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AVALIAÇÃO POR SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA CIRCULAÇÃO REVERSA NA PERFURAÇÃO DE POÇOS DE PETRÓLEO Umberto Sansoni Júnior DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA. Aprovada por: ________________________________________________ Prof. Nísio de Carvalho Lobo Brum, D.Sc. ________________________________________________ Prof. Paulo Laranjeira da Cunha Lage, D.Sc. ________________________________________________ Prof. Gustavo César Rachid Bodstein, Ph.D. ________________________________________________ Prof. Ricardo de Andrade Medronho, Ph.D. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL OUTUBRO DE 2005

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AVALIAÇÃO POR SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA CIRCULAÇÃO REVERSA

NA PERFURAÇÃO DE POÇOS DE PETRÓLEO

Umberto Sansoni Júnior

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA

MECÂNICA.

Aprovada por:

________________________________________________

Prof. Nísio de Carvalho Lobo Brum, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Paulo Laranjeira da Cunha Lage, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Gustavo César Rachid Bodstein, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Ricardo de Andrade Medronho, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

OUTUBRO DE 2005

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SANSONI JÚNOR, UMBERTO

Avaliação por Simulação Computacional da

Circulação Reversa na Perfuração de Poços de

Petróleo [Rio de Janeiro] 2005

VII, 159 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,

Engenharia Mecânica, 2005)

Dissertação - Universidade Federal do Rio de

Janeiro, COPPE

1. Fluidodinâmica Computacional

2. Escoamento Bifásico Líquido Sólido

3. Abordagem Lagrangeana

I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )

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iii

AGRADECIMENTOS

A Deus, com o qual através da minha fé, procuro viver em aliança, para alcançar a

verdadeira sabedoria.

Aos meus orientadores, Prof. Nísio de Carvalho Lobo Brum e Prof.. Paulo

Laranjeira da Cunha Lage, com os quais tive o privilégio de trabalhar neste período, pela

paciência, sinceridade, amizade e sobretudo pelo aprendizado que me proporcionaram.

Aos meus filhos Gabriela e Felipe, razão de ser da minha vida, por serem a

inspiração e o incentivo na busca de minha superação.

Aos meus pais, Umberto (in memoriam) e Jacira e a meus irmãos Sávio, Antônio e

Regina, pelo amor e carinho que sempre me dedicaram.

Ao amigo Ricardo Damian da empresa ESSS, pela valiosa colaboração na execução

deste trabalho.

Aos amigos do LTFD, em especial a Luiz e Ricardo pelo incentivo e encorajamento

nos momentos difíceis.

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iv

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

AVALIAÇÃO POR SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DA CIRCULAÇÃO REVERSA

NA PERFURAÇÃO DE POÇOS DE PETRÓLEO

Umberto Sansoni Júnior

Outubro/2005

Orientadores: Nísio de Carvalho Lobo Brum

Paulo Laranjeira da Cunha Lage

Programa: Engenharia Mecânica

O presente trabalho estudou o escoamento em circulação reversa na perfuração de

um poço de petróleo utilizando a mecânica dos fluidos computacional foi simulado o

transporte de cascalhos por um fluido de comportamento não Newtoniano, usando a

abordagem Lagrangeana. Uma geometria simplificada com simetria axial foi empregada

para a broca. O principal interesse em fazer a perfuração de um poço de petróleo com

circulação reversa é evitar a presença no espaço anular (coluna de perfuração/parede do

poço) de sólidos gerados dos cortes das formações rochosas, pois o acúmulo dos mesmos

pode gerar a obstrução do anular, com perda de circulação. Pode-se chegar até a prisão da

coluna de perfuração com a conseqüente perda do poço.

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v

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

EVALUATION THROUGH COMPUTATIONAL SIMULATION OF THE REVERSE

CIRCULATION DRILLING OF OIL WELLS

Umberto Sansoni Júnior

October/2005

Advisors: Nísio de Carvalho Lobo Brum

Paulo Laranjeira da Cunha Lage

.

Department: Mechanical Engineering

The present work investigated the usage of reverse circulation during oil well

drilling using computational fluid mechanics. The cutting transport by a non-Newtonian

fluid was simulated using the Lagrangian approach. A simplified axisymmetrical geometry

for the bit was employed. The main interest in performing an oil well drilling using reverse

circulation is to avoid the presence of drilling cuts in the annular space (drill pipe/wall of

the well), because these particles accumulation can lead to annulus obstruction and

circulation loss. This process may even result in the sticking of the drill pipe with the

consequent loss of the well.

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ÍNDICE GERAL

1- INTRODUÇÃO 1

1.1- HIDRÁULICA DE PERFURAÇÃO 1

1.2- OBJETIVO 6

2- REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 8

2.1- CORRELAÇÃO DE PERDA DE CARGA EM FLUIDOS NÃO

NEWTONIANOS 8

2.2- SIMULAÇÕES DO ESCOAMENTO NÃO NEWTONIANO 10

2.3- ESCOAMENTOS EM DUTOS SOB ROTAÇÃO 14

2.4- ESCOAMENTOS DE FLUIDOS COM PARTÍCULAS DISPERSAS 19

3- MODELAGEM MATEMÁTICA 22

3.1- GEOMETRIA 22

3.2- EQUAÇÕES PARA FASE CONTÍNUA 24

3.3- EQUAÇÃO PARA FASE DISPERSA 28

3.4- ABORDAGEM LAGRANGEANA 30

3.5- ACOPLAMENTO ENTRE FASES 31

3.6- CONDIÇÕES DE CONTORNO 33

3.6.1- CONDIÇÕES DE CONTORNO NA ENTRADA 33

3.6.2- CONDIÇÕES DE CONTORNO NAS PAREDES 35

3.6.3- CONDIÇÕES DE CONTORNO NA SAÍDA 35

3.6.4- CONDIÇÕES DE CONTORNO DE PERIODICIDADE 36

3.6.5- INJEÇÃO DE SÓLIDOS 37

4- MODELAGEM NUMÉRICA NO CFX 40

4.1- MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS BASEADO EM ELEMENTOS 43

4.1.1- INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO PARA UM

VOLUME DE CONTROLE QUALQUER 47

4.1.2- FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO 51

4.2- SOLUÇÃO ACOPLADA PRESSÃO VELOCIDADE 53

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4.3- SOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR 59

4.3.1- TÉCNICA MULTIGRID 62

4.4- ROTINAS FORTRAN ACOPLADAS AO MODELO 67

5- RESULTADOS 69

5.1- ESTUDOS DE CONVERGÊNCIA 72

5.1.1- ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DA MALHA 72

5.1.2- ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DA QUANTIDADE DE PONTOS

DE INJEÇÃO DE CASCALHOS (TRAJETÓRIAS) 86

5.2- INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS FÍSICOS 90

5.2.1- INFLUÊNCIA DA REOLOGIA 90

5.2.2- INFLUÊNCIA DA VELOCIDADE AXIAL DE INJEÇÃO DAS

PARTÍCULAS 99

5.2.3- INFLUÊNCIA DA ROTAÇÃO DA BROCA 103

5.2.4- INFLUÊNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE TAMANHO DOS

CASCALHOS 111

5.2.5- INFLUÊNCIA DA VAZÃO MÁSSICA DE CASCALHOS 120

5.2.6- COMPARAÇÃO DA CIRCULAÇÃO REVERSA COM A

CIRCULAÇÃO CONVENCIONAL DE FLUIDO DE

PERFURAÇÃO 125

6- COMENTÁRIOS FINAIS 141

6.1- RESUMO 141

6.2- CONCLUSÕES 142

6.3- SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 144

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 146

APÊNDICE 1 - LISTAGEM DAS ROTINAS EM FORTRAN 151

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1

1 - INTRODUÇÃO

1.1 - HIDRÁULICA DE PERFURAÇÃO

A necessidade de viabilizar tecnicamente a exploração de campos de petróleo

localizados em condições nem sempre favoráveis tem impulsionado a engenharia de

perfuração de poços a introduzir novas técnicas de perfuração e a realizar projeto de

poços cada vez mais arrojados, tornando viáveis operações que pareciam impraticáveis

a algumas décadas atrás. Tendo em vista os vultuosos investimentos envolvidos, todo o

esforço deve ser concentrado, então, na elaboração extremamente criteriosa de tais

projetos, de forma a minimizar os riscos operacionais e aumentar o índice de sucesso.

Assim, a perfuração é uma operação de custos elevadíssimos onde a

minimização do tempo e do dano ao reservatório produtor é fundamental. A perfuração

ocorre normalmente através da aplicação de peso e rotação a uma broca existente na

extremidade de uma coluna de perfuração, a qual consiste basicamente de comandos

(tubos de paredes espessas) e tubos de perfuração (tubos de parede finas), os comandos

são colocados logo acima da broca com a finalidade de aplicar o peso sobre elas e

prover rigidez à coluna, permitindo melhor controle da trajetória do poço. Os

fragmentos da rocha são removidos continuamente através do fluido de perfuração. O

fluido é injetado por bombas para o interior da coluna de perfuração através da cabeça

de injeção e retorna à superfície através do espaço anular formado pelas paredes do

poço e a coluna. Ao atingir determinada profundidade, a coluna de perfuração é retirada

do poço e uma coluna de revestimento de aço, de diâmetro inferior ao da broca, é

descida no poço. O anular entre os tubos do revestimento e as paredes do poço é

cimentado com a finalidade de isolar as rochas atravessadas, permitindo então o avanço

da perfuração com segurança. Após a operação de cimentação, inicia-se a perfuração de

uma nova fase e portanto a coluna de perfuração é novamente descida no poço, tendo na

sua extremidade uma nova broca de diâmetro menor do que a do revestimento para o

prosseguimento da perfuração.

A Figura 1.1 a seguir ilustra o percurso do fluido dentro de um poço sendo

perfurado. O fluido de perfuração bombeado do tanque desce pelo interior da coluna de

perfuração e comandos, passa nos orifícios da broca para dentro do poço, ascende de

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volta pelo espaço anular entre a tubulação de perfuração e as paredes do poço ou o

revestimento até a superfície, transportando pedaços de rocha, chamados cortes, que

foram cortados da formação pela broca. O diâmetro típico de uma tubulação de

perfuração é aproximadamente 10 centímetros. Para um poço profundo, o diâmetro

pode alcançar 20 centímetros. Na superfície, o fluido é transportado através da linha de

retorno do fluido para as peneiras, que consistem em uma série de telas de metal

vibratórias, utilizadas para separar o fluido dos cortes. O fluido passa através das telas e

retorna ao tanque de fluido. Os cortes de rocha escorrem pelas peneiras para serem

descartados. Dependendo das considerações ambientais e outras considerações, eles

podem ser lavados antes do descarte. Alguns dos cortes são coletados para exame pelos

geólogos, para caracterização das formações rochosas perfuradas.

Figura 1.1 - Sistema de circulação do fluido de perfuração

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Diferentes tipos de fluidos são utilizados para as diversas fases da perfuração de

um poço marítimo. Nas fases iniciais, perfura-se sem retorno, com água do mar ou água

com argila, quando maiores densidades são requeridas. Trechos extensos e de ganho de

ângulo são perfurados normalmente com fluidos à base de óleos sintéticos, que

conferem poder de lubricidade e pouca reatividade com formações argilosas. Já as

rochas reservatório são perfuradas por famílias de fluido conhecidas por drill-in,

constituídas por soluções poliméricas salinas com agentes tamponadores da formação

(obturantes).

Uma das funções básicas do fluido de perfuração é exercer pressão hidrostática

sobre as formações permeáveis, de modo a evitar a invasão de fluidos da formação no

poço durante uma operação de perfuração. A pressão do fluido é, então, normalmente

mantida acima da pressão da formação para prevenir a ocorrência de influxos de gás da

formação para dentro do poço (kick), que pode evoluir a um influxo descontrolado

(blowout). Este conceito, denominado perfuração sobre balanceada, é tradicionalmente

aplicado na grande maioria das operações de perfuração no Brasil e no mundo.

Outras funções do fluido de perfuração são resfriar e lubrificar a coluna de

perfuração e a broca e, conforme já dito anteriormente, a limpeza dos cascalhos gerados

pela broca. É através deste fluido, de características não Newtonianas, que estes

cascalhos são carreados através do espaço anular paredes do poço/coluna de perfuração

até a superfície, onde são separados no sistema de peneiras.

Um aspecto importante na engenharia de perfuração de poços de petróleo é a

garantia da remoção destes cascalhos do fundo do poço até a superfície. Uma etapa

fundamental para a compreensão do fenômeno é a quantificação da velocidade terminal

das partículas no fluido. Este tema vem sendo estudado há bastante tempo, através de

duas estratégias distintas de experimentação: a sedimentação e a fluidização. Estes

experimentos objetivam o levantamento de correlações empíricas ou semi-empíricas

que possam prever o transporte de sólidos, ou que sirvam como dados de entrada para

modelos mecanicistas que descrevam o fenômeno de carreamento de sólidos.

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A velocidade média de transporte Vt é definida pela diferença entre a velocidade

média de fluxo do fluido de perfuração V e a velocidade média terminal de

sedimentação das partículas Vs .

Vt V Vs= − (1.1)

A velocidade média de fluxo é controlada pela vazão de bombeamento e é

limitada pela capacidade da bomba. A velocidade média terminal de queda das

partículas é definida como a velocidade na qual as partículas sedimentam no interior de

um fluido em repouso devido ao seu próprio peso específico, tamanho e forma

geométrica.

A razão de transporte Rt , definida como a relação entre a velocidade de

transporte e a velocidade média de fluxo, é o parâmetro que dá a idéia da capacidade de

carreamento dos sólidos em um fluido em escoamento.

1Vt VsRtV V

= = − (1.2)

Analisando a equação acima, pode-se inferir que a razão de transporte aumenta

com a redução da velocidade terminal de queda ou com o acréscimo da velocidade

média de fluxo. Se a velocidade de queda dos sólidos aumenta e a velocidade média de

fluxo é mantida, a razão de transporte diminui e, por conseqüência, a concentração de

sólidos no anular aumenta. Na perfuração de poços, alguns problemas que o acúmulo de

sólidos no espaço anular pode gerar são:

- redução da taxa de penetração e da vida útil da broca;

- perda de circulação;

- obstrução do anular;

- prisão da coluna de perfuração.

Os principais parâmetros que afetam a razão de transporte são:

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- vazão de circulação do fluido de perfuração;

- densidade e propriedades reológicas do fluido;

- velocidade de sedimentação das partículas;

- distribuição de tamanho e forma, densidade e concentração das partículas;

- perfil de velocidade do fluido;

- alargamento do poço;

- taxa de penetração da broca.

As propriedades reológicas e a densidade do fluido de perfuração afetam

diretamente a velocidade de sedimentação de um conjunto de partículas com

propriedades (tamanho, forma, densidade) definidas. Com todas estas variáveis atuando

simultaneamente, é claro que a avaliação da capacidade de carreamento de um fluido é

um problema complexo. Como os sólidos gerados durante a perfuração são mais densos

que o fluido de perfuração, há uma tendência ao seu acúmulo no anular ou à decantação

dos mesmos para o fundo do poço, formando o que se denomina comumente de “anéis

de obstrução” ou “fundo falso”.

De certa forma, sempre existem alternativas para melhorar a capacidade de

carreamento do fluido, os principais métodos se fundamentam em:

- aumento da viscosidade do fluido;

- aumento da vazão de bombeamento;

- deslocamento de tampões de fluidos viscosos.

A velocidade terminal de queda dos sólidos, enquanto o fluido se encontra em

fluxo laminar, é afetada diretamente pelas características viscosas do fluido. Então,

quando a velocidade do fluido no espaço anular está limitada pela vazão fornecida pela

bomba ou por seções alargadas do poço, é necessário aumentar a viscosidade do fluido

para reduzir a velocidade de queda dos sólidos e, conseqüentemente, limpar o poço.

Muitas vezes, no entanto, a alteração dos parâmetros reológicos pode

comprometer o desempenho do fluido com relação a outro parâmetro. Por exemplo,

pode-se aumentar os valores dos parâmetros reológicos de um fluido de perfuração à

base de água, aumentando-se o teor de bentonita, contudo isso pode levar a um

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acréscimo de peso específico acima dos valores desejados e, dependendo dos valores da

pressão de poros da formação, pode causar o fraturamento da mesma.

Em resumo, a decisão final para o tratamento de um fluido, visando aumentar ou

diminuir os parâmetros reológicos, deve ser um compromisso que permita um bom

desempenho do fluido, sem causar problemas ao poço. Portanto, o que parece, às vezes,

ser uma simples decisão de aumentar a viscosidade o fluido para melhorar a capacidade

de limpeza do poço, pode ser complicado pelos efeitos resultantes do método utilizado.

1.2 - OBJETIVO

Com a finalidade de evitar o acúmulo de sólidos no espaço anular formado pelas

paredes do poço e a coluna de perfuração, o que pode ocasionar conforme já comentado,

a perda de circulação, a obstrução do anular ou a prisão de coluna durante a perfuração

com a consequente perda do poço, propõe-se aqui um estudo da circulação reversa do

fluido de perfuração. Ou seja, o fluido seria injetado pelo espaço anular paredes do

poço/coluna de perfuração e após passar pela broca retornaria pelo interior da coluna de

perfuração levando consigo os particulados gerados na perfuração.

Este arranjo favorece o carreamento dos sólidos pois a velocidade média de fluxo

do fluido de perfuração V tende a ser maior no interior da coluna do que no anular

devido às menores áreas para o escoamento do fluido, conseqüentemente aumentando a

velocidade média de transporte Vt e a razão de transporte Rt . Além disso, a razão de

transporte não está sujeita aos efeitos do alargamento do poço e da excentricidade do

anular, pois ambos fatores afetam a área de escoamento e conseqüentemente a

velocidade média de fluxo do fluido de perfuração quando o mesmo escoa pelo anular

carreando os sólidos na circulação direta.

Um ponto a ser observado pela circulação reversa é um possível aumento da

pressão no fundo do poço, uma vez que as menores seções no interior da coluna tendem

a levar a perdas de cargas maiores que as do espaço anular. Porém já que as velocidades

médias do fluido são maiores no interior da coluna, pode-se reduzir a pressão no fundo

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do poço reduzindo-se a vazão de bombeamento e/ou reduzindo-se o peso específico do

fluido para aliviar a componente de pressão hidrostática.

A metodologia adotada neste trabalho envolveu os seguintes itens:

- utilização de um código comercial de mecânica de fluidos computacional (CFX-5);

- consideração do modelo reológico de potência para o fluido de perfuração;

- modelagem bifásica com abordagem lagrangeana da fase sólida;

- simplificação na geometria da broca de perfuração, considerando-a um tronco de

cone.

Uma representação esquemática da circulação reversa aqui proposta com a

geometria a ser simulada está representada na Figura 1.2.

Figura 1.2 - Representação esquemática da circulação reversa

Coluna de perfuração

Poço

Broca

Fluido de perfuração e sólidos

Rotação

Fluido de perfuração

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2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo, pretende-se fazer um apanhado geral sobre diversos modelos

teóricos e experimentais apresentados na literatura para analisar o escoamento

axialmente desenvolvido de fluidos viscosos (Newtonianos ou não Newtonianos) no

interior de dutos com geometria circular ou anular, com ou sem rotação axial, com a

presença ou não de sólidos particulados.

Aqui não houve a preocupação em listar todos os trabalhos existentes, mas

apenas os julgados pertinentes, que de uma forma ou de outra, puderam ser aproveitados

para aplicação no trabalho desenvolvido, indicando qual caminho tomar, que variáveis

fazer variar e que efeitos observar.

2.1- CORRELAÇÃO DE PERDA DE CARGA EM FLUIDOS NÃO

NEWTONIANOS

Dentre os estudos de perda de pressão em escoamentos axialmente

desenvolvidos (escoamento de Poiseuille) em fluidos não Newtonianos, destaca-se o

trabalho de LUI (1983), que aplicou o método de elementos finitos de Galerkin na

determinação da relação entre queda de pressão e vazão para um escoamento totalmente

desenvolvido de um fluido não Newtoniano que segue a lei de potência em um duto de

seção transversal arbitrária. Neste método, determina-se pelo método de elementos

finitos de Galerkin, um fator de forma que depende da geometria do duto e do índice de

comportamento do fluido e a partir daí este fator de forma é levado na equação da

quantidade de movimento onde determina-se a perda de carga para uma dada vazão. A

validação deste método foi verificada comparando-se os resultados com a solução

analítica para um duto circular e com a solução numérica de WHEELER E WISSLER

(1965) para um duto de seção quadrada.

TURIAN et al. (1998), estabeleceram correlações para o cálculo do fator de

atrito para escoamentos laminares, turbulentos e de transição de fluidos não

Newtonianos baseadas em dados experimentais em tubos retos com diâmetros de ½”, 1”

e 2”. Estas correlações foram desenvolvidas utilizando o modelo reológico de 3

parâmetros chamado de Sisko. Este modelo é vantajoso porque os parâmetros são

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determinados usando dados reométricos pertencentes a faixa das taxas de cisalhamento

usualmente encontradas em dutos. Desta forma as correlações tem uso bastante geral.

Os desvios obtidos, tanto para fluxo laminar como para turbulento, no cálculo da perda

de carga de fluidos não Newtonianos são comparáveis aos obtidos por correlações já

consagradas aplicadas a fluidos Newtonianos. A validação destas correlações de perda

de carga contra predição de modelos multifásicos de lama mostrou boa concordância.

MACHAC et al. (1999), apresentaram relações que determinam a queda de

pressão (para uma dada vazão) e a velocidade máxima para um escoamento de

Poiseuille de fluido não Newtoniano usando os modelos de Potência e de Robertson-

stiff através de dutos retos de seção transversal não circular. Estas relações foram

validadas com os resultados da literatura para fluidos não Newtonianos em dutos de

seção semicircular, elíptica, retangular, triangular, L simétrica, U simétrica e anular.

A transição laminar-turbulento do escoamento em fluidos não Newtonianos foi

analisada por GUCUYENER e MEHMETOGLU (1996), que consideraram fluidos

pseudoplásticos com modelo reológico de 3 parâmetros de Robertson-Stiff em dutos

circulares e anulares concêntricos. Um número de Reynolds modificado foi

desenvolvido baseado no diâmetro equivalente e nos parâmetros característicos do

modelo reológico considerado. Em razão de sua generalidade quando comparado a

outros critérios de transição, o critério de estabilidade de Hanks foi utilizado para

calcular o valor crítico do número de Reynolds modificado. Resultados numéricos do

valor crítico do número de Reynolds modificado, baseado no valor crítico do parâmetro

de estabilidade de Hanks, foram obtidos como uma função dos parâmetros reológicos

adimensionais e da razão de aspecto do anular. Estes resultados mostraram que a

transição de escoamento laminar-turbulento é muito sensível ao modelo reológico usado

e à geometria da seção transversal. Notou-se que o valor crítico do parâmetro de

estabilidade de Hanks não se aplica ao modelo de Bingham, embora se aplique bem ao

modelo reológico de Robertson-Stiff.

