banco de exercícios gerais de matematica todo em

Matemática Prof. Júlio

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EXERCÍCIOS

CONJUNTOS

01. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 6}, B = {1 , -2 , -3 , 4, 5, 6} e C = {0, - 2, 4}, calcule: a) A – B= b) A ∪ B = c) (A ∩ B) – C= 02. (F.I. Anápolis-GO) – Dados os conjuntos: A = {0, 1, 3, 5}, B = {1, 3, 5, 7} e C = {3, 8, 9}, o conjunto M = B – (A ∪C) é: a) {1, 3, 5} b) {0, 8, 9} c) {7} d) {1, 5, 7} e) {7, 5, 8, 9}

03. Sendo A = {1, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 5, 7, 8} e C = {4, 5, 6, 7, 8}, calcule o valor de: a) (A – B) ∩ C b) (C ∪ A) ∩ (B – A) c) [(A – B) ∩ (A ∪ C)] – (A – C) 04. Sendo A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, {1, 2}}, assinale V ou F: ( ) A ∪ B = A ( ) A ∩ B = B ( ) {1} = B ( ) {1} ⊂ B ( ) {1, 2, 3} ⊂ B ( ) 1, 2 ∈B ( ) φ ∈ A ( ) φ ⊂ A ( ) {1,2} ⊂ A ( ) {{1, 2}} ⊂ B

05. (ITA 2005) – Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações: I. {0} ∈ S e S ∩ U ≠ φ. II. {2} ⊂ S \ U e S ∩ T ∩ U = {0, 1}. III. Existe uma função f : S → T injetiva. IV. Nenhuma função g : T → S sobrejetiva. Então, é(são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IV. c) apenas I e IV. d) apenas II e III. e) apenas III e IV. 06. (FATEC – SP) Se A={2;3;5;6;7;8}, B={1;2;3;6;8} e C={1;4;6;8}, então: a) (A – B) ∩ C={2} b) (B – A) ∩ C={1} c) (A – B) ∩ C={1} d) (B – A) ∩ C={2} e) nda 07. (ITA/2004) - Considere as seguintes afirmações sobre

o conjunto { }0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9U = :

I. U∅∈ e ( ) 10n U = .

II. U∅ ⊂ e ( ) 10n U = .

III. 5 U∈ e { }5 U⊂ .

IV. { } { }0,1, 2,5 5 5=I .

Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmações.

08. Dados os conjuntos A = {x ∈ N / 1 < x < 5}, B = {2, - 1, 6, 3} e C = {3,- 4, 6, 9} e D={ x ∈ Z / 1 < x < 4}, coloque V ou F: ( ) 2 ∉ A ( ) A ⊄ C ( ) A∩B∩C∩D = {2, 3} ( ) {3}∈ B ( ) 3 ∈ C ( ) {9, - 4} ⊄ C ( ) 2 ∈ C ( ) 7 ∈ A ( ) 2 ⊂ D ( ) D ⊂ A ( ) A – B = {4, 5} ( ) A – D = φ

09. (OSEC – SP) – Dados os conjuntos A={a; b; c}, B={b; c; d} e C={a, c, d; e}, o conjunto (A – C) ∪ (C – B) ∪ (A ∩ B ∩ C) é: a) {a;b;c;e} b) {a;c;e} c ) A d) {b;d;e} e) nda 10. Se um conjunto possui 32 subconjuntos, quantos elementos ele tem? 11. (FGV - SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A : a) 8 b)6 c) 256 d) 128 e) 100

12. (CEFET – PR) – Sendo A={0;1;2;3}, B={2;3;4;5} e C={4;5;6;7}, então o conjunto (A – B) ∩ C é: a) {0;1} b) {2;3} c) {6;7} d) {4;5} e) ∅ 13. Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 5, 7, 9}, B = {3, 4, 5, 6} e C = {5, 8, 9}, determine (B – A) ∩ (C – A). 14. Dados os conjuntos A = {- 2, 3, 4, 5}, B = {2, - 1, 6, 3} e C = {3, 4, 6, 9}, coloque V ou F: ( ) 2 ∈ A ( ) A ⊄ C ( ) {3}∈ B ( ) 3 ∈ C ( ) 2 ∉ C ( ) 7 ∈ A ( ) C ⊂ A ( ) A ∩ B = 3 15. Quantos são os subconjuntos do conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}? 16. (USS – RJ) – Se A e B são conjuntos, A ∪ B = A se e somente se: a) A = B b) A ⊂ B c) B ⊂ A d) A = φ e) B = φ 17. (UFPI) – Considerando os conjuntos A, B e C na figura abaixo, a região hachurada representa:

a) B – (A – C) b) B ∩ ( A – C) c) B ∪ (A ∩ C) d) B ∩ (A ∪ C) e) B – (A ∪ C)


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18. (F.M. Itajubá-MG) – Com relação a parte sombreada do diagrama, é correto afirmar que:

a) A – (B – C) b) A – (B ∪ C) c) A – (B ∩ C) d) A – (C – B) e) Nenhuma das respostas anteriores.

19. (PUC-RS) Com relação à parte hachurada do

diagrama, é correto afirmar que:

a) C – (A ∩ B) b) (A ∩ B) – C c) A – (B ∩ C) d) (B ∩ C) – A e) (A ∩ B) – (B ∪ C)

20. Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B =

{2, 4, 5, 6}, analise os itens a seguir: (I) 3 ⊂ A (II) A ∩ B = {2, 4, 6} (III) (A – B) ∪ (A ∩ B) = A Pode-se afirmar que: a) apenas I está correto b) apenas II está correto c) apenas III está correto d) II e III estão corretos e) I e III estão corretos

21. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B = {1, 3,

4, 5} e C = {1, 2, 3,7}, analise os seguintes itens: I – (A ∪ B) ∩ C = C II – A tem 16 subconjuntos III – A ∩ B = 3 IV – A ⊂ B Podemos afirmar que: a) Somente I é verdadeiro b) Somente II é verdadeiro c) Somente IV é verdadeiro d) e) I e III são verdadeiros e) II e III são verdadeiros

22. (UFV/PASES) – A escola Cantinho Feliz possui

1200 alunos e oferece dança e futebol como atividades extracurriculares. Sabendo que neste ano há 590 alunos inscritos em dança, 570 inscritos em futebol e 270 alunos inscritos em ambas as atividades, o número de alunos que NÃO se inscreveram em qualquer destas atividades é: a) 300 b) 310 c) 320 d) 330

23. (UEL) – Uma universidade está oferecendo três cursos de extensão para a comunidade externa com a finalidade de melhorar o condicionamento físico de pessoas adultas, sendo eles:

Curso A: Natação Curso B: Alongamento Curso C: Voleibol

As inscrições dos cursos se deram de acordo com a tabela seguinte:

Curso

Apenas A

Apenas B

Apenas C

A e B

A e C B e C A, B e C

Aluno 9 20 10 13 8 18 3

Analise a s afirmativas seguintes com base nos dados apresentados: I – 33 pessoas se inscreveram em pelo menos dois cursos.

II – 52 pessoas não se inscreveram no curso A. III – 48 pessoas se inscreveram no curso B.

IV – O total de inscritos no curso foi de 88 pessoas.

As afirmações corretas são: a) I e II b) I e III c) III e IV

d) I, II e III e) II, III e IV

24. Em uma pesquisa sobre programas de TV que habitualmente assistem, as pessoas responderam sobre a preferência de três programas A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: • 400 assistem ao programa A. • 350 assistem ao programa B. • 250 assistem ao programa C. • 20 aos três programas. • 70 assistem aos programas A e B. • 50 assistem aos programas A e C. • 60 assistem aos programas B e C.

Pergunta-se: a) Quantas pessoas foram entrevistadas? b) Quantas pessoas assistem somente ao

programa B? c) Quantas pessoas assistem dois programas? d) Quantas pessoas não assistem ao programa

A? 25. (GV) Em uma pesquisa de mercado foram

entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: • 210 compram o produto A. • 210 compram o produto B. • 250 compram o produto C. • 20 compram os três produtos. • 60 compram os produtos A e B. • 70 compram os produtos A e C. • 50 compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas?

26. (GV) Em uma pesquisa de mercado foram

entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: • 200 compram o produto A. • 200 compram o produto B. • 250 compram o produto C. • 10 compram os três produtos.


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• 50 compram os produtos A e B. • 70 compram os produtos A e C. • 30 compram os produtos B e C. Pergunta-se: a) Quantas pessoas foram entrevistadas? b) Quantas pessoas compram somente o

produto A? c) Quantas pessoas compram os produtos C ou

B? d) Quantas pessoas compram os produtos A e

B?

27. (UNIFAL/2006) – Em uma cidade com 40.000 habitantes há três clubes recreativos: Colina, Silvestre e Campestre. Feita uma pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados: 20% da população freqüenta o Colina; 16% o Silvestre; 14% o Campestre; 8% o Colina e o Silvestre; 5% o Colina e o Campestre; e 4% o Silvestre e o Campestre. Somente 2% freqüentam os três clubes. O número de habitantes que não freqüentam nenhum destes três clubes é: a) 26000 b) 30000 c) 28000 d) 32000 e) 34000

28. Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200

delas gostam de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de samba, nem de rock? a) 430 d) 450 c)330 d)250 e) 470

29. (PUC_PR) – Em uma pesquisa feita com 120 empregados de uma firma, verificou-se o seguinte: - têm casa própria: 38 - têm curso superior: 42 - têm plano de saúde: 70 - têm casa própria e plano de saúde: 34 - têm casa própria e curso superior: 17 - têm curso superior e plano de saúde: 24 - têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 Qual a porcentagem dos empregados que não se enquadram em nenhuma das situações anteriores? a) 25% b) 30% c) 35% d) 40% e)45%

30. (UFPA) – A Câmara dos Deputados reuniu-se

extraordinariamente para decidir sobre a instalação de duas Comissões Parlamentares de Inquéritos (CPI): a do FUTEBOL e a do CAIXA 2. Dos 320 deputados presentes, 190 votaram a favor da instalação da CPI do FUTEBOL; 200 pela instalação da CPI do CAIXA 2; 90 votaram a favor da instalação das duas comissões e X deputados foram contrários à instalação das CPIs. O número X de deputados que votaram contra a instalação das CPIs é: a) 160 b) 90 c) 70 d) 50 e) 20

31. (UERJ) – Em um posto de saúde foram

atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doença, apresentando, pelo menos, os sintomas diarréia, febre ou dor no corpo, isoladamente ou não. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi visto que:

Diarréia: 62 casos Febre: 62 casos Dor no corpo: 72 casos Diarréia e febre: 14 casos Diarréia e dor no corpo: 8 casos Febre e dor no corpo: 20 casos Diarréia, febre e dor no corpo: x casos Nos dados, x corresponde ao número de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo os três sintomas. Pode-se concluir que X é igual a:__________.

32. (UFF) – Dentre as espécies ameaçadas de

extinção na fauna brasileira, há algumas que vivem somente na Mata Atlântica, outras que vivem somente fora da Mata Atlântica e, há ainda, aquelas que vivem tanto na Mata Atlântica como fora dela. Em 2003, a revista Terra publicou alguns dados sobre espécies em extinção na fauna brasileira: havia 160 espécies de aves, 16 de anfíbios, 20 de répteis e 69 de mamíferos, todas ameaçadas de extinção. Dessas espécies, 175 viviam somente na Mata Atlântica e 75 viviam somente fora da Mata Atlântica. Conclui-se que, em 2003, o número de espécies ameaçadas de extinção na fauna brasileira, citadas pela revista Terra, que vivem tanto na Mata Atlântica como fora dela, corresponde a: a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20

33. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as

únicas matérias dadas são matemática e português, 240 alunos estudam matemática e 180 alunos estudam português. O número de alunos que estudam matemática e português é: a) 120 b) 60 c) 90 d) 180 e) 210

34. (PUC – PR) – Em uma pesquisa com um turma

de alunos, apurou-se o seguinte: 45% dos alunos são homens. Sabe-se também que 60% dos alunos jogam futebol e que destes 70% são homens. Que percentual de alunos, que não jogam futebol, são mulheres? a) 42% b) 37% c) 16% d) 45% e) 60%

35. Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas não comeram nenhuma ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0

36. (UF-BH) – Um colégio ofereceu cursos de inglês e

francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês, matricularam-se 22 alunos. Quantos alunos se matricularam em inglês?


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37. (UPF/2002) – Feita uma pesquisa com 600

estudantes sobre as universidades em que pretendem prestar vestibular, observou-se que 245 pretendem prestar vestibular na universidade A; 270, na universidade B; 285, na universidade C; 130, nas universidades A e B; 120, nas universidades A e C; 110, nas universidades B e C; e 50, nas três universidades citadas (A, B e C). Com base na pesquisa, é incorreto o que se afirma na alternativa: a) 230 estudantes pretendem prestar vestibular

apenas em uma universidade. b) 110 estudantes não pretendem prestar

vestibular nas três universidades. c) 80 estudantes pretendem prestar vestibular

apenas na universidade B. d) 70 estudantes pretendem prestar vestibular

apenas na universidade C. e) 210 estudantes pretendem prestar vestibular

em duas das três universidades citadas.

38. (ESPM/2004) – Uma pesquisa envolvendo 800 habitantes de uma cidade revelou que 35% deles lêem diariamente o jornal A; 60% lêem o jornal B e que 120 entrevistados não lêem nenhum dos dois jornais. O número de pessoas entrevistadas que lêem os dois jornais é: a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140

39. Um levantamento efetuado entre 600 filiados do

INPS, mostrou que muitos deles mantinham convênio com 2 empresas particulares de assistência médica, conforme o quadro:

A B INPS 430 160 60

Quantas pessoas são filiadas simultaneamente às duas empresas?

40. Numa sociedade existem:

- 35 homens; - 18 pessoas que usam óculos; - 15 mulheres que não usam óculos; - 7 homens que usam óculos.

Qual é o número de pessoas que compõe a sociedade?

41. (FGV - SP) Seja A um conjunto com 8 elementos.

O número total de subconjuntos de A : a) 8 b) 256 c) 6 d) 128 e) 100

42. O número dos conjuntos X que satisfazem {1, 2}

⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4} é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 43. (UDESC) Uma pesquisa foi realizada junto a 930

pessoas a respeito da prática dos esportes futebol e vôlei: foi constatado que o vôlei era praticado por 340 pessoas e que 65 praticavam ambos os esportes. Foi constatado ainda que 15 pessoas não praticavam nenhum desses esportes. O número de pessoas que praticavam apenas o futebol é:

a) 565 b) 525 c) 535 d) 510 e) 575

44. Se A, B e C são conjuntos tais que: n[A - (B ∪ C)] = 15, n[B - (A ∪ C)] = 20, n[C - (A ∪ B)] = 35 e n(A ∪ B ∪ C) = 120 então n[(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] é igual a: a) 14 b) 50 c) 35 d) 56 e) 26

45. Dado o conjunto A = {1, 4, 7, 9}, quantos são seus subconjuntos?

46. (FCC - BA) Consultadas 500 pessoas sobre

emissoras de TV a que habitualmente assistem, obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 pessoas assistem ao canal B e 70 assistem aos outros canais, distintos de A e B. O número de pessoas que assistem a A e não assistem a B é?

47. (PUC - PR) Em um levantamento com 100

vestibulandos da PUC, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de Matemática (M), Física (F) e Português (P) foi o seguinte: M - 47, F- 32, P - 21, M e F - 7, M e P - 5, F e P – 6, M, F e P - 2. Quantos, dos 100 alunos incluídos no levantamento, não estudaram nenhuma das matérias?

48. (PUC – PR) – Sejam A, B e C 3 conjuntos finitos.

Sabendo-se que A ∩ B tem 20 elementos, B ∩ C tem 15 elementos e A ∩ B ∩ C tem 8 elementos, então o número de elementos de (A ∪ C) ∩ B é:

a) 28 b) 35 c) 23 d) 27 e) 13

49. (UEL – PR) – Em um certo concurso vestibular, na prova de Língua Estrangeira, o candidato pode optar por Inglês, francês ou Espanhol. Sabe-se que 5% do total de inscritos optaram por Espanhol e, do número restante, 20% escolheram Francês. Se 15 200 candidatos optaram por Inglês, o total de candidatos inscritos nesse concurso é: a) 17 800 b) 18 000 c) 20 000 d) 20 800 e)21 000

50. USP-SP - Depois de n dias de férias, um

estudante observa que: • choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; • quando chove de manhã não chove à tarde; • houve 5 tardes sem chuva; • houve 6 manhãs sem chuva. Podemos afirmar então que n é igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

51. Escreva os intervalos abaixo na forma de conjuntos (usando os símbolos <, >, ≤ ou ≥) a) [1, 2] b) ]-1, 3] c) ]2, 5] ∪ [6, + ∞[ d) ] - ∞, 2[ ∪ [5, 8]

52. Use os símbolos ∈ ou ∉ para relacionar as

alternativas abaixo: a) – 3 N b) ¾ Z c) - 2 Z d) √3 Q


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e) 10/2 N f) 0,333... Q g) 5,6 R

53. Coloque V ou F conforme a sentença seja verdadeira ou falsa, respectivamente: ( ) 4 é um número natural ( ) –1 é um número irracional ( ) √64 é um número inteiro ( ) 2/7 é um número racional ( ) –0,6666... é um número irracional ( ) 7 ∈ Z ( ) 1 ∈ Q ( ) √3 ∈ R ( ) 2 ∉ Z ( ) – 1 ∉ I ( ) √8 ∉ N ( ) 6/2 ∈ N ( ) 72 ∈ N ( ) 0,7777... ∈ Z

54. Dados os conjuntos: A = [- 1, 3] e B = ]2, 7],

calcule A ∪ B e A ∩ B.

55. (EPCAR) Qual das proposições abaixo é falsa? a) Todo número real é racional. b) Todo número natural é inteiro. c) Todo número irracional é real. d) Todo número inteiro é racional. e) Todo número natural é racional.

56. (UEMT) – Dados os intervalos A = (-2, 1] e B =

[0, 2], então A ∩ B e A ∪ B, são, respectivamente; a) (0, 1) e (-2, 2) b) [0, 1] e (-2, 2] c) [0, 1) e [-2, 2] d) (0, 1] e (-2, 2] e) [0, 1) e [-2, 2)

57. Dados os conjuntos A = {x ∈ N / 1 < x < 5}, B =

{1, 3, 7, 8} e C = {4, 6, 9, 10} e D={ x ∈ Z / - 1 < x < 3}, Calcule: a) A – B b) (B – C) ∪ D c) (D ∩ A) – C d) (A – D) ∪ B

58. Escreva os intervalos abaixo em forma de

colchetes: a) {x ∈ R / x > 3} b) {x ∈ R / x < 12} c) {x ∈ R / x ≥ 5} d) {x ∈ R / 1 < x < - 5}.

59. Escrever os intervalos abaixo em forma de colchetes: a) {x ∈ R / x ≥ - 5} b) {x ∈ R / x < - 8} c) {x ∈ R / x ≤ 13} d) {x ∈ R / - 3 < x < 0} e) {x ∈ R / 2 ≤ x < 0} f) {x ∈ R / 2 < x < 7 ou x > 10 e x ≠ 13}

60. Analise a veracidade das proposições abaixo:

( ) - 3√-64 ∉ I ( ) 0 / -5 ∈ (Z - N)

( ) √-25 ∈ R 61. (CEFET) - Se A = ]7/2 , √40] ∩ [π, 16/3[, o

número que pertence ao conjunto A é: a) 7/2 b) √40 c) π d) 19/4 e) 25/4

62. (FUVEST) Na figura estão representados

geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy:

a) à esquerda de 0 b) entre 0 e x c) entre x e y d) entre y e 1 e) à direita de 1

63. Observe os seguintes números.

I. 2,212121... II. 3,212223... III. π / 5

IV. 3,1416 V. 4− Assinale a alternativa que identifica os números

irracionais. a) I e II c) I e IV e) II e III b) II e V d) III e V

64. (UNIOESTE) Considere os conjuntos:

A = {x ∈ R / -1 < x < 4 } e B = {x ∈ R / -4 < x < 1}. É correto afirmar que: 01) √5 ∈ A 02) 6-2 ∈ A 04) 50 ∈ B 08) - 7 / 3 ∈ B 16) 3,2 x 10-3 ∉ B 32) A ∩ B = { x ∈ R / -1 < x < 1} 64) A ∪ B = { x ∈ R / x < 4}

65. Do número α sabe-se que:

I - é raiz da equação x4 - 5x2 + 4 = 0 II- α ∈ (R - Z-) III - α ∉ ]-7, 3/2] ∩ [0, 5[ Nessas condições, determine α.

66. (UFSM) Dados os conjuntos

A = {x ∈ N/ x é ímpar} B = {x ∈ Z/ -2 < x ≤ 9} C = {x ∈ R/ x ≥ 5}, O produto dos elementos que formam o conjunto (A ∩ B) – C é igual a: a) 1 b) 3 c) 15 d) 35

67. (UFC) – Sejam M e N conjuntos que possuem um

único elemento em comum. Se o número de subconjuntos de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, o número de elementos do conjunto M ∪ N é: a) o triplo do número de elementos de M. b) o triplo do número de elementos de N. c) o quádruplo do número de elementos de M. d) o dobro do número de elementos de M. e) o dobro do número de elementos de N.

68. Dados os intervalos A = [1, 4[, B = [3, 7] e C = ]- 3, 6[, calcule: a) (A ∪ B) ∩ C b) C – A


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69. (UFS-2004/Seriado) – Considere os conjuntos: A = {x ∈ R / 1 < x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 6} B = { x ∈ R / 1 ≤ x < 5 e x ≠ 3} C = { x ∈ R / 2 < x ≤ 4} Analise se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. ( ) A ∩ C = ]2, 3] ( ) C ⊂ B ( ) B – C = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2 ou 4 < x < 5} ( ) A ∪ B = [1, 6]

70. Assinale a alternativa incorreta:

a) 2 é racional e inteiro b) –3 é inteiro e real c) 5/2 não é irracional d) 4,5 não é inteiro mas é racional e real e) –7,3 é negativo e irracional.

GABARITO 01. a) {3} b) {-2, -3, 1, 3, 4, 5, 6} c) (1, 5, 6} 02. C 03. a) {6} b) {7. 8} c) {6} 04. (F) (F) 05. B 06. B 07. C (F) (V) 08. F,V,F,F,V,F.F.F,F,V,F,F 09. A (F) (V) 10. 5 11. C 12. E 13. ∅ (F) (V) 14. (F) (V) 15. 128 (V) (V) (F) (V) 16. C 17. E 18. E (F) (F) 19. B 20. C 21. B (F) (F) 22. B 23. B 24. a) 840 b) 240 c) 140 d) 440 25. 510 26. a) 510 b) 90 c) 420 d) 50 27. A 28. A 29. A 30. E 31. 6 32. D 33. B 34. B 35. 1 36. 36 37. D 38. B 39. 50 40) 61 41. B 42. B 43. E 44. B 45. 16 46. 180 47. 16 48. D 49. C 50. C 51. a) { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 2} b) { x ∈ R / - 1 < x ≤ 3} c) { x ∈ R / 2 < x ≤ 5 ou x ≥ 6} d) { x ∈ R / x < 2 ou 5 ≤ x ≤ 8} 52. ∉,∉,∈,∉,∈,∈,∈ 53. V,F,V,V,F,V,V,V,F,V,V,V,V,F 54. A∪B=[-1,7] A∩B=]2,3] 55. A 56. B 57. a) {3,4} b) {0,1,2,3,7,8} c) {2} d) {1,3,4,7,8} 58. a) ]3, ∞[ b) ] -∞, 12[ c) [5, ∞[ d) ]1,5[ 59. a) [-2,∞[ b) ]-∞,-8[ c) ]-∞,13] d) ]-3,0[ e) ]-2,0[ f) ]2,7[ ∪ ]10, ∞[ - {13} 60. V,F,F 61. D 62. B 63. E 64. 01,02,08,32 65. 2 66. B 67. E 68. a) [1,6[ b) ]-3,1[ 69. F,V,V,V 70. E

FATORAÇÃO E PRODUTOS NOTÁVEIS

01. Desenvolva os seguintes produtos notáveis: a) (1 – x)3 = b) (1 + 3x)2 = c) (3x – 4)(3x + 4) = d) (3 + x)2 + (3 – x)2 =

02. Desenvolvendo a expressão: (x – 3)2 + (x + 3)2,

obteremos o seguinte resultado: a) x2 + 12x + 18 b) x2 – 9 c) 2x2 + 18 d) x2 + 18 e) 14x + 18

03. Fatore a expressão 4x3y4 + 12x2y – 20ax5y7 – 16x3y2.

04. Fatore as expressões:

4x2 – 12xy + 9y2 = 100x2y2 – 4 = 25x2 + 4x2y2 = 2x – 4xy + 6x2y = 2xa2 – 6x2a + 10x3a4 = 3abc – 15a2b2c3 + 9ab5 =

05. Assinale quais as expressões abaixo são trinômios

quadrados perfeitos e em seguida, fatore-os. ( ) x2 + 2xy + y2 = ( ) x2 + 4xy + 4 = ( ) 9x2 – 12xa + 4a2 = ( ) a2 – 14a + 49 = ( ) 25x2 + 30x + 9 =

06. Sendo x - y = 40 e xy = 10 , calcule o valor de x2

+ y2.

07. Sendo x + y = 70 e xy = 500 , calcule o valor de x2 + y2.

08. Sendo x + y = 50 e x2 + y2 = 20 , calcule o valor

de x . y.

