal para estimar o valor de εf,e é identificar o estado do

material do reforço na falha do elemento de concreto por força cortante, que é

sempre definida por tração diagonal do concreto. Como a Figura 2.59 ilustra, isto

pode ocorrer prematuramente, como resultado do descolamento do reforço

externo, ou depois do FRP ter alongado consideravelmente. Neste último caso, o

FRP pode romper exatamente no pico de carga ou um pouco depois, devido à

sobrecarga na vizinhança da fissura diagonal.

Figura 2.59 – Gráfico carga x deslocamento (adaptada de Triantafillou e Antonopoulos, 2000).

No Estado Limite Último, um certo grau de descolamento do FRP da

superfície de concreto é sempre esperado, mesmo que a falha não ocorra por

descolamento. Este descolamento é atribuído à deformação específica

excessiva no reforço que resulta em incompatibilidades de deformações com o

material do substrato (concreto). As fissuras causam concentrações de tensões

que produzem um descolamento local. Assim, um meio de determinar εf,e

depende do comprimento de ancoragem do FRP, da sua relação com o

“comprimento efetivo de ancoragem”, ao longo do qual as tensões cisalhantes

entre o FRP e a superfície de concreto são desenvolvidas, e da relação entre

este último e o “comprimento de desenvolvimento”, que define o comprimento

necessário para o FRP alcançar sua tensão de tração de ruptura antes de

descolar. O comprimento de desenvolvimento é proporcional à rigidez axial do

FRP, expressa por Efρf, e é inversamente proporcional à resistência do concreto

à tração, que é proporcional à fc2/3, ou seja, εf,e é função de Efρf/ fc

2/3.

O modelo foi calibrado com 75 resultados experimentais, usados para

produzir as curvas (Figura 2.60) para descolamento do reforço e ruptura do

reforço, ambas em função de Efρf/ fc2/3. Os dados na curva (Figura 2.61) são, na

maior parte, de CFRP, com poucos resultados de GFRP e nenhum de AFRP,

74

entretanto, o tipo de fibra não deve afetar εf,e consideravelmente no caso de

descolamento. No caso de ruptura, a deformação depende do tipo de compósito,

devido à grande diferença na deformação específica de ruptura entre esses

materiais.

Figura 2.60 – Gráfico de deformação específica efetiva em função de Efρf/fcm

2/3 para descolamento do reforço (adaptada de Triantafillou e Antonopoulos, 2000).

Figura 2.61 – Gráfico da relação εf,e/εfu em função de Efρf/fcm

2/3 para ruptura do reforço (adaptada de Triantafillou e Antonopoulos, 2000).

75

Finalmente, os resultados experimentais sugerem que o descolamento não

é dominante nos casos da seção completamente envolvida pelo reforço de

CFRP ou AFRP.

A expressão para εf,e é dada de acordo com o tipo de ancoragem do

reforço:

Seção com envolvimento completo de CFRP:

ufff

cefk E

f,

30.03/2

, 17.0 ερ

ε ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

(2.83)

Seção com reforço nas laterais ou em “U”:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

−

ufff

c

ff

c

efk

Ef

Ef

,

30.03/2

3

56.03/2

,

17.0

1065.0min

ερ

ρε

(2.84)

Seção com envolvimento completo de AFRP:

ufff

cefk E

f,

47.03/2

, 48.0 ερ

ε ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

(2.85)

onde εf,u é a deformação específica última no compósito.

Em todas as equações fc está em MPa e Ef está em GPa.

Figura 2.62 – Contribuição do CFRP para a resistência à força cortante para dois valores de resistência à compressão do concreto e dois esquemas de ancoragem (adaptada de Triantafillou e Antonopoulos, 2000).

76

Na Figura 2.62 a contribuição do reforço para a resistência à força cortante

é mostrada em função de dois valores para a resistência do concreto à

compressão, fc = 20MPa e fc = 40MPa, assumindo εf,u = 0.015 e β = 90o. Para

valores de Efρf abaixo de um certo limite, (Efρf)lim, a resistência é governada pela

deformação específica máxima εmax e a contribuição do reforço à força cortante é

proporcional à Efρf. Para valores de Efρf que excedem (Efρf)lim, a falha é

governada por ruptura ou descolamento do compósito. Pode-se observar que

para falha por descolamento (reforço em “U” ou colado apenas nas laterais) o

aumento da resistência ao cortante com Efρf é relativamente pequeno, mas a

resistência do concreto tem um papel importante. Para falha por ruptura do

compósito (seção completamente envolvida pelo reforço), o aumento da

resistência à força cortante com Efρf é substancial e a resistência do concreto

tem importância secundária.

É sugerido que Efρf não exceda o limite de (Efρf)lim para evitar falha por

descolamento, a não ser que seja utilizado um esquema especial de ancoragem.

Este valor é dado por:

( ) 3/23/256.01

max

3

lim018.01065.0

ccff ffE =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

εαρ

(2.86)

O espaçamento entre as faixas não deve ultrapassar 0.8d, para que a

fissura diagonal não se forme sem interceptar uma faixa do reforço.

Como foi observado, o método mais eficaz de reforço é o envolvimento

completo da seção. Quando esta configuração não é possível, é recomendado

que as faixas de reforço sejam ancoradas na zona de compressão do elemento

de concreto através da utilização de uma ancoragem mecânica.

2.4.2.3. Modelo de Khalifa et al. (1998)

A contribuição do reforço à força cortante colado externamente depende

de vários fatores: a rigidez do FRP, a qualidade da resina epóxi, a resistência à

compressão do concreto, o número de camadas de CFRP, o esquema de

envolvimento da seção com o reforço e a orientação das fibras. Este estudo

apresenta duas equações para obter o valor da parcela da força cortante resistida pelo reforço, tomando-se Vf como o menor valor entre os dois

77

resultados. Essas duas equações representam os dois possíveis modos de

falha.

O valor de Vf pode ser escrito no formato da norma ACI 440 (2001) como:

f

ffeff s

dsenfAV

)cos( ββ +=

(2.87)

onde

ffefe Ef ε= (2.88)

fff wtA 2= (2.89)

Para reforço contínuo os valores de wf e sf devem ser iguais.

O fator de segurança para o valor de Vf sugerido pelos autores é φ = 0.7.

Modelo de Cálculo Baseado na Ruptura do Compósito

Os resultados experimentais e os conceitos apresentados por Triantafillou

(1997) indicam que a ruptura do CFRP ocorre em um nível de tensão abaixo da

resistência última do CFRP (tensão efetiva) devido a concentrações de tensões.

Khalifa et al. sugerem um modelo para o cálculo da tensão efetiva no CFRP

fundamentado no modelo apresentado por Triantafillou (1997), com algumas

modificações baseadas na observação de que Efρf não excede o valor de 1.1

GPa em todos os resultados experimentais.

Figura 2.63 – Gráfico da relação εfe/εfu em função da rigidez axial. (Adaptada de Khalifa et al., 1998)

78

Para eliminar os efeitos dos diversos tipos de fibra, a razão entre a

deformação específica efetiva e a última, R = εfe/εfu, é traçada em função da

rigidez axial. O polinômio que se ajusta melhor aos resultados experimentais

(Figura 2.63) com Efρf < 1.1 GPa é:

( ) ( ) 50.0778.02188.15622.0 2 ≤+−= ffff EER ρρ (2.90)

O valor máximo de 0.50 limita a deformação no FRP na ordem de 0.004 e

0.005, a fim de manter a integridade do concreto. A abertura da fissura se torna

muito grande para deformações específicas muito altas, e o efeito de

engrenamento de agregados pode ser perdido, diminuindo significativamente a

resistência do concreto ao esforço cortante.

A razão entre deformação específica efetiva e deformação específica última, R, pode ser usada como um fator de redução da deformação específica

última. Assim, a deformação específica efetiva pode ser calculada como:

fufe Rεε = (2.91)

Os dados experimentais usados para a obtenção do polinômio que descreve R incluem dois tipos diferentes de materiais (CFRP e AFRP), três

configurações de reforço (nas laterais, em “U” e envolvimento completo), reforço

contínuo e em faixas espaçadas, orientação das fibras a 45o ou 90o e reforço

com uma ou duas camadas. Todos os dados foram aproximados por uma única

curva. Os autores sugerem que uma modificação para cada grupo deva ser feita

futuramente. Além disso, como o número de resultados experimentais de vigas

reforçadas com AFRP é pequeno, os autores alertam que este modelo deve ser

usado apenas para CFRP.

O ângulo de orientação das fibras nos resultados experimentais é limitado

a 45o ou 90o, porém a eq. (2.87) sugere a aplicação de qualquer ângulo inclusive

0o. Mais resultados experimentais são necessários para validar a aplicação desta

equação para outras orientações das fibras.

Modelo de Cálculo Baseado no Descolamento do Compósito

Depois de desenvolvidas as fissuras diagonais no concreto, altas tensões

de tração são desenvolvidas nas vizinhanças do FRP. As tensões de tração

orientadas verticalmente no reforço de FRP resultam de um deslocamento de

corpo rígido no concreto de cada lado da fissura. Estas tensões de tração devem

ser transferidas para o concreto de cada lado da fissura através de tensões de

79

aderência. Se esta tensão de aderência é comprometida antes da ruptura do

CFRP, ocorre a falha por descolamento do compósito.

Baseados no estudo de Maeda (1997), sobre o mecanismo de aderência

entre o concreto e o CFRP através de testes de tração simples, Khalifa et al.

apresentam um modelo de cálculo empírico que aplica conceitos de

comprimento efetivo de ancoragem e de tensão média de ancoragem para

estimar a resistência do CFRP ao descolamento.

De acordo com as observações feitas por Maeda, para comprimentos de

ancoragem maiores do que 100 mm, a força última de tração que o CFRP resiste

não é função do seu comprimento de ancoragem, pois nos estágios iniciais de

carregamento a carga é sustentada pela ancoragem na vizinhança do ponto de

carregamento. Se o descolamento ocorre neste local, a área de ancoragem é

transferida para uma nova área. Esta ação se repete até que o descolamento se

propague completamente através do comprimento do CFRP. Portanto, tensões

de ancoragem são transferidas apenas pelas áreas ativas de ancoragem. O

comprimento do CFRP que inclui esta área depende do comprimento efetivo de

ancoragem.

Com o aumento na rigidez do compósito o comprimento efetivo de

ancoragem diminui. A equação para determinar o comprimento efetivo de ancoragem Le é dada por:

( )ff Ete eL ln58.0134.6 −= (2.92)

Além da rigidez do compósito, a tensão de ancoragem depende também

da resistência à compressão do concreto.

Uma vez desenvolvida a fissura diagonal, apenas a porção da largura do

FRP, que passa pela fissura, e que excede o comprimento efetivo de ancoragem é capaz de sustentar a força cortante. A largura efetiva, wfe é baseada no ângulo

de inclinação da fissura diagonal, assumido como 45o, e no esquema de reforço

da Figura 2.64:

80

Figura 2.64 – Largura efetiva do reforço. (Adaptada de Concrete Society, 2000)

Para seção completamente envolvida pelo reforço:

ffe dw = (2.93)

Para seção com reforço em “U”:

effe Ldw −= (2.94)

Para seção com reforço apenas nas laterais:

effe Ldw 2−= (2.95)

Assim, a expressão para a deformação específica efetiva para

descolamento é:

f

fecefe d

wfkL

3/2

42`⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ε

(2.96)

onde k é uma constante determinada experimentalmente, k = 110.2 x 10-3.

2.4.2.4. Modelo de Khalifa e Nanni (2000)

O modelo descreve os dois possíveis mecanismos de falha do reforço de

CFRP separadamente, ruptura ou descolamento. Mais tarde, dois limites para a

contribuição do CFRP são propostos. O primeiro controla a abertura da fissura

diagonal e a perda do engrenamento dos agregados e o segundo previne o

esmagamento da biela de concreto causado por compressão diagonal.

Este modelo é resultado de modificações, feitas pelos autores, nos modelo

propostos por Maeda et al. (1997) e Khalifa et al. (1998).

81

A parcela da força cortante resistida pelo reforço de CFRP é:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≤

+= s

wc

f

ffeff V

dbfs

dsenfAV

3´2)cos( ββ

(2.97)

Onde Af e ffe são os mesmos parâmetros dados pelas equações (2.88) e (2.89)

respectivamente.

O fator de segurança para Vf é φ = 0.7.

O limite em função da resistência do concreto e da armadura transversal

na eq. (2.97) visa evitar o esmagamento da biela.

O espaçamento entre as faixas de CFRP não deve exceder o limite

apresentado na eq. (2.98) para que nenhuma fissura diagonal se forme sem

interceptar uma faixa do reforço.

4dws ff +≤

(2.98)

A tensão efetiva no CFRP, ffe, menor do que a resistência nominal do

reforço, é calculada aplicando-se um fator de redução à resistência nominal, ffu:

fufe fRf = (2.99)

O fator de redução R depende do modo de falha predominante.

Coeficiente de redução para ruptura do compósito

O coeficiente de redução é adotado de Khalifa et al. (1998), sendo uma

função da rigidez do compósito:

( ) ( ) 778.02188.15622.0 2 +−= ffff EER ρρ (2.100)

A eq. (2.100) é válida para ρfEf ≤ 0.7 GPa.

Coeficiente de redução para descolamento do compósito

Este coeficiente é função da rigidez do compósito, da resistência do

concreto, do comprimento efetivo do reforço e da configuração de ancoragem do

reforço.

Antes do coeficiente de redução é necessário determinar o comprimento efetivo de ancoragem, Le. Miller (1999) mostrou através de estudos

experimentais e analíticos que o comprimento de ancoragem aumenta quando a

rigidez do compósito aumenta. No entanto, Miller (1999) sugeriu um valor constante para Le igual a 75 mm.

82

Como em Khalifa et al. (1998), uma largura efetiva, wfe, é adotada para o

reforço em “U” ou colado apenas nas laterais da viga de acordo com as

equações (2.94) e (2.95) respectivamente.

A expressão para o coeficiente de redução é expressa por:

63/2

10)](06.493.738[)`( −×−= ff

ffu

fec tEd

wfR

ε

(2.101)

A eq. (2.101) pode ser aplicada para rigidez do compósito, Eftf, entre 20 e

90mm-GPa. Limite superior para o coeficiente de redução

Para controlar a abertura da fissura diagonal e a perda do engrenamento

de agregados é sugerido o limite de 0.006/εfe para R, assim, o valor máximo para

a deformação específica efetiva, εfe, é da ordem de 0.004 (incluindo o fator de

segurança).

O coeficiente de redução final é o menor entre os três valores, incluindo os

dois modos de falha e o limite superior.

Para reforço em “U” com ancoragem especial ou por envolvimento

completo da seção, não é considerado o modo de falha por descolamento do

compósito.

2.4.2.5. ACI Committee 440 (2001)

O ACI considera que as fibras podem ser orientadas a 90o ou

perpendiculares às potenciais fissuras devidas à força cortante.

A resistência adicional fornecida pelo reforço de FRP é baseada em vários

fatores, como geometria da viga, esquema de envolvimento com o reforço,

resistência do concreto existente etc.

As propriedades do material fornecidas pelo fabricante, como tensão última

de tração e deformação específica do compósito na ruptura, não consideram a

exposição às condições ambientes por longo tempo, o que pode reduzi-las, por

isso o ACI 440 determina a utilização dos fatores de redução para a fibra de

carbono, dados na Tabela 2.4, que variam de acordo com as condições de

exposição do reforço. Os valores para os fatores de redução são conservativos.

83

Tabela 2.4 – Fator de Redução para o CFRP dado pelo ACI 440 (2001). Condição de exposição Fator de Redução, CE

Interior 0,95

Exterior 0,85

Condições agressivas 0,85

Como o FRP é um material linearmente elástico até a ruptura, o módulo

de elasticidade do compósito é determinado pela lei de Hooke, não sendo

afetado pelas condições ambientais.

O coeficiente de segurança adotado pela norma ACI 318 (1995) é o

mesmo para o concreto, o aço e o reforço, φ = 0,85. Um coeficiente de

segurança adicional é aplicado para o reforço de FRP, ψf, para envolvimento

completo da seção ψf = 0,95 e para reforço em “U” ou apenas nas laterais ψf =

0,85.