CHILTON e STAINSBY (1998) apresentaram um conjunto de equações para

fluxo laminar e turbulento de fluidos não Newtonianos que utilizam o modelo reológico

de 3 parâmetros de Herschel Bulkley, desenvolveram um novo número de Reynolds, o

qual representa mais realisticamente as condições em fluxo turbulento que o número de

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Reynolds de METZNER e REED (1955), além disso, através de um modelo numérico

fizeram varias simulações onde definiram uma nova correlação para o fator de fricção

no regime turbulento. Para escoamento laminar, consegue-se chegar a uma expressão

analítica para a perda de carga em função da velocidade média e, a partir desta

expressão, chega-se ao número de Reynolds generalizado de Metzner – Reed. Como

este número de Reynolds é derivado de um perfil de velocidades laminar, ele não é

fisicamente válido quando se está em fluxo turbulento. Para o escoamento turbulento, se

a tensão de cisalhamento na parede é conhecida, determina-se a viscosidade aparente na

parede e um novo número de Reynolds é proposto, equivalente ao número de Reynolds

generalizado de Metzner – Reed em regime laminar, porém fisicamente mais realista em

regime turbulento.

No método numérico CHILTON e STAINSBY (1998) usaram um modelo

unidimensional de volumes finitos a partir de um código comercial de fluidodinâmica

computacional (CFX) e os resultados das simulações foram comparados com resultados

experimentais de varias fontes, obtendo-se uma concordância muito boa tanto na região

laminar quanto na turbulenta, com uma margem de até 15% de desvios. Observou-se

uma pequena tendência dos resultados numéricos em subestimar a perda de carga, o que

é devido à limitação do modelo de Herschel Bulkley na região de altas taxas de

cisalhamento, pois este modelo apresenta imprecisão a taxas de cisalhamento elevadas,

quando fornece valores próximos de zero para viscosidade e não valores finitos como se

observa nos fluidos reais. A partir dos resultados gerados pelo modelo numérico, foi

deduzido uma nova correlação para o fator de fricção turbulento, semelhante à equação

de Prandtl para fluidos Newtonianos em tubos lisos. Esta nova correlação é função do

novo número de Reynolds, o qual leva em conta os parâmetros reológicos do modelo de

Herschel Bulkley.

2.2- SIMULAÇÕES DO ESCOAMENTO NÃO NEWTONIANO

Vários trabalhos com aplicação de técnicas numéricas, principalmente de

volumes finitos e de diferenças finitas, na resolução das equações de Navier Stokes em

fluidos não Newtonianos foram revistos. A seguir, serão descritos alguns deles.

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SAVVAS et al. (1994), visando a simulação de fluxo laminar de fluidos não

Newtonianos, utilizando modelos reológicos de potência e de Ellis, desenvolveram um

método numérico baseado em volumes finitos com acoplamento pressão-velocidade

pelo método SIMPLEST. Este método foi comparado com a solução analítica de

escoamento desenvolvido em um duto circular e a experimentos obtendo-se excelentes

resultados. O método desenvolvido provou ser numericamente estável, mesmo no caso

de haver uma forte não linearidade entre a tensão de cisalhamento e a taxa de

cisalhamento. Embora tenha sido testado para casos onde existem soluções analíticas, a

sua acurácia torna plausível o seu uso em casos de fluxos mais complicados, onde não

existam soluções conhecidas.

Os experimentos de SAVVAS et al. (1994), utilizaram uma solução de PVC,

com comportamento pseudoplástico obedecendo à lei de potência, com uma densidade

de 1022 kg/m3 em um tubo com diâmetro de 0,0424 m e uma velocidade axial de

entrada média de 0,01648 m/s. Os resultados de velocidade axial prescritos pelo método

numérico utilizando-se uma malha 30X30, diferiram em 4,3% do valor medido da

velocidade no centro da seção transversal. Com esta mesma malha a diferença para a

velocidade calculada analiticamente foi de 0,5% e para o gradiente de pressão calculado

analiticamente foi de 0,1%.

SAVVAS et al. (1994) adicionalmente estudaram o fluxo de um fluido não

Newtoniano com modelo reológico de Ellis (solução de 0,6% de CMC em água) em um

tubo cilíndrico de 0,0424m de diâmetro com perfil uniforme de velocidades na entrada

igual a 0,0177 m/s, a densidade considerada foi de 1000 kg/m3. Para este fluido as

discrepâncias entre o método numérico utilizando-se uma malha de 20X20 e o cálculo

analítico foram de 1,5% para a velocidade axial e de 0,3% para o gradiente de pressão.

Outro estudo realizado por SAVVAS et al. (1994) visando testar o método

numérico desenvolvido foi o fluxo em uma expansão súbita cilíndrica (1:2) de um

fluido não Newtoniano que segue a lei de potencia (solução de 3% de CMC em água).

O diâmetro de entrada considerado foi de 0,1 m e a velocidade uniforme na entrada

igual a 0,1 m/s e o diâmetro de saida considerado foi de 0,2 m. Os resultados numéricos

obtidos com uma malha 30X82 ficaram bem próximos aos resultados analíticos e

verificaram também o achatamento do perfil axial de velocidade após a expansão,

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quando ocorre uma queda da velocidade e do gradiente de pressão, resultados que são

consistentes com a teoria.

SUN e ZHU (2000) descreveram um método baseado no método de quadratura

diferencial (DQM) para resolução de escoamento viscoso incompressível. O DQM é

um bom método de resolução de equações diferenciais mesmo usando malhas

grosseiras, porém só se aplica bem a escoamentos em regiões regulares sem

singularidades e com baixo número de Reynolds. Estes autores propuseram, então, um

método de quadratura diferencial local com um mecanismo upwind para melhor

representar a parte convectiva do escoamento. O upwind LDQM foi testado na

resolução de uma contração súbita (2:1) e apresentou excelentes resultados, mesmo com

uma malha grosseira.

MOATASSIME e JOURON (2001), apresentaram um método multigrid baseado

em diferenças finitas para analisar escoamento de fluidos viscoelásticos. Pelo uso de

uma malha não uniforme, eles adotaram um esquema upwind na discretização das

equações constitutivas, onde o tensor de tensão é decomposto em duas partes, uma

Newtoniana e outra não Newtoniana. Na resolução deste esquema foi usado um

algoritmo multigrid chamado FAS (Full Approximation Storage), a performance deste

método foi testada comparando-se o resultado com o clássico problema de uma

contração plana abrupta (4:1) e os resultados mostraram-se satisfatórios, especialmente

no que se refere a tempo de CPU.

DELIC et al. (2002), analisaram a utilização do método de volumes finitos no

cálculo do escoamento laminar de um fluido não Newtoniano com o modelo reológico a

3 parâmetros de Sisko. Como fluido foi utilizado uma mistura de água e cinzas em 3

densidades diferentes, tendo-se, portanto, 3 amostras com diferentes reologias. A

determinação dos parâmetros reológicos das amostras foi feita com um viscosímetro

capilar. Este método foi testado para uma cavidade direcionada e um canal com uma

contração súbita, onde os resultados para vários tamanhos de malha foram comparados

com resultados da literatura, mostrando uma boa concordância.

Para a cavidade direcionada com 3 paredes fixas e a parede superior movendo-se

a velocidade constante, DELIC et al. (2002) escolheram uma forma quadrada com lado

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de comprimento igual a 1 unidade e velocidade na parede superior igual a 1 unidade. Os

resultados para diversos tamanhos de malha foram comparados com a solução

benchmark, onde se verificou que para malhas grosseiras (11 X 11) chega-se a desvios

da ordem de 44% no calculo da velocidade, ao passo que com o refinamento da malha

(passando para 129 X 129) os desvios praticamente desaparecem chegando a menos de

0.3%.

Para o canal com a contração súbita, DELIC et al. (2002) usaram um

comprimento de 10 unidades e uma largura de 4 unidades na entrada e um comprimento

de 10 unidades e uma largura de 1 unidade na saída, foram testados 3 tipos de malhas:

com 1500, 6000 e 13500 volumes finitos respectivamente. Foi considerada condição de

contorno de não escorregamento nas paredes, perfil de velocidades simétrico em relação

ao eixo x, escoamento desenvolvido ao longo do eixo x e um perfil parabólico na

entrada com velocidade media igual a 0,0393. A comparação dos perfis de velocidade

na seção da contração mostrou que eles tendem a convergir a medida que se refina a

malha, apresentando elevados gradientes de velocidade próximo a parede (região da

camada limite) e baixos gradientes de velocidade na região da linha de centro do canal.

PINHO et al. (2003), realizaram uma investigação numérica baseada em

volumes finitos, com esquemas de interpolação usando diferenças centrais para os

termos difusivos e upwind para os termos convectivos. No acoplamento pressão-

velocidade foi adotado o método SIMPLEC. O objetivo era estudar o escoamento

laminar de um fluido não Newtoniano com modelo de potência através de uma

expansão súbita (1:2,6), onde o comprimento de recirculação e o coeficiente de perda

local da expansão foram relacionados ao número de Reynolds generalizado de Metzner

– Reed (ReMR) e ao índice de comportamento do fluido (n). Seus resultados mostraram

que o comprimento de recirculação em escoamentos com baixo ReMR decresce com o

decréscimo de n e varia assintoticamente com ReMR enquanto que em escoamentos de

elevado ReMR continua decrescendo com o decréscimo de n e apresenta variação

linear com ReMR. Já o coeficiente de perda local em escoamentos com baixo ReMR

varia inversamente com n e com ReMR enquanto que em escoamentos de elevado

ReMR varia diretamente com n e não varia com ReMR.

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2.3- ESCOAMENTOS EM DUTOS SOB ROTAÇÃO

O escoamento no interior de dutos com seções anulares ou circulares com

rotação em torno do próprio eixo (axial), foram estudados por alguns autores. Alguns

trabalhos serão descritos a seguir.

WHITE (1964) conduziu um experimento de escoamento de água em um tubo

com rotação axial e observou que, a valores do número de Reynolds correspondente a

fluxo turbulento em um tubo estacionário a perda de carga diminui consideravelmente

quando o tubo está rodando, sendo que, em altas rotações a queda de pressão pode ser

reduzida em até 40%. Através da visualização do escoamento foi observado que a

rotação diminui a difusão radial de fluido do centro para as paredes do tubo, diminuindo

portanto a dissipação de energia, conforme mostrado na Figura 2.1, onde o filme de

tinta move-se em torno do centro do tubo com menor difusão radial.

Figura 2.1 - Efeito da rotação no escoamento turbulento

Re = 3520 Rotação = 0 rpm

Re = 3520 Rotação = 1040 rpm

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Já para valores do número de Reynolds correspondentes a fluxo laminar em um

tubo estacionário (Re < 2000), WHITE (1964) verificou um aumento na queda de

pressão quando se aumenta a rotação do tubo.

REICH et al. (1989) pesquisaram os efeitos da rotação na velocidade e na

distribuição de temperatura em um escoamento laminar dentro de um tubo de paredes

aquecidas, e concluíram que a rotação tem um efeito de desestabilizar o escoamento

laminar tornando-o turbulento. Com o modelo desenvolvido, traçaram perfis de

velocidade axial e temperatura para vários valores de rotação a partir do zero e

observaram que com o aumento da rotação estes perfis deixavam a forma de perfis

laminares e tomavam a forma de perfis turbulentos. Estes resultados foram validados

com resultados experimentais já existentes.

YAMADA et al. (1989) determinaram os perfis de velocidade na região de

desenvolvimento do escoamento no interior de um tubo com rotação axial, de acordo

com o esquema mostrado na Figura 2.2 e desenvolveram uma ferramenta numérica

baseada em diferenças finitas, com resolução do sistema algébrico através do algoritmo

SOR (sobrerrelaxação sucessiva). Comparações feitas com valores experimentais

apresentaram bons resultados.

Figura 2.2 - Duto cilíndrico com rotação

YAMADA et al. (1989) observaram que a velocidade axial no centro de um

tubo com rotação excede o valor estabelecido por Poiseuille e que esta mesma

velocidade axial decresce próximo à parede. Ocorre, também, um fluxo reverso nesta

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região perto da entrada do tubo quando a taxa de rotação é muito grande. Quanto maior

o número de Reynolds axial e a taxa de rotação, mais marcantes são estes efeitos.

Como conseqüência, verificaram que, à medida que a rotação aumenta, é necessária

uma maior distancia da entrada do tubo para que o perfil de velocidade axial atinja o

regime estabelecido.

MCCANN et al. (1995) realizaram testes experimentais para modelar o

escoamento de fluidos não Newtonianos na perfuração de poços estreitos com elevada

rotação. Para tanto construíram um experimento constituído por um eixo de aço de

1,25” dentro de tubos cujos diâmetros variam de 1,375” até 1,75”, com rotação máxima

de 900 rpm e vazão máxima de 12 gpm, onde foram feitas várias medições de pressão.

Dos experimentos eles tiraram as seguintes conclusões:

- O ∆P é fortemente afetado pelo gap do anular em anulares estreitos,

aumentando muito com a diminuição do mesmo;

- O aumento da excentricidade do anular faz diminuir o ∆P em fluidos não

Newtonianos;

- Em fluidos não Newtonianos, o aumento da rotação do tubo interno do anular

faz o ∆P aumentar em escoamento turbulento e diminuir em escoamento laminar;

- O ∆P calculado por modelos da literatura coincide com o ∆P calculado nos

experimentos quando se tem escoamento laminar em anular concêntrico com rotação ou

em anular excêntrico sem rotação, e para escoamento turbulento em anular concêntrico

sem rotação.

FAGHRI et al. (1995) analisaram numericamente o escoamento laminar de um

fluido incompressível na região de entrada de um tubo poroso girando em torno de seu

próprio eixo, usando um modelo bi-dimensional axissimétrico em coordenadas

cilíndricas, de acordo com o esquema mostrado na Figura 2.3. Os resultados obtidos

foram validados com sucesso a partir de resultados da literatura e de resultados

experimentais. A pressão, velocidade e fricção na parede foram obtidas numericamente.

Foi observado que a rotação do tubo e a injeção de fluido pela parede porosa do mesmo

afetam significativamente a distribuição de velocidades e a tensão de cisalhamento na

parede. Os autores chegaram a conclusão que, para uma dada velocidade axial média de

entrada, os efeitos do comprimento de entrada são mais significativos quanto maior for

a rotação ou a velocidade de injeção na parede porosa, como indicado pela variação da

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velocidade axial na linha de centro do tubo. Eles também concluiram que o coeficiente

axial de fricção aumenta com o aumento da injeção pela parede, enquanto que o

coeficiente tangencial de fricção decresce levemente. Já a queda de pressão axial

aumenta acentuadamente com o aumento da injeção pela parede, devido ao aumento de

fluxo de massa dentro do tubo.

Figura 2.3 - Cilindro poroso com rotação

ESCUDIER et al. (2000) calcularam os perfis de velocidade axial e tangencial

de um escoamento totalmente desenvolvido de um fluido Newtoniano através de

anulares excêntricos com rotação do tubo interno. Foi utilizado o método dos volumes

finitos, com esquema de interpolação de segunda ordem e o algoritmo SIMPLEC na

resolução do acoplamento pressão-velocidade. Os resultados dos perfis de velocidade

para valores de excentricidade (distância entre os eixos do tubo externo e interno,

dividido, pela diferença entre os raios do tubo externo e interno) de 0,2, 0,5 e 0,8 de um

anular com relação de raios igual a 0,506 foram comparados com medidas

experimentais obtidas com um anemômetro a laser, obtendo-se uma excelente

concordância.

HUSSAIN e SHARIF (2000) investigaram numericamente o fluxo helicoidal de

um fluido não Newtoniano com modelo reológico de Herschel-Bulkley em anulares

concêntricos e excêntricos com rotação do cilindro interno, de acordo com a

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configuração mostrada na Figura 2.4, utilizando um algoritmo de volumes finitos, com

acoplamento pressão-velocidade pelo método SIMPLE e resolução do sistema linear

pelo algoritmo LSOR (line by line sucesive over-relaxation). Foram empregadas malhas

uniformes em um sistema de coordenadas curvilíneas não ortogonais para representar a

geometria irregular de um anular excêntrico. O objetivo deste estudo foi desenvolver

um modelo numérico geral capaz de prever o escoamento de um fluido não Newtoniano

através de um anular excêntrico e aplicá-lo à simulação de operações de perfuração de

poços de petróleo.

Figura 2.4 - Configuração anular com rotação do tubo interno

A partir das simulações numéricas realizadas, HUSSAIN e SHARIF (2000)

observaram que, para um gradiente de pressão axial fixo, a vazão axial aumenta com o

aumento da rotação do cilindro interno ou com o aumento da excentricidade.

Verificaram também que, em um anular excêntrico, ocorre um fluxo secundário na

região mais larga do anular e este fluxo tende a aumentar com o aumento da

excentricidade ou com o bloqueio da parte estreita do anular. Outra conclusão foi que o

torque necessário para rodar o cilindro interno a uma dada rotação aumenta com o

aumento da excentricidade.

LOUREIRO et al. (2002), utilizando o modelo reológico de Carreau para um

fluido não Newtoniano, obtiveram o perfil de velocidades axial e tangencial na região

Velocidade Axial

Velocidade Tangencial

Cilindro interno

Cilindro externo

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de entrada em um anular concêntrico com rotação do tubo interno. O método numérico

utilizado foi o de volumes finitos, com esquema de interpolação power law, resolvendo

o acoplamento da pressão – velocidade pelo algoritmo SIMPLE e o sistema linear

através do método TDMA linha a linha. Os resultados obtidos mostraram que o perfil de

velocidade axial praticamente não varia com a rotação para valores do número de

Reynolds maiores que 100 e, em contrapartida, para baixos número de Reynolds, a

componente tangencial de velocidade controla o fluxo e, portanto, a velocidade axial é

afetada pela rotação.

JOHANSEN et al. (2003) desenvolveram um modelo numérico para calcular

perda de carga nos regimes laminar e turbulento em fluidos Newtonianos e não

Newtonianos durante o bombeamento de fluidos na perfuração de poços de petróleo,

onde a geometria da seção transversal pode ser circular ou anular. O modelo também

apresenta resultados para a região transicional (laminar-turbulento). Os efeitos da

rotação da coluna de perfuração na perda de pressão são incluídos no modelo através da

resolução da equação de transporte para a velocidade tangencial. Este modelo foi

comparado com dados experimentais para uma grande faixa de reologias e, para a

maioria das situações, os resultados obtidos foram bastante satisfatórios tanto para

escoamento laminar como para turbulento e transicional.

2.4- ESCOAMENTOS DE FLUIDOS COM PARTÍCULAS DISPERSAS

Vários trabalhos sobre o estudo do escoamento multifásico fluido de perfuração

e partículas sólidas em anulares de poços de petróleo verticais ou inclinados foram

pesquisados, dentre os quais destacam-se os descritos a seguir.

HUSSAINI e AZAR (1983) conduziram experimentos com fluidos de

perfuração para verificar o carreamento de cascalhos em anulares verticais. Foi estudada

a influência de parâmetros como tamanho de partícula, vazão de bombeamento,

viscosidade aparente e limite de escoamento na capacidade de carreamento dos sólidos.

Nos experimentos foram usados três fluidos de reologia diferentes, três vazões

diferentes para o fluido de perfuração e dois tamanhos de partículas diferentes, todos

estes parâmetros com valores representativos de perfurações de poços de petróleo. Neste

trabalho os autores concluíram que a velocidade do fluido no anular é o parâmetro que

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tem a maior influência no carreamento de sólidos. Os demais parâmetros só afetam

significativamente o carreamento quando se tem baixas ou medias velocidades no

anular (da ordem de 12 a 18 in/s). Para velocidades acima de 23 in/s praticamente não

há influência da reologia e do tamanho das partículas.

CLARK e BICKHAM (1994) desenvolveram um modelo para a previsão de

transporte de cascalho que utiliza relações da mecânica de fluidos baseadas nos

diferentes modos de deslocamento das partículas de acordo com o ângulo de inclinação

do poço. Para elevados ângulos, onde um leito de partículas estacionário se forma, o

transporte se dá através de rolamento das partículas. Em ângulos intermediários, ocorre

o transporte por lifting e, em ângulos próximos à vertical, a sedimentação das partículas

determina o transporte. O modelo prevê uma maneira de analisar o transporte das

partículas como uma função das condições de operação (vazão, taxa de penetração),

propriedades do fluido de perfuração (densidade, reologia), geometria do poço (ângulo,

espaço anular) e propriedades dos cascalhos (densidade, tamanho, forma). Comparações

feitas com experimentos deram bons resultados para vazões abaixo da vazão crítica

(vazão na qual não ocorre a formação de leito de partículas), pois o modelo prevê

vazões críticas abaixo das observadas experimentalmente.

BELAVADI e CHUKWU (1994) estudaram o transporte de cascalho em um

anular vertical através de uma unidade de simulação de poço, na qual um tubo

transparente de acrílico de 1 ½” de espessura foi escolhido para representar as paredes

do poço de forma a permitir o monitoramento do movimento dos cascalhos no espaço

anular. Os efeitos das densidades do fluido e do cascalho, da viscosidade do fluido, do

tamanho das partículas e da rotação do tubo foram estudados usando um fluido não

Newtoniano tipo plástico de Bingham com quatro diferentes densidades. A análise dos

resultados mostrou que um incremento na vazão de um fluido com elevada densidade

aumenta a razão de transporte, porém este efeito já não ocorre se estivermos com um

fluido de baixa densidade transportando cascalhos de grande tamanho. Concluiu-se

também que o aumento da rotação do tubo interno do anular aumenta o transporte de

cascalhos de pequeno tamanho. Uma conclusão importante obtida foi que um pequeno

aumento da razão entre a densidade e a viscosidade do fluido ocasiona um rápido

decréscimo na razão de transporte e similarmente, um pequeno acréscimo no coeficiente

de arrasto provoca um grande aumento no transporte dos cascalhos.

