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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

EA – 772 CIRCUITOS LÓGICOS

2S-2018 – TURMA A

Resumo

PROF. JOSÉ W M BASSANI

OUTUBRO DE 2018

EA-772 Circuitos Lógicos – Todas-Resumo 2S-2018, Professor: Bassani, JWM

2

Aula 01.

Nesta aula, além das boas vindas aos alunos ingressantes e demais participantes da disciplina,

foram discutidos aspectos do curso, tais como o programa da disciplina, o critério de avaliação,

material didático e dinâmica de trabalho. Foi discutida a importância do estudo dos circuitos

lógicos como base para o estudo dos circuitos digitais, que são a base dos circuitos

encontrados nos computadores atuais e em uma enorme quantidade de dispositivos e

instrumentos usados em todas as áreas. A disciplina tem metas a cumprir que foram também

apresentadas e discutidas.

Começamos com o conceito intuitivo de máquinas de estado, tópico a ser abordado bem mais

adiante sob os pontos de vista formal e construtivo. Para introduzir este conceito, foi

apresentado um robô capaz de fazer ações simples, disparadas pelo seu estado (“de espírito?”)

presente.

Para ajudar a lembrança desta aula, apresento a seguir os detalhes do robô para que você

possa rever e se preparar sobre o assunto.

Veja o desenho do diagrama de estados e sua interpretação a seguir. Vamos imaginar que os

círculos representem os estados pelos quais esta “máquina” irá passar.

Vamos definir o estado S como inicial e também como estado final apenas para sabermos

quando as coisas começam e quando terminam. Como foi dito que o robô irá executar ações

simples quando estiver em um ou outro estado, vamos definir o significado dos outros estados

e as ações correspondentes.

F = Step Forward (1 passo pra frente); B = Step Backward (1 passo para trás); L = Turn Left (girar 45o para a esquerda); R =Turn Right (girar 45o para a direita).


3

Agora, vamos representar o robô por um ponto e um vetor. O ponto representa o local no espaço onde ele se encontra e a orientação do vetor indica a direção do movimento ou a direção para a qual o robô está “apontado”. A máquina funciona da seguinte forma: a) inicialmente o seu estado é o S, indicando que o ponto está parado em algum lugar do espaço (onde você o colocou!); b) o que define a transição para outro estado é a combinação de entrada e o estado presente. O estado presente irá definir também a “saída” produzida pelo dispositivo, ou seja, neste caso os movimentos. Vamos testar uma seqüência de entradas e ver o que acontece: 0 1 3 0 0 1 3 0 0 0 1 3 0 1 Partindo do estado inicial (S), a entrada é 0. O robô vai para o estado F e isto faz com que sua ação seja dar um passo à frente. Estando agora no estado F, a entrada é 1. O novo estado será S e a ação será ficar onde está. Em S, a nova entrada é 3. O novo estado será R. Isto significa que o robô irá virar 45o para a direita, permanecendo no mesmo local. A próxima entrada é 0, levando o robô para o estado F, ou seja, executa 1 passo para frente agora em nova direção. Como a próxima entrada é novamente 0 e o robô está em F a ação será novamente 1 passo para a frente. A nova entrada 1 fará o robô mudar seu estado para S e ficar quieto como estava e, em seguida, com a entrada 3, o robô assume o estado R e gira para a direita mais 45o. As transições ocorrem assim por diante até que termine a sequência de entradas.

Se você continuar com a seqüência, verá que o estado final do robô será (S). Isto pode ter

grande importância mais adiante. Você deve ter certeza do porquê. Estes e outros aspectos

foram discutidos, mostrando que uma máquina como esta é extremamente geral e está na

base do que se faz de mais moderno no campo da computação e engenharia. Muitas

perguntas podem ser (e foram) levantadas na aula sobre o comportamento deste robô e da

estrutura do dispositivo estudado.

Como se faz para tudo começar? Como você pode fazer de verdade uma coisa dessas? Cite formas de “dar vida” a esta máquina. Você conseguiria construir um desses em casa? Cite exemplos do dia-a-dia de máquinas como esta.


4

Há desses modelos de máquina no campo da biologia? (não vale o irmãozinho mais novo!). No atual mundo da multimídia, onde estariam escondidas coisas desta natureza? Pense sobre o que poderiam ser as entradas e as saídas. Exercício. Faça uma programação de entradas para que o robô execute uma tarefa como, por exemplo, desenhar a primeira letra do seu nome. Você acha que este robô poderia percorrer uma trajetória parabólica? Bibliografia

Material didático da disciplina e bibliografia indicada. Acesse o seu browser e digite: ceb.unicamp.br/~bassani


5

Aula 02.

Esta aula foi dedicada a um histórico sobre a evolução das máquinas de calcular, desde os

dispositivos usados para armazenar valores como o Quipu, passando pelos usados para cálculo

como o ábaco, os dispositivos de cálculo mecânicos, eletro-mecânicos e eletrônicos, até os

modernos supercomputadores atuais. É muito importante que se saiba a história. Estas

máquinas são como os dispositivos eletrônicos sofisticados que você usa hoje. Evoluem. Qual

será a persistência evolutiva destes dispositivos? Saiba um pouco sobre os períodos de

evolução e imagine: quanto tempo vai durar o dispositivo eletrônico mais cobiçado de hoje? O

que existe evolutivamente nele? O que mudou efetivamente com relação aos seus

antecessores?

Discutimos o surgimento das linguagens de programação e a evolução da internet (não deixe

de ler o artigo da revista Fapesp). Foi também discutido o impacto do chamado relatório Lax,

no qual Peter Lax chamou a atenção das autoridades para a falta de investimentos em

supercomputadores e para o fato que os Estados Unidos perdiam, neste particular, para o

Japão. O resultado foi a construção de importantes centros de estudo e desenvolvimento

colocando os americanos como ocupantes constantes do primeiro lugar na produção dos

supercomputadores. Hoje, mais de 50% dos 500 computadores mais poderosos existentes

estão nos EUA. No entanto, o Japão, a partir de 2011 vem liderando o topo da lista, seguido

pela China. Dentre os 10 primeiros 5 são dos EUA, 2 do Japão, 2 da China e 1 da França.

Bibliografia

-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Bellos A. Alex no país dos números. Uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática. Ed. Companhia das Letras, São Paulo, 2011. -Boyer CB. A history of mathematics. Ed. John Willey & Sons, New York, 1991. -Huntbach MM & Ringwood GA. Agent oriented programming (From Prolog to Guarded Definite Clauses), Ed. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York, 1999. -http://en.wikipedia.org/wiki/File:Top500.svg -http://www.slideshare.net/top500/top500-112011-bof-slides

(Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)


6

Aula 03.

Começamos, nesta aula, o conceito de números. Destacamos que os números podem ter sido

originados da necessidade que as diferentes espécies animais, inclusive a humana, apresentam

de contar. Procure se lembrar dos exemplos citados em aula sobre a capacidade dos animais

quanto ao senso dos números. Encontre razões para explicar por que as espécies teriam

necessidade de desenvolver a capacidade de distinguir quantidades (números).

Há milênios, os Egípcios e Mesopotâmicos já organizaram símbolos em grupos e pesos, dando

origem a sistemas de representação de números e bases numéricas. Muitas vezes a

representação e base de contagem tiveram origem em conjuntos incidentalmente disponíveis,

tais como os dedos e artelhos. Há relatos da existência de muitos povos que se utilizaram de

um registro corporal. Os Yupnos da Nova Guiné, por exemplo, se utilizavam de partes do corpo

totalizando 33. Neste caso, 34 era o limite! O fato de terem sido usados os dedos e artelhos

pode ter dado origem aos sistemas quinários, decimais, vigesimais, etc. Se fôssemos, como

conta Alex Bellos em seu livro “Alex no País dos Números”, criaturas como os personagens da

Disney, com 3 dedos e um polegar, provavelmente faríamos contas na base 8.

É comum assumirmos que, para nós humanos, a contagem requeira o processo de

representação das quantidades. Assim, é possível também que as linguagens tenham sido

influenciadas pelos números ao mesmo tempo que a difusão dos processos de computação

numérica foram acelerados pelas linguagens.

A matemática, tendo na sua base os números, parece ter sido importante na persistência das

espécies, em particular da espécie humana. Inúmeras passagens históricas e publicações

científicas podem ser encontradas mostrando a habilidade das espécies quanto ao senso dos

números e a sua possível importância para a preservação da espécie.

Contar, agrupar, quantificar, reconhecer padrões ... Computar!

Qualquer que seja a sua futura tendência sobre como modificar o processo de contagem e de

computação, você deve ser instruído para saber alguma coisa concreta que corresponda aos

fundamentos. Saiba, portanto, como se faz atualmente para representar e manipular os

números.

Foi definida em aula a Notação Polinomial. Nesta notação o número é representado por um

polinômio. Assim, um número N na base numérica b, ou seja (N)b é representado pelo seguinte

polinômio:

( ) ∑−

=

=m

ni

i

ib bcN , b> 1 e 0 ≤ ci ≤ b-1;


7

Onde ci são os coeficientes do polinômio, b a base do sistema numérico, n o número de dígitos

da parte inteira e m o número de dígitos da parte fracionária. Na sua forma expandida o

polinômio fica:

( ) m

mb bcbcbcbcccN−

−−

−− +++++++= LK

2

2

1

1-

0

0

1-n

1-n

n

n bb

Na base 10 há 10 símbolos (0 ≤ ci ≤ 9) para representar os números. Na base 2 há dois símbolos

(0 e 1). Por exemplo, (423,12)10 seria representado por:

423,12 = 4 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100 + 1 x 10-1 + 2 x 10-2

= 400 + 20 + 3 + + = 423,12

Esta notação vale para qualquer base, mas veremos mais tarde que ao avaliar (atribuir valor) o

polinômio, fazendo as operações aritméticas na base 10, estamos convertendo o número da

base b para a base 10. Por exemplo,

(23)8 = 2 x 81 + 3 x 80 = 16 + 3 = (19)10

Exercícios

1. Escrever e avaliar os polinômios. Veja antes se é realmente possível expandir o

polinômio.

a) (1011.01)2

b) (302.1)4

c) (927.0)10

d) (101.1)3

e) (33.3)8

f) (99.9)9

g) (1101.0101)2

h) (1101.0101)5

2. Resolver para encontrar o valor de b

a)(1b5)8 = (1010101)2 b) (1010)b = (5)8

3. O valor de b que satisfaz a equação (79)10 = (142)b é:

a) +11

b) -11

c) +7

d) -7

e) +10


8

Bibliografia

-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Bellos A. Alex no país dos números. Uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática. Ed. Companhia das Letras, São Paulo, 2011. (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)


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Aula 04.

