AVANOS RECENTES NA MODELAO DE ESTRUTURAS DE ALVENARIA

RECENT ADVANCES IN MODELLING MASONRY STRUCTURES

Paulo B. Loureno1

RESUMO Apresentam-se modelos para a micro e macro-modelao de estruturas de alvenaria. Para a

micro-modelao prope-se uma superfcie de fractura que inclui um limitador de traco rectilneo, a lei de atrito de Coulomb e um limitador de compresso elptico. O comportamento no linear inclui amolecimento em traco, amolecimento da coeso, endurecimento/amolecimento em compresso e dependncia entre a rotura por traco e corte. Demonstra-se que este modelo capaz de descrever a interaco dos componentes da alvenaria (bloco e junta) e reproduzir o comportamento observado experimentalmente. Para a macro-modelao, prope-se um modelo contnuo anisotrpico que inclui uma superfcie de cedncia similar a Rankine para traco e uma superfcie de cedncia similar a Hill para compresso. A elasticidade anisotrpica combinada com a plasticidade anisotrpica de tal forma que comportamentos independentes podem ser obtidos ao longo dos eixos do material. Demonstra-se que, a resposta global da alvenaria pode ser reproduzida deste modo, sem incluir a interaco entre os componentes da alvenaria. ABSTRACT Models for the micro-modelling and macro-modelling of masonry structures are presented. For micro-modelling, the proposed yield surface includes a straight tension cut-off, Coulomb friction law and an elliptical cap. Non-linear behaviour includes softening in tension, softening in shear, hardening/softening in compression and coupling between tension and shear softening. It is shown that the model is capable of describing the interaction between masonry components (unit and joint) and of describing the behaviour observed in the experiments. For macro-modelling, the proposed yield surface includes a Rankine-like surface for tension and a Hill-like surface for compression. Anisotropic elasticity is combined with anisotropic plasticity in such a way that independent behaviour can be obtained along each material axis. It is shown that the global response of masonry can be reproduced with a macro-model, without the inclusion of the interaction between masonry components. 1. INTRODUO

A alvenaria o material de construo mais antigo que ainda tem uma utilizao generalizada na indstria de construo civil de hoje. Nas ltimas dcadas ocorreram desenvolvimentos nos materiais e tcnicas utilizadas mas o processo para colocar os blocos ou tijolos uns sobre os outros essencialmente o mesmo de dez mil anos atrs. Esta simplicidade a caracterstica mais importante das construes de alvenaria. Outras caractersticas so a esttica, a solidez, a durabilidade, a versatilidade, o isolamento sonoro e a proteco ao fogo. Exemplos do uso concorrencial de alvenaria so paredes resistentes, paredes de enchimento para resistir aco do vento e sismo e estruturas de edifcios de pequeno porte. No entanto, novas aplicaes de 1 Prof. Auxiliar, Universidade do Minho, Departamento de Engenharia Civil, Azurm, 4800 Guimares.

estruturas de alvenaria e a correco das patologias observadas na sua utilizao habitual tm sido limitadas pelo reduzido conhecimento sobre o comportamento dos blocos, da argamassa e da alvenaria como um material compsito. Os mtodos de clculo so essencialmente de natureza emprica e o uso de ferramentas numricas para a anlise ou dimensionamento de estruturas de alvenaria incipiente. Esta situao reflecte-se negativamente na ausncia de qualquer regulamento nacional sobre estruturas de alvenaria e nas dificuldades associadas elaborao do EuroCdigo 6 - Design of Masonry Structures, CEN (1995).

Devido ao facto de se ter atribudo uma importncia reduzida aos mtodos numricos, depara-se com uma ausncia de modelos de comportamento aceites pela comunidade cientfica. Por outro lado, a possibilidade de adoptar ferramentas de reas de investigao mais avanadas, nomeadamente da mecnica do beto, das rochas e dos materiais compsitos, so muito limitadas, dadas as caractersticas peculiares da alvenaria. A alvenaria um material compsito constitudo por blocos e juntas de argamassa. Uma anlise detalhada, denominada micro-modelao, inclui as juntas e os blocos modelados separadamente. Neste caso, os blocos so representados por elementos contnuos enquanto que as juntas so representadas por elementos descontnuos. Uma outra possibilidade, denominada macro-modelao, no fazer distino entre os blocos individuais e admitir que a alvenaria um material anisotrpico contnuo.