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BILGESU et al. (2002), utilizaram um código comercial de fluidodinâmica

computacional no estudo dos parâmetros que afetam o carreamento de cascalhos em

um poço de petróleo. Eles apresentaram neste estudo os efeitos das propriedades do

fluido de perfuração e dos cascalhos na eficiência do carreamento em poços verticais e

horizontais. Foram feitas simulações usando um fluido não Newtoniano com modelo

reológico de potência em quatro diferentes densidades (15 lb/gal, 12 lb/gal, 10 lb/gal e

8,34 lb/gal) em anular de 8X4 in, as partículas foram consideradas esféricas com três

diferentes diâmetros (0,1 in, 0,175 in e 0,275 in) com densidade relativa de 2,4. A partir

dos resultados obtidos, os autores puderam chegar às seguintes conclusões:

- a velocidade do fluido no anular tem um papel determinante na limpeza do

poço;

- a inclinação das curvas de eficiência de limpeza mostrou uma tendência de

decréscimo com o aumento da velocidade do fluido no anular, sendo necessária uma

vazão absurdamente elevada para se obter uma eficiência de limpeza de 100% para as

condições utilizadas na simulação (poço, fluido e partículas);

- estudos adicionais devem ser realizados para avaliar a limpeza do anular

variando-se a inclinação do poço (entre a vertical e a horizontal) e também

considerando-se uma distribuição de tamanho das partículas e não apenas um único

tamanho em cada simulação.

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3 - MODELAGEM MATEMÁTICA

3.1 – GEOMETRIA

Numa aproximação simplificada, conforme dito no capítulo 1, optou-se por

considerar o elemento cortante (broca) com uma geometria tronco-cônica, para que se

consiga a conexão com o tubo de perfuração com o mínimo de obstrução possível à

passagem dos sólidos carreados.

O nosso estudo, usando uma abordagem totalmente mecanicista, consiste na

simulação do escoamento laminar do fluido de perfuração não Newtoniano desde o

espaço anular entre o poço e a coluna de perfuração com rotação até este fluido retornar

por dentro da coluna de perfuração carreando consigo os cascalhos gerados do corte das

formações rochosas pela broca. Portanto, trata-se de um escoamento monofásico de

um fluido não Newtoniano em um espaço anular cujo tubo interno possui rotação, com

uma seção variável na região da broca e, após passar pelo elemento cortante, ou seja, no

retorno do fluido por dentro da coluna, trata-se de um escoamento bifásico (fluido não

Newtoniano e sólidos particulados) no interior de um tubo com rotação, novamente com

a seção variável na região da broca.

A geometria a ser analisada é mostrada na Figura 3.1. Para modelar o problema

aqui tratado será utilizado o sistema de coordenadas cilíndricas, com z representando a

direção axial, r representando a direção radial e θ representando a direção azimutal.

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Figura 3.1 – Geometria do problema

O domínio a ser estudado corresponde à concepção de circulação reversa de um

fluido de perfuração, e é composto por uma geometria anular entre a poço e a coluna de

perfuração giratória em cuja extremidade inferior está acoplada a broca de perfuração

com geometria de um tronco de cone, após passar pela broca, o fluido se mistura aos

particulados gerados pelo corte das formações rochosas tornando o escoamento bifásico,

esta mistura irá retornar pelo interior da broca e da coluna de perfuração. As dimensões

cotadas no desenho são as correspondentes da última fase de perfuração, que no caso

em estudo corresponde à perfuração de um poço de 8 ½” de diâmetro utilizando um

P

L3

L2

D2

V = ωr

L1

D1

V

V = 0

D3

D4

D5

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Drill Collar de 6 ¾” com 101,30 lbf/ft , portanto as dimensões estão descritas na tabela

a seguir:

Tabela 3.1 – Dimensões da geometria estudada

Medida Valor (m) OBSERVAÇÕES

D1 0,2375 diâmetro da broca +10%

(considerando um alargamento de 10%)

D2 0,2159 diâmetro externo da broca

D3 0,1159 diâmetro interno da broca

D4 0,0715 diâmetro interno da coluna (Drill collar)

D5 0,1715 diâmetro externo da coluna (Drill collar)

L1 0,0127 ½” (dimensão do maior cascalho obtido)

L2 0,3 Altura padrão de uma broca de 8 ½”

L3 0,9 3xL2 (para possibilitar o desenvolvimento do perfil de

velocidades)

3.2 – EQUAÇÕES PARA A FASE CONTÍNUA

Foram consideradas as seguintes hipóteses:

-Fluido incompressível;

-Escoamento laminar;

-Regime permanente;

-Propriedades do fluido independente da temperatura.

A partir destas hipóteses as equações de conservação são dadas por:

Equação da continuidade:

( ) ( ) 0f f f fr rt

ρ ρ∂+∇ =

∂ fvi (3.1)

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Equação da quantidade de movimento:

( ) ( )( ) ( )f f f f f f f f fr r r p r rt

ρ ρ ρ∂+∇• ⊗ = − ∇ +∇• + +

∂ f f f f pfv v v τ g M (3.2)

Nas equações acima, fr é a fração volumétrica de fluido, fρ é a massa

específica do fluido, fv é o vetor velocidade do fluido, fp é a pressão no fluido, fτ é o

tensor das tensões do fluido, g é a aceleração da gravidade e pfM é a fonte de

momento no fluido causada pelas partículas.

Estas equações se aplicam a fluidos Newtonianos e não Newtonianos. Na

mecânica do contínuo a classe mais comum de modelos empíricos para fluidos

incompressíveis é a classe de fluido Newtoniano Generalizado, pela qual o

comportamento mecânico do material é definido pela equação constitutiva que relaciona

o tensor das tensões com o tensor taxa de deformação da seguinte forma:

2 fη=f fτ γ (3.3)

onde, fη é a função viscosidade, fγ é o tensor taxa de deformação, o módulo do tensor

taxa de deformação é dado por:

( )12f trγ = f fγ γi (3.4)

Para descrever a função viscosidade vários modelos já foram desenvolvidos,

cada qual se utiliza de parâmetros reológicos próprios que devem ser obtidos em

laboratório.

No nosso estudo será adotado o modelo de potência, que descreve a função

viscosidade de seguinte forma:

( ) 1n

f fKη γ−

= (3.5)

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26

onde K e n são os parâmetros reológicos do modelo obtidos a partir de ajustes de

curvas às medidas experimentais de viscosidade. K é conhecido como índice de

consistência e indica o grau de resistência do fluido diante do escoamento, n é

conhecido como índice de comportamento do fluido, que indica fisicamente o

afastamento do fluido do modelo Newtoniano, se o seu valor se aproxima de um, mais

próximo o fluido estará do comportamento Newtoniano. Para valores de n entre 0 e 1,

os fluidos são conhecidos como pseudoplásticos, para valores de n maior que 1, os

fluidos são conhecidos como dilatantes e para n igual a 1 são Newtonianos. Na Figura

3.2 a seguir pode-se ver a variação da tensão com a taxa de deformação para cada um

destes fluidos.

Taxa de Deformação

Tensão PSEUDOPLÁSTICO

DILATANTE

NEWTONIANO

Figura 3.2 - Curvas de escoamento

A partir da equação constitutiva de fluido Newtoniano generalizado, as

componentes ijτ do tensor das tensões fτ , em coordenadas cilíndricas são dadas por:

,2 z fzz f

vz

τ η∂

=∂

(3.6)

,2 r frr f

vr

τ η∂

=∂

(3.7)

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27

, ,12 f r ff

v vr r

θθθτ η

θ∂⎛ ⎞

= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (3.8)

, ,z f r fzr rz f

v vr z

τ τ η∂ ∂⎛ ⎞

= = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (3.9)

, ,1f r fr r f

v vr

r r rθ

θ θτ τ ηθ

⎛ ∂ ⎞⎛ ⎞∂= = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.10)

, ,1 z f fz z f

v vr z

θθ θτ τ η

θ∂ ∂⎛ ⎞

= = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ (3.11)

Nas equações acima, ,r fv , , fvθ e ,z fv são as componentes de velocidade radial,

azimutal e axial do fluido, respectivamente.

Substituindo as equações acima nas equações da quantidade de movimento da

fase contínua em coordenadas cilíndricas, fazendo-se uso da regra da cadeia e quando

necessário da equação da continuidade, obtém-se as equações da quantidade de

movimento linear na forma conservativa, para serem utilizadas na modelagem

numérica:

Equação da quantidade de movimento linear na direção radial:

( ) ( ) ( )2

,, , , . , ,

, , ,

, , ,2

1 1

2 1 1

2

ff f r f r f f f r f z f f f r f f f f

r f f f f r ff f f f

z f r f ff f f f f f

vr r v v r v v r v v r

r r z r r

v v r vr r r r

r r r r r r r r

v v vr r r

z r z z r

θθ

θ

θ

ρ ρ ρ ρθ

ηη η

θ θ θ

η η ηθ

∂ ∂ ∂+ + − =

∂ ∂ ∂

∂ ⎛ ⎞ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,2

2 ff f r f f

f f r pfr

pr v r

r r

r g M

η

ρ

∂−

+ +

(3.12)

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28

Equação da quantidade de movimento linear na direção azimutal:

( ) ( ) ( ) , ,, , , , , ,

, . ,32 2

, ,

1 1

1 1 2

2

r f ff f r f f f f f z f f f f f f f

f r f f f ff f f f

f f r f f f z ff f

v vr r v v r v v r v v r

r r z r r

v v r vr r r r

r r r r r r r r

r v r vr

r r z r z

θθ θ θ θ

θ θ

ρ ρ ρ ρθ

ηη η

θ θ θ

η ηη

θ θ

∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, 1f ff

f f pf

v pr

z r

r g M

θ

θ θ

θ

ρ

∂⎛ ⎞−⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

− +

(3.13)

Equação da quantidade de movimento linear na direção axial:

( ) ( ) ( ), , , , , ,

, , ,

, ,

1 1

1 1 1

1 2

f f r f z f f f z f z f f f z f f

z f r f f f z ff f f f

f z f ff f f f f f f z pfz

r r v v r v v r v vr r z r

v v r vr r r r

r r r r r z r r

v v pr r r r g M

r z z z z

θ

θ

ρ ρ ρθ

ηη η

θ θ

η η ρθ

∂ ∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.14)

Nas equações acima, rg , gθ e zg são as componentes da aceleração da

gravidade nas direções radial, azimutal e axial, respectivamente e também pfrM , pfM θ e

pfzM , são as componentes da fonte de momento gerada pelas partículas nas direções

radial, azimutal e axial, respectivamente

3.3 – EQUAÇÃO PARA A FASE DISPERSA

A equação de transporte para as partículas leva em conta as forças que atuam na

partícula devido a diferença de velocidade entre a partícula e o fluido e devido ao

deslocamento do fluido pela partícula, sendo portanto:

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29

( ) ( )2 31 1 18 6P f P D P P f

dm d C ddt

πρ π ρ ρψ

= − − + −Pf P f P

v v v v v g (3.15)

onde Pm é a massa da partícula, Pv é a velocidade da partícula, Pd é o diâmetro da

partícula, DC é o coeficiente de arrasto, Pρ é a massa específica da partícula e ψ é a

esfericidade das partículas calculada como a razão da área superficial de uma esfera

contendo o mesmo volume da partícula pela área superficial da partícula, foi adotado

para ψ um valor de 0,82, muito comum em cascalhos gerados na perfuração de poços

de petróleo.

O termo do lado esquerdo da equação é o produto da massa pela aceleração da

partícula e representa o somatório de todas as forças sobre a mesma. O primeiro termo

do lado direito da equação é a força de arrasto exercida pelo fluido na partícula e o

segundo termo é o peso da partícula descontado do empuxo.

No cálculo de DC foi utilizada a correlação de Moore (BUORGOYNE et al.,

1991) mais adequada para fluidos não Newtonianos. Moore através de experimentos

utilizando arenito e folhelhos obtidos durante as operações de perfuração e fluido à base

de glicerina e água, obteve gráficos correlacionando o coeficiente de arrasto DC com o

número de Reynolds da partícula:

Re f PP

f

dρη−

= p fv v (3.16)

De acordo com as curvas traçadas, obteve-se as seguintes correlações:

Re 300 1,5P DC> ⇒ ≅ (3.17)

223 Re 300ReP D

P

C< ≤ ⇒ = (3.18)

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30

40Re 3ReP D

P

C≤ ⇒ = (3.19)

3.4 - ABORDAGEM LAGRANGEANA

A aplicação da abordagem lagrangeana envolve a integração do caminho das

partículas através do domínio estudado. As partículas tem seu caminho traçado

individualmente a partir do seu ponto de injeção até saírem do domínio ou até encontrar

um critério limite de integração (tempo máximo ou distância máxima percorrida).

O deslocamento das partículas é calculado usando o método de integração de

Euler explícito em cada passo de tempo tδ , tal como:

tδ= +n o oi i pix x v (3.20)

onde o superescrito o e n referem ao velho e novo valor e a velocidade da partícula é

considerada constante ao longo de cada passo de tempo. Ao fim de cada passo de

tempo, uma nova velocidade da partícula é calculada a partir da solução analítica

aproximada da equação de transporte para a fase dispersa:

( )exp 1 expt tδ δττ τ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠o

p f p f bv v v v F (3.21)

onde bF é igual a:

p f

p

ρ ρρ−

=bF g (3.22)

e τ é definido por:

4 13

p p

f D

dC

ρτ ψ

ρ=

−f pv v (3.23)

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31

3.5 - ACOPLAMENTO ENTRE AS FASES

De acordo com a equação de transporte para a fase dispersa, o fluido afeta o

movimento das partículas através da força de arrasto que é não nula devido a diferença

de velocidades entre o fluido e a partícula. Em contrapartida, ocorre a força de reação da

partícula que por sua vez afeta o movimento do fluido. Este efeito é chamado de

acoplamento entre as fases. Considerando que somente o fluido afeta a trajetória das

partículas e que as partículas não afetam o escoamento do fluido, temos o acoplamento

em uma via. Porém, se considerarmos a influência das partículas no escoamento do

fluido, temos o acoplamento em duas vias ou acoplamento total, que foi o considerado

neste trabalho.

A predição do fluxo sólido/líquido em um sistema com acoplamento de uma via

é direta, ou seja, o escoamento do fluido é calculado independentemente da presença

das partículas sólidas. Esta aproximação só é aceitável em fluxos com pequena

quantidade de fase dispersa, onde a influência das partículas no escoamento do fluido é

negligenciável.

O acoplamento em duas vias requer que termos fontes devido à presença das

partículas sejam incluídos nas equações de quantidade de movimento da fase contínua.

Estes termos originam-se das forças de interação entre as fases ao longo das trajetórias

das partículas. As fontes de momento das partículas são obtidas resolvendo a equação

de transporte das mesmas para as fontes, então:

( )21 18 f pi D

dd C

dtπρ

ψ= − − −pi

f pi f pi

Mv v v v (3.24)

onde piM é a fonte de quantidade de movimento gerada por cada partícula ao longo da

trajetória i. Note que o efeito da força de reação de cada partícula sobre o fluido é

obtido pela integração da força ao longo do tempo de residência da partícula no volume

em consideração, volume jV . Chamando a força de cada partícula de piF , e o tempo de

residência de ,i jtΔ , temos:

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32

ddt

=pipi

MF (3.25)

então:

, ,i j i jt t

d dtΔ Δ

= =∫ ∫pi,j pi piM M F (3.26)

onde pi,jM é o termo fonte da quantidade de movimento no volume j de uma partícula

que percorre a trajetória i. Porém, cada trajetória é representativa de um fluxo numérico

de partículas injetado a partir de um certo ponto. Assim, o efeito de cada trajetória é

obtido multiplicando o resultado anterior por i pm m , onde pm é a massa de cada

partícula da trajetória i ( )3 6p pi pm dπ ρ= , e im é a vazão mássica de partículas

injetadas na trajetória i, ou seja, i pm mpi,jM .

Somando todas as trajetórias que passam dentro de um volume j e dividindo pelo

seu volume, temos o termo fonte de quantidade de movimento que entra na equação de

conservação da fase contínua:

1i p

ij

m mV

= ∑pf,j pi,jM M (3.27)

Assim, o campo de força de interação pfM é gerado. A fração volumétrica da

fase particulada no volume j, ,p jr , pode ser similarmente calculada por:

3, ,

16p j i p i j pi

ij

r m m t dV

π= Δ∑ (3.28)

Gerando o campo da fração volumétrica da fase particulada pr .

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33

3.6 - CONDIÇÕES DE CONTORNO

3.6.1 - CONDIÇÕES DE CONTORNO NA ENTRADA

Na entrada no espaço anular entre a coluna de perfuração e as paredes do poço,

considera-se uma vazão volumétrica conhecida a partir da qual determina-se o perfil de

velocidades no anular. As equações desenvolvidas por CHIN (1992) descrevem o perfil

de velocidades para um escoamento axialmente simétrico e hidrodinamicamente

desenvolvido ao longo da direção z de um fluido não Newtoniano com modelo

reológico de potência, escoando em um espaço anular cujo tubo interno gira.

De acordo com Chin, o cálculo de , fvθ e ,z fv é obtido da solução das equações

da quantidade de movimento azimutal e axial descritas acima, que são duas EDO’S de

segunda ordem onde as quatro constantes de integração são determinadas pelas quatro

condições de não escorregamento ( , f Pv Rθ ω= e , 0z fv = na coluna de perfuração e

, 0fvθ = e , 0z fv = nas paredes do poço). O funcional fη torna as equações da

quantidade de movimento azimutal e axial não linearmente acopladas. Visando à

obtenção de uma solução analítica, foi adotada a hipótese de anular estreito, a partir da

qual resolveu-se as integrais pelo teorema do valor médio.

Portanto, CHIN (1992) chegou às seguintes equações para descrevem as

componentes de velocidade axial e azimutal:

( )( )( )

( )( )

( )( )1

2 22

2 4 4 21 11 1

2

2,

8

2 2

n

n

Bn n

n n nB B

B

f

f

dPr RC

dzC r R r Rv r R r

K Cθ

+ +

− −

++

+ += − +

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.29)

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34

( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

2

112

2

2

12 22

2 4 4 2 11 1

2

,

8

2

8

2 2

P

nP

P

n

n

Pn n

n nP P

f

z f

f

dPr RC

dzr R Cv r R

C K

dPr RC

dzr R r RC

+ +

− −

++

+= −

++

+ ++

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.30)

onde:

( )2

1 8fB P dPR R

Cdz

+= − (3.31)

e

2

2 2

n nP B

B P

R RC KR R

ω +⎛ ⎞ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.32)

Nas equações acima, BR é o raio do poço e PR é o raio externo da coluna de

perfuração, K e n são os parâmetros reológicos, fdP dz é o gradiente de pressão do

fluido na direção axial e, finalmente, ω é a velocidade angular de rotação.

O cálculo de fdP dz para um fluido não Newtoniano com modelo reológico de

potência, foi obtido considerando-se o espaço anular como um slot, onde para uma

determinada vazão volumétrica de fluido, fQ de acordo com BUORGOYNE et al.

(1991), obtém-se:

( ) ( ) 12 2

22 4n

nf

fn nn

B P B P

Q KdP ndz R R R Rπ +

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠=

− − (3.33)

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35

3.6.2 - CONDIÇÕES DE CONTORNO NAS PAREDES

Nas paredes e fundo do poço, considera-se as condições de não deslizamento

com velocidade nulas e nas paredes internas e externas da coluna de perfuração e broca

que giram, a condição de não deslizamento impõe que a componente de velocidade do

fluido na direção azimutal , f pv rθ ω= , onde ω é velocidade angular de rotação e pr é o

raio interno ou externo da coluna ou da broca, de acordo com a região que o fluido

esteja.

Para as partículas a condição de contorno nas paredes é descrita através do

coeficiente de restituição, que é definido pela razão entre a magnitude da velocidade

após e antes da colisão com a parede. Neste estudo, considerou-se o coeficiente de

restituição igual a 1 (colisão elástica), tanto para as colisões com a parede do poço

quanto para as colisões com a parede da broca.

3.6.3 - CONDIÇÕES DE CONTORNO NA SAÍDA

A partir do domínio escolhido verifica-se que a região com seção transversal

constante (L3) é maior que a região com seção variável (L2), ( )3 3 2L L≈ , portanto na

saída considerou-se um escoamento hidrodinamicamente desenvolvido ao longo da

direção z que também apresenta simetria axial, sem fluxo no sentido radial. Portanto é

um escoamento bidimensional ( ), , ,0, 0 0r f z f fv v e vθ= ≠ ≠ apenas com

dependência radial , , , , , ,0, 0 0z f f z f f z f fv v v v v ve

z z r rθ θ θ

θ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞

= = = = ≠ ≠⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠,

conseqüentemente, tem-se:

( ) ( )( ), , , ,z f z f f fv v r e v v rθ θ= = (3.34)

Substituindo isto na função viscosidade fη obtem-se:

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36

122 2

, ,

n

z f ff

v vK r

r r rθη

⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂⎜ ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.35)

Portanto, para uma dada reologia, tem-se:

( )f f rη η= (3.36)

A fração volumétrica de fluido para um escoamento desenvolvido em z com

dependência radial, também se torna função apenas de r , então :

( )f fr r r= (3.37)

Substituindo estes resultados na equação da quantidade de movimento linear na

direção radial, obtem-se:

2

,f f pfrf

f

dp v Mdr r r

θρ= + (3.38)

Devido à presença do gradiente de pressão radial causado pela rotação,

conforme mostrado na equação anterior, a condição de contorno na saída do escoamento

será uma condição de pressão média. Esta pressão média para fins de simulação pode

ter qualquer valor pois, como o fluido é incompressível, o escoamento depende apenas

das diferenças de pressão e não de seu valor absoluto. Nas simulações, esta pressão

média será considerada igual a zero, embora se saiba que o seu valor não será

efetivamente este. O valor real da pressão corresponde a pressão hidrostática do fluido

mais as perdas de carga no escoamento até o topo da coluna.

3.6.4 - CONDIÇÕES DE CONTORNO DE PERIODICIDADE

Para reduzir o custo computacional, graças a simetria axial em torno do eixo z ,

foi considerado como domínio a ser estudado apenas uma fatia de 30° da geometria

representada na Figura 3.1.

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37

A Figura 3.3 a seguir ilustra o domínio estudado, destacando os planos que o

delimitam. Nestes planos, aplicou-se a condição de contorno de periodicidade

rotacional, onde o campo de escoamento é repetido nos dois lados da interface periódica

por uma simples transformação rotacional sobre o eixo z .