Nesta aula foi apresentada uma generalização da forma de representação dos números na

qual são explicitadas as partes inteira e fracionária.

∑+

=

−=mn

i

in

ib bcN1

)( ;

onde m é o número de dígitos da parte fracionária e n da parte inteira. Se m = 0 então o

número é inteiro. A base b > 1 (inteiro) e 0 ≤ ci ≤ b-1.

Lembre-se do exemplo:

n = 3

m = 2

i = 1, 5

∑=

−=5

1

3)(

i

i

ib bcN

Escrevendo o polinômio:

2

5

1

4

0

3

1

2

2

1)( −− ++++= bcbcbcbcbcN b

O número seria representado por 1c 2c 3c . 4c 5c , onde o ponto representa o ponto da base ou

da raiz (b). O coeficientes de 1 a 3 correspondem aos dígitos da parte inteira (n = 3) e de 4 a 5

os da parte fracionária (m = 2).

Veja o número na base 4 abaixo:

(N)4 = (231.02)4 = 2x42+3x41+1x40+0x4-1+2x4-2

Iniciamos também nesta aula o estudo da mudança ou conversão entre bases numéricas. A

conversão foi tratada de modo geral e ao final algumas regras práticas foram explicitadas.

Descrevemos a conversão por meio de algoritmos simplificados. Algoritmos foram definidos

como conjuntos de passos necessários para realizar alguma tarefa bem definida. O algoritmo

para converter um número escrito em uma base b1 para qualquer outra b2 foi,

simplificadamente, o seguinte:

1. Expresse o número na notação polinomial na base b1;

2. Avalie o polinômio, usando aritmética na base b2;


10

(Avaliar significa obter o número após atribuição dos valores numéricos dos coeficientes do

polinômio e das respectivas potências da base)

Fizemos primeiro conversão para a base 10. Dado um número em qualquer base estudamos a

sua conversão para a base 10. Veja um exemplo usado: Queremos converter um número da

base 8 (b1) para a base 10 (b2). Foi então seguido o algoritmo.

1. (26)8 = 2x81 + 6x80. ( (N)b1 expresso na notação polinomial);

2. 2x8 = 16 e 6x1 = 6. Assim, 16 + 6 = 22 e essa aritmética está sendo feita na base b2, ou

seja, na base 10, resultando portanto (22)10.

Para adiantar o seu raciocínio em outras bases foram dadas dicas de alguns números em

outras bases.

(2)10 = (10)2

(3)10 = (10)3

(4)10 = (10)4

O que vem a ser então a base numérica? Corresponde ao número de dígitos (ou símbolos)

usados para representar os números. Por exemplo, na base 10 há 10 dígitos de 0 a 9. Por isso

que na definição de número explicitamos que b era a base definida como um número inteiro

maior que 1 e que os coeficientes do polinômio (os dígitos do número) estariam contidos entre

0 e b-1. Na base 3 temos 3 dígitos 0, 1 e 2 . Na base 4, teríamos 0, 1, 2 e 3. Logo, 4 na base 4

será o próximo número escrito depois que o maior dígito já foi usado, ou seja, um número com

dois dígitos (10)4. Isto é a mesma coisa em qualquer base. O número 10 na base 10 é 1 acima

de 9 e precisa de dois dígitos, portanto (10)10.

Veja como ficariam as potências de 2 dos números nas diversas bases:

22 = (100)2

32 = (100)3

42 = (100)4

Qualquer potência da base corresponderá a um número com apenas um digito 1 na posição

relativa ao valor da base. Assim, 28 = (100000000)2, 515 = (1000000000000000)5. É isso. Como

seria 2n – 1 na base 2? Veja se seria um número assim: (1111...11)2 com o número de 1´s igual

a n.

Foi apresentada a tabela de números em diferentes bases para que você consiga efetuar

aritmética em outras bases.


11

2 4 5 8 10 12 16

Binária Quaternária Quinária Octal Decimal Duodecimal Hexadecimal

0000 00 00 00 00 00 0

0001 01 01 01 01 01 1

0010 02 02 02 02 02 2

0011 03 03 03 03 03 3

0100 10 04 04 04 04 4

0101 11 10 05 05 05 5

0110 12 11 06 06 06 6

0111 13 12 07 07 07 7

1000 20 13 10 08 08 8

1001 21 14 11 09 09 9

1010 22 20 12 10 0A A

1011 23 21 13 11 0B B

1100 30 22 14 12 10 C

1101 31 23 15 13 11 D

1110 32 24 16 14 12 E

1111 33 30 17 15 13 F

Vamos agora para o exemplo:

Converter (26)8 para a base 5.

1. (26)8 = 2x81+6x80. ( (N)b1 expresso na notação polinomial);

2. Avaliar com aritmética na base 5. Assim, ficamos com (2)5x(13)5 + (11)5x(1)5

Deste modo: (2)5x(13)5+(11)5x(1)5 o que resultaria (31)5 + (11)5 = (42)5. Para se exercitar

converta cada um para a base 10 e veja se (26)8 = (42)5.

Exercícios

Converter

(11)3 para a base 2


12

(27)8 para a base 16 (escreva (27)10 = ( )H. O H é de hexadecimal !)

(26)7 para a base 9

(88)9 para a base 10

Nem sempre efetuar a aritmética nas outras bases diferentes da base 10 é conveniente ou

você se lembra como fazer. Vamos então explorar um algoritmo para converter qualquer

número da base 10 para qualquer base, operando sempre na base 10. Serão as conversões de

(N)10 =(N)b.

Algoritmo para converter a parte inteira, ou seja, cálculo de 1c 2c ... 1−nc nc .

1. Divida o número decimal pelo valor da base b, ou seja, (N)10 /b;

2. Faça =nc resto de b

N 10)(;

3. Faça b

b

N

cn

))(

( 10

1 =− ;

4. Continue calculando os coeficientes até que o quociente seja nulo.

Exemplo de conversão de (23)10 para a base 2. Dividendo (23)10 Divisor 2 considerado como um decimal Dividendo Divisor Quociente Resto índice (i) do coeficiente (ci) 23 2 11 1 5 (- significativo) 11 2 5 1 4 5 2 2 1 3 2 2 1 0 2 1 2 0 1 1 (+ significativo) Como resultado final teríamos então:

(23)10 = (10111)2

Exercícios

1) Faça algumas dezenas de conversões como estas;

2) Converta (420)10 = ( )16

3) Converta em segundos (2048)10 = ( )2

Lembre-se, em bases maiores que 10 costuma-se representar os dígitos maiores ou iguais a 10

com letras. Assim, na base 16 ou hexadecimal, 10 = A, 11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E e 15 = E. Se

você divide algum número decimal por b o resto necessariamente será menor que b e assim

sempre poderá se representar algum dígito na base b.


13

O algoritmo para converter a parte fracionária (. 4c 5c ) de um número na base 10 para

qualquer outra base está apresentado a seguir. Vamos assumir que o número esteja

representado por duas partes NI. Nf, respectivamente as partes inteira e fracionária.

1. Multiplico a parte fracionária pela base.

Assim, efetuo (.Nf)10 x b. Se o produto resultante for < 1

então

2. O digito mais significativo da fração será zero; Volta ao item 1

Se o produto resultante for ≥ 1

3. O digíto mais significativo será a parte inteira do resultado;

4. Volta ao item 1.

O algoritmo não especifica a parada, mas isso você vai ver ao trabalhar em classe com os

exemplos dados pelo professor.

Exemplos

Converter: (0.625)10 = ( )8

0.625 x 8 = 5.000 0.5

Veja que se você fosse adiante não acrescentaria dígitos significativos.

Converter: (0.23)10 = (0.001110)2

Produtos Resultado da conversão

0.23 x 2 =0.46 0.0

0.46 x 2 = 0.92 0.00

0.92 x 2 = 1.84 0.001

0.84 x 2 = 1.68 0.0011

0.68 x 2 = 1.36 0.00111

0.36 x 2 = 0.72 0.001110

Com os dois algoritmos podemos então converter um número qualquer da base 10 para

qualquer base.

Exemplo Converter: (27.68)10 = ( )2 27/2 = 13 resto 1


14

13/2 = 6 resto 1 6/2 = 3 resto 0 3/2 = 1 resto 1 1/2 = 0 resto 1 Seguindo adiante,

Produtos Resultado da conversão

0.68 x 2 = 1.36 0.1

0.36 x 2 = 0.72 0.10

0.72 x 2 = 1.44 0.101

0.44 x 2 = 0.88 0.1010

O resultado final fica, então, (27.68)10 = (11011.1010)2

Exercícios Não deixe de fazer estes exercícios e outros que puder (23.68)10 � ( )8 (27.68)10 � ( )8 (27.68)10 � ( )3 (314.87)10 � ( )2 (512.25)10 � ( )2 (512.25)10 � ( )H

Conversão da base 2 para bases que são potências de 2

No caso de bases que são potências de 2 as coisas podem ficar mais simples. Nestes casos,

basta agrupar os números binários em grupos de 2n dígitos. Isto facilita converter da base 2

para outras bases.

Base 2 � base 8 (23)

Como ilustrado abaixo, marque os grupos de n dígitos antes do ponto binário da direita para a

esquerda e depois do ponto da esquerda para a direita. Agora converta (de cabeça) cada grupo

de n=3 dígitos para a base 8 (é claro que você tem apenas que ler e copiar os dígitos

correspondentes).

(1101.1010)2 = 1 1 0 1 . 1 0 1 0 base 2

1 5 . 5 0 base 8

Avalie, se quiser, cada bloco de 3 dígitos usando o polinômio escrito na base 2 e avaliado na

base 10.

Base 2 --� base 16 (24) n = 4.

(11011.1010)2 = ( )H = 1 1 0 1 1 . 1 0 1 0 base 2

1 B A base hexadecimal (16)


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Como último recurso, se você não tiver alternativa, fique com a regra da triangulação.

Converta da base original para a base 10 e daí da base 10 para a base desejada.

Exemplo Converter: (16)7 para a ( )3 Converta (16)7 para a base 10. Assim: 1 x 71 + 6 x 70 = (13)10

Agora, converta (13)10 para a base 3. Assim: 13/3 = 4 (resto 1), 4/3 = 1 (resto 1), 1/3 = 0 (resto

1). Ou seja, (13)10 = (111)3

Exercício Este exercício tem um objetivo específico. Não deixe de resolver. (0.1)3 � ( )2

Bibliografia

-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)


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Aula 05.