Os micro-modelos so aplicveis em detalhes ou em elementos estruturais de pequena dimenso, em que a interaco entre os blocos e as juntas condiciona fortemente a resposta. Na prtica, em estruturas de dimenso aprecivel, no possvel modelar cada bloco e cada junta separadamente, pelo que os modelos a utilizar tero de considerar o material como um contnuo, estabelecendo-se uma relao entre tenses mdias e extenses mdias na alvenaria. O presente trabalho pretende contribuir para melhorar o conhecimento de estruturas de alvenaria atravs do desenvolvimento de mtodos numricos sofisticados, capazes de prever o comportamento de uma estrutura desde o estado elstico, passando pela fendilhao e degradao at a perda completa de resistncia. Sero apresentados modelos capazes de simular, quer o comportamento de blocos e juntas, quer o comportamento de alvenaria como um material compsito anisotrpico. 2. BASES DA TEORIA DA PLASTICIDADE PARA SUPERFCIES DE CEDNCIA SIMPLES

E COMPOSTAS

A teoria da plasticidade est bem estabelecida, sendo possvel adoptar algoritmos robustos, por exemplo Simo et al. (1988). Esta forma de descrio constitutiva foi inicialmente adoptada para metais mas deve tambm ser adoptada para materiais granulares (quasi-frgeis) submetidos a estados de compresso triaxial e problemas de compresso-corte em que extenses inelsticas e irreversveis so observadas. A incapacidade da teoria para reproduzir a degradao de rigidez dos materiais quasi-frgeis submetidos traco inaceitvel para carregamentos cclicos mas, para carregamentos monotnicos, tem sido obtidos muito bons resultados, e.g. Feenstra (1993) e Loureno (1996). De seguida, introduzem-se os aspectos bsicos da teoria da plasticidade. A noo fundamental da teoria a existncia de uma funo de cedncia f que limita o domnio elstico. A cedncia s poder ocorrer se as tenses { } satisfizerem o critrio de cedncia

{ }f ( , ( )) = 0 (1) em que o valor da tenso de cedncia uma funo, designada por lei de endurecimento, do escalar , que introduzido como uma medida do endurecimento ou amolecimento. No entanto, e em geral, resulta complexo descrever o comportamento do material com uma nica superfcie de cedncia e tem de se recorrer a uma superfcie de cedncia composta. Neste caso, o domnio

elstico definido por um nmero de funes fi < 0. A carga e descarga pode ser estabelecida convenientemente a partir das condies de Kuhn-Tucker

i i i if f = =0 0 0. .

(2) em que i

. representa o multiplicador plstico.

O comportamento plstico caracterizado por uma relao tenses-extenses no-unvoca, com a presena de extenses irreversveis quando a carga retirada. Esta propriedade obtida atravs da decomposio habitual do vector das extenses { }. numa parte elstica, { } e. , e numa parte plstica,{ } p. ,

{ } { } { } = +e p. . . (3) em que a extenso elstica est relacionada com a tenso atravs da matriz de rigidez [D] por

{ } [ ]{ } = D. . (4)

Para superfcies de cedncia simples, uma lei de escoamento associado leva a

{ } { } p f=..

(5)

e uma lei no-associada a

{ } { } p g=..

(6)

em que g o potencial plstico. Para o endurecimento adoptado neste artigo obtm-se

=. . (7)

Para uma superfcie de cedncia composta, a interseco das superfcies de cedncia distintas define uma aresta. A extenso plstica { } p. na aresta obtida a partir de uma combinao linear das extenses plsticas das duas superfcies de cedncia,

{ } { } { } { } { } p p p g g= + = +1 2 1 1 2 2. . . . . (8)

A integrao destas relaes elasto-plsticas realizada no presente artigo pelo mtodo de Euler backward dada a sua forma incondicionalmente estvel, Ortiz e Popov (1985), e exacta, de Borst e Feenstra (1990). A matriz tangente, necessria para a utilizao do mtodo de Netwon-Raphson ao nvel da estrutura, foi obtida de forma consistente com o algoritmo de integrao adoptado, tal como proposto originalmente por Simo e Taylor (1985), de forma a assegurar convergncia quadrtica do processo iterativo. As arestas das superfcies de cedncia so tratadas tambm de forma consistente. Uma descrio completa da implementao computacional adoptada pode ser encontrada em Loureno (1996). 3. MICRO-MODELAO: UM CAP MODEL PARA ELEMENTOS DE INTERFACE