O valor da resistência à força cortante (eq. 2.102) é dado como a soma das parcelas resistidas pelo concreto (Vc), pela armadura transversal (Vs) e pelo

reforço externo (Vf), com os devidos fatores de segurança.

( )fcR VVV ψφ ++= sV (2.102)

A contribuição do reforço é calculada como (unidades no SI):

( )f

ffefvf s

dfAV

αα cossin +=

(2.103)

onde:

fffv wnt2A = (2.104)

ffefe Ef ε= (2.105)

Na eq. (2.104), n é o número de camadas do reforço.

A distância entre as faixas não deve exceder o valor de d/4.

A deformação específica efetiva (εfe) é a deformação específica máxima

que pode ser alcançada pelo reforço e é governada pelo modo de ruptura do

compósito e da viga de concreto reforçada.

Os modos de ruptura previstos pelo ACI 440 são determinados de acordo

com o esquema de envolvimento da seção. Para todos os casos, a deformação

específica efetiva é limitada por 0,75εfu.

- Seção completamente envolvida pelo reforço

84

A perda do efeito de engrenamento dos agregados do concreto ocorre

com deformação específica da fibra menor do que a deformação específica

última da fibra. Para considerar este tipo de ruptura, a deformação específica

efetiva é limitada por 0,004.

A deformação efetiva será:

fufe εε 75.0004.0 ≤= (2.106)

- Envolvimento em “U” ou apenas nas laterais

Para estes tipos de reforço o descolamento do compósito do concreto

pode ocorrer antes da perda do efeito de engrenamento dos agregados. Por

isso, nestes casos, este modo de ruptura também deve ser considerado. O

modelo usado para o cálculo da deformação específica efetiva no descolamento

é o modelo de Khalifa et al. (1998).

Assim a deformação específica efetiva é dada por:

004.0≤= fuvfe εκε (2.107)

O coeficiente de redução para a aderência, κv, é função da resistência do

concreto, do esquema de reforço utilizado e da rigidez do compósito.

75.011900

21 ≤=fu

ev

Lkkε

κ (2.108)

onde: 3/2'

c1 27

fk ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

(2.109)

( ) 58.0

23300

ffe Etn

L =

(2.110)

- Para reforço colado em forma de “U”:

f

ef

dLd

k−

=2 (2.111)

- Para reforço colado apenas nas laterais:

f

ef

dLd

k2

2

−=

(2.112)

Segundo o ACI 440, o método de cálculo de κv é válido para vigas em

regiões com valores da força cortante altos e baixo momento fletor. A

metodologia não foi confirmada para regiões sujeitas a altos valores de força

cortantes e momentos fletores, como vigas contínuas.

85

O reforço total à força cortante, dado pela soma das parcelas do compósito

e do aço, não deve exceder o seguinte limite do ACI 318 (1995):

dbfVV wcfs ′≤+ 66.0 (2.113)

2.4.2.6. fib Bulletin 14 (2001)

O Bulletin 14 fib (2001) apresenta métodos de aplicações de materiais

compósitos de polímeros reforçados com fibras (FRP) no reforço de estruturas

de concreto armado fornecendo diretrizes para o projeto do reforço, a execução

prática e o controle de qualidade dessas estruturas.

Para o dimensionamento, os coeficientes de segurança adotados para o

concreto e o aço são dados pelo EC2 (2001):

Concreto : γc = 1,5

Aço: γs = 1,15

O coeficiente de segurança sugerido para o compósito, γf, depende do

modo de ruptura e do método de aplicação do reforço. Os valores para γf estão

na Tabela 2.5.

Tabela 2.5 – Valores para os coeficientes de segurança para o compósito dados pela fib (2001).

Ruptura do Compósito Descolamento do

Compósito Método A (1) Método B (2)

1,30 1,20 1,35 (1) – Aplicação do sistema “prefab” de FRP em condições normais de

controle de qualidade. Aplicação do sistema “wet lay-up” de FRP com

alto controle de qualidade (2)

– Aplicação do sistema “wet lay-up” de FRP em condições normais

de controle de qualidade. Aplicação de qualquer sistema sob difíceis

condições no local de trabalho.

Para o modelo de dimensionamento é considerado o Estado Limite Último.

A contribuição do FRP (eq. 2.114) é considerada de maneira análoga à

contribuição da armadura transversal, considerando a resistência à tração da

fibra até a deformação específica de ruptura, εfu, ou um valor reduzido.

ααθρε sendbEV wfefdfufd )cot(cot9.0 , += (2.114)

onde:

86

fw

fff sb

wt2=ρ

(2.115)

εfd,e é deformação específica efetiva de projeto calculada como:

f

efkefd γ

εε ,

, = (2.116)

Devido à falta de dados, o valor da deformação específica efetiva

característica, εfke, pode ser aproximado usando um fator de redução k = 0.8:

efefk k ,, εε = (2.117)

A deformação efetiva é calculada segundo o modelo de Triantafillou e

Antonopoulos (2000), de acordo com o esquema de envolvimento da seção com

o reforço, usando as equações (2.83), (2.84) e (2.85)

Alguns autores (Priestley e Seible 1995, Khalifa et al. 1998, Antonopoulos

e Triantafillou 2000) têm proposto que o valor para a deformação efetiva não

ultrapasse um certo limite, da ordem de 0.006, para manter a integridade do

concreto e assegurar o efeito de engrenamento dos agregados, nos casos em

que a ação desse mecanismo for de importância crucial.

O espaçamento máximo recomendado, entre faixas verticais de FRP, é (0.9d - wf/2) para vigas retangulares e (d - hf - wf/2) para vigas “T”, para que

nenhuma fissura diagonal se forme sem interceptar uma faixa do compósito.

Para que não ocorra o descolamento do reforço, no estado limite de

serviço, εfk,e deve ser limitada por 0.8fyk/Es.

2.4.2.7. ISIS-M05-00 (2001)

O ISIS (2001) é um manual para dimensionamento de reforço de

estruturas de concreto com materiais compósitos de polímeros reforçados com

fibras (FRP) colados externamente, na forma de mantas ou laminados, baseado

em resultados de pesquisas realizadas no Canadá e em outros laboratórios de

universidades e instituições internacionais.

Os coeficientes de segurança adotados de acordo com a CSA A.23.3-

94(1995) são:

Concreto: φc = 0,6

Aço: φs = 0,85

87

O valor para o coeficiente de segurança do compósito pode ser adotado

como φfrp = 0,7 (Khalifa et al. (1999)) ou φfrp = 0,78 para ruptura do compósito e

φfrp = 0,75 para descolamento ou quando a deformação específica é limitada por

um certo valor antes de chegar à ruptura (Triantafillou e Antonopoulos (1999)).

A contribuição do reforço é calculada como:

)cos( ββεφ += sendEsA

V frpfrpefrpfrp

frpfrpfrp

(2.118)

A deformação específica efetiva (εfrp) depende do modo de ruptura e deve

ser limitada pelo valor de 0.004, acima do qual o efeito de engrenamento dos

agregados é perdido devido à abertura das fissuras.

Para calcular o valor da deformação específica efetiva, o manual

considera dois modos de ruptura do reforço: a ruptura por tração, com uma

deformação específica menor do que a deformação específica na ruptura ou o

descolamento do reforço.

A deformação específica efetiva no caso de ruptura do reforço é

calculada de acordo com o modelo de Triantafillou e Antonopoulos (2000):

frpufrpe Rεε = (2.119)

onde:

( ) 23/2

1´

λ

ραλ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

frpfrp

c

EfR

(2.120)

frpw

frpfrpfrp sb

wt2=ρ

(2.121)

O coeficiente de redução para a deformação específica efetiva α é igual a

0.8 e os parâmetros λ1 e λ2 para a ruptura da fibra de carbono são tomados

como 1.35 e 0.30, respectivamente.

O cálculo da deformação específica efetiva correspondente ao

descolamento do compósito é feito usando o modelo de Khalifa et al. (1998):

952521 efrp

frpe

Lkkφαε =

(2.122)

O comprimento de ancoragem (Le) é:

58.0)(25350

frpfrpe Et

L = (2.123)

Os parâmetros k1 e k2 consideram a resistência à força cortante do

concreto e a configuração do reforço:

88

3/2

1 65.27´

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= cfk

(2.124)

frp

eefrp

dLnd

k−

=2 (2.125)

Na eq. (2.125), ne é o número de extremidades do reforço, igual a um para

reforço em “U” ou igual a dois para reforço apenas nas laterais. Se o valor de k2 for negativo, o sistema de reforço é ineficaz, a não ser que

seja feita uma ancoragem mecânica.

No caso do reforço envolver completamente a seção transversal da viga a

deformação específica efetiva é dada simplesmente por: εfrp = 0.004 e a altura

útil do reforço (dfrp) é igual a altura da viga (h).

O espaçamento máximo entre faixas de compósito é limitado por:

4dws frpfrp +=

(2.126)

A CSA A23.3-94 sugere que a resistência à força cortante não deve

exceder o limite de:

dbfVV wcccr ´8.0 φλ+≤ (2.127)

Quando o comprimento de ancoragem é limitado, é possível melhorar a

performance do reforço colado em faixas na forma de “U” colando uma tira

longitudinal de FRP nas extremidades das faixas no topo da viga.

2.4.3. Estudos Experimentais Sobre Vigas com Reforço Externo de CFRP

Nesta seção os modos de ruptura e tipos de ancoragem do reforço estão

identificados por siglas da seguinte forma:

Modos de ruptura da viga:

EB – Esmagamento da biela comprimida;

DE – Descolamento do compósito;

FL – Flexão;

RU – Ruptura do compósito;

TD – Tração diagonal;

Tipos de ancoragem:

S – Reforço colado apenas nas laterais;

U – Reforço colado em “U”;

89

W – Reforço com envolvimento completo da seção;

2.4.3.1. Khalifa e Nanni (2002)

Este estudo avaliou o desempenho e modos de ruptura de vigas

simplesmente apoiadas reforçadas externamente à força cortante com tecido de

fibra de carbono. As variáveis investigadas no estudo incluem armadura transversal, relação comprimento-altura útil (a/d) e distribuição do CFRP.

Foram ensaiadas 12 vigas com diferentes configurações de reforço, com dois valores diferentes para a relação a/d, 3050 mm de comprimento e 254 mm

de altura útil.

A série SW composta de quatro vigas recebeu armadura transversal,

enquanto que a série SO, com oito vigas, foi projetada sem estribos no

comprimento de teste. As vigas foram ainda subdivididas em dois grupos, variando o comprimento de a: O primeiro, SW3 e SO3, com a relação a/d de

valor igual a três; e o segundo, SW4 e SO4, com relação a/d igual a quatro.

As vigas SW3-1, SW4-1, SO3-1 e SO4-1 não receberam reforço e foram

tomadas como vigas de referência.

O estudo mostrou que a contribuição do reforço externo colado para

aumentar a resistência à força cortante é significativo, foi alcançado um aumento

de resistência de 40% a 138% nas vigas reforçadas. O estudo mostrou também que a resistência é influenciada pela razão a/d e que um acréscimo na

quantidade de reforço pode não resultar em um aumento proporcional da

resistência. Os resultados da série SO3 indicam que a utilização da segunda

camada a 00 aumenta a resistência à força cortante devido à restrição horizontal.

As características do reforço e das vigas estão nas Tabelas 2.6 e 2.7

abaixo:

Tabela 2.6 – Características das vigas e do reforço, comuns a todas as vigas do estudo de Khalifa e Nanni (2002).

Vigas Reforço

L bw h d As Ef tf ffu

(mm) (mm) (mm) (mm) (mm2) (GPa) (mm) (MPa) Tipo

3050 150 305 254 1608,5 228 0,165 3790 U

90

Tabela 2.7 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Khalifa e Nanni (2002).

fck Asw s fyw sf wf β VR Vigas

(MPa) (mm2) (mm) (MPa) (mm) (mm) (o)

εy max no

CFRP (kN)

Modo de

Ruptura

SW3-1 19,3 157 125 350 --- --- --- --- 126,5 TD

SW3-2 19,3 157 125 350 1 1 0/90 0,0023 177 EB

SW4-1 19,3 157 125 350 --- --- --- --- 100 TD

SW4-2 19,3 157 125 350 1 1 0/90 0,0019 180,5 EB

SO3-1 27,5 0 --- --- --- --- --- --- 77 TD

SO3-2 27,5 0 --- --- 125 50 90 0,0047 131 DE

SO3-3 27,5 0 --- --- 125 75 90 0,0052 133,5 DE

SO3-4 27,5 0 --- --- 1 1 90 0,0045 144,5 DE

SO3-5 27,5 0 --- --- 1 1 0/90 0,0043 169,5 EB

SO4-1 27,5 0 --- --- --- --- --- --- 65 TD

SO4-2 27,5 0 --- --- 125 50 90 0,0062 127,5 DE

SO4-3 27,5 0 --- --- 1 1 0/90 0,0043 155 EB

2.4.3.2. Khalifa e Nanni (2000)

O estudo avaliou o comportamento de vigas de seção transversal em “T”

reforçadas à força cortante com compósito de fibra de carbono e teve como

objetivo investigar o comportamento e os modos de ruptura das vigas, e os

fatores que influenciam a resistência ao cortante.

Os parâmetros selecionados no programa experimental foram:

- Quantidade de CFRP e distribuição;

- Esquema de envolvimento da viga com o reforço (aos lados ou em “U”);

- Combinação de camadas (90o e 0o ou apenas a 90o);

- Utilização de um esquema especial de ancoragem. (Figura 2.65)

91

Figura 2.65 – Esquema especial de ancoragem (adaptado de Khalifa e Nanni, 2000).

O programa experimental consistiu de seis vigas em concreto sem

armadura transversal na região de teste a fim de favorecer a ruptura por força

cortante. Com exceção da viga de referência, BT1, todas as vigas foram

reforçadas à força cortante com compósito de fibra de carbono.

As vigas eram simplesmente apoiadas e receberam carregamento em dois pontos com relação comprimento-altura útil (a/d) igual a 3, comprimento igual a

3050 mm e altura de 405 mm.

Os resultados dos testes indicaram que o reforço externo pode ser

utilizado para aumentar a resistência à força cortante das vigas. Neste estudo, o

aumento foi de 35% a 145%.

O aumento de resistência alcançado pela viga BT2, com tiras espaçadas,

foi relativamente próximo ao de BT4, que recebeu reforço contínuo ao longo da

viga, mostrando que deve haver uma quantidade ótima de reforço, além da qual

a resistência não aumentará com o acréscimo na área de reforço.

A utilização do sistema de ancoragem proposto também mostrou ser

recomendável onde a aderência e/ou o comprimento de ancoragem do reforço

sejam considerados críticos.

Pouca contribuição para o aumento da resistência foi observada na viga

BT3 devido o reforço colado a 0o.

As características do reforço e das vigas estão nas Tabelas 2.8 e 2.9:

Tabela 2.8 – Características das vigas e do reforço, comuns a todas as vigas do estudo de Khalifa e Nanni (2000).

Vigas Reforço

L bw h hw d As fck Ef tf ffu

(mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm2) (MPa) (GPa) (mm) (MPa)

3050 150 405 305 354,6 1231,5 35 228 0,165 3790

92

Tabela 2.9 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Khalifa e Nanni (2000).

sf wf β VR Vigas

(mm) (mm) (o) Tipo

(kN)

Modo de Ruptura

BT1 --- --- --- --- 90 EB

BT2 1 1 90 U 155 DE

BT3 1 1 90/0 U/S 157,5 DE

BT4 125 50 90 U 162 DE

BT5 125 50 90 S 121,5 DE

BT6 1 1 90 U 221 FL

2.4.3.3. Täljsten (2003)

Este trabalho foi dividido em três etapas: a primeira apresenta um modelo

para calcular o valor da resistência à força cortante em vigas reforçadas com

compósito; na segunda, foram testadas vigas reforçadas à força cortante com

fibra de carbono; na última, é apresentado um exemplo de aplicação do reforço

com fibra de carbono em uma estrutura de um estacionamento.

No programa experimental foram testadas vigas de concreto com 4500 mm

de comprimento e 500 mm de altura, reforçadas à força cortante com folhas de

compósito com fibras de carbono. Os dois diferentes parâmetros variados no

teste foram o ângulo do reforço (β) e o peso do tecido (Cw), que é diretamente

proporcional à espessura do compósito.

