avaliação da fadiga em jumpers rígidos devido a vibrações
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Avaliação da fadiga em jumpers rígidos devido a vibrações in-
line produzidas pelo fenômeno do VIV
Gabriel Nogueira
Projeto de Graduação apresentado ao
Curso de Engenharia Civil da Escola
Politécnica, Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos
requisitos necessários para obtenção
do título de Engenheiro.
Orientador:
Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D. Sc.
Rio de Janeiro
Dezembro 2015
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Avaliação da fadiga em jumpers rígidos devido a vibrações in-
line produzidas pelo fenômeno do VIV
Gabriel Nogueira
PROJETO DE GRADUAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DA
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc. (Orientador)
________________________________________________
Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos, D.Sc.
________________________________________________
Pesq. Fernando Jorge Mendes de Sousa, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
DEZEMBRO 2015
iii
iv
“A persistência é o caminho do êxito”
Charles Chaplin
v
AGRADECIMENTOS
O autor deseja expressar seus sinceros agradecimentos,
A Deus que por sua infinita bondade, misericórdia e seu abundante amor me
deu força de vontade para superar os momentos difíceis, que não foram poucos, e
alegria para desfrutar das vitórias.
Ao meu Orientador Gilberto Bruno Ellwanger que, com dedicação, mostrou
verdadeiramente sua vocação para orientar e em tudo esteve presente para que este
trabalho fosse realizado.
Aos professores da UFRJ e profissionais do LACEO pelo conhecimento
fornecido e pelo confortável ambiente de trabalho.
Aos meus amigos da graduação, que me incentivaram e com seu
companheirismo conquistaram cada batalha ao meu lado.
E por fim, mas não com menor valor, aos meus pais Antonio João e Tania
Mara, meus constantes companheiros, por estarem ao meu lado torcendo e lutando.
Isto foi fundamental para que eu alcançasse a linha de chegada.
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte
dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil.
Avaliação da fadiga em jumpers rígidos devido a vibrações in-line
produzidas pelo fenômeno do VIV
Gabriel Nogueira
Dezembro/2015
Orientador: Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc.
Curso: Engenharia Civil
O presente trabalho visa avaliar a fadiga de um jumper rígido submarino devida a
vibrações in-line produzidas pelo fenômeno do VIV (vibrações induzidas por vórtices)
decorrente da ação de correntes marinhas. As análises feitas são apresentadas por
estudos de casos, onde levaram-se em consideração as referências normativas de órgãos
técnicos especializados. Tal avaliação foi possível graças à análise matricial das
estruturas incorporada em uma planilha MathCAD, que discretiza o jumper através de
elementos de pórtico espacial. Este estudo serviu para validar também a crescente
consciência de que os jumpers rígidos submarinos são de fato suscetíveis às Vibrações
Induzidas por Vórtices, em especial na direção da corrente (VIV in-line).
O jumper é uma estrutura de interligação submarina cuja principal função é de
ser um conector de transporte de fluidos entre dois componentes de produção
submarinos, quaisquer que sejam eles (PLET, PLEM, Risers, etc.), que está exposta às
correntes oceânicas, sendo susceptível à ocorrência das VIV.
O estudo das vibrações induzidas por vórtices vem adquirindo um papel muito
importante na exploração das reservas de petróleo e gás offshore. Isto acontece devido
ao aumento das profundidades de exploração e das forças de correntes geradas pelo
meio ambiente.
Palavras-chave: Jumper, Offshore, Fadiga, Vibrações Induzidas por Vórtices,
Análise Matricial das Estruturas.
vii
Abstract of the Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Civil Engineer.
Fatigue Evaluation in Rigid Jumpers due to In-Line Vibrations
Produced by the VIV Phenomenon
Gabriel Nogueira
December/2015
Advisor: Gilberto Bruno Ellwanger (D.Sc.)
Course: Civil Engineering
This work aims to evaluate the fatigue of an underwater rigid jumper due to in-
line vibrations produced by the VIV (vortex-induced vibrations) phenomenon due to the
action of ocean currents. These analyzes are presented through case studies, which took
into account the normative references of specialized technical bodies. Such evaluation
was possible due to the matrix analysis of structures done in a MathCAD spreadsheet,
which discretizes the jumper through space frame elements. This study also served to
validate the growing awareness that the underwater rigid jumpers are indeed susceptible
to vortex-induced vibrations, especially in the direction of the current (VIV in-line).
The jumper is a submarine interconnection structure whose main function is to be
a connector for the transport of fluids between two subsea production components, such
as PLET, PLEM, Riser, etc., which is exposed to ocean currents, being susceptible to
the occurrence of VIV.
The study of vortex-induced vibrations is acquiring an important role in the oil
and gas industry. This happens due to the increase of exploration depths and due to the
forces generated by the environmental current.
Keywords: Jumper, Offshore, Fatigue, Vortex-induced vibrations, Matrix
Analysis of Structures.
viii
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO .......................................................................................... 1
1.1 MOTIVAÇÃO E CONTEXTO............................................................................................... 1
1.2 OBJETIVO ........................................................................................................................ 3
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ........................................................................................ 3
CAPÍTULO 2 – O JUMPER ................................................................................................. 5
2.1 DEFINIÇÃO E FUNÇÕES .................................................................................................... 5
2.2 CONFIGURAÇÕES ............................................................................................................ 7
2.3 COMPONENTES ............................................................................................................... 8
2.4 COMPOSIÇÃO MATERIAL DOS TUBOS ........................................................................... 10
CAPÍTULO 3 – DETERMINAÇÃO DA FADIGA DEVIDO ÀS VIV ........................... 12
3.1 GERAL ........................................................................................................................... 12
3.2 VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR VÓRTICES ......................................................................... 13
3.2.1 Introdução ......................................................................................................................... 13
3.2.2 Fenômeno do VIV .............................................................................................................. 13
3.2.3 Camada Limite ................................................................................................................... 18
3.2.4 Formação de Vórtices ........................................................................................................ 19
3.2.5 Frequência de Shedding ou de Strouhal ............................................................................ 20
3.2.6 Ressonância in-line ............................................................................................................ 20
3.2.7 Parâmetros Adimensionais Importantes ........................................................................... 21
3.3 MODELOS DE AVALIAÇÃO DA FADIGA .......................................................................... 23
3.3.1 Regimes de Escoamento ................................................................................................... 24
3.3.2 Vibrações in-line ................................................................................................................ 26
3.3.3 Capacidade de Fadiga – Cálculo da vida útil ...................................................................... 30
ix
CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS OFFSHORE ................... 32
4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ............................................................................................. 32
4.2 EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA DE UM SISTEMA PARA VIBRAÇÕES LIVRES ........................ 32
4.3 MATRIZ DE RIGIDEZ ....................................................................................................... 35
4.4 MATRIZ DE MASSA ........................................................................................................ 38
4.4.1 Matriz de Massa Concentrada........................................................................................... 38
4.4.2 Matriz de Massa Adicional ................................................................................................ 39
4.5 IMPLEMENTAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO ...................................................... 40
CAPÍTULO 5 – FORMULAÇÃO COMPUTACIONAL ................................................. 42
5.1 DADOS DE ENTRADA E PROPRIEDADES DO JUMPER .......................................................... 42
5.2 FREQUÊNCIAS NATURAIS DA ESTRUTURA E MODOS DE VIBRAÇÃO ................................... 43
5.3 DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES EM CADA NÓ .................................................................... 44
5.4 DETERMINAÇÃO DA AMPLITUDE DE VIBRAÇÃO E DA VARIAÇÃO DE TENSÕES IN-LINE ...... 45
5.5 CURVA S-N E DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CICLOS RESISTENTES DO JUMPER ............ 46
5.6 DETERMINAÇÃO DOS CICLOS SOLICITANTES, DO DANO ANUAL E DA VIDA ÚTIL ............... 46
CAPÍTULO 6 – ESTUDOS DE CASOS ........................................................................... 48
6.1 PROPRIEDADES DO JUMPER EM ESTUDO .......................................................................... 49
6.1.1 Dados Iniciais ......................................................................................................................... 49
6.1.2. Frequências Naturais e Modo de Vibração do Jumper ......................................................... 51
6.1.3 Tensões Nodais no Jumper .................................................................................................... 53
6.2 ESTUDO DE CASO 1: FADIGA A LONGO PRAZO .................................................................. 57
6.3. ESTUDO DE CASO 2: FADIGA A CURTO PRAZO .................................................................. 61
6.3.1 Introdução ............................................................................................................................. 61
6.3.2 Dados de Entrada na Planilha ................................................................................................ 62
6.3.3 Resultados .............................................................................................................................. 64
x
CAPÍTULO 7 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES ............................................................ 67
CAPÍTULO 8 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................... 69
ANEXO A – RESULTADOS PARA OS DESLOCAMENTOS DO PRIMEIRO MODO DE
VIBRAÇÃO DO JUMPER ................................................................................................. 72
ANEXO B – POSIÇÃO DOS NÓS DO JUMPER ............................................................ 82
1
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÃO E CONTEXTO
Nas últimas décadas, o Brasil viu o desenvolvimento de novas tecnologias que
permitiram a extração de petróleo de poços localizados em águas cada vez mais
profundas. Uma conquista importante, que impulsionou o crescimento da produção, e
que trouxe consigo a expectativa de um país “auto-suficiente” em petróleo, apesar de
ainda depender da importação de alguns de seus derivados por questões relativas ao tipo
de petróleo predominante em suas bacias.