O nome cap model originrio da mecnica dos solos. A introduo de um cap esfrico

para o critrio de Drucker-Prager foi inicialmente proposto por Drucker et al. (1957) para descrever a compactao plstica e melhorar o comportamento sob compresso hidrosttica. Desde esta data, o nome cap model foi adoptado para um nmero elevado de modelos que incluem um limitador no eixo de compresso hidrosttica. Estes modelos tm-se limitado, em geral, a considerar uma lei de escoamento associada e endurecimento do cap enquanto que as outras superfcies se mantm em regime ideal plstico. Para a aplicao a estruturas de alvenaria, o comportamento observado experimentalmente conduz a um modelo bastante mais complexo. As juntas de alvenaria possuem uma dilatncia reduzida e o modelo tem de ser formulado no contexto da plasticidade no-associada. Por outro lado, amolecimento dever ser includo para todas as partes da superfcie de cedncia. O presente modelo definido por uma superfcie composta convexa no plano definido pela

tenso normal e pela resultante das tenses de corte = ( ) s t2 2 12+ e contm um limitador de traco rectilneo f1({ } , 1 ), a lei de atrito de Coulomb f2({ } , 2 ) e um limitador de compresso elptico f3({ } , 3 ), ver Fig. 1.

||

f3

c

ft fm

f1

f2

Fig. 1 - Modelo adoptado para os elementos de interface

3.1 A superfcie de cedncia composta (micro-modelo)

Para este critrio as expresses da superfcie de cedncia so dadas por

{ }{ }{ }

fff Cs

1 1 1 1

2 2 2 2

3 32 2

3 32

( , ) ( )( , ) tan ( )( , ) ( ( ))

= = + = +

(9)

com os seguintes potenciais plsticos

{ }{ }{ }

g fgg f

1 1 1

2 2 2 2

3 3 3

( , )( , ) tan ( )( , )

== + =

( )( )( )

Lei de escoamento associadaLei de escoamento no associadaLei de escoamento associada

(10)

e os seguintes valores de cedncia

1 1

2 2

3 3 3

=

=

=

ff

G

cc

G

f G

tt

fI

fII

m fc

exp

exp

( , , )

Nesta expresses, ft a resistncia traco da junta, G f

I a energia de fractura em modo I,

c a coeso das juntas, o ngulo de atrito, G fII a energia de fractura em modo II, o ngulo de dilatncia, Cs um parmetro que controla a contribuio da tenso de corte para a rotura por compresso, fm a resistncia a compresso da alvenaria e G f

c a energia de fractura em compresso. Uma descrio completa do modelo pode ser encontrada em Loureno e Rots (1997). 3.2 Exemplos de aplicao

O primeiro exemplo apresentado uma parede sujeita a corte. A parede constituda por 18 fiadas de tijolo cermico macio, das quais duas esto encastradas em vigas metlicas. Inicialmente, aplicou-se uma compresso vertical uniformemente distribuda de 0.30 N/mm2, antes que a fora horizontal F fosse aumentada sob controlo do deslocamento d de forma confinada, i.e. mantendo as vigas de apoio superior e inferior horizontais e impedindo qualquer deslocamento vertical.

A Fig. 2 mostra as fendas na rotura obtidas nos dois ensaios experimentais realizados. No incio do carregamento, desenvolvem-se fendas horizontais de traco junto aos apoios inferior e superior mas, na rotura, visvel uma fenda diagonal em zigzag atravs das juntas e tijolos, em simultneo com esmagamento das zonas comprimidas da alvenaria.