09. Sendo 82

=+x

x , calcule o valor de 2

2 4

xx + .

10. Sendo x + y = 20 e xy = 50 , calcule o valor de x2 + y2.

11. Sendo xy = 40 e x2 + y2 = 10 , calcule o valor de

(x + y)2.

12. Sendo x + y = 30 e x – y = 60, calcule o valor de x2 – y3

13. Sendo x + y = 130 e x – y = 20, calcule o valor

de x2 – y2

14. Sendo x + y = 200 e x2 + y2 = 150 , calcule o valor de 2xy.

15. Sendo 123

=+x

x , calcule o valor de 2

2 9

xx + .

16. Sendo x + y = 40 e x – y = 50 e xy = – 225 , calcule o valor de (x2 – y2) + (x2 + y2).

17. A expressão 9x2 – 12xya + 4y2a2 é equivalente à:

a) (3x – 4)2 b) (3x + 4ya)2 c) (3x – 2ya)2 d) (3x2 – 4y2a2)2 e) (3x + 2y)2

18. Fatore:

a) 27 – x3 = f) 1 + t3 = b) 8a3 + 125x3 = g) 1 + x3 = c) 1 – t3 = h) 27a3 + x3 = d) 8 – x3 = i) 1 + 8t3 = e) a3 + 64x3 =

19. Simplifique as frações abaixo:


599

a) =−

+−⋅

−

−

62

12

22

9 22

x

xx

x

x

b) =+

−

x

x

216

64 2

20. Fatore as expressões:

a) x2 – 6xy + 9y2 = b) 81x2y2 – 16 =

21. Dois números x e y são tais que x2 + y2 = 92 e

que x + y = 19. Então o valor de xy é: a) 271/2 b) 453/2 c) 269/2 d) 269/4 e) 227/2

22. Fatore e simplifique cada expressão abaixo:

a) =−

−

66

1

x

x b) =

−

−

19

132x

x c) =

−

−xx

x

4

2

d) =+

−+

8

243

2

x

xx e) =

−

++

4

442

2

x

xx

f) =+−

−

10010025

1052 xx

x

23. Simplifique as frações abaixo:

a) =−

+−⋅

−−

82

12

22

16 22

x

xx

x

x b) =

−−x

x

218

81 2

=−−

⋅+−

⋅+−

−⋅

−−

225

32

25

425

9124

32

62

3)

2

2 x

x

x

x

xx

x

x

xc

24. Fatore e simplifique cada expressão abaixo:

a) =−

−

36

12

x

x b) =

−

−

14

122x

x

c) =−

++

9

962

2

x

xx d) =

−

−

1

13

x

x

e) =−

−

328

4

x

x f) =

−

−

125

253

2

x

x

g) =+−

−

9124

322 xx

x h) =

−

+

49

232x

x

i) =−

−

99

99 2

x

x j) =

+

−

216

64 2

x

x k) =

−

−

22

1

x

x

l) =−

−

36

936 2

x

x m) =

−

+−⋅

−

−

26

12

22

9 22

x

xx

x

x

n) =−

−⋅

−

−

18

2412

36

123x

x

x

x o) =

+−

−244

2

xx

x

25. Com relação à expressão

22.

2

2

22

22

+−

+−

+⋅

+−

b

aba

baba

aab

ba

ba:

b) Dê sua forma mais simples. c) Calcule seu valor numérico para a = 20 e b =

9,12.

26. Fatore as seguintes expressões algébricas: a) 7a - 7b = d) a3 - a2 = b) 3x2 + 12x5 - 15x3 = e) 64 - a2 = c) 9x2 - 1 = f) m2n2 - 2mnpz + p2z2 =

27. Simplifique:

a) _x2 - x_ b) ___a + 2___ c) (x + y)2_ x - 1 a2 + 4a + 4 x2 - y2

28. (FAAP - SP) Simplificando a expressão a seguir:

______ax - ay______ , obtemos: x ( x - y) - y (x - y)

a) a b) 1 / (x - y) c) a / (x - y) d) a / (x + y) e) nda

29. (UNICAMP) A expressão que segue abaixo: _a2 + 2ab + b2_ ÷ _a - b_, para a ≠ ± b, é igual: a2 – b2 a + b

a) 1 / (a + b)2 c) (a + b)3 / (a2 + b2) b) [(a + b) / (a – b)]2 e) (2a2b + 2ab2) / (a – b) c) d) 1 / (a – b)

30. (MED. SANTOS) Calculando o valor da expressão

9342872 – 9342862, obtemos: a) 1 b) 2 c) 1868573 d) 1975441 e) nda

31. (UNIMEP – SP) Se m + n + p = 6 ; mnp = 2 e

mn + mp + np = 11, podemos dizer que o valor de _m2 + n2 + p2_, é:______. mnp

32. (FGF – SP) Simplificando-se

obtemos: a) 1/ (ab) b) ab c) (a +b) / (– a – b) d) – ab e) nda

33. Dê o valor numérico da expressão

44

2

2

42

22

+−

−⋅

+

−

xx

xx

x

x para x = 12,5.

34. Simplificando a expressão

xy

yx

yxyx

yx

yx −+

⋅++

⋅

−

22

33

22 2

11, obtém-se:

a) xy b) 1 c) 0 d) – x e) 1/x

35. A expressão que segue

)(

1

)2)((

42

44 22

44

yxxyx

x

yx

yx

−⋅

+++

⋅+−

é

equivalente a: a) 2 b) x + y c) ½ d) x – y e) 1


600

GABARITO 01. a) 1 – 3x + 3x2 + x3 b) 1 + 6x + 9x2 c) 9x2 – 16 d) 18 + 2x2 02. C 03. 4x2y (xy3 + 3 – 5ax3y6 – 4xy) 04. a) (2x + 3y)2 05. (x) b) (10xy + 2)(10xy – 2) ( ) c) (5x + 2xy)( 5x – 2xy) (x) d) 2x(1 – 2y + 3xy) (x) e) 2xa(a – 3x + 5x2a3) (x) 06. 1620 07. 3900 08. 1240 09. 60 10. 300 11. 90 12. 1800 13. 2600 14. 39850 15. 138 16. 3150 17. C 18. a) (3 – x)(9 + 3x + x2) b) (2a + 5x)(4a2 – 10ax + 25x2 c) (1 - t)(1 + t + t2) d) (2 – x)(4 + 2x + x2) e) (a + 8x)(a2 – 8xa + 64x2) f) (1 + t)(1 – t + t2) g) (1 + x)(1 – x + x2) h) (3a + x)(9a2 - 3ax + x2) i) (1 + 2t)(1 – 2t + 4t2) 19. a) (x+3)(x-1)/4 b) (8 – x)/2 20. a) (x – 3y)2 b) (9xy + 4)(9xy – 4) 21. C 22. a) 1/6 b) 1/(3x + 1) c) 1/(2 + x) d) 1/(x + 2) e) (x + 2)/(x – 2) f) 1/(5x – 10) 23. a) (x + 4)(x – 1)/4 b) (9 + x)/2 c) ½ 24. a) 1/3 b) 1/(2x + 1) c) (x + 3)/(x – 3) d) 1/(x2 + x + 1) e) 1/8 f) (x + 5)/(x2 + 5x + 25) g) 1/(2x – 3) h) 1/(3x – 2) i) x + 1 j) (8 – x)/2 k) 1/2 l) 6x + 3 m) (x + 3)(x – 1)/4 n) 1/3 q) 1/(2 – x) 25. a) a2/2 b) 200 26. a) 7(a – b) b) 3x2(1 + 4x3 – 5x) c) (3x + 1)(3x – 1) d) a2(a – 1) e) (8 + a)(8 – a) f) (mn – pz)2 27. a) x b) 1/(a + 2) c) (x + y)/(x – y) 28. C 29. B 30. C 31. 7 32. B 33. 12,5 34. A 35.C

POTENCIAÇÃO

01. Calcule o valor das seguintes potências:

a) 24 = b) 3 – 2 = c) =2

1

16

d) =

4

2

1

7 e) =

−3

5

1

02. Calcule o valor das expressões:

a) E = ( )2125

0

85812253

1125−++−+

−

b) E = 3

214125

2

273

2501

2

1+

−+−+

−

03. O valor numérico da expressão

4102

1

231254 +⋅+−= −E é: a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 04. Calcule o valor das expressões abaixo:

a) =+

+−22

3

22,0

2712 b) =

−

+ −−

4

21

1616

23

05. Dada a expressão abaixo, seu valor é:

a) – 38/5 b) 52/5 c) 26/5 d) 41/5 e) – 34/5

06. Passe os número abaixo para notação científica

a) sobre o planeta Terra: - velocidade de translação: 29,79 km/s = _______________ - volume: 1083 000 000 km3 = _________________ - circunferência polar: 40 009m = _______________

b) 12,5 . 107 = ______________ 0,00032 . 109 = _____________ 3140,3 . 10 –7 = ____________ 0,0035 . 10 –10 = ______________

07. O Número 0,000 000 0045, escrito na forma

científica, é: a) 4,5 x 10-9 b) 4,5 x 109 c) 4,5 x 10-8 d) 4, 5 x 10-10 e) 0,45 x 10-9

08. Qual é o valor numérico da expressão: a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 20

09. Calcule o valor da expressão abaixo, deixando da forma mais simples possível.

10. Qual é o valor numérico da expressão: (mostrar resolução) a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 20

11. Calcule o valor da expressão abaixo, deixando da

forma mais simples possível.

3

21

8

1

3

1216,0 +

−+=−

−E

2 3

1

2

1

642

1464 +

−+−

( )( ) ( ) 12

2

5,04,0

2,081−

−

−

+

3212642

1464 3

1

2

1

−++

−+−

( )( ) ( ) 12

2

09,02,0

1,0−

−

−


601

12. Resolva as expressões abaixo:

a) =+

+−159

2,081 b) =

+−

++−

−

52

1

3222,5

46,025

c) 2

23

3,02

4008,0−

−

+−

+

13. Se 10m = 64, então o valor de 10m/3 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

14. (FATEC – SP) Se A = (-3)2 - 22, B = -32 + (-2)2 e

C = (-3 – 2)2, então C + A x B é igual a: a) –150 b) –100 c) 50 d) 10 e) 0

15. (CESCEM – SP) Simplificando a expressão [29 :

(22 . 2)3]-3, obteremos: a) 2-30 b) 1 c) 2-6 d) 236 e) 2

16. (S.ANDRÉ – SP) Simplificando a expressão

obtém-se: a) 2n + 1 – 1/8 b) 7/8 c) –2n + 1 d) 1 – 2n e) 7/4

17. Classifique como verdadeiro ou falso: ( ) 27 . 22 = 29 ( ) 39 : 34 = 35 ( ) 45 : 4-3 = 42

( ) 75 – 73 = 72 ( ) 5x – 3 = 5x : 53 ( ) (73)2 = 75 ( ) (5 + 2)2 = 52 + 22 ( ) 103 / 105 = 10-2

18. Sendo 23x = 27 calcule o valor de y na expressão

y = 22x + 2-x

19. (UFSM – RS) Efetuando a divisão ex : ex – 2, teremos:

a) e2 b) e-2 c) e2x d) e2x – 2 e) nda

20. (PUC – SP) (0,5)4 é igual a: a) 0,125 b) 0,625 c) 0,00625 d) nda

21. (FGV – SP) A expressão (1/2)-3 + (1/2)-5 é

igual a: a) (1/2)-8 b) 40 c) 1/40 d) –40 e) nda

22. (EFOA – MG) Qual dos números abaixo é igual a

0,000000375? a) (0,175 + 0,2) . 10-7 b) (3/8) . 10-5 c) (3 + 3/4) . 10-7 d) 375 / 10-6 e) (375 . 109)

23. (STA. CASA – SP) Para x = 0,1, o valor da expressão _x3 - 1_ é: 1 - x

a) –11,11 b) –1,11 c) –0,111 d) 1,11 e) 11,1

24. (ACAFE – SC) Sendo a = 1, b = ½ e c = -2, calcule e valor numérico da expressão que segue:_c2 + b_ _ _2a – c2_

b – a2 b3 a) –25 b) –7 c) 7 d) 11 e) 25

25. Se x = 10-3, então calcular a expressão abaixo

em função de x. _(0,2) . (0,001) . 10-1_ 10 . (0,0001)

26. (OSEC – SP) Sabendo-se que a2 = 56, b3 = 57 e c4

= 58 e que a e c são dois números reais de mesmo sinal, ao escrever (a b c)9 como potência de base 5, qual o valor do expoente?

27. (CESCRANRIO – RJ) O número de algrismos do

produto 517 x 49 é igual a: a) 17 b) 18 c) 26 d) 34 e) 35 28. (UNOPAR – PR) A expressão

é igual a: a) 1 b) 3 c) 5 d) 3√2 e) 5√2 GABARITO 01. a) 16 b) 1/9 c) 4 d) 49 e) 125 02. a) 11/5 b) 113/9 03. B 04. a) 2500/29 b) 5/12 05.A 06. a) 2,979x10 - 1,083x109 - 4,0009x104 b) 1,25x108 – 3,2x105 – 3,1403x10- 4 – 3,5x10- 13 07. A 08. A 09. -425/23 10. A 11. - 7500/243 12. a) 1 b) 117/139 c) 189/6560 13. C 14. E 15. B 16. B 17. V, V, F, F, V, F, F, V 18. 28/3 19. A 20. E 21. B 22. C 23. B 24. C 25. 200x 26. 66 27. B 28. A

RADICIAÇÃO

01. Resolva as expressões abaixo:

=+

−

=

=+

=+−

92

35,025

)

5)

205185)

232824)

3 6

d

c

b

a


602

3 4096

3

x

y

y

x

549 +

02. (Fuvest)

(a) (b)

(c) (d) (e) 03. Marque a alternativa INCORRETA:

04. Racionalizando a fração ,

encontraremos: a)√7 b) 2 + √7 c) 2√7 + 2√5 d) √5 e) √7 + √5 05. Simplificar os radicais, fatorando-os. 06. Resolvendo a expressão abaixo, obtém-se o

valor: a)¾ b) 7 c) 7/4 d) 2√30 e) √30 07. Simplifique os radicais abaixo:

a) =3600 b) =3 648 c) =5 3200 08. Resolva: 09. (CESULON – PR) Qual o valor de x, se x é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) –1 e) –2 10. (SANTA CASA) A diferença 80,666... – 90,5 é igual

a: a) 2 b) 1 c) √2 – 3 d) –2 e) -2√2 11. (UFMG) O valor da expressão algébrica x –2 - __1__ + x 3/2 + √ x, para x = 4 é: x – 1 a) 23 / 3 b) 35 / 3 c) 3√16 + 91 / 48 d) 457 / 48 e) 467 / 48 12. (UFBA) – A expressão é igual a: a) 3√x / y b) 6√x / y c) 6√y / x d) √ y / x e) √xy 13. (UFCE) Simplificando a expressão : 3√2 - 2√18 +

3√72, obteremos: a) 3√2 b) 24√2 c) 15√2 d) - 15√2 14. (UFMG) O quociente (7√3 - 5√48 + 2√192) : 3√3

é igual a: a) 2 b) 1 c) 3√3 d) 2√3 15. (UECE) – O valor da expressão 12[(√2)-2 – (√3)-2]

é igual a: a) 2 b) √3 c) 3 d) √2 e) 6 16. (UI) – Simplificando a expressão obtém-se: a) 2 + 3√5 b) 3 + √5 c) 3 + 2√5 d) 2 + √5 e) 2 + 2√5 17. (UFRGS) – A expressão √(3/5) + √(5/3) é igual a: a) 8/15 b) 3/5 c) 1 d) √(34/15) e) (8√15)/15 18. Racionalize as frações abaixo:

a) =53

2 b) =

+ 24

3 c) =

53

2

d) =+ 24

3 e) =

7

2 f) =

+ 53

38

g) 3

3

2

43= h)

2

1= i)

32

2

−=

GABARITO

01. a) - √2 b) 15√2 + 10√5 c) 36 5 d) 1 02. 1 03. C 04. E

05. a) 3 1810 b) 4 102 c) 1052 d) 3 2002 e)

4 602 f) 3622

06. C 07. a) 60 b) 3 36 c) 5 102

3 43

32

43

333

93)

832)

54)

1073)

852)

=

=

<

<<

<<

e

d

c

b

a

57

2

−

420)

160)

18000)4

3

c

b

a

1448)

960)

1600)4

3

f

e

d

302120480216 2 −−+− −

2

142 481316 +−+ −


603

08. 10/9 09. B 10. B 11. C 12. A 13. C 14. B 15. A 16. D 17. E 18. a) 2√15/5 b) (4√3 - √6)/14 c)2√5/15 d) (4√3 -

√6)/14 e) 2√7/7 f) 4√15 – 12 g) 3 23 h) √2/2 i) 4 + 2√3

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

01. (FUVEST – SP) – A soma de um número com sua quinta parte é 2. Qual é o número?

02. Resolva as equações abaixo:

a) b)

c) 5

2

3

3

4

32=

+−

− xx.

03. Resolva as equações abaixo: a) 3(x – 4) + 5(x + 3) = 2(3x – 5) – 6 b) (x – 4) + 5(x – 3) = 2(3x – 5)

04. Resolva as equações abaixo e responda qual a

condição de existência dec cada uma delas.

a) 3

2

12

4=

+

−

x

x b)

xxxx 2

52

2

42 −

=+−

c) 3

22=

−

x

x d)

xxx 3

12

1

4=+

−

e) 3

2

1

2=

+−x

x f)

xxx 3

52

2

4=+

−

g) 2

431

2

2

−+=+

− xxxx

05. O acionista de uma empresa vendeu, no início de

janeiro, 1/3 das ações que possuía. Np início de fevereiro, vendeu 1/3 das ações que restaram após a venda feita em janeiro. Repetiu o mesmo procedimento em março, abril, maio e junho, quando, após a venda, possuía 256 ações. Calcule quantas ações este acionista vendeu no início de abril .05.

06. (Unicamp/2004) – Em uma empresa, 1/3 dos

funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4 tem idade entre 30 e 40 anos e 40 funcionários têm mais de 40 anos. a) Quantos funcionários têm a referida empresa? b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos?

07. Dois ciclistas partem simultaneamente de uma

cidade em direção reta. Sabendo que: I – o primeiro parte na direção leste com velocidade de 15 km/h; II – o segundo parte na direção norte com velocidade de 22,5 km/h. Então, duas horas após a partida, a distância, em km, que os separa é:

a) 32 b) 15√13 c) 75 d) 225√13 e) 2925

08. A diferença entre um número e os seus 3 / 5 é igual a 10. Qual é esse número?

09. A soma de dois números ímpares consecutivos é

244. Quais são esses números?

10. Em um colégio, 20% dos professores ensinam Matemática. Sabendo que o colégio ainda tem 24 professores que ensinam as outras matérias, quantos professores há, ao todo, nesse colégio?

11. (UEL – PR) O número que satisfaz a igualdade

_x_ _ _5x - 7_ = _x - 4_ é: 3 2 6

a) – 9/4 b) – 3/4 c) – 1/4 d) 25/14 e) 9/4 12. (UNESP – SP) Duas empreiteiras farão

conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada um trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar dois quintos da estrada e a outra os 81 km restantes, a extensão dessa estrada é de: a) 125km b) 135km c) 142km d) 145km e) 160km

13. (FGV – SP) A soma de três números inteiros e

consecutivos é 60. Assinale a afirmação verdadeira: a) O quociente do maior pelo menor é 2 b) O produto dos três números é 8000 c) Não existem números nessa condição d) Falta informação para encontrar os 3 números e) O produto dos três números é 7980

14. Sejam N um número natural de dois algarismos

não-nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N – M = 45. Então, quantos são os possíveis valores de N? a) 7 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3

15. (UPF/2004) – Se for adicionado um número inteiro b a sua quarta parte e o resultado for igual a 15, pode-se dizer que b é um número a) múltiplo de 2 e de 3. b) múltiplo de 2 apenas. c) múltiplo de 5 apenas. d) primo. e) múltiplo de 3 e de 5.

16. (UNICAMP) - Em uma sala há uma lâmpada, uma

televisão [TV] e um aparelho de ar condicionado [AC]. O consumo da lâmpada equivale a 2/3 do consumo da TV e o consumo do AC equivale a 10 vezes o consumo da TV. Se a lâmpada, a TV e o AC forem ligados simultaneamente, o consumo total de energia será de 1,05 quilowatts hora [kWh]. Pergunta-se: a) Se um kWh custa R$0,40, qual será o custo

para manter a lâmpada, a TV e o AC ligados por 4 horas por dia durante 30 dias?

b) Qual é o consumo, em kWh, da TV?

6

2

4

53

3

2 xxx −=

++

−1

2

52

5

3=

++

− xx


604

17. (UFPB) - Dois amigos, Paulo e Elmiro, desejam, juntos, comprar um terreno. Paulo

tem 1

5 do valor do terreno e Elmiro

1

7. Se

juntarem, ao que possuem, R$ 3.450,00, teriam o valor exato do terreno. Quanto custa o terreno?

18. (ACAFE) – Dois tonéis, A e B, contêm juntos 1400

litros de vinho. Se fossem acrescentados 250 litros de vinho ao reservatório A, este ficaria com a metade do vinho contido em B. A quantidade de vinho no reservatório B, em litros, é: a) 850 b) 1150 c) 575 d) 950 e) 1100

19. (UEA) – Ao adquirir um telefone celular, um

usuário escolheu um plano pelo qual pagaria R$ 68,00 mensais, com direito a utilizar 100 minutos em ligações, assumindo o compromisso de pagar R$ 1,02 por minuto excedente. No mês passado, o usuário pagou, nesse plano, R$ 113,90. Quanto tempo o telefone foi utilizado nesse mês?

a) 1 h 52 min b) h 25 min c) 2 h 35 min d) 2 h 45 min e) 2 h 52 min

GABARITO 01. 5/3 02. a) -21/8 b) -1/5 c) 129/10 03. a) -19/2 b) ∅ 04. a) 10/7 b) 3/2 c) 6/5 d) 5/17 e) 4/5 f) 2/13 g) 1 05. 288 06. a) 96 b) 64 07. B 08. 25 09. 121 e 123 10. 30 11. D 12. B 13. E 14. B 15. A 16. a) 50,4 b) 0,09kwh 17. R$ 5520,00 18. E 19. B

SISTEMAS DE EQUAÇÕES 1º GRAU COM 2 INCÓGNITAS

01. Resolva os sistemas abaixo:

=−

=+

52

4)

yx

yxa

=−

=−

4

143)

yx

yxb

02. Resolva os sistemas abaixo:

=−

=+

=−

=+

8

1)

8

102)

yx

yxb

yx

yxa

03. Resolva o sistema

=+

=+

52

112

yx

yx

04. (EFOA/2005) – Em determinado concurso, os candidatos fizeram uma prova contendo 25 questões. Pelas normas do concurso, os candidatos não poderiam deixar questões em branco e, na correção da prova, seriam atribuídos (+2) a cada resposta certa e (- 1) a cada resposta errada. A nota da prova seria a soma dos valores atribuídos às questões. Se um candidato obteve nota 17, o número de questões que ele acertou foi: a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) 14 05. (EFOA/2004) – No Parque de Diversões Dia Feliz, os ingressos custam R$ 10,00 para adultos e R$ 6,00 para crianças. No último domingo, com a venda de 400 ingressos, a arrecadação foi de R$ 3.000,00. A divisão entre o número de adultos e crianças pagantes foi: a) 52 / b) 43 / c) 53 / d) 32 / e) 54 / 06. Resolva o sistema

=+

=+

2

15

2

92

yx

yx

07. No terreiro de uma fazenda havia 65 animais entre galinhas e porcos. Sabendo que o total de pés eram 180, quantos porcos e quantas galinhas havia neste terreiro?