Ao mesmo tempo, um aumento expressivo no consumo fez com que essa
expectativa não permanecesse por muito tempo. A projeção da própria Petrobras é que a
partir de 2020 a estimativa de produção seja de 4.2 Mbpd (milhões de barris por dia).
Na previsão da estatal, em 2020, ela terá uma capacidade de refino de 3,6 milhões de
barris/dia e um consumo da ordem de 3.4 milhões de barris diários (O GLOBO, 2013).
A necessidade de se atender à demanda motiva cada vez mais à busca em
regiões com as mais diversificadas características. Em condições limites, se mencionam
as prospecções em alto mar, nas quais a lâmina d’água atinge 2.000 m a 3.000 m.
Nessas profundidades, além de se fazer necessário um planejamento de
exploração e produção mais cauteloso e robusto, ainda existem outros fatores
problemáticos como os custos com transporte. Estes representam uma parcela
importante do preço final do petróleo, tendo em vista que para levá-lo das plataformas
de extração marítimas até o continente são utilizados navios petroleiros, em sua maior
parte terceirizados. Soma-se a isso o agravante de perigo ambiental presente em
operações de carga, descarga e deslocamento dos petroleiros, com uma quantidade
significativa de casos de derramamento de petróleo registrados ao redor do mundo
(REVISTA EXAME, 2010). Todos esses fatores influenciam na escolha da melhor
maneira de se escoar a produção.
Nesse contexto, a utilização de um sistema dutoviário submarino surgiu como
opção de transporte do óleo e do gás produzido. Desde a criação do PDET, Plano
Diretor de Escoamento e Tratamento de Óleo, em 2004, cujo objetivo foi propor a
2
criação de um transporte alternativo para o escoamento do petróleo produzido na Bacia
de Campos e em complemento com a Lei de Queima Zero, implementada em 1998, que
propôs a redução da queima de gás natural para níveis internacionais e seu futuro
tratamento e beneficiamento em unidades apropriadas onshore, a malha de dutos
começou a ser criada e implantada em alternativa ao grande custo e menor segurança
operacional dos outros meios de transporte existentes como os navios aliviadores
(BARROS, 2014).
O presente trabalho se insere neste enredo, avaliando a vida útil de uma peça
importante para o sistema de escoamento e de desenvolvimento de campos de petróleo
submarinos em água profundas, o jumper. O jumper é um pedaço de duto com
diferentes formatos que serve de ligação entre dois componentes submarinos, sejam eles
Risers, Pipeline End Manifolds (PLEMs) ou Pipeline End Terminations (PLETs). Além
de permitir a conexão, o jumper agrega também uma flexibilidade ao conjunto tornando
viáveis diversos projetos e configurações submarinas de exploração.
Sendo assim, a motivação se deu pela importância operacional e física que o
jumper possui no desenvolvimento de um campo submarino.
Figura 1-1 – Sistema Dutoviário de um Campo – Jumper em Detalhe (BARROS,
2014).
3
1.2 OBJETIVO
O objetivo deste trabalho é avaliar a fadiga de um jumper rígido submarino
devida a vibrações in-line produzidas pelo fenômeno do VIV para um dos
comportamentos modais da estrutura. Tal avaliação foi feita com uma planilha
desenvolvida no software MathCAD 15 que, através da teoria da análise matricial das
estruturas, fez a análise de um jumper através de elementos de pórtico espacial. Parte-se
da geometria para se obter as frequências naturais e os modos de vibração da mesma até
se chegar às verificações das tensões máximas e de fadiga ocasionadas por diversos
carregamentos distintos.
As análises foram feitas de acordo com as referências normativas da DNV-RP-
F105 (2006) e DNV-RP-C203 (2011). A escolha das situações para análise no Cap. 6
foi influenciada pelo critério de seleção para VIV Out-of-Plane realizado por BARROS
(2014) em sua Tabela 7-37, por se tratar de um jumper com características semelhantes
e por este autor também seguir as referências normativas da DNV.
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Após o capítulo introdutório, a presente monografia encontra-se organizada
conforme os parágrafos a seguir.
O Capítulo 2 apresenta uma breve descrição da estrutura do jumper e seus
aspectos mais relevantes como: definição e funções, configurações, componentes e
composição material.
O Capítulo 3 faz uma breve explanação do fenômeno de VIV, bem como os
parâmetros hidrodinâmicos mais importantes relacionados a este fenômeno. Em
seguida, é apresentado um modelo de avaliação da fadiga para a direção in-line, de
acordo com a norma DNV-RP-F105 (2006), onde é tratado em termos de metodologia
de cálculo o fenômeno supracitado.
No Capítulo 4, são apresentados os fundamentos da dinâmica estrutural
utilizados na planilha MathCAD para se obter os períodos naturais da estrutura e seus
modos de vibração. Nesse capítulo apresenta-se também a equação característica das
vibrações livres e todas as considerações feitas para se representar adequadamente as
matrizes de rigidez e de massa globais da estrutura.
4
No Capítulo 5, descreve-se o passo-a-passo adotado pela planilha desenvolvida
para avaliar a fadiga no jumper rígido para os diferentes estudos de casos que são
apresentados no Capítulo 6.
No Capítulo 6, são apresentados os estudos de caso de um jumper. Os estudos se
baseiam em cenários hipotéticos, apresentando as dimensões do jumper analisado e as
correntes marítimas incidentes sobre o mesmo.
Por fim, no Capítulo 7 são apresentadas as principais conclusões do trabalho e
sugestões para trabalhos futuros.
5
CAPÍTULO 2 – O JUMPER
2.1 DEFINIÇÃO E FUNÇÕES
O jumper é uma estrutura de interligação submarina muito importante, cujo
principal papel é de ser um conector de transporte de fluidos entre dois componentes de
produção submarinos, sejam eles Árvores de Natal, Risers, Manifolds, PLEMs, PLETs,
etc. Para ser definido como jumper, a conexão entre os elementos deve se dar na
vertical, como apresentado na Figura 2-1.
Figura 2-1 – Jumper rígido.
Além de sua função principal, esta estrutura soluciona problemas ocasionados
pela própria disposição do sistema submarino e pela irregularidade da batimetria como,
por exemplo, a diferença de angulações e níveis entre equipamentos submarinos que
precisam ser interligados. O jumper também é capaz de absorver a expansão térmica das
linhas, que deslocarão as estruturas conectadas pelo jumper, o que fornece um grau de
flexibilidade ao sistema.
Nas Figuras 2-2 e 2-3, pode-se observar o jumper em fase de fabricação e o
jumper no canteiro de obras com os supressores de vórtices (Strakes) já instalados.
6
Figura 2-2 – Fase de fabricação de um jumper rígido (BARROS, 2014).
Figura 2-3 – Jumper rígido com Strakes no canteiro (BARROS, 2014).