Nesta aula foi apresentada a representação dos números com sinal e em especial diferentes

representações dos números negativos. Além disso, mostramos o conceito de módulo.

A representação mais geral de números com sinal é a chamada representação em sinal e magnitude. Nesta notação, usando a nossa já conhecida representação de números, um digito binário a mais é usado para representar o sinal (qualquer que seja a base numérica do número a ser escrito).

∑+

=

−⋅−=mn

i

in

ib bccN1

0 )21()(

A nossa representação que ficava (no caso de n = 3 e m = 2)

1c 2c 3c . 4c 5c , passa a ter adicionado o dígito binário que dará origem ao sinal c0. O número

fica composto pela seqüencia de dígitos: 10cc 2c ... nc . 1+nc ... mc . Agora, se c0 for igual a 1 o

número é negativo (veja a fórmula acima) e se c0 for igual a zero o número é positivo. Assim, o

número fica, esquematicamente, como apresentado abaixo:

Parte inteira Parte fracionária

Sinal

Ponto da base

Exemplos

(1 9424)10 = - (9424)10

(0 9424)10 = +(9424)10

(0 1010)2 = +(1010)2 = +(10)10

(1 1010)2 = -(1010)2 = -(10)10

Atenção

Dado o número na base 10 (19573)10, você pode me dizer se é positivo ou negativo? NÃO!,

mas se você souber que está representado em sinal e magnitude, então este seria o número

decimal –(9573)10.

Exercício Dado: 3425 Que número é este? Não deixe de ter certeza de como se responde a esta questão!

Vamos agora para outras representações de números negativos: Complemento de base (bC) e

complemento de base diminuída (b-1C).


17

Antes de tudo vejamos o conceito de módulo: Módulo de um número de n dígitos, Mod, é

definido por:

Mod = max +1 = bn,

onde b é a base na qual o número está representado e max é o máximo número que se pode

representar nos n dígitos.

Exemplos:

Número (n =

número de traços)

max Mod bn

(---)10 999 + 1 (1000)10 103

(--)8 77 + 1 (100)8 82

(---)2 111 + 1 (1000)2 23

Complemento de base diminuída do número C (b-1C).

b-1C = bn – C – 1 ou Mod – 1 – C ou max – C

Complemento de base do número C (bC).

bC = bn – C ou Mod – C ou max + 1 – C ou ainda max – C + 1

b-1C

Assim,

bC = b-1C + 1

Bibliografia



18

Aula 06.

Nesta aula foram apresentadas as operações aritméticas realizadas utilizando complemento de

base e complemento de base diminuída.

Condição Complemento de b Complemento de b-1

Se N1 ≥ N2: R= N1+ bN2, com drop do

dígito de estouro (1 à

esquerda)

R=N1 + b-1N2, com retorno de

“vai um” no dígito mais à

direita do resultado

Se N1 < N2: R= b∣N1 – N2∣= b(N2 – N1) R= b-1∣N1 – N2∣= b-1(N2 – N1)

Exemplos:

a) (N1)10=(29)10 N1 > N2

(N2)10=(12)10

11717

88)(12

29)(29

102

10

101

++−

⇒

N

N

Complemento de base

drop

17

1

11617

87)(12

29)(29

102

9

101

+

++−

⇒

N

N

Complemento de base diminuída

b) (N1)7= (23)7 N1 > N2

(N2)7= (11)7

112)12(

56)(11

23)(23

7

72

7

71

++−

⇒

N

N

Complemento de base

drop


19

12

1

111)12(

55)(11

23)(23

7

72

6

71

+

++−

⇒

N

N

Complemento de base diminuída

c) (N1)10=(13)10 N1 < N2

(N2)10=(15)10

( ) ( )

215139802

85)(15

98129902131513)(13

1010

102

10

1010

101

=−=−

++−

=+−==−⇒

N

ouN

d) (N1)8=(12)8 N1 < N2

(N2)8=(21)8

( ) ( )

7122171

57)(

7117777122112)(

88

82

8

88

81

=−=

++

=+−==−⇒

N

ouN

Atenção: Em qualquer base, o resultado da subtração N1 – N2, com N1 < N2, resulta no

complemento de base do módulo do resultado. Alternativamente, o que se faz no dia-a-dia de

uso da base 10 é encontrar o módulo da diferença e atribuir o sinal do maior.

Exemplo:

( )( )

( ) ( )

03

1

029703

97)71(29

99)26(26

1010

1010

1010

+

−

−+−

⇒

Isto é o complemento de base do módulo da

diferença ( )973,33 10 ==− .


20

Agora, vamos para a base 2, começando com as regras que todos ensinam.

Adição : Subtração: S “Vai um” (Carry) D Empréstimo (Borrow)

0 + 0 = 0 0 0 – 0 = 0 0 0 + 1 = 1 0 0 – 1 = 1 1 1 + 0 = 1 0 1 – 0 = 1 0 1 + 1 = 0 1 1 – 1 = 0 0 Lembre-se da regra geral: Como a operação em binário é mais simples, qualquer resto ou resultado parcial é sempre 0 ou 1. Se você decorar as operações, tudo bem, mas saiba o significado das coisas.

( )

001

1111001

000010001

1110010102

+

−−

Complemento de 2:

Vale a regra geral:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 12

12

22

1

2

1

2

2

22

2

−−=

+=−=

NN

NNNN

n

n

Para encontrar o complemento de 2 de um número binário encontre o complemento de 1 e

adicione 1. Veja no exemplo abaixo também como encontrar o complemento de 1.

Exemplo: Dado 01012, encontrar 2(0101)2.

21011

1

1010

0101

1111

deocomplement→

+

−

Observe que a operação para encontrar 1(N) é feita complementando o número dígito a dígito.

Dado (N)2= (0100110)2

1(N)2= (1011001)2

2(N)2= (1011001)2 + (1)2 = (1011010)2

Todas as regras descritas anteriormente para a subtração podem ser aplicadas aqui.

complemento de 1


21

A= 11101.10 = 29.5

B= 11.01 = 3.25

C= 100.11 = 4.75

A+B

75.3211.100000

01.11

10.11101

→

+

A-B

25.2601.11010

01.11

10.11101

→

− Regra prática:

25.1401.11100

25.301.11

50.1710.10001

011

→

→−

→

Veja este outro exemplo:

0.11000.01101110

50.3510.000111

50.14510.10010001

01101

→

→−

→

Subtração usando complemento de 2

A – B = A + 2B. Se A > B, ocorrerá drop

A= 11101.10 = 29.5

B= 11.01 = 3.25

C= 100.11 = 4.75

Calcule A – B utilizando o complemento de 2.

2B = 2(11.01)

11.11100

1

10.11100

01.11

º11.11111

+

−

← maiordodígitosdenouse

ou pelo método prático

Observe que para representar o resultado foi

necessário um dígito a mais


22

Ndedeocomplement

Ndedeocomplement

N

211.11100

1

110.11100

01.00011

←

+

←

←

Agora a subtração (A-B = A+2B):

01.111010

11.11100

10.11101

+

B – C = B + 2C e B < C

5.110.1

1

01.000110.111050.1

11.10075.411.100

01.01125.301.011

−=

+

→−

−−−

Subtração usando complemento de 1

A – B = A + 1B e A > B

A= 11101.10 = 29.5

B= 11.01 = 3.25

C= 100.11 = 4.75

1(B)= 11100.10

01.11010

1

00.111010

10.11100

10.11101

+

+

B – C = B + 1C e B < C

Complemento de base

do módulo da

diferença


23

1C= 1(100.11)= 011.00

diferençadamódulodoocomplement←

+

01.110

00.011

01.011

Fazendo o complemento de 1 de 110.012: 001.102 = 1.510

Veja: -A – C = -29.510 – 4.7510 = - 34.2510

-A = -29.510 = 100010.01 + 1 = 100010.10 = 2A

-C = -4.7210= 111011.00 + 1 = 111011.01 = 2C

1025.3411.1011101

01.111011

10.100010

−←

+

( )

10

1

25.3401.0100010

1

11.101110100.0100010

←

+

←


24

Aula 07.

Nesta aula fizemos uma breve revisão de conceitos dados na aula 06 e resolvemos mais exercícios de subtração usando complemento de base, em especial, base diminuída. Em seguida fizemos algumas multiplicações e uma divisão para mostrar que adição e subtração seriam suficientes para implementar as outras operações. A. Multiplicação Binária

0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1

Exemplo:

a) 1012 x 0112 = 510 x 310 = 1510

101501111

000

101

101

011

101

→

+

+

×

dorMultiplica

ndoMultiplica

b) 110.102 x 10.12= 6.510 x 2.510= 16.2510

1025.16010.10000

11010

00000

11010

1111

1.10

10.110

→

+

+

×

dorMultiplica

ndoMultiplica


25

B. Divisão Binária

resto

quociente

DivisorDividendo

→

→

001

11

00100

11

100000

11

00011

11

0100

000101.11111

1110.11010

Recordando módulo:

Dado __ __. __ base 10

Módulo = Máx +1 ⇒ 99.9 ?

Inteiro

Máx + 0.k1, onde k é o número de dígitos (“casas”) após o ponto da base.

0.100

1.0

9.99

+

Atenção: Por enquanto o conceito dado desta forma não será cobrado. Vamos voltar neste

assunto.

Bibliografia

-Bassani JWM.

Notas de aula – Circuitos Lógicos.

-Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula

(Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)


26

Aula 08.

Células Binárias Dados são representados de modo discreto nas máquinas computacionais.

t0 t1 t2 t4

t

F(t)

F0

F4

F1

F2

O que nós queremos são dispositivos que representem e armazenem os números F0...Fj na

base 2.

F0, F1, ..., Fj serão números binários, nos quais cada dígito é um dispositivo denominado célula

binária.

Cada F0, ..., Fj será representado por um “conjunto” de células binárias denominado de

registrador.

Célula Binária Ideal

1. Dispositivo com 2 estados: A e B;

2. Mudanças de estado ocorrem instantaneamente em t1, t2, ..., tj;

3. A medição resulta a se estado for A e b se o estado for B. Isso implica que a leitura não deve

perturbar (mudar) o estado da célula e não tem significado em t1, t2, ..., tj.