Fig. 2 - Aspectos da fendilhao na rotura para parede sujeita ao corte

Para a anlise numrica, os tijolos so modelados com elementos planos de oito ns,

enquanto que elementos de interface de seis ns so adoptados para as juntas e para fendas potenciais ao meio dos tijolos. As propriedades dos materiais foram obtidas de Raijmakers e Vermeltfoort (1992) e CUR (1994), ver Loureno e Rots (1997). Os diagramas carga-deslocamento obtidos numericamente e experimentalmente esto reproduzidos na Fig. 3. Pode-se comprovar que o comportamento experimental reproduzido satisfatoriamente e a estimativa da carga de colapso aceitvel. As diminuies bruscas de carga obtidas na anlise numrica so devidas abertura completa de uma fenda atravs de um tijolo. As paredes comportam-se de uma forma bastante dctil, o que parece confirmar a ideia de que a

(Amolecimento exponencial) (Amolecimento exponencial)

(Endurecimento parablico) (Amolecimento parablico/exponencial)

(11)

alvenaria confinada pode sujeitar-se a deformaes elevadas aps pico com uma pequena reduo de resistncia.

4.03.02.01.00.0

60.0

40.0

Experimental20.0

0.0

Deslocamento d [mm]

Fora F [kN]

Numrico

Fig. 3 - Diagramas carga-deslocamento para parede sujeita a corte

(a) (b)

Fig. 4 - Deformadas para parede sujeita a corte: (a) carga mxima; (b) rotura

O comportamento da parede bem reproduzido pelo modelo, tal como est ilustrado na Fig. 4. Inicialmente desenvolvem-se duas fendas horizontais na parte inferior e superior da parede. A fenda diagonal atravs de juntas verticais e horizontais aparece de seguida. Esta fenda surge no centro da parede e acompanhada pelo incio de fendilhao dos tijolos. Com o aumento da deformao, esta fenda propaga-se at aos apoios e, na rotura, forma-se um mecanismo de colapso envolvendo esmagamento das zonas comprimidas e uma fenda diagonal completa atravs das juntas e tijolos. Para ilustrar as possibilidades de utilizao tridimensional do modelos, apresenta-se um segundo exemplo com a ligao entre uma parede e contrafortes, constitudos por blocos slico-calcrios. Inicialmente, aplica-se uma carga vertical uniformemente distribuda na parede. Em seguida aplica-se uma carga horizontal na parte superior da parede, ver Fig. 5.

Fig. 5 - Cargas aplicadas a uma ligao entre parede e contrafortes

(a) (b) (c)

Fig. 6 - Deformadas incrementais para ligao entre parede e contrafortes: (a) antes da separao; (b) durante a separao; (c) aps a separao

Para a anlise numrica utilizam-se elementos tridimensionais de vinte ns para a parede e

elementos de junta de dezasseis ns para a interface. Dada a simetria modela-se apenas metade da estrutura. Uma comparao aprofundada entre resultados experimentais e numricos pode ser encontrada em CUR (1994). Na Fig. 6 apresentam-se as deformadas incrementais para trs estdios da deformao: antes da separao, durante a separao e aps a separao. possvel constatar que, numa primeira fase, se observa um funcionamento monoltico da estrutura. Com o aumento da carga horizontal, inicia-se a separao entre a parede e contrafortes at se obter um comportamento independente, a que corresponde uma rigidez substancialmente inferior. 4. MACRO-MODELAO: UM MODELO ANISTRPICO CONTNUO Uma anlise realista de estruturas de alvenaria numa perspectiva de macro-modelao exige uma descrio do material para todos os estados de tenso. A superfcie apresentada neste artigo combina as vantagens dos conceitos modernos da teoria da plasticidade com uma representao poderosa do comportamento anisotrpico do material, que incluiu endurecimento e/ou amolecimento para de cada eixo do material. Salienta-se ainda que a representao de uma superfcie anisotrpica apenas em termos de tenses principais no possvel. Uma representao grfica ter de ser estabelecida em termos do vector completo de tenses, x, y e xy, para estados planos de tenso e, x, y, xy, yz e xz, para lajes e cascas. No seguinte, admite-se que os eixos do material esto definidos pela direco das juntas horizontais (direco x) e pela direco das juntas verticais (direco y).