A independência dos perfis de velocidades em r e z ao longo dos valores de θ

considerados, permite avaliar se efetivamente existe simetria axial.

Figura 3.3 – Condição de contorno de periodicidade

3.6.5 - INJEÇÃO DE SÓLIDOS

Neste estudo, o escoamento no interior da broca e da coluna é um escoamento

bifásico composto pelo fluido de perfuração e por particulados das formações rochosas

gerados pela broca de perfuração. Portanto, foi simulada a formação do cascalho

impondo uma injeção de particulados na região entre a extremidade da broca de

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38

perfuração e o fundo do poço, mais exatamente na metade desta distância que, de

acordo com a Tabela 3.1 (cota L1), mede 12,7 mm.

De acordo com (FERREIRA et al., 2002), considerou-se uma distribuição

normal de diâmetros de cascalho. Nesta distribuição normal, o valor médio considerado

para os diâmetros do cascalho foi de 1,4 mm e o desvio padrão foi de 0,44 mm. A vazão

mássica de cascalhos injetados é determinada em função da velocidade de avanço da

broca no fundo do poço.

Foi considerado que os cascalhos gerados tem a mesma velocidade tangencial da

broca de perfuração e velocidade axial zero. Além disso, a distribuição espacial dos

pontos de injeção foi uniforme e os diâmetros das partículas associados a cada ponto de

injeção foram randomicamente selecionados com base na distribuição considerada. A

Figura 3.4 a seguir, ilustra a condição de geração de sólidos.

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39

Figura 3.4 - Região de geração de sólidos

Broca de perfuração

Parede do poço

Fundo do poço Região de geração de particulados

Diâmetro do poço

Diâmetro interno da broca

Diâmetro externo da broca

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40

4 - MODELAGEM NUMÉRICA NO CFX-5

O CFX-5, utilizado neste trabalho, é um software de simulação para resolução

numérica de problemas envolvendo mecânica de fluidos e transferência de calor e massa. O

programa emprega a metodologia de Volumes Finitos utilizando malhas não estruturadas.

Além de resolver as equações da continuidade e da quantidade de movimento em três

dimensões, o software possui uma considerável quantidade de modelos para diferentes

aplicações que vão desde modelos para o fechamento da turbulência até modelos para

escoamentos em meios porosos, combustão, escoamentos multifásicos, entre outros.

Uma outra característica interessante deste software é que permite a inclusão de

novos modelos ou a modificação dos já implementados, sejam estes para a consideração de

fenômenos físicos ou modificação de esquemas numéricos, através de rotinas em

linguagem FORTRAN (chamadas no código de User Functions) ou expressões de uma

linguagem interpretativa chamada de CEL (CFX Expression Language). Isto torna o

software adequado para pesquisa científica, já que possibilita testar diferentes modelos

matemáticos, analisar influência de determinados parâmetros, etc., sem ser necessário o

árduo trabalho de implementação numérica das equações do movimento ou modelos

matemáticos amplamente conhecidos na literatura. No presente trabalho, tal metodologia

foi utilizada para a implementação do cálculo da força de arrasto utilizando a correlação de

Moore e também na implementação da condição de contorno de injeção de partículas

sólidas no domínio conforme descrita no item 3.6.5.

Para fluidos não Newtonianos, o CFX-5 já dispõe de alguns modelos como o de

Bingham. No entanto, foi necessário utilizar a linguagem CEL para utilizar o modelo de

potência usado no presente trabalho. Ainda, através do CEL podem ser implementadas

condições de contorno e iniciais variáveis.

O CFX-5 é composto por quatro módulos principais, um programa de geração de

geometria e malha (CFX-CAD2Mesh), um programa de setup físico (CFX-Pre), o código

de solução numérica (CFX-5 Solver) e o pós-processador para visualização de resultados

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41

(CFX-Post) e alguns programas auxiliares que facilitam a utilização do software, como um

gerenciador de programas (CFX-Launcher).

No CFX-Pre, é feita toda a modelagem física do escoamento, incluindo a definição

das condições de contorno (inlets, outlets, openings, periodicity), da condição inicial e de

todos os parâmetros de controle do SOLVER. O CFX-Pre gera um arquivo de definição do

problema.

O programa de resolução das equações de conservação discretizadas (SOLVER)

recebe o arquivo de definição e, opcionalmente, um arquivo de resultado como condição

inicial. O arquivo de definição permite passar ao programa todas as informações, inclusive

a malha. Assim, a partir deste arquivo é possível estabelecer todas as condições e modelos a

serem utilizados, sempre que estes já estejam implementados no software. Quando se

requer a implementação de novos modelos ou a modificação dos já implementados, isto

deverá ser feito através da linguagem CEL ou rotinas de usuário em linguagem FORTRAN.

Estas rotinas são compiladas e dinamicamente chamadas pelo código principal do

SOLVER. A implementação de um novo modelo matemático é feita através do arquivo de

definição.

O CFX-5 utiliza o método CVFEM (Control Volume Finite Element Method), ou,

segundo MALISKA (2004), Método dos Volumes Finitos baseados em Elementos.

Basicamente, nessa abordagem a discretização do domínio espacial em volumes de controle

finitos é feita por uma malha. As equações de conservação são integradas sobre cada

volume de controle, tal que cada propriedade (massa, momentum, etc.) seja conservada

para cada volume.

O CFX-5 utiliza um solver acoplado onde as equações hidrodinâmicas são

resolvidas em um único sistema. Essa abordagem de solução usa uma discretização

completamente implícita das equações. Para simulações de regimes permanentes, o passo

de tempo se comporta como um “parâmetro de aceleração” que guia os campos

aproximados, de forma fisicamente coerente, para a solução desejada. Isso reduz o número

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de iterações requeridas para convergência, seja para alcançar o regime permanente, seja

para cada passo de tempo.

O CFX-Post permite a visualização dos resultados das simulações. Entre as

facilidades, pode-se citar:

- Geração de uma variedade de objetos gráficos e geométricos, com controle de

visibilidade, transparência, textura, escalas de cor;

- Integração com a linguagem CEL;

- Visualização de variáveis definidas pelo usuário;

- Geração de arquivos para impressão Postscrip e nos formatos JPEG, PNG e BMP;

- Animações no formato MPEG;

- Gráficos 2D dos tipos XY.

A modelagem de escoamentos multifásicos no CFX considera duas opções distintas:

• Modelo Euleriano-Euleriano

Resolve equações de conservação para cada fase que, em média, ocupam cada ponto

do domínio na proporção de sua fração volumétrica rα . Cada fase tem seu próprio campo

de velocidade, pressão e temperatura. O efeito da presença de um fluido no outro é dado

por termos de transferência entre fluidos nas equações de conservação. Algumas

abordagens multifásicas Euleriana-Euleriana mais simplificadas consideram que o campo

de pressão é compartilhado entre as fases.

• Modelo Lagrangeano-Euleriano

Aplicado somente em escoamentos multifásicos dispersos, onde a trajetória dos

elementos da fase dispersa (partículas) são calculadas individualmente, levando em conta a

interação da partícula com a fase continua.

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43

Esta abordagem é recomendada quando o número de partículas é pequeno (baixa

fração volumétrica) e também quando as partículas possuem propriedades físicas variáveis

(diferentes tamanhos, diferentes composições químicas, etc.).

Este tipo de abordagem apresenta as seguintes vantagens:

- Baixo custo computacional;

- Conhecimento da trajetória das partículas, podendo ainda (via pós processamento)

conhecer distribuição de fração volumétrica;

- Mais adequado para representação da distribuição de diâmetro de partículas;

- Facilidade em prescrever formas de injeção de partículas no domínio;

- Possibilidade de utilizar diversas correlações para arraste e para fator de forma de

partículas.

Pelas razões descritas acima, esta foi a abordagem adotada no presente trabalho.

4.1 - MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS BASEADO EM ELEMENTOS

Os elementos são definidos pelos nós da malha, ou seja, as coordenadas (x,y,z) dos

nós da malha entregues pelo gerador de malhas ao simulador. A criação dos volumes de

controle é feita com base nos elementos e existem duas classes básicas de métodos

baseados na relatividade geométrica entre o volume de controle e o elemento.

As formulações em que o volume de controle é o próprio elemento, chamada cell

center, é a construção clássica do método dos volumes finitos, onde as variáveis a serem

determinadas ficam armazenadas no centro do volume de controle (ou do elemento) e os

pontos em que os fluxos são avaliados (pontos de integração) estão localizados no meio de

cada face e para calculá-los são requeridos valores das variáveis nos centros dos volumes

vizinhos, não sendo possível definir os fluxos com base em propriedades armazenadas

apenas no elemento em questão.

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44

A outra classe, chamada cell vertex, constrói o volume de controle com o centro nos

nós da malha. Assim, as variáveis a serem determinadas no centro do volume de controle,

estarão nos nós da malha, nos pontos que definem o elemento. O volume de controle é

agora formado por partes (subvolumes de controle) dos elementos vizinhos aos quais

pertence o nó onde está a incógnita. O volume de controle é construído ligando-se o

centróide dos elementos ao ponto médio das suas faces. Existem dois pontos de integração

em cada face e portanto tem-se maior precisão numérica na avaliação dos gradientes, pois o

fluxo através da face é agora calculado utilizando-se uma melhor discretização da

superfície de integração. A Figura 4.1 mostra uma malha não estruturada com elementos

triangulares e quadrangulares, em que os volumes de controle centrados nos nós 3 e 4 estão

mostrados, bem como o subvolume de controle SVC3 do elemento 1234 que forma parte

do volume de controle centrado em 3. No balanço para o volume de controle centrado no

nó 3 tomam parte dois pontos de integração do elemento triangular 235 e dois do elemento

quadrangular 1234, além dos outros pontos de integração pertencentes aos elementos que

também contribuem para o volume de controle centrado em 3.

Figura 4.1 - Configuração dos volumes de controle

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45

Essa construção permite portanto que o balanço sobre o volume de controle seja

feito através de um somatório de fluxos calculados nos pontos de integração dos elementos,

com todos os cálculos são feitos para os elementos, origina-se portanto o nome de método

dos volumes finitos baseado em elementos ou Element-based Finite Volume Methods

(EbFVM), uma metodologia de volumes finitos em que a base é o elemento.

São sobre os volumes de controle que são realizados os balanços de conservação

para obter as equações aproximadas, ou seja, o sistema linearizado de equações para cada

variável. A base da metodologia, entretanto, não é trabalhar diretamente com os volumes de

controle, mas sim realizar todos os cálculos para um elemento, criando-se depois as

equações para os volumes de controle através da montagem elemento por elemento, dos

subvolumes de controle envolvidos.

Conforme MALISKA (2004), as coordenadas locais ξ e η , permitem que seja dado

um tratamento independente ao elemento, seja qual for a sua forma geométrica, do gerador

de malha são conhecidas as coordenadas nos vértices dos elementos referidas a um sistema

global de coordenadas, valores no interior do elemento podem ser determinados utilizando-

se as funções de forma.

Para um elemento quadrangular a transformação de coordenadas é dada por:

( ) ( )4

1, ,i i

ix N xξ η ξ η

=

=∑ (4.1)

( ) ( )4

1, ,i i

iy N yξ η ξ η

=

=∑ (4.2)

Com funções de forma bilineares de acordo com:

( ) ( ) ( )11, 1 14

N ξ η ξ η= + + (4.3)

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( ) ( )( )21, 1 14

N ξ η ξ η= − + (4.4)

( ) ( )( )31, 1 14

N ξ η ξ η= − − (4.5)

( ) ( )( )41, 1 14

N ξ η ξ η= + − (4.6)

Já os elementos triangulares possuem funções de forma lineares de acordo com:

( )1 , 1N ξ η ξ η= − − (4.7)

( )2 ,N ξ η ξ= (4.8)

( )3 ,N ξ η η= (4.9)

Da mesma forma que as coordenadas x e y foram representadas pelas funções de

forma pelos seus valores nos pontos nodais ix e iy , a expressão linear para um escalar

geral φ no domínio ( ),ξ η é dada por:

( ) ( )4

1

, ,i ii

Nφ ξ η ξ η φ=

=∑ (4.10)

mostrando que o valor de φ em qualquer ponto ( ),ξ η do elemento é uma ponderação dos

valores nos vértices deste elemento. As derivadas de φ também podem ser obtidas, uma

vez que as funções de forma são contínuas, então:

4

,1

ii

i

Nx x ξ ηφ φ

=

∂∂=

∂ ∂∑ (4.11)

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4

,1

ii

i

Ny y ξ ηφ φ

=

∂∂=

∂ ∂∑ (4.12)

As derivadas das funções de forma em relação a x e y , necessárias nas equações

acima, podem ser obtidas através do sistema linear dado por:

i i iN N Nx yx yξ ξ ξ

∂ ∂ ∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.13)

i i iN N Nx yx yη η η

∂ ∂ ∂∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (4.14)

cuja solução é:

i i iN N Ny yJx ξ η η ξ

∂ ⎡∂ ∂ ⎤∂ ∂= +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

(4.15)

i i iN N Nx xJy η ξ ξ η

∂ ⎡∂ ∂ ⎤∂ ∂= +⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

(4.16)

onde o jacobiano é dado por:

( ) 1J x y x yξ η η ξ

−= − (4.17)

4.1.1 - INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DE CONSERVAÇÃO PARA UM VOLUME

DE CONTROLE QUALQUER

A equação de conservação de uma variável φ genérica é dada por:

( ) ( ) ( ) St

φ φρφ ρ φ φ∂+∇ = ∇ Γ ∇ +

∂Vi i (4.18)

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48

onde, ρ representa a massa específica, V representa o vetor velocidade, φΓ representa o

produto da difusividade da propriedade φ pela massa específica e Sφ representa o termo

fonte.

Na equação anterior, o primeiro termo do lado esquerdo é o termo transiente, que

representa a variação da propriedade φ dentro do volume de controle, o segundo termo do

lado esquerdo representa o balanço advectivo da propriedade φ , o primeiro termo do lado

direito representa o balanço difusivo da propriedade φ , o último termo do lado direito

representa o termo fonte e acomoda tudo o que não é advectivo ou difusivo na equação.

Após a linearização do termo fonte e integrando a equação no volume de controle

centrado em P mostrado na Figura 4.2, tem-se (MALISKA, 2004):

( ) ( ) ( )0 0

P P P Ppi P P Cpi pi

pi pi

M M S S S S Vt

φ φ φφ φ ρ φ φ φ−+ Δ = Γ ∇ Δ + + Δ

Δ ∑ ∑V n ni i (4.19)

onde, PM e 0PM representam a massa em todo o volume de controle centrado em P nos

instantes t t+ Δ e t , respectivamente, e PSφ e CSφ são os coeficientes do termo fonte

linearizado.

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49

Figura 4.2 - Volume de controle centrado em P

Na equação anterior, é preciso avaliar produtos escalares ao longo da superfície de

integração do volume de controle, para isto considera-se a Figura 4.3, onde é mostrado um

volume de controle, sua superfície de integração e os vetores normal e de velocidade, e o

sentido de integração é anti-horário.

Figura 4.3 - Superfície de integração do volume de controle

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50

O vetor normal é dado por:

y xS S

Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠n i j (4.20)

e o produto escalar entre os vetores velocidade e normal multiplicado pela área é:

j jS u y v x u nΔ = Δ − Δ = ΔV ni (4.21)

onde, na segunda igualdade, subentende-se um processo de soma em j , que, em cada

ponto de integração, corresponde a: 1j = , 1n yΔ = Δ e 1u u= , e para 2j = , 2n xΔ = −Δ e

2u v= .

Aplicando a equação acima para todos os pontos de integração da superfície:

( ) ( ) ( )j jpi pipi pi pi

S u y v x u nΔ = Δ − Δ = Δ∑ ∑ ∑V ni (4.22)

O outro produto escalar da equação de conservação será dado por:

( ) jpipi pi pi jpi pi

S y x nx y x

φ φ φφ φ φφ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂

Γ ∇ Δ = Γ Δ − Δ = Γ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ni (4.23)

Portanto, a equação de conservação na forma integrada se torna:

( ) ( )0 0

P P P Pj j pi j P P Cpi

pi pi j pi

M M u n n S S Vt x

φ φ φφ φ φρ φ φ⎛ ⎞− ∂

= − Δ + Γ Δ + + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ ∂⎝ ⎠∑ ∑ (4.24)

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51

4.1.2 – FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO

Inspecionando a equação anterior, verifica-se que o primeiro e o segundo termo do

lado direito representam, respectivamente, a integral dos fluxos advectivo e difusivo pelas

fronteiras do volume de controle. Esses fluxos devem ser avaliados nos pontos de

integração ( )pi através de funções de interpolação que deverão envolver apenas as

incógnitas armazenadas nos nós que definem o elemento.

Para o termo difusivo, as funções de forma podem ser empregadas (MALISKA,

2004), pois pela natureza elíptica, estes termos admitem funções de interpolação lineares,

portanto, considerando os elementos quadrangulares da Figura 4.2 este termo é expresso da

seguinte forma:

( )4 4

1 1

k kk kpi

pi pi k k pi

N NS y xx y

φ φ φφ φ φ= =

⎛ ⎞∂ ∂Γ ∇ Δ = Γ Δ −Γ Δ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ni (4.25)

Para o termo advectivo, não é possível empregar as funções de forma para interpolar

piφ , pois a aproximação resultante seria linear, caracterizando uma aproximação por

diferenças centrais, sabidamente inapropriada para modelar os termos advectivos, pois

causaria oscilações numéricas. Portanto a função de interpolação usada para o termo

advectivo tem a seguinte forma:

pi upφ φ β φ= + ∇ Δri (4.26)

onde na equação acima, piφ é o valor da variável no ponto de integração, upφ é o valor da

variável no nó upwind, φ∇ é o gradiente de φ , Δr é o vetor do nó upwind até o nó no

ponto de integração e β é uma constante entre zero e um para o ponto pi , chamada

blending function.

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52

Escolhas particulares para o valor de β , dão origem a diferentes esquemas de

interpolação. Um valor de β igual a 0, leva ao esquema de primeira ordem conhecido

como UDS (Upwind Difference Scheme), que é um esquema muito robusto (numericamente

estável) que não apresenta oscilações numéricas. Porém devido a sua natureza dissipativa

dá origem à difusão numérica, não conseguindo representar bem escoamentos com

elevados gradientes, podendo chegar a invalidar a solução obtida em casos onde se esteja

interessado na captura desses gradientes.

À medida que o valor de β se afasta de zero e caminha em direção a um, as

propriedades difusivas do esquema upwind são reduzidas. A quantidade β φ∇ Δri é

considerada como uma correção numérica advectiva ou NAC (Numerical Advection

Correction), que pode ser vista como um fluxo anti-difusivo adicionado ao esquema

upwind.

Um valor de β igual a um é formalmente um esquema de segunda ordem, este

esquema embora não apresente a difusão numérica do esquema upwind, é menos robusto e

pode apresentar oscilações numéricas na solução.

O esquema que apresenta melhores resultados é o conhecido como High Resolution

Scheme, neste esquema o valor de β é determinado em função dos gradientes locais,

tornando β próximo a zero em regiões de elevados gradientes e próximo a um em regiões

de baixo gradiente, criando uma interpolação que evita tanto oscilações numéricas quanto

excessiva difusão numérica.

Por recomendação do suporte do CFX-5, neste trabalho o esquema de advecção

adotado foi o de considerar o valor de β igual a 0,75, pois de acordo com sua experiência

em escoamentos rotacionais de moderada à alta freqüência, este esquema é o que se torna

mais estável sem comprometer a acurácia dos resultados.

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53

Com a dedução de todos os termos da equação de conservação e da maneira de se

calcular φ e suas derivadas nos pontos de integração, a seguir é apresentada a forma

discreta desta equação aplicada ao volume de controle centrado em P mostrada na Figura

4.2, explicitando apenas a contribuição do subvolume SVC1:

( ) ( )0 0 4

1 11 81 8

1 1

4 4 4

1 1 181 8

1 1 0

SVC P SVC P kj j pi j j pi kpi pi

k pi

k k kk k k

k k kpipi pi

P P SVC C SVC

M M Nu n u n yt x

N N Nx y xy x y

S V S V contribuiçoes de outros SVC

φ

φ φ φ

φ φ ρ φ ρ φ φ

φ φ φ

φ

=

= = =

− ∂⎛ ⎞+ Δ + Δ − Γ Δ +⎜ ⎟Δ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞Γ Δ − Γ Δ + Γ Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− Δ − Δ + =

∑ ∑ ∑ (4.27)

4.2 – SOLUÇÃO ACOPLADA PRESSÃO VELOCIDADE

A solução segregada pressão-velocidade significa que apenas uma das variáveis foi

escolhida para ser tratada implicitamente na equação de conservação, com as outras

variáveis que poderiam tomar parte, também implicitamente, sendo colocadas no termo

fonte ou nos coeficientes da linearização e, portanto, tratadas explicitamente. Nestes casos

o sistema de equações a ser resolvido tem a seguinte forma, para uma situação

bidimensional:

u u

v v

P P

A u BA v BA P B

=

=

=

(4.28)

Na primeira equação do sistema, a velocidade v e a pressão são tratadas

explicitamente. Nesta forma, as equações de conservação devem ser resolvidas uma a uma,

por isso se chama forma segregada, atualizando os coeficientes e o termo fonte em cada

iteração. Essa atualização das matrizes de coeficientes, que são funções das variáveis,

resolve as não linearidades e o acoplamento entre as equações.

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54

A lógica do acoplamento pressão-velocidade em problemas incompressíveis é gerar

um campo de pressões, que inserido nas equações de movimento dê origem a um campo de

velocidade, que por sua vez satisfaça a equação da continuidade. Portanto a equação da

continuidade não atua de forma ativa no processo de solução, apenas o erro detectado por

ela deve alterar o campo de pressões. As formas de corrigir a pressão baseadas no erro da

conservação da massa dão origem aos diversos métodos existentes de solução segregada do

acoplamento P-V. As soluções segregadas, por avançarem apenas uma variável, deixando

as outras “congeladas”, apresentam instabilidades.

A solução acoplada pressão-velocidade na qual todas as variáveis são atualizadas na

mesma iteração, evita instabilidades apresentando maior robustez, permitindo passos de

tempo maiores e embora apresente um esforço computacional maior em cada iteração,

necessita de menos iterações para obter a convergência. Neste tipo de solução resolve-se

um grande sistema linear, ao invés de vários sistemas menores e, portanto, é requerido um

espaço maior de alocação de memória.