08. Resolva o sistema

=+

=−

25

52

yx

yx

09. (UNESP/1999) – Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram o ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi de R$ 10,00 e que cada sócio pagou a metade desse valor, o número de sócios presentes ao show é: a) 80 b) 100 c) 160 d) 140 e) 120 10. (UNITAU – SP) A solução do sistema de equações

algébricas lineares

=+

=−

12

2

yx

yxé dada por:

a) x = 1 e y = 1 b) x = -1 e y = 1 c) x = y = 0 d) x = 1 e y = -1 e) x = -1 e y = -1 11. A soma de dois números é igual a 45 e a diferença entre eles é 37. Quais são estes dois números? 12. (PUCCAMP – SP) – Um artesão está vendendo pulseiras ( a x reais a unidade) e colares ( a y reais a unidade). Se 3 pulseiras e 2 colares custam R$ 17,50 e 2 pulseiras e 3 colares custam R$ 20,00, o preço de cada pulseira é: a) R$ 3,20 b) R$ 3,00 c) RS 2,70 d) R$ 2,50 e) R$ 2,00 13. Responda: a) No sítio de Paulo há gatos e gansos. Sabendo que a soma de gatos e gansos é 16 e que a soma das patas


605

desses animais é 42, quantos gatos e quantos gansos há no sítio de Paulo? b) Se morressem 2 gatos e 2 gansos, ao somar a quantidade de patas desses animais, que número Paulo obteria? 14. (EFEI – MG) Dois números naturais são tais que a sua soma é igual a 209 e o quociente do maior deles pela diferença entre eles é igual a 6. Encontre esses números. 15. (PUC – SP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraram-se da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida, retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual número de moças e rapazes. O total de alunos que fazia prova nessa sala era: a) 96 b) 98 c) 108 d) 116 e) 128 16. (UNI-RIO – RJ) Num concurso, a prova de Matemática apresentava 20 questões. Para cada questão respondida corretamente, o candidato ganhava 3 pontos e, para cada questão respondida erradamente ou não respondida, perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado deveria totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 pontos, o menor número de questões respondidas corretamente para que o candidato fosse aprovado era de: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 17. (ESPM – SP) – José, João e Pedro foram juntos à padaria. José tomou duas médias e comeu três pães com manteiga, pagando R$ 1,74. João tomou três médias e comeu dois pães com manteiga, pagando R$ 1,96. Pedro tomou uma média e comeu dois pães com manteiga. Quanto pagou Pedro? a) R$ 1,00 b) R$ 1,04 c) R$ 1,08 d) R$ 1,12 e) R$ 1,16 18. (UEL – PR) Num bar paga-se R$ 5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3 pastéis e 2 copos de refrigerante custam R$ 3,60. Nesse caso, cada copo de refrigerante custa: a) R$ 0,70 b) R$ 0,50 c) R$ 0,30 a menos do que o preço de cada pastel d) R$ 0,20 a mais do que o preço de cada pastel e) R$ 0,20 a menos de que o preço de cada pastel 19. (FUVEST – SP) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 20. (UFF – RJ) Um baleiro vende n balas, por R$ 0,30 cada uma, e obtém L reais. Se vender 15 balas a menos, por R$ 0,45 cada uma, obterá os mesmos L reais. Determine o valor de n. 21. (UNICAMP – SP) Em um restaurante, todas as pessoas de um grupo pediram um mesmo prato principal e uma mesma sobremesa. Com o prato principal, o grupo gastou R$ 56,00 e com a sobremesa, R$ 35,00; cada sobremesa custou R$ 3,00 a menos do que o prato principal.

a) Encontre o número de pessoas neste grupo b) Qual o preço do prato principal? 22. (MÉD. CATANDUVA – SP) Eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Quando você tiver a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 72 anos. A minha idade é: a) 24 anos b) 32 anos c) 8 anos d) 40 anos e) 16 anos GABARITO 01. a) {(3,1)} b) {(5, 1)} 02. a) {(6,2)} b) {(9/2, -7/2)} 03. {(4,3)} 04. E 05. C 06. {(1,7)} 07. 25 porcos e 40 galinhas 08. {(10,15)} 09. E 10. D 11. 41 e 4 12. D 13.a) 5 gatos e 11 gansos b) 30 14. 95 e 114 15. C 16. A 17. A 18. E 19. E 20. 45 21. a) 7 b) R$ 8,00 22. B

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

01. Dê o conjunto solução de cada uma das equações abaixo, sendo os reais o conjunto universo. a) x2 – 20x = 0 b) x2 – 16 = 0 c) 2x2 – 3x – 2 = 0 d) 3x2 – 10x + 3 = 0 e) x2 – 7x + 12 = 0 f) x2 – 225 = 0 g) x2 + 3x = 0 h) x2 + 6x + 8 = 0 i) 2x2 – 8 = 0 j) x2 + 8x = 0 k) 2x2 – x – 1 = 0 l) 2x2 – 10 = 0 m) 3x2 – 5x + 9 = 0 n) 3x2 + 8x = 0 o) 2x – 4 = 20 p) 5x – 8 = 32 q) x2 – 10x + 21 = 0 r) 4x2 – 8x = 0 02. Calcular o discriminante de cada equação e dizer quantas soluções diferentes cada equação possui. a) x² + 9 x + 8 = 0 b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 c) x² - 2 x + 4 = 0 d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 03. O produto de um número inteiro positivo pelo seu consecutivo é 20. Qual é o número? 04. A diferença entre o quadrado de um número e o seu triplo é igual a 4. Qual é esse número? 05. (CESGRANRIO-RJ) - A maior raiz da equação – 2x2 + 3x + 5 = 0 vale:


606

a) -1 b) 1 c) 2 d) 2,5 e) (3 + √9)/4 06. A equação de segundo grau 2x2 – 5x + 7 = 0: a) Não possui solução real; b) Possui duas soluções reais iguais; c) Possui duas soluções reais diferentes; d) Tem o discriminante positivo. e) Tem uma solução igual a 2. 07. (PUC – SP) – Quantas raízes tem a equação 2x2 –2x + 1 = 0 ? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) nda 08. Resolvendo a equação x2 – 8x + 12 = 0, encontraremos como solução: a) S = {2, 6} b) S = {- 2, 6} c) S = {2, - 6} d) S = {- 2, - 6} e) S = {1/2, 1/6}

09. Resolvendo a equação , encontraremos como solução os números: a) 1/7 e – 2 b) 6 e 2 c) 7 e – 2 d) 1/7 e 2 e) -3 e 1/7 10. Resolver a equação (x – 1)2 + (x + 2)2 = 9 11. (UFOP) – Resolva a equação fracionária: 12. (UFV)- Dada a equação (m – 1) x2 + 2mx – (m+1) = 0, determine “m” de forma que a equação tenha uma raiz real dupla. 13. Calcule o valor de “a” de forma que a equação ax2 + (a+1)x = 0 tenha duas raízes reais iguais. 14. A diferença entre o quadrado de um número e o seu nônuplo é igual a 10. Estes números podem ser: a) 1 e 10 b) – 2 e – 10 c) 2 e 10 d) – 1 e 10 e) 1 e – 20 15. O quadrado de um número somado com seu quádruplo é igual a 5. Qual é este número? 16. Sabendo que x’ e x” são as raízes da equação do 2º grau 2x2 + 10x – 8 = 0, calcule o valor de: x’. x” + 3(x’+ x”) 17. Resolva as equações: a) (x – 3)2 = 5x + 9 b) x2 – 6x + 9 = 0 18. Sabe-se que uma equação do 2º grau, depois de resolvida, resultou no seguinte conjunto-solução: S = {3, -1}. Qual foi a equação que deu origem à este conjunto-solução? 19. Resolva: 20. Em um terreno retangular foi construída uma casa que mede 50m por 30m. Em volta desta casa foi plantada grama ocupando uma largura de x metros, conforme a figura. Calcule esta largura sabendo que o terreno tem área igual a 2400m2. a) 2m b) 3m

c) 4m d) 5m e) 6m 21. A diferença entre o quadrado de um número e o seu quíntuplo é igual a – 4. Qual é esse número? 22. Calcule dois números naturais e consecutivos tais que a soma de seus quadrados seja 85. 23. Resolva: a) _x - 2_ + _x - 3_ = 1 x + 1 x – 1 b) 6x -2 – 17x - 1 + 12 = 0 c) (2 – x)2 = 2 – x 24. Sabe-se que o número 2 é raiz da equação ax2 – 6x = 0. Obtenha a outra raiz. 25. Em um quadrado, o número que expressa a área é igual ao número que expressa o perímetro. Sendo x, a medida do lado desse quadrado, determine o valor de x. 26. (PUC – SP) – Uma das raízes da equação 0,1 x2 – 0,7x + 1 = 0 é: a) 0,2 b) 0,5 c) 7 d) 2 e) nda 27. (FUVEST – SP) – Se x . (1 – x) = 1 / 4, então x é igual a: a) 1 b) 1/2 c) 0 d) 1/4 e) 3 28. (UFSE) – A equação _x – 3_ + _1_ = - 3 em R, 2 x é verdadeira, se x2 for igual a: a) 0 b) 1 c) 4 d) 1 ou 4 e)nda 29. Calcule os valores de m na equação x2 –mx + 9 =0 para que esta equação tenha uma raiz dupla. 30. Obtenha a soma dos itens associados a afirmações corretas: 01) A equação x2 + x = 0 possui duas raízes reais distintas. 02) A equação x2 + 4 = não possui raiz real. 04) As raízes da equação - x2 + 25 = 0 são números opostos. 08) Para m = 2 a equação x2 +3x – 4m = 0 possui duas raízes reais distintas. 31. (UFRGS) – Um valor de x na equação ax2 –(a2 + 3)x + 3a = 0 é: a) 3a b) a/3 c) – a/3 d) 3/a e) - 3/a 32. (PUC – SP) – Considere o seguinte problema: “Achar um número que, somado com 1, seja igual ao seu inverso”. Qual das equações representa este problema? a) x2 – x + 1 = 0 b) x2 + x – 1 = 0 c) x2 – x – 1 = 0 d) x2 + x + 2 = 0 e) nda 33. Calcule a soma e o produto das raízes das equações abaixo: a) x2 – 5x + 6 = 0 b) x2 + 7x + 40 = 0 c) x2 – 8x + 4 = 0 d) 3x2 - 27x -3 √5 = 0

xx

−=+

3

53

12

1

1

1

11

22

=+−

+−

−+ xx

x

x

x


607

e) 2x2 – x – 1 = 0 f) x2 – 2x = 0 g) 4x2 – 7x + 1 = 0 34. Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes da equação 2x2 – 10x + 6 = 0, calcule o valor de S – P. 35. Sendo S a soma das raízes e P o produto das raízes da equação 3x2 – 12x + 6 = 0, calcule o valor de S – 2P. 36. A soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0 são, respectivamente: a) 10 e – 5 b) 1/10 e 1/5 c) – 1/10 e – 1/5 d) 1/10 e – 1/5 e) 1/5 e – 5 37. (FEI)- Na equação do 2º grau 4x2 + px +1 = 0, a soma dos inversos das raízes é –5. Calcule o valor de p. 38. (Fuvest) – Sejam x’e x”as raízes da equação 10x2 + 33x – 7 = 0. O número inteiro mais próximo do número 5 . x’. x” + 2(x’+ x”) é: a) – 33 b) – 10 c)– 7 d) 10 e) 33 39. Determine mentalmente as raízes das equações: a) x2 – 9x + 8 = 0 b) x2 + 7x – 8 = 0 c) x2 + 4x + 4 = 0 d) x2 + 9x – 10 = 0 40. Sendo α e β as raízes da equação 7x2 – 13x + 5 = 0, calcule o valor de: a) α + β b) α . β c) α2 + β2 c) 1 / α + 1 / β 41. Determine a correspondente equação do 2º grau, com coeficientes inteiros e irredutíveis, a partir das raízes: a) raízes 2 e –3 b) raízes –4 e 4 c) raízes 0 e 1 42. (PUC – PR) – A soma e o produto das raízes da equação x2 + x – 1 = 0 são respectivamente: a) –1 e 0 b) 1 e –1 c) –1 e 1 d) –1 e –1 e) nda 43. (CESESP) – Qual deve ser o valor de m na equação 2x2 – mx – 40 = 0 para que a soma de suas raízes seja igual a 8 ? a) 8 b) – 8 c) 16 d) – 16 e) nda 44. (UFAM) – Quais os valores de b e c para que a equação x2 + bx + c = 0 tenha como raízes 5 e –3 ? a) - 2 e – 15 b) 5 e –3 c) 15 e 3 d) –5 e 3 e) nda 45. (UFG – SP) – Para que a soma das raízes da equação (k – 2)x2 - 3kx + 1 = 0 seja igual ao seu produto, devemos ter: a) k = ± 1/ 3 b) k = - 1/3 c) k = 1/3 d) k = √3 e) k = √3/3 46. (ESAL – MG) – A soma e o produto das raízes da equação (m – 1)x2 + 2nx + n – 8 = 0 são – 6 e – 5 respectivamente. Os valores de m e n são: a) m = 3 e n = 2 b) m = 4 e n = 1 c) m = 1 e n = 4 d) m = 2 e n = 1

e) m = 2 e n = 3 47. (PUCCAMP – SP) – Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a: a) a2 – 2b b) a2 + 2b c) a2 – 2b2

d) a2 + 2b2 e) a2 – b2 48. (FEI – SP) – Sendo a e b as raízes da equação 2x2 - 5x + m = 3 então, se 1/a + 1/b = 4/3, o valor de m é: a) 3/4 b) – 4/3 c) 27/4 d) 0 e) nda 49. (UFPR) – Se as raízes da equação x2 + bx – 29 = 0 são inteiros, calcular b. 50. (ESAAP – SP) – A soma dos quadrados de dois números positivos é 27 e a soma dos inversos de seus quadrados é 3. Determine o produto dos dois números. a) 81 b) 27 c) 9 d) 3 e) 1 51. (PELOTAS – RS) – A soma de dois números consecutivos é igual ao oito quintos do primeiro mais os três sétimos do segundo. Os números são: a) 160 e 161 b) 90 e 91 c) 125 e 126 d) 20 e 21 e) 55 e 56 52. Calcule o valor de β, para o qual a soma dos quadrados das raízes da equação x2 + (ββββ - 2)x + ββββ - 3 = 0 seja igual a 10: 53. Se a e b são raízes da equação 2x2 – 5x + 4 = 0, então o valor de a3 + b3 é: a) 3/8 b) 5/8 c) 7/8 d) 2 e) 3 54. A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos dos seus quadrados é 1. Determine: a) o produto dos dois números; b) a soma dos dois números. GABARITO 01. a) {0,20} b) {-4,4} c) {2,-1/2}

d) {3,1/3} e) {3,4} f) {-5,5} g) {0,-3} h) {-2,-4} i) {-4,4} j) {0,-8} k) {1,-1/2} l) {-√5,√5} m) ∅ n) {0,-8/3} o) {12} p) {8} q) {3,7} r) {0,2}

02. a) 49, duas raízes distintas b) 0, duas raízes iguais c) -12, não tem raiz real d) 81, duas raízes distintas e) 3856, duas raízes distintas 03. 4 04. 4 05. D 06. A 07. A 08. A 09. A 10. {-2,1} 11. 3 ± √6 12. ±√2/2 13. – 1 14. D 15. -5 e 1 16. – 19 17. a) {0,11} b) {3} 18. x2 – 2x – 3 = 0 19. ± 2 20. D 21. 1 e 4 22. 6 e 7 23. a) {0,5}b) {2/3,3/4} c) {1,2} 24. 3 25. 2 26. D 27. B 28. D 29. m = ± 6 30. V,V,V,V 31. B 32. A


608

33. a) S = 5 e P = 6 b) S = -7 e P = 40 c) S = 8 e P = 4 d) S = 9 e P = -√5 e) S = 1/2 e P = -1/2 f) S = 2 e P = 0 g) S = 74 e P = ¼

34. 2 35. 0 36. C 37. 5 38. B 39. a) {1,8} b) {-8,1} c) {-2} d) {-10,1} 40. a) 13/7 b) 5/7 c) 99/49 d) 13/5 41. a) x2 + x – 6 = 0 b) x2 – 16 = 0 c) x2 – x = 0 42. D 43. C 44. A 45. C 46. E 47. A 48. C 49. 28 50. D 51. D 52. {0,6} 53. B 54. a) 2 b) √6

FUNÇÃO

01. Na função f: A → B representada abaixo escrever seu domínio, sua imagem e seu contra-domínio.

02. (UFMG) – Das figuras abaixo, a única que representa o gráfico de uma função real y = f(x), x ∈ [a, b], é:

a) b) c)

d) e) 03. (UFRGN) Sejam E o conjunto formado por todas as escolas de ensino médio de Natal e P o conjunto formado pelos números que representam a quantidade de professores de cada escola do conjunto E. Se f: E em P é a função que a cada escola de E associa seu número de professores, então:

a) f não pode ser uma função bijetora. d) f não pode ser uma função injetora

b) f é uma função sobrejetora. e) f é necessariamente uma função injetora.

c) f é necessariamente uma função bijetora 04. Se f(x) = 3x + 5, o valor de f(2) + f(4) é: a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30

05. (PUC – MG) – Considere as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = x + m. Se f(2) + g(- 1) = 7, o valor de m é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 06. Sendo f(x) = 3x – 1 e g(x) = 2x – 3, calcule o valor de: a) f(3) b) f(1) c) f(5) d) g(6) e) f(- 2) f) g(3) g) f(1) – g(1) h) 3f(4) – g(- 5) i) g(3) – f(- 6) j) f(1/3) – g(1/2) 07. (FUVEST) - Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, podemos concluir que f(5) é igual a: a) 1/2 b) 1 c) 5/2 d) 5 e) 10 08. (UDF) – Sabendo que f(x) = x/2 - 2/3, determinar o valor de f(1/2) + f(-2/3): a) -17/12 b) 0 c) -5/12 d) -1 e) nda 09. Seja f uma função de R em R tal que f(x) = 3x2 – 5, o valor de f(3) é: a) 17 b) – 17 c) 22 d) 34 e) 32 10. Seja f uma função de A em B tal que f(x) = x + 2. Se A = {-1, 2, 3, 5}, podemos concluir que o conjunto imagem desta função é: a) Im(f) = {1, 4, 5, 7} b) Im(f) = {0, 2, 5, 7} c) Im(f) = {- 1, 2, 3, 5} d) Im(f) = {2, 3, 4, 5} e) Im(f) = {1, 4, 5, 7, 8} 11. (UEL - PR) Seja a função f(x) = ax3 + b. Se f(-1) = 2 e f(1) = 4, então a e b valem, respectivamente: a) -1 e -3 b) -1 e 3 c) 1 e 3 d) 3 e -1 e) 3 e 1 12. (INATEL) – Seja f a função definida por f(x) = 4x2. O valor de f(x + h) – f(x) é: a) 8x + 4h2 b) 8x + h2 c) 2xh + 4h2

d) 8xh + 4h2 e) NRA 13. (UFV/2003) – O gráfico abaixo ilustra a evolução da

temperatura )( CT o , em uma região, ao longo de um

período de 24 horas.

Determine:


609

a) os horários em que a temperatura atinge Co0 .

b) o intervalo de variação da temperatura ao longo das 24 horas. (Dizer quais são os intervalos em que a temperatura cresce e quais são os intervalos que ela decresce) c) os intervalos de tempo em que a temperatura é positiva. 14. (UFJF) – O consumo de combustível de um automóvel é medido pela quantidade de quilômetros que percorre gastando 1 litro do combustível (km/L). O consumo depende, dentre outros fatores, da velocidade desenvolvida pelo automóvel. O gráfico abaixo indica o consumo, em km/L, em função da velocidade desenvolvida por certo automóvel, em km/h, em um determinado percurso. A análise do gráfico mostra que, para velocidades entre 40 e 100 km/h: a) o maior consumo se dá aos 60km/h; b) quanto maior a velocidade menor é o consumo; c) o consumo é diretamente proporcional à velocidade; d) o menor consumo se dá aos 60km/h; e) o consumo é inversamente proporcional à velocidade. 15. (UFLA/2006) – Seja a função

<∈

≥∈−

∉+

=

1,3

1,1

,1

)(

2

xeQxse

xeQxsex

Qxsex

xf , o valor de f(5) +

f( 2− ) + f(- ½) é o mesmo de: a) f(11) b) f(3) c) f(-5) d) f(0) 16. Sendo uma função f: R →→→→ R definida por f(x) = 2 - x, assinale a alternativa correta: a) f(-2) = 0 b) f(-1) = -3 c) f(0) = -2 d) f(1) = 3 e) f(-3) = 5 17. (UFPA) – Dada a função f: A → B onde A = {1, 2, 3} e f(x) = x - 1, o conjunto-imagem de f é: a) {1, 2, 3} b) {0, 1, 2} c) {0, 1} d) {0} e) nda 18. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a alternativa que define uma função de A em B: a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)} 19. (PUC - MG) Suponha-se que o número F(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia,

contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função: f(x) = (300x) / 150 – x. Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é: a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50 20. Obtenha a soma dos itens que são corretos: 01) O conjunto-imagem da função f: A → A, onde A = {0, 1, -1, -2} definida por f(x) = -x2 possui apenas dois elementos. 02) Se f(x) = 1 - x2, então f(0) > f(1). 04) Se f(x) = x, a soma f(-10) + f(10) = 4 f(-5). 08) Se f(x) = x + √x2, então f(-2) + f(2) = f(0). 16) f(4) = 5 quando a função f é definida por f(x) = √5 + 2√x. 21. (FUVEST – SP) – A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = – 3 x e) f(x) = 1,03x 22. (UFF) - Uma função real de variável real f é tal que f(1/2) = √π e f(x+1) = x.f(x) para todo x ∈R. O valor de f(7/2) é: a) π b) 7 √π c) π/2 d) (15 √π)/8 e) (π√7)/15 23. Seja a função f(x – 4) = x3 + 1, calcule o valor de f(-3) + 4.f(5) – f(0). 24. Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 e f(x+1)=3f(x)-2. Calcule o valor de f(0). 25. (UI – MG) – Observe o gráfico:

Todas as afirmativas abaixo são verdadeiras, exceto: a) D = { x ∈ R / - 2 ≤ x ≤ 5} b) f(x) é crescente ∀x ∈ R/ 2 ≤ x ≤ 3 c) Im = { y ∈ R / - 1 ≤ x ≤ 2} d) f(x) é decrescente ∀x ∈ R/ -1 ≤ x ≤ 2 e) Para 3 ≤ x ≤ 5, y ≥ 0. 26. Seja a função f(x + 2) = x3 + 3f(x) e f(1) = 3, calcule o valor de f(5). 27. Coloque (S) se a função for sobrejetora, (I) se for injetora, (B) se for bijetora e (N) se for nem sobrejetora, nem injetora: ( ) f: R em R tal que f(x) = 2x + 5 ( ) f: R em R tal que f(x) = x2 – 3x + 4 ( ) f: {1, 2, 3} em {2, 6}, tal que f(1) = 2, f(3) = 6, f(2) = 6 ( )


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( ) f: [a, b] em [c, d], tal que:

28. Dadas as funções f(x) = 3x + 5; g(x) = x2 - 2 e h(x) = 3x, calcule: a) f(2) b) g(5) - h(3) c) 2.f(0) - g(8) 29. (UFF-RJ) – O gráfico da função f está representado na figura abaixo. Sobre a função f é falso afirmar que:

a) f(1) = f(2) = f(3) b) f(2) = f(7) c) f(3) = 3f(1) d) f(4) – f(3) = f(1) e) f(2) + f(3) = f(5) 30. (Cefet-RJ) – Uma função f(x), de domínio |R, está representada no plano XOY, como mostra a figura. Então:

a) f(–3) = f(2) b) f(x) = x, para x < –3 c) a função é inversível d) f(x) = x + 6, para x < – 4 e) f(0) = 3 GABARITO 01. D=A, CD=B e Im={3,4,-7,9,-1} 02. B 03. B 04. C 05. A 06. a)8 b)2 c)14 d)9 e)-7 f)3 g)3 h)46 i)22 j)2 07. C 08. A 09. C 10. A 11. E 12. D 13. a)2h,8h e 24h b) T cresce: 4<t<12 e T decresce:

0<t<4 ou 12<t<24 c) 0<t<2 ou 8<t<24

14. A 15. A 16. E 17. B 18. C 19. B 20. 02 e 04 21. B 22. D 23. 2857 24. 2 25. D 26. 57 27. B,N,S,I,I 28. a) 11 b) – 4 c) -52 29. E 30. D

FUNÇÃO DO 1º GRAU 01. Seja f uma função do primeiro grau tal que f(2) = 7 e f(5) = 13, calcule o valor de f(-1). 02. Se f(x) = 3x + 2, qual o valor de x para que f(x) = 5? 03. Calcule a(s) raiz(es) das funções abaixo: b) f(x) = 3x + 4 c) f(x) = 3x + 6 d) f(x) = - 2x +8 e) f(x) = - x - 48 f) f(x) = x + 43 g) f(x) = 5x – 40 h) f(x) = - 3x + 20 i) f(x) = - 6x + 44 04. Para cada função do 1º grau abaixo, diga quem é o coeficiente angular e o coeficiente linear. a) f(x) = 3x – 6 b) f(x) = - x + 3 05. A função f: R → R definida por y = f(x) = ax + b tem o gráfico esboçado abaixo. O coeficiente linear e a raiz da função são, respectivamente:

a) 3 e 3 b) 5 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 5 e) 5/3 e 3/5 06. O gráfico da função y = 5x + m – 1 corta o eixo y no ponto de ordenada 3. Determine o valor de m. 07. (UNAMA) – O ATAQUE DOS ALIENS “Caramujos africanos, medindo 12 centímetros de comprimento e pesando 200 gramas na fase adulta, trazidos para substituir o caro e requintado escargot, viraram praga em 23 Estados do Brasil. Donos de uma capacidade reprodutiva impressionante, pois são hermafroditas e botam 2 400 ovos por ano cada um. Em Casimiro de Abreu, no estado do Rio, onde também se tentou criar o caramujo para fins alimentícios, a prefeitura chegou a oferecer 1 real para cada quilo de molusco recolhido. O alienígena da vez é o caramujo africano.”

Veja, São Paulo: Abril, 22 set. 2004. Adaptação.