Dado que o comportamento de lajes e cascas , tipicamente, bidimensional, possvel utilizar uma superfcie correspondente a estados planos de tenso, qual so adicionados duas novas componentes do vector das tenses. Consideram-se dois critrios de cedncia individuais para traco e compresso, de acordo com dois mecanismos de rotura diferentes. O primeiro critrio est associado com um mecanismo de fractura localizado, denominado fendilhao do material, e o segundo esta localizado com um processo de fractura mais distribudo que habitualmente se designa por esmagamento do material. 4.1 A superfcie de cedncia composta (macro-modelo)

A superfcie de cedncia composta adoptada, inclui uma superfcie do tipo Rankine para

traco e uma superfcie do tipo Hill para compresso, ver Fig. 7. A palavra tipo utilizada para indicar que estas superfcies esto prximas dos critrios originais, ainda que representem apenas uma aproximao dos resultados experimentais. Uma descrio completa do modelo pode ser encontrada em Loureno et al. (1997).

y

x

01

23

> > > = 03 2 1 0

Tipo Hill Tipo Rankine

Fig. 7 - Superfcie de cedncia adoptada (representao para estados planos de tenso) A forma do critrio do tipo Rankine dada por

f x tx t y ty t x tx t y ty t xy12

2

2 2= + + FHG

IKJ+

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) (12) em que o parmetro , que controla a contribuio da tenso de corte para a rotura, vale

=f ftx ty

u t,2

(13)

Aqui, ftx, fty eu,t so, respectivamente, as resistncias uniaxiais traco nas direces x, y e

a resistncia ao corte Admite-se que o amolecimento do material exponencial, com energias de fractura

diferentes (Gfx e Gfy) para cada valor de cedncia, da seguinte forma

tx tx txfx

t ty tyty

fytf

h fG

fh fG

= = exp( ) exp( )e (14) em que a largura equivalente h est relacionada com a dimenso do elemento, Bazant e Oh (1983). A lei de escoamento no-associada, com o potencial plstico g1, dado pela superfcie de cedncia de Rankine, i.e. = 1 na equao (12).

No caso de rotura por compresso, atractivo do ponto de vista fsico, incluir a contribuio das componentes de tenso da formulao das cascas (yz e xz) no critrio de cedncia. A superfcie

mais simples que acomoda resistncias compresso diferentes para os dois eixos do material um elipsoide rodado no espao definido pelas componentes do vector das tenses. A expresso para esta qudrica

f cy c

cx cx x y

cx c

cy cy xy yz xz cx c cy c2

2 2 2 2 2 0= + + + + + =

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( ) (15)

em que cx c( ) e cy c( ) so, respectivamente, os valores de cedncia ao longo do eixo x e y. O parmetro controla a dependncia entre os valores das componentes normais da tenso e o parmetro controla a contribuio das tenses de corte para a rotura.

A lei de comportamento adoptada admite endurecimento parablico, seguido de amolecimento parablico/exponencial, recorrendo a duas energias diferentes de fractura nas duas direces (Gfcx e Gfcy). O problema da obteno de resultados independentes da malha bem conhecido (pelo menos para o caso da traco), pelo que o diagrama tenso-extenso tem de ser ajustado de acordo com uma largura equivalente h para obter uma dissipao de energia objectiva, ver Feenstra e de Borst (1996). A lei de escoamento plstica adoptada associada. 4.2 Exemplos de aplicao

O primeiro exemplo de aplicao uma parede de tijolo cermico com furos verticais, ensaiada por Ganz e Thrlimann (1984). Este ensaio bastante adequado para a validao do modelo porque: (a) os dados necessrios para caracterizar o modelo podem ser obtidos de testes biaxiais realizados em painis de alvenaria e (b) os modelos contm um nmero elevado de blocos e a rotura apresenta um padro de fendilhao bem distribudo. A parede consiste num painel e em duas flanges. Como condies fronteira adicionais existem duas lajes de beto colocadas no topo e base da parede. Inicialmente, a parede foi sujeita a uma carga vertical uniformemente distribuda no valor de 0.61 N/mm2. Aps a aplicao desta carga, uma fora horizontal F foi aplicada na laje de topo, causando um deslocamento horizontal d.

(a) (b)

Fig.8 - Aspectos da fendilhao na rotura para parede com duas flanges: (a) carga mxima; (b) rotura

O padro de fendilhao para a carga mxima e para a rotura est representado na Fig. 8. A

parede apresenta uma resposta muito dctil com rotura por traco e corte ao longo das fendas diagonais em zigzag.