O ângulo real das fissuras diagonais (θ) foi medido em cada viga após o

teste.

Não foram utilizados estribos na região de força cortante para que fosse

possível isolar a contribuição do concreto e do reforço externo. O compósito com

fibra de carbono foi colado em forma de “U” ao longo de todo o comprimento da

viga, o sistema de reforço usado foi o BPE® Composite com fibras de carbono

unidirecionais.

Dois modos de ruptura foram observados, ruptura por compressão no

concreto e ruptura do compósito. Na viga C4, o compósito descolou do concreto

e foi observado pouco aumento de resistência devido à inclinação do compósito

em relação à fissura diagonal.

93

O exemplo de utilização mostrado foi uma viga de concreto que necessitou

de reforço devido a um acréscimo de carga, onde o principal problema foi

ancorar o compósito na zona de compressão. Foi utilizado um esquema especial

de ancoragem. O reforço da viga foi executado com sucesso e, comparado a

outras alternativas, o custo do reforço com CFRP foi mais baixo.

O estudo mostrou que o reforço de CFRP deve ser colocado na direção

perpendicular às fissuras diagonais sempre que possível e que o limite para o

reforço à força cortante deve ser dado pela resistência à compressão do

concreto. As características das vigas estão nas Tabelas 2.10 e 2.11.

Tabela 2.10 – Características das vigas e do reforço, comuns a todas as vigas do estudo de Täljsten (2003).

Vigas Reforço

L bw h d As A´s Ef ffu

(mm) (mm) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (GPa) (MPa) Tipo

4500 180 500 460 2412,7 402,1 234 4500 U

Tabela 2.11 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Täljsten (2003).

fcc Cw tf θ β VR Vigas

(MPa) (mm) (mm) (o) (o) (kN)

Modo de Ruptura

R1 67,4 --- --- 27 --- 124,1 TD

RC1 67,4 200 0,11 35 45 306,1 EB

C1 67,4 125 0,07 31 45 246,7 RU

C2 71,4 200 0,11 32 45 257,2 EB

C3 58,7 200 0,11 30 90 260,6 EB

C4 58,7 200 0,11 25 0 154,1 DE

C5 71,4 300 0,17 33 45 334,3 EB

2.4.3.4. Beber (2003)

O autor ensaiou 44 vigas em escala real, com seção transversal retangular

de 15 cm x 30 cm e comprimento de 300 cm, reforçadas externamente com

compósitos de fibra de carbono. As vigas foram divididas em dois grupos: o

94

primeiro denominado Grupo F, composto de 14 vigas reforçadas à flexão; o

segundo, Grupo C, com um total de 30 vigas reforçadas à força cortante.

Nas vigas do Grupo C foram usados dois sistemas de reforço distintos,

sistema laminado pré-fabricado CFK 200/2000 (nas vigas V20_B, V21_B, V22_A

e V22_B) e manta flexível Replark 20 (nas outras vigas). Foram variados os

seguintes parâmetros: espaçamento entre faixas, largura das faixas, ângulo das

fibras e tipo de envolvimento da seção, totalizando 12 configurações diferentes

de reforço à força cortante.

As vigas foram dimensionadas com taxa de armadura longitudinal elevada,

composta por seis barras de aço CA-50, com 16mm de diâmetro na parte inferior

e duas barras com diâmetro de 16mm na parte superior, além disso, não

receberam armadura transversal. As vigas de controle, V8_A e V8_B, não foram

reforçadas e receberam a mesma armadura.

Os incrementos de resistência obtidos com a aplicação do reforço com

compósito CFRP foram de até 255,6%, sendo que os resultados mais

expressivos na elevação da resistência foram alcançados para as vigas que

receberam reforço contínuo orientado a 90o com envolvimento completo da

seção.

Foram observados dois modos de ruptura nas vigas ensaiadas, o

descolamento do reforço, como o modo de ruptura mais freqüente, que está

associado ao mecanismo de transferência de esforços entre concreto e reforço,

e a ruptura do reforço à tração, para as vigas com ancoragem suficiente. Houve

situações intermediárias, com a combinação destes dois modos de ruptura.

As vigas reforçadas com envolvimento completo da seção sofreram uma

modificação fundamental em seu comportamento, apresentando uma ruptura

clássica de flexão, com esmagamento do concreto e flambagem da armadura de

compressão.

Foi verificado que o fator mais importante para o aumento de resistência

depende da solução de ancoragem empregada.

A solução de ancoragem em “L” mostrou ser eficiente na elevação da

resistência das vigas. Porém, segundo o autor, a execução deste reforço com

mantas orientadas a 45o é bastante complexa, podendo, inclusive, inviabilizar a

adoção desta alternativa.

A utilização de reforço contínuo, embora apresente maior quantidade de

reforço empregada, não proporcionou incremento de resistência na mesma

proporção.

95

Devido às características dos laminados pré-fabricados, a única solução

possível para este tipo de reforço é colagem apenas nas laterais, o que limita o

seu desempenho, uma vez que o modo de ruptura é governado por

descolamento do reforço.

As características das vigas estão nas Tabelas 2.12, 2.13 e 2.14:

Tabela 2.12 – Características comuns a todas as vigas do estudo de Beber (2003).

Vigas Reforço

L bw H d As A´s fck Ef tf ffu

(mm) (mm) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (MPa) (GPa) (mm) (MPa)

3000 150 300 252,7 1206,4 402,1 32,8 228 0,165 3790

Tabela 2.13 – Características dos reforços, comuns a todas as vigas do estudo de Beber (2003).

Reforço

Ef tf ffu Tipo

(GPa) (mm) (MPa)

CFK 200/2000 205 1,4 2500

Replark 20 230 0,111 3400

Tabela 2.14 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Beber (2003).

sf wf β VRViga Tipo (mm) (mm) (o) (kN)

Modo de ruptura

V8_A --- --- --- 57,35

V8_B ---

--- --- --- 56,49 TD

V9_A 100 50 90 98,12

V9_B 100 50 90 104,29

V21_A

S

100 50 90 115,19

DE

V10_A 100 50 90 107,49

V10_B "L"

100 50 90 105,99 DE - RU

96

Continuação da Tabela 2.14 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Beber (2003).

sf wf β VRViga Tipo (mm) (mm) (o) (kN)

Modo de ruptura

V17_A 100 50 90 102,79

V11_A 100 50 90 98,43

V11_B 100 50 90 124,80

V17_B

U

100 50 90 92,93

DE - RU

V12_A 100 50 90 116,36

V18_A 100 50 90 127,29

V20_A

W

100 50 90 140,12

RU

V12_B 141,4 50 45 101,65

V14_B S

141,4 50 45 91,65 DE

V19_A 141,4 50 45 118,42

V19_B "L"

141,4 50 45 115,13 DE - RU

V13_A 1 1 90 122,01

V13_B S

1 1 90 125,75 DE

V15_B 1 1 90 138,37

V16_B U

1 1 90 112,43 DE

V16_A 1 1 90 183,96

V18_B W

1 1 90 202,41 FL

V14_A 1 1 45 128,39

V15_A S

1 1 45 120,56 DE

V20_B 100 50 90 142,91

V22_B S

100 50 90 112,51 DE

V21_B 141,4 50 45 135,70

V22_A S

141,4 50 45 125,60 DE

97

2.4.3.5. Diagana et al. (2003)

Este estudo avaliou o comportamento de vigas de concreto com seção

retangular reforçadas à força cortante com tecido de fibra de carbono. Foram

utilizadas quatro configurações de reforço colado em faixas. O objetivo era

investigar a influência de parâmetros como comprimento de reforço e tipo de

envolvimento da seção transversal com o tecido compósito.

O tecido de material compósito utilizado foi TFC® da Freyssinet, bi-

direcional, com 70% das fibras na direção principal, que são realmente utilizadas

no teste, e 30% na outra direção, que protege de uma falha pré-matura devido

ao cisalhamento na faixa de tecido.

Dez vigas foram ensaiadas à força cortante com carregamento em três

pontos, oito destas vigas foram reforçadas. As vigas mediam 2200 mm de

comprimento e 425 mm de altura.

A armadura longitudinal das vigas consistia em duas barras de aço de 16

mm de diâmetro e duas barras com 14 mm na parte de baixo da seção e duas

barras de 8 mm em cima. A armadura transversal era composta por estribos de 6

mm de diâmetro espaçados de 300 mm.

Havia duas séries de vigas, PU e PC divididas em função do esquema de

reforço. O grupo PU consistia de quatro vigas reforçadas em forma de “U”, onde

foram variados o espaçamento e o ângulo das fibras. O grupo PC foi composto

por quatro vigas reforçadas com envolvimento completo da seção, variando o

espaçamento e o ângulo das fibras.

As vigas com reforço em forma de “U” romperam por descolamento de

duas ou três faixas do material compósito ao longo da fissura diagonal, o que

não permitiu que o compósito fosse solicitado até a tensão última de tração. Nas

vigas reforçadas por envolvimento completo da seção houve ruptura por tração

das faixas de tecido situadas na fissura diagonal na região de compressão.

A forma mais eficiente de reforço foi o envolvimento completo da seção

com tecido de fibras orientadas a 90o (PC1). Em comparação com o reforço em

“U”, o envolvimento completo da seção, é mais eficaz para fibras a 90o. Já para o

reforço com fibras orientadas a 45o a forma de “U” levou a um acréscimo de

resistência maior do que o envolvimento total da seção.

Os resultados experimentais mostraram que a contribuição do reforço de

tecido compósito varia com o espaçamento das faixas: a resistência aumenta

conforme diminui o espaçamento.

98

As características das vigas estão nas Tabelas 2.15, 2.16 e 2.17:

Tabela 2.15 – Características comuns a todas as vigas do estudo de Diagana et al. (2003).

Vigas

L bw h d As A´s Asw s fyw fck

(mm) (mm) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (mm2) (mm) (MPa) (MPa)

2200 130 450 410 710 100,5 56,55 300 240 38

Tabela 2.16 – Características do reforço, comuns a todas as vigas do estudo de Diagana et al. (2003).

Reforço

Ef tf ffu

(GPa) (mm) (MPa)

105 0,43 1400

Tabela 2.17 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Diagana et al. (2003).

sf wf β VR Vigas

(mm) (mm) Tipo

(o) (kN)

Modo de Ruptura

PO --- --- --- --- 110 (*)

PO - BIS --- --- --- --- 110 (*)

PU1 200 40 U 90 142,5 DE

PU2 250 40 U 90 130 DE

PU3 300 40 U 45 154,5 DE

PU4 350 40 U 45 150 DE

PC1 200 40 W 90 177,5 RU

PC2 250 40 W 90 155 RU

PC3 300 40 W 45 145,5 RU

PC4 350 40 W 45 132 RU

(*) – Não foi especificado pelos autores

99

2.4.3.6. Chaallal et al. (1998)

O estudo apresentou resultados experimentais de oito vigas de concreto

testadas à força cortante. As vigas, com 1300 mm de comprimento e seção

transversal de 150 mm x 250 mm, foram divididas em três séries. Em uma das

séries as vigas receberam reforço externo com faixas de compósito de fibra de

carbono. Todas as vigas receberam a mesma armadura à flexão: três barras de

aço com 15 mm de diâmetro.

- Série FS: as duas vigas desta série foram projetadas com armadura

transversal suficiente, com estribos de aço de 6mm de diâmetro

espaçados a cada 50 mm.

- Série US: esta série, composta de duas vigas, foi sub-dimensionada à

força cortante, com estribos de 6 mm a cada 200 mm.

- Série RS: a terceira série consistia em quatro vigas, com a mesma

armadura transversal da série US. Porém, estas vigas foram reforçadas

externamente com faixas de compósito de fibras de carbono coladas

nas laterais das vigas. Duas vigas foram reforçadas com faixas a 90o

espaçadas de 100 mm (RS90), e as outras duas com faixas a 45o

espaçadas de 150 mm (RS135). Para o reforço foram utilizadas faixas

de fibras de carbono unidirecionais da SIKA, com 50 mm de largura e 1

mm de espessura.

Segundo os autores, a utilização do reforço com faixas de compósito de

fibra de carbono pode ser vantajosa em relação aos laminados, pois é mais fácil

manter uma espessura relativamente uniforme de epóxi ao longo do

comprimento. O reforço resultou em aumento da resistência à força cortante e de

rigidez, reduzindo significativamente as fissuras.

O desempenho das faixas a 45o quanto ao acréscimo de resistência e à

rigidez foi melhor do que o das faixas a 90o. O uso de faixas em “U” poderia ser

mais apropriado para carregamentos mais elevados. As características das vigas estão nas Tabelas 2.18 e 2.19:

100

Tabela 2.18 – Características das vigas e do reforço, comuns a todas as vigas do estudo de Chaallal et al. (1998).

Vigas Reforço

L bw h d As fyw fck Ef tf ffu

(mm) (mm) (mm) (mm) (mm2) (MPa) (MPa) (GPa) (mm) (MPa)

1300 150 250 220 530,1 400 35 150 1 2400

Tabela 2.19 – Características das vigas e do reforço, diferentes para cada viga do estudo de Chaallal et al. (1998).

Asw s sf wf β Tipo VR Vigas

(mm2) (mm) (mm) (mm) (o) (kN)

Modo de Ruptura

FS1 56,55 50 --- --- --- --- 110,0 EB

FS2 56,55 50 --- --- --- --- 108,0 EB

US1 56,55 200 --- --- --- --- 55,0 TD

US2 56,55 200 --- --- --- --- 51,5 TD

RS90-1 56,55 200 100 50 90 S 87,5 RU

RS90-2 56,55 200 100 50 90 S 95,0 DE

RS135-1 56,55 200 150 50 45 S 94,0 DE

RS135-2 56,55 200 150 50 45 S 99,5 DE

3 Apresentação e Análise dos Modelos de Dimensionamento à Força Cortante

3.1. Considerações Iniciais

Neste capítulo é desenvolvido o modelo para o cálculo do ângulo de

inclinação da biela de compressão para a viga de concreto armado com reforço

externo, para ser utilizado na implementação computacional.

Utilizando este modelo para o cálculo do ângulo de inclinação da biela de compressão, foi feita uma comparação entre os valores de Vf experimentais e

teóricos, que foram calculados com os modelos apresentados no capítulo 2.4

com a área de reforço utilizada nos ensaios, esta comparação foi feita também

adotando o ângulo de inclinação da biela constante e igual a 45o. Através destas

comparações foi feita a escolha do modelo a ser usado nos algoritmos de

dimensionamento da área de reforço a partir da força cortante.

Finalmente, as áreas calculadas através dos algoritmos são comparadas

com as áreas utilizadas nos ensaios visando avaliar a eficiência do modelo.

3.2. Modelo para o Cálculo da Inclinação da Biela de Compressão em Viga com Reforço Externo

Seguindo o modelo do campo de compressão diagonal apresentado por

Collins e Mitchell (1987) e considerando as modificações apropriadas, para levar

em conta a presença do reforço colado externamente, é possível determinar o

ângulo de inclinação das fissuras θ, aproximando o campo de tensões real para

o caso da viga de concreto armado reforçada com FRP, utilizando as equações

de equilíbrio e compatibilidade, as relações constitutivas e admitindo uma

perfeita aderência entre o aço e o concreto e entre o reforço e o concreto.

Um elemento fissurado de viga de concreto armado com estribos verticais,

reforço à força cortante e à flexão colados externamente é mostrado na Figura

3.1 (a).

102

(a) (b)

Figura 3.1 – Elemento fissurado de viga de concreto armado com reforço externo de FRP

A força no reforço externo à força cortante pode ser decomposta em uma

parcela horizontal e outra vertical conforme mostrado na Figura 3.1(b).

Figura 3.2 - Elemento fissurado de viga com reforço externo transversal decomposto.

As taxas geométricas de reforço externo transversal nas direções

horizontal e vertical, respectivamente, são dadas por:

fw

fwfw sb

A´

´ =ρ (3.1)

βtgss f =´ (3.2)

fw

fwfw sb

A=ρ

(3.3)

103

A taxa geométrica de reforço externo longitudinal é dada por:

zbA

w

flfl =ρ

(3.4)

Do capítulo 2, as taxas geométricas de armadura transversal e longitudinal

são dadas por:

sbA

w

swsw =ρ

(2.20)

zbA

w

slsl =ρ

(2.21)

A tensão cisalhante média adimensional é dada por:

zbVvw

= (3.5)

fwc vvv += (3.6)

Nas Figuras 3.3 e 3.4 é feito equilíbrio na direção da inclinação θ:

Figura 3.3 – Biela comprimida.