Diante das recentes descobertas do Pré-Sal e, consequentemente, do aumento
das profundidades para a exploração do petróleo, o jumper se tornou um elemento
fundamental para os modelos propostos de interligação e de desenvolvimento dos
campos.
7
2.2 CONFIGURAÇÕES
Um jumper típico é composto por dois conectores nas extremidades e uma
estrutura tubular (um ou mais tubos) entre os dois conectores. Se essa estrutura for
rígida, o jumper será chamado de jumper rígido. Caso contrário, se o tubo for flexível, o
jumper será um jumper flexível (Figura 2-4).
Figura 2-4 – Jumper flexível (BARROS, 2014).
A Figura 2-5 apresenta algumas configurações de jumpers rígidos. Para essa
classe de jumper de tubo rígido, os modelos em forma de M e U invertido são os mais
comumente utilizados. Além destes, existem os modelos em forma de Z horizontal e
outros mais complexos como o jumper 3D. A Figura 2-6 mostra mais alguns desses
modelos. Os estudos de casos do Cap. 6 focam em um jumper rígido 2D de formato M.
Figura 2-5 – Configurações de Jumper 2D Rígidos (BAY, 2010).
8
Figura 2-6 – Configurações de Jumper 2D e 3D Rígidos (2HOFFSHORE, 2011).
As configurações dos jumpers são ditadas por parâmetros de projeto, interfaces
com equipamentos submarinos e os diferentes modos de operação do jumper. Como
exemplo, as configurações apresentadas nas Figuras 2-5 (a) e (c) dispõem de curvas
para conectar os tubos retos, enquanto que na Figura 2-5 (b), cotovelos são utilizados
para conectar os tubos rígidos.
Segundo a norma ISO-15590 (2009), para que a tubulação possa permitir a
passagem de PIG (ferramenta mais eficaz para inspeção e limpeza de dutos visando à
garantia de integridade) deve-se adotar um raio de cinco vezes o diâmetro da mesma em
seus trechos curvos (5D). Em alguns casos, pode-se permitir o raio de três vezes (3D) o
diâmetro.
2.3 COMPONENTES
Os jumpers rígidos são compostos, basicamente, por três conjuntos estruturais: os
trechos retos, chamados de linepipes, as curvas ou bends e os conectores. Os trechos
retos são tubos de aço (Figura 2-7) padronizados segundo as normas (BARROS, 2014).
As curvas também são tubos de aço padronizados por norma, que passam por processo
de dobramento. Todos os tubos são revestidos externamente com camadas contra
corrosão podendo também apresentar uma camada mais externa de proteção térmica.
Internamente, o tubo pode também ser revestido/pintado contra corrosão (camada esta
conhecida como lining na literatura), dependendo da corrosividade do fluido (exemplo:
alta quantidade de H2S) e das premissas de projeto adotadas.
9
Figura 2-7 – Tubos de aço (RUUKKI, 2013).
No processo de dobramento dos bends, o tubo “perde” um pouco de espessura no
lado onde as fibras são tracionadas e “ganha” onde as fibras são comprimidas. Sendo
assim, após o dobramento, a espessura do lado tracionado deverá ser menor que a
original do tubo. Um esquemático é apresentado na Figura 2-8 em que sva é a espessura
pós dobramento da parte tracionada e svi a espessura da parte comprimida.
Figura 2-8 – Variação das espessuras em curvas (BARROS, 2014).
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Para solucionar este problema e garantir que após o dobramento este mantenha
uma espessura igual ou maior que a original, faz-se a escolha, para as curvas, de um
tubo com uma espessura relativamente maior. No caso, para curvas de raio igual a 5
vezes o diâmetro, adota-se uma espessura padrão acima de 10% da original e para
curvas de raio igual a três vezes adota-se a espessura padrão acima de 15% da original.
Além dos tubos retos e das curvas, o jumper é composto pelos conectores, os
quais são responsáveis por fazer a conexão entre o jumper e as estruturas (PLEM,
PLET, etc.). Os conectores são componentes complexos com muitas peças fabricadas
em aço forjado (BARROS, 2014).
2.4 COMPOSIÇÃO MATERIAL DOS TUBOS
O aço, utilizado para produção das tubulações, é um material que, dependendo de
sua composição química e tratamento termomecânico, pode apresentar excelentes
propriedades de resistência à corrosão. Entretanto, para atingir tais características, os
elementos de liga utilizados e os tratamentos termomecânicos encareceriam a produção
de tal forma que inviabilizariam o projeto. Sendo assim, como solução para a gama de
necessidades do aço são utilizados diversos tipos de revestimentos, descritos a seguir:
Para conferir proteção contra corrosão interna durante a vida útil da
tubulação, utilizam-se revestimentos anticorrosivos.
Para conferir proteção contra corrosão externa, utilizam-se revestimentos
externos ao tubo. Uma alternativa viável e muito utilizada é a proteção
catódica. A ideia deste processo consiste em tirar o material da zona de
corrosão e levá-lo para a de proteção, aplicando certo potencial na
tubulação. Este potencial aplicado dependerá do tipo de proteção catódica
utilizada, bem como dos materiais utilizados (como anodo de sacrifício,
por exemplo).
Quando existe perda de temperatura do fluido para o meio ambiente,
podendo ocasionar problemas no escoamento do fluido, utilizam-se os
revestimentos isolantes térmicos, que conferem proteção contra a
variação de temperatura.
11
Na Figura 2-9, está apresentado um padrão de revestimento para jumper e
pipelines em geral.
Figura 2-9 – Revestimento 3LPP (BREDERO, 2015).
O 3LPP, Polipropileno tripla camada, consiste em uma camada de FBE (Fusion
Bonded Epoxi, explicado no próximo parágrafo) de alto desempenho, coberta por um
adesivo copolímero e por uma camada externa de polipropileno que fornece a mais
resistente e durável solução em revestimento de tubos para temperaturas de até 110°C.
O revestimento epóxi FBE (Fusion Bonded Epoxy) é um anticorrosivo de alto
desempenho que oferece excelente proteção para tubulações de diâmetros pequenos e
grandes, com temperaturas operacionais moderadas.
O 3LPE, Polietileno tripla camada, consiste de uma camada de epóxi FBE de alto
desempenho, seguida de um adesivo copolímero e de uma camada externa de
polietileno que oferece proteção resistente e duradoura para temperaturas de até 85°C.
Também é muito utilizado como revestimento térmico o Poliuretano, PU, que é
um acabamento 100% sólido, com dois componentes de alto desempenho, alta
espessura, de secagem rápida, de poliuretano aromático e rígido. Ele foi criado
especificamente como um revestimento de proteção anticorrosiva resistente à abrasão
para a proteção de longo prazo em dutos.
12
CAPÍTULO 3 – DETERMINAÇÃO DA FADIGA DEVIDO ÀS
VIV
3.1 GERAL
Com a descoberta de novos campos de óleo e gás, a tendência da indústria
offshore é a caminhada para ambientes mais severos, com lâminas d’água cada vez
maiores. Logo, há um aumento do uso de equipamentos submarinos devido à
necessidade do transporte do óleo e/ou do gás para tratamento em terra ou até mesmo
em águas mais rasas. Isto implica na instalação de dutos submarinos e na utilização dos
jumpers para a conexão entre os equipamentos submarinos.
Em grande parte dos projetos de novos campos e de dutos submarinos para águas
profundas, os jumpers têm se tornado um grande desafio, pois a combinação das altas
velocidades de corrente próximas ao fundo, com a difícil e dispendiosa intervenção,
exigem uma atenção especial na integridade da estrutura e nas vibrações induzidas por
vórtices com o respectivo dano à fadiga.
É importante observar que o duto submarino pode vibrar tanto na direção do
fluxo (horizontalmente ou in-line) quanto transversalmente ao fluxo (verticalmente ou
cross-flow), sendo o primeiro tipo de vibração o foco deste trabalho. As vibrações
induzidas pelos carregamentos ambientais geram uma variação do estado de tensões da
estrutura, ocasionando o problema de fadiga. Para que o jumper não venha a romper por
fadiga, é preciso que a frequência de desprendimento de vórtices esteja a mais afastada
possível das frequências naturais do jumper, para que a oscilação dinâmica seja
minimizada.