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Se dois moradores de Casimiro de Abreu ganharam juntos R$ 90,00 num dia, recolhendo caramujos africanos adultos e a razão entre o número de caramujos recolhidos por esses dois moradores é de 5 para 4, então o morador que mais recolheu conseguiu: a) 35 b) 45 c) 50 d) 60 e) 65

08. (FATEC – SP) – Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de quantas semanas? a) 67 b) 68 c) 69 d) 70 e) 71 09. (PUC-PR) – Sejam as funções reais definidas por f(x) = x-1, g(x) = ax + b e f(g(x)) = -2x, o gráfico de g(x) é: a) b) c) d) 10. (CEFET-PR) – Newton quer imprimir folhetos com a propaganda de sua empresa. Na gráfica A, o custo para a montagem deste folheto é de R$ 120,00 e o valor da impressão por unidade é R$ 0,20. A gráfica B cobra R$ 80,00 para a montagem e R$ 0,25 para impressão de cada unidade. Após análise cuidadosa, Newton concluiu que: a) é vantagem fazer a encomenda na gráfica B para qualquer quantidade de folhetos. b) a gráfica A oferece um custo menor que a B para um número de folhetos menor que 800. c) se encomendar 1.000 folhetos da gráfica B, irá gastar R$ 320,00. d) se desejar 1.000 folhetos gastará menos se encomendar da empresa A. e) para a quantidade de 800 folhetos, o custo de qualquer das empresas é igual a R$ 290,00. 11. (UFF/2004) - Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o SO2 (dióxido deenxofre). Uma pesquisa realizada na Noruega e publicada na revista “ Science” em 1972 concluiu que o número (N) de mortes por semana, causadas pela inalação de SO2 , estava relacionado com a concentração média (C), em mg/m3, do SO2 conforme o gráfico abaixo: os pontos (C, N) dessa relação estão sobre o segmento de reta da figura.Com base nos dados apresentados, a relação entre e C (100 ≤ C ≤ 700) pode ser dada por:

a) N = 100 – 700 C d) N = 94 + 0,03 C b) N = 97 + 0,03 C e) N = 115 – 94 C c) N = 97 + 600 C 12. (UFMG/2008) – Uma concessionária de energia elétrica de certo estado brasileiro possui dois planos de cobrança para consumo residencial: • o Plano I consiste em uma taxa mensal fixa de R$ 24,00, que permite o consumo de até 60 kWh, e, a partir desse valor, cada kWh extra consumido custa R$ 0,90; • o Plano II consiste em uma taxa mensal fixa de R$ 40,00, que permite o consumo de até 80 kWh, e, a partir desse valor, cada kWh extra consumido custa R$ 1,10. a) ESBOCE, no sistema de coordenadas abaixo, os gráficos das funções que representam o custo para o consumidor, em função do consumo de energia elétrica, no Plano I e no Plano II.

b) Determine a faixa de consumo em que o Plano II é mais vantajoso para o consumidor.

13. (UNICAMP – SP) – O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e dada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule: a) o preço de uma corrida de 11km; b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida. 14. (UI - MG) – O gráfico da função f(x) = ax + b) passa pelos pontos (1, 2) e (0, -1). Pode-se afirmar que a2 . b1/3 é: a) – 4 b) 4 c) – 9 d) 9 e) 5 15. (UFPE) – Sabendo que os pontos (2, - 3) e (-1, 6) pertencem ao gráfico da função f: R em R definida por f(x) = ax + b, determine o valor de b - a.


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16. (UEL – PR) - Se f é uma função do primeiro grau tal que f(120) = 370 e f(330) = 1000, então f(250) é igual a: a) 400 b) 590 c) 760 d) 880 e) 920 17. (FAAP – SP) – Admitindo que em uma determinada localidade uma empresa de táxi cobra R$ 2,00 a bandeirada e R$ 2,00 por km rodado, e outra empresa cobra R$ 3,00 por km rodado e não cobra bandeirada, determine o número de km rodados num táxi da empresa que não isenta a bandeirada, sabendo-se que o preço da corrida apresentado foi de R$ 30,00: a) 10km b) 18km c) 16km d) 14km e) 22km 18. (FAAP)– Medições realizadas mostram que a temperatura no interior da Terra aumenta, aproximadamente, 3ºC a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura é de 25ºC. Nessas condições, podemos afirmar que a temperatura a 1500m de profundidade é: a) 7ºC b) 45ºC c) 42ºC d) 60ºC e) 67ºC 19. (FAAP – SP) – Considerando o mesmo enunciado acima, encontrando-se uma fonte de água mineral a 46ºC, a profundidade dela será igual a: a) 700m b) 600m c) 800m d) 900m e)500m 20. (UEL – PR) – Se uma função f, do primeiro grau, é tal que f(1) = 190 e f(50) = 2 052, então f(20) é igual a: a) 901 b) 909 c) 912 d) 937 e) 981 21. (UEA) – Ao adquirir um telefone celular, um usuário escolheu um plano pelo qual pagaria R$ 68,00 mensais, com direito a utilizar 100 minutos em ligações, assumindo o compromisso de pagar R$ 1,02 por minuto excedente. No mês passado, o usuário pagou, nesse plano, R$ 113,90. Quanto tempo o telefone foi utilizado nesse mês? d) 1 h 52 min d) 2 h 25 min e) 2 h 35 min e) 2 h 45 min f) 2 h 52 min 22. Num posto de gasolina, a lavagem de um carro médio custa R$ 10,00 e cada litro de gasolina custa R$ 1,90. Responda: a) Qual é a equação que representa a quantia paga por uma pessoa, dona de um carro médio) em função da quantidade de gasolina que irá comprar no mencionado posto? (Considere que será feita também a lavagem do automóvel). b) Calcule quanto pagará a pessoa se lavar seu carro e colocar 15 litros de gasolina no seu automóvel. 23. A respeita da função f(x) = ax + b representada no gráfico abaixo, assinale a alternativa correta:

a) a > 0 b) b < 0 c) f não tem raiz d) f possui valor mínimo

e) a . b < 0 GABARITO 01. 1 02. 1 03. a)-4/3 b)-2 c)4 d)-48 e)-43 f)8 g)20/3 h)22/3 04. a) CA=3 e CL=-6 b) CA=-1 e CL=3 05. C 06. 4 07. C 08. D 09. B 10. D 11. D 12. a) b) 77<x<90 13. a)$12,9 b) 21km 14. C 15. 6 16. C 17. D 18. E 19. A 20.C 21. D 22. a)P=1,9x b) 26,9 23. E

FUNÇÕES DO 2º GRAU

01. Calcule as raízes das funções abaixo: j) f(x) = x2 – 4x + 3 k) f(x) = x2 + 6x + 5 l) f(x) = 2x2 – 6x m) f(x) = x2 – 16 n) f(x) = x2 – 5x + 8 o) f(x) = x2 – 5x + 9 p) f(x) = 2x2 – 7x + 3

02. A função real f, dada por f(x) = 2ax2 – 4x + 2a,

tem um valor máximo e admite duas raízes reais iguais. Assim, o valor de f(- 1) é: a) 0 b) c) d) 3 e) 4

03. (UFMG) O trinômio y = ax2 + bx + c está

representado na figura. A afirmativa certa é:

a) a > 0; b > 0; c < 0 b) a < 0; b < 0; c < 0 c) a < 0; b > 0; c < 0 d) a < 0; b > 0; c > 0 e) a < 0; b < 0; c > 0

04. (UFCE) – Considere a função f: R → R, definida

por f(x) = x2 – 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4); b) f possui dois zeros reais e distintos; c) f atinge um máximo para x = 1; d) f é tangente ao eixo das abscissas.


613

e) O gráfico de f é uma reta.

05. Determine, em cada função do 2º grau a seguir, as coordenadas dos vértices das parábolas correspondentes: a) y = 2x2 – 4x + 1 b) f(x) = - 2x2 + 4x c) f(x) = 2x2 – 32x + 6 d) f(x) = x2 + 10x – 40 e) f(x) = x2 – 4x + 5 f) f(x) = - x2 – 8x + 4

06. Seja f(x) = x2 – 4x + 5, calcule: a) f(3) b) f(6) c) f(- 4) d) f(0) e) f(√5)

07. Se a função f(x) = x2 – mx + 4n possui o vértice

formado pelo ponto (2, 5), calcule os valores de m e n.

08. Desenhe o gráfico das funções f(x) = 5x + 10 e

g(x) = x2 + 2x – 3 e responda num mesmo plano cartesiano e responda: em quantos pontos estes gráficos se cruzam?

09. (PUC – MG) – O ponto V (vértice) da função

quadrática f(x) = x2 – 6x + 8 é: a) um máximo, sendo V = (3, - 1) b) um mínimo, sendo V = (- 3, 1) c) um máximo, sendo V = (- 3, 1) d) um mínimo, sendo V = (3, 1) e) um mínimo, sendo V = (3, -1)

10. (UEL – PR) – Se x e y são as coordenadas do

vértice da parábola y = 3x2 – 5x + 9, então x + y é igual a: a) 5/6 b) 31/14 c) 83/12 d) 89/18 e) 93/12

11. Seja a função do segundo grau f(x) = x2 - 8x +

7. Sobre f(x) coloque V se verdadeiro e F se falso:

( ) f(x) tem a parábola voltada para cima; ( ) f(x) tem ponto máximo; ( ) f(x) não possui raízes reais; ( ) f(x) corta o eixo x em dois pontos diferentes; ( ) O vértice tem abscissa igual a 4; ( ) Seu gráfico é uma reta; ( ) Seu gráfico não corta o eixo y. ( ) Seu gráfico corta a eixo y no ponto – 8.

12. Se f(x) = x2 – 3x e g(x) = 3x – 6 calcule o valor

de f(2) – g(5).

13. (UFLA 2005) – Ao adicionar certa quantidade x de fertilizante nitrogenado ao solo, plantas de uma determinada espécie reagem a esse fertilizante, apresentando um desenvolvimento em altura y, conforme representado ao lado. O valor p corresponde à altura das plantas quando nenhuma quantidade de fertilizante é adicionada, e m é a quantidade de fertilizante com a qual as plantas atingem altura máxima. Acima de m, o fertilizante passa a ter ação tóxica, sendo que em n, as plantas não chegam a crescer. Supondo que

a relação entre y e x se dá através da função y = - 0,02x2 + 0,2x + 1,5, sendo y expresso em metros e x, em dezenas de quilos por hectare, então, os valores de p, m e n são, respectivamente: a) –5 ; 5 ; 15 b) 0 ; 10 ; 20 c) 1,5 ; 5 ; 15 d) 0 ; 7,5 ; 15 e) 1,5 ; 5 ; 20

14. A respeito da função f(x) = x2 – 6x + 9, assinale V ou F: ( ) o gráfico é uma reta ( ) o gráfico não toca no eixo y ( ) o gráfico toca no eixo x apenas uma vez ( ) tem x do vértice igual a – 3 ( ) não possui y do vértice ( ) o gráfico é uma parábola voltada para cima

15. A função f: R em R definida por f(x) = x2 + 5x + 6: a) é uma reta; b) é uma parábola de concavidade para baixo; c) possui coeficiente angular igual a 5; d) não possui raiz real; e) é uma parábola que intercepta o eixo x em dois pontos.

16. Obtenha os valores de x para os quais f(x) = 2x2

– 5x + 3 se anula.

17. Seja a função f(x) = ax + b e a função g(x) = cx2 + dx + t, ambas representadas abaixo:

Analisando os gráficos é possível afirmar que: a) b + c < 0 b) a = b = c = d = t c) a / c > 0 d) a.b.c.d.t < 0 e) a, b e t são negativos

18. (UFMG/2001)

a) DETERMINE o vértice da parábola de equação e os pontos onde ela intercepta os eixos

coordenados. b) Num plano cartesiano, TRACE essa parábola e

INDIQUE todos os pontos determinados no subitem A.


614

19. (PUC – MG) – O lucro L, em reais, de uma fábrica de autopeças é dado pela função abaixo em que p é o número de peças fabricadas por dia. Então, pode-se afirmar que o lucro máximo ocorre quando p é igual a: a) 16 b) 20 c) 22 d) 32

20. (UFOP/2003) - Os valores de b e c para que o gráfico de f (x) = x2 + 2bx + (4c – 8) seja tangente ao semi-eixo positivo das abscissas e corte o eixo das ordenadas no ponto 8 são: a) b = – 2 e c = 4 c) b = 2 e c = 4 b) b = – 2 e c = 8 d) b = 2 e c = 8

21. (UFV) – Uma indústria pode produzir, por dia, até

20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por:

≤<+−

≤≤−+=

2010402

3

100125

xx

xxx

xC se

se )()(

a) Se, em um dia, foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o custo de produção das 24 unidades.

b) Determine a produção que corresponde a um custo máximo.

22. (UNRGS) - O gráfico da função f(x) = x² + px + 1

intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos, se e somente se:

a) p < -2 b) p > 0 c) – 2 < p < 2 d) p < 0 ou p > 2 e) p < - 2 ou p > 2

23. (UFOP/2006/2) – O gráfico abaixo representa

uma função f definida por partes. A primeira parte, restrita ao intervalo [-4,-2], é um segmento de reta, e a segunda parte, para o intervalo [2,+ ∞[ é um arco de parábola de eixo vertical cujo vértice é (0, 2) .

Escreva, na notação abaixo, as equações das partes que definem esta função.

24. (CRA) – Seja f: R em R uma função do 2º grau dada por f(x) = ax2 + bx + c, representada pelo gráfico:

Pode-se afirmar que: a) a função não possui raízes. b) o discriminante da função é nulo. c) a . c < 0 d) a função possui um ponto mínimo. e) A função possui duas raízes positivas.

25. (MACK) – O ponto (k, 3k) pertence à curva dada por f(x) = x2 – 2x + k, então k pode ser:

a) –2 b) –1 c) 2 d) 3 e) 4

26. Obtenha o conjunto-imagem das seguintes funções do 2º grau, na variável x: a) y = = x2 – 4 b) y = f(x) = - 2x2 + x – 1 c) f(x) = x2 + 2x + 1 d) f(x) = - x2 + 7x – 1 e) f(x) = x2

27. (ACAFE – SC) – A função f(x) = x2 – 2x + 1 tem

mínimo no ponto em que x vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 28. (UFCE) – Considere a função f: R → R, definida

por f(x) = x2 – 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4); b) f possui dois zeros reais e distintos; c) f atinge um máximo para x = 1; d) f tangente ao eixo das abscissas.

29. (UFGO) – Se f(x) = x – 3, o conjunto de valores

de x tais que f(x2) = f(x) é: a. {0; 1} d) {–1; 0} b. {1} e) {-2; 3} c. {3; 4}

30. (UEM – PR) – A trajetória de um corpo

obliquamente, desprezados os efeitos do ar, é uma parábola. O corpo é lançado a partir do solo (figura) descreve uma parábola de equação y = 120x – 4x2, x e y em metros. O alcance e a altura máximos atingidos pelo corpo são:

a) alcance 10m e altura 30m;


615

b) alcance 30m e altura 10m; c) alcance 15m e altura 900m; d) alcance 30m e altura 900m.

31. (UFV – Modificado) – Seja a função real f

definida por :

>+

≤−=

1 se, )1( 2

1 se, 4)(

2

xx

xxxf

a) Esboce o gráfico de f .

b) Determine 2

)1()3( ff −.

32. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, a reta

intercepta a parábola y = x2 nos pontos A e B.

a) Determine as coordenadas dos pontos A e B. b) Seja C = (a, b) um ponto da parábola distinto

de A e B. Calcule a área do triângulo ABC, comprovando que seu valor é

unidades de área. c) Calcule os valores de a para os quais a área

do triângulo ABC seja igual a 15 unidades de ar

GABARITO 01. a){1,3} b){-1,-5} c) {0,3} d){-4,4} e)∅ f)∅ g){3,1/2} 02. A 03. B 04. A 05. a)(1,-1) b)(1,2) c) (8,-122) d)(-5,-65) e)(2,1) f)9-

4,20) 06. a)2 b)17 c)37 d)5 e)10-4√5 07. m=4 e n=9/4 08. Se cruzam em dois pontos 09. E 10. E 11. V,F,F,V,V,F,F,F 12. -11 13. C 14. F,F,V,F,F,V 15. E 16. {3/2,1} 17. D 18. a) V=(1/2,25/4} e as raízes são 3 e -2 b)

19. A 20. A 21. a)49,5 b)41 22. D 23. 3x/2 + 6 e x2/4 + 2 24. C 25. E 26. a) Im={y∈R/y≥-4} b) Im={y∈R/y≤7/8} c) Im={y∈R/y≥-1} d) Im={y∈R/y≤-43/4} e) Im={y∈R/y≥0} 27. B 28. A 29. A 30. D 31.a)grafico b) 52 32. a)A=(-3,9) e B=(2,4) b) demonstracao c)-4,0,1,3

INEQUAÇÕES E CÁLCULO DO DOMÍNIO

01. Resolva as inequações abaixo apresentado o

conjunto-solução: a) x2 – 3x + 2 < 0 b) – 3x2 – 6x < 0 c) x2 – 5x – 50 ≥ 0 d) 2x – 4 > 0

02. Resolvendo a inequação x2 – 5x + 4 > 0, obtemos o seguinte conjunto solução: a) S = {x ∈ R / x < 1 ou x > 4} b) S = {x ∈ R / x < - 1 ou x > 4} c) S = {x ∈ R / 1 < x < 4} d) S = {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 4} e) S = {x ∈ R / x < 2 ou x > 3}

03. A solução do sistema de inequações 3 – 2x ≤ 3x –

1 ≤ 5 é: a) {x ∈ R / x ≤ 1 ou x ≥ 2} b) {x ∈ R / 4/5 ≤ x ≤ 2} c) {x ∈ R / x ≤ 2} d) {x ∈ R / x ≤ 1} e) {x ∈ R / x ≥ 1}

04. Calcule α para que a função f(x) = 2x2 - αx + 1 seja positiva para todo x ∈ R.

05. (CESGRANRIO) – O conjunto-solução da

inequação x2 – 3x – 10 < 0 é: a) ( - ∞; - 2) b) ( - ∞,; -2) ∪ (5, ∞) c) (- 2; 5) d) (0; 3) e) (3; 10)

06. (UEL – PR) – O conjunto dos valores reais de x,

que tornam verdadeira a sentença 2x2 – x < 1 é: a) {x ∈ R / - 1/2 < x < 1} b) {x ∈ R / x > 1 ou x < - 1/2} c) {x ∈ R / x < 1} d) {x ∈ R / 1/2 < x < 1} e) {x ∈ R / x < - ½}

07. (CESCEM) – A solução do sistema de inequações

é:


616

a) 0 < x < 5 b) – 5 < x ≤ - 4 c) - 4 ≤ x ≤ - 2 d) x ≤ - 2 e) x < - 5

08. (UNESP) – Os valores de x ∈ R que satisfazem o

sistema:

são tais que: a) 1 < x < 3 b) – 3 < x < - 2 c) 0 < x <2 d) 5 < x < 7 e) - 2 < x < 0

09. (CESCEM – SP) A solução do sistema de

inequações é:

a) 0 < x < 2 b) –1 < x ≤ 0 ou 2 ≤ x < 3 c) x < - 1 ou x > 3 d) nenhum x e) qualquer x

10. (UFV – MG) A solução do sistema de

desigualdade:

a) 2 < x < 6 b) 0 < x < 5 c) 1 < x < 5 d) 5 < x < 7 e) 2 < x < 5

11. Quais são os valores de p de modo que a equação

2x2 – px + 8 = 0 tenha raízes reais e distintas? 12. (PUC – MG) – A solução da inequação x2 ≤ x é o

intervalo real: a) (- ∞, - 1) b) [- 1, ∞) c) [- 1, 0] d) [- 1, 1] e) [0, 1]

13. (UEL – PR) – Considere o seguinte problema: “

Em um cofre, existem apenas moedas de 50 centavos e de 10 centavos, num total de 60 unidades. Se a quantia T (em reais) existente no cofre é tal que R$ 24,00 < T < R$ 26,00, quantas são as moedas de 50 centavos?”. O número de soluções que esse sistema admite é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

14. O conjunto solução da desigualdade abaixo é S =

{x ∈ R / x < a}. O valor de a é: a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1

e) 2

15. (UFJF/2006) – Os valores de x que satisfazem à

inequação pertencem a:

16. (UFMG) – O número real x satisfaz Assinale a alternativa em que estão incluídas todas as possibilidades para x..

a) – 1 < x < 5/2 b) x < - 1 ou x > 5/2 c) x > 5/2 d) x < -1

17. Encontrar os valores de x que satisfazem a inequação (2x – 4) ( x2 – 5x + 6) < 0

18. (PUC – PR) – A solução da inequação (x – 2) (- x2

+ 3x + 10) > 0 é: a) x < - 2 ou 2 < x < 5 b) – 2 < x < 2 ou x > 5 c) – 2 < x < 2 d) x > 2 e) x < 5

19. (PUC – BA) – O conjunto-solução da inequação

( )( )( )0

4

2212

>−

+−+x

xxxé

a) {x ∈ R / x > - 1} b) {x ∈ R / x > 2} c) {x ∈ R / x > -1 e x ≠ 2} d) {x ∈ R / - 1 < x < 2} e) {x ∈ R / x < - 2 ou x > 2}

20. Resolva as seguintes inequações do tipo produto: a) (2x – 4) (- x + 5) ≥ 0 b) (- x2 + 4) (x2 – 16) < 0 c) (x2 – 2x + 1) ( -x2 + 4x – 4) ≥ 0 d) (x2 – x + 9) (- x2 + 4x) ≤ 0 e) (x2 – 6x + 9) ( - 2x + 6) ≥ 0

21. Determine o conjunto-solução de cada inequação

a seguir na variável x: a) x – 1 ≤ 0 -2x + 6 b) - x2 + 4x – 3 > 0 x – 2 c) - x2+ 2x + 15 < 0 x2 – 6x + 5 d) 2 – x ≤ 0 x2 – 6x + 9

0

)1(

)2)(63(>

−

−−

x

xx


617

22. (MACK – SP) – O conjunto-solução da inequação (x2 + 1) ( - x2 + 7x – 15) < 0 e: a) φ b) [3, 5] c) R d) [- 1, 1] e) R+

23. (FGV – SP) – A inequação x(x + 2) > 0 tem

como solução: x2 + 1 a) x < -2 ou x > 1 ou –1 < x < 0 b) x < - 2 ou x ≥ 1 c) x ≤ - 2 ou x > 1 d) x ≤ - 2 ou x ≥ 1

24. (PUC – SP) – Os valores de x que verificam a

inequação 02

652

<−

+−x

xx são expressos por :

a) x < 3; b) 2 < x < 3 c) x < 2 ou x > 3 d) x ≠ 2 e) x < 3 e x ≠ 2

25. (CESGRANRIO) – Resolvendo a inequação (4x2 +

1) x3 (5 – 3x) > 0, obtemos: a) 0 < x < 4 b) 5/3 < x < 4 c) 0 < x < 5/3 d) x < 0 ou x > 5/3 e) x = 0 ou x > 5/3

26. (CESGRANRIO) – O conjunto de todos os números reais x que satisfazem a inequação 2 / (x – 1) < 1, no universo R é: a) {0} b) – 1 < x < 1 c) x < 1 ou 3 < x < 2 d) x < 0 e) nda

27. (UFMG) – A solução da inequação 21

≤+x

x é:

a) x ≤ - 1 ou x = 1 b) x < 0 ou x = 1 c) x = 1 d) x ≤ 1 e) x < 0

28. (UNIFOR – CE) – A solução da inequação

Q + 1 > 0 é: Q - 1

a) Q < - 2 ou Q > 0 b) Q > - 1 ou Q < -2 c) Q > 1 ou Q < - 1 d) Q < - 2 ou Q > 1 e) Q < 0 ou Q > 1

29. (FGV – SP) – O conjunto-solução da inequação

0322

2

≥−+

−xx

xx é:

a) x < - 3 ou x ≥ 0 e x > 1 b) x < - 3 ou x > 1 c) – 3 < x < 1 d) – 3 < x ≤ 0 e) – 3 < x ≤ 0 ou x ≥ 1

30. (UNICAMP) – A solução da inequação (x2 – 4) (

5x2 + x + 4) ≥ 0 é: a) x ≥ 0 b) qualquer número real c) – 2 ≤ x ≤ 2 d) x ≤ - 2 ou x ≥ 2 e) 1 ≤ x ≤ 2

31. Sendo A e B os conjuntos-soluções das

inequações (I) e (II), onde

Determine A ∩ B. 32. (ACAFE – SC) – Os valores de x para os quais a

desigualdade 4

48

2

33

xx −>− é satisfeita são:

a) x > 2 b) x < 2 c) x < 5/13 d) x > 5/13 e) x > 13/3

33. (CEFET – PR) O domínio da função y = 1 / √(x2 + x + 1) é:

a) φ b) R* c) R*+ d) R+ e) R

34. (OSEC – SP) – O domínio de definição da função

32)( 2 ++−= xxxf , com valores reais é um

dos conjuntos abaixo. Assinale-o: a) {x ∈ R / - 1 ≤ x ≤ 3} b) {x ∈ R / - 1 < x < 3} c) {x ∈ R / x ≤ - 1 ou x ≥ 3} d) {x ∈ R / - 3 ≤ x ≤ 1} e) {x ∈ R / x ≤ - 3 ou x ≥ 1}

35. (CEFET – PR) – O domínio da função real de

variável real f(x) = (x2 + 2x – 15) – 1 / 2 é dado pelo conjunto: a) {x ∈ R / x < - 5 ou x > 3} b) {x ∈ R / x ≤ - 5 ou x ≥ 3} c) {x ∈ R / - 5 < x < 3} d) {x ∈ R / x ≤ - 3 ou x ≥ 5} e) {x ∈ R / x < - 3 ou x > 5}

36. (PUC – MG) – O valor de y na função

3 2 82 −−= xy é real se:

a) x ≤ 4 b) x < 4 c) 0 ≤ x ≤ 5 d) – 5 ≤ x ≤ 3 e) – 4 ≤ x ≤ 4

37. (CEFET – PR) – A função f(x) = ax2 + 5x – 10

possui concavidade voltada para cima. O valor de f(1), sabendo que “a” é um número inteiro pertencente ao domínio da função

( )82/1)( 2 +−−= xxxg é:


618

a) 10 b) – 10 c) 4 d) –6 e) – 4

38. (UFOR – MG) – O domínio da função real definida

por xxxf ++= 42)( é:

a) [-2, ∞) b) (- 2, ∞) c) (0, ∞) d) [0, ∞)

39. O Domínio da função abaixo é: a) x > 5 e x ≠ 11 b) x > 5 e x ≠ 1/3 c) x < 11 d) x > 1/3 e x ≠ 11 e) x ≥ - 1/3 e x ≠ 11

40. (UEMG) – O domínio da função é o intervalo real:

41. (INATEL) – Sabendo-se que o domínio da função f(x) representada abaixo é o conjunto D = {x ∈ R / x ≠ 1}, o valor de a é:

a) 0 b) 2 c) 1 d) –1 e) –2

GABARITO 01. a){x∈R/1<x<2} b) {x∈R/x<-2 ou x>0} c){x∈R/-5≤x≤10} d){x∈R/x>2} 02. A 03. B 04. α<-2√2 ou α>2√2 05. C 06. A 07. E 08. C 09.B 10. E 11. p<-8 ou p>8 12. E 13. E 14. D 15. A 16. B 17. {x∈R/x>3} 18. A 19. A 20. a){x∈R/2≤x≤5} b){x∈R/x<-4 ou -2<≤x<≤2 ou x>4} c){1,2} d){x∈R/x≤0 ou x≥4} e){x∈R/x≤3} 21. a){x∈R/x≤1 ou x>3} b){x∈R/x<1 ou 2<x<3} c){x∈R/x<-3 ou x>5} d){x∈R/2≤x≤3} 22. C 23. A 24. C 25. D 26. E 27. C 28. C 29. D 30. D 31. [2,4] 32. B 33. E 34. B 35. A 36. E 37. E 38. E 39. C 40. D 41. E

FUNÇÃO COMPOSTA

02. Sendo f(x) = 3x e g(x) = 2x – 6. obtenha: a) fog(x) = b) gof(x) = c) g(f(g(x))) =

03. Sendo f(x) = 3x + 2 e g(x) = x – 1, obtenha as

seguintes funções compostas: a) gof(x) = d) fog(x) = g) gog(x) = b) fof(x) = e) g(f(2)) = h) f(g(1)) = c) f(f(2)) = f) g(f(3)) =

04. Sendo f(x) = 2x – 4 e g(x) = 3x + 1, obtenha as

seguintes funções compostas: a) gof(x) = b) fog(x) = c) gog(x) =] d) fof(x) = e) g(f(0)) = f) f(g(- 4)) = g) f(f(5)) = h) g(f(2)) =

05. Sendo f(x) = x2 + 3 e g(x) = 5x – 1, obtenha:

a) gof(x) = c) g - 1(x) = b) f(g(2)) = d) g(f(-3)) =

06. Se f(x) = 4x – 1 e g(x) = 2x, qual o valor numérico

da expressão f - 1(3) + g(f(2).