Figura 3.4 – Biela comprimida.

θσ tgvccv = (3.7)

θσ cotccl v= (3.8)

104

A tensão de compressão na biela, obtida do equilíbrio das forças na

direção de θ é:

)cot( θθσ += tgvcc (3.9)

Equação de compatibilidade das forças normais na face horizontal da

Figura 3.2:

0=Σ yF (3.10)

θσθσθβσ cotcotcotsen ∆=∆+∆ wcvs

swsw

f

fwfw b

sA

sA

(3.11)

θσρσβρσ tgvccvswswfwfw ==+sen (3.12)

Equação de compatibilidade das forças normais na face vertical da Figura

3.2:

0=Σ xF (3.13)

∆=∆+∆+∆ wclsl

slfl

flf

fwfw b

zA

zA

sA

σσσβσ cos (3.14)

θσρσρσβρσ cotcos´ cclslslflflfwfw v==++ (3.15)

)cot( θθσσσ gtgvcclcvcd +=+= (3.16)

De acordo com a NBR 6118 (2003), pode-se assumir para o aço um

diagrama de tensão-deformação específica simplificado com patamar de

escoamento. Antes do escoamento tem-se que:

sss E εσ = (3.17)

O módulo Es pode ser admitido igual a 210 GPa na falta de ensaios ou

valores fornecidos pelo fabricante.

A NBR 6118 (2003) permite admitir uma relação linear elástica entre

tensões e deformações específicas para o concreto, para tensões de compressão menores do que 0.5fc. Adotando para o módulo de elasticidade o

valor secante Ecs.

ccsc E εσ = para cc f5.0≤σ (3.18)

Onde

cics EE 85.0= (3.19)

Com 2/15600 fckEci = (3.20)

Para o reforço de FRP é considerada uma relação linear elástica:

105

fff E εσ = (3.21)

Assumindo uma perfeita ancoragem entre o concreto, a armadura e o

reforço, tem-se as expressões para as deformações específicas nas direções

vertical e horizontal, respectivamente:

y

cv

y

swswfwfwy EE

σρσβρσε =

+=

sen

(3.22)

βρρ senEEE ffwsswy += (3.23)

)( βρρθε

sennnEtgv

ffwsswcs

cy +

= (3.24)

x

cl

x

slslflflfwfwx EE

σρσρσβρσε =

++=

cos´

(3.25)

βρρρ cos´ ffwfflsswx EEEE ++= (3.26)

)cos´(cot

βρρρθε

ffwfflsslcs

cx nnnE

v++

= (3.27)

onde as razões entre os módulos de elasticidade ns e nf são dadas por:

cs

ss E

En =

(3.28)

cs

ff E

En =

(3.29)

A deformação específica principal mínima na direção das fissuras é dada

por:

cs

c

cs

cd

Etgv

E)cot(

2θθσε +

−== (3.30)

Substituindo as eq. (3.24), (3.27) e (3.30) na eq. (2.32) tem-se:

)()(

2

22

εεεε

θ−−

=y

xtg (2.32)

4

sen11

cos´11

βρρ

βρρρθ

ffwssw

ffwfflssl

nn

nnntg

++

+++

=

(3.31)

A NBR 6118 (2003), no modelo II de cálculo de elementos lineares sujeitos

à força cortante no Estado Limite Último, admite diagonais de compressão

inclinadas de θ variável entre 30o e 45o.

106

3.3. Análise Comparativa entre Resultados dos Modelos Teóricos e Resultados Experimentais

Para esta análise comparativa foram escolhidos os modelos de cálculo da

resistência à força cortante, resumidos no capítulo 2.4: o modelo de Triantafillou e Antonopoulos (2000), que é usado pela fib Bulletin 14 (2001) e pelo manual

ISIS (2001) para ruptura do compósito; o modelo de Khalifa et al. (1998), que é

usado pelo ACI Committee 440 (2001) e pelo manual ISIS (2001) para

descolamento do compósito; o modelo de Khalifa e Nanni (2000), que apresenta

modificações feitas para melhorar o desempenho do modelo proposto por Khalifa

et al. (1998); e o modelo de Chen e Teng (2003 a,b), encontrado na literatura,

que parece apresentar um bom desempenho no cálculo da parcela da

resistência à força cortante devida ao reforço externo. Para o modelo de Chen e

Teng (2003 a,b) foram usadas também as equações para dimensionamento

sugeridas pelos autores.

Na comparação entre os resultados calculados pelos modelos teóricos e

os resultados experimentais todos os coeficientes de segurança foram adotados

com valor igual a 1.0.

A maioria dos modelos encontrados na literatura considera que o ângulo

de inclinação da fissura diagonal é constante e igual a 45o, porém, na realidade

este ângulo assume valores menores do que este, resultando em um valor

conservativo para a parcela da força cortante resistida pelo reforço calculada por

esses modelos.

Para as vigas dos ensaios experimentais apresentados no capítulo 2,

foram calculados os valores da parcela da força cortante resistida pelo reforço

utilizando os modelos citados anteriormente, com o ângulo de inclinação das

bielas comprimidas igual a 45o ou variável O valor do ângulo foi calculado a partir

da eq. (3.34). Os resultados de cada viga podem ser vistos no Anexo. Na Tabela 3.1 estão os valores das médias da relação Vf teo/Vf exp e os coeficientes de

variação para cada modelo, com o resultado para cada esquema de reforço e o

resultado geral (incluindo todos os esquemas).

Para a comparação com os modelos teóricos, foram utilizados apenas os

resultados das vigas que falharam por ruptura do compósito ou por

descolamento do compósito, excluindo-se as vigas que romperam por flexão ou

por esmagamento do concreto.

107

Nas Tabelas o tipo de ancoragem é identificado de acordo com as siglas: S

para reforço colado apenas nas laterais, U para reforço em “U” e W para

envolvimento completo da seção pelo reforço.

Tabela 3.1 - Médias dos valores de Vf teo/Vf exp e coeficientes de variação.

Modelo Tipo Média de Vf teo/Vf exp

Coeficiente de Variação

(%) S 1,3 22,5 U 1,5 28,3 W 1,5 25,1

Chen e Teng - θ variável

Geral 1,4 26,4 S 0,8 22,6 U 0,8 34,1 W 0,9 45,5

Chen e Teng - θ = 45o

Geral 0,8 32,0 S 1,0 22,5 U 1,1 28,3 W 1,2 25,1

Chen e Teng (dimensionamento) - θ variável

Geral 1,1 26,9 S 0,6 22,6 U 0,6 34,1 W 0,7 45,5

Chen e Teng (dimensionamento) - θ = 45o

Geral 0,6 33,1 S 2,2 27,4 U 2,0 30,0 W 2,0 33,5

Triantafillou e Antonopoulos - θ variável

Geral 2,1 29,0 S 1,45 37,8 U 1,1 43,0 W 1,2 57,2

Triantafillou e Antonopoulos - θ = 45o

Geral 1,2 43,6 S 1,5 32,9 U 1,7 36,1 W 0,9 35,3

Khalifa et al. - θ variável

Geral 1,4 39,9 S 1,0 52,7 U 0,9 41,5 W 0,5 59,7

Khalifa et al. - θ = 45o

Geral 0,8 52,5 S 1,0 20,2 U 1,6 30,7 W 1,45 26,6

Khalifa e Nanni - θ variável

Geral 1,45 33,7 S 0,5 29,6 U 0,8 38,6 W 0,8 49,1

Khalifa e Nanni - θ = 45o

Geral 0,7 45,7

108

Os valores calculados foram colocados em gráficos Vfexp x Vfteo, para cada

modelo, onde Vfexp é o valor experimental para a parcela da força cortante

resistida pelo reforço e Vfteo é o valor calculado pelos modelos.

A partir dos gráficos, das médias e dos coeficientes de variação

apresentados nas Tabelas, é possível comparar os modelos.

A legenda dos gráficos das Figuras 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 e 3.10 está na Figura

3.5:

Reforço nas laterais

Reforço envolvendo a seção Reforço em “U”

Linha à 45o

Linhas à +20% e -20%

Figura 3.5 – Legenda dos gráficos

Vf te

o (k

N)

Chen e Teng - θ variável

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Vf exp (kN)

Vf te

o (k

N)

Chen e Teng - θ = 45o

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Vf exp (kN)

Figura 3.6 – Gráficos de Vf exp x Vf teo para o modelo de Chen e Teng (2003 a, b).

109

Vf te

o (k

N)

Chen e Teng (dimensionamento)θ variável

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Vf exp (kN)

Vf te

o (k

N)

Chen e Teng (dimensionamento)θ = 45o

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Vf exp (kN)

Figura 3.7 – Gráficos de Vf exp x Vf teo para o modelo de Chen e Teng (2003 a, b)de

dimensionamento.

Vf te

o (k

N)

Triantafillou e Antonopoulosθ variável

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Vf exp (kN )

Vf te

o (k

N)

Triantafillou e Antonopoulos θ = 45o

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Vf exp (kN )

Vf te

o (k

N)

Khalifa et al. 1998 - θ variável

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Vf exp (kN)

Vf te

o (k

N)

Khalifa et al. 1998 - θ = 45o

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Vf exp (kN)

Figura 3.8 – Gráficos de Vf exp x Vf teo para o modelo de Triantafillou e Antonopoulos

(2000).

Figura 3.9 – Gráficos de Vf exp x Vf teo para o modelo de Khalifa et al. (1998)

110

Vf

teo

(kN

)

Khalifa e Nanni 2000 - θ variável

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Vf exp (kN)

Vf te

o (k

N)

Khalifa e Nanni 2000 - θ = 45o

0

50

100

150

200

0 50 100 150 200

Vf exp (kN)

Figura 3.10 – Gráficos de Vf exp x Vf teo para o modelo de Khalifa e Nanni (2000).

O modelo de Chen e Teng (2003 a, b), é o mais elaborado entre todos os

modelos analisados. Tanto para θ = 45o quanto para θ variável foi o modelo que

apresentou melhores resultados. O modelo de dimensionamento de Chen e

Teng (2003 a, b) para ângulo de inclinação da biela variável apresenta a média da relação Vfteo/Vfexp mais próxima de 1.0. A partir do gráfico pode-se ver que a

maioria dos valores está entre as faixas que limitam os valores de Vfteo 20%

maiores ou menores que Vfexp, apresentando o menor coeficiente de variação.

Apesar do bom desempenho do modelo para o cálculo da parcela da força

cortante resistida pelo reforço, as equações para descolamento foram deduzidas

pelos autores supondo um ângulo de inclinação da fissura diagonal igual a 45o.

O modelo de Triantafillou e Antonopoulos (2000) é o que apresenta resultados mais desfavoráveis à segurança da estrutura, com valores de Vfteo

bem mais altos do que Vfexp tanto para θ = 45o quanto para θ variável. Este

modelo não diferencia reforço em “U” e reforço colado apenas nas laterais,

embora, para falha por descolamento do reforço o tipo de ancoragem seja particularmente importante. O cálculo de Vf, por este modelo, não leva em conta

casos em que a altura útil do reforço é diferente da altura útil da viga, como é o

caso de vigas com seção transversal em “T”.

O modelo de Khalifa et al. (1998) apresenta os coeficientes de variação

mais altos, é conservativo para o cálculo com θ = 45o, com a média da relação

Vfteo/Vfexp igual a 0.8, e para θ variável os valores calculados de Vfteo estão contra

a segurança, com a média da relação Vfteo/Vfexp igual a 1.4. A equação da parcela

Vf apresentada neste modelo sugere a aplicação do compósito em qualquer

inclinação, porém, quando se aplica o ângulo β = 0o ou β = 90o obtém-se o

111

mesmo resultado para Vf. Entretanto, na realidade, a resistência obtida com

reforço vertical é muito maior do que a resistência obtida com o reforço colado

na horizontal, que praticamente não oferece ganho algum na resistência à força

cortante. O modelo apresenta uma incoerência na determinação do comprimento de ancoragem, Le (eq. 2.92), que diminui em função da rigidez do compósito,

Efρf, quando na realidade um aumento na rigidez deveria provocar um maior

comprimento de ancoragem. Além disso, o modelo considera que todas as

configurações de reforço estão sujeitas à falha por descolamento do compósito,

enquanto que na prática isto não ocorre para a seção completamente envolvida pelo compósito. Por causa disto os valores de Vfteo calculados segundo o modelo

de Khalifa et al. (1998) para vigas com esta configuração de reforço é

geralmente bem mais baixo do que o valor obtido experimentalmente.

Khalifa e Nanni (2000), apresentaram um modelo baseado no modelo de

Khalifa et al. (1998) com algumas modificações, considerando para o reforço

com envolvimento completo da seção apenas a falha por ruptura do compósito, e não apresentaram uma expressão para o comprimento de ancoragem, Le, que foi

fixado em 75 mm, não levando em conta as características de ancoragem e de

rigidez do compósito. Este modelo também é muito conservativo para o cálculo

com θ = 45o e contra a segurança para θ variável, com coeficientes de variação

muito altos. Não foi considerado nesta análise o limite sugerido pelos autores

para evitar a ruptura por compressão na biela.

Assim, verifica-se que os modelos de Triantafillou e Antonopoulos (2000) e

Khalifa et al. (1998), apesar de utilizados em importantes normas internacionais,

não apresentaram um bom desempenho no cálculo da parcela da força cortante

resistida pelo reforço em comparação com os resultados experimentais.

3.4. Algoritmo de Cálculo da Área de Reforço à Força Cortante

Através da análise feita no capítulo 3.3 foi escolhido o modelo mais

adequado a ser utilizado na implementação computacional para o

dimensionamento da área de reforço à força cortante. Para o algoritmo de

cálculo adotando um ângulo de inclinação da biela de compressão constante foi

escolhido o modelo de Chen e Teng (2003 a, b), apresentado no capítulo 2.4.

Para o dimensionamento com θ variável foi escolhido o mesmo modelo, porém,

usando as equações para dimensionamento.

112

A seguir são apresentadas as equações para o cálculo da área de reforço por unidade de comprimento Afpm.

Os dados de entrada do problema de dimensionamento do reforço são:

As características da viga existente: fck - resistência à compressão do concreto h - altura da viga hw - altura da alma da viga c - cobrimento da armadura de flexão bw - largura da alma Asw - armadura transversal s - espaçamento dos estribos As - armadura longitudinal tracionada fyw - tensão de escoamento do aço dos estribos

fy - tensão de escoamento do aço da armadura longitudinal Vsd - valor da força cortante a ser resistida pela viga reforçada

As características do reforço a ser adotado: Ef - módulo de elasticidade do reforço ffu - tensão máxima de tração na ruptura no compósito

εmax - limite para a deformação específica máxima no compósito

tf - espessura do reforço

β - ângulo das fibras

tipo de ancoragem

Os coeficientes de segurança adotados:

γc - coeficiente de segurança para o concreto

γs - coeficiente de segurança para o aço

γb - coeficiente de segurança para o compósito

Outros símbolos utilizados: p - precisão adotada para a iteração.

θ i - valor inicial para o ângulo de inclinação da biela comprimida (no caso

do algoritmo com θ variável).

ou

θ - valor para o ângulo de inclinação da biela comprimida (no caso do

algoritmo com θ constante).

O modelo foi criado para obter o valor da parcela da força cortante

resistida pelo reforço externo, portanto, foi necessário adaptá-lo para o

113

dimensionamento, alterando a eq. (2.96) para o cálculo de βw, pois os valores de

wf e de sf não são conhecidos inicialmente.

A área de reforço por unidade de comprimento é dada por:

f

fffpm s

wtA

2=

(3.32)

Assim:

f

fpm

f

f

tA

sw

2=

(3.33)

Substituindo a eq. (3.33) na eq. (2.73):

β

ββ

senswsensw

f

f

f

f

w

+

−

=1

2

(2.73)

Tem-se:

fpmf

fpmfw Asent

Asent+

−=

ββ

β24

(3.34)

A saída do programa fornece:

a) A área de reforço à força cortante por unidade de comprimento (Afpm),

que, além de um valor numérico, pode ter duas outras respostas como saída:

- Afpm = “reforço desnecessário”

No caso da viga de concreto armado suportar a carga sem a necessidade

do reforço, isto é: Vc + Vs ≥ Vsd.