A função binária é fundamental para representar os dados nas máquinas computacionais.

a

b

A

B

t1 t2 t3 t4

F(t0)=F0

F(t1)=F1

F(t2)=F2

F(tj)= Fj


27

Na prática, as células binárias não são ideais. Veja o caso de uma célula binária real.

α1

α2

β1

β2

a

b

Dispositivos reais de medição absorvem energia.

Se ao final a medição não afetar o valor armazenado ela é chamada de não-destrutiva.

O intervalo de medição é importante e deve guardar relação com o tempo em cada

estado.

α1

α2

β1

β2

a

b

Medição ocorreu aqui

Vamos agora analisar um dispositivo que já foi por muito tempo a base das células binárias nos

computadores.

Núcleo magnético

Núcleos de ferrite

E1 E2 Estados

Os núcleos podem ser magnetizados e permanecer em dois estados, E1 ou E2, dependendo da

direção da magnetização. Isto pode ser conseguido pela passagem de corrente através do

dispositivo.

Saída

α1< a <α2

β1< b < β2

Ao passar corrente, a magnetização será E1 ou E2

dependendo da direção da corrente. A leitura do estado

é realizada da seguinte forma:

E1


28

Vamos assumir que no estado E1, como na figura acima (à esquerda), a corrente de leitura leve

a magnetização para E1 (o mesmo estado). Nos terminais de saída nada ocorrerá, tendo em

vista que o campo magnético permaneceu estático. A saída teria então indicado o estado E1=

0. Se, ao contrário, a magnetização fosse como abaixo, no estado E2, a mesma corrente de

leitura resultaria na mudança de direção de magnetização e isso faria surgir um pulso de

corrente na saída.

Note, contudo, que, após a leitura, a magnetização mudou, o que significa que a leitura teria

sido destrutiva. Para resolver isso, há no dispositivo a possibilidade de, ao se detectar o estado

1, aplicar corrente no sentido oposto ao de leitura e restaurar a condição original.

Registrador

Conjunto ordenado de células binárias.

C

c1 c2 ... cn

Cada ci(t) é definido em um conjunto binário. C armazena uma função vetorial do tempo. A

cada tj, C(tj)= c1(tj), c2(tj), cn(tj).

Exemplo

Seja C=[C1,C2]

C(t1)= [c1(t1), c2(t1)]

ci(t)= {a, b}

tj+k

Saída

E2

Poderíamos dizer então que E2 estaria no estado 1. Agora,

neste dispositivo binário, poderíamos armazenar dois

estados E1, E2, ou 0, 1.

Cada dígito binário (Binary Digit)

denomina-se bit.

ci(t)= a, b

a a a b b a b a

b b a b a b b b

tj


29

a b

a

ba b

Representação dos números

Representação inteira

O valor decimal equivalente ao conteúdo do registrador é:

niccc i

n

i

in

i ,,1;1,02)(1

L===∑=

−δ

Para o caso

Se o sistema octal for usado, agrupamos as n células em grupos de K sub-registradores de 3

células:

RK-1 cn-5 cn-4 cn-3

RK cn-2 cn-1 cn

R1 c-2 c-1 c0

R2 c1 c2 c3

Octal )(,),(),( 21 KRRR δδδ L

Generalizando:

Qualquer parte de um registrador é um registrador.

Há ( )

2

1

2

−=

nnn registradores diferentes de 2 células.

121

−=

∑

=

nn

K K

n registradores diferentes de K células, incluindo o original de n células.

n=3

Os registradores armazenam representações dos

valores numéricos nas máquinas digitais.

Ponto binário à direita

23= 8, ou seja, número de 0 a 2n-1 (0 a 7)

1 0 1 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20= 4 + 0 + 1= (5)10

K= 2; n=3

Polinômio avaliado na base 10


30

Coeficiente binomial: ( )!!

!

KnK

n

K

n

−=

Função de registradores

R= f(D) Ri (i= 1, ..., n)

Isto define registradores dependentes e independentes.

Ri= (R1, ... , Rn) é função de D= (D1, ... , Dn)

Ri= 0 quando Di=1 Neste caso R é chamado de complemento de D

Ri= 1 quando Di= 0

Exemplo: R0= 0

Ri+1= Di i= 0, 1, 2, ... , n-1

Exemplo: Rx= f(C, D) Rxi= Ci + Di

Operações elementares com registradores

Exemplo

t R1 R2 R3 Operações

t0 011 110 000 Inicializar (start)

t1 011 110 110 R3 ← R2

t2 011 011 110 R2 ← R1

t3 001 011 110 R1 ← R1/2

t4 001 001 110 R2 ← 3R

t5 001 001 010 R3 ← R2+ R1

t6 001 001 010 Stop

D

R

3 2 1 0

Variável independente

Variável dependente

1 0 1 0 10

0 1 0 1 5

Máquinas digitais são essencialmente arranjos organizados de registradores

dependentes e independentes


31

Exemplo

t R1 R2 R3 A Operações

t0 011 110 000 0000 Inicializar (start)

t1 100 110 000 0000 R1 ← 1R

t2 101 110 000 0000 R1 ← R1 + 1

t3 101 110 000 0110 A ← R2

t4 101 110 000 1011 A ← A+ R1

t5 101 110 011 1011 R3 ← A

t6 101 110 011 1011 Stop


32

Bibliografia

-Bassani JWM.

Notas de aula – Circuitos Lógicos.

-Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula

(Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia


33

Aula 10.

Álgebra Booleana

Sistemas algébricos

operadoresNOT

iáveisxxx n

→+•

→

,,

var,,, 21 K

{ } { }baVxxxV n

n ,:,,,: 21 →K , ou seja, se x1 ∈ Vn então x1 assume apenas dois estados (a, b)

e é denominado de variável booleana.

Álgebra booleana binária

{ } { }1,0:,,,: 21 BxxxV n

n →K

Função booleana binária

BVfn

b →:

( ) ( )nnb xxxExxxf ,,,,,, 2121 KK = e E é uma expressão booleana

Expressão booleana

( ) b

e

b

e

bb EEEE ∗=:

n

e

b xxzyxE ,...,,,,/1,0 1=

Exemplo: ( ) ( ) ( ) 1,,, ++•=+= zyxzyxfyxyxf bb

Definições:

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

nixtodopara

xExEexExfexExfondexfxf

i

iiiibiibibib

,,1,

, 21221121

K=

====

• 2121 EEfff bbb +≡+=

• 2121 EEfff bbb •≡•=

• Complemento de Eff bb == é booleana

• Dual de d

bb ff = obtida intercambiando 0s e 1s e • e +, e é booleana.

grau n


34

Dualidade

Dados 11 bb Ef = e 22 bb Ef = , se d

b

d

bbb ffff 2121 =⇒=

Exemplo:

Sabemos: yxyx •=+

Então, se

yxfyxf

yxfyxf

d

bb

d

bb

+=→•=

•=→+=

22

11

e d

b

d

b ff 21 = , ou seja, yxyx +=• .

Avaliando fb

( ) ( ) yxyxfb •+= 1,

Construímos a tabela-verdade (vem da lógica proposicional):

x y ( )yxfb ,

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

( )yxfb , pode ser representada pela sua forma canônica ( ) yxyyxyxfc

b =+=,

Resumo dos postulados (Aula 09)

P0: Fechamento

P1: Operadores são comutativos

P2: Operadores são associativos

P3: Operadores são distributivos

P4: Elemento identidade: 1 para AND e 0 para OR

P5: Complemento: a ∗ a’ = elemento nulo!

Combinações

dos valores das

variáveis

válido para todo x e y

Veja: x y yx • yx +

0 0 1 1

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 0 0

Verdadeiro

Falso

( ) yyx =•+1

Soma de produtos

Mintermo Voltaremos a

esta questão

mais tarde!


35

Identidades (teoremas) Expressão Dual

T1 Elemento identidade a + 0= a a • 1=a

T2 Elemento nulo a + 1= 1 a • 0=0

T3 Idempotência a + a= a a • a=a

T4 Complemento a + a’= 1 a • a’=0

T5 Involução a = a

T6 Propriedade comutativa a + b= b + a a • b=b • a

T7 Propriedade associativa (a + b) + c= a + (b + c) (a • b) • c=a • (b • c)

T8 Propriedade distributiva a • (b + c)= ab + ac a+bc=(a+b) • (a+c)

T9 Cobertura a+ ab= a a • (a+b)=a

T10 Combinação ab + ab’ = a (a+b) • (a+b’)=a

T11 Consenso ab + a’c + bc = ab + a’c (a+b)• (a’+c) • (b+c)= (a+b) • (a’+c)

T12 De Morgan baba +=• baba •=+

T13 a + a’b= a + b a • (a’+b)= a• b

T14 (a’ + b’) • (a’ + b) = a’ (a’ • b’)+(a’• b)=a’

XOR ( ⊕ )

Equação

R1 a ⊕ 0 = a

R2 a ⊕ 1 = a’

R3 a ⊕ a = 0

R4 a ⊕ a’ = 1

R5 a ⊕ b ⊕ ab= a + b

R6 a ⊕ b = ab’ + a’b

Demonstração

T4. O complemento existe se for possível demonstrar a sua unicidade. Vamos supor que a ∈ V

e x e y sejam ambos complementos de a.


36

( )

yx

yxyIdentidadeyx

oComplementyx

Comutativayxxa

vaDistributiyxax

oComplementyax

yyidentidadeElementoxx

=⇒

•=•=

•+=

•+•=

•+•=

+•=

•=•=

0

11

M

T2. Va ∈∀ , a + 1 = 1 e a • 0 = 0.

( )

( ) ( )

.)..(1

0

11

1

11

dqc

aa

aaa

aaa

aaaaaa

aaa

a

=+

=++

=+++

=+++

=+•+

=•+

Bibliografia


Se a + 1 = 1 Va ∈∀ , então o

dual das equações continuam

iguais.

f1= a + 1 f1d= a • 0

f2= 1 f2d=0

00 =•∴a


37

Aula 11.

Demonstração de teoremas

T6. a + b = b + a a • b = b • a

(simetria) (simetria)

T9. a+ ab = a, ou seja, a “cobre” ab

a b ab a + ab

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1

1 1 1 1

T12. ( ) baba •=+

( ) ( )

( ) 2

5

1

2

2

1

1

1

11

Rba

Rba

Pabba

Pbaab

Rbaba

+=

⊕+=

⊕⊕⊕=

⊕⊕⊕=

⊕•⊕=•

Exercício: baab += , sem usar De Morgan ou Dualidade.