A maior dificuldade em se resolver de forma acoplada a pressão e a velocidade é o

pobre acoplamento da pressão na equação de conservação da massa pois, matematicamente,

o acoplamento entre a pressão e a velocidade não aparece na equação da conservação da

massa, embora, fisicamente seja importantíssimo. Em função deste acoplamento, se um

método robusto de solução é procurado, é importante que todas as variáveis (velocidades e

pressão) apareçam em todas as equações do movimento e também na equação da

conservação da massa.

Portanto, as equações de movimento são resolvidas considerando de forma implícita

o tensor tensão com exceção do divergente da velocidade, que irá para o termo fonte,

ficando então da seguinte forma:

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

000

i i

P i P iP Pj j i ipi pipi

pi pi

j u uij P i CP

pi j i pi

M u M uu n u P n

t

uu n S u S Vx x

ρ

μ

−+ Δ = − Δ +

Δ

⎛ ⎞⎛ ⎞∂∂+ Δ + + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑

∑ (4.29)

Nota-se que a questão mais importante é a inserção da pressão na equação da

conservação da massa. Diversas são as possibilidades para isso, sendo a clássica aquela em

que é tomado o divergente do vetor velocidade, a partir das equações do movimento, e

introduzido na equação da massa, gerando uma equação de Poisson para a pressão. Esta

alternativa, no entanto, não garante a conservação da massa e não é uma forma adequada

para uma solução simultânea, pois agora as velocidades aparecem explicitamente no termo

fonte dessa equação, e o desejado é a presença das componentes do vetor velocidade e da

pressão implicitamente na equação de conservação da massa. Então (MALISKA, 2004), a

alternativa adotada é inserir os efeitos da pressão via funções de interpolação para a

velocidade nos pontos de integração da equação de conservação da massa, ou seja, se os

fluxos de massas forem calculados nos pontos de integração com velocidades que são

funções da pressão, a pressão estará implícita na equação de conservação da massa.

Considerando um problema unidimensional advectivo-difusivo com efeitos de

pressão mostrado na Figura 4.4, tem-se:

2

2

du dP d uudx dx dx

ρ μ= − + (4.30)

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56

Figura 4.4 - Volume de controle 1 D

Aproximando numericamente cada um dos termos da equação:

( )0

2e P

e

u uduu udx x

ρ ρ−

≈Δ

(4.31)

E PP PdPdx x

−≈

Δ (4.32)

( )

2

22

22

P E eu u ud udx x

μ μ + −≈

Δ (4.33)

Substituindo na equação diferencial, tem-se a função de interpolação para a

velocidade na face leste levando em conta os efeitos da pressão:

( )0

2 24 4 2 1 4

e E Pe P E

e e e e

P P Pxu u uP P u P xρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −Δ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + Δ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.34)

onde, eP é o número de Peclet dado por:

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57

0e

eu xP ρμΔ

= (4.35)

Fazendo os limites para o número de Peclet tendendo a zero (problema difusivo) e a

infinito (problema advectivo), tem-se, respectivamente:

( ) ( )2

1 28

P Ee P E

P Pxu u uxμ−Δ ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

(4.36)

02P E

e Pe

P Pxu uu xρ

−Δ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠ (4.37)

Deve-se notar que se fizermos desaparecer a pressão nas equações anteriores,

obtem-se as interpolações por diferenças centrais e upwind respectivamente, fazendo o

mesmo para a velocidade na face oeste, tem-se:

( )( )2

1 28

W Pw W P

P Pxu u uxμ−Δ ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

(4.38)

02W P

w We

P Pxu uu xρ

−Δ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟Δ⎝ ⎠ (4.39)

Levando as equações acima na equação da conservação da massa:

0w eu ududx x

−= =

Δ (4.40)

tem-se, para eP tendendo a zero:

2 2 2

2 2

2 02 8 8

W E E W Pu u P P Px u x Px x x xμ μ

⎛ ⎞− + −Δ ∂ Δ ∂⎛ ⎞+ ≈ + =⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.41)

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58

Para eP tendendo a infinito:

2

0 2 0 2

2 02 2

W P E W P

e e

u u P P Px u x Px u x x u xρ ρ

⎛ ⎞− + −Δ ∂ Δ ∂⎛ ⎞+ ≈ + =⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.42)

A equação da conservação da massa aparece agora modificada por um termo que é a

derivada segunda (Laplaciano) da pressão, o qual atua para distribuir a influência da

pressão. Este é um termo de ordem maior ( está multiplicado por xΔ ) e, portanto, tende a

zero mais rapidamente com o refinamento da malha, recuperando-se, assim, a forma inicial

da equação da conservação da massa.

Com todas as variáveis participando em todas as equações, o sistema de equações a

ser resolvido fica, para uma situação 2D:

uu uv uP u

vu vv vP v

Pu Pv PP P

A u A v A P BA u A v A P BA u A v A P B

+ + =

+ + =

+ + =

(4.43)

Os coeficientes do tipo uvA na equação do movimento para u se originam do termo

pi

v xx

μ ∂Δ

∂∑ com a substituição da derivada pelas derivadas das funções de forma.

Assim, tem-se um sistema de 3N equações a 3N incógnitas, em que N é o número

de volumes de controle da discretização. A estrutura da matriz de coeficientes, para um

domínio com malha estruturada, é mostrada na Figura 4.5, onde cada elemento da matriz é

uma submatriz 3x3 envolvendo os coeficientes de um determinado volume de controle. O

vetor incógnita, simbolizado por φ é um vetor de N componentes do tipo { }, ,u v P , e o

vetor independente tem estrutura semelhante ao vetor incógnita.

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59

Figura 4.5 - Matriz dos coeficientes

A solução do sistema linearizado fornece os valores das variáveis u , v e P para

um determinado conjunto de coeficientes que são função das próprias variáveis. Então, para

levar em conta as não linearidades, a matriz deve ser atualizada e o sistema resolvido

iterativamente até a convergência. Se o problema for transiente, este procedimento se repete

a cada nível de tempo, pois o sistema deve ser resolvido com precisão em cada nível de

tempo.

4.3 – SOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR

Como vimos no item anterior, a matriz de coeficientes obtida pelas equações

discretizadas é bastante esparsa e devido às não linearidades das equações diferenciais, esta

matriz deve ser atualizada ao longo do processo de solução. Assim, devem ser usados

métodos iterativos na solução do sistema linear.

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60

O método usado pelo CFX-5 Solver na resolução do sistema linear é o método de

decomposição LU incompleta, com aceleração de convergência pela técnica de Multigrid

Algébrico.

A desvantagem do método de decomposição LU exata, por ser um método direto de

resolução de sistemas lineares, é o fato dele trabalhar com a matriz cheia, sem tirar proveito

da esparsidade da matriz. A idéia básica dos métodos de decomposição LU incompleta é

encontrar uma matriz próxima à original, armazenando e trabalhando apenas com os não

zeros e resolver iterativamente o sistema linear. Seja o sistema linear dado por:

[ ][ ] [ ]A T B= (4.44)

Tal que:

[ ][ ] [ ] [ ]'L U A A= + (4.45)

O segredo é criar a matriz [ ]'A tal que a decomposição [ ][ ]L U dada pela equação

anterior seja fácil de ser obtida. O método utiliza a seguinte fórmula de recorrência:

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]{ }1' 'k k kA A T A A T A T B++ = + − − (4.46)

onde k indica o nível iterativo. Quando a solução convergida de T é obtida, o segundo

termo do lado direito da equação anterior se anula, resultando ( )1k kT T+ = .

Definindo uma correção no campo de T por:

[ ] [ ] [ ]1 1k k kT Tδ + += − (4.47)

e um resíduo, por:

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61

[ ] [ ][ ] [ ]k kR A T B= − + (4.48)

a equação 4.46, resulta em:

[ ][ ] [ ]1' k kA A Rδ ++ = (4.49)

utilizando a decomposição [ ][ ]L U de [ ]'A A+ , encontra-se:

[ ][ ][ ] [ ]1k kL U Rδ + = (4.50)

A solução pode ser obtida fazendo-se dois processos de substituições sucessivas,

uma vez que as matrizes [ ]L e [ ]U são matrizes diagonais inferior e superior,

respectivamente. Dessa forma, definindo um novo vetor [ ]V , pode-se determiná-lo por:

[ ][ ] [ ]kL V R= (4.51)

Conhecido [ ]V , pode-se determinar [ ]( )1kδ + usando:

[ ][ ] [ ]1kU Vδ + = (4.52)

para através da equação 4.47, determinar a solução de T para o novo nível iterativo.

O processo iterativo segue até que o resíduo calculado com a equação 4.48, seja

menor que a tolerância especificada.

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62

4.3.1 – TÉCNICA MULTIGRID

Durante um processo iterativo o erro embutido na solução pode ser decomposto em

modos de baixas e altas freqüência. A maioria dos métodos iterativos conseguem diminuir

com eficiência os erros de alta freqüência, ou seja, aqueles cujos comprimentos de onda são

equivalentes ao tamanho da malha. Erros com comprimentos de onda maiores, são

dificilmente reduzidos e, portanto, a convergência fica bastante dificultada à medida que se

refina a malha. Além disso, estes métodos atuam com mais eficiência na direção dos

grandes coeficientes.

Os métodos multigrid são métodos utilizados para acelerar a convergência de

processos iterativos usando mais de uma malha. Além dos erros de baixa freqüência, a

anisotropia dos coeficientes é outra razão que indica a necessidade de algum tipo de

aceleração nos métodos iterativos. A anisotropia dos coeficientes pode ocorrer devido à

utilização de malhas com alta razão de aspecto e, também, em problemas com materiais que

tem propriedades físicas anisotrópicas. Essa característica dá origem a duas classes de

métodos multigrid: os geométricos, cuja aglomeração de volumes é feita com base na

malha e os algébricos (usados pelo CFX-5 Solver, conforme já citado anteriormente), cuja

aglomeração é feita considerando a anisotropia dos coeficientes, englobando os dois

efeitos, pois tanto a relação de dimensões como as propriedades físicas aparecem nos

coeficientes.

O procedimento é conceitualmente simples (MALISKA, 2004), bastando identificar

na malha fina a direção na qual os coeficientes são dominantes e, ao longo desta, criar uma

malha grosseira. O princípio básico dessa metodologia é a manutenção dos princípios de

conservação nos blocos de malhas criados a partir da malha fina.

Considere a seguinte equação discretizada, para um volume de controle i qualquer:

i i nb nb iA A bφ φ− =∑ (4.53)

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63

Os nbA são todos os coeficientes do volume i que o conectam com seus vizinhos

nb . Os subíndices minúsculos referem-se a uma determinada malha, enquanto os

maiúsculos referem-se à malha grossa imediatamente acima. A idéia é obter uma solução

aproximada na malha fina, em um certo número de iterações que elimine os erros de alta

freqüência. Não se deve ficar iterando muito na malha fina pois, após terem sido eliminados

os erros de alta freqüência, os de freqüência mais baixa diminuem muito lentamente nessa

malha. Passa-se, então, para a malha mais grossa imediatamente acima.

Seja a correção da variável obtida na malha fina dada por:

,i i I iφ φ φ∗= + (4.54)

onde iφ é solução obtida na malha fina e ,I iφ∗ é a solução obtida na malha mais grossa, que

será a correção aplicada aos volumes i da malha fina que estão nos volumes I da malha

grossa. Lembre que o volume I da malha mais grossa é formado por vários volumes i da

malha mais fina.

Portanto para mantermos os princípios de conservação para os volumes dentro das

malhas I , tem-se:

0ii de I

r =∑ (4.55)

e

nbi i i i nbnb de i

r b A Aφ φ= − + ∑ (4.56)

substituindo a equação 4.54 na equação 4.56, encontra-se:

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64

( ) ( ), ,i i i i I i nb nb NB nbnb de i

r b A Aφ φ φ φ∗ ∗= − + + +∑ (4.57)

ou

, ,i i i i nb nb i I i nb NB nbnb de i nb de i

r b A A A Aφ φ φ φ∗ ∗= − + − +∑ ∑ (4.58)

Reconhecendo que os três primeiros termos do lado direito da equação anterior é

igual ao resíduo ir e satisfazendo a equação 4.55, tem-se:

, ,i i I i nb NB nbi de I i de I nb de i

r A Aφ φ∗ ∗⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭∑ ∑ ∑ (4.59)

Esta equação pode ser escrita da forma tradicional, agrupando os coeficientes que

multiplicam o mesmo φ∗ :

I I nb NB IA A bφ φ∗ ∗= +∑ (4.60)

onde:

I ii de I

b r= ∑ (4.61)

As expressões IA e nbA serão mostradas com um exemplo baseadas nas Figuras 4.6

e 4.7 a seguir:

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65

33

27

21

1 2

Figura 4.6 - Malha fina

13

14

15

16

17

18

7

8

9

10

11

12

1

2

3

4

5

6

Figura 4.7 - Malha aglomerada pelo multigrid

Na Figura 4.6 tem-se uma malha fina com volumes denotados pela numeração i e

na Figura 4.7 tem-se a malha grossa com volumes denotados pela numeração I . O volume

I = 9, possui os volumes i = 21, 27 e 33 da malha fina. O termo independente Ib é

calculado com os resíduos das equações para os volumes i que estão contidos em I . O

coeficiente central IA do volume 9 e os coeficientes que conectam o volume I = 9 com

seus vizinhos (volumes 8, 10, 3 e 15) são calculados por:

9 21 27 33 21 27 33 27I I I I n n s sA A A A A A A A= + + − − − − (4.62)

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9 21 27 33e e e eA A A A= + + (4.63)

9 21 27 33w w w wA A A A= + + (4.64)

9 33n nA A= (4.65)

9 21s sA A= (4.66)

9 21 27 33b r r r= + + (4.67)

Portanto a solução da equação 4.60 na malha mais grossa dá origem aos valores de

φ∗ que serão utilizados para corrigir cada um dos iφ aglomerados em I . Na determinação

de φ∗ , por ser uma malha mais grossa, estarão sendo reduzidos os erros com um

comprimento de onda maior. Após esses erros serem reduzidos a taxa de convergência cai

novamente, sendo necessário passar para uma outra malha ainda mais grossa para eliminar

erros com comprimentos de onda ainda maiores, em um processo que leva a uma malha

bastante grosseira, onde até uma solução direta (exata) seria possível. Obtendo a solução na

malha mais grossa possível, as correções são agora passadas através da equação 4.54, para

a penúltima malha mais grossa. Neste ponto, deve ser decidido se continua subindo com o

processo até chegar na malha mais fina, ou se da penúltima malha volta-se para a última

malha. Estes procedimentos são chamados ciclos e o controle desses ciclos é definido pelo

quanto se deseja reduzir o resíduo ou pela velocidade de convergência que está sendo

obtida. Por exemplo, se em uma determinada malha a taxa de redução do resíduo não está

sendo conseguida, passa-se para a malha mais grossa.

Os métodos de aceleração multigrid permitem obter soluções de sistemas lineares

cujo tempo de computação varia linearmente com o número de nós na malha, uma

contribuição enorme ao tempo total exigido na simulação.

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67

O resíduo até aqui considerado, dado pelo desbalanceamento dos sistemas lineares é

o resíduo bruto. Para monitorar a solução e obtermos um critério de convergência, trabalha-

se com o resíduo normalizado. O CFX-5 calcula o resíduo normalizado a partir da seguinte

expressão:

p

rrnora φ

(4.68)

onde, r é resíduo bruto obtido para o volume de controle, pa é um valor representativo do

coeficiente do volume de controle e φΔ é um valor representativo da faixa de variação da

variável φ no domínio.

Neste estudo, adotou-se como parâmetro de convergência o valor de 410− de resíduo

máximo normalizado.

4.4 - ROTINAS FORTRAN ACOPLADAS AO MODELO

O CFX-5, utilizado neste trabalho, permite que rotinas do usuário escritas em

FORTRAN 77 ou FORTRAN 90 sejam acopladas ao modelo físico, possibilitando a

modificação dos modelos físicos. Estas rotinas definidas pelo usuário podem incluir

condições iniciais e de contorno, termos fontes, injeções de partículas dentre outras. A

criação de bibliotecas compartilhadas permite que estas rotinas possam ser usadas toda vez

que forem chamadas pelo CFX-5 Solver, sem a necessidade de serem compiladas

novamente. A localização destas bibliotecas compartilhadas são definidas no CFX-Pre.

Neste trabalho criou-se duas rotinas em FORTRAN, uma delas chamada

mydragsource, para o cálculo do coeficiente de arrasto das partículas ( DC ), no qual foi

utilizada a correlação de Moore (Buorgoyne et al., 1991), conforme já descrito no capítulo

3. A outra rotina criada se chama injection, ela se refere à condição de contorno de injeção

de sólidos também descrita no capítulo 3, nesta rotina definiu-se a região de injeção das

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68

partículas, bem como a quantidade de partículas injetadas e a velocidade na qual elas são

injetadas dentro do domínio. Os códigos fontes destas duas rotinas estão listados no

Apêndice 1.

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69

5 - RESULTADOS

Pelo fato deste problema apresentar uma simetria axial, conforme já descrito no

Capítulo 3, foi selecionado um domínio de cálculo que compreende apenas uma fatia de

30° em torno do eixo Z, conforme mostrado na Figura 5.1.

Figura 5.1 – Domínio simulado

Os parâmetros operacionais usados nas simulações são representativos de uma

perfuração de poços de petróleo com 8 ½” de diâmetro, conforme geometria descrita no

capitulo 3.

Entrada Saída ParedeBroca

ParedePoço

Planos de simetria

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70

Inicialmente foram feitas seis simulações com o refinamento da malha para analisar

a convergência em malha e mais três simulações variando a quantidade de pontos de

injeção de partículas no domínio (trajetórias de partículas), visando verificar a convergência

do acoplamento entre as fases.

A seguir, visando determinar a influência dos parâmetros físicos no transporte das

partículas, foi realizada primeiramente uma simulação padrão, a partir da qual variou-se os

diversos parâmetros, tendo sido realizadas ao todo onze simulações, conforme descrito a

seguir.

Para determinar a influência da viscosidade do fluido, foram simulados além do

caso padrão, mais dois fluidos com reologias diferentes. Uma outra simulação foi feita

visando determinar a influência da condição de entrada de sólidos no domínio. A influência

da rotação da broca foi também verificada considerando mais duas rotações diferentes.

Também foi testada a influência da distribuição de tamanhos de partículas, variando o seu

diâmetro médio e o seu desvio padrão em mais três outras simulações. A influência da

vazão mássica das partículas foi analisada através de uma nova simulação. Finalmente, foi

feita a comparação da circulação reversa com a circulação convencional. No decorrer deste

capítulo, irá ser descrito cada uma dessas simulações.

Na determinação da vazão de bombeamento do fluido de perfuração, procurou-se

um valor que garantisse que o escoamento fosse laminar, pois conforme descrito no

Capítulo 3, esta é uma das hipóteses adotadas neste trabalho. De acordo com METZNER e

REED (1955) e complementado por METZNER (1957), o número de Reynolds

generalizado de um fluido não Newtoniano representado pelo modelo de potência, é dado

por:

2

1

Re1 3 8

4

n n

MR nn

D VnK

n

ρ−

=+⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.1)

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71

onde, K é o índice de consistência, n é o índice de comportamento do fluido, ρ é a massa

específica, D é o diâmetro da tubulação e V é a velocidade média na seção. Ainda de

acordo com METZNER e REED (1955), resultados experimentais indicaram que o regime

laminar estável se estende para valores de ReMR de até 2000 a 2500.

Dos três fluidos com propriedades reológicas distintas, apenas o fluido com menor

viscosidade aparente, por ser o mais crítico em termos de transição para o regime

turbulento, foi considerado na determinação do valor máximo da vazão para o regime ser

laminar.

Foi determinada a vazão crítica para o tubo e para a região mais estreita do anular

considerando a aproximação que usa o raio hidráulico (BUORGOYNE et al., 1991), os

resultados estão expressos na Tabela 5.1:

Tabela 5.1 – Determinação da vazão crítica.

TUBO ANULAR

ReMR 2000 ReMR 2000

K (Pa sn) 0,2672 K (Pa sn) 0,2672

N 0,664 n 0,664

D (m) 0,0715 Deq (m) 0,0216

ρ (Kg/m3) 1174,3 ρ (Kg/m3) 1174,3

QMAX (m3/s) 0,0054 QMAX (m3/s) 0,018

Portanto, de acordo com a tabela anterior a vazão a ser adotada nas simulações será

de 0,0054 m3/s , garantindo um escoamento laminar.

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72

5.1 – ESTUDOS DE CONVERGÊNCIA

5.1.1 – ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DA MALHA

Um fator importante para a validação dos resultados e para a melhor resolução das

equações é o refinamento da malha. Deve-se escolher a malha de forma que a solução

venha de uma decisão de compromisso entre a maior exatidão e o maior tempo de

processamento. Quanto mais fina a malha, maior a exatidão da solução, mas também, mais

lento é o processamento levando mais tempo para a convergência da solução.

Foram estudadas 6 malhas tridimensionais, em ordem crescente de refinamento,

todas foram malhas não estruturadas com elementos do tipo tetraedro, pirâmide e prismas,

geradas pelo CFX-Mesh.

Todas possuem maior concentração de elementos na região do fundo do poço, onde

ocorrem os maiores gradientes devido às mudanças de direção do fluido. Além disso todas

possuem camadas de prismas nas regiões próximas às paredes (inflation), para melhor

captar os gradientes de velocidade nestas regiões. A partir dos resultados obtidos nas

malhas mais grosseiras, verificou-se a necessidade de um refino maior na região próxima

ao eixo da broca ao longo de todo o comprimento do domínio, devido à dificuldade de

convergência do escoamento rotacional nesta região.

O fluido utilizado nestas simulações foi o fluido menos viscoso, já que leva aos

maiores valores do número de Reynolds, sendo, portanto, o caso mais crítico para testar a

convergência em malha. A Tabela 5.2 lista os parâmetros utilizadas nestas simulações.

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73

Tabela 5.2 – Parâmetros utilizados nas simulações.

Vazão do fluido de perfuração (m3/s) 0,0054

Rotação da broca (rpm) 20

Vazão mássica de cascalhos (kg/s) 0,071

Densidade dos cascalhos (kg/m3) 2588

Quantidade de pontos de injeção de cascalhos 2016

Indice de comportamento n 0,664

Indice de consistência K (Pa sn) 0,2672 Fluido

Densidade (kg/m3) 1174

Diâmetro médio (m) 0,0014 Cascalhos (Distribuição Normal)

Desvio Padrão (m) 0,00044

A Tabela 5.3 mostra as características das malhas utilizadas, e a Figuras 5.2 e 5.3 a

seguir ilustram a configuração das mesmas, considerando uma seção da parte superior do

domínio e outra seção da parte inferior do domínio (fundo do poço). Procurou-se manter

um fator de expansão do número de nós entre malhas sucessivas em torno de 50%.