- Afpm = “usar outra camada”

No caso do número de camadas fornecido inicialmente pelo usuário ser

insuficiente. Neste caso deve-se voltar ao início do programa e aumentar o

número de camadas, aumentando a espessura do reforço. O Bulletim 14 da fib (2001) recomenda que não sejam aplicadas mais do

que 3 camadas no caso de tiras ou 5 camadas de folhas curadas in-situ.

b) O ângulo de inclinação da biela de compressão em graus (theta_deg)

no caso do algoritmo para θ variável.

c) O modo de ruptura (modo) que pode ter uma das três respostas abaixo

como saída:

114

- modo = “descolamento”

No caso de falha por descolamento do compósito.

- modo = “ruptura”

No caso de falha por ruptura do compósito.

- modo = “esmagamento da biela”

No caso de falha por esmagamento da biela de compressão.

3.4.1. Algoritmo de Cálculo da Área de Reforço à Força Cortante com Ângulo Variável de Inclinação da Biela de Compressão

1) Calcula-se:

chd −= (3.35)

O braço de alavanca z pode ser aproximado de acordo com a eq. (3.36):

dz 9.0= (3.36)

)( wfe hhzh −−= (3.37)

c

ckcd

ff

γ=

(3.38)

Substituindo a eq. (3.20) na eq. (3.19):

ckcs fE 4760= (3.39)

ns e nf através das eq. (3.28) e (3.29) respectivamente.

ρsw, ρsl, ρfl através das eq. (2.20), (2.21) e (3.2) respectivamente.

αv2 através da eq. (2.39).

Substituindo as equações (2.51), (2.52) e (2.53) na eq. (2.50):

c

wckco

dbfV

γ

3/2126.0=

(3.40)

2) Com o valor inicial de θi calcula-se:

)(cot9.0 iywdsw

isw dfs

AV θ=

(3.41)

iiwcdviRd sendbfV θθα 222 )(cot54.0= (3.42)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

coiRd

sdiRdco

co

ic

VVVV

V

VV

2

2min

(3.43)

iciswsdif VVVV −−= (3.44)

115

Se Vf i ≤ 0 a viga não necessita de reforço.

Se Vf i > 0 calcula-se a área inicial de reforço:

fufei

iffpm fh

VA

)cot(cot βθ +=

(3.45)

3) Calcula-se ρfw através da eq. (3.46):

w

fpmfw b

A=ρ

(3.46)

Calcula-se o novo ângulo θ através da eq. (3.31).

Calcula-se:

θcot9.0 ywdsw

sw dfs

AV =

(3.47)

θθα 222 cot54.0 sendbfV wcdvRd = (3.48)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

coRd

sdRdco

co

c

VVVV

V

VV

2

2min

(3.49)

cswsdf VVVV −−= (3.50)

Se Vf i ≤ 0 a viga não necessita de reforço.

4) Calcula-se a tensão máxima de ruptura no compósito:

RfRfRfvd D maxσσ = (3.51)

Onde:

21 ζ+

=RfD (3.52)

zhh w−

=ζ (3.53)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤=

maxmax

max

max 8.0

8.0

minε

γε

εγ

σ

f

fu

f

f

f

fu

f

fu

Rf

Ef

seE

Ef

sef

(3.54)

5) Se o tipo de ancoragem é envolvimento completo da seção há falha por

ruptura do compósito:

Rfvdfvd σσ = (3.55)

Vai direto ao item 8.

116

6) Cálculo da tensão máxima no descolamento do compósito

Calcula-se: Le através da eq. (2.77).

Lmax através das equações (2.75) ou (2.76).

β w através da eq. (3.35).

DfDfDfvd D maxσσ = (3.56)

Onde:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

f

cdfLw

b

b

fu

Df

tfE

f

ββγ

γσ

315.0

8.0

minmax

(3.57)

λ através da eq. (2.74).

βL através da eq. (2.72).

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>−

−

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

121

1

2

2cos1

2

λλπ

π

λλπ

λπ

λπ

se

sesenD Df

(3.58)

7) Verifica-se o modo de ruptura

⎩⎨⎧

=Dfvd

Rfvdfvd σ

σσ min

(3.58)

Se σfvd = σfvd D haverá falha por descolamento do compósito.

Se σfvd = σfvd R haverá falha por ruptura do compósito.

8) Calcula-se uma nova área com o novo ângulo θ e com o novo valor para

a tensão no reforço:

fvdfe

ffpm h

VA

σβθ )cot(cot1 +=

(3.60)

Calcula-se a diferença entre Afpm 1 e Afpm.

Se Afpm 1 - Afpm > p, adota-se Afpm = Afpm 1 e volta-se ao item 3

117

Se Afpm 1 - Afpm ≤ p, adota-se Afpm = Afpm 1

9) São feitas duas verificações:

a) A necessidade de aumentar o número de camadas:

Para reforço contínuo, de acordo com a eq. (2.63):

βsen

ws f

f = (2.61)

Substituindo a eq. (3.60) na eq. (3.32) tem-se a área necessária para o

reforço contínuo:

βsentA fcontfpm 2= (3.62)

Assim se Afpm 1 ≥ Afpm cont é necessário adicionar mais uma camada de fibra

ao reforço.

b) Se há esmagamento da biela comprimida: Se Vsd > VRd2 haverá ruptura por esmagamento da biela.

Na Figura 3.11 é apresentado o fluxograma de cálculo para a

implementação computacional no programa MAPLE V.

118

Figura 3.11 – Fluxograma de cálculo.

As Figuras 3.12, 3.13 e 3.14 mostram o ambiente de programação em

MAPLE (1997) para uma viga qualquer em seção retangular ou em “T”.

119

> restart; Dados >gamma_b, gamma_f, gamma_c, gamma_s >n, bw, h, hw, c, fck, Es, As, As´, fy, fsu, Asw, s, fyw, Ef, tf, ffu, tipo, beta, Vsd, epsilon_max, Afl, theta_i, precisao Cálculo de Vf e Afpm iniciais >d:=h-c: >z:=0.9*d: >hfe:=z-(h-hw): >fcd:=fck/gamma_c: >Ecs:=evalf(4760*sqrt(fck)): >ns:=Es/Ecs: >nf:=Ef/Ecs: >rho_sl:=As/bw/z: >rho_fl:=Afl/bw/z: >rho_sw:=Asw/bw/s: >alpha_v2:=evalf(1-fck/250): >theta_i:=evalf(Pi/4): >Vs_i:=evalf(Asw*fyw/gamma_s*z/s/tan(theta_i)): >Vco:=evalf(.126*fck^(2/3)/gamma_c*bw*d): >VRd2_i:=evalf(0.54*alpha_v2*fcd*bw*d*(cot(theta_i))*(sin(theta_i))^2): >if(Vsd<=Vco) >then Vc_i:=Vco: > else > if(Vsd>=VRd2_i) > then Vc_i:=0: > else Vc_i:=evalf(Vco/(Vco-VRd2_i)*(Vsd-VRd2_i)): > fi: >fi: >Vf_i:=evalf(Vsd-Vs_i-Vc_i): >if(Vf_i<=0) > then Afpm:="reforço desnecessário" > else Afpm:=evalf(Vf_i/(cot(theta_i)+cot(beta))/sin(beta)/hfe/ffu): >fi: Figura 3.12 – Tela do programa Maple, 1a parte.

120

Cálculo da tensão máxima de ruptura no compósito >zeta:=(h-hw)/z: >Df_R:=(1+zeta)/2: >sigma_fmax_R:= min(evalf(0.8*ffu/gamma_f), evalf(0.8*epsilon_max*Ef/gamma_f)): >sigma_fvd_R:=evalf(Df_R*sigma_fmax_R): Cálculo dos fatores para o descolamento >Le:=evalf(sqrt(Ef*tf/sqrt(fcd))): >if(tipo="U") > then Lmax:=hfe/sin(beta): > else Lmax:=hfe/sin(beta)/2: >fi: >lambda:=evalf(Lmax/Le); >if(lambda>=1) > then beta_L:=1: > else beta_L:=evalf(sin(Pi*lambda/2)): >fi: >if(lambda<=1) > then Df_D:=evalf((2/(Pi*lambda*sin(Pi*lambda/2)))*(1-cos(Pi*lambda/2))): > else Df_D:=evalf(1-(Pi-2)/(Pi*lambda)): >fi: Iteração para o cálculo da área de reforço >for k from 1 do > rho_fw:=Afpm/bw; > theta := arctan(evalf(((1+1/(ns*rho_sl+nf*rho_fl+nf*rho_fw*cos(beta)))/(1+1/(ns*rho_sw+nf*rho_fw*sin(beta))))^(1/4))): > theta_deg:=convert(theta, units,radians,degrees): > Vs:=evalf(Asw*fyw/gamma_s*z/s*cot(theta)): > VRd2:=evalf(0.54*alpha_v2*fcd*bw*d*cot(theta)*(sin(theta))^2): > if(Vsd<=Vco) > then Vc:=Vco: > else > if(Vsd>=VRd2) > then Vc:=0: > else Vc:=evalf(Vco/(Vco-VRd2)*(Vsd-VRd2)): Figura 3.13 – Tela do programa Maple, 2a parte.

121

> fi: > fi: > Vf:=Vsd-Vc-Vs: > if(Vf<=0) > then > theta:= arctan(evalf(((1+1/(ns*rho_sl+nf*rho_fl))/(1+1/(ns*rho_sw)))^(1/4))): > theta_deg:=convert(theta, units,radians,degrees): > Vs:=evalf(Asw*fyw/gamma_s*z/s*cot(theta)): > Afpm:="reforço desnecessário": break: > else > beta_w := evalf(sqrt((4*tf*sin(beta)-Afpm)/(2*tf*sin(beta)+Afpm))): > sigma_fmax_d:=evalf(0.315*beta_w*beta_L*sqrt(Ef*sqrt(fcd)/tf)/gamma_b): > sigma_fvd_d:=Df_d*sigma_fmax_d: > if(tipo="W") > then sigma_fvd:=sigma_fvd_r: > else sigma_fvd:=min(sigma_fvd_d,sigma_fvd_r): > fi: > if(sigma_fvd=sigma_fvd_r) > then modo:=ruptura: > else modo:=descolamento: > fi: > Afpm1:=evalf(Vf/(cot(theta)+cot(beta))/sin(beta)/hfe/sigma_fvd): > if(Afpm>=evalf(2*tf*sin(beta))) > then Afpm:=usar_outra_camada: break: > fi: > p:=abs(Afpm-Afpm1): > if(Vsd>VRd2) > then modo:=esmagamento_biela: break: > fi: > if(p<=precisao) > then Afpm:=Afpm1: break: > else > Afpm:=Afpm1: > fi: > fi: >od: >print(Afpm): >print(theta_deg): Figura 3.14 – Tela do programa Maple, 3a parte.

122

3.4.2. Algoritmo de Cálculo da Área de Reforço à Força Cortante com Ângulo Constante de Inclinação da Biela de Compressão

1) Calcula-se: d através da eq. (3.35),

hfe através da eq. (3.37),

fcd através da eq. (3.38),

αv2 através da eq. (2.39),

Vc através da eq. (3.40),

Vsw através da eq. (3.47),

VRd2 através da eq. (3.48) e

Vf através da eq. (3.50).

Se Vf ≤ 0 a viga não necessita de reforço.

Se Vf > 0 calcula-se a área inicial de reforço, Afpm.

2) Calcula-se a tensão máxima de ruptura no compósito σf max R através das

eq. (3.51), (3.52), (3.53) e (3.63):

fuRf f=maxσ (3.63)

3) Se o tipo de ancoragem é envolvimento completo da seção há falha por

ruptura do compósito, σfvd é dado pela eq. (3.55):

Vai direto ao item 6.

4) Cálculo da tensão máxima no descolamento do compósito

Calcula-se: Le através da eq. (2.77),

Lmax através das eq. (2.75) ou (2.76),

λ através da eq. (2.74),

βL através da eq. (2.72),

Df D através da eq. (3.58),

β w através da eq. (3.34) e

σfvd D através da eq. (3.56).

Onde:

123

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

f

cdfLw

fu

Df

tfE

f

ββσ

427.0minmax

(3.64)

5) Verifica-se o modo de ruptura pela eq. (3.58).

Se σfvd = σfvd D haverá falha por descolamento do compósito.

Se σfvd = σfvd R haverá falha por ruptura do compósito.

6) Calcula-se uma nova área com o novo valor para a tensão no reforço eq.

(3.61): Calcula-se a diferença entre Afpm 1 e Afpm.

Se Afpm 1 - Afpm > p, adota-se Afpm = Afpm 1 e volta-se ao item 4.

Se Afpm 1 - Afpm ≤ p, adota-se Afpm = Afpm 1

7) São feitas duas verificações:

a) A necessidade de aumentar o número de camadas: Calcula-se Afpm cont pela eq. (3.62).

Assim se Afpm 1 ≥ Afpm cont é necessário adicionar mais uma camada de fibra

ao reforço.

b) Se há esmagamento da biela comprimida: Se Vsd > VRd2 haverá ruptura por esmagamento da biela.

Na Figura 3.15 é apresentado o fluxograma de cálculo para a

implementação computacional no programa MAPLE V (1997).

124

Figura 3.15 – Fluxograma de cálculo.

As Figuras 3.16 e 3.17 mostram o ambiente de programação em MAPLE

(1997) para uma viga qualquer em seção retangular ou em “T”.

125

> restart; Dados >gamma_b, gamma_f, gamma_c, gamma_s >n, bw, h, hw, c, fck, Es, As, As´, fy, fsu, Asw, s, fyw, Ef, tf, ffu, tipo, beta, Vsd, epsilon_max, Afl, theta, precisao Cálculo de Vf e Afpm iniciais >d:=h-c: >z:=0.9*d: >hfe:=z-(h-hw): >fcd:=fck/gamma_c: >Vs:=evalf(Asw*fyw/gamma_s*z/s/tan(theta)): >Vc:=evalf(.126*fck^(2/3)/gamma_c*bw*d): >VRd2:=evalf(0.54*alpha_v2*fcd*bw*d*(cot(theta))*(sin(theta))^2): >Vf:=evalf(Vsd-Vs-Vc): >if(Vf<=0) > then Afpm:="reforço desnecessário" > else Afpm:=evalf(Vf/(cot(theta)+cot(beta))/sin(beta)/hfe/ffu): >fi: Cálculo da tensão máxima de ruptura no compósito >zeta:=(h-hw)/z: >Df_R:=(1+zeta)/2: >sigma_fmax_R:= ffu: >sigma_fvd_R:=evalf(Df_R*sigma_fmax_R): Cálculo dos fatores para o descolamento >Le:=evalf(sqrt(Ef*tf/sqrt(fcd))): >if(tipo="U") > then Lmax:=hfe/sin(beta): > else Lmax:=hfe/sin(beta)/2: >fi: >lambda:=evalf(Lmax/Le); >if(lambda>=1) > then beta_L:=1: > else beta_L:=evalf(sin(Pi*lambda/2)): >fi: Figura 3.16 – Tela do programa Maple, 1a parte.

126

>if(lambda<=1) > then Df_D:=evalf((2/(Pi*lambda*sin(Pi*lambda/2)))*(1-cos(Pi*lambda/2))): > else Df_D:=evalf(1-(Pi-2)/(Pi*lambda)): >fi: Iteração para o cálculo da área de reforço >for k from 1 do > beta_w := evalf(sqrt((4*tf*sin(beta)-Afpm)/(2*tf*sin(beta)+Afpm))): > sigma_fmax_d:=evalf(0.427*beta_w*beta_L*sqrt(Ef*sqrt(fcd)/tf)): > sigma_fvd_d:=Df_d*sigma_fmax_d: > if(tipo="W") > then sigma_fvd:=sigma_fvd_r: > else sigma_fvd:=min(sigma_fvd_d,sigma_fvd_r): > fi: > if(sigma_fvd=sigma_fvd_r) > then modo:=ruptura: > else modo:=descolamento: > fi: > Afpm1:=evalf(Vf/(cot(theta)+cot(beta))/sin(beta)/hfe/sigma_fvd): > if(Afpm>=evalf(2*tf*sin(beta))) > then Afpm:=usar_outra_camada: break: > fi: > p:=abs(Afpm-Afpm1): > if(Vsd>VRd2) > then modo:=esmagamento_biela: break: > fi: > if(p<=precisao) > then Afpm:=Afpm1: break: > else > Afpm:=Afpm1: > fi: > fi: >od: >print(Afpm): Figura 3.17 – Tela do programa Maple, 2a parte.