Este capítulo descreve o fenômeno do VIV e como o jumper será avaliado em
relação ao mesmo, de acordo com as principais normas de dutos submarinos vigentes no
mercado.
13
3.2 VIBRAÇÕES INDUZIDAS POR VÓRTICES
3.2.1 Introdução
É intuitivo que um corpo imerso em um meio fluido influa em seu escoamento. É
possível perceber uma região de perturbação no fluxo no entorno do corpo, dissipada à
medida que se afasta deste. A extensão da região de perturbação depende
fundamentalmente da geometria do corpo, velocidade de escoamento, viscosidade do
fluido e rugosidade da superfície, sendo também influenciada por outros fatores
secundários.
Os elementos imersos no mar estão sujeitos aos carregamentos hidrodinâmicos
devidos ao movimento do fluido e sua interação com a estrutura. A principal solicitação
decorrente é o arrasto, carregamento atuante na mesma direção e sentido do fluxo. Seus
efeitos são suficientemente conhecidos, e possuem formulações adequadas com
resultados satisfatórios.
Outro efeito a ser considerado, são as solicitações decorrentes do desprendimento
de vórtices, cujas consequências têm sido cada vez mais importantes no projeto de
estruturas offshore.
O desprendimento de vórtices pode gerar forças alternadas na estrutura
(carregamento cíclico) e dependendo da frequência de desprendimento dos vórtices
(frequência de shedding), quando esta se aproxima das frequências naturais da estrutura,
é possível que a estrutura entre em ressonância, podendo levar ao colapso por fadiga.
Nos itens a seguir, este fenômeno será abordado mais detalhadamente e as
principais grandezas relacionadas ao problema serão analisadas.
3.2.2 Fenômeno do VIV
Desde os tempos antigos, sabe-se que os ventos provocam vibrações induzidas
por desprendimento de vórtices em cordas esticadas de uma harpa (harpa eólica). Em
1878, Strouhal verificou que o som eólico gerado por um arame é proporcional à
velocidade do vento dividida pela espessura do arame. A periodicidade da esteira de um
cilindro foi associada com a formação de vórtices por Bernard em 1908 e com caminho
estável por Von Karman em 1912. Na Figura 3-1, tem-se dois tipos de esteiras de
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vórtices: um laminar e outro turbulento, característicos de um cilindro submetido a um
vento com velocidade constante.
Figura 3-1 – Esteira de vórtices sobre um cilindro circular (AVELEDA, 2003).
Através dos tempos, pesquisadores buscaram um modelo adequado para
representar este fenômeno. Um fluido de pequena viscosidade ao passar por um
obstáculo forma uma camada limite, junto a ele. Observa-se que a velocidade nesta
camada varia rapidamente, desde um valor nulo, junto à parede do obstáculo, até um
valor característico do escoamento na fronteira da camada limite, conforme apresentado
na Figura 3-2. Esta variação da magnitude da velocidade transversal na direção do
escoamento representa um escoamento rotacional dentro da camada limite. Para
determinadas velocidades do escoamento, a camada limite se desprende do obstáculo e
forma-se uma esteira de vórtices.
Figura 3-2 – Camada limite (SANTOS, 2005).
Em outras palavras, quando uma partícula fluida se choca contra o ponto anterior
do cilindro, sua pressão atinge o valor da pressão de estagnação. Ao contornar a
superfície do cilindro, a partícula vai perdendo energia devido ao atrito. Como o campo
15
de pressões é incapaz de forçar a camada limite, esta se desprende da superfície do
cilindro aproximadamente na região de maior largura. Observa-se que na parte interna
da camada limite, a velocidade é mais lenta que na parte externa e o movimento torna-se
circular ao se separar do cilindro originando os vórtices. Uma vez que a separação
ocorre próxima da seção de maior largura do cilindro, origina-se a força dita de
sustentação que é transversal ao escoamento.
O número de Reynolds (Re) representa a relação entre as forças de inércia e as
forças viscosas (FOX, 2006). Caso o obstáculo seja um cilindro cujo eixo é
perpendicular ao fluxo, o número de Reynolds é expresso por:
𝑅𝑒 =𝑈.𝐷
𝜐 (3.1)
onde:
U – Velocidade do fluido.
D – Diâmetro.
υ – Viscosidade cinemática do fluido.
Na Figura 3-3, está relacionada a formação da esteira de vórtices com o número
de Reynolds, onde foi considerado que o obstáculo seja um cilindro com seu eixo
alocado perpendicularmente ao fluxo. Observa-se ainda que a formação de vórtices
ocorre, na maioria dos casos, de forma desordenada, introduzindo um fator de
complexidade na reprodução do fenômeno e dificultando a elaboração de um modelo
matemático que reproduza adequadamente as VIV.
16
Figura 3-3 – Relação entre o número de Reynolds e a formação da esteira de
vórtices (SUMER, 2006).
Como consequência do desprendimento de vórtices, forças oscilatórias nos
sentidos transversal e/ou paralelo ao fluxo podem surgir (devido à variação da pressão
existente no entorno do obstáculo). Se a frequência de desprendimento de vórtices
(frequência de shedding) aproximar-se de qualquer uma das frequências naturais do
obstáculo, o mesmo começará a vibrar em ressonância.
A frequência circular de desprendimento de vórtices (ωs) depende de um
parâmetro de proporcionalidade designado número de Strouhal, St, e de duas outras
17
grandezas, isto é, a velocidade da corrente, U, e o diâmetro do cilindro, D, que se
relacionam da seguinte forma:
𝜔𝑠 = 2. 𝜋.𝑆𝑡. 𝑈
𝐷 (3.2)
O número de Strouhal, St, relaciona-se com o número de Reynolds, Re, para
cilindros estacionários com paredes lisas, através da curva experimental apresentada na
Figura 3-4.
Figura 3-4 – Relação entre o número de Reynolds e o número de Strouhal
(BLEVINS, 1994).
No caso de estruturas offshore esbeltas sujeitas ao fenômeno de VIV, como o
jumper, o número de Reynolds gira em torno de 105. Portanto, observando-se a Figura
3-4 pode-se dizer que as vibrações induzidas por desprendimento de vórtices em
estruturas offshore ocorrem para um número de Strouhal próximo de 0,2. Esta
aproximação é largamente usada nos cálculos de VIV, principalmente devido às
incertezas envolvidas na determinação do número de Strouhal.
18
3.2.3 Camada Limite
O conceito e denominação de camada limite está relacionado ao efeito sensível
que a viscosidade possui sobre uma pequena camada adjacente à superfície de um corpo
imerso em fluidos de pequena viscosidade (número de Reynolds alto), como
apresentado em 1904 por Prandtl. Fora desta camada, a influência da viscosidade é
pequena e desprezível, podendo o escoamento ser estudado como se o fluido fosse ideal,
obtendo-se um alto grau de exatidão nos resultados.
A camada limite apresenta as seguintes características (SANTOS, 2005):
Em uma pequena distância a partir da superfície do corpo imerso, a
velocidade cresce de zero até, praticamente, a velocidade existente no
escoamento teórico;
Na camada limite, há predominância dos efeitos da viscosidade, sendo
que fora dela, praticamente, os mesmos não tem efeito sobre o
escoamento;
Quanto maior a velocidade do escoamento, menores serão o comprimento
e as espessuras da camada limite laminar e da subcamada laminar;
A pressão no interior da camada limite é determinada pelo escoamento
circundante. Em uma seção da camada limite normal à superfície do
corpo, a pressão pode ser considerada como constante e igual à do
escoamento circundante.
19
3.2.4 Formação de Vórtices
Quando o escoamento se dá sobre a superfície de um cilindro posicionado
transversalmente ao fluxo, o campo de pressões não é mais constante, como pode-se
observar na Figura 3-5. As partículas fluidas aumentam de velocidade entre A e B e
diminuem entre B e C. Pela equação de Bernoulli, pode-se verificar que há uma
diminuição na pressão entre A e B e um aumento entre B e C.
Figura 3-5 – Escoamento em torno de um cilindro (MARTINS, 1989).