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74

Tabela 5.3 – Caracterização das malhas.

MALHA 1 MALHA 2 MALHA 3 MALHA 4 MALHA 5 MALHA 6

Número de

nós 69118 156096 293814 453925 625647 898817

Número de

Elementos 210064 515679 1107498 1823278 2797739 4171798

Tetraedros 140236 363039 875020 1514438 2517829 3805676

Prismas 69796 152640 232456 308823 279893 365969

Pirâmides 32 0 22 17 17 153

Máxima

razão de

aspecto

20,38 28,63 40,38 30,85 42,12 45,83

Número

relativo de

nós

1 2,26 4,25 6,57 9,05 13,00

% de

aumento de

nós entre

malhas

sucessivas

___ 126 88 54 38 44

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75

Figura 5.2 – Malhas 1, 2 e 3 respectivamente.

Figura 5.3 – Malhas 4, 5 e 6 respectivamente.

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76

Neste trabalho, será mostrada a convergência de perfis de velocidade ao longo de

linhas formadas pela intersecção de planos Z = constante com um dos planos de simetria,

como mostrado na Figura 5.1. Os valores escolhidos de Z foram iguais a 1,2 m, 0,85 m,

0,50 m, 0,25 m, 0,075 m e 0,00635 m. O perfil na linha formada pela intersecção do plano

x = - 0,1 m e um dos planos de simetria também foi analisado. Para melhor compreensão, a

Figura 5.4 ilustra estas localizações.

Figura 5.4 – Seções de corte ao longo do domínio.

A Tabela 5.4 apresenta os resultados de perda de carga e percentual de partículas

presas no domínio para as diversas malhas. Pode-se notar que os valores obtidos para a

perda de carga foram muito próximos para todas as malhas, conforme é mostrado através

dos desvios relativos calculados usando a malha 5 como referência. O percentual de

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77

partículas presas no domínio também variou relativamente pouco com o refino de malha,

ficando praticamente idêntico para as malhas 5 e 6.

Tabela 5.4 – Comparação dos resultados para diferentes malhas.

As Figuras 5.5 a 5.20 fornecem os perfis de velocidades axial, tangencial e radial

nas várias seções ao longo do domínio, a fim de se verificar a convergência com o

refinamento da malha.

PERDA DE CARGA (Pa) DESVIO RELATIVO (%)

MALHA 1 3090,66 1,83

MALHA 2 3059,45 0,81

MALHA 3 3004,86 0,99

MALHA 4 3013,47 0,71

MALHA 5 3034,96 _____

MALHA 6 3016,63 0,61

(%) PARTÍCULAS PRESAS NO

DOMÍNIO

(%) PARTÍCULAS SAEM DO

DOMÍNIO

MALHA 1 5,75 94,25

MALHA 2 0,25 99,75

MALHA 3 1,59 98,41

MALHA 4 2,08 97,92

MALHA 5 7,54 92,46

MALHA 6 7,19 92,81

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78

Figura 5.5 – Convergência no perfil de velocidade axial no tubo (Z=1,20 m).

Figura 5.6 – Convergência no perfil de velocidade axial no tubo (Z=0,25 m).

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79

Figura 5.7 – Convergência no perfil de velocidade axial no tubo (Z=0,075 m).

Figura 5.8 – Convergência no perfil de velocidade axial no anular (Z=1,20 m).

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80

Figura 5.9 – Convergência no perfil de velocidade axial no anular (Z=0,25 m).

Figura 5.10 – Convergência no perfil de velocidade axial (Z=0,00635 m).

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81

Figura 5.11 – Convergência no perfil de velocidade axial (X= – 0,10 m).

Figura 5.12 – Convergência no perfil de velocidade tangencial no tubo (Z= 1,20 m).

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82

Figura 5.13 – Convergência no perfil de velocidade tangencial no tubo (Z= 0,25 m).

Figura 5.14 – Convergência no perfil de velocidade tangencial no tubo (Z= 0,075 m).

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83

Figura 5.15 – Convergência no perfil de velocidade tangencial no anular (Z= 1,20 m).

Figura 5.16 – Convergência no perfil de velocidade tangencial no anular (Z= 0,25 m).

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84

Figura 5.17 – Convergência no perfil de velocidade tangencial (Z= 0,00635 m).

Figura 5.18 – Convergência no perfil de velocidade tangencial (X= – 0,10 m).

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85

Figura 5.19 – Convergência no perfil de velocidade radial (Z= 0,00635 m).

Figura 5.20 – Convergência no perfil de velocidade radial (X= – 0,10 m).

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86

De acordo com estas figuras, nota-se uma boa concordância entre os resultados nas

malhas 5 e 6 para todos os perfis de velocidade considerados. Desta forma, considerou-se

que foi atingida a convergência em malha entre as malhas 5 e 6 e escolheu-se então a malha

5 para ser a adotada nas simulações, dentro do compromisso de exatidão versus tempo de

processamento.

5.1.2 – ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DA QUANTIDADE DE PONTOS DE

INJEÇÃO DE CASCALHOS (TRAJETÓRIAS)

O número de pontos de injeção das partículas tem influência nos resultados, visto

que está sendo simulando um escoamento multifásico onde a fase dispersa é tratada com

uma abordagem Lagrangeana e, portanto, envolve a integração da trajetória de um certo

número de partículas representativas através do domínio estudado. Cada ponto de injeção

corresponde a uma trajetória que é traçada para uma partícula cujo tamanho é

aleatoriamente escolhido a partir da distribuição de tamanho considerada. Quanto maior o

número de trajetórias melhor é a descrição do acoplamento entre as fases, mas também

maior é o tempo de CPU gasto na fase dispersa.

A verificação da convergência nos resultados variando o número de pontos de

injeção foi feita considerando três valores do número de trajetórias representativas: 528,

1035 e 2016. O fluido considerado nestas simulações, foi o de mais baixa viscosidade por

ser o mais crítico em termos de convergência, conforme já descrito no item 5.1.1. A Tabela

5.5 lista os parâmetros utilizadas nestas simulações.

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87

Tabela 5.5 – Parâmetros utilizados nas simulações.

Vazão do fluido de perfuração (m3/s) 0,0054

Rotação da broca (rpm) 20

Vazão mássica de cascalhos (kg/s) 0,071

Densidade dos cascalhos (kg/m3) 2588

Malha utilizada 5

Indice de comportamento n 0,535

Indice de consistência K (Pa sn) 0,81 Fluido

Densidade (kg/m3) 1174

Diâmetro médio (m) 0,0014 Cascalhos (Distribuição Normal)

Desvio Padrão (m) 0,00044

A Tabela 5.6 apresenta os resultados para a perda de carga e para o percentual de

partículas presas no domínio. Pode-se notar que os valores obtidos para a perda de carga e

para o percentual de partículas presas no domínio foram idênticos em todas as simulações,

indicando que os números de trajetórias de partículas considerados apresentaram a mesma

influência no escoamento da fase líquida.

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88

Tabela 5.6 – Comparação da quantidade de pontos de injeção.

TRAJETÓRIAS PERDA DE CARGA (Pa) DESVIO RELATIVO (%)

528 3040,07 0,01

1035 3040,09 0,01

2016 3039,67 _____

(%) PARTÍCULAS PRESAS NO

DOMÍNIO

(%) PARTÍCULAS SAEM DO

DOMÍNIO

528 7,58 92,42

1035 7,05 92,95

2016 7,54 92,46

Para confirmar a convergência no número de trajetórias de partículas, apresenta-se

nas Figuras 5.21 e 5.22, os perfis de velocidade axial e tangencial respectivamente, na

seção do domínio correspondente ao tubo e Z = 0,25 m. Pode-se notar a perfeita

correspondência nos perfis de velocidade, indicando que se obteve a convergência. Nas

simulações que se seguem, optou-se por adotar 2016 trajetórias, pois, apesar do maior custo

computacional, temos uma distribuição mais homogênea das fontes de quantidade de

movimento na fase contínua geradas pela presença das partículas.

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89

Figura 5.21 – Convergência no perfil de velocidade axial no tubo (Z= 0,25 m).

Figura 5.22 – Convergência no perfil de velocidade tangencial no tubo (Z= 0,25 m).

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90

5.2 – INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS FÍSICOS

A seguir é apresentada a Tabela 5.7, com os parâmetros utilizados na simulação

padrão, todas as demais simulações descritas neste capítulo, serão comparadas a esta

simulação.

Tabela 5.7 – Parâmetros utilizados na simulação padrão.

Vazão do fluido de perfuração (m3/s) 0,0054

Rotação da broca (rpm) 20

Vazão mássica de cascalhos (kg/s) 0,071

Densidade dos cascalhos (kg/m3) 2588

Malha utilizada 5

Quantidade de pontos de injeção de cascalhos 2016

Indice de comportamento n 0,535

Indice de consistência K (Pa sn) 0,81 Fluido

Densidade (kg/m3) 1174

Diâmetro médio (m) 0,0014 Cascalhos (Distribuição Normal)

Desvio Padrão (m) 0,00044

O processamento computacional da simulação padrão foi realizado com 5 máquinas

em paralelo. Todas com processadores Intel Pentuim 4 com velocidade de 3,0 GHz e 1 Gb

de memória, levando um tempo de aproximadamente 8 horas e 40 minutos, até atingir a

convergência.

5.2.1 – INFLUÊNCIA DA REOLOGIA

Para analisar a influência da reologia no transporte dos cascalhos, foram estudados

três tipos de fluidos com a mesma densidade mas com reologias distintas. Todos os fluidos

são não Newtonianos e, conforme descrito no capitulo 3, foi utilizado o modelo de potência

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91

para descrever a função viscosidade. A Tabela 5.8 lista os parâmetros utilizados nestas

simulações e a Tabela 5.9 fornece os valores dos parâmetros reológicos dos fluidos

utilizados.

Tabela 5.8 – Parâmetros utilizados nas simulações.

Vazão do fluido de perfuração (m3/s) 0,0054

Rotação da broca (rpm) 20

Vazão mássica de cascalhos (kg/s) 0,071

Densidade dos cascalhos (kg/m3) 2588

Malha utilizada 5

Quantidade de pontos de injeção de cascalhos 2016

Diâmetro médio (m) 0,0014 Cascalhos (Distribuição Normal)

Desvio Padrão (m) 0,00044

Tabela 5.9 – Dados dos fluidos utilizados.

Indice de comportamento n 0,664

Indice de consistência K (Pa sn) 0,2672 Fluido 1

Densidade (kg/m3) 1174

Indice de comportamento n 0,535

Indice de consistência K (Pa sn) 0,81 Fluido 2

Densidade (kg/m3) 1174

Indice de comportamento n 0,53

Indice de consistência K (Pa sn) 1,5082 Fluido 3

Densidade (kg/m3) 1174

A seguir, as Figuras 5.23 e 5.24 apresentam as curvas de tensão de cisalhamento e

viscosidade aparente para os três fluidos analisados.

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92

Figura 5.23 – Curva de tensão de cisalhamento para os fluidos utilizados.

Figura 5.24 – Curva de viscosidade aparente para os fluidos utilizados.

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93

Analisando os gráficos anteriores, nota-se que os fluidos exibem um comportamento

pseudoplástico, ou seja, à medida que a taxa de cisalhamento aumenta ocorre uma

diminuição da viscosidade, o que é caracterizado pelo valor de n (índice de

comportamento) entre 0 e 1.

Nota-se ainda que, para todos os valores de taxa de cisalhamento, a viscosidade

aparente é maior para o fluido 3 e menor para o fluido 1, apresentando valores

intermediários para o fluido 2, o que nos leva a concluir que o fluido 3 é mais viscoso que o

fluido 2, que por sua vez é mais viscoso que o fluido 1. Além disso, de acordo com a

Tabela 5.9, verifica-se que todos os fluidos apresentam valores de n muito próximos e o

fluido 3 apresenta o maior valor de K (índice de consistência ), seguido pelo fluido 2 e

depois pelo fluido 1. Como se sabe que este parâmetro indica o grau de resistência do

fluido ao escoamento, para fluidos com valores de n próximos, quanto maior o valor de K

mais viscoso será o fluido.

A Tabela 5.10 fornece os resultados de perda de carga e percentual de partículas

presas no domínio. Pode-se notar que considerando o fluido 1 como referência, os valores

obtidos para perda de carga foram cerca de 20% maiores para o fluido 2 e de 75% maiores

para o fluido 3, como era de se esperar. O percentual de partículas presas no domínio variou

relativamente pouco com a reologia dos fluidos, observando-se um pequeno percentual de

partículas presas para o fluido 1 e nada para os fluidos 2 e 3.

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94

Tabela 5.10 – Comparação dos fluidos.

PERDA DE CARGA (Pa) DESVIO RELATIVO (%)

FLUIDO 1 3034,96 _____

FLUIDO 2 3673,06 21,02

FLUIDO 3 5307,90 74,90

(%) PARTÍCULAS PRESAS NO

DOMÍNIO

(%) PARTÍCULAS SAEM DO

DOMÍNIO

FLUIDO 1 3,5 96,5

FLUIDO 2 0 100

FLUIDO 3 0 100

Figura 5.25 – Partículas presas no domínio (fluido 1).

A Figura 5.25 ilustra as trajetórias das partículas que ficaram presas no domínio

para a simulação com o fluido 1. Nota-se que as partículas presas no domínio ficaram

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95

retidas no vórtice inferior na base do domínio ou, então, foram centrifugadas para a parede

interna do tubo e não conseguiram atingir a região de saída. Este último caso ocorre

especialmente para as partículas de maior diâmetro, pois são as que estão submetidas às

maiores forças centrífugas.

Conforme dito no Capítulo 3, a aplicação da abordagem Lagrangeana envolve a

integração da trajetória das partículas através do domínio a partir do seu ponto de injeção

até saírem do domínio ou até encontrar um critério limite de integração (tempo máximo ou

distância máxima percorrida). Para as nossas simulações, adotou-se respectivamente os

limites de 40 s e 20 m, considerados mais que suficientes para as partículas saírem do

domínio. Foram feitas simulações adicionais com a intenção de ampliar os limites de

integração de partículas, levando-os para 80 s e 40 m e verificou-se que, apesar de ter

aumentando consideravelmente o tempo de CPU gasto na simulação da fase dispersa, tanto

as partículas presas no vórtice inferior quanto as que são centrifugadas até a parede interna

do tubo, continuaram presas e não conseguiram deixar o domínio. Portanto, nas demais

simulações deste trabalho, os limites utilizados na integração das partículas foram os

considerados inicialmente (tempo máximo de 40 s e distância máxima de 40 m).

A Figura 5.26, compara os vetores de velocidade na base do domínio para os fluidos

1 e 2, podendo-se verificar que para o fluido 2, não existe o vórtice responsável pelo

aprisionamento de partículas como ocorre para o fluido 1.

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96

Figura 5.26 – Vetores de velocidade na base do domínio (fluidos 1 e 2).

As Figuras 5.27 e 5.28, mostram as distribuições das partículas na saída do domínio

para o fluido 1 (menos viscoso) e o fluido 3 (mais viscoso), respectivamente.

FLUIDO 1 FLUIDO 2

COM VÓRTICE SEM VÓRTICE

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97

Figura 5.27 – Distribuição dos cascalhos na saída do domínio (fluido 1).

Figura 5.28 – Distribuição dos cascalhos na saída do domínio (fluido 3).

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98

Nota-se claramente a maior centrifugação das partículas no fluido 1, principalmente

as de maior diâmetro, algumas das quais não conseguem sair do domínio. Esta

centrifugação é função da maior velocidade tangencial atingida por este fluido conforme

mostra a Figura 5.29, onde os perfis de velocidade tangencial para os três fluidos estão

apresentados na seção do domínio correspondente ao tubo e Z = 0,85 m.

Figura 5.29 – Perfis de velocidade tangencial no tubo para diferentes fluidos (Z = 0,85 m).

A Figura 5.30 apresenta os perfis de velocidade axial para os três fluidos na mesma

seção da figura anterior (Z = 0,85 m). Pode-se observar que os perfis para os fluidos 1 e 2

são quase coincidentes enquanto que o perfil para o fluido 3 mostra uma maior curvatura na

região do tubo. Deve-se notar que todos perfis apresentam a mesma área inferior, pois a

vazão é a mesma nos três casos. Esta diferença no perfil do fluido 3 é atribuída ao fato do

mesmo apresentar parâmetros reológicos que o tornam significativamente mas viscoso que

os outros dois fluidos, o que pode ser visto pelos valores apresentados na Tabela 5.10, para

a perda de carga.

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99

Figura 5.30 – Perfis de velocidade axial no tubo para os diferentes fluidos (Z = 0,85 m).

5.2.2 – INFLUÊNCIA DA VELOCIDADE AXIAL DE INJEÇÃO DAS

PARTÍCULAS

Em todas as simulações realizadas até aqui, considerou-se que os cascalhos são

gerados com a mesma velocidade tangencial da broca de perfuração, porém com velocidade

axial zero. Com a intenção de verificar a influência da velocidade axial de injeção dos

cascalhos no carreamento dos mesmos, especialmente em relação ao aprisionamento deles

no vórtice central inferior da broca, foi assumido que, além da velocidade tangencial da

broca, os cascalhos são injetados com uma componente axial de velocidade de 0,08 m/s.

Este valor corresponde a 10% da velocidade média do fluido na região de injeção de

cascalhos, que é de, aproximadamente, 0,8 m/s, conforme pode-se observar para os fluidos

1 e 2 na Figura 5.26. Nesta simulação utilizou-se o fluido 2, que possui uma viscosidade

intermediaria.

A Tabela 5.11 lista os parâmetros utilizados nestas simulações e a Tabela 5.12

compara os resultados para a perda de carga e para o percentual de partículas presas no

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100

domínio considerando simulações com as partículas sendo injetadas no domínio com ou

sem velocidade axial.

De acordo com os resultados desta última tabela, nota-se que os valores obtidos para

perda de carga e de percentual de partículas presas no domínio foram idênticos em ambas

as simulações, não havendo influência nenhuma da velocidade axial de injeção das

partículas.

Tabela 5.11 – Parâmetros utilizados nas simulações.

Vazão do fluido de perfuração (m3/s) 0,0054

Rotação da broca (rpm) 20

Vazão mássica de cascalhos (kg/s) 0,071

Densidade dos cascalhos (kg/m3) 2588

Malha utilizada 5

Quantidade de pontos de injeção de cascalhos 2016

Indice de comportamento n 0,535

Indice de consistência K (Pa sn) 0,81 Fluido

Densidade (kg/m3) 1174

Diâmetro médio (m) 0,0014 Cascalhos (Distribuição Normal)

Desvio Padrão (m) 0,00044

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101

Tabela 5.12 – Comparação das condições inicias de injeção dos cascalhos.

PERDA DE CARGA (Pa) DESVIO RELATIVO (%)

Velocidade axial = 0,08 m/s 3672,96 0,00

Velocidade axial = 0,0 m/s 3673,06 _____

(%) PARTÍCULAS

PRESAS NO DOMÍNIO

(%) PARTÍCULAS SAEM

DO DOMÍNIO

Velocidade axial = 0,08 m/s 0 100

Velocidade axial = 0,0 m/s 0 100

Para confirmar que para o valor adotado de velocidade axial de injeção de cascalhos

não há nenhuma influência no carreamento dos mesmos ao longo do domínio, é mostrado

nas Figuras 5.31 e 5.32, a velocidade axial das partículas ao longo do domínio para a

simulação com e sem velocidade axial de injeção, respectivamente. Nota-se a perfeita

correspondência nas trajetórias das partículas, bem como nas suas velocidades, indicando

que a velocidade axial de injeção das partículas considerada é insuficiente para alterar os

resultados obtidos sem velocidade axial de injeção.

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102

Figura 5.31 – Velocidade dos cascalhos ao longo do domínio (Vw injeção = 0,08 m/s).

Figura 5.32 – Velocidade dos cascalhos ao longo do domínio (Vw injeção = 0,0 m/s).

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103

5.2.3 – INFLUÊNCIA DA ROTAÇÃO DA BROCA

Para analisar a influência da rotação da broca no transporte dos cascalhos, foram

estudados casos com rotações distintas, cujos valores foram de 10, 20 e 40 rpm. A Tabela

5.13 lista os parâmetros utilizados nestas simulações e a Tabela 5.14 fornece os resultados

de perda de carga e percentual de partículas presas no domínio.

Nesta última tabela, nota-se que os resultados obtidos para 10 e 20 rpm, tanto para a

perda de carga, quanto para o percentual de partículas presas foram similares. Por outro

lado, os resultados com 40 rpm foram bastante diferentes no que se refere ao percentual de

partículas presas, cuja causa é a maior centrifugação existente neste último caso.

Tabela 5.13 – Parâmetros utilizados nas simulações.

Vazão do fluido de perfuração (m3/s) 0,0054

Vazão mássica de cascalhos (kg/s) 0,071

Densidade dos cascalhos (kg/m3) 2588

Malha utilizada 5

Quantidade de pontos de injeção de cascalhos 2016

Indice de comportamento n 0,535

Indice de consistência K (Pa sn) 0,81 Fluido

Densidade (kg/m3) 1174

Diâmetro médio (m) 0,0014 Cascalhos (Distribuição Normal)

Desvio Padrão (m) 0,00044

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104

Tabela 5.14 – Comparação das rotações da broca.

ROTAÇÃO (rpm) PERDA DE CARGA (Pa) DESVIO RELATIVO (%)

40 4155,5 15,52

20 3673,06 2,11

10 3597,12 _____

(%) PARTÍCULAS PRESAS

NO DOMÍNIO

(%) PARTÍCULAS SAEM DO

DOMÍNIO

40 57,74 42,26

20 0 100

10 2,78 97,22

Para melhor analisar o que ocorreu com as partículas, as Figuras 5.33 e 5.34

ilustram as trajetórias das que ficaram presas no domínio para as simulações com 10 e 40

rpm, respectivamente.

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105

Figura 5.33 – Partículas presas no domínio (rotação = 10 rpm).

Figura 5.34 – Partículas presas no domínio (rotação = 40 rpm).