127

3.5. Análise Comparativa entre Resultados do Modelo Teórico de Dimensionamento e Resultados Experimentais

A análise foi feita comparando-se os resultados numéricos, obtidos através

dos algoritmos de cálculo apresentados no capítulo 3.4, com os resultados

experimentais que estão resumidos no capítulo 2.4.

Na comparação entre os resultados calculados pelos modelos teóricos e

os resultados experimentais todos os coeficientes de segurança foram adotados

com valor igual a 1.0.

Para a comparação com os modelos teóricos, foram utilizados apenas os

resultados das vigas que falharam por ruptura do compósito, por descolamento

do compósito ou por esmagamento do concreto, excluindo-se as vigas que

romperam por flexão.

Os resultados obtidos através do programa MAPLE (1997), estão

apresentados nas Tabela 3.2 e (3.3).

Tabela 3.2 – Resultados de Afpm calculado com o modelo de Chen e Teng (2003 a, b) de dimensionamento e θ variável.

Resultado Experimental Resultado teórico

Afpm Modo θ Afpm A fpm teo Modo Autor / viga

(mm2/mm) Ruptura (o) (mm2/mm) Afpm exp Ruptura Khalifa e Nanni (2002) SO3-2 0,13 DE X SO3-3 0,198 DE X SO3-4 0,330 DE X SO4-2 0,132 DE X SO4-3 0,330 EB X Khalifa e Nanni (2000) BT2 0,330 DE X BT4 0,132 DE X BT5 0,132 DE X Täljsten (2003) RC1 0,156 EB 27,22 0,461 3,0 DE C1 0,099 RU 20,47 0,122 1,2 DE C2 0,156 EB 20,73 0,130 0,8 DE C3 0,220 EB 25,85 0,241 1,1 DE C5 0,240 EB 29,25 0,669 2,8 DE Beber (2003) V9_A 0,111 DE 27,86 0,302 2,7 DE V9_B 0,111 DE X V21_A 0,111 DE X V11_A 0,111 DE-RU 23,49 0,137 1,2 DE

128

Continuação da Tabela 3.2 – Resultados de Afpm calculado com o modelo de Chen e Teng (2003 a, b) de dimensionamento e θ variável.

Resultado Experimental Resultado teórico

Afpm Modo θ Afpm A fpm teo Modo Autor / viga

(mm2/mm) Ruptura (o) (mm2/mm) Afpm exp Ruptura

V11_B 0,111 DE-RU X V17_B 0,111 DE-RU 22,14 0,105 0,9 DE V12_A 0,111 RU 22,81 0,120 1,1 RU V18_A 0,111 RU 23,77 0,144 1,3 RU V20_A 0,111 RU 24,78 0,175 1,6 RU V12_B 0,079 DE 26,54 0,353 4,5 DE V14_B 0,079 DE 22,11 0,150 1,9 DE V13_A 0,222 DE X V13_B 0,222 DE X V15_B 0,222 DE X V16_B 0,222 DE X V14_A 0,157 DE X V15_A 0,157 DE X V20_B 1,400 DE X V22_B 1,400 DE X V21_B 0,990 DE X V22_A 0,990 DE X Diagana (2003) PU1 0,172 DE 32,81 0,234 1,4 DE PU2 0,138 DE 31,86 0,150 1,1 DE PU3 0,115 DE 32,07 0,272 2,4 DE PU4 0,098 DE 31,85 0,240 2,4 DE PC1 0,172 RU 33,63 0,317 1,8 RU PC2 0,138 RU 32,64 0,218 1,6 RU PC3 0,115 RU 31,15 0,149 1,3 RU PC4 0,098 RU 30,77 0,104 1,1 RU Chaallal et al. (1998) RS90-1 1,000 RU 35,50 0,468 0,5 DE RS90-2 1,000 DE 38,72 0,995 1,0 DE RS135-1 0,667 DE 33,21 0,361 0,5 DE RS135-2 0,667 DE 34,04 0,509 0,8 DE Média 1,6 Coeficiente de variação 54,14%

129

Tabela 3.3 – Resultados de Afpm calculado com o modelo de Chen e Teng (2003 a, b) e θ = 45o.

Resultado Experimental Resultados teóricos

Afpm Modo Afpm A fpm teo Modo Autor / viga

(mm2/ mm) Ruptura (mm2/mm) Afpm exp Ruptura

Khalifa e Nanni (2002) SO3-2 0,13 DE 1,207 9,1 DE SO3-3 0,198 DE 1,228 6,2 DE SO3-4 0,330 DE X SO4-2 0,132 DE 1,085 8,2 DE SO4-3 0,330 EB X Khalifa e Nanni (2000) BT2 0,330 DE 0,986 3,0 DE BT4 0,132 DE 1,243 9,4 DE BT5 0,132 DE 0,500 3,8 DE Täljsten (2003) RC1 0,156 EB 0,346 2,2 DE C1 0,099 RU 0,129 1,3 DE C2 0,156 EB 0,139 0,9 DE C3 0,220 EB 0,188 0,9 DE C5 0,240 EB 0,462 1,9 DE Beber (2003) V9_A 0,111 DE 0,378 3,4 DE V9_B 0,111 DE 0,594 5,3 DE V21_A 0,111 DE X V11_A 0,111 DE-RU 0,261 2,4 DE V11_B 0,111 DE-RU 0,701 6,3 DE V17_B 0,111 DE-RU 0,184 1,7 DE V12_A 0,111 RU 0,218 2,0 RU V18_A 0,111 RU 0,253 2,3 RU V20_A 0,111 RU 0,295 2,7 RU V12_B 0,079 DE 0,239 3,0 DE V14_B 0,079 DE 0,137 1,7 DE V13_A 0,222 DE 0,632 2,8 DE V13_B 0,222 DE 0,721 3,2 DE V15_B 0,222 DE 0,289 1,3 RU V16_B 0,222 DE 0,205 0,9 RU V14_A 0,157 DE X V15_A 0,157 DE 0,579 3,7 DE V20_B 1,400 DE X V22_B 1,400 DE 2,423 1,7 DE V21_B 0,990 DE 1,802 1,8 DE V22_A 0,990 DE 1,366 1,4 DE Diagana (2003) PU1 0,172 DE 0,244 1,4 DE PU2 0,138 DE 0,181 1,3 RU

130

Continuação da Tabela 3.3 – Resultados de Afpm calculado com o modelo de Chen e Teng (2003 a, b) e θ = 45o.

Resultado Experimental Resultados teóricos

Afpm Modo Afpm A fpm teo Modo Autor / viga

(mm2/ mm) Ruptura (mm2/mm) Afpm exp Ruptura

PU3 0,115 DE 0,219 1,9 DE PU4 0,098 DE 0,199 2,0 DE PC1 0,172 RU 0,411 2,4 RU PC2 0,138 RU 0,302 2,2 RU PC3 0,115 RU 0,181 1,6 RU PC4 0,098 RU 0,135 1,4 RU Chaallal et al.(1998) RS90-1 1,000 RU 0,483 0,5 DE RS90-2 1,000 DE 0,712 0,7 DE RS135-1 0,667 DE 0,345 0,5 DE RS135-2 0,667 DE 0,433 0,6 DE Média 2,7 Coeficiente de Variação 46,59%

As vigas do estudo de Chaallal et al. (1998) foram as que apresentaram

resultados mais desfavoráveis à segurança. Uma das diferenças destas vigas,

em comparação com as outras vigas estudadas, é a sua geometria, com

comprimento pequeno (1300 mm) em relação à altura útil (220 mm). Além disso,

apesar de todas as vigas terem recebido reforço apenas nas laterais, foi

observado pelos autores a ruptura do compósito em uma delas, quando seria

esperado descolamento em todas devido ao tipo de reforço.

A porcentagem de acertos dos modos de ruptura teóricos em relação aos

experimentais foi de 80% para o cálculo com o algoritmo usando θ variável e

78% para o cálculo com o algoritmo usando θ constante.

Os ângulos θ calculados e apresentados na Tabela 3.2 estão entre a faixa

de 20,47o a 38,72o, o que não está de acordo com a NBR 6118 (2003) que

considera que o ângulo pode variar entre 30o e 45o.

Um dos motivos para estes baixos valores de θ pode ser a alta taxa de

armadura longitudinal, já que estas vigas foram dimensionadas para não romper

por flexão e sim ao cortante. O gráfico da Figura 3.18 mostra a variação do

ângulo θ em função das taxas de armadura longitudinal (3.18-a) e transversal

(3.18-b).

131

Figura 3.18 – Gráfico de θ em função das taxas de armadura.

Entre os ensaios experimentais estudados o único que apresentou

resultados para o ângulo da fissura diagonal foi o de Täljsten (2003). Os valores

dos ângulos calculados pelo modelo apresentado foram menores do que os

valores obtidos para θ no ensaio, para todas as vigas. Esta comparação mostra

que o ângulo calculado através da eq. (3.31) pode assumir valores desfavoráveis

à segurança. Porém a carência de resultados experimentais para o valor deste

ângulo não permite maiores conclusões.

Com exceção das vigas do estudo de Chaallal et al. (1998), a maioria das

vigas teve uma área de reforço calculada bem maior do que a área utilizada nos

ensaios. Além disso, para algumas vigas não foi possível calcular uma área de

reforço, pois a área necessária seria muito grande, ultrapassando cinco camadas

de reforço. Esses casos foram marcados com “X”.

Este erro pode estar no modelo usado, como uma falha na consideração

da geometria da viga ou da configuração do reforço, que não forneceriam

ancoragem suficiente para alcançar a resistência necessária. Outra possível

fonte de erros é a avaliação da força cortante resistida pela viga sem o reforço.

Para avaliar a parcela da força cortante resistida por mecanismos

complementares ao da treliça, foi feita uma comparação entre o valor da força

cortante resistido pelas vigas de referência e os valores calculados pelas normas

NBR-6118 (2003), ACI 318 (1995), Eurocode 2 (2001) e CSA (1995).

As vigas utilizadas na comparação são as vigas de referência dos estudos

apresentados no capítulo 2.4 e outras encontradas na literatura: Deniad e

Chang, 2000; Täljsten e Elfgren, 2000; Galvez e Moreno, 2000; Neto et al., 2001,

sendo que as vigas reforçadas destes estudos não foram utilizadas nas outras

análises pois faltavam alguns dados sobre o reforço. Todos os coeficientes de

132

segurança foram adotados com valor igual a 1,0 e o ângulo de inclinação da

biela de compressão foi considerado constante e igual a 45o.

Os resultados da comparação entre as resistências calculadas e as

obtidas no ensaio estão apresentados na Tabela 3.4.

Tabela 3.4 – Resultados de Vsd.

Através dos resultados da Tabela 3.4 pode-se concluir que a soma das parcelas da força cortante resistidas pela armadura transversal de aço (Vs) e por

mecanismos complementares ao da treliça (Vc) calculadas de acordo com a NBR

6118 (2003), para a maioria das vigas de referência dos ensaios considerados, é

Viga Ref. NBR 6118 ACI Eurocode 2 CSA VSd VSd V Sdteo VSd V Sdteo VSd V Sdteo VSd V Sdteo Autor / Viga

(kN) (kN) VSdexp (kN) VSdexp (kN) VSdexp (kN) VSdexp

Khalifa e Nanni (2002) SO3-1 77,00 43,74 0,57 33,18 0,43 49,22 0,64 39,96 0,52 SO4-1 65,00 43,74 0,67 33,18 0,51 49,22 0,76 39,96 0,61

Khalifa e Nanni (2000)

BT1 90,00 71,71 0,80 52,26 0,58 69,09 0,77 62,94 0,70

Täljsten (2003) C1 124,10 148,90 1,20 100,97 0,81 117,72 0,95 121,60 0,98

Beber (2003) V18_A 57,35 48,94 0,85 36,05 0,63 52,00 0,91 43,42 0,76 V18_B 56,49 48,94 0,87 36,05 0,64 52,00 0,92 43,42 0,77 Diagana (2003) PU4 110,00 92,60 0,84 73,11 0,66 76,97 0,70 84,26 0,77 Chaallal et al. (1998) RS90-1 53,25 66,88 1,26 57,30 1,08 53,41 1,00 63,93 1,20 Deniaud e Chang (2000) T6NS 110,10 123,30 1,12 86,46 0,79 110,93 1,01 104,13 0,95 T6S4 187,55 160,36 0,86 127,63 0,68 110,93 0,59 145,30 0,77 T6S2 356,85 197,41 0,55 168,80 0,47 110,93 0,31 186,46 0,52 Täljsten e Elfgren (2000) R1 106,00 128,13 1,21 90,21 0,85 126,87 1,20 108,64 1,02 R2 120,50 126,38 1,05 89,28 0,74 126,13 1,05 107,53 0,89 R3 113,00 139,02 1,23 95,90 0,85 131,37 1,16 115,49 1,02 Galvez e Moreno (2000) VTG1 47,50 49,69 1,05 75,34 1,59 41,57 0,88 57,03 1,20 VTG2 47,50 67,49 0,90 57,74 0,77 53,86 0,72 61,09 0,81 Neto et al. (2001) 1 125,50 66,30 0,53 49,31 0,39 80,96 0,65 59,38 0,47 4 184,20 108,66 0,59 96,37 0,52 80,96 0,44 106,44 0,58 Média 0,9 0,7 0,8 0,8 Coeficiente de Variação (%)

28,5 39,1 30,3 28,3

133

conservativa. No caso do dimensionamento considerando o ângulo variável esta diferença é ainda maior, pois a parcela Vc ainda sofre uma redução com a

diminuição de θ.

A área de reforço sofre grande influência da parcela da força cortante resistida pela viga sem o reforço (Vs + Vc), pois uma pequena diferença na

avaliação desta parcela vai influenciar diretamente o valor de Vf.

Na Figura 3.19 é apresentado um gráfico de Vf, calculado pelo modelo de

Chen e Teng (2003 a, b) para ruptura por descolamento, em função de tf,

considerando reforço contínuo e com dois tipos de ancoragem, apenas nas laterais ou em “U”. Para o valor de fck e para as características da seção foram

utilizados os dados das vigas de Khalifa e Nanni (2002).

Figura 3.19 – Gráfico de Vf em função de tf.

A Figura 3.19 mostra que a partir de um certo limite, para um pequeno aumento em Vf é necessário um grande aumento na área de reforço (que é

proporcional a tf). Quando a espessura do reforço se torna muito grande Vf

praticamente não se altera para incrementos de tf, pois o reforço irá descolar

facilmente. Além disso, este aumento na área de reforço nem sempre é possível

pois irá ultrapassar o número limite de 5 camadas. Tomando o valor de tf igual a 0,165 mm, como no ensaio de Khalifa e

Nanni (2002), foram marcados no gráfico da Figura 3.20 os valores de tf de uma

a cinco camadas de reforço.

134

Figura 3.20 – Gráfico de Vf em função de tf.com limite de camadas.

Através do gráfico da Figura 3.20 é possível verificar que para o reforço colado apenas nas laterais a partir de duas camadas o valor de Vf praticamente

não se altera, enquanto que a variação de Vf para o reforço em “U” é um pouco

maior.

Baseando-se nos resultados da Tabela 3.4, verifica-se que a NBR 6118

(2003), apesar de fornecer valores conservativos, é a que apresentou melhores

resultados no cálculo da resistência à força cortante de vigas sem o reforço

externo, em relação às outras normas estudadas.

O modelo que apresentou os melhores resultados para o cálculo da área

de reforço à força cortante foi o que considera o ângulo de inclinação da biela de

compressão constante e igual a 45o.

4 Conclusões e Sugestões

4.1. Conclusões

Neste trabalho foi apresentado um estudo do reforço à força cortante com

compósitos de fibras de carbono.