Ao longo da camada limite, contudo, existe uma perda de energia cinética por
fricção, devido à viscosidade do fluido e, consequentemente, a energia resultante pode
tornar-se insuficiente para suportar o acréscimo de pressão necessário para se chegar a
C. Devido a esse fato, surge um movimento, contrário à passagem do fluido, que causa
o descolamento da camada limite em um ponto chamado ponto de separação e, também,
a formação de um par de vórtices estacionários como apresentado na Figura 3-6.
Figura 3-6 – Par de vórtices estacionários (MARTINS, 1989).
20
3.2.5 Frequência de Shedding ou de Strouhal
A configuração com um par de vórtices estacionários (Figura 3-6) é mantida até,
aproximadamente, um número de Reynolds igual a 40. A partir deste valor, a
configuração se modifica para uma situação onde ocorre o desprendimento de vórtices
de forma periódica e alternada, como apresentado na Figura 3-7. A frequência na qual
os vórtices se desprendem é conhecida como frequência de shedding ou de Strouhal e a
configuração regular desenvolvida é conhecida como esteira de von Karman. Em 1911,
von Karman mostrou que o padrão de vórtices alternados seria estável, se a razão entre a
distância lateral e a longitudinal entre o centro de um vórtice e outro fosse igual a 0,279.
Esta relação é apresentada na figura a seguir, em função do diâmetro do cilindro (D).
Figura 3-7 – Esteira de von Karman (STREET et al., 1978).
3.2.6 Ressonância in-line
Quando a frequência de desprendimento de vórtices se aproxima de uma
frequência natural do cilindro, aquela é “capturada” pela frequência natural ocorrendo,
assim, o fenômeno de ressonância in-line. O cilindro passa, então, a controlar o
desprendimento de vórtices. A ressonância in-line se caracteriza pela modificação tanto
da frequência natural de vibração, devido à variação da massa adicionada, quanto pela
modificação da frequência de Strouhal que é influenciada pela vibração do cilindro
(BLEVINS, 1994).
21
3.2.7 Parâmetros Adimensionais Importantes
As amplitudes de movimentos in-line devidas ao desprendimento de vórtices do
Modelo de Resposta in-line, apresentado no próximo tópico, dependem de um conjunto
de parâmetros adimensionais hidrodinâmicos, constituindo um elo entre os dados
ambientais (meta oceanográficos) e o respectivo modelo. Os principais parâmetros são
descritos a seguir:
Velocidade reduzida (VR);
Intensidade de turbulência (Ic);
Parâmetro de estabilidade (Ks).
Observa-se que, neste modelo em específico, o número de Reynolds não se
encontra explícito no cálculo das amplitudes de resposta.
Um dos principais parâmetros que associam as condições ambientais com o
comportamento estrutural do duto é a velocidade reduzida. A velocidade reduzida pode
ser entendida como a razão entre a velocidade do escoamento (Uc) e a frequência de
vibração do duto (fv), adimensionalizada por uma largura característica máxima,
definida como o diâmetro externo do tubo (uma vez que a largura da esteira tende a ter
o diâmetro como determinante). Neste estudo, não está sendo considerado o efeito da
onda, uma vez que o jumper se encontra em águas ultraprofundas não sujeito aos efeitos
das ondas. Por este motivo, a velocidade reduzida limita-se a:
𝑉𝑅 =𝑈𝑐𝑓𝑣. 𝐷
(3.3)
O parâmetro de intensidade de turbulência mede o nível de turbulência do
escoamento, como se pode observar na equação a seguir:
𝐼𝐶 =𝜎𝑐𝑈𝑐∗
(3.4)
onde σc é o desvio padrão das flutuações de velocidade do escoamento e Uc* é a
velocidade média do escoamento durante um período de amostragem de dez ou trinta
minutos (DNV-RP-F105, 2006).
22
Por último, o parâmetro de estabilidade mede o amortecimento que o sistema
oferece às amplitudes de vibrações para um dado comportamento modal, como pode ser
observado a seguir:
𝐾𝑠 =2.𝑚𝑒 . 𝜁
𝜌. 𝐷² (3.5)
onde:
- me é a massa efetiva, caracterizada pela soma das massas estrutural, massa
adicionada (parcela de Morison) e do fluido interno, todas lineares (kg/m);
- ρ é a massa específica do fluido no entorno do cilindro (água do mar);
- ζ é o decremento logarítmico, definido por ζ = 2.π.ξT, onde ξT é a fração de
amortecimento total, constituído pela soma dos amortecimentos estrutural,
hidrodinâmicos e do solo.
A explicação do fenômeno físico das vibrações in-line e toda a explanação sobre
a criação das curvas de amplitude se encontram detalhadamente em BANDEIRA
(2012).
23
3.3 MODELOS DE AVALIAÇÃO DA FADIGA
A utilização do Modelo de Resposta como ferramenta de avaliação da fadiga do
jumper se dá por esta ser uma das formas mais eficazes, e ao mesmo tempo simples, de
se ponderar as amplitudes de vibração devidas ao desprendimento de vórtices. Tal
modelo está descrito detalhadamente na DNV-RP-F105 (2006). Ele baseia-se em
modelos empíricos, os quais fornecem as máximas amplitudes de vibração, invariáveis
no tempo, devidas às VIV, como função de parâmetros adimensionais que representam
o escoamento do fluido em torno do cilindro, bem como da interação fluido-estrutura.
Ressalta-se que os modelos de resposta foram determinados com base em dados
disponíveis de testes experimentais de laboratório em uma quantidade limitada de
resultados em escala real para as seguintes condições:
VIV no plano do escoamento sob condições de corrente uniforme e
condições dominadas pela corrente;
Movimento in-line (IL) induzido pelas VIV no plano transversal;
VIV no plano transversal sob condições de corrente uniforme e condições
combinadas de onda e corrente.
Outro modelo de avaliação da fadiga oriunda de movimentos cíclicos, proposto
na DNV-RP-F105 (2006) é o Modelo de Força. Este é mais utilizado para o cálculo da
fadiga oriunda dos movimentos cíclicos causados pela ação direta das cargas de onda,
aplicado apenas no plano do escoamento (horizontal). Atualmente, não existem modelos
de força aplicáveis na direção vertical (cross-flow ou CF), sendo os modelos de resposta
mais representativos, refletindo melhor a resposta observada em dutos sob uma
variedade de condições de escoamento. Este tipo de modelo é melhor caracterizado em
cenários de águas rasas, onde atuam, mais claramente, os efeitos cíclicos característicos
de ondas, sendo esta dominante no escoamento como um todo.
É importante destacar que o Modelo de Força não será detalhado neste estudo,
uma vez que o mesmo está voltado para a avaliação de fadiga dada pelo fenômeno de
VIV, que é caracterizado pelo Modelo de Resposta.
A determinação das características das condições ambientais (se o escoamento é
dominado pela corrente ou pela corrente mais onda) e do consequente tipo de modelo
24
para cálculo da vida à fadiga encontra-se em função do regime de escoamento segundo
o qual o vão encontra-se submetido. Uma explicação mais detalhada deste parâmetro
pode ser observada no tópico a seguir.
3.3.1 Regimes de Escoamento
Os regimes de escoamento medem a influência das parcelas de corrente e de
onda no fluxo final incidente no duto e na aplicação dos modelos, de Resposta e de
Força, presentes no cálculo da fadiga. Para avaliação desta influência, aplica-se um
parâmetro que mede a taxa de velocidade de corrente incidente ao duto, Uc, dentro do
escoamento global, (Uc + Uw). Este parâmetro, conhecido como α (= Uc / (Uc + Uw)),
pode ser aplicado na classificação do tipo de regime de escoamento, como visto na
tabela a seguir.
25
Tabela 3-1 - Características do escoamento (DNV-RP-F105, 2006).
Observa-se que quando α tende a zero (= 0) temos uma situação de escoamento
puramente oscilatório devido às ondas e quando α tende a um (= 1) temos um
escoamento puramente estável (sem oscilações do fluido), dominado pelos efeitos de
corrente.
