Modelação, Identificação e Controlo Digital 5-Controlo Polinomial – Exercícios

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Exercício sobre projecto com colocação de pólos

Dado o sistema com função de transferência

B zA z

zz z

( )( )

. .. .

=+

− +0 4 03

16 0 652

determinar um controlador que cumpra as seguintes especificações:

• Ganho estático do sistema controlado = 1

• Grau mínimo do polinómio observador com todas as raízes na origem

• Cancelamento do zero do processo

• Polinómio característico desejado: A z z zm ( ) . .= − +2 0 7 0 25

• Considerar os casos com e sem acção integral

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B B B= + − B+

mónico

B z z+ = + = +0 30 4

0 75..

. B− = 0 4.

{(1) 1 0.7 0.25

0.4 0.4 0.4 1.3750.4 0.4

m

mm m

B B

AB B B z z z

−

− − += = × = × = ×123

∂ ∂ ∂ ∂ λA A A Bo m≥ − − − + = × − − − + =+2 1 2 2 2 1 1 0 0

A zo ( ) = 1

1.375m oT B A z= =

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Como não há integrador , λ = 0 e

∂ ∂S A< o mR A A A∂ = ∂ + ∂ − ∂

∂S < 2 0 2 2 0R∂ = + − =

S z s z s( ) = +0 1 ( ) 1R z =

o mAR B S A A−+ =

[ ] [ ]z z s z s z z20 1

216 0 65 1 0 4 0 7 0 25− + × + × + = − +. . . . .

− + = −+ =

1 6 0 4 0 70 65 0 4 0 25

0

1

. . .. . .

z s z zs

ss

0

1

2 251

== −

.

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R B R+= R z= + 0 75.

Lei de controlo:

Ru Tr Sy= −

( . ) ( ) . ( ) ( . ) ( )q u t qr t q y t+ = − −0 75 1 375 2 25 1

Ou seja, o controlo a aplicar num dado intervalo de amostragem t exprime-se nas

amostras da saída, na referência e nos valores precedentes do controlo através de:

u t y t y t u t r t( ) . ( ) ( ) . ( ) . ( )= − + − − − +2 25 1 0 75 1 1 375

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Inclusão de um integrador λ = 1

∂ ∂ ∂ ∂ λA A A Bo m≥ − − − + = × − − − + =+2 1 2 2 2 1 1 1 1

A z zo ( ) =

∂ ∂S A< +1 o mR A A A∂ ∂ ∂ ∂ λ= + − −

∂S < 3 1 2 2 1 0R∂ = + − − =

S z s z s z s( ) = + +02

1 2 ( ) 1R z =

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( 1) o mz AR B S A A−− + =

( )( ) ( )z z z s z s z s z z z− − + × + × + + = − +1 1 6 0 65 1 0 4 0 7 0 2520

21 2

3 2. . . . .

A resolução desta equação pelo método dos coeficientes indeterminados conduz a

sss

0

1

2

4 755

1625

== −=

.

.