Resolva em μs: y= ab + f1 + aa’c + cd’fg + abcd + a’b’ + e’ + cbd’ + (a+a’)

y=1

Algumas analogias com a teoria de conjuntos:

• 0 1

0 0 0

1 0 1

+ 0 1

0 0 1

1 1 1


38

Demostrar:

T13. a + a’b = a + b; a(a’ + b)=ab (Para casa)

T14. ( ) ( ) ababa =+•+

( ) ( )

( )

( )

a

ba

baa

baba

abbaa

bbabbaaa

baba

=+⋅

=⋅+

=⋅++⋅

=+⋅+⋅+

=⋅+⋅+⋅+⋅

=+•+

1

1

0

T10. ab + ab’ = a

a (b + b’) =

a (1) =

a

T5. aa =


39

a a

0 0

1 1

T1. a + 0 = a

( )

( ) ( )

a

a

aaa

aaaaaa

aaa

a

=+

=+

=+++

=+⋅+

=⋅+

0

00

0

10

Desenvolva: (ac) + (ab) = (ac + a) (ac + b)

a

aac + ab

ac + ab = a (c + b)

T11. ab + a’c + bc = ab + a’c

ab + a’c + bc (a + a’) =

ab + a’c + bca + bca’ =

a’c (1 + b) + ab (1 + c) =

a’c + ab

T8. a (b + c) = ab + ac

( )( )cba

bccba

abcacab

abacacab

+=

⊕⊕=

⊕⊕=

⊕⊕=

Demonstre que:

1. ( ) 0=+⋅ baa

( )( )

0

0 =⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

b

baa

baa


40

2. ( ) 1=⋅+ baa

( )( )

1

1 =+

=++

=++

b

baa

baa

3. ( ) babaa ⋅=+⋅

( )

ba

baa

baa

⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

Qual o significado prático de:

F1 F2

cabacbcaba ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

O que isso quer dizer?

entradas

a b c s

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

“A única coisa que interfere com a minha aprendizagem é a minha educação. Educação é o que

resta depois de ter esquecido tudo o que se aprendeu na escola.”

A. Einstein

Bibliografia


F1

F2

Orçamento Unit ($) Total

• x 3 = 10 30 NOT x 1 = 5 5 + x 2 = 30 60 95

• x 2 = 10 20 NOT x 1 = 5 5 + x 1 = 30 30 Abatimento 55 de 42,1 %


41

Aula 13.

Circuitos e funções booleanas elementares

Blocos lógicos: representações das funções booleanas elementares

a

ba · b

a

ba + b a a’

Tabela verdade

Tabela que relaciona todas as combinações das entradas com o valor de saída, que é o

resultado da avaliação de uma função booleana.

F(a,b,c)= a’b c’ + a’bc + ab’c + abc

F(a,b,c)= a’b + ac

b’ ca’a b

a’b + ac

a b c x

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 1

a b x

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

a b x

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

entradas

saída 22= 4

23= 8

Trata-se da

especificação

do circuito a

ser construído

para resolver

um problema

específico!


42

ATENÇÃO

Qualquer função lógica da AB pode ser construída com os 3 blocos lógicos AND, OR e

NOT, também chamados de portas lógicas (logical gates).

Sentido físico para as portas e circuitos lógicos

Diagrama temporal e sinais com dois níveis lógicos:

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7

0

1a

0

1b

0

1a+b

0

1a·b

a

b

a

ba · b

a + b

Aplicação

FR

SaturaçãoO2

Freqüência respiratória

Comparador

Comparador

SO2

Alarme

SO2R

FRR

SO2bin

FRbin


43

Olhe!

x · 0 = 0

x

00

x · x = x

xx

x · x’ = 0

x0

x + x’ = 1

x1

Revendo os teoremas de De Morgan

( )

( ) yxyx

yxyx

+=⋅

⋅=+

Exercício para casa: Desenvolver ( ) ( ) DBCADBCA +=+⋅+

desenvolver aqui

Exercício para casa: Determine a funcão de saída e desenvolva usando De Morgan para chegar

em:

AB

CX

X= A’ + B’ + C

Exercício

Determine a forma de onda da saída para a função a·b.


44

a

b

x

a

bx

Portas NOR e NAND

NOR = NOT OR

a

b

(a + b)’ a

b

(a + b)’

NAND = NOT AND

a

b

(ab)’ a

b

(a b)’

Exercício: Implemente usando as portas NOR e NAND: ( )DCABx +⋅= .

C

D

(C + D)’

AB

( )DCAB +⋅

USANDO NOR:

A(A + A)’= A’ A A’

Inversor

A

B

A + BA

BA + B

OR


45

AA’

AB ANDB

B’

B

A(A’ + B’)’= AB

RESUMO (CONCLUSÃO): Podemos sintetizar qualquer circuito lógico apenas com portas NAND

e NOR!

INTERPRETAÇÃO

A

B

Ativo-baixo

Ativo-alto

(A B)’

A

B

Ativo-baixo

Ativo-altoA’+ B’

Implicação dos teoremas de De Morgan sobre os blocos lógicos:

x(x + y)’= x’y’

y

x’y’x

y

x’

y’

x

y

x’y’

x(xy)’= x’+y’

y

x’+y’x

y

x’

y’

x

y

x’+y’=

(xy)’

A saída vai para o nível baixo

quando todas as entradas forem

nível alto.

A saída vai para o nível alto

quando todas as entradas forem

nível baixo.


46

Universalidade das portas NAND e NOR

A(AA)’= A’ A A’ Inversor

USANDO NAND:

A

B

ABA

BA B

AND

(AB)’

( )ABAB =

B’

( )BA

BA

+

=⋅

A

B

A’

BA+ B

OR

A

Exercício

Descrever NOR e NOR alternativo:

x(x + y)’= x’y’

y0

x

yx’y’=(x+y)’

Advertência ao piloto de um avião

P

Sensor de temperatura

Sensor de pressão

T

R

W

Sensor de RPM

A saída é nível baixo quando

qualquer entrada for nível alto. A saída é nível alto quando todas

as entradas forem nível baixo.


47

T= 0 apenas quando temperatura < 93,3 °C

P= 0 apenas quando pressão < 1,33 N/m2

RPM= 0 apenas quando rotação < 4800 rpm

Questões:

a) Quais condições do motor indicam sinal de advertência?

b) Sintetize o circuito final.

Síntese com NANDS

P

R

T

Para casa:

Dado o circuito abaixo:

x

0B

C

zA

D

Ativa quando z

for 0

x

w w

y y y

Interprete o circuito e diga em que condição z= 0. Agora o que se pode fazer para garantir z≠ 0,

tendo em vista que você tem acesso apenas ao ponto x?

Bibliografia



48

Aula 14.

Advertência ao piloto de um avião (Tocci e Widmer)

P

Sensor de temperatura

Sensor de pressão

T

R

W

Sensor de RPM

T= 0 apenas quando temperatura < 93,3 °C

P= 0 apenas quando pressão < 1,33 N/m2

RPM= 0 apenas quando rotação < 4800 rpm

Questões:

a) Quais condições do motor indicam sinal de advertência?

W é alto quando T ≥ 93,3 °C e P ≥ 1,33 N/m2 ou R < 4800 rpm.

b) Sintetize o circuito final.

Síntese com NANDS

P

R

T


49

Sua (seu) namorada (o) está dentro de uma caixa, equilibrando-se em uma corda bamba. Se a

corda for desconectada, ela (ele) cairá e será submetida (o) a um banho extra (Figura 1). A

trava que segura a corda é acionada por um circuito que você pôde tomar conhecimento

(Figura 2).

Após ter interpretado o circuito, você ficou sabendo que pode evitar que sua (seu) namorada

(o) tome o banho extra, permitindo tempo suficiente para a travessia completa na corda.

Porém, antes que as variáveis A, B, C e D (que você não tem acesso) criem condições para

ativar o destravamento da corda, você deveria fazer algo de posse apenas de uma fonte de +5

V e um alicate de corte. Você tem acesso apenas aos “jumpers” (a, b, c). Faça alguma coisa!

Corte o jumper c e ligue a fonte de +5 V na entrada da porta OR.

Funções booleanas e circuitos digitais

Circuitos digitais

Figura 1

Figura 2 jumper

Combinacionais ou combinatórios

(sem memória)

Seqüenciais

(com memória)

A saída depende apenas da

combinação atual das entradas

A saída depende das entradas atuais

e do estado interno do circuito


50

Circuitos combinatórios

Circuito lógico combinatório

a1

a2

an

.

.

.

s= f(a1, a2, a3)

Para construir o circuito combinatório partimos da especificação, que é a tabela verdade (TV).

TV

Pela TV: Linha 2: mintermo= x’·y·z’

maxtermo= x+ y’+ z

Linha 4: mintermo= x·y’·z’

maxtermo= x’+ y+ z

3. Soma canônica: soma lógica (OR) dos mintermos para as saídas iguais a 1;

4. Produto canônico: produto lógico (AND) dos maxtermos para as saídas iguais a 0.

Exemplo: Sc= fmin= x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’

Pc= fmax= (x’ + y + z) · (x’ + y’ + z’)

fmin = fmax

As combinações das entradas podem ser expressas em decimal. Assim, a especificação do

nosso exemplo fica:

f(x, y, z)≡ S(0, 1, 2, 3, 5, 6)

≡ P(4, 7)

linha x y z f

0 0 0 0 1

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 1

4 1 0 0 0

5 1 0 1 1

6 1 1 0 1

7 1 1 1 0

saída entradas

Definições:

1. Mintermo (AND): produto lógico das

variáveis de entrada, complementadas

se seu valor for zero;

2. Maxtermo (OR): soma lógica das

variáveis de entrada, complementadas

se seu valor for 1;


51

Exercício: Mostre que fmin = fmax para:

Desenvolvendo o lado direito de fmax:

(aa + ab’ + ba + bb’) · (a’ + b)

(a + ab’ + ba) · (a’ + b)

aa’ + ab + aa’b’ + ab’b + baa’ + bab

ab + ab

ab = fmin

5. Especificação na presença de don’t care:

Exemplo:

fs(x, y)= x’y + xy’ ← Considerando X= 1

fp(x, y)= (x + y) · (x’ + y’) · (x’ + y) ← Considerando X= 0

a b x

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

x y z f

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 X

5 1 0 1 0

6 1 1 0 X

7 1 1 1 0

x y s

0 0 0 0

1 0 1 1

2 1 0 X

3 1 1 0

fmin= ab

fmax= (a+b)·(a+b’)·(a’+b)

fmin(x, y, z)= S(1,3) + D(4,6)

fmax(x, y, z)= P(0,2,5,7) · D(4,6)

Don’t care

fmin(x, y, z)= S(1) + D(2)

fmax(x, y, z)= P(0,3) · D(2)


52

Exemplo:

Para casa: Fazer para X= 0.