Onda dominante - onda sobreposta pela corrente
Direção IL: cargas in-line podem ser descritas de acordo com as
formulações de Morison. VIV existente nesta direção devido ao
desprendimento de vórtices é desprezado.
Direção CF: cargas cross-flow surgem, principalmente, devido ao
desprendimento assimétrico de vórtices. O modelo de resposta é
recomendado.
Onda dominante - corrente sobreposta pela onda
Direção IL: cargas in-line podem ser descritas de acordo com as
formulações de Morison. VIV existente nesta direção devido ao
desprendimento de vórtices é mitigado devido à presença de ondas.
Direção CF: cargas cross-flow surgem, principalmente, devido ao
desprendimento assimétrico de vórtices e assemelha-se à situação de
corrente dominante. O modelo de resposta é recomendado.
Corrente dominante
Direção IL: cargas in-line abrangem as seguintes componentes:
- Uma componente dominada pelo arrasto permanente;
- Uma componente oscilatória devido ao desprendimento regular de
vórtices.
Para a análise de fadiga, o modelo de resposta é aplicável. Cargas in-line
de acordo com as formulações de Morison são, normalmente, desprezadas.
Direção CF: cargas cross-flow são cíclicas e devidas ao desprendimento
de vórtices e assemelha-se à situação onde apenas a corrente é atuante. O
modelo de resposta é recomendado.
α CARACTERÍSTICAS DO ESCOAMENTO
α < 0,5
0,5 < α < 0,8
α > 0,8
26
No item a seguir, será detalhado como o Modelo de Resposta avalia as vibrações
in-line causadas pelos carregamentos ambientais.
3.3.2 Vibrações in-line
A resposta em termos de amplitude para o duto vibrando na direção in-line
contempla a região de velocidades reduzidas entre 1,0 e 4,5, ou seja, tanto para
vibrações por desprendimento de vórtices simétricos quanto alternados. Assume-se que
a resposta in-line para o vão livre vai depender basicamente dos parâmetros de
velocidade reduzida, de estabilidade, de intensidade de turbulência e do ângulo entre a
corrente e o duto. Nas formulações para a construção da curva de resposta, os
parâmetros de velocidade reduzida e estabilidade são corrigidos por fatores de
segurança relacionados à frequência natural do vão e ao efeito de amortecimento,
respectivamente.
Segundo a DNV-RP-F105 (2006), a variação de tensões in-line pode ser expressa
por:
𝛥𝑆 = 2. 𝐴. 𝜎𝑚á𝑥. 𝑆𝐶𝐹. 𝛾𝑠 (3.6)
onde:
- A é a amplitude de vibração in-line da estrutura (m), obtida pela multiplicação
de Ay/D pelo diâmetro externo do jumper;
- σmáx é a tensão de flexão máxima que surge no jumper por metro de amplitude
de vibração (MPa/m)
- SCF é o fator de concentração de tensões.
- γs é um termo que representa um fator de incerteza na tensão de flexão e seu
valor é igual a 1,3, segundo a Tabela 2-2 da norma DNV-RP-F105 (2006).
27
Algumas curvas de resposta em função dos valores do parâmetro de estabilidade
de projeto (Ksd) podem ser observadas na figura a seguir:
Figura 3-8 - Curvas de amplitude de resposta IL devido às VIV em função da
velocidade reduzida e do parâmetro de estabilidade (DNV-RP-F105, 2006).
Observa-se que as amplitudes de resposta IL tendem a diminuir à medida que o
parâmetro de estabilidade aumenta, uma vez que o mesmo é proporcional ao
amortecimento do sistema (estrutural, hidrodinâmico e do solo), como esperado.
Para construção das curvas de resposta, determinam-se quatro pontos cujas
abscissas e ordenadas são, respectivamente, as velocidades reduzidas de projeto (VRd) e
as amplitudes de movimento normalizadas (Ay/D), como observado na Figura 3-9, a
seguir:
28
Figura 3-9 - Modelo para construção da curva de resposta (DNV-RP-F105,
2006).
Os pontos podem ser calculados conforme as seguintes formulações:
- Ponto 1 (ordenada nula):
𝑉𝑅,𝑜𝑛𝑠𝑒𝑡𝐼𝐿 =
{
1
𝛾𝑜𝑛,𝐼𝐿, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐾𝑠𝑑 < 0.4
0.6 + 𝐾𝑠𝑑𝛾𝑜𝑛,𝐼𝐿
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0.4 < 𝐾𝑠𝑑 < 1.6
2.2
𝛾𝑜𝑛,𝐼𝐿, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐾𝑠𝑑 > 1.6
(3.7)
- Ponto 2:
𝑉𝑅,1𝐼𝐿 = 10. (
𝐴𝑦,1
𝐷) + 𝑉𝑅,𝑜𝑛𝑠𝑒𝑡
𝐼𝐿 (3.8)
𝐴𝑦,1
𝐷= 𝑚𝑎𝑥 (0.18. (1 −
𝐾𝑠𝑑1.2
) . 𝑅𝐼𝜃1;𝐴𝑦,2
𝐷) (3.9)
29
- Ponto 3:
𝑉𝑅,2𝐼𝐿 = 𝑉𝑅,𝑒𝑛𝑑
𝐼𝐿 − 2. (𝐴𝑦,2
𝐷) (3.10)
𝐴𝑦,2
𝐷= 0.13. (1 −
𝐾𝑠𝑑1.8
) . 𝑅𝐼𝜃2 (3.11)
- Ponto 4 (ordenada nula):
𝑉𝑅,𝑒𝑛𝑑𝐼𝐿 = {
4.5 − 0.8. 𝐾𝑠𝑑, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐾𝑠𝑑 < 1.03.7, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐾𝑠𝑑 ≥ 1.0
(3.12)
onde, γon,IL representa o fator de segurança para início das VIV, no valor de 1,1,
aumentando o tamanho da banda de ocorrência dos movimentos.
É importante notar que, como mencionado anteriormente, no cálculo de Ay/D, a
velocidade reduzida e o parâmetro de estabilidade são modificados por fatores de
segurança relacionados com a frequência natural (γf) e o amortecimento (γk),
respectivamente, conforme equações a seguir:
𝑉𝑅𝑑 = 𝑉𝑅 . 𝛾𝑓 (3.13)
𝐾𝑠𝑑 =𝐾𝑠𝛾𝑘
(3.14)
Os fatores de redução aplicados no cálculo das amplitudes de vibração IL,
RIθ,1(Ic, θrel) e RIθ,2(Ic), apresentados nas Equações (3.9) e (3.11), contabilizam os efeitos
de turbulência, bem como o ângulo de ataque do escoamento.
𝑅𝐼𝜃1 = 1 − 𝜋² (𝜋
2− √2. 𝜃𝑟𝑒𝑙) . (𝐼𝑐 − 0.03) (3.15)
𝑅𝐼𝜃2 = 1 −(𝐼𝑐 − 0.03)
0.17 (3.16)
30
Ressalta-se que os fatores de redução devem ser inferiores à unidade, como pode
ser observado na Figura 3-10, a seguir:
Figura 3-10 - Funções de redução com relação à intensidade de turbulência e
ângulo e ataque do escoamento (DNV-RP-F105, 2006).
3.3.3 Capacidade de Fadiga – Cálculo da vida útil
A partir da definição e explanação do fenômeno de VIV, dos parâmetros
hidrodinâmicos e da curva de resposta para amplitude de movimento IL, para a
definição do procedimento de cálculo da vida útil do vão livre é necessário determinar a
frequência de oscilação na qual o duto vibra, as variações de tensão e as propriedades
das curvas de fadiga, bem como a consideração do diagrama de dispersão de correntes
marinhas e suas respectivas probabilidades de ocorrência.
Neste trabalho, a vida útil do jumper é dada como sendo o inverso do dano total
causado pelas correntes marinhas que incidem sobre o mesmo. O dano total, por sua
vez, será calculado utilizando a Regra de Miner (DNV-RP-C203, 2011), apresentada na
equação (3.17).
31
𝐷𝑎𝑛𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =∑𝑛𝑖𝑁𝑖
𝑖
(3.17)
onde n representa o número de ciclos solicitantes que atuam sobre o jumper e N
representa o número de ciclos que o jumper resiste sob ação de uma determinada
corrente i.