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106

Pela Figura 5.33, nota-se que as partículas presas no domínio para a rotação de 10

rpm ficaram retidas no vórtice inferior na base do domínio junto ao eixo do tubo. Para a

rotação de 40 rpm, de acordo com a Figura 5.34, as partículas ficaram retidas em dois

vórtices próximos à parede do tubo, um deles localizado na extremidade do tubo, no início

da região de contração da seção do tubo e o outro vórtice localizado no final da região de

contração da seção do tubo. Além disso, algumas partículas foram centrifugadas para a

parede interna do tubo e não conseguiram atingir a região de saída.

A Figura 5.35, compara os vetores de velocidade na região de contração da seção do

tubo para as rotações de 10 e 40 rpm. Pode-se verificar que a 10 rpm não existe o vórtice

localizado no final da região de contração da seção do tubo e, também, que o vórtice

localizado na extremidade do tubo, no início da região de contração da seção do tubo é

menor a 10 rpm do que a 40 rpm. Isto, aliado a uma centrifugação menor, faz com que a 10

rpm não ocorra aprisionamento de partículas dentro do domínio. De acordo com esta

mesma figura, pode-se verificar que a 40 rpm não existe o vórtice na base do domínio junto

ao eixo do tubo e, portanto, não ocorre o aprisionamento de partículas nesta região.

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107

Figura 5.35 – Vetores de velocidade na base do domínio (10 e 40 rpm).

L1 L2

VÓRTICE SEM VÓRTICE

VÓRTICESEM VÓRTICE

10 RPM 40 RPM

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108

Figura 5.36 – Distribuição dos cascalhos na saída do domínio (rotação = 10 rpm).

Figura 5.37 – Distribuição dos cascalhos na saída do domínio (rotação = 40 rpm).

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109

As Figuras 5.36 e 5.37 mostram as distribuições das partículas na saída do domínio

para 10 e 40 rpm, respectivamente. Verifica-se na Figura 5.37 o efeito da centrifugação das

partículas, principalmente as de maior diâmetro. Esta centrifugação é função da maior

rotação. A Figura 5.38, mostra o perfil de velocidade tangencial para as três rotações (10,

20 e 40 rpm), na seção do nosso domínio correspondente ao tubo e onde Z = 0,85 m. Por

este gráfico, observa-se que, como era de se esperar, o valor da velocidade tangencial a 40

rpm corresponde ao dobro do valor a 20 rpm, para um dado ponto ao longo do raio, que por

sua vez corresponde ao dobro do valor a 10 rpm.

Figura 5.38 – Perfis de velocidade tangencial no tubo para cada rotação (Z = 0,85 m).

A Figura 5.39 apresenta os perfis de velocidade axial para as três rotações na mesma

seção da figura anterior (Z = 0,85 m), onde se pode observar que os três perfis são bastantes

coincidentes. Esta concordância é atribuída ao fato de que, apesar de estarem submetidos a

rotações significativamente diferentes, as simulações especificam a mesma vazão de fluido

na entrada, conforme Tabela 5.13.

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110

Figura 5.39 – Perfis de velocidade axial no tubo para as diferentes rotações (Z = 0,85 m).

De acordo com o descrito no Capítulo 3, verificou-se que devido à rotação existe

um gradiente de pressão radial, causado pela força centrípeta. A Figura 5.40 mostra os

perfis de pressão para as três rotações (10, 20 e 40 rpm), na seção do nosso domínio

correspondente ao tubo e Z = 0,85 m, onde pode-se observar o aumento significativo do

gradiente de pressão na direção radial em função do aumento da rotação da broca.

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111

Figura 5.40– Perfis de pressão no tubo para cada rotação (Z = 0,25 m).

5.2.4 – INFLUÊNCIA DA DISTRIBUIÇÃO DE TAMANHO DOS CASCALHOS

Conforme definido no Capítulo 3, foi considerado uma distribuição normal de

diâmetros de cascalhos, com um valor médio de 1,4 mm e o desvio padrão de 0,44 mm.

Para analisar a influência da distribuição de tamanho no transporte dos cascalhos, foram

estudados mais três casos diferentes. Em dois deles, o diâmetro médio é variado em cerca

de três vezes para mais e para menos, porém mantendo a mesma relação diâmetro/desvio

padrão. O último caso mantém o mesmo diâmetro médio porém triplica o desvio padrão. A

Tabela 5.15 define os casos nesta seção.

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112

Tabela 5.15 – Dados dos diâmetros e desvio padrão dos cascalhos (Distribuição Normal).

Diâmetro médio (m) 0,00044 CASO 1 (menor diâmetro)

Desvio Padrão (m) 0,00014

Diâmetro médio (m) 0,0014 CASO 2 (caso padrão)

Desvio Padrão (m) 0,00044

Diâmetro médio (m) 0,0045 CASO 3 (maior diâmetro)

Desvio Padrão (m) 0,00142

Diâmetro médio (m) 0,0014 CASO 4 (maior desvio padrão)

Desvio Padrão (m) 0,00132

A Tabela 5.16 lista os parâmetros utilizados nestas simulações e a Tabela 5.17

mostra os resultados para a perda de carga, tendo o caso 2 (caso padrão) como referência, e

para o percentual de partículas presas no domínio. Nota-se que os resultados obtidos para

os casos 1, 2 e 4, tanto para a perda de carga, quanto para o percentual de partículas presas,

ficaram bem próximos, ao passo que os resultados para o caso 3 (maior diâmetro) são

bastante diferentes, principalmente em relação às partículas presas.

Tabela 5.16 – Parâmetros utilizados nas simulações.

Vazão do fluido de perfuração (m3/s) 0,0054

Rotação da broca (rpm) 20

Vazão mássica de cascalhos (kg/s) 0,071

Densidade dos cascalhos (kg/m3) 2588

Malha utilizada 5

Quantidade de pontos de injeção de cascalhos 2016

Indice de comportamento n 0,535

Indice de consistência K (Pa sn) 0,81 Fluido

Densidade (kg/m3) 1174

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113

Tabela 5.17 – Comparação dos diâmetros do cascalho.

PERDA DE CARGA (Pa) DESVIO RELATIVO (%)

CASO 1 3663,96 0,25

CASO 2 3673,06 _____

CASO 3 3956,09 7,70

CASO 4 3666,85 0,17

(%) PARTÍCULAS PRESAS NO

DOMÍNIO

(%) PARTÍCULAS SAEM DO

DOMÍNIO

CASO 1 0 100

CASO 2 0 100

CASO 3 79 21

CASO 4 0,15 99,85

A Figura 5.41 a seguir ilustra as partículas que ficaram presas no domínio para a

simulação do caso 3.

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114

Figura 5.41– Partículas presas no domínio (caso 3).

Pela Figura 5.41, nota-se que as partículas presas no domínio para o caso 3 ficaram

retidas na base do domínio ou no vórtice localizado próximo à parede do tubo no final da

região de contração da seção do tubo ou, então, foram centrifugadas para a parede interna

do tubo e não conseguiram atingir a região de saída.

A Figura 5.42 compara os vetores de velocidade na região de contração da seção do

tubo para os casos 3 e 2, podendo-se verificar que no caso 2 (caso padrão) não existe o

vórtice localizado após o final da região de contração da seção do tubo. Isto, aliado a uma

menor centrifugação das partículas, devido aos menores diâmetros, faz com que no caso 2

não ocorra aprisionamento de partículas no domínio.

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115

Figura 5.42 – Vetores de velocidade na base do domínio (Casos 3 e 2).

As Figuras 5.43, 5.44 e 5.45, mostram as distribuições das partículas na saída do

domínio para os casos 2 (padrão), 3 (maior diâmetro) e 4 (maior desvio padrão),

respectivamente.

VÓRTICE SEM VÓRTICE

CASO 3 CASO 2

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116

Figura 5.43– Distribuição dos cascalhos na saída do domínio (caso 2).

Figura 5.44– Distribuição dos cascalhos na saída do domínio (caso 3).

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117

Figura 5.45– Distribuição dos cascalhos na saída do domínio (caso 4).

Embora nos casos 2 e 3 as partículas estejam em um domínio com o mesmo fluido e

submetidas à mesma rotação e, portanto, sobre elas está, a princípio, agindo a mesma

velocidade tangencial, uma comparação das Figuras 5.43 e 5.44 mostra nesta última um

efeito da centrifugação nas partículas muito maior. Esta maior centrifugação é função,

como já se comentou anteriormente, da maior massa das partículas, pois o caso 3 considera

partículas de maior diâmetro médio.

Uma comparação das Figuras 5.43 e 5.45 nos mostra que, para o diâmetro médio de

1,4 mm, o aumento no desvio padrão da distribuição normal de partículas não influenciou

apreciavelmente o transporte das mesmas ao longo do domínio. Em ambos os casos, as

partículas não chegaram a ser centrifugadas até a parede do tubo. Os valores da Tabela 5.17

já indicavam que o desvio padrão não influenciava os resultados.

A Figura 5.46 mostra os perfis de velocidade axial para todos os casos na seção do

nosso domínio correspondente ao tubo e Z = 0,35 m. Esta seção está localizada no final da

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118

região de contração da seção do tubo, onde existe um vórtice próximo à parede no caso 3.

Pode-se observar que os perfis para os casos 1, 2 e 4 são coincidentes e que o perfil para o

caso 3 apresenta valores de velocidade maiores na região central do tubo e valores menores

próximo à parede do tubo, inclusive mostrando os valores negativos de velocidade na

região do vórtice. Nota-se que todos os perfis apresentam a mesma área inferior, já que a

vazão é a mesma nos quatro casos. Esta diferença no perfil do caso 3 é devida à presença

do vórtice próximo à parede do tubo nesta região, pois o mesmo provoca um

estrangulamento da área de escoamento, fazendo com que a velocidade aumente no centro

da seção para a vazão se manter constante. A Figura 5.47 mostra os mesmos perfis de

velocidade axial porém em outra seção do tubo, onde não há mais a presença deste vórtice,

que está localizada próxima à saída do domínio (Z = 1,20 m). Verifica-se que, nesta região,

os efeitos causados pelo vórtice do caso 3 no perfil de velocidade já se dissiparam e os

perfis de velocidade são praticamente iguais.

Figura 5.46– Perfis de velocidade axial no tubo para os diferentes casos (Z = 0,35 m).

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119

Figura 5.47 – Perfis de velocidade axial no tubo para os diferentes casos (Z = 1,20 m).

De acordo com a Tabela 5.17, verifica-se que a queda de pressão ao longo de todo o

domínio para o caso 3 é cerca de 300 Pa maior que a do caso 2. Este aumento se deve

parcialmente ao maior arrasto necessário para transportar as partículas maiores. Um outro

fator importante que contribui para a maior perda de carga do caso 3 é o estrangulamento

da seção de escoamento que ocorre ao final da região de contração da seção do tubo,

causado pelo vórtice já descrito anteriormente. Para ilustrar isto, a Figura 5.48 mostra os

perfis de pressão no tubo correspondentes às seções do tubo para Z igual a 0.25 m, 0.85 m e

1.2 m.

Nota-se que a diferença dos dois casos na queda de pressão entre 0,25 m e 0,85 m é

cerca de 5 vezes maior que a diferença entre 0,85 m e 1,2 m, portanto, se fossemos

considerar apenas um aumento na perda de carga devido ao maior arrasto, esta relação entre

as diferenças, considerando um ΔP proporcional a Z, deveria ser de aproximadamente 3

vezes 0,25

0,85

1, 20 0, 25 2,71, 2 0,85

Z

Z

PP

=

=

⎛ ⎞Δ −⎜ ⎟= ≈⎜ ⎟Δ −⎝ ⎠

, o que nos leva a concluir que para o caso 3, na

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120

região do vórtice ocorre uma perda de carga localizada devido à restrição da seção de

escoamento.

Figura 5.48 – Perda de carga ao longo do tubo para os casos 2 e 3.

5.2.5 – INFLUÊNCIA DA VAZÃO MÁSSICA DE CASCALHOS

Com a finalidade de analisar a influência da vazão mássica de cascalhos no

transporte dos mesmos através do domínio, foi realizada uma simulação onde o valor da

taxa de penetração da broca foi triplicado, o que, para um mesmo diâmetro da broca,

corresponde a triplicar a vazão mássica de cascalhos gerados na perfuração.

A Tabela 5.18 lista os parâmetros utilizados nestas simulações e a Tabela 5.19

compara os resultados de perda de carga e percentual de partículas presas no domínio

considerando uma simulação com a vazão mássica de partículas igual a 0,071 kg/s (nosso

caso padrão), que corresponde a uma taxa de penetração da broca de 0,00062 m/s e outra

com o triplo desta vazão mássica, ou seja, 0,213 kg/s, que corresponde a uma taxa de

penetração da broca de 0,00186 m/s. Nota-se que os resultados obtidos para o percentual de

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121

partículas presas no domínio foram idênticos em ambas simulações e os resultados da perda

de carga ao longo do domínio foram bem próximos.

Tabela 5.18 – Parâmetros utilizados nas simulações.

Vazão do fluido de perfuração (m3/s) 0,0054

Rotação da broca (rpm) 20

Densidade dos cascalhos (kg/m3) 2588

Malha utilizada 5

Quantidade de pontos de injeção de cascalhos 2016

Indice de comportamento n 0,535

Indice de consistência K (Pa sn) 0,81 Fluido

Densidade (kg/m3) 1174

Diâmetro médio (m) 0,0014 Cascalhos (Distribuição Normal)

Desvio Padrão (m) 0,00044

Tabela 5.19 – Comparação das vazões mássicas.

VAZÃO MÁSSICA PERDA DE CARGA (Pa) DESVIO RELATIVO (%)

0,213 Kg/s 3759,69 2,36

0,071 Kg/s 3673,06 _____

(%) PARTÍCULAS

PRESAS NO DOMÍNIO

(%) PARTÍCULAS SAEM

DO DOMÍNIO

0,213 Kg/s 0 100

0,071 Kg/s 0 100

As Figuras 5.49 e 5.50, mostram as distribuições de fração volumétrica de cascalhos

em três seções ao longo do tubo, correspondentes ao início, à metade e ao final do mesmo,

(Z = 0,02, 0,6 e 1,20 m), para a vazão mássica de cascalhos de 0,071 kg/s e 0,213 kg/s

respectivamente.

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122

Figura 5.49– Fração volumétrica de cascalhos (vazão mássica = 0,071 Kg/s).

Figura 5.50– Fração volumétrica de cascalhos (vazão mássica = 0,213 Kg/s).

Z = 0,02 m

Z = 0,60 m

Z = 1,20 m

Z = 0,02 m

Z = 0,60 m

Z = 1,20 m

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123

Nota-se pelas Figuras 5.49 e 5.50, que, para cada seção, a região ocupada pelos

cascalhos é a mesma em ambas as figuras, o que nos permite concluir que as partículas

descrevem basicamente as mesmas trajetórias nos dois casos porém, obviamente, com

concentração de sólidos muito maior na Figura 5.50.

É importante destacar que na obtenção das Figuras 5.49 e 5.50, foi considerada

apenas a fase dispersa desacoplada da fase contínua. Após a obtenção da convergência do

escoamento considerando o acoplamento entre as duas fases com 2016 trajetórias para a

fase particulada, foi feito o processamento apenas da fase dispersa considerando 10011

trajetórias, desta maneira se obteve uma melhor representatividade estatística desta fase nos

resultados de fração volumétrica ao longo do domínio.

A Tabela 5.19 indica que, exceto por um pequeno aumento na perda de carga, o

transporte de cascalhos ao longo do domínio não apresentou diferença para os valores de

vazão mássica adotados. Para confirmar isto, as Figuras 5.51 e 5.52 mostram a velocidade

das partículas ao longo do domínio para as simulações com vazão mássica de cascalhos de

0,071 kg/s e 0,213 kg/s, respectivamente. Pode-se notar a perfeita concordância das

trajetórias das partículas, bem como de suas velocidades, indicando a não influência da

vazão mássica de partículas na faixa analisada.

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124

Figura 5.51 – Velocidade dos cascalhos ao longo do domínio (vazão mássica = 0,071 Kg/s).

Figura 5.52 – Velocidade dos cascalhos ao longo do domínio (vazão mássica = 0,213 Kg/s).

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125

5.2.6 – COMPARAÇÃO DA CIRCULAÇÃO REVERSA COM A CIRCULAÇÃO

CONVENCIONAL DE FLUIDO DE PERFURAÇÃO

Neste trabalho, teve-se a preocupação de estudar a fluidodinâmica de uma circulação

reversa, na qual o fluido é injetado pelo espaço anular entre as paredes do poço/coluna de

perfuração e, após passar pela broca, retorna pelo interior da coluna de perfuração levando

consigo os particulados gerados na perfuração.

Em uma circulação convencional ou direta, o fluido percorre o caminho inverso, ou

seja, é injetado no interior da coluna e após passar pela broca retorna pelo anular levando

consigo os particulados gerados na perfuração.

Com o intuito de comparar a influência do sentido de circulação no transporte dos

cascalhos, foi feita uma simulação considerando a circulação convencional, para os

mesmos dados operacionais (geometria, vazão, rotação, taxa de penetração, distribuição de

diâmetros das partículas, fluido), que são listados na Tabela 5.20.

Tabela 5.20 – Parâmetros utilizados nas simulações.

Vazão do fluido de perfuração (m3/s) 0,0054

Rotação da broca (rpm) 20

Vazão mássica de cascalhos (kg/s) 0,071

Densidade dos cascalhos (kg/m3) 2588

Malha utilizada 5

Quantidade de pontos de injeção de cascalhos 2016

Indice de comportamento n 0,535

Indice de consistência K (Pa sn) 0,81 Fluido

Densidade (kg/m3) 1174

Diâmetro médio (m) 0,0014 Cascalhos (Distribuição Normal)

Desvio Padrão (m) 0,00044

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126

As condições de contorno nas paredes do poço e da coluna permaneceram as

mesmas, bem como a condição de contorno de geração de sólidos. A seguir serão descritas

as mudanças ocorridas nas condições de contorno de entrada e saída.

Devido à inversão do sentido de fluxo na circulação convencional, a região que era

considerada entrada na circulação reversa passa a ser saída na circulação convencional e a

saída na circulação reversa passa a ser a entrada na circulação convencional. Portanto, na

circulação convencional a região de saída é a região anular poço/coluna de perfuração, e

devido a rotação, tem-se um gradiente de pressão radial já descrito no capitulo 3, então da

mesma forma que para a circulação reversa será considerado uma condição de contorno de

pressão média na saída igual a zero.

Na circulação convencional, a região de entrada é o interior da coluna de

perfuração, diferentemente da abordagem utilizada na circulação reversa, na qual a partir de

uma vazão volumétrica conhecida determinou-se analiticamente o perfil de velocidades na

entrada conforme descrito no Capítulo 3, aqui preferiu-se determinar a condição de

contorno na entrada do domínio a partir dos resultados gerados por uma outra simulação.

Para tal, foi simulado um tubo de mesmo diâmetro da coluna de perfuração e de

comprimento igual a 10,35 m, suficientemente grande para que o perfil de velocidades na

saída do mesmo esteja completamente desenvolvido e pudesse ser usado como a condição

de contorno de entrada na circulação reversa. Nesta simulação foi evidentemente

considerada apenas a fase contínua e foram utilizados os mesmos dados operacionais de

vazão, rotação da coluna, reologia do fluido, e usou-se uma malha com os mesmos

parâmetros de refino. Condições de contorno de não escorregamento nas paredes do tubo

foram usadas, admitindo um perfil uniforme de velocidades na entrada.

A Figura 5.53 mostra o tubo simulado, onde, novamente pela simetria axial do

problema, considerou-se um domínio que compreende uma fatia de 30° em torno do eixo Z.

Nesta figura, nota-se as localizações das seções de onde foram tirados os perfis de

velocidade axial e tangencial mostrados nas Figuras 5.54 e 5.55.

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127

Figura 5.53 – Seções de corte ao longo do tubo.

Figura 5.54 – Desenvolvimento dos perfis de velocidade axial ao longo do tubo.

Entrada

Saída

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128

Figura 5.55 – Desenvolvimento dos perfis de velocidade tangencial ao longo do tubo.

As Figuras 5.54 e 5.55, mostram claramente que tanto o perfil de velocidade axial

quanto o tangencial estão desenvolvidos já a partir de aproximadamente 4 m da entrada do

domínio. Portanto, o perfil na saída deste domínio é considerado uma condição de contorno

bem adequada para a entrada da circulação convencional.

A Tabela 5.21 compara os resultados de perda de carga e percentual de partículas

presas no domínio considerando uma simulação com circulação reversa e outra com

circulação convencional. Nota-se que os resultados obtidos para o percentual de partículas

presas no domínio foram maiores na circulação convencional. Em contrapartida, os

resultados da perda de carga ao longo do domínio foram bem menores na circulação

convencional.

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Tabela 5.21 – Comparação das circulações.

PERDA DE CARGA (Pa) DESVIO RELATIVO (%)

CIRCULAÇÃO CONVENCIONAL 1405,41 61,74

CIRCULAÇÃO REVERSA 3673,06 _____

(%) PARTÍCULAS

PRESAS NO DOMÍNIO

(%) PARTÍCULAS SAEM

DO DOMÍNIO

CIRCULAÇÃO CONVENCIONAL 8,68 91,32

CIRCULAÇÃO REVERSA 0 100

A Figura 5.56 ilustra as trajetórias das partículas que ficaram presas no domínio

para a circulação reversa, nota-se que a maior parte das partículas presas no domínio foram

centrifugadas para a parede do poço e não conseguiram atingir a região de saída. Isto ocorre

especialmente para as partículas de maior diâmetro, pois são as que estão submetidas às

maiores forças centrífugas.

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130

Figura 5.56 – Partículas presas no domínio (circulação convencional).

Embora nas circulações reversa e convencional as partículas estejam em um

domínio com o mesmo fluido e submetidas à mesma rotação, na circulação convencional

elas são transportadas pelo anular e não pelo interior da coluna e, portanto, estão

submetidas a uma centrifugação muito maior, pois o raio em relação ao eixo central de

rotação é maior no espaço anular. As Figuras 5.57 e 5.58, mostrando as distribuições das

partículas na saída do domínio para a circulação reversa e convencional respectivamente,

ilustram isto.

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131

Figura 5.57 – Distribuição dos cascalhos na saída do domínio (circulação reversa).

Figura 5.58 – Distribuição dos cascalhos na saída do domínio (circulação convencional).

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132

De acordo com a Tabela 5.21, verifica-se que a perda de carga ao longo do domínio

apresentada pela circulação convencional é cerca de 40 % do valor na circulação reversa.