07. (UERGS) – Sejam f e g funções definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = 2x+1. O valor de g[f(1)] + f[g(0)] é: a) 17 b) 19 c) 21 d) 23 e) 25

08. Dadas as funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = x – 1, a lei

de formação da função fog(x) e gof(x) são respectivamente: a)fog(x) = 2x – 3 e gof(x) = 5x b) fog(x) = 2x + 2 e gof(x) = 2x + 3 c) fog(x) = 2x – 3 e gof(x) = 2x d) fog(x) = 2x + 4 e gof(x) = 3x + 3 e) fog(x) = 3x + 3 e gof(x) = 2x + 3

09. (EFOA 2005) – Considere as funções f : IR em IR e

g : IR em IR, definidas por f(x) = x2 + a e g(x) = f (2x + 1), onde a é um número real. Encontre os valores de a , tais que ( f o g)(2) = −13.

10. Dada a função f(x) = 4x – 1 e g(x + 5) = x2 – 8,

calcule: a) f(2) – 3f(1). b) g(3) c) f(f(2)) d) a domínio do número 7, na função f(x).

11. Dadas as funções f(x) = 6x – a e g(x) = 2x e sabendo que g(f(2)) = 8, o valor de a é: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) – 20

12. (UNIFAL/2006) – Sejam

onde a e b são números reais. a) Determine fog(x). b) Calcule os valores de a e b para os quais os

números 0 e 1 sejam raízes da equação fog(x) = 0

x

xfx

−

+=

11

13)

ax

xxf

+−

=2

14)(


619

c) Esboce o gráfico da função fog para os valores não-nulos de a e b encontrados no item anterior.

13. (UFU/Julho2007) – Sejam f: [0, 6] em R a função

quadrática definida por f(x) = x2 – 6x + 5 e g: [- 5, 5] em R a função cujo gráfico está esboçado abaixo.

Sabendo-se que gof denota a composição da função g com f, resolva a equação (gof)(x) = 0, na variável x.

14. Sendo f(x) = 4x e g(x) = 3x2, obtenha: a) (fog)(x) b) (gof)(x) c) (fof)(x) d) (gog)(x)

15. (UFMS) – Dada a função f(x) = x2 -3, determine

f(f(3)). 16. (INATEL) – Sendo f(x) = x2 + 2x e g(x) = 3x + 4,

a função fog é: a) 9x2 + 20x + 24 b) x2 + 30x + 24 c) 9x2 + 30x + 24 d) x2 + 20x + 24 e) x2 + 10x

17. Considere as funções f, g: R → R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x))= 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7).

18. (UFPR) – Para cada valor real de x, sejam f(x) =

x2 e g(x) = f(f(x)). Calcule o valor de [f(g(3))]/g(3).

19. Sendo f(x) = 5x2 e g(x) = 5 – x, obtenha:

a) (fof)(2) c) (gof)(3) b) (fog)(-1) d) (gog)(1)

20. (ESAL – MG) – Se f(x) = x2 + 1 então f(f(x)) é

igual a: a) x4 + 2x2 + 2 b) x4 + 2 c) x4 + 1 d) x + 1 e) 1

21. (PUC – PR) – Sejam f: R → R e g: R → R duas

funções dadas por f(x) = x2 – 1 e g(x) = x – 1. A diferença entre as funções compostas (gof)(3) – (fog)(3) é igual a:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22. (UECE) – Sejam f e g funções de R em R tais que f(x) = 3x – 2 e g(x) = - 2x + 1. Se f(g(m – 1)) – 1 = 3m – g(f(m + 1)), então f(m) + g(m) é igual a: a) – 2/3 b) – 1/3 c) 1/3 d) 2/3 e) - 4/5

23. (UFSC) – Dadas as funções xxf −= 5)( e g(x)

= x2 – 1, o valor de (gof)(4) é:

24. (UFMG) – Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4} e f: A → A uma função dada por f(x) = x + 1 se x ≠ 4 e f(4) = 1. O número x ∈ A tal que (f o f o f o f)(x) = 2 é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

25. (CESGRANRIO) – Sejam A = {1, 2, 3} e f: A → A definida por f(1) = 3, f(2) = 1 e f(3) = 2. O conjunto-solução da f(f(x)) = 3 é:

a) {1} b) {2} c) {3} d) {1, 2, 3} e) φ

26. Sendo f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x2, calcule:

a) f(2). b) g(f(2)) c) A função composta f(fx)). d) f(g(f(1))).

27. (UFU – MG) – Sejam as funções fog(x) = x2 + 2 e

f(x) = 2x + 4. Qual o valor de g(2)? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

28. Dadas as funções reais f(x) = 2x + 3 e g(x) = ax +

b, se f[g(x)] = 8x + 7, o valor de a + b é: a) 13 b) 12 c) 15 d) 6 e) 5 29. Seja a função f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x – 4. O

valor de g(f(2)) – f(g(3)) é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

30. (FAVIC) – Sendo f(x) = x4 e g(x) = x - 1, a função

composta (fog)(x) é definida por: a) x4 + x – 1 b) x5 - x4 c) x4 – 1 d) x4 + 4x³ - 6x2 + 4x – 1 e) x4 - 4x³ + 6x² - 4x + 1

31. Sejam f e g funções definidas em R por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x - 3. O valor de g[f(3)] é:

a) -1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 GABARITO 01. a)fog(x)=6x-18 b)gof(x)=6x-6 c)g(f(g(x)))=12x-42 02. a)gof(x)=3x+1 b)fof(x)=9x+8 c)f(f(2))=26 d) d)fog(x)=3x-1 e)g(f(2))=7 f)g(f(3))=10 g)gog(x)=x-2 h)f(g(1))=2 03. a)gof(x)=6x-11 b)fog(x)=6x-2 c)gog(x)=9x+4 d)fof(x)=4x-12 e)g(f(0))=-11 f)f(g(-4))=-26 04. a)gof(x)=5x2+14 b)f(g(2))=84


620

c)g- 1(x)=(x-1)/5 d)g(f(-3))=59 05. 15 06. C 07. B 08.-29 ou -22 09. a)-2 b)-4 c) 27 d)2 10. D 11. a)fog(x)=(ax+b)2 -2(ax+b) b)b={0,2} e a={0,2,-2}

c)Parábola para cima passando o eixo x no pontos 0 e 1.

12. S={0,2,4,6} 13. a)12x2 b)48x2 c)16x d)27x4

14. 33 15.C 16. 56 17. 81 18. a)2000 b)180 c)-40 d)1 19. A 20. D 21. E 22. 0 23. x=2 24. A 25. a)11 b)242 c)9x+20 d)389 26. A 27. D 28. D 29. E 30. E

FUNÇÃO INVERSA

01. Se f(x) = 2x + 3, calcule o valor de f – 1 (7). 02. Se f(x) = 4x – 1 e g(x) = 2x, qual o valor numérico da expressão f - 1(3) + g(f(2)). 03. Obtenha a função inversa das seguintes funções: a) f(x) = 3x – 2 b) f(x) = x – 7 c) f(x) =3x – 6 d) f(x) = 2x – 1 e) f(x) =5x + 3 04. Se f(x) = 3x + 6, calcule o valor de f – 1 (3). 05. Se f(x) = 5x – 2, calcule o valor de f – 1 (8). 06. Seja f(x) = x3 e g(x) = 2x. Calcule o valor de f – 1 (27) + g – 1 (10) 07. (UFRRJ) – Seja f: R em R uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos A(1, 2) e B(2, 3), a função f -1 é: a) f -1 (x) = x + 1 b) f -1 (x) = - x + 1 c) f -1 (x) = x – 1 d) f -1 (x) =x + 2 e) f -1 (x) = - x + 2 08. Seja f –1 (x) a função inversa de f(x) = 2x – 3. O valor de x para que seja verdadeira a igualdade 2f –1(x) + f(- 2) = 0, é: a) 4 b) c) 0 d) –2 e) –4 09. (UFV) – Seja f a função real tal que f(2x – 9) = x para todo x real. A igualdade f(c) = f-1(c) se verifica para c igual a: a) 5 b) 7 c) 3 d) 9 e) 1 10. (UERGS) – Seja a função definida abaixo, o domínio da função inversa de f(x) é:

a) {x ∈ R / x ≠ 2}. b) {x ∈ R / x > 2}. c) {x ∈ R / x < 2}. d) {x ∈ R / x ≤ 2}. e) {x ∈ R / x ≥ 2}. 11. Dada a função f(x) = (3x – 2)/3, encontre f-1(x) e em seguida calcule o valor de f(3) – f-1(4). 12. (ESPM) – Sendo f(x) = 2x -1, f: R em R, então calcule f -1 (x). 13. (FESO – RJ) – Se f -1 é a função inversa de f e f(x) = 2x + 3, o valor de f -1(2) é de: a) 1/2 b) 1/7 c) 0 d) – 1/7 e) -1/2 14. (UNIFOR – CE) – Calcule a função inversa da função bijetiva definida por f(x) = 2x/3–1. 15. (AMAN – RJ) Dê a função inversa da função y = 5x + 3. 16. (ACAFE – SC) – Sendo f(x) = 2x + 1 e g(x) - x2 – x, o valor de f(g(-1)) – f -1(-5) é: a) – 3 b) – 2 c) 2 d) 8 e) 4 17. (PUCCAMP- SP) – Seja f a função R em R, dada pelo gráfico a seguir:

É correto afirmar que: a)f é sobrejetora e não injetora b) f é bijetora c) f(x) = f( -x) para todo x real d) f(x) > 0 para todo x real e) o conjunto-imagem de f é ]- ∞; 2]. 18. (UFSC) – Dada a função f: R → R+, definida por f(x) = x2 + 1, determine a soma dos números associados às afirmações verdadeiras: 01) a função é sobrejetora 02) a imagem da função é R+ 04) a função é bijetora 08) para x = √5, temos f(x) = 6 16) o gráfico da função é uma reta 32) a função é par. 19. (MACKENZIE) - Dada a função f:R em R, bijetora definida por f(x) = x3 + 1, sua inversa f-1: R em R é definida por:

a) 3 31 1)( +=− xxf


621

b) 3 3

1

1

1)(

+=−

xxf

c) 1

1)(

31

+=−

xxf

d) 31 1)( −=− xxf

e) nda GABARITO 01. 2 02. 15 03. a)(x+2)/3 b)x+7 c)(x+6)/3 d)(x+1)/2 e)(x-3)/5 04. -1 05. 2 06. 8 07. C 08. A 09. D 10. A 11. 7 12. (x+1)/2 13. E 14. (3x+3)/2 15. (x-3)/5 16. B 17. A 18. F,F,V,F,V 19. D

MÓDULO

01. Dê o valor numérico dos seguintes módulos: a) 2 b) - 4 c) 2 - √5 d)3 - √5 e) - 3 02. Dê o valor numérico dos seguintes módulos: a) - 2 = b) 2 - √3 = c) - 13 = d) 6 - √2 = e) 74 = f) 3 - √3 = g) 13 + √5 = 03. Qual é o valor da soma das raízes da equação. 04. Se f(x) = 2x – 4 –2 x+3, calcule o valor de f(5) – f(–3). 05. Resolva as seguintes equações modulares: a) - 3x – 5 = 7 b) 2x - 1 = 2 c) 2x - 3 = x – 5 06. Resolva as seguintes equações modulares: a) - 4x – 5 = 17 b) 2x - 2 = 10 c) x - 4 = x + 5 07. Seja a função f(x) = 3x – 5, calcule o valor de f(0) – f(4) + f(1). 08. (UNIPA) – Seja a função definida no intervalo ]-1, 1[

por x

xf−

=1

1)( então f(-1/2) é:

a) ½ b) ¼ c) – ½ d) – 1 e) 2 09. Resolva as equações abaixo:

215)

633)

+=−

=−

xxb

xa

10. A solução da equação abaixo está no intervalo:

5472 −=− xx

a) [-2, 0 ] b) [0, 5] c) [3, 10] d) [-5, -2] e) [6, 13] 11. Resolva as seguintes equações modulares: a) x2 – 4x – 1 = 4 d) 4x - 3 = 3x – 4 b) x2 - 2 x - 8 = 0 e) x - 3 = 0 c) x - 1 = 2 12. (ACAFE – SC) – Se a - b = 6 e a + b = 2, o valor de a4 – 2a2b2 + b4 é: a) 8 b) 12 c) 24 d) 64 e) 144 13. Resolva as inequações modulares a) 2x - 4 < 6 b) x - 1 > 2 c) 2x + 5 > 1 14. (UPF – RS) – A soma das raízes da equação 2x + 5 = 6 é: a) –5 b) 9 c) 4,5 d) 6 e) 0,5 15. (UEL – PR) O conjunto solução da inequação x < 3, tendo como universo o conjunto dos números inteiros, é: a) {-3, 3} b) {-1, 0, 1} c) {-2, -1, 0; 1, 2} d) {-3, -2, -1, -, 1, 2, 3} e) {0, 1, 2, 3} 16. (ACAFE – SC) A equação modular abaixo admite, como solução, somente:

a) uma raiz positiva e uma negativa; b) duas raízes negativas; c) duas raízes positivas; d) uma raiz positiva; e) uma raiz negativa. 17. (UEPG – PR) – No conjunto R, a desigualdade x - 5 < 7 é verdadeira para: a) {x ∈ R / x < 12} b) { x ∈ R / x > - 12} c) {x ∈ R / - 2 < x < 12} d) {x ∈ R / -2 ≤ x ≤ 12} e) nda. 18. (PUC – MG) – O par ordenado (5/2, b) pertence ao gráfico de f(x) = x – 1 – x . O valor de b é: a) – 4 b) – 1 c) 1 d) 4 e) 6

453 =−x


622

19. (UFGO) – Os zeros da função

35

12)( −

−=

xxf são:

a) – 7 e – 8 b) 7 e – 8 c) 7 e 8 d) – 7 e 8 e) – 7 e 11 20. (ULBRA) – A função representada no gráfico abaixo é:

a) f(x) = x – 4 b) f(x) = x - 4 c) f(x) = x2 – 4 d) f(x) = x2 - 4 e) f(x) = 1/x

21. (PUC – BA) a figura abaixo pode representar o gráfico da função f: R em R, definida por:

a) f(x) = x + 2 b) f(x) = x - 2 c) f(x) = x + 2 d) f(x) = x - 2 e) f(x) = x + 2 22. Seja a função f: R em R representada abaixo, calcule f(3) – f(-2).

GABARITO 01. a)2 b)4 c)-2+√5 e)3 02. a)2 b)2-√3 c)13 d)6-√2 e)74 f)3-√3 g)13+√5 03. 10/3 04. 0 05. a){-4,2/3} b){3/2,-1/2} c){-2,8/3} 06. a){-11/2,3} b){-4,6} c){-1/2} 07. -10 08. E 09. a){-1,3} b){3/4} 10. B 11. a){-1,1,3,5} b){-2,2} c){-3,3} d)∅ e){-3,3} 12. E 13. a){x∈R/-1<x<5} b){x∈R/x<-1 ou x>3} c){x∈R/x<-

3 ou x>-2} 14. A 15. C 16. D 17. C 18. C 19. D 20. B 21. D 22. -1

EXPONENCIAL

01. Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 82 =xb) 42

2

=x c)

5

15 3 =−x

d) 42 44 −= xx

02. (CESGRANRIO – RJ) Se 8x = 32, então x é igual a: a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4

03. Marque com D as funções que têm gráfico crescente e com C as funções que têm gráfico decrescente: ( ) f(x) = 3X

( ) f(x) = (1/3)X ( ) f(x) = (4/3)X

( ) f(x) = 0,3X ( ) f(x) = πX

( ) f(x) = (2/7)X ( ) f(x) = 0,999X

( ) f(x) = (0,999...)X

04. Resolva a equação 9

27

81

13

24

xx

x =

⋅−

−.

05. (PUC) – Sendo 2

3

2

3

3

22

=

⋅

kk

, qual o valor de

k−

3

1?

06. (ESPM) – Uma empresa de publicidade estima que o número N de visitantes diários a uma exposição varia com o número x de dias em que sua propaganda é veiculada pela TV segundo a equação N = k.20,4x, na qual k é uma constante. Os organizadores verificaram que,s em nenhuma propaganda de TV, cerca de 200 pessoas visitam diariamente essa exposição. Se a agência de publicidade estiver correta na sua estimativa, com 5 dias de propaganda o número de visitantes diários será de: a) 600 b) 800 c) 1000 d) 1200 e) 1600 07. Resolver: a) 5(3x – 1 ) > 1 b) (1/5) 2x – 3 ≤ 1/5

08. (PUC – SP) Se 3x2 – 3x = 1 / 9, então os valores de x são: a) 1 e 3 b) 2 e 3 c) 1 e 2 d) 1 e 4 e) 2 e 4 09. (PUC – MG) O valor de x que satisfaz a equação 33x – 1 . 92x + 3 = 273 – x é: a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/5 10. (PUC – RS) – Se 3 x - 3 2 – x = 2 3, então 15 – x 2 vale: a) 16 b) 15 c) 14 d) 11 e) 6

11. (UFRN) – Se 2 x = 2048, então, x vale: a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19 12. (UEPG – PR) – Se 8 x – 9 = 16 x / 2, então 3√x é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) nda

14)( −−= xxxf


623

13. (UEPG – PR) – A soma das raízes da equação 32x – 12.3x + 27 = 0 pertence ao intervalo: a) [10,12] b) [0,3] c) [1,2] d) (10,12] e) (1,3) 14. Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 2562 =x

b) 82 132

=−+ xx

c) 25

15 2 =−x

d) 42 279 −= xx

15. Resolvendo a equação 44

33

33 =−x

, encontraremos um certo valor para x. Calcule o valor de 3x -6 .

16. Resolva a equação 4

8

16

12

2

2xx

x =

⋅−

−.

17. (UFJF/2006) – Dada a equação 1123 482 −+− =⋅ xxx,

podemos afirmar que sua solução é um número: a) natural. d) maior que 1. b) de módulo maior do que 1. e) par. c) de módulo menor do que 1.

18. Resolver a inequação

688

9

1

3

1+−

≤

xx

.

19. Resolva a equação e a inequação propostas abaixo: a) b) 20. Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula abaixo. Assim sendo, o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente é: a)inferior a 15 minutos b) superior a 15 minutos e inferior a 30 minutos c) superior a 30 minutos e inferior a 60 minutos d) superior a 60 minutos e inferior a 90 minutos e) superior a 90 minutos e inferior a 120 minutos 21. (UFPB) – Em uma comunidade de bactérias, há inicialmente 106 indivíduos. Sabe-se que após t horas (ou fração de hora) haverá Q(t)= 106 x 32t indivíduos. Neste caso, para que a população seja o triplo da inicial, o tempo, em minutos, será: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

22. (FUVEST) – Seja f(x) = 22x+1. Se a e b são tais que f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que: a) a + b = 2 b) a + b = 1 c) a – b = 3 d) a + b = 3 e) a – b = 1 23. (PUC-RJ/2004) - Uma das soluções da equação

é:

a) x = 1 b) x = 0 c) d) x = -2 e) x = 3 24. (UFJF 2005) – As raízes da equação 2x + 1/2x = 17/4 são: a) iguais em módulo. b) ambas negativas. c) ambas positivas. d) quaisquer números reais. e) nulas. 25. (UFOP/2005) – A curva c, a seguir, é gráfico da função f (x) = 2x . A equação da reta r que passa pelos pontos P e Q é:

26. (UFOP/2005) – Com relação à equação exponencial:

pode-se afirmar que ela admite: a) duas raízes inteiras e positivas. b) duas raízes irracionais e positivas. c) duas raízes racionais e duas irracionais. d) duas raízes inteiras e positivas e duas raízes irracionais e negativas. 27. (UCSal) - Se 12n+1 = 3n+1 . 8 , então log2 n é igual a: a) -2 b) -1 c) 1/2 d) 1 e) 2

2

123

125

255

+

−− =

x

xx

3212

9

4

3

2−−

>

xx

10833 12 +−−= +ttm


624

−=

−

−=

=

40

22,

15

23,

34

51CBA

28. Dar o domínio da função real definida por:

29. (FUVEST – SP) – S endo x = (22) 3 , y = 223 e z =

232, calcule x . y . z:

a) 221 b) 210 c) 223 d) 24 e) 220

30. (FCC) – A solução da equação 0,5 2x = 0,251 – x é um número tal que: a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) 2 < x < 3 d) x > 3 e) x < 0 31. (FIC/FACEM) – A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9) x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de: a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) 90 32. (MAUÁ) Resolver o sistema:

33. Se 0,5x2 – 4x > 0,5 x, então seu conjunto verdade,

em R, é: a)V = { x ∈ R / 0 < x < 5} b) V = { x ∈ R / x < -1 ou x < 5} c) V = { x ∈ R / x > -1 e x > 5} d) V = { x ∈ R / x > 5} e) V = φ 34. (UFPA) – A raiz da equação (7 x - 2√10) . (7 x + 2√10) = 9 é um número: a)irracional negativo b) irracional positivo c) par d) inteiro negativo e) inteiro positivo 35. (UFBA) O conjunto solução da equação 2 x - 2 – x = 5(1 - 2 – x ) é: a) {1, 4} b) {1, 2} c) {0, 1} d) {0, 2} e) φ 36. (UFCE) a soma das raízes da equação x f (x) = 1, onde x > 0 e f(x) = x 2 – 7x + 12, é igual a: a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 37. (PUCCAMP) Considere a sentença a 2x + 3 > a 8, na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo, a)x = 3 e a = 1 b) x = -3 e a > 1 c) x = 3 e a < 1 d) x = -2 e a < 1 e) x = 2 e a > 1

38. (Cefet-PR) – O produto das raízes da equação 32x + 1 – 10.3x + 3 = 0 é: a) 2 b) 2 c) 1 d) –1 e) 0 GABARITO 01. a)3 b)-√2 ou √2 c)2 d)-4 02. B 03. D, C, D, C, D, C, C, * 04. 5 05. 3 06. B 07. a){x∈R/x>1/3} b) {x∈R/x ≥ 3/2} 08. C 09. E 10. D 11. B 12. E 13. B 14. a)7 b)-4 ou 1 c)0 d)-12 15. 3 16. 4 17. C 18. 3 19. a)-3/2 b) {x∈R/x>5/2} 20. D 21. C 22. E 23. A 24. A 25. A 26. C 27. C 28. {x∈R/x<-2 ou x>2} 29. E 30. A 31. D 32. x=-1 e y=1 33. A 34. E 35. D 36. C 37. D 38. D

MATRIZES

INTRODUÇÃO – SOMA E INGUALDADE DE MATRIZES

01. Se

=

35

12A e

−

=14

32B , calcule:

a) A + B = b) A . B = c) 2A – B =

02. Dadas as matrizes

obtenha: a) A + B – 2C b) A +2Bt +I2 c) Encontre X tal que 2X – A – B = C


obtenha: a) A + B – 2C b) A . Bt – I2 c) Encontre X tal que X – A + B = Ct

04. Dada a igualdade abaixo, calcule x + y + z + t.

=

−+

−+

18

42

132

421

tz

yx

05. Dadas as matrizes obtenha:

a) 4A + B – 2C

−=

−

−=

−

=410

21,

75

21,

30

53CBA

−=

−

−=

=

40

25,

25

21,

04

21CBA


625

=

−

=

−

=

134

250

272

134,

614

512

C

BA

=

−=

−=

134

250

272

134,

614

512

C

BA

−=

=

32

37,

91

11BA

−

−=

=

15

21,

13

01BA

=−

=+

BYX

AYXa)

+=−⋅

⋅−⋅=+

BAYX

BAYXb

2

45)

−=

−=

−=

12

14,

01

21,

13

12CBA

CXBAX

++

=−

32

322

128)

330

128)

325

128)

323

128)

324

128)

ed

cba

=

−+

tz

yx 23

10

2

21

1

d) A – Bt +I2 e) Encontre X tal que 2X – A + B = Ct

06. Seja A = (aij)2 x 2 uma matriz quadrada tal que aij

= i2 + j2. A soma de todos os elementos da matriz A é igual a: a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

07. Sendo A uma matriz de ordem 3x3, cujos

elementos são dados pe função

≠+

=−=

jiseji

jisejiaij ,2

,, a soma dos elementos

da diagonal principal é: a) 5 b) 6 c) – 6 d) 4 e) 0

08. Dadas as Matrizes Calcule: a) A + B – C b) A + 2 . B – 3 . C c) (A + B)t

09. O elemento a23 da matriz A, tal que 3A +

−−

−=

−

221

102

120

311, é:

a) 3 b)2 c) 0 d) -1 e) –3

10. Dada a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = i – 2j se i = j e aij = 3i + j se i ≠j, calcule e valor de a14 + a22 – a34.