6. Mapas de Veitch-Karnaugh (Mapas de Karnaugh – MK)

Mapeamento biunívoco da TV. Criados inicialmente por Edward Veitch (1952) e aperfeiçoados

pelo engenheiro de comunicações Maurice Karnaugh.

TV MK

00 01 11 10

0

1

1 0 0 1

1 1 1 0

0 2 6 4

1 3 7 5

Outras representações:

1

1

1 0

0 4

1 5

1 1

0 0

3 7

2 6

00

01

11

10

0

1

a’b’ a’b ab ab’

c’

c

1

A organização do MK é tal que as células adjacentes (vizinhas) diferem em apenas uma posição

binária.

a b f

0 0 1

0 1 X

1 0 1

1 1 0

a b c f

0 0 0 0 1

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1

Para X= 1:

fmin(a, b)= a’b’+ab’+a’b= S(0,2) + D(1)

fmax(a, b)= a’+b’= P(3)


53

a’b’ a’b ab ab’

c’

c

11

7. Definição: As células vizinhas podem caracterizar subcubos de ordem 2n. Uma célula do

mapa é um subcubo de ordem 20= 1. As células dos subcubos podem ser combinadas

formando um novo mintermo.

00 01 11 10

0

1

1 0 0 1

1 1 1 0

Simplificação de funções booleanas usando MK

1. Juntar células adjacentes em subcubos de ordem 2n= 1, 2, 4, ...;

2. Criar tantos subcubos quantos necessários para “cobrir” toda a função;

3. É um implicante primo da função o subcubo que não estiver contido em outro de ordem

maior;

4. Extrair a função canônica mínima pela soma lógica de todos os mintermos (implicantes

primos);

Exemplos:

00 01 11 10

0

1 1

1

1 1

abc’

ab’c’

ab’c’ + abc’= ac’ (b’+ b)= ac’

são os termos da função

subcubo de ordem zero (20=1)

subcubo de ordem 1 (21=2)

a’b ≡ a’bc’ + a’bc ≡ a’b(c’+c)

ac ≡ abc + ab’c ≡ ac (b+b’)

F= a’b + ac

Como descobrir esta

combinação

“automaticamente”?


54

5. Fmin= ∑ implicantes primos

Mais exemplos:

00 01 11 10

00

01 1 1

1 111

10

00 01 11 10

00

01 1 1

1 111

10

1

1

00 01 11 10

00

01 1 1

11

10 11

00 01 11 10

00

01 1 1

1 111

10

1

1

1

1

F= bd

F= a’bd’ + bd

F= bc’d + b’cd’

F= d


55

00 01 11 10

00

01

1 111

10

11

00 01 11 10

0

1

1111

11 1

00 01 11 10

00

01 1 1

1 111

10 1

1

primo

primo primo

não é implicante primo

00 01 11 10

00

01

1 1

11

10

11

Exercícios para casa:

a’bc’d + bd =

= bd(a’c’+1)= bd

F= cd

F= a’ + c’ + b

F= abc + bd + ab’c’d’

F= b’d’


56

1. Dada a TV, fazer o MK e obter a função mínima:

00 01 11 10

0

1

1000

11 1 0

2. Dada a TV

00 01 11 10

0

1

0111

X1 1 0

E se não houver o don’t care? Assuma que X= 0 e resolva novamente. No caso anterior, a

existência do don’t care possibilitou assumir X=1 e melhorar a simplificação.

00 01 11 10

0

1

0111

01 1 0

Bibliografia


a b c x

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

a b c liga

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 X

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

Fmin= a’c + bc + ab’c’

F= a’ + b

Fmin= a’b’ + ab + a’c’


57

Aula 16.

Método de Quine-McCluskey

Trata-se de um método para simplificação aritmética de circuitos lógicos. Os produtos

fundamentais serão representados assim: w’xy’z = 0101.

Vamos simplificar a função:

F(v,w,x,y,z)= S (0,2,4,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18,19,29,30)

ETAPA 1

Passo 1: Listar as linhas para as quais a saída é 1, ordenadas pelo número de 1’s.

# 1’s Produto v w x y z Marca

0 (0) 0 0 0 0 0 �

1 (2) 0 0 0 1 0 �

1 (4) 0 0 1 0 0 �

1 (8) 0 1 0 0 0 �

1 (16) 1 0 0 0 0 �

2 (6) 0 0 1 1 0 �

2 (10) 0 1 0 1 0 �

2 (12) 0 1 1 0 0 �

2 (18) 1 0 0 1 0 �

3 (7) 0 0 1 1 1 �

3 (11) 0 1 0 1 1 �

3 (13) 0 1 1 0 1 �

3 (14) 0 1 1 1 0 �

3 (19) 1 0 0 1 1 �

4 (29) 1 1 1 0 1 �

4 (30) 1 1 1 1 0 �


58

A marca será colocada à medida que o Passo 2 é executado.

Passo 2: Comparar cada par de caracteres para ver se diferem apenas em uma variável, e

combiná-los pelo teorema xy + xy’ = x.

Mintermo v w x y z Marca

(0,2) 0 0 0 -- 0 �

(0,4) 0 0 -- 0 0 �

(0,8) 0 -- 0 0 0 �

(0,16) -- 0 0 0 0 �

(2,6) 0 0 -- 1 0 �

(2,10) 0 -- 0 1 0 �

(2,18) -- 0 0 1 0 �

(4,6) 0 0 1 -- 0 �

(4,12) 0 -- 1 0 0 �

(8,10) 0 1 0 -- 0 �

(8,12) 0 1 -- 0 0 �

(16,18) 1 0 0 -- 0 �

(6,7) 0 0 1 1 --

(10,11) 0 1 0 1 --

(10,14) 0 1 -- 1 0 �

(12,13) 0 1 1 0 --

(12,14) 0 1 1 -- 0 �

(18,19) 1 0 0 1 --

(13,29) -- 1 1 0 1

(14,30) -- 1 1 1 0

Exemplo de aplicação de xy + xy’ = x: (0) 0 0 0 0 0

(2) 0 0 0 1 0

Se tentar combinar e já

existir o produto, marque

assim mesmo!


59

(0,2) 0 0 0 – 0

Passo 3: Nova comparação entre mintermos


(0,2,4,6) 0 0 -- -- 0 �

(0,2,8,10) 0 -- 0 -- 0 �

(0,2,16,18) -- 0 0 -- 0

(0,4,8,12) 0 -- -- 0 0 �

(2,6,10,14) 0 -- -- 1 0 �

(4,6,12,14) 0 -- 1 -- 0 �

(8,10,12,14) 0 1 -- -- 0 �

Passo 4: Nova comparação


(0,2,4,6,8,10,12,14) 0 -- -- -- 0

Resultado das Etapas: Os produtos não marcados são os implicantes primos (Prime Implicants)

da função!

F(v,w,x,y,z)= (0,2,4,6,8,10,12,14) + (0,2,16,18) + (14,30) + (13,28) +(18,19) +(12,13) +(10,11)

+(6,7)

Mas esta ainda não é a função mínima! Vamos para a ETAPA 2.

Preste atenção para

existência de apenas uma

variável diferente!


60

ETAPA 2 – Cobertura dos mintermos

PI Produto Mintermos

v w x y z 0 2 4 6 7 8 10 11 12 13 14 16 18 19 29 30

(0,2,4,6,8,10,12,14) 0 - - - 0 x x x x x x x x ←

(0,2,16,18) - 0 0 - 0 x x x x ←

(14,30) - 1 1 1 0 x x ←

(13,29) - 1 1 0 1 x x ←

(18,19) 1 0 0 1 - x x ←

(12,13) 0 1 1 0 - x x ∗

(10,11) 0 1 0 1 - x x ←

(6,7) 0 0 1 1 - x x ←

* - Não essencial

← - Essencial

Um PI (Prime Implicant) que tem mintermo coberto apenas por ele é essencial.

F(v,w,x,y,z)min= v’z’ + w’x’z’ + wxyz’ + wxy’z + vw’x’y+ v’wx’y + v’w’xy

Bibliografia



61

Aula 18. Aplicações dos circuitos lógicos

1. Circuitos aritméticos

Adição- Half adder

Ai Bi Soma T (transporte ou “vai um”)

0 0 0 0

0 1 1 0

1 0 1 0

1 1 0 1

Soma= Ai’Bi + AiBi’= Ai ⊕ Bi

Ai

BiSi

T

Somador completo- Full adder

S

Ai B i

S0

Sc

A0 B0

S0

T0

T1


62

00 01 11 10

0

1

1010

01 1 0

Si

Si= Ai’BiTi’ + AiBi’Ti’ + Ai’Bi’Ti + AiBiTi

00 01 11 10

0

1

010

10 1 1

Ti+1

0

Ti+1= AiBi + BiTi + AiTi

( ) ( )( ) ( )

( )

iiiiiii

iii

i

iiii

iiiiii

iiiiiiiiii

iiiiiiiiiiiii

TATBBAT

TBA

xA

TBxondexAxA

TBATBA

TBTBATBTBA

TBATBATBATBAS

⋅+⋅+⋅=

⊕⊕=

⊕=

⊕=⋅+⋅=

⊕⋅+⊕⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=

+1

,

Ai Bi Ti Si Ti+1

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1


63

Ai Bi

Si

Ti

Ti+1

Outra forma de representar o somador de 4 bits:

S

X0 X1 X2 X3 Y0 Y1 Y2 Y3

S0 S1 S2 S3

VE

VA

2. Circuito Decodificador

SC

X0 Y0

S 0

VA

SC

X1 Y1

S 1

SC

X2 Y2

S 2

SC

X3 Y3

S 3

VA= V E


64

Representação:

.

.

.

.

.

.

n entradas

S0

S1

Sm

2n

saídas

DEC

Aplicação:

B0 B1

0123

15

0 1

B00

B01

B10

B11

0

1

A0

A1

30

...