Isto se deve à geometria da broca considerada neste trabalho. Conforme descrito no

Capítulo 1, numa aproximação simplificada, optou-se por considerar a broca com uma

geometria tronco-cônica. Esta configuração faz com que a perda de carga seja maior na

circulação reversa que na circulação convencional, pois considerando o mesmo fluido com

uma mesma vazão, verifica-se, que pelo sentido de fluxo na circulação reversa, o fluido

passa por duas restrições de seção de escoamento na região da broca, uma no anular e outra

no interior da broca, ao passo que na circulação convencional, devido ao sentido de fluxo

ser o oposto, estas restrições de seção de escoamento passam a ser expansões de seção de

escoamento e, portanto, proporcionam uma redução na perda de carga.

A seguir, as Figuras 5.59 e 5.60, mostram os contornos de pressão ao longo do

domínio para as circulações reversa e convencional, respectivamente.

Figura 5. 59 – Contornos de pressão ao longo do domínio (circulação reversa).

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133

Figura 5.60 – Contornos de pressão ao longo do domínio (circulação convencional).

Conforme descrito no Capítulo 1, uma das maiores vantagens da circulação reversa

em relação à convencional é o fato de que a velocidade média do fluido de perfuração tende

a ser maior no interior da coluna do que no anular devido às menores áreas para o

escoamento do fluido, facilitando a remoção dos cascalhos gerados na perfuração. A Figura

5.61 compara os perfis de velocidade axial no tubo para a circulação reversa e no anular

para a circulação convencional, na proximidade da saída do domínio, ( Z = 1,2 m). Pode-se

verificar a grande diferença no valor da velocidade axial entra os dois tipos de circulação.

Ainda para ilustrar a maior capacidade de transporte da circulação reversa em relação à

circulação convencional, as Figuras 5.62 e 5.63, mostram a velocidade dos cascalhos

transportados ao longo do domínio para a circulação reversa e convencional,

respectivamente.

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134

Figura 5.61 – Comparação dos perfis de velocidade axial (Z = 1,20 m).

Figura 5.62 – Velocidade dos cascalhos ao longo do domínio (circulação reversa).

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135

Figura 5.63 – Velocidade dos cascalhos ao longo do domínio (circulação convencional).

Em função dos resultados mostrados na Tabela 5.21 e nas Figuras 5.61, 5.62 e 5.63,

resolveu-se fazer uma nova simulação com a circulação reversa, visando reduzir a perda de

carga e ainda assim obter uma boa eficiência de transporte dos cascalhos. Nesta simulação

foram mantidos os mesmos parâmetros do caso padrão, exceto a vazão, que foi reduzida à

metade, ficando portanto em 0,0027 m3/s.

De acordo com os resultados desta nova simulação, verificou-se que todas as

partículas injetadas continuam deixando o domínio, não ocorrendo aprisionamento algum e,

que, em função da menor vazão, a queda de pressão ao longo do domínio reduziu para

2131,68 Pa. Além disso as Figuras 5.64 e 5.65, mostram que o perfil de velocidade axial

próximo à saída do domínio continua sendo maior na circulação reversa que na

convencional e conseqüentemente a velocidade dos cascalhos ao longo do domínio também

continua sendo maior.

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136

Figura 5.64 – Comparação dos perfis de velocidade axial (Z = 1,20 m).

Figura 5.65 – Comparação da velocidade dos cascalhos ao longo do domínio.

Circ. Reversa Q = 0,0027 m3/s

Circ. ConvencionalQ = 0,0054 m3/s

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137

Conforme descrito no Capítulo 3, o comprimento do domínio foi escolhido de

forma a ser suficiente para que o escoamento possa se desenvolver ao longo da direção Z.

De maneira a provar que os perfis de velocidade estão hidrodinamicamente desenvolvidos,

são mostradas as Figuras 5.66, 5.67, 5.68 e 5.69.

As Figuras 5.66 e 5.67 se referem à circulação reversa, mostrando, respectivamente,

os perfis de velocidade axiais e tangenciais ao longo da coluna de perfuração para vários

valores de Z. Pode-se notar claramente que os perfis a 0,85 m e 1,2 m (saída do domínio)

estão suficientemente próximos tanto para a velocidade axial, quanto para a tangencial,

mostrando que o escoamento desenvolvido foi praticamente atingido. As Figuras 5.68 e

5.69 se referem à circulação convencional, e mostram os perfis na região anular para os

mesmos valores de Z. Novamente, se constata que os perfis de ambas as velocidades

concordam entre si para Z = 0,85 e 1,2 m, mostrando que o escoamento está desenvolvido.

Figura 5.66 – Desenvolvimento da velocidade axial na circulação reversa.

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Figura 5.67 – Desenvolvimento da velocidade tangencial na circulação reversa.

Figura 5.68 – Desenvolvimento da velocidade axial na circulação convencional.

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139

Figura 5.69 – Desenvolvimento da velocidade tangencial na circulação convencional.

Ainda de acordo com o Capítulo 3, chegou-se à conclusão de que um escoamento

hidrodinamicamente desenvolvido ao longo da direção z , apresenta simetria axial e

velocidade radial nula. Nestas condições a equação da quantidade de movimento linear na

direção radial para um escoamento bifásico, toma a forma da equação 3.38, ou seja:

2

,f f pfrf

f

dp v Mdr r r

θρ= +

Próximo à saída de nosso domínio ( Z= 1,2 m), tanto em circulação reversa quanto

em circulação convencional, as condições acima citadas são atendidas. Para ilustrar isto,

são mostradas as Figuras 5.70 e 5.71. A Figura 5.70 se refere à circulação reversa, e mostra

os perfis de 2, ff v rθρ e de fdp dr no interior da coluna de perfuração próximo à saída

do domínio, em Z = 1,2 m. Já a Figura 5.71 se refere à circulação convencional, e mostra os

mesmos perfis, na mesma altura do eixo Z, porém na região anular pois é nesta região que

se localiza a saída deste domínio. Em ambas figuras, constata-se que os perfis apresentam-

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140

se bem próximos, os desvios entre eles são atribuídos ao termo de fonte de momento gerado

pelas partículas na direção radial.

Figura 5.70 – Verificação de: 2

,f f pfrf

f

dp v Mdr r r

θρ= + (tubo / Z = 1,20 m / circ. reversa).

Figura 5.71 – Verificação de: 2

,f f pfrf

f

dp v Mdr r r

θρ= + (anular / Z = 1,20 m / circ. conv.).

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141

6 – COMENTÁRIOS FINAIS

6.1 – RESUMO

O objetivo deste trabalho é analisar através de simulação computacional o

escoamento do fluido de perfuração em circulação reversa numa operação de perfuração de

um poço de petróleo.

A principal vantagem numa circulação reversa é evitar o acúmulo de sólidos no

espaço anular formado pelas paredes do poço e a coluna de perfuração, o que pode

ocasionar a obstrução do anular ou a prisão de coluna durante a perfuração com a

consequente perda do poço. Além disso, a circulação reversa favorece o transporte dos

sólidos pois a velocidade média do fluido de perfuração tende a ser maior no interior da

coluna do que no anular devido às menores áreas de seção reta, conseqüentemente

aumentando velocidade média de transporte.

Optou-se por simplificar a complexa geometria da broca de perfuração,

considerando-a com uma geometria tronco-cônica, visando o mínimo de obstrução à

passagem dos cascalhos.

Para descrever a função viscosidade do fluido de perfuração, utilizou-se o modelo

de potência e também foi considerada uma vazão na qual o escoamento esteja no regime

laminar.

A fase dispersa foi modelada considerando uma abordagem Lagrangiana, onde

adotou-se um modelo de arrasto adequado a fluidos não Newtonianos.

Na resolução numérica das equações diferenciais do escoamento, utilizou-se o

software CFX-5, o qual emprega o método dos volumes finitos baseados em elementos, e

utiliza malhas não estruturadas. Além de resolver as equações da continuidade e da

quantidade de movimento em três dimensões utilizando um solver acoplado, onde as

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equações são resolvidas simultaneamente, uma discretização completamente implícita das

equações foi utilizada.

O domínio discretizado em nosso trabalho, corresponde a uma fatia de 30° da

geometria real, em função da simetria axial do nosso problema. Neste domínio, a malha

padrão foi não estruturada com cerca de 625000 nós, com elementos do tipo tetraedro,

pirâmide e prismas.

Para caracterizar o problema estudado, foram realizadas ao todo catorze simulações,

variando diversos parâmetros físicos do nosso problema. Somente a vazão foi mantida

constante para garantir que o escoamento fosse laminar.

6.2 – CONCLUSÕES

Primeiramente analisou-se a influência da viscosidade, considerando três fluidos

com a função viscosidade pelo modelo de potência com a mesma densidade e com

parâmetros reológicos distintos. Pôde ser observado que o fluido menos viscoso apresenta

uma tendência maior à formação de vórtices e também uma maior velocidade tangencial

para uma dada rotação e portanto uma certa quantidade de partículas ficam presas no

interior do domínio. Elas ficam retidas no vórtice inferior na base do domínio ou, então, são

centrifugadas para a parede interna do tubo e não conseguem atingir a região de saída. O

fluido mais viscoso, como era de se esperar, faz a perda de carga aumentar em torno de

75%.

Na análise da influência da velocidade axial de injeção das partículas, considerou-se

que além da velocidade tangencial da broca, os cascalhos injetados possuem também uma

componente axial de velocidade que corresponde à 10% da velocidade média do fluido na

região de injeção de cascalhos. Os resultados obtidos mostraram que para este nível de

velocidade axial de injeção de cascalhos adotado, não há nenhuma influência no transporte

dos mesmos ao longo do domínio.

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143

Para analisar a influência da rotação da broca no transporte dos cascalhos, foram

estudados três rotações distintas, 10, 20 e 40 rpm. Observou-se uma maior quantidade de

vórtices formados e também uma centrifugação muito maior para a rotação de 40 rpm, o

que ocasionou para este caso um aprisionamento de quase 60% das partículas no interior do

domínio. Os resultados a 20 e 10 rpm apresentaram pouca variação.

Na etapa seguinte, analisou-se a influência da distribuição do diâmetro dos

cascalhos usando a distribuição normal. Foram estudados além do caso padrão, mais três

casos diferentes, dois deles variando o diâmetro médio em torno de três vezes para mais e

para menos, porém mantendo a mesma relação diâmetro/desvio padrão e o outro mantendo

o mesmo diâmetro médio do caso padrão porém triplicando o desvio padrão. O caso com o

maior diâmetro médio de partículas apresentou uma centrifugação maior (devido à maior

massa das partículas) e também uma formação de maior quantidade de vórtices, fazendo

com que aproximadamente 80% das partículas ficassem retidas no domínio. Além disso, ele

apresentou também uma maior perda de carga em relação aos demais casos. Os resultados

obtidos para o caso padrão, para o caso com o menor diâmetro e para o caso com o maior

desvio padrão foram similares.

Na determinação da influência da vazão mássica de cascalhos, foi realizada uma

simulação onde triplicou-se o valor da taxa de penetração da broca, o que para um mesmo

diâmetro da broca, corresponde a triplicar a vazão mássica de cascalhos gerados na

perfuração, Os resultados mostraram que, exceto por um pequeno aumento na perda de

carga, o transporte de cascalhos ao longo do domínio não apresentou diferenças

significativas para os valores de vazão mássica adotados.

A última etapa foi a comparação da circulação reversa do fluido de perfuração com

a circulação convencional, onde adotando idênticos parâmetros operacionais, verificou-se

que na circulação convencional ocorre uma maior centrifugação (devido ao maior raio do

anular) e isto faz com que algumas partículas de maior diâmetro sejam centrifugadas para a

parede do poço e não consigam sair do domínio. Nota-se também que a circulação

convencional apresenta valores de perda de carga 60% menores que a reversa, isto se deve

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à simplificação geométrica adotada para a broca de perfuração, que faz com que na

circulação convencional se tenha duas expansões na região da broca e na circulação

reversa, devido o fluxo ter sentido contrario, se tenha duas reduções nesta região,

aumentando, portanto, a perda de carga. Finalmente, a partir da análise dos perfis de

velocidade axial no tubo e no anular, observou-se que a velocidade média do fluido e

consequentemente das partículas é maior no interior da coluna do que no espaço anular,

pois a seção reta do tubo é menor, o que aumenta a capacidade de transporte das partículas

na circulação reversa. Desta forma, reduções da vazão do fluido de perfuração são possíveis

sem perda de carreamento, conforme foi comprovado por simulação.

6.3 – SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Neste trabalho, optou-se por simplificar a geometria da broca de perfuração,

considerando-a com uma geometria tronco-cônica, para que se consiga a conexão com o

tubo de perfuração com o mínimo de obstrução possível à passagem dos sólidos gerados na

perfuração. Uma sugestão para trabalhos futuros seria considerar a geometria de uma broca

real utilizada na circulação convencional, sem as simplificações aqui implementadas, bem

como testar novas configurações geométricas para brocas mais adequadas à circulação

reversa.

Uma outra sugestão seria a utilização de vazões maiores do fluido de perfuração,

mais condizentes com a realidade encontrada nas operações de perfuração de poços de

petróleo. Para tanto, deve-se usar uma abordagem de escoamento turbulento, utilizando

modelos adequados de turbulência para fluidos não Newtonianos.

O modelo Lagrangeano utilizado para a fase dispersa não contempla os choques

entre as partículas, considerando apenas iterações entre partículas e paredes. Nos casos em

que se tem concentrações da fase dispersa maiores que 1%, esta simplificação pode

conduzir a resultados irreais. Além disso, as partículas são consideradas pontuais e,

portanto, quando uma partícula se localiza junto à uma parede fixa, a velocidade que age na

partícula é praticamente zero (velocidade do fluido na parede), o que não corresponde à

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realidade, principalmente em partículas de maiores diâmetros. Esta simplificação faz com

que determinadas partículas quando centrifugadas até a parede literalmente “colem” na

parede, pois sua velocidade cai a zero e não conseguem mais sair do domínio. Portanto

outras sugestões seriam implementar modificações na modelagem Lagrangeana que

contemplassem os efeitos de iterações entre partículas e as dimensões das partículas quando

as mesmas estiverem próximas às paredes.

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150

TURIAN, R. M., MA, T. W., HSU, F. L., et al., 1998, “Flow of Concentrated Nom-

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Relation for the Steady Flow of Pseudoplastic Fluids Through Retangular Ducts”,

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151

APÊNDICE 1 – LISTAGEM DAS ROTINAS EM FORTRAN

A1.1 – ROTINA MYDRAGSOURCE

#include "cfx5ext.h"

dllexport(mydragsource)

SUBROUTINE MYDRAGSOURCE (NLOC,NRET,NARG,RET,ARG,CRESLT,CZ,DZ,

&IZ,LZ,RZ)

CC

CD User routine: template for particle user routine

CC

CC --------------------

CC Input

CC --------------------

CC

CC NRET - number of components in result

CC NARG - number of arguments in call

CC ARG() - (NARG) argument values

CC CRESLT - Result

CC

CC --------------------

CC Output

CC --------------------

CC

CC RET() - (NRET) return values

CC

CC --------------------

CC Details

CC --------------------

CC

CC====================================================================

==

C

C ------------------------------

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152

C Argument list

C ------------------------------

C

INTEGER NLOC,NARG,NRET

C

REAL ARG(NLOC,NARG), RET(NLOC,NRET)

C

CHARACTER CRESLT*(*)

C

INTEGER IZ(*)

CHARACTER CZ(*)*(1)

DOUBLE PRECISION DZ(*)

LOGICAL LZ(*)

REAL RZ(*)

C

C ------------------------------

C Local Variables

C ------------------------------

C

C======================================================================

=

C

C ---------------------------

C Executable Statements

C ---------------------------

C

C======================================================================

=

C

C Argument variables stack:

C -------------------------

C

C Particle diameter : DIAM_PT = ARG(1,1)

C Particle velocity : VEL_PT = ARG(1,4:6)

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153

C Reynolds number : RE_PT = ARG(1,2)

C Slip velocity : SLPVEL_PT = ARG(1,3)

C Fluid density : DENSITY_FL = ARG(1,7)

C Fluid velocity : VEL_FL = ARG(1,8:10)

C

C Return variables stack:

C -----------------------

C

C Source term : SOURCE = RET(1,1:3)

C Source coefficient : COEF_PT = RET(1,4)

C Source coefficient : COEF_FL = RET(1,5)

C

C======================================================================

=

C

C-----------------------------------------------------------------------

C Calculate the momentum source and source term coefficient

C-----------------------------------------------------------------------

C

C OPEN(UNIT=1,FILE='E:\EMPRESAS\PETROBRAS\UMBERTO\SAIDA.DAT')

C WRITE(1,*) 1

C WRITE(1,*) ARG(1,1), ARG(1,2), ARG(1,3), ARG(1,4)

C WRITE(1,*) ARG(1,5), ARG(1,6), ARG(1,7)

C WRITE(1,*) ARG(1,8), ARG(1,9), ARG(1,10)

C CLOSE(1)

CALL USER_MOMENTUM_SOURCE (RET(1,1),RET(1,4),RET(1,5),

& ARG(1,1),ARG(1,4),ARG(1,2),ARG(1,3),

& ARG(1,7),ARG(1,8))

C

END

C

C

C

C

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154

C

SUBROUTINE USER_MOMENTUM_SOURCE (SOURCE,COEF_PT,COEF_FL,

& DIAM_PT,VEL_PT,RE_PT,SLPVEL_PT,

& DENSITY_FL,VEL_FL)

C

C======================================================================

=

C Calculate the momentum source and source term coefficient

C======================================================================

=

C

C ------------------------------

C Preprocessor includes

C ------------------------------

C

#include "cfd_sysdep.h"

#include "cfd_constants.h"

C

C ------------------------------

C Argument list

C ------------------------------

C

REAL SOURCE(3), COEF_PT, COEF_FL,

& DIAM_PT, VEL_PT(3), RE_PT, SLPVEL_PT,

& DENSITY_FL, VEL_FL(3)

C

C ------------------------------

C Local variables

C ------------------------------

C

REAL SLPVEL, RE, AREA, CD, FACT

C

C ------------------------------

C Executable statements

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155

C ------------------------------

C

C---- Calculate the particle reference area

C

AREA = PI*DIAM_PT**2*QUARTER

C

C---- Calculate the Moore drag coefficient

C

CC

CC TROQUEI RE POR RE_PT DENTRO DO IF

IF (RE_PT.LE.3.) THEN

CD = 40./(RE_PT+1E-5)

CC

ELSE IF (RE_PT.LE.300.) THEN

CC

CC 1 - TROQUEI A POTENCIA PELA FUNCAO SQRT: MAIS EFICIENTE

CC 2 - ADICIONEI UM PEQUENO VALOR

CD = 22./(SQRT(RE_PT)+1E-5)

ELSE

CD = 1.5

ENDIF

C

C---- Calculate the momentum source term and linear coefficients

C

FACT = HALF*DENSITY_FL*AREA*CD*SLPVEL_PT

C

SOURCE(1) = FACT*(VEL_FL(1)-VEL_PT(1))

SOURCE(2) = FACT*(VEL_FL(2)-VEL_PT(2))

SOURCE(3) = FACT*(VEL_FL(3)-VEL_PT(3))

C

COEF_PT = -FACT

COEF_FL = FACT

C

END

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156

A1.2 – ROTINA INJECTION

#include "cfx5ext.h"

dllexport(injection)

SUBROUTINE INJECTION (NLOC,NRET,NARG,RET,ARG,CRESLT,CZ,DZ,

&IZ,LZ,RZ)

CC

CD User routine: template for particle user routine

CC

CC --------------------

CC Input

CC --------------------

CC

CC NRET - number of components in result

CC NARG - number of arguments in call

CC ARG() - (NARG) argument values

CC CRESLT - Result

CC

CC --------------------

CC Output

CC --------------------

CC

CC RET() - (NRET) return values

CC

CC --------------------

CC Details

CC --------------------

CC

CC====================================================================

==

C

C ------------------------------

C Argument list

C ------------------------------

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157

C

INTEGER NLOC,NARG,NRET

C

REAL ARG(NLOC,NARG), RET(NLOC,NRET)

C

CHARACTER CRESLT*(*)

C

INTEGER IZ(*)

CHARACTER CZ(*)*(1)

DOUBLE PRECISION DZ(*)

LOGICAL LZ(*)

REAL RZ(*)

C

C ------------------------------

C Local Variables

C ------------------------------

C

REAL SLPVEL, RE, CD

C

C======================================================================

=

C

C ---------------------------

C Executable Statements

C ---------------------------

C

C======================================================================

=

C

C Argument variables stack:

C -------------------------

C

C

C Return variables stack:

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158

C -----------------------

C

C Particle position starts at : CRD_PT = RET(1,1)

C Particle mass flow rate starts at : PMASS = RET(1,7)

C Particle velocity starts at : VEL_PT = RET(1,4)

C

C======================================================================

=

C

C

C-----------------------------------------------------------------------

C Calculate the particle quantities

C-----------------------------------------------------------------------

C

CALL MYINJECTION1_SUB (NLOC,RET(1,1),RET(1,4))

C

END

SUBROUTINE MYINJECTION1_SUB (NPART,CRD_PT,PVEL)

C

C======================================================================

=

C Calculate the particle positions and velocities

C======================================================================

=

C

C ------------------------------

C Preprocessor includes

C ------------------------------

C

#include "cfd_sysdep.h"

#include "cfd_constants.h"

C

C ------------------------------

C Argument list

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159

C ------------------------------

C

INTEGER NPART

REAL CRD_PT(3,NPART),

& PVEL(3,NPART),raio_poco,deltar,teta_mod,raio,

& dteta,ang,uomega

C

C ------------------------------

C Executable statements

C ------------------------------

C

C---- All particle are started from the same position (0,0,1)

raio_poco = 0.10795

deltar = 0.00171

teta_mod = 30.*PI/180.

uomega=9.42477

IPART = 1

do ir=1,63

raio = ir*deltar

dteta = teta_mod/(ir+1)

do it=1,ir

ang = it*dteta

CRD_PT(1,IPART) = -(raio)*cos(ang)

CRD_PT(2,IPART) = (raio)*sin(ang)

CRD_PT(3,IPART) = 0.00635

PVEL(1,IPART) = -uomega*raio*sin(ang)

PVEL(2,IPART) = -uomega*raio*cos(ang)

PVEL(3,IPART) = 0.0

IPART = IPART+1

end do

end do

C

END