Para a anlise numrica, utilizaram-se elementos planos lineares rectangulares e triangulares. As propriedades do materiais foram obtidas de Ganz e Thrlimann (1982), ver Loureno et al. (1997).

A comparao entre os diagramas carga-deslocamento experimental e numrico est ilustrada na Fig. 9, obtendo-se uma boa semelhana. A carga vertical aplicada, de reduzida

magnitude, combinada com o confinamento fornecido pelas flanges e pela laje em beto colocada sobre a parede conduziu a um comportamento extraordinariamente dctil. A descarga obtida para d = 2.0 mm devida a abertura da fenda em modo I na flange.

300.0

200.0

100.0

0.012.0 16.08.04.00.0

NumricoExperimental

Fora F [kN]

Deslocamento d [mm] Fig. 9 - Diagramas carga-deslocamento para parede com flanges

(a) (b)

Fig. 10 - Fendilhao para parede com flanges: (a) carga mxima; (b) rotura

O comportamento da parede est ilustrado na Fig. 10, em termos de fendilhao obtida na anlise. A comparao com os resultados experimentais resulta mais difcil que no caso dos micro-modelos mas o acordo parece ser satisfatrio. Inicialmente, a fendilhao surge bem distribuda no painel, e acompanhada por fendilhao da flange esquerda. Com o aumento da deformao, a fendilhao tende a concentrar-se numa banda larga que vai de uma extremidade do teste at outra, formando o mecanismo de rotura. As tenses de compresso esto abaixo dos valores de cedncia pelo que a rotura dominada por fenmenos de traco. Como segundo exemplo, apresenta-se uma laje de alvenaria ensaiada por Chong et al. (1995). O painel constitudo por tijolos cermicos macios e tem dimenses 5600 2475 100 mm3, estando trs lados simplesmente apoiados e um bordo livre, ver Fig. 11. Uma abertura no centro do painel simula uma janela. O painel foi carregado com um colcho de ar at rotura com uma carga uniformemente distribuda de valor p, sendo o valor mximo do deslocamento da laje d. As propriedades adoptadas esto indicadas em Loureno (1997).

Para a anlise numrica utilizaram-se elementos de casca de oito ns degenerados com integrao de Gauss no plano dois por dois e integrao na espessura com sete pontos de Simpson. Apenas seria necessrio modelar metade da estrutura mas, por facilidade de ps-processamento, optou-se por modelar toda a estrutura.

Bordo encastradoBordo simplesmenteapoiado

Fig. 11 - Geometria do painel de laje ensaiado, Chong et al. (1995)

Na Fig. 12 ilustra-se o comportamento no painel na rotura. A forma de rotura, inclui fendas

diagonais a partir de cada um dos cantos inferiores do painel at abertura da janela, o que bem reproduzido na anlise.

(a) (b)

Fig. 13 - Painel de laje. Fendas na rotura: (a) face oposta aplicao de carga; (b) face da aplicao de carga.

5. CONCLUSES

A alvenaria um material compsito que consiste em blocos e argamassa. Duas abordagens foram apresentadas neste artigo para modelar o material: a micro-modelao, em que as juntas so modeladas com elementos de interface com espessura nula, e a macro-modelao, em que se estabelece uma relao entre tenses e extenses mdias na alvenaria, admitindo que o material homogneo.

O micro-modelo apresentado para as juntas uma superfcie de cedncia composta que inclui um limitador em traco, corte e compresso. A comparao com resultados experimentais foi bem sucedida e este gnero de modelos permite compreender muito bem os mecanismos de rotura envolvidos nas estruturas analisadas.

No macro-modelo apresentado as juntas e blocos no so discretizadas, mas so substitudas por um contnuo anisotrpico. Admite-se que o mecanismo de fractura da alvenaria pode ser representado pelo dano associado rotura em traco e compresso, relacionado com energias de fractura distintas. A comparao com resultados experimentais permitiu concluir do bom desempenho do modelo. AGRADECIMENTOS

Este trabalho foi financiado pelo projecto DCT 33.3052 da Fundao Cientfica Holandesa (STW). Agradece-se ainda o apoio parcial da JNICT atravs do projecto PBICT/C/CEG/2426/95. REFERNCIAS

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