MATEMÁTICA

UMA PAIXÃO NACIONAL

1 D 11 C 21 93 31 01 41

2 B 12 C 22 07 32 22 42

3 A 13 B 23 57 33 15 43

4 C 14 B 24 40 34 27 44

5 D 15 D 25 02 35 10 45

6 E 16 A 26 05 36 12 46

7 E 17 E 27 16 37 43 47

8 B 18 C 28 10 38 27 48

9 D 19 A 29 18 39 05 49

10 A 20 D 30 28 40 50

© Dário Paiva

1. (ITA/98) O valor de x2, na figura abaixo, é:

a) b2 – a 2 4

b) a 4 – a 2 b2 4

c) b 2 – b 4 4 a2

d) b2 – b 4 4a2

e) a2 – b 4 4

2. (OBM98) Um estacionamento para carros cobra 1 real pela primeira hora e 75 centavos a cada hora ou fração de hora seguinte. André estacionou seu carro às 11h 20min e saiu às 15h 40min. Quantos reais ele deve pagar pelo estacionamento?

a) 2,50 b) 4,00 c) 5,00 d) 4,75 e) 3,75

3. (UPE/02) Considere o sólido gerado pela rotação do triângulo ABC, isósceles, com AB e BC, medindo 8m, em torno de uma reta, contendo o lado BC.

O volume do sólido gerado é em m3

a) 128.

b) 128.

c) 182.

d) 182.

e) 120.

4. (DP/02) Um relógio atrasa 1 minuto a cada 1 hora. Se o relógio foi acertado à meia noite em 00:00, quando for 24:00 horas, o relógio terá atrasado m minutos. Qual o menor ângulo formado entre os ponteiros das horas e dos minutos neste instante? a) 18º b) 90º c) 132º d) 180º e) 228º

2

C

30°

B

30°

A

5. (UPE/02) A equação x2 + y2 – 4 x - 4 y + 8 = 0 representa, no plano cartesiano ortogonal,

a) uma circunferência de raio 2 e centro no ponto (2; 2).

b) uma parábola.

c) uma elipse.

d) um ponto no plano.

e) uma reta.

6. (OBM/01) Seja f uma função real que tem as seguintes propriedades:

1º) Para todos x,y reais, f(x+y) = x + f(y) 2º) f(0) = 2

Quanto vale f(2000) ?

a) 0 b) 2 c) 1998 d) 2000 e) 2002

7. (NET) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quanto litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

8. (DP/02) Um garoto tem um chocolate gigante na forma de um cilindro de altura h=12m e diâmetro d=8m. Sabe-se pois que ele corta o chocolate em oito partes iguais, sendo um corte ao meio da altura h e dois cortes perpendiculares e de mesmo tamanho indo do topo até a base cilíndrica do chocolate. Se para embrulhar 1m2 de papel de presente custa R$ 0,05. Quanto pagará o garoto para embrulhar uma das oito partes do chocolate?

a) R$ 3,77b) R$ 5,54c) R$ 11,08d) R$ 15,07e) R$ 30,14

3

h

d

9. (OBM/97) Colocando em ordem crescente os número escritos nas casas brancas do tabuleiro a seguir (estamos mostrando apenas as suas quatro primeiras linhas). Assim, por exemplo, o nono número da nossa lista é 14. qual o 2000º número da nossa lista?

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

... ... ... ... ... ... ... ... ...

a) 3931b) 3933c) 3935d) 3937e) 3939

10. (OBM/98) A figura abaixo mostra o logotipo de uma empresa, formado por dois círculos concêntricos e por quatro círculos de mesmo raio, cada um eles tangente a dois dos outros e aos dois circulos concêntricos. O raio do circulo interno mede 1cm. Então quanto o raio do circulo externo deverá medir, em cm:

a) 2√2 + 3b) √2 + 2c) 4√2 + 1d) 3√2e) √2 + 1

11. (DP/01) A soma das medidas dos ângulos A + B + C + D + E, vale:

a) 60ºb) 120ºc) 180ºd) 360ºe) varia de “estrela” para “estrela”.