Como será visto com maiores detalhes no Cap. 5, o cálculo do número de ciclos
solicitantes depende da frequência com a qual o jumper vibra. Por este motivo, é
importante que se mencione que neste estudo está se trabalhando com o comportamento
unimodal do vão livre e, portanto, o modelo de resposta assume que o vão vibre de
acordo com a frequência de desprendimento de vórtices dentro da banda de ressonância
in-line, ou seja, dentro da faixa de frequências naturais do duto. No caso do VIV in-line,
as frequências de vibração dominantes, fv, são calculadas pela seguinte igualdade:
𝑓𝑣 = 𝑓𝑛,𝐼𝐿 (3.18)
onde fn,IL representa a enésima frequência natural de vibração no plano do
escoamento.
32
CAPÍTULO 4 – ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS
OFFSHORE
4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
O comportamento dinâmico de estruturas offshore é muito importante e deve ser
analisado, pois devido à variação do carregamento no tempo e, consequentemente, dos
esforços solicitantes dos componentes estruturais surge o problema descrito no capítulo
anterior: a fadiga.
Neste capítulo, serão mostrados os fundamentos necessários para efetuar uma
análise de vibrações livres para o cálculo de modos e frequências naturais de uma
estrutura, que é um dos objetivos principais da planilha MathCAD desenvolvida neste
trabalho.
4.2 EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA DE UM SISTEMA PARA
VIBRAÇÕES LIVRES
Como descrito por PAZ (1997), a equação diferencial do movimento utilizada
em análises estruturais dinâmicas pode ser generalizada para o caso de sistemas com
múltiplos graus de liberdade n através da equação:
𝑴𝒖′′ + 𝑪𝒖′ +𝑲𝒖 = 𝑭(𝒕) (4.1)
onde:
- M é a matriz de massa;
- C é a matriz de amortecimento;
- K é a matriz de rigidez;
- u, u’, u’’ são os vetores de deslocamento, velocidade e aceleração,
respectivamente;
- F é o vetor com as forças aplicadas.
33
Quando um sistema vibra apenas devido a condições iniciais, ou seja, sem a ação
de nenhuma força excitadora externa, o movimento é chamado de vibração livre. Assim,
com a anulação do vetor F da equação (4.1), ela se reduz a:
𝑴𝒖′′ + 𝑪𝒖′ +𝑲𝒖 = 0 (4.2)
Neste trabalho, para o cálculo das frequências naturais de uma estrutura se
desprezou o amortecimento. Portanto, adotou-se a matriz C como sendo igual a zero e,
assim, a equação (4.3) é escrita:
𝑴𝒖′′ +𝑲𝒖 = 0 (4.3)
Adota-se a hipótese que em um modo de vibração o vetor de deslocamentos pode
ser escrito na forma:
𝒖(𝑥, 𝑡) = 𝝋(𝑥). 𝑞(𝑡) (4.4)
onde φ é o vetor que representa fisicamente a deformada e q(t) é a função que
representa o movimento no tempo e pode ser escrita na forma complexa:
𝑞(𝑡) = 𝑎. 𝑒𝑖𝜔𝑡 (4.5)
Com ω sendo a frequência angular em rad/s e a uma constante. Como na equação
(4.4) apenas a função q depende do tempo, pode-se obter sua derivada em relação ao
tempo na forma:
𝑞′′(𝑡) = −𝜔2. 𝑎. 𝑒𝑖𝜔𝑡 (4.6)
Com base em (4.6), e substituindo em (4.4) e (4.3) chega-se a:
(−𝑴𝜔2𝝋+𝑲𝝋)𝑎. 𝑒𝑖𝜔𝑡 = 0 (4.7)
Na equação (4.7), o termo a.eiωt não pode ser zero, o que representaria a ausência
do movimento. Assim, pode-se escrever:
(𝑲 − 𝜔²𝑴)𝝋 = 0 (4.8)
Isto representa um sistema de n equações algébricas homogêneas com n
componentes do vetor φ e parâmetros ω² desconhecidos. A formulação da equação (4.8)
é um importante problema matemático conhecido por problema de autovalor. Como a
34
solução do problema não pode ser trivial (φ = 0), o que resultaria na ausência de
deslocamentos nodais, conclui-se que:
𝑑𝑒𝑡(𝑲 − 𝜔²𝑴) = 0 (4.9)
A equação (4.9) exprime um polinômio de grau n resultando em n valores de ω².
Este polinômio é conhecido como equação característica do sistema. Para cada valor de
ω² satisfazendo a equação característica, podemos resolver a equação (4.8) em termos
de uma constante arbitrária. Como os valores calculados para os coeficientes φ são
arbitrários, é necessária uma normalização desses valores. Nesse trabalho, esse processo
será realizado com relação ao maior valor presente dentro do autovetor φ que, como
dito anteriormente, representa a deformada da estrutura. Sendo assim, dividiu-se todos
os elementos de φ por φmáx para que o maior deslocamento encontrado fosse igual a 1.
Como solução do problema de autovalores, são determinados ωi, as frequências
naturais e seus respectivos autovetores associados φi que representam os modos de
vibração do sistema. O número de modos de vibração é igual ao número de graus de
liberdade da estrutura, que depende da forma como ela é discretizada. Quanto maior a
discretização, maior será o número de modos de vibração.
Com a equação característica (4.8) em mãos, o próximo passo é a determinação
da matriz de rigidez K e a matriz de massa M. Os tópicos 4.3 e 4.4, a seguir, descrevem
o procedimento para obtenção das mesmas, respectivamente.
35
4.3 MATRIZ DE RIGIDEZ
Como dito anteriormente, a planilha MathCAD desenvolvida irá trabalhar cada
elemento finito como sendo um elemento de pórtico espacial. Neste trabalho, utilizou-se
o elemento de eixo reto, composto por dois nós e seção transversal constante. Os
deslocamentos nodais de cada nó pertencente ao elemento de pórtico espacial estão
ilustrados na Figura 4-1. Pode-se notar que se tratam de seis deslocamentos por nó,
sendo três de translação e três de rotação, totalizando doze deslocamentos por elemento.
A matriz de rigidez de um elemento de pórtico espacial é obtida através da relação entre
os deslocamentos e as forças nodais e é mostrada na Figura 4-2.
Figura 4-1 – Deslocamentos nodais.
36
Figura 4-2 – Matriz de rigidez para elemento de pórtico espacial
(PRZEMIENIECKI, 1968).
onde:
- Ax é a área da seção transversal do jumper (coroa circular);
- E é o módulo de elasticidade e G é o módulo de cisalhamento;
- Iy e Iz são os momentos de inércia da seção nas direções y e z, respectivamente;
- Jx é o momento de inércia polar da seção;
- L é o comprimento do elemento.
No caso de estruturas que apresentam acoplamento entre esforço axial e de
flexão, como é o caso das linhas de ancoragem, dutos, risers, etc., a rigidez do elemento
é alterada devido à presença da carga axial. Como este estudo está tratando de um
jumper no qual o esforço axial é quase nulo, a matriz de rigidez levada em consideração
para cada elemento é a matriz clássica linear apresentada acima.
Sendo assim, determinada a matriz de rigidez de um elemento, é necessário o
cálculo da matriz de rigidez global da estrutura. Essa matriz global está referida a um
37
sistema de coordenadas global, onde estão definidos os pontos nodais da estrutura
discretizada. No entanto, a matriz de rigidez de um elemento é definida em um sistema
local. Torna-se então necessário rotacionar essa matriz do elemento para o sistema
global, definindo assim a matriz de rigidez do elemento nos eixos globais. Escreve-se a
equação:
𝑲 = 𝑹𝑇𝑲𝑬𝑹 (4.10)
R é a matriz de rotação para o elemento de pórtico espacial, apresentada na
Figura 4-3.
Figura 4-3 – Matriz de rotação para o pórtico espacial (PRZEMIENIECKI,
1968).