11. Dadas as Matrizes

Calcule: a) A + B – C b) A + 2 . B – 3 . C c) A + B d) (A + B)t e) At + Bt

12. Dadas as matrizes A = (aij)2x2 tal que aij = i + j e

B = (bij)2x2 tal que bij = i – j, calcule o valor de a21 + b21 – a22 – b22

13. Determine X na equação 2 . A – 5 . X = Bt

sabendo-se que


Determine X e Y em cada sistema:

15. (PUC) Se

então a matriz X, de ordem 2, tal que é igual a:

16. Dada a equação matricial abaixo, encontre x, y, z e t:

.

17. 20.Calcule os números a, b, x e y que tornam verdadeira a igualdade

18. (FGV) – A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de dólares.

então o país que mais exportou e o que mais importou no Merco foram, respectivamente:

a) 1 e 2 c) 2 e 2 b) 3 e 2 d) 3 e 1 c) 2 e 3

−=

−

−⋅+

⋅

21

10

1

1

0

1

x

yb

y

xa


626

=

−

=13

9,

31

12BA

=

43

12A

=

−=

0521

1434

23

11

45

21

BeA

=

=

1000log)18,12(

...222.081)12,8(216

...777,016log 2

1

3

2

mdc

Bemmc

A

=

=

26

25

13

12

B

A

=

43

12A

=

12

11A

19. Sejam as matrizes

onde mmc(a,b) indica a mínimo múltiplo comum entre a e b e mdc(a,b) indica o máximo divisor comum entre a e b. Se C = A + B, podemos afirmar que a soma dos elementos da matriz C é igual a: a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

20. Determine o elemento c22 da matriz C = A . B

sendo A = (aij)2x2 tal que aij = 2i e B = (bij)2x3 tal que bij = j.

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

21. Sejam as matrizes A e B representadas abaixo. Sendo A = B, qual o valor da expressão E = 2x – 3y + z? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

22.

23. Considere as matrizes A, B e C abaixo com x, y e

z reais. Se A . B = C, calcule a soma dos elementos da matriz A.

=

=

=

4536

54,

11

21,

1CB

zy

xA

24. Uma matriz quadrada A é denominada matriz

ortogonal se I== AAAAtt onde t

A denota a

transposta da matriz A e I é a matriz identidade

de ordem n . Verifique se

=

31

52B é

ortogonal.

25. Dadas as matrizes Obtenha a matriz X tal que A.X = B.


==

==i

x

j

x

jbijbijB

iaijaijA

,)(

,)(

43

34 Se C

= AB, então c22 vale: a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258

27. Dada a matriz A, calcule A2:

28. Dadas as matrizes A e B abaixo e seja C = A x B, então pode-se afirmar que o elemento c23 é igual a: a) 30 b) 40 c) 50 d) 55 e) 60

29. O elemento b21 da matriz B = A2 sendo é: a) 4 b) 3 c) 2 d) 5 e) 1

30. Determine a matriz X dadas as matrizes sabendo que A . X + B = 0

31. Dada a matriz A, calcule A2:

32. Se

=

=

=

y

xXeBA

1

2,

10

21, determine

X, tal que AX = B.


==

==i

x

j

x

jbijbijB

iaijaijA

,)(

,)(

43

34 Se C

= AB, então c22 vale: a) 3 b) 14 c) 39 d) 84 e) 258

34. Determine o elemento c22 da matriz C = A . B

sendo A = (aij)2x2 tal que aij = 2i e B = (bij)2x3 tal que bij = j.

a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19

−=

−

−=

45

21,

43

352 zB

x

yA


627

≠⇔−=

=⇔−=

jijia

jijia

ij

ij

23

2

532

321

0

3

222xx

x

x=

−

−

−=

+=

xy

zB

zy

xA

4,

2

02

−

254

11

1

z

yx

cc

bdc

ab

baba

1

11

111

)

121

132

113

)

)31

25)

−

−

11

3)

131

5)

=−

=

xx

xb

xa

0

26

312

11

=

x

x

1

1

110

01

11

x

x

x

x

−

=

=

xBe

xA

1

12

1

11

35. O elemento c32 da matriz C = A . B sabendo-se

que A = (aij)3x3 tal que aij = i + j e B = (bij)3x2 tal que bij = 1 – i, é: a) – 10 b) 2 c) 15 d) – 17 e) 9

DETERMINANTES 01. Calcule os seguintes determinantes:

02. Resolva as seguintes equações:

03. Calcule o valor real de x em:

04. Simplifique:

05. (PUC) A matriz A = (aij) é quadrada de ordem 2 com:

O determinante de A é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 9

06. Resolver em R, a equação:


=

−

01

03

56

010

321BeA , o determinante

da matriz produto A . B é: a) 5 b) -5 c) 15 d) -15 e) 10

08. (UNICENTRO) – Sendo A e B duas matriz 2x2

dadas abaixo, pode-se afirmar que o maior valor do determinante matriz AB é igual a: a) 2 b) 1 c) 1/2 d) 1/8 e) 0

09. (UNIFEI – 2003) – O determinante abaixo é

múltiplo de: a) 9 b) 7 c) 5 d) 3 e) 2

10. Seja A uma matriz de ordem 3x3 tal que aij = i –

j. Calcule o determinante da matriz A. 11. (UFOP 2005/2) –A matriz A, , dada a seguir, é

igual à oposta da sua transposta, ou seja, A = - At .

Seu determinante vale: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 e) – 1

12. (UNESP) Considere as matrizes reais

Se A = Bt (transposta de B), o determinante da matriz:

É igual a: a) –1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

13. Calcule x na equação 0

101

142

00

004

212

01

=

−−

−+−

xx é:


628

2000

3202

2121

0001

16

2000

302

211

000

=x

x

x

16

2000

302

211

000

=x

x

x

− 0012

1141

0412

0512

1234

1123

1112

0101

=

114

231

132

A

1002

2013

4321

1111

),

0123

1113

1112

2003

) ba

00004

11231

10002

11111

23123

111

1 ba

zyx

A =

000006

000050

000400

003000

020000

100000

50000

04000

00300

00020

00001

+

−

−=

423

021

431

A

14. (FEI) - O valor de x que satisfaz a equação

0

103

122

10

204

312

01

=

−−

−+−

xx

é:

a) -4/7 b) -2 c) 4/7 d) 5 e) 2 15. Obtenha o co-fator do elemento a12 da matriz

16. Obtenha o co-fator do menor elemento da

matriz:

17. Calcule os determinantes:

18. Calcule o valor do determinante:

19. Dada a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i2 + j2: a) Calcule o valor do co-fator do elemento a31

da matriz A. b) Calcule o co-fator do elemento a11 da matriz

A. 20. Dada a matriz

Sabe-se que os co-fatores de x, y e a são respectivamente iguais a 3, 5 e –8, então podemos afirmar que a soma a + b é: a) 10 b) 12 c) 15 d) 3 e) – 3

21. Resolva a soma abaixo:

22. Somando-se

Obtém-se: a) 840 b) – 840 c) 600 d) - 600 e) 0

23. Resolva o determinante 24. Calcule o determinante

25. (MACK) – O valor de

1111

3352

2331

1311

é:

26. Calcule o determinante da matriz abaixo:

27. Calcular o valor do determinante abaixo:

2481

3202

2416

5132

−

−

28. Se a é a raiz da equação, então o valor de a2 é: a) 16 b) 4 c) 0 d) 1 e) 64

=

−

−

−

+−−

200000

910000

321000

645200

9854120

654321

4021

3201

1113

2000


629

dc

baD =

2

22

22

)

))

)11

1)

Ddc

bae

Dab

cddD

cd

abc

Dba

dcbD

c

aa

=

==

=−=

Q

Q

10000

24120

1110

0000

0000

x

x

x

222 )700(log)70(log)7(log

700log70log7log

111

29. Sabendo-se que f(x) é igual a Podemos afirmar que f(-2) é: a) – 8 b) - 16 c) 16 d) 8 e) 4

30. Sendo A uma matriz de ordem 3x3 e det(A) = 2,

calcule o valor da expressão det(A) + det(3A) – det(At).

31. (ITA) – Sendo A uma matriz real quadrada de

ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação det(2A . At) = 4x.

32. Sendo X e Y duas matrizes de ordem 2 e detX =

3, calcule detY sendo det(X.Xt) = det(2Y)

33. (UNIFAL/2006) – Sejam X e Y matrizes de ordem 2 que satisfazem a equação X3Y = 2X , sendo X3 = X.X.X . Se o determinante de X é igual a 3, é CORRETO afirmar que o determinante da matriz Y é igual a: a) 4/9 b) 2/9 c) 1/9 d) 1/3 e) 5/9

34. (UEL) Seja o determinante

É verdade que:

35. (UEL) – Se A é a matriz

−− 63

126o

determinante da matriz A2 é igual a: a) 0 b) 1 c) 4 d)9 e) 25

36. Se a é uma matriz 3x3 de determinante 5, então

calcule o valor do det (A + A).

37. 38. Sendo , calcule:

38. Sejam duas matrizes quadradas A e B de ordem 2. Sendo 3.det(A) = 15 e que det(At) + det(2A) = 4.det(B), podemos afirmar que o det(B) é igual a: a) 25/4 d) 25/2 b) 13/4 e) 15/4 c) 15/2

39. Dada a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 2i - j:

a) Calcule o valor do co-fator do elemento a22 da matriz A. b) Calcule o co-fator do maior elemento da matriz A. c) Calcule o determinante da matriz.

40. (UNIFAL/2006) – Seja definida por

, então o maior valor de f é:

a) – 11 b) – 10 c) – 13 d) – 12 e) – 15

41. (UFOP/2005) – Considere a matriz A = [aij ]2x2

com a) Calcule det A .

b) Calcule AB , sendo

42. Calcule o determinante abaixo:

GEOMETRIA PLANA Ângulos e Triângulos

01. Em cada figura, calcule o valor de x, y e dos demais ângulos. 3=

fed

cba

zyx

=

−

−

−

=

=

fcz

eby

dax

c

cba

fed

zyx

b

fed

zyx

cba

a

)

333

222

)

)


630

02. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais internos representados por 6x e 3x. Calcule x.

03. Dois ângulos colaterais internos Â e Ê são tais

que Â = 3x + 70º e Ê = 2x + 35º. Calculando os valores de Â e Ê, concluímos que Â – Ê é:

a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º

04. Dois ângulo alternos internos são dados por 4x – 70º e 2x + 50º. Calcule x e o valor dos dois ângulos.

05. Duas retas paralelas cortadas por uma

transversal formam ângulo alternos externos dados por 4x – 70 e – 5x + 280º. Calcule x.

06. Duas retas paralelas cortadas por uma

transversal formam ângulos colaterais internos iguais a 3x + 70º e 2x + 30º. Calcule o valor de 5x.

07. Analise as afirmações abaixo:

I - a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. II - ângulos colaterais têm a mesma medida. III – ângulos alternos têm a mesma medida. IV – a soma dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360º. Sendo V as afirmativas verdadeiras e F as alternativas falsas, a seqüência correta é:

a) I – V, II – V, III – V, IV – V. b) I – V, II – V, III – F, IV – V. c) I – V, II – F, III – V, IV – F. d) I – V, II – V, III – F, IV – F. e) I – V, II – F, III – V, IV – V.

08. Calcule x e a em cada caso:

a)

b) c)

09. Considere as retas r, s, t e u todas num mesmo plano, r//u. O valor em graus de x é:

10. A razão entre dois ângulos suplementares é igual a 2/7. Determine o complemento do menor ângulo.

11. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu

complemento dá 210º. 12. Determine o valor de x, sendo r//s

13. Determine o valor de α

14. Se então β + α vale: a) 30º b) 50º c) 150º d) 80º e) nda

15. (PUC) – Se r//s, então α vale:

a) 90º b) 100º c) 110º d) 120º e) nda

r

s 50

30

x a+x

a

r//s

x

x 20°

120° r

u

60°

x

t

s

r

3α

t

s

r 2α

r//s

150° 160°

α

β

10°

α

r

s


631 72°

A

B

C

M N

P

30° 30°

A

B C

E D

A

B D

F E

C

16. Na figura abaixo, tem-se r//s e t//u. Calcule o

valor de a.

17. Calcule o suplemento de (90º- x). 18. O dobro da medida do complemento de um

ângulo aumentado de 40º é igual à medida de seu suplemento. Qual a medida do ângulo?

19. Da medida de um ângulo tira-se sua terça parte e

depois a metade da medida do suplemento do que restou e obtém-se 60º. Qual a medida do ângulo?

20. (STA CASA) – Os triângulos ABC e DEC são

congruentes. Os lados do último medem 5cm, 4cm e 3cm, respectivamente. O perímetro da figura ABDECA mede:

a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24

21. Na figura AB ≡ AC, Â = 80º. Calcular o ângulo BÊC.

22. Na figura AB = AC, O é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo ABC e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo A, então a medida de Â é:

a) 18º b) 12º c) 24º d) 36º e) 15º 23. Na figura seguinte, o triângulo MNP é equilátero e

BM = BN. Calcule as medidas dos ângulos do triângulo ABC.

24. Calcule o ângulo Â indicado na figura, sabendo que as bissetrizes internas dos ângulos de vértice B e C formam um ângulo de 110º.

25. ABC é um triângulo eqüilátero de lado 18 cm e C

é ponto médio do segmento BD. Sejam E um ponto sobre o lado AC e F ponto médio de AB, de tal forma que F, E e D estejam alinhados. Determine a medida do segmento CE.

26. Num triângulo ABC, onde AC = 10 e AB = 12, tomou-se os pontos D e E sobre os lados AB e AC, respectivamente, de tal forma que DE//BC. Seja O o incentro do triângulo ABC, de tal forma que O, D e E estejam alinhados. Calcule o perímetro do triângulo ADE.

27. (UEL – PR) Na figura abaixo, as retas r e s são

paralelas:

A medida de y é igual a: a) 70º b) 80º c) 90º d) 100º e) 110º

28. (VUNESP) – Os ângulos internos de um triângulo

estão em progressão aritmética e o menor deles é a metade do maior. O maior ângulo do triângulo mede: a) 60º b) 75º c) 80º d) 90º e) 120º

29. (FUVEST/98) – As retas t e s são paralelas. A

medida do ângulo x, em graus, é: a) 30º b) 40º c) 50º d) 60º

A

C

B

O

Â

α α

110°

B C θ θ


632

60

30º

40

αααα

r

s

A

B

d) 70º

30. Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s.

Assinale o valor de αααα .

a) º30

b) º50

c) º40

d) º70

e) º60

31. Num retângulo, uma diagonal forma com um dos lados um ângulo de 17º. Calcular a medida do ângulo obtuso formados pelas diagonais.

32. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e ABM é

um triângulo equilátero. Então quanto mede o ângulo CMD?

Semelhança de Triângulos

33. Calcule x e y nas figuras abaixo:

34. Calcule x e y nas figuras abaixo:

35. Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do lote B, conforme a figura:

Calcule sua medida, em metros. a) 12 b) 13 c) 14 d) 16 e) 15

36. Nas figuras abaixo, calcule o valor de x (as retas

a, b e c são paralelas).

37. Encontre x e y na figura:

38. A planta abaixo mostra as medidas de dois

terrenos. Calcule as medidas de suas frentes, sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é 90 metros.

39. Observe o desenho abaixo e descubra qual deve

ser o comprimento da ponte.


633

40. Na figura, a medida do ângulo B é igual à medida

do ângulo D, BC = 10 m e DE = 5 m, calcular valor de x.

41. (UFJF/MG) Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo um lado contido na base do triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual a:

a) 10/3 b) 5/2 c) 20/7 d) 15/4 e) 15/2 42. (PUC-MG 2005) – Uma lâmpada colocada da no

alto de um poste, de altura AB = 5m, projeta no solo a sombra de um homem. Esse homem está de pé a uma distância AD = 2,56m do poste e sua sombra projetada é DC = 1,44m. Então, pode-se afirmar que a altura DE desse homem, em metros, é igual a: a) 1,80 b) 1,82 c) 1,84 d) 1,85

43. (PUC-MG) - Na figura, as medidas de

comprimento são indicadas em metros e os triângulos são retângulos. Então, o comprimento do segmento DE, em metros, é: a) 2,10 b) 2,25 c) 2,50 d) 2,65

44. (VUNESP) – Na figura, a medida do ângulo ABC é igual à medida do ângulo ADE. Calcule o valor de y, em metros.

45. (UNEB) – Na figura abaixo AB = 8, MN = 2 e MC

= 3. Se MN é paralelo a AB, calcule a medida real do segmento BM.

46. (UNOPAR) – Um homem caminha em direção a um prédio vertical de 18m de altura, que projeta uma sombra de 12m. Quando o homem se encontra a 10,8m do prédio, verifica que nesse momento se encontra totalmente dentro da sombra do prédio. Então, a altura do homem é igual a:

a) 1,80m b) 1,75m c) 1,70m d) 1,65m e) 1,60m

47. (UFSM – RS) - Na figura, a reta r é paralela ao lado AB do triângulo retângulo ABC. O comprimento do lado AB, em centímetros é:

a) √5/5 b) √5 c) 3√5 d) √55 e) 4√5

48. Nas figuras abaixo, determine os valores de x e y:

49. (FURG – RS) – O valor do segmento AD na figura abaixo é: (mostrar resolução)

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

50. (Unicamp/2004) – Um homem, de 1,80m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30º, conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 metros de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:

a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 metros ladeira acima.


634

b) Calcular a área do triângulo ABC.

51. (UFV/PASES) – Para se deslocar para o trabalho, uma pessoa que reside em uma cidade, cuja disposição das ruas está representada na figura abaixo, percorre o menor trajeto de A até E , passando por D.

Sabendo que

é CORRETO afirmar que a distância percorrida, em metros, foi de: a) 120 b) 125 c) 130 d) 135 140

52. (UFMG/2003) - Nesta figura, o quadrado ABCD

está inscrito no triângulo AMN, cujos lados AM e AN medem, respectivamente, m e n.

Então o lado do quadrado mede:

53. (Unifei/2003) No retângulo ABCD da figura ao

lado os lados medem cmAB 12= e cmAD 16= .

Toma-se um ponto P sobre o lado AD , de modo

que cmxAP = . Por esse ponto P traça-se o

segmento PQ , paralelo à diagonal AC .

Calcule a medida de PQ em função de x.

Triângulo Retângulo

54. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10cm e um dos catetos é duas unidades maior que o outro. O perímetro do triângulo é:

a) 22cm b) 24cm c) 26cm d) 28cm e) 30cm

55. Determine o valor de x na figura:

56. (PUC – BA) – Na situação abaixo deseja-se construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC, com o menor comprimento possível. Essa estrada medirá, em quilômetros:

a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 40

57. (Unesp-SP) – A área de um triângulo retângulo é de 12 dm2 . Se um dos catetos é 2/3 do outro, a medida da hipotenusa desse triângulo é: a) 2√ 3 b) 3√5 c) 4√6 d) 2√13 e) √15

58. (UFMA) – Num triângulo retÂngulo, as projeções

dos catetos sobre a hipotenusa medem 4cm e 1cm respectivamente. A área desse triângulo mede: a) 2cm2 b) 5√2cm2 c) 4cm2- d) 5cm2 e) 10cm2

59. (UEPG) – Num triângulo retângulo com um

ângulo agudo igual a 45º e a hipotenusa igual a 6√2 cm tem como área, em cm2, um valor igual a: a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) 24

60. Encontre o valor de x nas figuras a seguir:

2)

4)

8)

)

22

mnd

nmc

nmb

nm

mna

+

+

+


635

61. Quanto mede a diagonal de um quadrado se um

de seus lados mede √2 m? 62. Calcule o valor de x na figura: 63. (ENERJ) – Entre duas torres de 13m e 37m de

altura existe na base uma distância de 70m. Qual a distância entre os extremos sabendo-se que o terreno é plano?

64. O triângulo representado abaixo tem medidas

dadas em centímetros. Ache as medidas dos lados deste triângulo.

65. Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 12 (h=10) e o menor dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 4 (n = 4). Calcule o menor cateto deste triângulo. (Ver figura)

66. Dada a figura:

Calcule:

67. Calcule o valor de x e de y na figura, no tamanho

do desenho, dando a resposta na formas mais simplificada possível.

68. Uma árvore foi partida pelo vento conforme mostra a figura abaixo. Sabendo que a distância da base da árvore até o topo é de 24m e que a parte quebrada mede 26m, qual era o tamanho total, em m, da árvore antes de ser partida pelo vento?

69. Calcule x na figura abaixo e o valor de ângulo a

na figura abaixo:

70. (UFMG/2006) – Esta figura representa o quadrilátero ABCD:

Sabe-se que AB = 1cm e AD = 2cm ; o ângulo ABC mede 120º ; e o segmento CD é perpendicular aos segmentos D e BC. Então, é CORRETO afirmar que o comprimento do segmento BD é a) √3 cm b) √5/2 cm c) √6/2 cm d) √2 cm

71. (UFJF) – Considere o quadrado ABCD de lado √2

cm , na figura abaixo. Determine a área do triângulo ABP, sabendo-se que a medida do segmento CP é √2 cm.


636

72. (F.I. Vitória-ES) – Num retângulo cuja medida da base é o dobro da medida da altura, foram diminuídos 5 cm da altura e 10 cm de base, obtendo-se assim uma redução de 350 cm2 na sua área inicial. A área do retângulo original era:

a) 800 cm2 d) 750 cm2 b) 700 cm2 e) 650 cm2 c) 400 cm2

Polígonos

73. Calcule o número de diagonais dos polígonos

abaixo: a) Pentágono b) Heptágono b) Dodecágono c) Hexágono

74. (ACAFE) – Diagonal de um polígono é o segmento

de reta que une dois vértices não consecutivos do polígono. Se um convexo tem 9 lados, qual o número total de diagonais? a) 18 b) 20 c) 24 d) 27 e) 36

75. (PUC – SP) – Qual é o polígono em que o número de diagonais é o dobro do número de lados? a) Dodecágono d) pentágono b) Octógono e) heptágono c) hexágono.

76. (PUC – SP) – Cada ângulo interno de um

decágono regular mede: a) 36º b) 60º c) 72º d) 120º e) 144º

77. (PUC – PR) – A soma dos ângulos internos de um

hexágono regular é: a) 1080º b) 540º c) 360º d) 180º e) 720º

78. O número de diagonais e a soma dos ângulos

internos de um decágono convexo valem, respectivamente: a) 35 e 1440º d) 70 e 1440º b) 40 e 1260º e) 45 e 1860º c) 35 e 1480º

79. O polígono convexo cuja a soma dos ângulos

internos mede 1440º tem, esatamente: a) 15 diagonais d) 20 diagonais b) 25 diagonais e) 30 diagonais c) 35 diagonais

80. (MACK - SP) – Os ângulos externos de um

polígono regular medem 20º. Então, o número de diagonais desse polígono é: a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 152

81. (FUVEST – SP) – Dois ângulos internos de um

polígono convexo medem 130º cada um e os

demais ângulos internos medem 128º cada um. O número de lados do polígono é: a) 6 b) 7 c) 13 d) 16 e)17

82. (ITA) – A soma dos ângulos internos de um

polígono regular é 2 160º. O número de diagonais desse polígono que não passa pelo seu centro é: a) 40 b) 50 c) 60 d) 70 e) 80

83. O número de diagonais de um polígono que possui a soma dos ângulos internos igual a 3240º é:

a) 140 b) 150 c) 160 d) 170 e) 180

84. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 720, então calcule o valor de n.