Os casos de utilização do reforço com compósitos de fibras de carbono

apresentados no capítulo 2 mostram que este tipo de material vem sendo

utilizado com sucesso na recuperação de estruturas em todo o mundo,

comprovando sua praticidade e eficiência.

Com base nos resultados experimentais obtidos na literatura foi constatado

que a utilização do reforço externo com compósitos de fibras de carbono

aumenta de forma significativa a resistência à força cortante. Em relação às

vigas de referência, o ganho de resistência à força cortante nas vigas reforçadas

foi de 18% em Diagana (2003) a 255,6% em Beber (2003). Este ganho de

resistência nem sempre é proporcional ao acréscimo na quantidade de reforço.

O modo de ruptura das vigas reforçadas mais observado foi o

descolamento do reforço, mostrando que a ancoragem é um fator extremamente

importante no projeto de vigas de concreto com reforço externo colado. Por

fornecer uma melhor ancoragem, o método mais eficiente de reforço é o

envolvimento completo da seção.

Outro tipo de ruptura observado em algumas vigas reforçadas foi a ruptura

por esmagamento do concreto, mostrando que um limite para o reforço à força

cortante deve ser dado pela resistência à compressão da biela comprimida.

Foi desenvolvido um modelo de cálculo do ângulo de inclinação da biela de

compressão em vigas de concreto armado reforçadas externamente, baseado na

teoria do campo de compressão diagonal. Os valores dos ângulos calculados

através deste modelo, para as vigas dos ensaios experimentais, ficaram fora da

faixa considerada pela NBR 6118 (2003), que é de 30o a 45o.

Quatro modelos para o cálculo da parcela da força cortante resistida pelo

reforço externo foram comparados de duas formas, uma adotando o ângulo de

inclinação da biela de compressão variável e outra adotando o ângulo igual a

136

45o. Verificou-se que o modelo mais adequado para o cálculo desta parcela foi o

de Chen e Teng (2003 a, b). Os modelos de Khalifa et al. (1998) e de

Triantafillou e Antonopoulos (2000) que são utilizados pela fib Bulletin 14 (2001),

pelo manual ISIS (2001) e pelo ACI Committee 440 (2001), não apresentaram

bons resultados no cálculo da força cortante resistida pelo reforço externo.

Com o objetivo de obter uma metodologia para o cálculo direto da área de

reforço, dois algoritmos foram desenvolvidos, implementados e compilados no

programa MAPLE V (1997), utilizando a NBR 6118 (2003) e o modelo de Chen e

Teng (2003 a, b). Um algoritmo considera o ângulo da biela de compressão

variável e outro considera o ângulo igual a 45o. Para avaliar a eficiência dos

algoritmos, os resultados das áreas de reforço calculadas foram comparadas

com as áreas adotadas nos ensaios experimentais. Os dois algoritmos

apresentaram resultados conservativos para o valor da área de reforço. O

algoritmo que apresentou melhores resultados foi o que considerou o ângulo

igual a 45o.

Esse resultado conservativo pode ser atribuído à avaliação da parcela da

força cortante resistida pela viga sem o reforço externo, que tem grande

influência no cálculo da área de reforço. No caso do dimensionamento considerando o ângulo variável esta diferença é ainda maior, pois a parcela Vc

ainda sofre uma redução com a diminuição de θ. Foi feita uma comparação entre

os valores destas parcelas obtidos em ensaios experimentais e os valores

calculados com base nas seguintes normas NBR 6118 (2003), ACI 318 (1995),

Eurocode 2 (2001) e CSA-A23 (1994). A maioria das vigas não tinha armadura

transversal de aço. Verificou-se que os resultados teóricos para o valor da

resistência à força cortante da viga sem reforço externo são conservativos,

sendo que a NBR 6118 (2003) apresentou os resultados mais próximos dos

valores experimentais.

Qualquer erro na avaliação das características físicas das vigas ou do

material do reforço, nos ensaios experimentais, irá influenciar os resultados dos

algoritmos para dimensionamento da área de reforço e dos modelos de cálculo

da parcela da força cortante resistida pelo reforço.

137

4.2. Sugestões

A seguir são apresentadas algumas sugestões para o desenvolvimento de

trabalhos futuros:

- Estudos experimentais sobre o mecanismo de ancoragem do reforço,

visto que o modo de ruptura mais freqüente é o descolamento.

- Aprimoramento dos modelos teóricos para o cálculo da parcela da força

cortante resistida pelo reforço externo.

- O desenvolvimento de um modelo teórico para o cálculo da parcela da

força cortante resistida pelo reforço externo considerando o ângulo de inclinação

da biela de compressão variável.

- Estudos experimentais sobre o reforço externo colado, apresentando o

resultado do ângulo da fissura diagonal.

- Investigar o cálculo da parcela resistida por mecanismos complementares

ao da treliça adotado pela NBR 6118 (2003), comparando com novos resultados

de ensaios experimentais.

- Estudo do cálculo da resistência total das vigas estabelecidos por

diversas normas, considerando o somatório das as parcelas da força cortante

resistidas pelo reforço externo, pela armadura transversal de aço e pelos

mecanismos complementares ao da treliça.

- O desenvolvimento de um modelo mais apropriado para o

dimensionamento da área de reforço em conjunto com a NBR 6118 (2003).

- Novos estudos a respeito de esquemas especiais para a ancoragem do

reforço em situações onde não é possível envolver completamente a seção com

o reforço externo colado.

- Estudos experimentais para a obtenção direta da deformação específica

do compósito em vigas de concreto com reforço externo colado.

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Anexo Tabelas de Resultados

144

A fim de facilitar a identificação da configuração de reforço das vigas nas

Tabelas A.1 a A.10, foram criadas siglas para diferenciá-las, considerando o tipo

de ancoragem, a disposição do reforço e a inclinação das fibras:

• Tipo de ancoragem: S para reforço colado apenas nas laterais,

U para reforço em “U” e W para envolvimento completo da

seção pelo reforço.

• Disposição: F para reforço em faixas espaçadas e C para

reforço contínuo.

• Inclinação das fibras: 45 para reforço inclinado a 45o em relação

ao eixo da viga e 90 para reforço inclinado a 90o.

Assim, a sigla UF-90, por exemplo, significa que a viga tem reforço colado

em “U”, em faixas espaçadas e inclinadas a 90o em relação ao eixo da viga.

145

Tabela A.1 – Resultado de Vf teo pelo modelo de Chen e Teng (2003 a, b).

Resultados Teóricos – Chen e Teng (2003 a, b) Características Resultado

Experimental θ variável θ = 45o Vf Modo de θ teo Vf Vf teo Modo de Vf Vf teo Modo de

Autor Viga tipo (kN) Ruptura (o) (kN) Vf exp Ruptura (kN) Vf exp Ruptura Khalifa e Nanni (2002) SO3-2 UF-90 54,00 DE 22,28 78,32 1,5 DE 32,09 0,6 DE SO3-3 UF-90 56,50 DE 24,37 92,97 1,6 DE 42,11 0,7 DE SO3-4 UC-90 67,50 DE 27,19 103,30 1,5 DE 53,06 0,8 DE SO4-2 UF-90 62,50 DE 22,28 78,32 1,3 DE 32,09 0,5 DE Khalifa e Nanni (2000) BT2 UC-90 65,00 DE 29,87 94,34 1,5 DE 54,18 0,8 DE BT4 UF-90 72,00 DE 24,60 71,55 1,0 DE 32,76 0,5 DE BT5 SF-90 31,50 DE 24,60 60,65 1,9 DE 27,77 0,9 DE Täljsten (2003) C1 UC-45 122,60 RU 21,06 162,09 1,3 DE 90,13 0,7 DE Beber (2003) V9_A SF-90 41,24 DE 22,42 70,80 1,7 DE 29,21 0,7 DE V9_B SF-90 47,41 DE 22,42 70,80 1,5 DE 29,21 0,6 DE V21_A SF-90 58,31 DE 22,42 70,80 1,2 DE 29,21 0,5 DE V11_A UF-90 41,55 DE-RU 22,42 80,40 1,9 DE 33,17 0,8 DE V11_B UF-90 67,92 DE-RU 22,42 80,40 1,2 DE 33,17 0,5 DE V17_B UF-90 36,05 DE-RU 22,42 80,40 2,2 DE 33,17 0,9 DE V12_A WF-90 59,48 RU 22,42 104,01 1,7 RU 42,92 0,7 RU V18_A WF-90 70,41 RU 22,42 104,01 1,5 RU 42,92 0,6 RU V20_A WF-90 83,24 RU 22,42 104,01 1,2 RU 42,92 0,5 RU V12_B SF-45 44,77 DE 19,11 61,28 1,4 DE 31,54 0,7 DE V14_B SF-45 34,77 DE 19,11 61,28 1,8 DE 31,54 0,9 DE V13_A SC-90 65,09 DE 26,10 84,32 1,3 DE 41,31 0,6 DE V13_B SC-90 68,83 DE 26,10 84,32 1,2 DE 41,31 0,6 DE V15_B UC-90 81,45 DE 26,10 95,76 1,2 DE 46,91 0,6 DE V16_B UC-90 55,51 DE 26,10 95,76 1,7 DE 46,91 0,8 DE

146

Tabela A.2 – Resultado de Vf teo pelo modelo de Chen e Teng (2003 a, b). Resultados Teóricos – Chen e Teng (2003 a, b)

Características Resultado Experimental θ variável θ = 45o Vf Modo de θ teo Vf Vf teo Modo de Vf Vf teo Modo de

Autor Viga tipo (kN) Ruptura (o) (kN) Vf exp Ruptura (kN) Vf exp Ruptura Beber (2003) V14_A SC-45 71,51 DE 24,08 72,19 1,0 DE 44,59 0,6 DE V15_A SC-45 63,68 DE 24,08 72,19 1,1 DE 44,59 0,7 DE V20_B SF-90 86,03 DE 36,65 63,30 0,7 DE 47,09 0,5 DE V22_B SF-90 55,63 DE 36,65 63,30 1,1 DE 47,09 0,8 DE V21_B SF-45 78,82 DE 31,64 82,76 1,1 DE 63,11 0,8 DE V22_A SF-45 68,72 DE 31,64 82,76 1,2 DE 63,11 0,9 DE Diagana (2003) PU1 UF-90 32,20 DE 32,12 59,40 1,8 DE 37,29 1,2 DE PU2 UF-90 20,00 DE 31,71 49,65 2,5 DE 30,68 1,5 DE PU3 UF-45 44,50 DE 30,86 48,65 1,1 DE 36,39 0,8 DE PU4 UF-45 40,00 DE 30,72 42,64 1,1 DE 31,79 0,8 DE PC1 WF-90 67,50 RU 32,12 70,76 1,0 RU 44,43 0,7 RU PC2 WF-90 45,00 RU 31,71 57,52 1,3 RU 35,54 0,8 RU PC3 WF-45 35,50 RU 30,86 55,99 1,6 RU 41,89 1,2 RU PC4 WF-45 22,00 RU 30,72 48,16 2,2 RU 35,90 1,6 RU Chaallal et al. (1998) RS90-1 SF-90 34,25 RU 38,74 44,74 1,3 DE 35,90 1,0 DE RS90-2 SF-90 41,75 DE 38,74 44,47 1,1 DE 35,90 0,9 DE RS135-1 SF-45 40,75 DE 34,79 54,85 1,3 DE 44,97 1,1 DE RS135-2 SF-45 46,25 DE 34,79 54,85 1,2 DE 44,97 1,0 DE Média 1,4 0,8 Coeficiente de Variação 26,4% 32,0%

147

Tabela A.3 – Resultado de Vf teo pelo modelo de Chen e Teng (2003 a, b) de dimensionamento. Resultados Teóricos – Chen e Teng (2003 a, b) (dimensionamento)

Características Resultado Experimental θ variável θ = 45o Vf Modo de θ teo Vf Vf teo Modo de Vf Vf teo Modo de

Autor Viga tipo (kN) Ruptura (o) (kN) Vf exp Ruptura (kN) Vf exp Ruptura Khalifa e Nanni (2002) SO3-2 UF-90 54,00 DE 22.28 57,77 1,1 DE 23,67 0,4 DE SO3-3 UF-90 56,50 DE 24,37 68,59 1,2 DE 31,07 0,5 DE SO3-4 UC-90 67,50 DE 27,19 76,20 1,1 DE 39,14 0,6 DE SO4-2 UF-90 62,50 DE 22,28 57,77 0,9 DE 23,67 0,4 DE Khalifa e Nanni (2000) BT2 UC-90 65,00 DE 29,87 69,60 1,1 DE 39,97 0,6 DE BT4 UF-90 72,00 DE 24,60 52,78 0,7 DE 24,17 0,3 DE BT5 SF-90 31,50 DE 24,60 44,74 1,4 DE 20,49 0,7 DE Täljsten (2003) C1 UC-45 122,60 RU 21,06 119,57 1,0 DE 66,49 0,5 DE Beber (2003) V9_A SF-90 41,24 DE 22,42 52,23 1,3 DE 21,55 0,5 DE V9_B SF-90 47,41 DE 22,42 52,23 1,1 DE 21,55 0,5 DE V21_A SF-90 58,31 DE 22,42 52,23 0,9 DE 21,55 0,4 DE V11_A UF-90 41,55 DE-RU 22,42 59,31 1,4 DE 24,47 0,6 DE V11_B UF-90 67,92 DE-RU 22,42 59,31 0,9 DE 24,47 0,4 DE V17_B UF-90 36,05 DE-RU 22,42 59,31 1,6 DE 24,47 0,7 DE V12_A WF-90 59,48 RU 22,42 83,21 1,4 RU 34,33 0,6 RU V18_A WF-90 70,41 RU 22,42 83,21 1,2 RU 34,33 0,5 RU V20_A WF-90 83,24 RU 22,42 83,21 1,0 RU 34,33 0,4 RU V12_B SF-45 44,77 DE 19,11 45,21 1,0 DE 23,26 0,5 DE V14_B SF-45 34,77 DE 19,11 45,21 1,3 DE 23,26 0,7 DE V13_A SC-90 65,09 DE 26,10 62,21 1,0 DE 30,48 0,5 DE V13_B SC-90 68,83 DE 26,10 62,21 0,9 DE 30,48 0,4 DE V15_B UC-90 81,45 DE 26,10 70,64 0,9 DE 34,61 0,4 DE V16_B UC-90 55,51 DE 26,10 70,64 1,3 DE 34,61 0,6 DE

148

Tabela A.4 – Resultado de Vf teo pelo modelo de Chen e Teng (2003 a, b) de dimensionamento.

Resultados Teóricos – Chen e Teng (2003 a, b) (dimensionamento) Características Resultado

Experimental θ variável θ = 45o Vf Modo de θ teo Vf Vf teo Modo de Vf Vf teo Modo de

Autor Viga tipo (kN) Ruptura (o) (kN) Vf exp Ruptura (kN) Vf exp Ruptura Beber (2003) V14_A SC-45 71,51 DE 24,08 53,26 0,7 DE 32,90 0,5 DE V15_A SC-45 63,68 DE 24,08 53,26 0,8 DE 32,90 0,5 DE V20_B SF-90 86,03 DE 36,65 46,70 0,5 DE 34,74 0,4 DE V22_B SF-90 55,63 DE 36,65 46,70 0,8 DE 34,74 0,6 DE V21_B SF-45 78,82 DE 31,64 61,06 0,8 DE 46,56 0,6 DE V22_A SF-45 68,72 DE 31,64 61,06 0,9 DE 46,56 0,7 DE Diagana (2003) PU1 UF-90 32,20 DE 32,12 43,82 1,4 DE 27,51 0,9 DE PU2 UF-90 20,00 DE 31,71 36,63 1,8 DE 22,63 1,1 DE PU3 UF-45 44,50 DE 30,86 35,89 0,8 DE 26,85 0,6 DE PU4 UF-45 40,00 DE 30,72 31,46 0,8 DE 23,45 0,6 DE PC1 WF-90 67,50 RU 32,12 56,61 0,8 RU 35,54 0,5 RU PC2 WF-90 45,00 RU 31,71 46,02 1,0 RU 28,43 0,6 RU PC3 WF-45 35,50 RU 30,86 44,79 1,3 RU 33,51 0,9 RU PC4 WF-45 22,00 RU 30,72 38,53 1,8 RU 28,72 1,3 RU Chaallal et al. (1998) RS90-1 SF-90 34,25 RU 38,74 33,01 1,0 DE 26,48 0,8 DE RS90-2 SF-90 41,75 DE 38,74 33,01 0,8 DE 26,48 0,6 DE RS135-1 SF-45 40,75 DE 34,79 40,46 1,0 DE 33,17 0,8 DE RS135-2 SF-45 46,25 DE 34,79 40,46 0,9 DE 33,17 0,7 DE Média 1,1 0,6 Coeficiente de Variação 26,9% 33,1%

149

Tabela A.5 – Resultado de Vf teo pelo modelo de Triantafillou e Antonopoulos (2000).