1510

DEC

Registrador A

B(0,0), onde o 1º elemento é a linha e o 2º é a coluna

B(1,1)

B(1,0)

0

0

1

1

0

0

0

10

1

R0 R1 R2 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1


65

3. Porta de seleção – Multiplexador

MUX

E1 E2

E1/S

E2/S

S

Siga o exemplo com os valores A e B na entrada e E1= 1, E2= 0.

Exemplo:

E2 (0) E1(0) E2 (1) E 1(1)

A B B A

E1=1

E2=0

B A

S(0) S(1)


66

4. Porta de distribuição – Demultiplexação- DEMUX

DEMUX

S1 S2

E/S0

E/S1

E(0) E(1)A B

E/S0=0

E/S1=1

S0(0) S0(1) S1(1)S1(0)

A A B B

B0A0

Coloque o valor A e B na entrada e distribua de modo que A e B apareçam na porta S1. Basta

fazer E/S1= 1 e E/S2= 0. Assim, S1(0)= A e S1(1) = B.

Exemplo: Explique a atividade do circuito lógico abaixo.


67

Bibliografia



68

Aula 19.

Circuitos Seqüenciais: A saída é função das entradas e do estado dos elementos de memória

(de 1 a p).

Circuito lógico

combinacional

x1

xn

.

.

.

z1

zn

.

.

.

.

.

.

1

p

Células binárias Flip-Flops

Flip-Flop RS (Reset-Set)

(Latch NAND)

Q

Q’

S’

R’

R’ S’ Q Q’

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 0

1 1 inativo

R’

S’

Q’

Q

Isto quer dizer

S’ e R’: o circuito é ativado quando

S= 0

Proibido


69

R’

S’

Q’

Q1

0

01

1 0 0

1

Reset Q= 0Q’= 1

R’

S’

Q’

Q0

1

11

00 1

0

Estabiliza em Q= 1 (set) e Q’= 0

0

1

R’

S’

Q’

Q1

1

0

10

1

Inativo

1

0

R’

S’

Q’

Q0

0

10

0 11 1

1

Estabiliza em Q= 1 (set) e Q’= 1 (Proibido dado que Q ≠ Q’)1

1

R’

S’

Q’

Q0 1

1 0

0 1

1 00

11

0

S’

R ’

Q

Q’

0

1

t0 t1


70

Representação esquemática

Q

R ’

S’

1 2 3 4 5 6 7 8

Set

Reset

Questões

1. Qual é o estado normal de repouso (equilíbrio) das entradas S’ e R’? Qual é o estado

ativo de cada entrada?

2. Quais são as entradas Q e Q’ após o FF ter sido reseted?

3. Verdadeiro ou falso: a entrada ser nunca pode ser usada para levar Q para 0.

4. Quando o FF é energizado é impossível determinar os estados Q e Q’. O que pode ser

feito para que o “latch” NAND sempre seja inicializado no estado Q= 1?

FF

S Q

Q’R

Ativo baixo


71

Latch NOR

Q’

Q

S

R

S Q

Q’R

Q

R

S

1 2 3 4 5 6 7 8

R’ S’ Q Q’

0 0 Não se altera

0 1 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0 Proibido


72

1. Se há luz, o transistor está conduzindo e V0= 0, ou seja, S= 0 e, portanto, S=R= 0

inalterado com Q=0;

2. Quando a luz é interrompida, o transistor corta.

S=1 e Q→ 1 Alarme soa até que um reset seja feito pela chave!

Bibliografia



73

Aula 21.

Flip-Flop RS com controle

S

R

Detector de bordaclock

Detector de borda Direcionador depulsos

Latch NAND

S R Clock Q

0 0 ↑ Não muda

0 1 ↑ 0

1 0 ↑ 1

1 1 ↑ Proibido

S

R

CLK

Q

Detector de borda


74

CC*

C’

C

C’

C*

Sensível à borda desubida

CC*

C’

C

C’

C*

Sensível à borda dedescida

Simbologia

S

R

Q

Q’

S R CLK Q

0 0 ↓ Q=Q0 (Não muda)

0 1 ↓ 0

1 0 ↓ 1

1 1 ↓ Proibido

S

R

Q

Q’

S R CLK Q

0 0 ↑ Q=Q0 (Não muda)

0 1 ↑ 0

1 0 ↑ 1

1 1 ↑ Proibido

Sensível à borda de descida

Sensível à borda de subida


75

Flip-Flop D

Dado

CLK

Q

Q’

CLK= 0 CLK= 1

D Q Q’ Q Q’

0 anterior 0 1

1 anterior 1 0

CLK

D

Q

RESUMO

CLK= ENABLE. Não é sensível à borda. Enquanto ENABLE= 1, Q é a cópia do Dado. Se ENABLE=

0, Q não de altera para qualquer Q. Também é chamado de latch transparente.

Pode também ser sensível à borda.

CLK

Dado

Q


76

Aplicação

X Q1=X

Y Q2=Y

Z Q3=Z

Circuitológicocombinatório

Transferência paralela de dados

Na borda de descida do clock!

D

D

D

Simbologia

D Q

Q’

D Q

Q’

EN

EN=ENABLE

Sensível à borda de subida Sensível à nível

Entradas assíncronas

São entradas não sinalizadas pelo clock geral. São também chamadas de entradas de

sobreposição. Qualquer que seja a saída Q, as entradas PRESET e CLEAR levam Q para o

estado indicado na tabela.

J Q

Q’K

PRESET

CLEAR

PRESET CLEAR Q

0 0 Não muda

0 1 Q= 1

1 0 Q= 0

1 1 Q responde a J, K e CLK


77

Flip-Flop JK

J

↑CLK

Q

Q’K

JQ’

KQ

Flip-Flop JK Master-Slave

Q

Q’

A

B

CLK

J

K

O JK tem problemas. Quando CLK= 1, se J e K se alteram, a saída também irá se alterar. Para

resolver este problema, foi desenvolvido o flip-flop acima (JK mestre-escravo, ou master-

slave). Neste caso, quando CLK= 0, J e K podem variar que a saída não se altera, dado que S e R

(A e B) não se alteram. Quando o clock for para o valor 1, o escravo copia o mestre.

Simbologia

FF

Controle

FFEntrada

M S

J K Qf

0 0 Qa

0 1 0

1 0 1

1 1 aQ

Master Slave

A saída só muda depois que a entrada ficar

insensível.

Controle= 1 → Master muda em função da

entrada.

Quando CLK= 0, o slave copia o master.

(Lento!)


78

Bibliografia



79

Aula 24.

Generalizando: contador que parta do zero e seja mod X.

A. Determinte o número de flip-flops (FFs) de forma que 2N≥ X e conecte-os como um contador

(J= K= 1). Se 2N= X, esqueça os passos B e C.

B. Conecte a saída de uma porta NAND às entradas assíncronas CLEAR de todos os FFs.

C. Determine quais FFs estarão em nível alto na contagem igual a X, então conecte as saídas

destes FFs às entradas da porta NAND.

Exemplo

Construa um contador mod 10 (década). Se a contagem for na ordem numérica é também

chamado de contador BCS.

Uso de um circuito integrado pronto: 74LS293

Vejam o detalhe do componente retirado do Datasheet da Motorola:

74LS293

12 13 17 8 4 5 9

14

+Vcc

Q3 Q 2 Q1Q0

LSB

MSB f= 10kHz/16= 625 Hz

MR2 MR1

Clock dos FFs

0CP

1CP

MR1= MR2= 0Estados do NAND

10 kHz

10

11


80

Contadores assíncronos decrescentes

A J

KA’

B J

KB’

C J

KC’

J= K= 1

B’

B

CLK

A

A’

C’

C

PROBLEMA

Atrasos de propagação:

Tclock≥ N · tpd_total, onde N corresponde ao número de FFs e tpd_total ao atraso de propagação

fmax= 1/ (N· tpd)

Digamos que tpd= 50 ns:

Mod 16 → 4 FFs

fmax= 1/(4·50 ns)= 1/(200 ns)= 5 MHz

A porta NAND introduz um atraso de ~20 ns. Se o contador for síncrono, fmax seria bem maior

(~15 MHz). Por que não 20 MHz?

Diagrama de estados para o contador assíncrono mod 6.

C B A

7 1 1 1

6 1 1 0

5 1 0 1

4 1 0 0

3 0 1 1

2 0 1 0

1 0 0 1

0 0 0 0


81

111000

001

010

011100

110

101

A J

K

B J

B

C J

K

J= K= 122

21 20

LED acende quando

o FF estiver no nível ALTO

K

C

+5 V

On

+5 V

“1”

Transitório


82

Contadores síncronos (Paralelos)

A J

K

B J

AB

C J

K

1

K

CLK

D J

K 1

AB

C

ABC

A

B

A. Todos os clocks ligados a um único clock de entrada;

B. Apenas FFA (LSB) tem J= K= 1. As entradas J e K dos FFs são acionadas por um AND das

saídas dos FFs anteriores;

C. Requer circuito maior que o assíncrono.

Assíncrono: 4 FFs, tpd≈ 4·50 ns= 200 ns ∴fmax= 1/200ns = 5 MHz

Síncrono: 4 FFs + 1 NAND

tpd≈ 50 ns + 20 ns= 70 ns

fmax= 1/70ns = 14,3 MHz

Máquinas de estados finitos

São estruturas matemáticas definidas por uma 6-upla:

(S, ∑, λ, T, G, Start), onde S corresponde a um número finito de estados, ∑ é o alfabeto de

entrada, λ é o alfabeto de saída, T corresponde à função de transição e G à função de saída, e,

por fim, Start é o estado inicial da máquina.

Duas classes principais: Mealy e Moore

Máquina de Mealy

Q(t+1)= f(Q(t), x(t))

z(t)= g(Q(t), x(t))


83

Q0

Q2Q1

Q3

Máquina de Moore

Q(t+1)= f(Q(t), x(t))

z(t)= g(Q(t))

Q0/0

Q2/0

Q4/1

Q1/0

Q3/00,1

1

0

1

0

0

1

PROJETO

J K Qn

0 0 Qa

0 1 0

1 0 1

1 1 Qa’

Qa Qn J K

0 → 0 0 x

0 → 1 1 x

1 → 0 x 1

1 → 1 x 0

Quantos FFs?