85. Calcule a soma dos ângulo assinalados na figura:

Área de Polígonos

86. A área, em cm2, de um triângulo equilátero de

lado 10cm é: a) 25√3 b) 25 c) 100√3 d) 20√3 e) 10

87. Calcule a área do desenho e a real das seguintes

figuras: (Escala: 1:3)

88. Calcule a área de um triângulo eqüilátero que

tem altura cmh 32= .

89. Calcule a área de um triângulo eqüilátero que

tem altura cmh 38= .

90. Se um retângulo possui os lados representados

por x + 4 e x – 6 e tem área igual a 56, calcule o valor de x.

91. Um triângulo ABC tem lados AB = 10 cm, AC =

8 cm e BC = 7 cm. Determine a sua área e a medida da altura relativa ao maior lado.

92. (UFRGN) - Um terreno de 72m2 de área é

formado por 8 quadrados congruentes (veja figura abaixo).


637

A cerca que delimita o terreno (em negrito na figura) mede:

a) 51m b) 36m c) 48m d) 27m e) 62m

93. (VUNESP – SP) – O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4km2. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida dos seus lados estaria entre: a) 200m e 201m d) 220m e 221m b) 401m e 402m e) 632m e 633m c) 802m e 803m

94. (UFCE) – Quantos azulejos quadrados, medindo

15cm de lado, são necessários para revestir uma área retangular que mede 90cm de comprimento e 120cm de largura?

95. Um triângulo ABC tem lados AB = 13 cm, AC =

12 cm e BC = 15 cm. Determine a sua área e a medida da altura relativa ao maior lado.

96. (FUVEST) – Aumentando-se os lados a e b de um

quadrado de 15% e 20% respectivamente, a área do quadrado é aumentada em:

a) 35% b) 30% c) 3,5% d) 3,8% e) 38%

97. (FUVEST) Aumentamos a altura de um triângulo em 10% e diminuímos a sua base em 10%. Então a área do triângulo a) aumenta 1% d) aumenta 0,5% b) decresce 0,5% e) decresce 1% c) não se altera

98. (UFSC) – A base de um triângulo mede 132 m e

sua altura, em metros, é h. Se a base for aumentada em 22 m e a altura, em 55m, obtém-se um novo triângulo cuja área á o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h.

99. (UNICAMP – SP) – Na planta de um edifício em

construção, cuja escala é 1 : 50, as dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8cm. Calcule em m2 a área real da sala projetada.

100. (FUVEST – SP) – Os lados de um retângulo de

área 12 m2 estão na razão 1 : 3. Qual o perímetro do retângulo? a) 8m b) 12m c) 16m d) 20m e) 24m

101. (UEL) – Dois quadrados, com os lados

respectivamente, paralelos, interceptam-se como mostra a figura a seguir. Se AM = MD, HM = ME e as áreas desses quadrados são 100 m2 e 144 m2, a área do quadrilátero MDNE, em centímetros quadrados, é igual a:

a) 30 b) 50 c) 60 d) 80 e) 120 102. (FUVEST ) – Dos irmãos herdaram um terreno

com a seguinte forma e as seguintes dimensões:

AD = 20 m AB = 60 m BC = 16 m

Para dividir o terreno em duas partes de mesma área, eles usaram uma reta perpendicular a AB. Para que a divisão seja feita corretamente, a distância dessa reta ao ponto A, em metro, deverá ser: a) 31 b) 32 c) 33 d) 34 e) 35

103. Calcule a área de um hexágono regular que

possui o lado igual a 2 m.

104. Calcule a área da região hachurada na figura:

105. (INATEL – MG) – A figura abaixo é a planta de

um salão na escala 1 : 20. A área deste salão é: a) 5 600 cm2 b) 56 m2 c) 72 m2

d) 36 m2 e) 24 m2

106. (UFJF 2005) – Considere um outdoor de uma propaganda publicitária, construído em formato retangular, com área de 104 m² e com um dos lados 5m maior do que o outro. Sobre a medida x do maior dos lados deste outdoor, pode-se afirmar: a) 9 ≤ x ≤ 11. b) 6 ≤ x ≤ 8. c) 12 ≤ x ≤ 14. c) x ≥ 26.


638

e) x ≤ 6. 107. Calcule a área da figura abaixo, sendo as

medidas dadas em cm.

108. (PUC – PR) A área do retângulo DEFB é:

a) 120 b) 20 c) 180 d) 24 e) 160 109. Determine a área do trapézio retângulo abaixo:

a) 696 b) 576 c) 466 d) 786 e) 236

110. (UFPE) Na ilustração a seguir, temos um retângulo ABCD, com medidas AB = 12 e BC = 5, e duas faixas retangulares EFGH e IJKL, com EF e JK de mesma medida. Se a área da região sombreada e a da região do retângulo ABCD exterior à área sombreada são iguais, qual a medida de EF?

a) 1,8 b) 1,9 c) 2,0 d) 2,1 e) 2,2

111. (UECE) – Na figura o retângulo ABCD foi divido em quatro regiões X, Y, Z e W

Se X e Y são quadrados de 81m2 e 144m2, respectivamente, e Z é um triângulo com 102m2 de área, então a área da região W é:

a) 327m2 d) 319m2 b) 309m2 e) 282m2 c) 331m2

112. (Fatec-SP) – Comprei um terreno de forma

retangular que tem 15 m de frente por 40 m de profundidade. Nesse terreno, construí uma casa que tem a forma de um losango, com diagonais medindo respectivamente 12 m e 24 m, uma piscina de forma circular com 4 m de raio e um vestiário, com a forma de um quadrado, com 3,5 m de lado. Todo o restante do terreno será gramado. Se o metro quadrado da grama custa R$ 2,40, a quantia gasta para comprar a grama será, aproximadamente: a) R$ 645,10 b) R$ 1005,50 c) R$ 795,60 d) R$ 1376,20 e) R$ 944,40

113. Num retângulo, cuja área é 65 m2, a base é 3 metros menor que o dobro da sua altura. A sua base mede: a) 5 b) 10 c) 15 d) 8 e) 4

114. (UNIFAL/2006) – Na geometria plana, quando

são conhecidos os lados a , b e c de um triângulo qualquer, é possível calcular a área S , sem necessidade da determinação de qualquer ângulo,

através da fórmula , onde 2p = a + b + c. Considere um terreno triangular de lados 2x – 1, x + 1, x , conforme a figura abaixo, cuja área e perímetro são iguais em valor numérico.

É correto afirmar que a área do terreno é igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 38 e) 36

115. (USF) – Um terreno na forma abaixo foi

deixando como herança para duas pessoas.


639

Deverá, portanto, ser dividido em duas partes de áreas iguais por uma reta EF, paralela ao lado AB. Sendo AD = 60m, BC = 100m e CD = 50m, DE medirá, em metros a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

116. (UFMG) – Um mapa está desenhado em uma

escala em que 2 cm correspondem a 5 km. Uma região assinalada nesse mapa tem a forma de um quadrado de 3 cm de lado. A área real dessa região é de:

a) 37,50 km2 b) 56,25 km2 c) 67,50 km2 d) 22,50 km2 117. (UFMG) – O comprimento de uma mesa

retangular é o dobro de sua largura. Se a mesa tivesse 45cm a menos de comprimento e 45 cm a mais de largura, seria quadrada. Assim sendo, a área da mesa é de: a) 1,62m2 b) 1,45m2 c) 1,58m2 b) 1,82m2 e) 1,94m2

118. (UFJF/2006) – Seja o triângulo de base igual a

10 m e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo um lado contido na base do triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual a:

a) 10/3 b) 5/2 c) 20/7 d) 15/4 e) 15/2 119. (UFJF/2006) – Uma empresa trabalha com

placas de publicidade retangulares, de lados iguais a x + 3 e 2x – 4 metros.

a) Determine os valores de x, para que a área da placa varie de 12 m2 a 28 m2.

b) Determine as medidas dos lados da placa de 28 m2.

Círculo e Circunferência

120. Dada uma circunferência de raio igual a 3cm, Calcule o seu comprimento. (Usar π = 3,14).

121. Um círculo de diâmetro igual a 16cm, Calcule a

sua área. (Usar π = 3,14).

122. Calcule o raio do círculo inscrito num triângulo equilátero de lado 3cm.

123. Uma praça circular tem 200 m de raio. Quantos

metros de grade serão necessários para cercá-la?

124. Calcule a área e o comprimento de uma

circunferência que tem um diâmetro igual a 10cm. (Considere π = 3,1)

125. Num círculo de raio 4cm inscreve-se um quadrado e circunscreve-se um triângulo equilátero. Calcule a razão entre a diagonal do quadrado e o lado co triângulo.

126. (UEL 2004) – Dois círculos concêntricos têm

raios 3 e 5 centímetros. Desenha-se um segmento de reta, com maior comprimento possível, inteiramente contido na região interna ao círculo maior e externa ao círculo menor. Qual o comprimento desse segmento?

127. O comprimento da linha do equador da Terra

tem aproximadamente 40.000 km. Qual é o raio da Terra? Qual é o diâmetro da Terra? Uma pessoa que anda na linha do equador percorrendo 10 km por dia, quantos séculos demoraria para dar uma volta completa no planeta Terra?

128. Na figura abaixo tem-se um quadrado de lado

4m e uma parte de um círculo nele inscrito. Determinar a área da superfície pintada. (Considere π = 3,1).

129. a) Calcule a área de um triângulo eqüilátero

que tem altura cmh 36= .

b) Se o triângulo do item a) for inscrito em um círculo, qual será o diâmetro desse círculo?

c) Se o círculo do item b) inscrito num quadrado qual será a medida da diagonal desse quadrado?

130. Se a roda juntamente com o pneu de uma motocicleta tem um diâmetro de 50cm, calcule quantas voltas completas ela dará se esta motocicleta percorrer 150km.

131. Determine a área hachurada em função de r.

132. Uma pista de ciclismo tem formato circular de

raio 25m. Numa determinada competição Paulo dará 40 voltas completas nesta pista. Sabendo que sua bicicleta tem pneus circulares iguais de raio 40cm, quantas voltas completas terá dado o pneu da bicicleta de Paulo quando ele terminar a prova? (Use π = 3).

133. Considerando um triângulo eqüilátero de lado

igual a 8cm. Calcule: a) sua área; b) sua altura;

r r


640

c) o raio da circunferência inscrita no triângulo.

134. Joaquim comprou um terreno que tem a forma de um círculo de diâmetro igual a 120m. Joaquim deseja plantar gramas em seu terreno e, fazendo um pesquisa de preço constatou que gastará R$ 10,50 por m2 de grama. Qual a quantia total, em reais, que Joaquim gastará para gramar seu terreno?

135. (UEL-PR) - Calcular o perímetro, em

centímetros, de um hexágono regular, sabendo que nele está inscrito um círculo de 5cm de raio.

136. João comprou um terreno que tem a forma de

um círculo de diâmetro igual a 20m. Para cercar seu terreno, João precisava comprar arames afim de montar a cerca. Na loja, cada metro do arame custa R$ 2,00. Sabendo que João deverá dar duas voltas completas de arame no seu terreno, quanto gastará na loja?

137. Calcule a área do círculo nas figuras abaixo.

138. Calcule a área da região indicada, sendo as

medidas dadas em cm:

139. Calcule o valor da área pintada nas figuras

abaixo: 140. Calcule o valor da área pintada nas figuras

abaixo:

141. (Unifor-CE) – Na figura abaixo têm-se dois

círculos concêntricos, de raios iguais a 4 cm e 8 cm, e a medida de um ângulo central, em radianos, igual a π/10. A área da superfície sombreada, em centímetros quadrados, é igual a:

142. (UNICAMP 2005/2ªFase) – Sejam A, B, C e D

os vértices de um quadrado cujos lados medem 10cm cada. Suponha que a circunferência C passe pelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB. a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são

C, D e M. b) Calcule o raio da circunferência C.

143. (UNESP) A figura representa um canteiro de

forma circular com 5 metros de raio. O canteiro tem uma região retangular que se destina à plantação de flores e uma outra região, sombreada na figura, na qual se plantará grama. Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros.

a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores. b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$ 3,00, determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação π = 3,2).

144. Na figura a seguir, tem-se 3 círculos

concêntricos em O. Sabendo-se que o diâmetro do círculo maior é o triplo do diâmetro do círculo menor, que o diâmetro do círculo do meio vale 6m e que soma desses diâmetros é 18m, calcular a área da região hachurada, em cm2.


641

A B

D C

O

145. (UFLA 2005/2ª Fase) – Uma das faces de uma

medalha circular tem o desenho ao lado. A região hachurada é de ouro e a não-hachurada é de prata. Sabendo que os contornos das áreas hachuradas são semicírculos, as áreas das superfícies de ouro e de prata são, respectivamente, em cm2:_________ e __________

146. Um retângulo de 28cm de perímetro está

inscrito em uma circunferência de 10πcm de perímetro. A área do retângulo, em cm2, mede: a) 48 b) 96 c) 100 d) 171

147. Calcule a área, em cm2, de um hexágono

regular circunscrito numa circunferência de área igual a 8π cm2.

148. (UFJF/2006) – Testes efetuados em um pneu

de corrida constataram que, a partir de 185.600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente: a) 93 km. b) 196 km. c) 366 km. d) 592 km. e) 291 km.

149. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, tem-se um

círculo de 3 cm de raio e quatro triângulos equiláteros com vértices no centro desse círculo.

A área da região hachurada, em cm2 é: a) 4π b) 6π c) 2π d) 5π e) 3π

150. (UNIFAL/2006) – Na figura abaixo, as três

circunferências têm 1 cm de raio e são tangentes entre si e aos lados do triângulo ABC.

a) O triângulo ABC é eqüilátero? Justifique sua

resposta. b) Determine as medidas do lado e da altura do

triângulo ABC. c) Girando o triângulo ABC de um ângulo de °

180 em torno da altura relativa ao lado BC , obtém-se um cone. Calcule o volume desse cone.

151. (EFOA/2004) – Suponha que uma mancha de

óleo sobre a superfície da água tenha a forma de um disco de raio r (em cm). Se o raio cresce em função do tempo t(em min), obedecendo à relação r(t) = 15t + 0,5, a área ocupada pela mancha, depois de 2 minutos, em cm2, será: a) 940,25π d) 420,25π b) 450,25π e) 930,25π c) 910,25π

152. (FMTM/2003) - Um círculo tem seu centro em

um vértice de um triânguloeqüilátero de lado 2 de tal maneira que metade da área do triângulo está no interior do círculo. A área desse círculo vale:

Dados: ATriângulo Equilátero = L2√3/4 L – lado do triângulo

a) 3√3 b) 2π c) 6√3 d) 4π e) 9√3

153. (UFMG 2005) – Observe esta figura:

Nessa figura, o quadrilátero ABCD tem como vértices os pontos médios dos lados do retângulo EFGH, que, por sua vez, está inscrito em uma


642

circunferência. O segmento AC e o raio dessa circunferência medem, respectivamente, 12 cm e 7 cm . Assim sendo, é CORRETO afirmar que a área do quadrilátero ABCD, em cm2 , é

a) 6√13 b)8 √13 c)12√13 d)4√13

154. (UNESP/2005) - Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é: a) π - 1 b) π + 1 c) 2π - 1 d) 2π e) 2π + 1

155. (Fuvest-SP/2000) - Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então, a área da região hachurada é:

a) π + 2 2 b) π + 2 c) π + 3 d) π + 4 e) 2π + 1

156. (FUVEST) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero de lado igual a 2. MN, NP e PM são arcos de circunferência com centro nos vértices A, B e C, respectivamente e, de raios todos iguais a 1. A área da região sombreada é:

157. (UFMG/2003) - Nesta figura, o triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência de raio 2: Então, a área da região hachurada é:

158. (FAAP – SP) – Na campanha eleitoral para as

recentes eleições realizadas no país, o candidato de um determinado partido realizou um comício que lotou uma praça circular com 10 metros de raio. Supondo que, em média, havia 5 pessoas/m2, uma estimativa do número

de pessoas presentes a esse comício é de, aproximadamente:

a) 78 500 d) 100 000 b) 127 000 e) 10 000 c) 157 000

159. (PUC-PR) Um setor circular com arco de 36º e

raio igual a 1m tem como área:

a) π/2 m2 b) πm2 c) π/10m2

d) 2πm2 e) π/5m2

160. (CEFET-PR) Se um setor circular tem raio α e área S, o ângulo do setor vale:

a) 2S b) S_ c) πa2

a2 a2

d) 2πa2 e) 2πSa2

S

161. (UFV – MG) Aumentando-se 1 m no raio r de uma circunferência o comprimento e a área, respectivamente, aumentam:

a) 2π m e 2 (r + 1)π m2 d) 2π m e (2r + 1)π m2 b) 2π2 m e (2r + 1)π m2 e) 2π m e (2r2 + 1)π m2 c) 2π m2 e (r2 + 1)π m2

162. (FEI – SP) Três circunferências de raio r estão dispostas no interior de outra circunferência de raio R, conforme a figura a seguir. Qual o valor da razão K = R/r?

a) 2√3 b) 1 + 2√3 c) 2 + 2√3 3 3 3 d) 3 + 2√3 e) 1 + 3√3 3 3

163. (UNIJUÍ – SP) O comprimento da circunferência

representada na figura é: a) 49π unidades de comprimento; b) 2π√3 unidades de comprimento; c) 14π unidades de comprimento; d) 7π√3 unidades de comprimento; e) 14π√3 unidades de comprimento.

3

323)

3

343)

3

332)

3

334)

−−

−−

ππ

ππ

dc

ba


643

164. (UFPE) Num círculo, inscreve-se um quadrado de lado 7 cm. Sobre cada lado do quadrado, considera-se a semicircunferência exterior ao quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 3,5 cm, como na figura a seguir. Calcule a área da região hachurada:

165. (UFMA) O comprimento da curva representada pela figura é:

a) 53π b) 60π c) 120π d) 43π e) 96π

166. (UFMT) – A etiqueta do CD mostrado na figura tem a forma de uma coroa circular cujo diâmetro da circunferência externa mede 11,8 cm e da circunferência interna 3,6 cm. Considerando π = 3,14, determine o número inteiro mais próximo da medida (em cm2) da área da etiqueta.

167. (PUC-PR) – Sendo O o centro da circunferência

de raio unitário, a área do triângulo retângulo ABC que tem o cateto AC no diâmetro, vale:

168. Calcular o comprimento, em cm, de um arco

de 36º e de raio igual a 40cm

Ângulos na Circunferência

169. Calcule o valor de x na figura a seguir:

170. Calcule x na figura abaixo:

a) 110º b) 65º c) 70º d) 50º e ) 55º 171. Complete os valores indicados em cada figura

abaixo:


644

172. (CESGRANRIO – RJ) Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. A soma, em radianos, dos ângulos a e b mostrados na figura é: a) π/4 b) π/2 c) π d) 3π/2 e) 2π

173. Calcule o valor de x na figura abaixo:

a) 70º b) 35º c) 50º d) 55º e) 65º

174. (CESGRANRIO – RJ) – Em um círculo está

inscrito um quadrilátero ABCD. Sobre a soma cos ângulos opostos BAD e BCD, podemos afirmar que vale:

a) 5x180º b) 3x180º c) 2x180º d) 180º e) 90º

175. (UFG – GO) – Se a corda AB da figura é um

lado de um triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro C, a medida do ângulo a, em radianos, é:

a) 2π/3 b) 3π/2 c) 3π/4 d) π/3 e) π/6

176. Na figura abaixo, a valor de x, em graus, é:

a) 150 b) 30 c) 120 d) 130 e) 160

177. Calcule o valor de x na figura a seguir:

178. Dê a medida, em graus, dos ângulo x e y assinalados na figura, sendo AB o diâmetro da circunferência.

x = y =

179. Dê a medida, em graus, dos ângulo x e y

assinalados na figura, sendo AB o diâmetro da circunferência.

x = y =

Potência de Pontos na Circunferência

180. Calcule x:

181. Na figura abaixo, temos os segmentos PA e PB ambos tangentes à circunferência. Pode-se dizer que o valor de x é:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 13

182. Determine o valor de x na figura:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


645

183. Determine x nos casos a seguir, onde os

segmentos são tangentes às circunferências:

184. Na figura abaixo, AT é tangente ã circunferência de raio r. Sabendo-se que AT = 2r, então o valor de AC é:

a) (√5 + 1) r b) 1 + 2r c) r2 d) √5r e) (√5 – 1) r

185. Na figura abaixo, são dadas AE/EC = 1/3, BE = 8 cm e ED = 6 cm. O comprimento de AC, em cm, é:

a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20

186. (UFG – GO) – Uma corda AB de um círculo mede 6 cm e a distância desse coda ao centro do círculo é de 3 cm. O raio do círculo, em cm, é:

a) 5√3 b) 3√2 c) 8 d) 3√5 e)6 187. (UDESC – SC) Duas cordas AB e CD, de uma

circunferência, se interceptam num ponto P sendo PB o dobro de AP, CP igual a AB e DP = 4cm. A medida de CD, em cm, é:

a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22

188. (MACK – SP) – A área do trapézio da figura é 12√2. A área da parte sombreada é:

a) π b) 2π c) 3π d) 4π e) 5π

189. Calcule x na figura a seguir:

190. (UDESC – SC) Duas cordas AB e CD, de uma circunferência, se interceptam num ponto P sendo PB o dobro de AP, CP igual a AB e DP = 4cm. A medida de CD, em cm, é: a) 12 b) 24 c) 18 d) 6 e) 22

GABARITO 1) a) x = 36º e y = 108º b) x = 10º e y = 35º c) x = 30º e y = 20º d) x = 10º e y = 5º e) x = 50º e y = 150º f) x = 18º e y = 27º 2) 20º 3) B 4) x = 60º e cada ângulo é 170º 5) 38,88...º 6) 80º 7) C 8) a) 140º b) 39,5º c) 80º 9) 100º 10) 50º 11) 30º 12) 120º 13) 36º 14) B 15) B 16) 130º 17) 90+x 18) 40º 19) 150º 20) C 21) 100º 22) D 23) A=C= 48º e B=84º 24) 40º 25) 6cm 26) 22cm 27) C 28) A 29) E 30) D 31) 146º 32) 150º 33) a) x = 4/7 b) x = 1/2 e y = 90 34) y = 6 e x = 8/3 b) x = 5/2 e y = 13 35) D 36) a) 2,8 b) 16/5 37) x = 2/3 e y = 16 38) x = 36 e y = 54 39) 20m 40) 6m 41) A 42) B 43) B 44) 3m 45) 45 46) A 47) C 48) x = 2 e y = 8 49) C 50) a) 2,25m b) 13,8 m2 51) C 52) A 53) 5(16 – x)/3 54) B 55) 4 56) A

57) D 58) D 59) C 60) a) 5 b) 5√5 c) 4√11 d) √105

61) 2m 62) 2√15 63) 74m 64) 6, 8 e 10

65) 4√10 66) a) 3√34/34 b) 5√34/34 67) 20√2

68) 36m 69) x = 1 e α = 30º

70) A 71) 2 - √2 72) A 73) a) 5 b) 54 c) 14 d) 9 74) D 75) E 76) E 77) E 78) A 79) C 80) D 81) B 82) D 83) D 84) 6 85) 360º 86) A 87) a) 10cm2 e 90 cm2- b) 14 cm2 e 126 cm2 c) 6 cm2 e 54 cm2

88) 4√3cm2 89) 64√3cm2 90) 10 91) A = 15√55/4 e

h = 3√55/4 92) C 93) E 94) 48 95) A = 20√14 e h

= 8√14/3 96) E 97) E 98) 77m 99) 20m2

100) C 101) A 102) D 103) 6√3cm2 104) 56u.a. 105) C 106) C 107) 16 108) A 109) A 110) C 111) E 112) E 113) B 114) E 115) C 116) B 117) A 118) A

119) a) 3 ≤ x ≤4 b) 4 e 7

120. 12,84 121. 200,96 122. √3/2 123. 400m 124. A=77,5cm; C=31cm 125. √3/3 126. 8 127. R=20.000/ π; D = 40.000/ π; 0,109 século 128.16-4π 129. a) 62√3;b)8√3; c)8√6 130) 300.000/π 131. r2(2- π/2) 132. 62,5 133. a)16√3 b)4√3 c) R=(4√3)/3 134. 37.800π 135. 20√3 136. 80 π 137. a) 2 π; b) 25 π/4 138. 42 - 4 π 139. a)2 π; b) 50π;c) 2π-1


646

140. a) 64(4-π); b) 50 π;c)128 π 141. C 142. a)50;b)25/3 143. a) BD=3;A=24; b) 168 144. 81 π/2 145. 1,47;294 146. A 147. 32√3 148. A 149. E 150. a)demonstração; h=r(3+√3). l= 2(1+√3) c) v=

(18+10√3) πR/3 151. E 152. A 153. C 154. C 155. B 156. √3-π/2 157. A 158. C 159. C 160. A 161. D 162. D 163. C 164. A=39 165. A 166. 99 167. E 168. 8π 169. 75° 170. C 171. a) 75/;b)60;c)24e48;d)66;f)90;g)30 172. C 173. B 174. D 175. E 176. A 177. 75 178. x=55°;y=35° 179. x=140°;y=20° 180. 15/4 181. C 182. E 183. a)15;b)2 184. E 185. c 186. B 187. E 188. D 189. 10/3 190. E

TRIGONOMETRIA

Trigonometria no Triângulo Retângulo

01. (UFPR) Considerando o triângulo retângulo a seguir, pode-se afirmar que sen β vale: (mostrar resolução)

a) 0,4 b) 0,5 c) 0,8 d) 0,7 e) 0,6

02. Considerando o triângulo retângulo abaixo, calcule senx, cosx e tgx.

03. Uma escada deverá ser apoiada no topo de um prédio de 60 m de altura formando com o solo um ângulo de 60º. Determine quantos metros de comprimento precisa ter a escada.