4

A

B

CD

E

12. (DP/02) Seja V(x) a equação da venda de um comerciante de verduras, tem-se que para cada x quilos de verdura ele cobra três reais além dos R$ 2 cobrados para compensar os prejuízos. Sabendo que o custo é definido por C(x) = 2x + 1. Quantos quilos de verdura o comerciante vendeu a um determinado cliente, sabendo que ele teve um lucro de R$ 18,00?

a) 5b) 16c) 17d) 18e) 19

13. (DP/02) Um cilindro de chumbo de 10m de diâmetro e altura 4m, foi colocado dentro de um recipiente de base quadrada contendo água até a borda e com aresta de base valendo 10m. Se o cilindro fica inscrito no cubo e as alturas de ambos se equivalem, pode-se dizer que o volume de água que não transborda o cubo vale: Despreze a espessura das bordas do cubo e do cilindro

a) 3,14m3

b) 86m3

c) 714m3

d) 856m3

e) 1656m3

14. (OBM/97) 64 jogadores de habilidades diferentes disputam um torneio de tênis. Na primeira rodada são feitos 32 jogos (os emparelhamentos são por sorteio) e os perdedores são eliminados. Na segunda rodada são feitos 16 jogos, os perdedores são eliminados e assim por diante. Se os emparalhamentos são feitos por sorteio e não há surpresas ( se A é melhor que B, A vence B), qual o número máximo de jogos que o décimo melhor jogador consegue jogar?

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

15. (DP/02) Seja a equação da circunferência C1: 4x2 + 4y2 = (√10)2, faz-se nela uma rotação, na qual gira por completo em todas as direções e sentidos a partir do centro, formando então uma esfera E1. constrói-se um cubo perfeito circunscrito à esfera E1. constrói-se ainda uma outra esfera E2 circunscrita ao cubo. Então a soma dos dígitos do inteiro mais próximo do volume entre as esferas vale: Considere: π = 3,14 e √3 = 1,73

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

5

3

16. (UFPE/00) No nosso calendário os anos têm 365 dias com exceção dos anos bissextos que têm 366 dias. Um ano é bissexto quando é múltiplo de 4, mas não é múltiplo de 100, a menos que também seja múltiplo de 400. Quantas semanas completas possuem 400 anos consecutivos?

a) 20.871b) 20.870c) 20.869d) 20.868e) 20.867

17. (DP/02) De acordo com a figura abaixo o valor de a, b e c respectivamente é:

a) 30º, 45º e 60ºb) 30º, 60º e 45ºc) 45º, 30º e 60ºd) 45º, 60º e 30ºe) 60º, 45º e 30º

18. (ITA/98) Seja P um ponto interior a um triângulo eqüilátero de lado k. Qual o valor de k, sabendo-se que a soma das distâncias de P a cada um dos lados do triângulo é 2?

a) b) c) d) e) 1

19. (ITA/98) Usando-se 5 dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, sem repeti-los, a quantidade de números pares que se pode formar é :

a) 1080 b) 2160 c) 2520d) 5040e) 4050

6

a ( b ( c (

2√3

√62

√3

20. (DP/02) Se cada pétala da figura, é equivalente a parte indicada na circunferência ao lado, então se o raio da circunferência mede 10 u.m., o valor da área pintada vale:Considere: π = 3,14

a) 396 u.a.b) 397 u.a.b) 398 u.a.d) 399 u.a.e) 400 u.a.

21. (DP/04) Um arquiteto deseja construir a maquete de um lápis. Então, 1º ele constrói um prisma hexagonal com altura valendo o dobro da aresta de base onde a = 2m, logo em seguida ele constrói uma pirâmide também hexagonal, de modo que esta se encaixe perfeitamente na parte inferior do prisma. Por último ele constrói uma semi-esfera de modo que está se encaixe inscritamente na parte superior do prisma, tendo assim um aspecto de borracha. Sabendo-se que para cada metro quadrado o arquiteto paga R$ 1,50. Assinale o valor pela qual pagará o arquiteto pagará para cobrir a sua maquete. Considere os três sólidos geométricos regulares e de mesma altura, 19¹/² = 4,36 e π = 3,14.

22. Um estudante de economia verificou ao comprar seu carro no valor de R$ 20.000,00 que após 10 anos de uso seu preço valeria aproximadamente R$ 10.000,00. Tomando por P a taxa de desvalorização ao longo dos anos. Indique o mais próximo de P. Considere 20,1 = 1,0717

7

23. Uma indústria de refrigerantes contratou seus engenheiros para uma avaliação sobre a capacidade das suas “latinhas de refrigerante”. Os engenheiros provaram que na parte A (cilindro menos a caixinha) cabe mais refrigerante do que a parte B (apenas a caixinha). Sabe-se, pois que os sólidos geométricos são regulares, de mesma altura e a aresta da base do cubo vale a metade do diâmetro da tampa da latinha. Então se já foram fabricadas 50 latinhas com refrigerante apenas na parte A, quantas latinhas a mais poderiam ter sido fabricadas apenas na parte B, de modo que fosse utilizado o mesmo volume de refrigerante usado para fazer as 50 latinhas na parte A. Considere π = 3,14.