Resultados Teóricos –Triantafillou e Antonopoulos (2000) Características Resultado

Experimental θ variável θ = 45o Vf Modo de θ teo Vf Vf teo Modo de Vf Vf teo Modo de

Autor Viga tipo (kN) Ruptura (o) (kN) Vf exp Ruptura (kN) Vf exp Ruptura Khalifa e Nanni (2002) SO3-2 UF-90 54,00 DE 22.28 92,47 1,7 DE 37,89 0,7 DE SO3-3 UF-90 56,50 DE 24,37 99,98 1,8 DE 45,29 0,8 DE SO3-4 UC-90 67,50 DE 27,19 110,39 1,6 DE 56,70 0,8 DE SO4-2 UF-90 62,50 DE 22,28 92,47 1,5 DE 37,89 0,6 DE Khalifa e Nanni (2000) BT2 UC-90 65,00 DE 29,87 150,84 2,3 DE 86,62 1,3 DE BT4 UF-90 72,00 DE 24,60 126,40 1,8 DE 57,88 0,8 DE BT5 SF-90 31,50 DE 24,60 126,40 4,0 DE 57,88 1,8 DE Täljsten (2003) C1 UC-45 122,60 RU 21,06 283,40 2,3 DE 157,59 1,3 DE Beber (2003) V9_A SF-90 41,24 DE 22,42 90,75 2,2 DE 37,45 0,9 DE V9_B SF-90 47,41 DE 22,42 90,75 1,9 DE 37,45 0,8 DE V21_A SF-90 58,31 DE 22,42 90,75 1,6 DE 37,45 0,6 DE V11_A UF-90 41,55 DE-RU 22,42 90,75 2,2 DE 37,45 0,9 DE V11_B UF-90 67,92 DE-RU 22,42 90,75 1,3 DE 37,45 0,6 DE V17_B UF-90 36,05 DE-RU 22,42 90,75 2,5 DE 37,45 1,0 DE V12_A WF-90 59,48 RU 22,42 120,91 2,0 RU 49,89 0,8 RU V18_A WF-90 70,41 RU 22,42 120,91 1,7 RU 49,89 0,7 RU V20_A WF-90 83,24 RU 22,42 120,91 1,5 RU 49,89 0,6 RU V12_B SF-45 44,77 DE 19,11 88,35 2,0 DE 45,47 1,0 DE V14_B SF-45 34,77 DE 19,11 88,35 2,5 DE 45,47 1,3 DE V13_A SC-90 65,09 DE 26,10 103,69 1,6 DE 50,80 0,8 DE V13_B SC-90 68,83 DE 26,10 103,69 1,5 DE 50,80 0,7 DE V15_B UC-90 81,45 DE 26,10 103,69 1,3 DE 50,80 0,6 DE V16_B UC-90 55,51 DE 26,10 103,69 1,9 DE 50,80 0,9 DE

150

Tabela A.6 – Resultado de Vf teo pelo modelo de Triantafillou e Antonopoulos (2000).

Resultados Teóricos –Triantafillou e Antonopoulos (2000) Características Resultado

Experimental θ variável θ = 45o Vf Modo de θ teo Vf Vf teo Modo de Vf Vf teo Modo de

Autor Viga tipo (kN) Ruptura (o) (kN) Vf exp Ruptura (kN) Vf exp Ruptura Beber (2003) V14_A SC-45 71,51 DE 24,08 116,30 1,6 DE 71,84 1,0 DE V15_A SC-45 63,68 DE 24,08 116,30 1,8 DE 71,84 1,1 DE V20_B SF-90 86,03 DE 36,65 145,95 1,7 DE 108,58 1,3 DE V22_B SF-90 55,63 DE 36,65 145,95 2,6 DE 108,58 2,0 DE V21_B SF-45 78,82 DE 31,64 172,91 2,2 DE 131,85 1,7 DE V22_A SF-45 68,72 DE 31,64 172,91 2,5 DE 131,85 1,9 DE Diagana (2003) PU1 UF-90 32,20 DE 32,12 81,03 2,5 DE 50,87 1,6 DE PU2 UF-90 20,00 DE 31,71 74,63 3,7 DE 46,12 2,3 DE PU3 UF-45 44,50 DE 30,86 80,45 1,8 RU 60,19 1,4 RU PU4 UF-45 40,00 DE 30,72 72,48 1,8 RU 54,03 1,4 RU PC1 WF-90 67,50 RU 32,12 90,04 1,3 RU 56,53 0,8 RU PC2 WF-90 45,00 RU 31,71 78,25 1,7 RU 48,35 1,1 RU PC3 WF-45 35,50 RU 30,86 80,45 2,3 RU 60,19 1,7 RU PC4 WF-45 22,00 RU 30,72 72,48 3,3 RU 54,03 2,5 RU Chaallal et al. (1998) RS90-1 SF-90 34,25 RU 38,74 90,74 2,6 DE 72,80 2,1 DE RS90-2 SF-90 41,75 DE 38,74 90,74 2,2 DE 72,80 1,7 DE RS135-1 SF-45 40,75 DE 34,79 105,05 2,6 DE 86,13 2,1 DE RS135-2 SF-45 46,25 DE 34,79 105,05 2,3 DE 86,13 1,9 DE Média 2,1 1,2 Coeficiente de Variação 29,0% 43,6%

151

Tabela A.7 – Resultado de Vf teo pelo modelo de Khalifa et al. (1998).

Resultados Teóricos – Khalifa et al. (1998) Características Resultado

Experimental θ variável θ = 45o Vf Modo de θ teo Vf Vf teo Modo de Vf Vf teo Modo de

Autor Viga tipo (kN) Ruptura (o) (kN) Vf exp Ruptura (kN) Vf exp Ruptura Khalifa e Nanni (2002) SO3-2 UF-90 54,00 DE 22.28 67,91 1,3 DE 27,82 0,5 DE SO3-3 UF-90 56,50 DE 24,37 92,13 1,6 DE 41,73 0,7 DE SO3-4 UC-90 67,50 DE 27,19 135,41 2,0 DE 69,56 1,0 DE SO4-2 UF-90 62,50 DE 22,28 67,91 1,1 DE 27,82 0,4 DE Khalifa e Nanni (2000) BT2 UC-90 65,00 DE 29,87 142,69 2,2 DE 81,94 1,3 DE BT4 UF-90 72,00 DE 24,60 71,58 1,0 DE 32,77 0,5 DE BT5 SF-90 31,50 DE 24,60 51,27 1,6 DE 23,48 0,7 DE Täljsten (2003) C1 UC-45 122,60 RU 21,06 372,52 3,0 def max 207,15 1,7 def max Beber (2003) V9_A SF-90 41,24 DE 22,42 45,55 1,1 DE 18,79 0,5 DE V9_B SF-90 47,41 DE 22,42 45,55 1,0 DE 18,79 0,4 DE V21_A SF-90 58,31 DE 22,42 45,55 0,8 DE 18,79 0,3 DE V11_A UF-90 41,55 DE-RU 22,42 74,24 1,8 DE 30,63 0,7 DE V11_B UF-90 67,92 DE-RU 22,42 74,24 1,1 DE 30,63 0,5 DE V17_B UF-90 36,05 DE-RU 22,42 74,24 2,1 DE 30,63 0,8 DE V12_A WF-90 59,48 RU 22,42 45,55 0,8 DE 18,79 0,3 DE V18_A WF-90 70,41 RU 22,42 45,55 0,6 DE 18,79 0,3 DE V20_A WF-90 83,24 RU 22,42 45,55 0,5 DE 18,79 0,2 DE V12_B SF-45 44,77 DE 19,11 36,52 0,8 DE 18,80 0,4 DE V14_B SF-45 34,77 DE 19,11 36,52 1,1 DE 18,80 0,5 DE V13_A SC-90 65,09 DE 26,10 76,72 1,2 DE 37,58 0,6 DE V13_B SC-90 68,83 DE 26,10 76,72 1,1 DE 37,58 0,5 DE V15_B UC-90 81,45 DE 26,10 125,06 1,5 DE 61,27 0,8 DE V16_B UC-90 55,51 DE 26,10 125,06 2,3 DE 61,27 1,1 DE

152

Tabela A.8 – Resultado de Vf teo pelo modelo de Khalifa et al. (1998).

Resultados Teóricos – Khalifa et al. (1998) Características Resultado

Experimental θ variável θ = 45o Vf Modo de θ teo Vf Vf teo Modo de Vf Vf teo Modo de

Autor Viga tipo (kN) Ruptura (o) (kN) Vf exp Ruptura (kN) Vf exp Ruptura Beber (2003) V14_A SC-45 71,51 DE 24,08 86,05 1,2 DE 53,15 0,7 DE V15_A SC-45 63,68 DE 24,08 86,05 1,4 DE 53,15 0,8 DE V20_B SF-90 86,03 DE 36,65 136,12 1,6 DE 101,27 1,2 DE V22_B SF-90 55,63 DE 36,65 136,12 2,4 DE 101,27 1,8 DE V21_B SF-45 78,82 DE 31,64 132,83 1,7 DE 101,28 1,3 DE V22_A SF-45 68,72 DE 31,64 132,83 1,9 DE 101,28 1,5 DE Diagana (2003) PU1 UF-90 32,20 DE 32,12 53,94 1,7 DE 33,87 1,1 DE PU2 UF-90 20,00 DE 31,71 43,85 2,2 DE 27,09 1,4 DE PU3 UF-45 44,50 DE 30,86 42,68 1,0 DE 31,93 0,7 DE PU4 UF-45 40,00 DE 30,72 36,71 0,9 DE 27,37 0,7 DE PC1 WF-90 67,50 RU 32,12 46,34 0,7 DE 29,10 0,4 DE PC2 WF-90 45,00 RU 31,71 37,67 0,8 DE 23,28 0,5 DE PC3 WF-45 35,50 RU 30,86 36,67 1,0 DE 27,43 0,8 DE PC4 WF-45 22,00 RU 30,72 31,54 1,4 DE 23,51 1,1 DE Chaallal et al. (1998) RS90-1 SF-90 34,25 RU 38,74 78,03 2,3 DE 62,61 1,8 DE RS90-2 SF-90 41,75 DE 38,74 78,03 1,9 DE 62,61 1,5 DE RS135-1 SF-45 40,75 DE 34,79 71,99 1,8 DE 59,03 1,4 DE RS135-2 SF-45 46,25 DE 34,79 71,99 1,6 DE 59,03 1,3 DE Média 1,4 0,8 Coeficiente de Variação 39,9% 52,5%

153

Tabela A.9 – Resultado de Vf teo pelo modelo de Khalifa e Nanni (2000).

Resultados Teóricos – Khalifa e Nanni (2000) Características Resultado

Experimental θ variável θ = 45o Vf Modo de θ teo Vf Vf teo Modo de Vf Vf teo Modo de

Autor Viga tipo (kN) Ruptura (o) (kN) Vf exp Ruptura (kN) Vf exp Ruptura Khalifa e Nanni (2002) SO3-2 UF-90 54,00 DE 22.28 70,22 1,3 DE 28,77 0,5 DE SO3-3 UF-90 56,50 DE 24,37 95,27 1,7 DE 43,16 0,8 DE SO3-4 UC-90 67,50 DE 27,19 104,03 1,5 DE 71,93 1,1 DE SO4-2 UF-90 62,50 DE 22,28 70,22 1,1 DE 28,77 0,5 DE Khalifa e Nanni (2000) BT2 UC-90 65,00 DE 29,87 147,60 2,3 DE 84,76 1,3 DE BT4 UF-90 72,00 DE 24,60 74,04 1,0 DE 33,90 0,5 DE BT5 SF-90 31,50 DE 24,60 43,12 1,4 DE 19,75 0,6 DE Täljsten (2003) C1 UC-45 122,60 RU 21,06 tfEf lim tfEf lim Beber (2003) V9_A SF-90 41,24 DE 22,42 41,37 1,0 DE 17,07 0,4 DE V9_B SF-90 47,41 DE 22,42 41,37 0,9 DE 17,07 0,4 DE V21_A SF-90 58,31 DE 22,42 41,37 0,7 DE 17,07 0,3 DE V11_A UF-90 41,55 DE-RU 22,42 71,57 1,7 DE 29,53 0,7 DE V11_B UF-90 67,92 DE-RU 22,42 71,57 1,1 DE 29,53 0,4 DE V17_B UF-90 36,05 DE-RU 22,42 71,57 2,0 DE 29,53 0,8 DE V12_A WF-90 59,48 RU 22,42 93,82 1,6 def max 38,71 0,7 def max V18_A WF-90 70,41 RU 22,42 93,82 1,3 def max 38,71 0,5 def max V20_A WF-90 83,24 RU 22,42 93,82 1,1 def max 38,71 0,5 def max V12_B SF-45 44,77 DE 19,11 33,17 0,7 DE 17,07 0,4 DE V14_B SF-45 34,77 DE 19,11 33,17 1,0 DE 17,07 0,5 DE V13_A SC-90 65,09 DE 26,10 69,68 1,1 DE 34,13 0,5 DE V13_B SC-90 68,83 DE 26,10 69,68 1,0 DE 34,13 0,5 DE V15_B UC-90 81,45 DE 26,10 120,56 1,5 DE 59,06 0,7 DE V16_B UC-90 55,51 DE 26,10 120,56 2,2 DE 59,06 1,1 DE

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Tabela A.10 – Resultado de Vf teo pelo modelo de Khalifa e Nanni (2000).

Resultados Teóricos – Khalifa e Nanni (2000) Características Resultado

Experimental θ variável θ = 45o Vf Modo de θ teo Vf Vf teo Modo de Vf Vf teo Modo de

Autor Viga tipo (kN) Ruptura (o) (kN) Vf exp Ruptura (kN) Vf exp Ruptura Beber (2003) V14_A SC-45 71,51 DE 24,08 78,15 1,1 DE 48,27 0,7 DE V15_A SC-45 63,68 DE 24,08 78,15 1,2 DE 48,27 0,8 DE V20_B SF-90 86,03 DE 36,65 tfEf lim tfEf lim V22_B SF-90 55,63 DE 36,65 tfEf lim tfEf lim V21_B SF-45 78,82 DE 31,64 tfEf lim tfEf lim V22_A SF-45 68,72 DE 31,64 tfEf lim tfEf lim Diagana (2003) PU1 UF-90 32,20 DE 32,12 60,52 1,9 DE 38,00 1,2 DE PU2 UF-90 20,00 DE 31,71 49,19 2,5 DE 30,40 1,5 DE PU3 UF-45 44,50 DE 30,86 47,88 1,1 DE 35,82 0,8 DE PU4 UF-45 40,00 DE 30,72 41,19 1,0 DE 30,71 0,8 DE PC1 WF-90 67,50 r 32,12 70,76 1,0 def Max 44,43 0,7 def max PC2 WF-90 45,00 r 31,71 57,52 1,3 def Max 35,54 0,8 def max PC3 WF-45 35,50 r 30,86 55,99 1,6 def Max 41,89 1,2 def max PC4 WF-45 22,00 r 30,72 48,16 2,2 def Max 35,90 1,6 def max Chaallal et al. (1998) RS90-1 SF-90 34,25 r 38,74 tfEf lim tfEf lim RS90-2 SF-90 41,75 DE 38,74 tfEf lim tfEf lim RS135-1 SF-45 40,75 DE 34,79 tfEf lim tfEf lim RS135-2 SF-45 46,25 DE 34,79 tfEf lim tfEf lim Média 1,4 0,7 Coeficiente de Variação 33,7% 45,7%