04. (UFSC) – Uma escada de 8 m de comprimento

forma um ângulo de 30º com um muro vertical em que se apoia (no topo). Sendo o solo plano, então a altura do muro em que a escada está apoiada vale:

(Dado: sen 30º = 1/2, cos 30º = √3/2, tg 30º = √3/3) a) 2√3m b) 3√2m c) 4√3m d) 5m e) nda

05. Num triângulo ABC, retângulo em a, a hipotenusa

mede 4 e o ângulo C vale 30º. Calcule a medida dos catetos deste triângulo.

06. Um foguete é lançado sob um ângulo constante de 30º. Quantos metros terá percorrido, em linha reta, quando atingir a altura de 3km?

07. Um pessoa de 1,50m de altura, situada a 100m

de uma torre, avista seu topo sob um ângulo de 60º com a horizontal. Então a altura da torre é igual a: (Dados: sen 60º = 0,86, cos 60º = 0,50 e tg 60º = 1,73)

a) 174,5 b) 173,2 c) 86,6 d) 50,0 e) 17,45

08. Na figura abaixo calcule a medida do lado AB, sabendo que AC = 6cm e o ângulo B = 15º. (sen15º = 0,26; cos 15º = 0,96; tg 15º = 0,27).

09. (EFOA 2005/2) – Uma maneira rudimentar e eficiente para se medir o ângulo de inclinação de uma rua R, em relação à horizontal H , é construir um triângulo retângulo, como mostra a

figura abaixo, onde e o segmento OA é perpendicular ao segmento AB .

A tangente do ângulo α vale: (mostrar resolução) a) 0,95 b) 0,85 c) 0,75 d) 0,65 e) 0,55

10. (UFMG/2001) - No triângulo ABC, o ângulo ABC é

reto, BC = 5√6 e cos ( BÂC ) = 15

3 .

Considerando esses dados, CALCULE o comprimento do cateto AB.

11. (CESGRANRIO) – Na figura acima está

representado o retângulo ABCD. Sobre o lado DC foi marcado o ponto P, de modo que a medida de DP corresponde ao triplo do lado AD, enquanto a medida de CP vale o dobro de BC. O ângulo APB mede, em radianos: a) π/2 b) 2π/3 c) 3π/4 d) 5π/6 e) 8π/9

12. Determinar, na figura, a medida do segmento

BD:


647

13. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 5m do solo, forma com essa parede um ângulo de 30º. Qual é o comprimento da escada, em metros?

14. Na figura abaixo, calcule x em função de R e α

15. (UNIFAL/2006) – Um passageiro em um avião

avista duas cidades A e B sob ângulos de 15º e 30º, respectivamente, conforme a figura abaixo.

Se o avião está a uma altitude de 3 km, a

distância entre as cidades A e B é: a) 7 km b) 5,5 km c) 5 km d) 6,5 km e) 6 km

16. (UNESP) - Três cidades, A, B e C, são interligadas

por estradas, conforme mostra a figura.

As estradas AC e AB são asfaltadas. A estrada CB é de terra e será asfaltada. Sabendo-se que AC tem 30 km, que o ângulo entre AC e AB é de 30º, e que o triângulo ABC é retângulo em C, a quantidade de quilômetros da estrada que será asfaltada é: a) 30√3 b) (10√3)/3 c) 10√3 d) 8√3 e) (3√3)/2 17. Uma árvore partida pelo vento, mantém seu

tronco perpendicular ao solo formando com ele um triângulo retângulo. Se a parte quebrada faz um ângulo de 60º com o solo e se o topo da árvore está agora distanciado 10 m de sua base,

qual era aproximadamente a altura original da árvore?

Arcos e Ângulos

18. (USP) Convertendo-se 30º15’ para radianos, (π = 3,14) obtém-se:

a) 0,53 b) 30,15 c) 1,10 d) 3,015 e) 0,26

19. (ITA) Transformar 12º em radianos.

20. (FUVEST) Quantos graus mede, aproximadamente, um arco de 0,105 rad.

21. (PUC) Dar o ângulo formado pelos ponteiros de

um relógio às 12h e 15 min.

22. Obter o ângulo formado pelos de um relógio às 8h e 20min

23. (MAUÁ) Quantos radianos percorre o ponteiro das

horas de um relógio de um relógio de 1h e 5min até 2h e 45min.

24. (OSEC) Dar o menor ângulo formado pelos

ponteiros de um relógio às duas horas e 15 min.

25. (FUVEST) O ângulo formado pelos ponteiros de um relógio à 1h e 12 min é:

a) 27º b) 30º c) 36º d) 42º e) 72º

26. Quais são os arcos positivos menores que 1500º, côngruos (mesma extremidade) de – 60º.

27. Determinar o comprimento do arco AB, tomando

na circunferência de centro O. (adotar π = 3,14)

28. Qual é o raio da circunferência, sabendo que o comprimento do arco AB indicado é igual a 12cm?

Lei do Senos e Lei dos Cossenos

29. Na figura abaixo, calcule o valor de BC sabendo que O ângulo A = 45º o ângulo B = 30º e AC = 10cm.


648

30. Na figura abaixo, calcule o valor do lado AB sabendo que AB = 8, BC = 7 e o ângulo B = 60º.

31. (UNICAMP – SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio pra uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60º. Se a idéia é bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários?

a) 80m b) 70m c) 50m d) 90m e) 60m

32. Num triângulo ABC, o ângulo BCA mede 60º e o lado AC mede 12cm. Calcule a altura referente ao lado BC.

33. (FEI – SP) No triângulo da figura seguinte, a = 4,

b = 3√2 e C = 45º. Então a medida c vale: a) 10 b) 2√10 c) √10 d) 2√5 e) nda

34. (FGV – SP) No triângulo da figura abaixo, a

medida de x é igual a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

35. (CESCEA – SP) Num triângulo ABC onde AB = 2cm, AC = 3cm e o ângulo A é 60º, o quadrado do lado BC, em cm2, vale:

a) 7 b) √7 c) 7√7 d) 72 e) 0,7

36. (UEPG – PR) Na figura abaixo o valor de b é: a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) 1/4

37. O raio da circunferência que contém três pontos A, B e C, sabendo que BC = 15 m e BÂC = 150º, vale: (sen 150º = sen 30º)

a) 25 b) 15 c) 30 d) 45 e) 35

38. (UFSC) Num triângulo ABC, o ângulo A mede 85º e a medida do ângulo B é 2 / 5 da medida do ângulo A. A medida do ângulo C é igual a:

a) 34º b) 61º c) 119º d) 13º e)59º

39. (PUC – SP) A diagonal de um paralelogramo divide um dos ângulos internos em dois outros, um de 60º e outro de 45º. A razão entre os lados menor e maior do paralelogramo é: a) √3 / 6

b) √2 / 2 c) 2√3 / 9 d) √6 / 3 e) √3 / 3

40. Um navio, navegando em linha reta, passa

sucessivamente pelos pontos A, B e C. Quando o navio está em A, o comandante observa o farol em L, e calcula o ângulo LAC = 30º. Após navegar 4 milhas até B, verifica-se o ângulo LBC = 75º. Quantas milhas separa o farol do ponto B?

41. (UFPR) De um triângulo, dá-se um lado de

comprimento igual a 2 e os ângulos adjacentes a esse lado que valem 30º e 135º. Os comprimentos dos outros dois são:

(sen 135º = sen 45º) a) 2(√3 + 1) e √3 + 1 b) √2 (√3 – 1) e 2 (√3 + 1) c) √2 (√3 + 1) e 2 (√3 + 1) d) √ (√3 – 1) e 2 (√3 – 1) e) nda

[Obs.: sen 15º = √2(√3 – 1) / 4]

42. (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB=80km e AC=120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura acima. Logo, à distância entre B e C, em km, é: a) menor que 90 b) maior que 90 e menor que 100 c) maior que 100 e menor que 110 d) maior que 110 e menor que 120 e) maior que 120

43. (UFJF 2005) – Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m, e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado desse triângulo mede:

a) 2 √21 m. b) 2 √31 m. c) 2 √41 m. d) 2 √51 m. e) 2 √61 m.

44. (UFV/PASES) – Em um triângulo isósceles

obtusângulo, o lado oposto ao ângulo de 120º mede 6 cm. A área desse triângulo, em cm2 mede:

a) 2√3 b) 6√3 c) 4√3 d) 3√3 e) 5√3 Relações Trigonométricas Principais e Secundárias – Funções Trigonométricas

45. (UFGO) Simplificando a expressão tg a + tg b_; obtém-se: cotga + cotgb a) tg a . tg b b) b) cotg a . cotg b c) c) tg (a + b) d) b) cotg (a + a) e) e) tga . cotg b

46. (MACK-Modificado) O valor da expressão: M =

_cos 45º_ + _cos 45º_ . _sen 0º_ é: sen 45º sen 60º cos 15º a) par


649

b) divisível de 2 c) divisor de 3 d) primo e) negativo

47. Calcule o valor numérico da expressão abaixo:

48. (FATEC – SP) – Sejam x, y ∈ R. encontre o valor de y sabendo que: a) sec2x b) tgx c) 0 d) 1 e) cossec2x

49. (UFLA/2003) – O valor da expressão

1 )x(cos - 1

1 -

)x(tg

12

2

+

é de

a) sen2(x) b) cos2(x) c) 0 d) 1 e) sec(x)

50. (FAENQUIL – SP) – Simplificando a expressão abaixo, obtém-se: a) tga b) cotga c) seca d) cosseca e) sena

51. (UFSJ 2005) –

Se em que a, b e q são as respectivas medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo, então E2 é igual a: a) 1/4

b) c) 1

d)

52. A expressão abaixo, é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

53. (VUNESP) Se x, y são números tais que:

a) y = sec2x b) y = tg2 x c) y = cos2 x d) y = cossec2 x e) y = sen2 x

54. (UNESP) Se x e y são dois arcos complementares, então podemos afirmar que A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a:

a) 0 b) ½ c) 3/2 d) 1 e) 2

55. Sendo cos = 1 / 3, calcular y=cossecx – sec x_ cotg x – 1

56. Os quadrantes que se encontram os ângulos 2040º, 2170º e – 2920º são respectivamente: _____, ____ e ____.

57. Coloque V para verdadeiro e F para falso: ( ) sen 315º = 1/2 ( ) cos 120º = - 1/2 ( ) tg 210º = -√3/3 ( ) tg 45º + tg 135º = 0 ( ) sem 120º > cos 120º

58. Coloque V se verdadeiro ou F se falso justificando

sua resposta. ( ) sen 55º > sen 45º ( ) cos 135º > 0 ( ) cos 1400º < 0 ( ) sen 2π + cos 2π = 4π ( ) (sen 20º).(cos200º) < 0 ( ) Se cos x = 0, então x = 0º ou x = 180º, considerando uma volta no ciclo trigonométrico. ( ) cos 1 = cos 1º

59. Calcule o valor numérico da expressão E = sen

90º - cos 120º + tg225º

60. Qual o valor numérico da expressão

ππ

πππ

2cos82

34

2cos3cos

−

+−

sen

sen

61. Se sen x = 1/4 e x é do 2º quadrante, qual o

valor de cos x?

62. Sendo cosx = 1/3 e x é um arco do 4º quadrante, calcule o valor de secx – 4cossecx.

63. Se senx = 3/7 e x é um arco do 1º quadrante, ache o cosx.

64. Considerando que a tgx = 1/3 e que x é um arco

do 1º quadrante, ache o valor da sec x – 3.cosx.

65. Se sen x = ½ e x é do 2º quadrante, ache o valor da expressão cos2x . tgx.

66. Calcule o valor numérico da expressão

º1650

º0º330º1920cos

sen

tgsen

−−+

.

67. (FUVEST) – A soma das raízes da equação sen2x

– 2 cos4x = 0, que estão no intervalo [0, 2π ], é: a) 2π b) 3π c) 4π* d) 6π e) 7π

=+⋅

⋅⋅⋅

xxxx

xxgxtgx2222

22

sec2).cos(sencos2

senseccoscot4

2

1

seccotcos

seccossen

⋅⋅

⋅⋅

agaa

atgaa

.secseccos.cos

12 2

22x

xxy −+=

º180cosº30sen

º180sen5º270cosº90sen

−+−


650

68. (UFSJ 2005) - No intervalo [0, 2π], a soma de todos os valores de x, tais que sen 2x = cos x, é igual:

a) 2π b) π c) 3π d) 4π

69. (UFJF/2006) – Dois ângulos distintos, menores que 360º, têm, para seno, o mesmo valor positivo. A soma desses ângulos é igual a:

a) 45º b) 90º c) 180º d) 270º e) 360º

70. (UFJF/2006) – Um ângulo do segundo quadrante tem seno igual a 12/13. O cosseno desse ângulo é igual a:

a) 5/13 b) 1/13 c) – 5/13 d) – 1/13 e) – 12/13 71. Resolver a equação 2cosx – 3secx = 5, para 0º <

x < 360º

72. (CRA) – Resolva a equação tg x = -1 sendo 0 < x < π.

a) π/3 b) 3π/2 c) 3π/4 d) π/4 e)5π/4 73. Esboçar o gráfico da função y = sen x, dar seu

domínio, imagem e período.

74. (UNIMEP) Os valores de x que satisfazem a equação sen(3x – 30º) = 1 são: a) 90º + n . 120º, n ∈ Z b) 40º + n . 180º, n ∈ Z c) 40º + n . 120º, n ∈ Z d) 120º + n . 360º, n ∈ Z e) 40º + n . 90º, n ∈ Z

75. Resolver as equações abaixo, no intervalo 0º ≤ x

≤ 360º: a) 2 sen x = 1 b) 2 sen x = -1 c) 2 sen x = √ 2

76. (USP) Calcular sen 1920º.

77. (F. CARLOS CHAGAS) O menor valor que assume

a expressão (6 – sen x); para “x” variando de 0º a 360º é:

a) 7 b) 6 c) 5 d) 1 e) –1

78. Se x = π / 3, então achar o valor da expressão: E = sen2x – sen x + 3 sen 3x – sem3x

79. Esboçar o gráfico da função y = cos x, dar seu domínio, imagem e período.

80. Para que valores de m é possível a igualdade:

cos x = 1 – 3m.

81. Considere a equação 2 . sen2x = 3 . cos x. Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que pertencem ao intervalo [0, 4π] é:

a) 10π b) 8π c) 6π d) 4π e) 2π

82. (FAAP) Resolver, no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π, a equação 1 – sen x + cos2x = 0.

83. (FUVEST) Quais as raízes da equação do 2º grau x2sen αααα - 2x cos αααα - sen αααα = 0 , onde 0 < α < π/2.

84. (FEI) Calcular sen (7ππππ/2) . cos (31ππππ)

85. (MACK) O menor valor positivo de x, para o qual

9-cos x = 1 / 3, é: a) π / 6 b) π / 4 c) π / 3 d) π / 2 e) 2π / 3

86. Simplificar a expressão: _3 sen 0º + 5 cos 180º - 7 sen 270º_

sen2 90º + cos2 180º

87. Obter o valor da expressão: _sen 3x + cos 5x_ sen 4x

para x = 30º.

88. Calcular o valor de y = _sen 155º - sen 205º_ cos 65º

89. (MACK) O menor valor positivo de x, para o qual 9- cosx = 1 / 3 é:

a) π/6 b) π/4 c) π/3 d) π/2 e) 2π/3

90. Calcular o valor de cos 2850º

91. Sabendo que cos x = - 1 / 3 e π < x < 3π/2, determinar sen x.

92. Resolver a equação 2 cos x = 1, com:

√√√√3

a) 0 ≤ x ≤ 180º; b) x ∈ R.

93. Esboçar o gráfico da função y = tg x, dar seu

domínio, imagem e período.

94. Sendo 0º < x < 90º, determinar um dos valores de x para o qual a função y = tg (2x – 30) não é definida.

95. Resolver as equações, em R.

a) sen x = 1 / 2 b) cos x = - √3 / 2 c) sen x . cos x = 0 d) cos2x = 1 / 2 e) tg x = √ 3

96. (PUC) Determinar m para que π / 3 seja raiz da

equação tg2x – m . cos2x + sen2x = 0.

97. (F.CARLOS CHAGAS) Os quadrantes onde estão os ângulos α, β e γ tais que:

sen α < 0 e cos α < 0 cos β < 0 e tg β < 0 sen γ > 0 e cotg γ > 0 são respectivamente: a) 3º, 2º, 1º b) 2º, 1º, 3º c) 3º, 1º, 2º d) 1º, 2º, 3º e) 3º, 2º, 2º

98. (FATEC) A expressão


651

tem valor igual a:

a) – 5√2 / 3 b) - 5 / 6 c) – 1 / 3 d) 1 / 2 e)1

99. Sendo sem x + cos x = a, obter o valor de: _sec x + cossec x_

tg x + cot x

100. Determinar o valor de tg (-A), sabendo que tg A = t.

101. Se tg x + cotg x = 3 então sen x . cos x, vale: a) 1 b) 1 / 2 c) – 1 d) 1 / 3 e) – 1 / 2 102. (CRA) – Considere f: R em R uma função dada

por f(x) = 2.sen x – 3. Qual é o maior valor que esta função pode assumir? a) –1 b) –2 c) 1 d) – 4 e) – 5

Variações de Período e Imagem das Funções Trigonométricas

103. Esboçar o gráfico da função y = 2 . sen (x / 2).

104. Esboçar, em um período, o gráfico da função

y = sen (x - ππππ / 4).

105. Estudar a variação da função f, tal que f(x) = 3 sen (x / 2).

106. Esboçar, de 0 a 2π, o gráfico da função y =

sen 2x.

107. Esboçar, de - 2π a 2π, o gráfico da função y = sen x.

108. (F. CARLOS CHAGAS) A função que melhor se

adapta ao gráfico abaixo é: a) y = sen (x / 2) b) y = cos (x / 2) c) y = sen (2x) d) y = cos (2x) e) y = sen x

109. (UFES/2004) – O período e a imagem da função abaixo, com x ∈ R, são, respectivamente, a) 2π e [- 1, 1] b) 2π e 2, 8] c) 2π2 e [2, 8]

d) 2π e [- 3, 3] e) 2π2 e [- 3, 3]

Soma de Arcos e Inequações

110. Calcule o valor de: a) sen 75º b) cotg 150º

111. Sendo sec x = 3 e 0 < x < 90º, calcule o valor

numérico da expressão sen (x + 180º) + cos (x – 90º).

112. Se cosx = - 1/9 e 450º < x < 540º, calcule o

valor numérico da expressão sen(π + x) – cos(3π/2 –x).

113. Sendo cosx = 1/3, calcule o valor de cos(x +

30º).

114. Sendo tga = 2 e tgb = 3, calcule a tg(a + b) e a tg(a – b).

115. O valor de sen 55º cos 35º + sen 35º cos55º

é: a) –1 b) – 0,5 c) 0 d) 0,5 e) 1

116. Resolva a equação trigonométrica

117. (VUNESP) Para todo x ∈ R, a expressão cos (ππππ/2 + x) – sen (ππππ - x) é equivalente a:

a) cos x b) 0 c)- sen x – cos x d) 2 sen x e) – 2 sen x

118. Simplificar a expressão: sen ππππ/2 + sen (ππππ - x)

. cos (ππππ/2 + x).

119. (POLI) Calcular y = sen 105º - cos 75º.

120. Se tg (x + y) = 33 e tg x = 3, então tg de y é igual a:

a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6

121. Resolver as inequações com 0 < x < 2π a) sen x ≥ 1 / 2 b) sem x ≤ √ 2 / 2 c) cos x < √ 3 / 3 d) tg x < 1

122. Resolver (sen x + cos x)2 < 1, para 0 < x < 2π.

123. Dar a expressão (em 0 ≤ x ≤ 2π) que contém

as respostas abaixo:

2

2

4sen

4sen =

−+

+ππ

xx


652

a) b)

Arco Duplo

124. Sabendo que cos x = 3/5, calcule o valor de sen(2x).

125. Sabendo que senx = -4/7 e x é do quarto

quadrante, calcule sen(2x) e cos(2x).

126. Determinar o período da função y = sen x . cos x.

127. A expressão y = sen a . cos3a + sen3a . cos

a, para todo a real é igual a: a) sen 3a b) cos 3a c) sem(2a)/2

d) 1 e) cos 2a 128. Provar que:

4 . sen a . sen (a + ππππ/3) . sen (a + 2ππππ/3) = sen 3a

129. (FATEC) Se cos x = 3 / 4, calcular cos (4x)

130. Determinar o conjunto solução, com 0 < x <

360º da equação cos 2x + 4 cos x + 3 = 0.

131. (PUC) Calcular: E = sen (-x) + sen (π + x) – sen (π/2 – x) + cos x

132. (MACK) A expressão y = sen(123º + a) – sen

(57º - a).

133. (F. CARLOS CHAGAS) Calcular: E = sen (150º + a) + sen (150º - a)

134. (POLI) Calcular y = sen 105º - cos 75º

135. (FUVEST) Calcular o valor de y = ( sen

22º30’+ cos 22º30’)2.

136. Calcular cos (1920º + 3690º).

137. (MACK) Se tg x = m e tg 2x = 3m (m > 0), determinar o ãngulo x.

138. (FUVEST) O valor aproximado da tangente do

ângulo de 22º30’ é: a) 0,22 b) 0,41 c) 0,50 d) 0,72 e) 1,00

GABARITO 01. E 02. sen x = 5/13 cos x = 12/13 tg x = 5/12 03. 40√3m 04. C 05. 2√3 e 2 06. 6km 07. A 08. 200/9 09. C 10. 15 11. C 12. 20(3 - √3)/3 13. 10√3/3 14. R(1-senα)/senα 15. E 16. C 17. 37m2 18. A 19. π/15 20. 6,02º 21. 82,5º 22. 130º 23. 5π/18 24. 22,5º 25. C 26. 300º, 660º, 1020º, 1380º 27. 1,57m 28. 10cm 29. 10√2 30. √57 31. B 32. 6√3 33. C 34. B 35. B 36. C 37. B 38. B 39. D 40. 2√2milhas 41. B 42. C 43. A 44. D 45. A 46. C 47. 2/3 48. D 49. C 50. A 51. A 52. A 53. A 54. E 55. 3 56. 3°, 1° e 4° 57. F, V, F, V, V 58. V, F, F, F, V, F, F 59. 5/2 60. -1/12 61. -√15/4 62. 3 + 3√2 63. 2√10/7 64. -17√10/30 65.-√3/4 66. -2 67. C 68. C 69. C 70. C 71. {120°, 240°} 72. C 73. feito em aula 74. C 75. a) {30°, 150°} b) {210°, 330°} c) {45°, 135°} 76. √3/2 77. C 78. (6 - 7√3)8 79. feito em aula 80. 0 ≤ m ≤ 2/3 81. B 82. π/2 83.

−+

=α

αα

αsensen

S1cos

,1cos

84. 1 85. C 86. 1 87. (2√3 – 3)/3 88. 2 89. C 90. √3/2 91. -2√2/3 92. a) 30° b) ±30º + n360°, n ∈ Z 93. feito em aula 94. 60º 95. a) {x ∈ R/ x = π/6 + n2π ou x = 5π/6 + n2π, n ∈ Z} b) {x ∈ R/ x = 5π/6 + n2π ou x = 7π/6 + n2π, n ∈ Z} c) {x ∈ R/ x = π/2, n ∈ Z} d) {x ∈ R/ x = ± π/4 + nπ, n ∈ Z} e) {x ∈ R/ x = π/3 + nπ, n ∈ Z} 96. 15 97. A 98. D 99. a 100. – t 101. D 102.B 103. gráfico 104. gráfico 105. gráfico 106. gráfico 107. gráfico 108. A 109. C 110. a) (√2+√6)/4 b)-√ 3 111. 2√2/3 112. 8√5/9 113. (√3 - 2√2)/6 114. tg(a+b) = -1 e tg(a – b) = -3/7 115. E 116. {x ∈ R/ x = π/6 + n2π ou x = 5π/6 + n2π, n ∈ Z} 117. E 118. 1 + sen2x 119. √6/2 120. B 121. a) {x ∈ R/ π/6 ≤ x ≤ 5π/6} b) {x ∈ R/ 3π/4 ≤ x ≤ 2π ou 0 ≤ x ≤ π/4} c) {x ∈ R/ π/6 < x < 11π/6} d) {x ∈ R/ 0 ≤ x < π/4 ou π/2 < x < 5π/4 ou 3π/2 < x ≤ 2π} 122. {x ∈ R/ π/2 < x < π} 123. a) x = 30° ou 210° ≤ x < 270° b) x ≠ 90° e x ≠ 270° 124. 24/25 125. sen(2x) = -8√33/49 e cos(2x) = 17/49 126. π 127. C 128. demonstração 129. -37/32 130. 180° 131. - 2senx 132. 0 133. cosa 134. (√2-√6)/2 135. (2+√2)2 136. - √3/2 137. 30° + n360°, n ∈ Z 138. B

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