2 ←(Q1Q0)

TEM QUE SABER


84

00 01 11 10

0

1

x00

10 x

J1

00 01 11 10

0

1

1x

xx 1

K1

x

J1= Q1’ · Q0· x

K1= Q0’

00 01 11 10

0

1

1x0

x1 0

J0

J0= Q1 · Q0’· x’ + Q1’· x

00 01 11 10

0

1

x1x

1x x

K0

K0= Q1’

00 01 11 10

0

1

000

11 1

z

z= Q1’ · x + Q0’ · x = x(Q1’ + Q0’)

x Q1 Q0 Q1 Q0 z

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 0

0 1 1

1 0 0 0 1 1

1 0 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1

1 1 1

J1 K1 J0 K0

0 x 0 x

0 x x 1

x 1 1 x

0 x 1 x

1 x x 1

x 1 0 x

Qa

Entrada

Qn

Saída

Tabela verdade


85

J1 Q1

Q1’K1

J0 Q0

Q0’K0

CLK

z

Q0

Q1’

x

xQ0’Q1

x

Q1’

Q1’x

Bibliografia



86

Aula 25.

Projetar a seguinte máquina de estados

00 01 10 11

RESET

0,1 0,1 0,1

0,1

Q1 Q0 x Q1 Q0 z1 z0 J1 K1 J0 K0

0 0 0 0 1 0 1 0 x 1 x

0 1 0 1 0 1 0 1 x x 1

1 0 0 1 1 1 1 x 0 1 x

1 1 0 0 0 0 0 x 1 x 1

0 0 1 0 1 0 1 0 x 1 x

0 1 1 1 0 1 0 1 x x 1

1 0 1 1 1 1 1 x 0 1 x

1 1 1 0 0 0 0 x 1 x 1

a n


87

00 01 11 10

0

1

x10

10 x

00 01 11 10

0

1

1x1

x1 1

x

J1= Q0

J0= 1

00 01 11 10

0

1

0x0

xx 0

K1= Q0

00 01 11 10

0

1

x1x

1x x

K0= 1

x

x

1

1

x

x

1

1

00 01 11 10

0

1

110

10 1

z1= Q1’ · Q0 + Q1 · Q0’

0

0

00 01 11 10

0

0

z0= Q0’

0

0

1

11

0

1

1

1

Circuito

J1 Q1

Q1’K1

J0 Q0

Q0’K0

CLK

Q1’

Q0

1

Códigos

Decimal codificado em binário (BCD, binary coded decimal). Conjunto de dígitos

binários tratados como decimais. O mais usado é o 8421 (1001≡ 9; 0001≡ 1).

(243)10 em BCD: 0010 0100 0011

2 4 3

BCDs podem ser pesados ou não!

Exemplo: 8421 ∑=

4

1i

ii wc , onde ci= dígito binário e wi= peso

Usando apenas número positivo para peso, há 17 BCD pesados com 4 dígitos wi> 0.


88

w1 w2 w3 w4

2 4 2 1

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 1 0 0 0 --------------- 0 0 1 0

3 0 0 1 1 -------------- 1 0 0 1

4 0 1 0 0 -------------- 1 0 1 0

5 1 0 1 1 -------------- 0 1 0 1

6 1 1 0 0 -------------- 0 1 1 0

7 0 1 1 1 -------------- 1 1 0 1

8 1 1 1 0

9 1 1 1 1

Apenas o 8421 apresenta unicidade!

w1 w2 w3 w4

7 4 2 1

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 0

7 1 0 0 0 -------------- 0 1 1 1

8 1 0 0 1

9 1 0 1 0

Ausência de unicidade


89

Podemos trabalhar com pesos negativos:

Dos 71 códigos deste tipo, 21 apresentam unicidade!

Código Complementar

w1 w2 w3 w4

8 6 -4 1

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 1 1 0

8 4 -2 -1

0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 ¬1 : 1000= 8

2 0 1 1 0 ¬2 : 1001=7

3 0 1 0 1

4 0 1 0 0

5 1 0 1 1

6 1 0 1 0 ¬6 : 0101= 3

7 1 0 0 1

8 1 0 0 0

9 1 1 1 1


90

Complementar não-ponderedo

Excesso de 3

Código refletido

0 00 000 0000

1 01 001 0001

11 011 0011

10 010 0010

110 0110

111 0111

101 0101

100 0100

1100

1101

1111

1110

1010

1011

1001

1000

0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 ¬1 : 1011= 8

2 0 1 0 1


91

Conversor de códigos

Código A Código B

00 00

01 00 b1=a1·a2’

10 11 b2=a1·a2’ + a1·a2

11 01

a1a2 b1b2

a1 a2 a1'

b2

a2'

b1

Demonstre que:

ímparforxdensexxxx

parforxdensexxx

º

º0

=⊕⊕⊕

=⊕⊕⊕

L

L

a) 0=⊕ xx

xxxxxxx =⊕=⊕⊕∴=⊕ 00

b) xxxx =⊕⊕

00 =⊕=⊕⊕⊕∴=⊕ xxxxxxxx


92

Circuitos de paridade

n entradas e 1 saída que é 1 ou 0 dependendo da paridade (nº de bits iguais a 1)

a

b

c

d

e

dcbae ⊕⊕⊕=

Bibliografia


a 10

b

c

d

11

10

01

01

1110

Se nº de 1’s for par, a saída será 0. Se for ímpar, a saída será 1.


93

Aula 26.

Projeto de registradores síncronos

Contador em anel

Transição de estados usando FF JK

J K Qn

0 0 Qa

0 1 0

1 0 1

1 1 Qa'

Q3 Q2 Q1 Q0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

Qi Qi+1 J K

0 0 0 x

0 1 1 x

1 0 x 1

1 1 x 0

Q3 Q2 Q1 Q0 J3 K3 J2 K2 J1 K1 J0 K0

0 0 0 1 0 x 0 x 1 x x 1

0 0 1 0 0 x 1 x x 1 0 x

0 1 0 0 1 x x 1 0 x 0 x

1 0 0 0 x 1 0 x 0 x 1 x


94

00 01 11 10

00

01

x1

0

J3

11

10 0

00 01 11 10

00

01

0x

0

J2

11

10 1

00 01 11 10

00

01

00

1

J1

11

10 x

00 01 11 10

00

01

10

x

J0

11

10 0

00 01 11 10

00

01

1x

x

K3

11

10 x

00 01 11 10

00

01

x1

x

K2

11

10 x

00 01 11 10

00

01

xx

x

K1

11

10 1

00 01 11 10

00

01

xx

1

K0

11

10 x

J3= Q2 J2= Q1 J1= Q0 J0= Q3

K3= 1 ou Q1' K2= 1 ou Q1' K1= 1 ou Q1 K0= 1 ou Q1'

J3 Q3

K3

J2 Q2

K21

J1 Q1

K1

J0 Q0

K0

Q3 Q2 Q1 Q0

CLK

Projeto do contador em anel usando FF D

Q3 Q2 Q1 Q0 D3 D2 D1 D0

0 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1


95

00 01 11 10

00

01

01

0

D3

11

10 0

00 01 11 10

00

01

00

0

D2

11

10 1

00 01 11 10

00

01

00

1

D1

11

10 0

00 01 11 10

00

01

10

0

D0

11

10 0

D3= Q2 D2= Q1 D1= Q0 D0= Q3

D3 Q3 D2 Q2 D1 Q1 J0 Q0

Q3 (MSB) Q2 Q1 Q0 (MSB)

CLK

ou

D0 Q0 D1 Q1 D2 Q2 D3 Q3

Q0 (LSB) Q1 Q2 Q3 (MSB)

CLK

Máquinas de estados finitos

As MEF são definidas por uma 6-upla:

(S, Σ, λ, T, G, Start)

Número finito de estados

Alfabeto de entrada

Alfabeto de saída

Estado inicial

Função de transição Função de

saída


96

Diagrama de estados- grafo orientado no qual cada estado da máquina corresponde a um dos

nós. De cada nó emanam p arcos orientados, correspondentes às transições de estados

causadas pela ocorrência da entrada. O arco é rotulado com a entrada que determina aquela

transição e com a saída gerada nas máquinas determinísticas ou markovianas.

A) Q(t+1) = f[Q(t), x(t)], onde f é a função de transição de estados (T). O valor da saída z(t)

é função do estado presente Q(t) e, muitas vezes, das entradas presentes x(t).

B) z(t)= g[Q(t)]

C) z(t)= g[Q(t), x(t)]

Máquinas que seguem A e B são chamadas de máquinas de Moore e as que seguem A e C são

chamadas de máquinas de Mealy.

Exemplo de máquina de Moore

Q0/0

Q2/0

Q4/1

Q1/0

Q3/00,1

1

0

1

0

0

1

( ) [ ][ ]

=

++

)()(

)(),(1

tQgtz

txtQftQ

Q (t) x=1 x=0 z(t)

Q0 Q1 Q2 0 0

Q1 Q2 Q3 0 0

Q2 Q2 Q2 0 0

Q3 Q4 Q2 1 0

Q4 Q2 Q2 0 0


97

Exemplo de máquina de Mealy

Q0

Q3Q1

Q2

Projeto

00

1001

0/0

1/1

0/0

1/11/1

Q (t) x=1 x=0

Q0 Q1/0 Q3/1

Q1 Q2/0 Q0/1

Q2 Q3/0 Q1/1

Q3 Q0/0 Q2/1

Qi Qi+1 J K

0 0 0 x

0 1 1 x

1 0 x 1

1 1 x 0

J K Qn

0 0 Qa

0 1 0

1 0 1

1 1 Qa'

entrada

saída


98

00 01 11 10

0

1

x00

0 1

00 01 11 10

0

1

1x

x x

x

J1= Q1' Q0 x

K1= Q0'

00 01 11 10

0

1

1x0

1 0

J0= Q1 Q0' x‘ + Q1' x

00 01 11 10

0

1

1x

x1

x x

1

K0= Q1'

x

x

Obtenha a saída fazendo o mapa de Karnaugh de modo similar: Z = Q1´x + Q0´x e depois inclua

no circuito da máquina de estados finitos.

x Q1 Q0 Q1 Q0 z J1 K1 J0 K0

0 0 0 0 0 0 0 x 0 x

0 0 1 0 0 0 0 x x 1

0 1 0 0 1 0 x 1 1 x

0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 x 1 x

1 0 1 1 0 1 1 x x 1

1 1 0 0 0 1 x 1 0 x

1 1 1

Qa entrada Qn saída


99

Bibliografia


J1 Q1

K1

J0 Q0

K0

CLK

Q 1 ' Q0 '

x

z


100

Aula 27.


101


102


103


104


105


106

Bibliografia


resumobassani/ea-772/aulas/ea-772-aulas todas-2018.pdf · resumo prof. josÉ w m bassani outubro de...

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