24. Os agentes de policia encontraram um explosivo, onde seu código para desativação consiste em duas letras e três números. Sabendo que cada seqüência a ser testada leva em torno de 5s para ser verificada se é a correta. Quantos dias no mínimo gastarão os agentes para verificar todas as possibilidades de desativação do explosivo?

25. Qual a soma da expressão: 1 + cos60º + cos2(60º) + cos3(60º) + cos3(60º) + ...

26. Uma laranja tem raio 4cm. Se esta laranja pode ser dividida em até 24 bagos. Qual o volume em ml que uma pessoa ingere ao comer três bagos, sabendo que o volume total de liquido presente na laranja é de 40ml.

27. Um engenheiro projetou um copo na forma de um cone eqüilátero, sabendo que a densidade do líquido a ser colocado no copo vale (2√3)/ π g/dm³ e o raio do copo é 2dm, pode-se dizer que a massa do líquido que cabe dentro do copo vale quanto em Kg?

28. Numa determinada corrida X atletas correm X³ metros em X² segundos. Quantos segundos serão necessários para dez atletas percorrem 100 metros?

29. (Cesesp/75 – Adaptado) Em uma granja existem entre galinhas e coelhos 7.000 cabeças e 18.912 pés. Se G é a quantidade de galinhas e C a quantidade de coelhos. Qual a soma dos dígitos de S, sabendo que S = G – C.

30. Qual a área delimitada pela equação x² + y² + 4x + 4y – 1 = 0. considere π = 3,14.

31. Se cotg = x/y, então sen4 +1, vale:

32. Seja S = 1² + 2² + 3² + ... + 99² + 100², então a soma dos dígitos de S equivale a:

33. Um banco faz duas correções de cálculos para seus juros. A primeira correção o banco utiliza juros simples, e a segunda correção utiliza nos seus cálculos os juros

8

A

B

compostos. Sabendo que ao fim de dois meses as duas correções monetárias para juros são iguais. Se i é a taxa de juros utilizada neste banco. Marque 15i.

34. Na figura abaixo o raio da circunferência vale 10cm. Qual o valor da área sombreada?

35. A gasolina contida em um tanque cilíndrico reto do terminal de uma cidade deve ser distribuída entre vários postos. Se cada posto tem dois tanques (também cilíndricos retos) com a altura e o diâmetro da base de medidas iguais, a quinta e a quarta partes, respectivamente, das dimensões do tanque terminal. Quantos postos poderão ser abastecidos?

36. Para um espetáculo de natal são utilizadas 5 lâmpadas diferentes, e a primeira pisca a cada 1,5 minutos a segunda pisca a cada 2,5 minutos, a terceira pisca a cada 4 minutos, a quarta pisca a cada 10 minutos e a quinta lâmpada pisca a cada 28,8 minutos. Sabendo que neste instante ambas as cinco lâmpadas estão piscando, daqui a quantos dias elas estarão piscando novamente.

37. No Grande Premio do Brasil de Fórmula 1, a corrida tem 72 voltas e dela participam 20 pilotos. Sabendo que o tempo que cada piloto gasta para percorrer uma volta é 5% menor que o piloto que vem logo à frente dele. Quantas voltas faltarão ao último colocado para cruzar a linha de chegada no momento em que o primeiro piloto cruzar a linha de chegada em 1º lugar. Suponha que os carros tenham combustíveis e pneus suficientes para toda a corrida e suas velocidades sejam as mesmas em todas as partes do circuito. Admita ainda que 1,0521 = 2,53.

38. Considere os triângulos eqüiláteros ABE, BCF, CDG e DAH inscritos no quadrado ABCD de lado L = 10cm, pode-se dizer que a área do quadrilátero formado pelos pontos EFGH vale em centímetros. Dados: √3 = 1,73

39. Seja o triângulo eqüilátero CED e a semi-circunferência de arco AB, inscritos no

quadrado ABCD de lado . Calcule o valor da área hachurada.

Considere e .

9

40.10