Já TR, por sua vez, é a matriz de transformação final obtida pela equação (4.11):
𝑻𝑹 = 𝑻𝑹𝜸𝑻𝑹𝜷𝑻𝑹𝜶 (4.11)
Cada termo do lado direito da equação (4.11) representa uma rotação α, β e γ
necessária para se fazer coincidir o eixo global com o eixo local. Tais ângulos podem
ser retirados das próprias coordenadas nodais dos elementos que compõem o jumper.
A montagem da matriz de rigidez global da estrutura é feita somando-se as
contribuições de rijezas de todos os elementos referentes ao mesmo grau de liberdade.
38
4.4 MATRIZ DE MASSA
A matriz de massa representa os coeficientes da inércia que surgem na análise
dinâmica. Neste trabalho, a massa da estrutura foi considerada concentrada nos nós que
a descrevem. Ainda no caso de estruturas submersas como o jumper, é utilizado o
conceito de massa adicional.
4.4.1 Matriz de Massa Concentrada
O método mais simples de considerar as propriedades de inércia para um sistema
dinâmico é assumir que a massa da estrutura está concentrada nos pontos nodais onde
as translações estão definidas. Por aproximação, nas rotações, o coeficiente de inércia
pode ser adotado como zero. Neste trabalho, entretanto, adotou-se uma porcentagem
para a rotação de 0,001% da massa de translação por questões numéricas apresentadas
no tópico 4.5. A Figura 4-4 apresenta a matriz de massa concentrada utilizada.
Figura 4-4 – Matriz de massa concentrada de um elemento.
A distribuição de massa do elemento pode ser tomada como sendo uma função
qualquer, mas o método usual para determinação das massas nodais é considerar que a
distribuição de massa no elemento é uniforme, como foi colocado em evidência na
Figura 4-4. Lei é o comprimento do i-ésimo elemento e mt é a massa total distribuída no
elemento.
39
4.4.2 Matriz de Massa Adicional
Para acelerar um corpo imerso em água, não é somente o corpo que deve ser
acelerado, mas também a massa de certa quantidade de água próxima do corpo. Como
resultado, a força F’ necessária para acelerar um corpo imerso em água é maior do que a
força F utilizada para acelerá-lo no vácuo. Isto pode ser expresso pela expressão:
𝐹′ = (𝑚 +𝑚′)𝑎 > 𝐹 = 𝑚𝑎
onde m’ é a massa adicionada (ou massa hidrodinâmica) e a soma m+m’ também
pode ser referenciada como massa virtual.
A massa adicionada é usualmente expressa por:
𝑚′ = 𝐶𝑚𝜌𝐹𝑉𝑜𝑙
onde Cm é o coeficiente de massa adicionada, que pode ser tomado igual a 1 no
caso de corpos cilíndricos. Este será o mesmo valor adotado para o jumper estudado
neste trabalho, tendo em vista que o cálculo deste coeficiente não está no escopo deste
projeto final de curso. ρf é a massa específica do fluido e Vol é o volume de fluido
deslocado pelo objeto. A matriz de massa adicionada para o elemento de pórtico
espacial submerso é mostrada a seguir. Como simplificação, será utilizada apenas a
contribuição nas direções û2 e û3 de cada nó do elemento:
Figura 4-5 – Matriz de massa adicionada de um elemento.
onde ma (= ρf.Vol) é a massa adicionada em kg/m e Lei é o comprimento do i-
ésimo elemento.
40
4.5 IMPLEMENTAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO
Mais um aspecto importante que se deve mencionar neste capítulo diz respeito à
forma como se deu a implementação das condições de contorno na planilha, tendo em
vista que as mesmas alteram as matrizes de rigidez e massa globais, que são
fundamentais para a resolução da equação (4.9).
Existem diversos métodos conhecidos para a inserção das condições de contorno
nas matrizes de rigidez e de massa como, por exemplo, não se montar as linhas e as
colunas referentes aos deslocamentos restringidos. Entretanto, durante o processo de
programação no MathCAD constatou-se a necessidade de averiguar a consistência da
matriz de rigidez global da estrutura aplicando-se uma força unitária em um
determinado grau de liberdade. Para tornar esta tarefa simples e, ao mesmo tempo,
resolver o problema para o caso de vibrações livres, optou-se por utilizar a Técnica do
Número Grande para a matriz de rigidez e utilizar valores desprezíveis de massa nas
direções restringidas.
A Técnica do Número Grande (LIMA, 2011) é um procedimento muito eficiente
e largamente utilizado. Ele consiste em considerar apoios elásticos com grande rigidez
nas direções prescritas. Para eficiência e exatidão do procedimento, o valor da rigidez
desse apoio deve ser grande em relação aos demais coeficientes de rigidez, exigindo
uma calibragem para cada problema. Entretanto, esta calibragem pode ser feita de forma
automática, tomando-se a média entre os termos da diagonal principal da matriz de
rigidez da estrutura e multiplicando esta média por um número grande como, por
exemplo 1010, e adotando este produto como o número grande do problema. Em outras
palavras, sendo K’ a média dos termos da diagonal principal da matriz de rigidez o
número grande (NG) a se adotar seria:
𝑁𝐺 = 𝐾′. 1010 (4.12)
Sendo assim, para uma direção i restringida a rigidez final do termo na diagonal
principal, anteriormente igual a Ki,i, passou a ser Ki,i + NG.
De maneira similar, se alterou a matriz de massa para a condição de direção
impedida, só que de maneira oposta. Na diagonal principal da matriz de massa global,
que já considera os valores da matriz de massa concentrada e de massa adicionada, onde
41
se tinha uma direção impedida utilizou-se um número pequeno, mas não-nulo. A
explicação para tal escolha se dá pela forma como o MathCAD calcula os autovetores e
autovalores das equações (4.8) e (4.9), apresentada nas equações (4.13).
Caso se adotasse termos nulos para a massa, a matriz de massa global MGd não
poderia ser invertida. Portanto, para a preservação da condição de contorno do
problema, optou-se por um número pequeno.
42
CAPÍTULO 5 – FORMULAÇÃO COMPUTACIONAL
Nesse capítulo, através de tópicos, será mostrado o passo-a-passo realizado pela
planilha MathCAD para avaliar a fadiga no jumper rígido devido ao fenômeno do VIV
atuante na direção in-line, apresentando desde os dados de entrada necessários para o
seu funcionamento até o cálculo do dano e da vida útil.
5.1 DADOS DE ENTRADA E PROPRIEDADES DO JUMPER
Para o funcionamento da planilha, deve-se fornecer uma série de informações
iniciais. Para evitar problemas, tais informações tiveram suas unidades padronizadas
para metro (comprimento), segundo (tempo), quilograma (massa) e Newton (força).
Todas elas estão listadas a seguir:
Aceleração da gravidade (g) em m/s²;
Massa específica da água (ρa), do jumper (ρr) e do fluido interno (ρf) em
kg/m³;
Diâmetro interno (Di) e externo (De) do jumper em m;
Módulo de elasticidade do material que compõe o jumper (E) em N/m²;
Coeficiente de Poisson do material que compõe o jumper (ν).
Com esses dados em mãos, é calculada logo em seguida uma série de
propriedades do jumper, que também foram listadas abaixo:
Área da seção transversal (Ar) e interna (Ai) do jumper em m²;
Massa do jumper por metro (mr), massa do fluido por metro (mf) e massa
total por metro (mt = mr + mf) em kg/m;
Massa adicionada por metro (ma) em kg/m;
Peso seco e peso molhado por metro (w_seco e w) em N/m;
Momento de inércia em y (Iy) e z (Iz) da seção transversal em m4;
43
Momento de inércia polar da seção (J) em m4;
Módulo de Cisalhamento (G) em N/m².
Deve-se entrar também com um arquivo txt contendo as coordenadas de todos os
nós do jumper e impor as condições de contorno nos nós inicial e final do mesmo. Com
isso, é possível calcular o comprimento dos elementos finitos que constituem o jumper
e, também, compor a matriz de rotação R, de massa concentrada e adicionada (que são
somadas) e de rigidez de cada elemento, conforme descrito no Capítulo 4. Em última
instância, se obtêm as matrizes de rigidez (KGd) e massa (MGd) globais da estrutura,
somando-se adequadamente a contribuição de cada elemento para as matrizes globais.
5.2 FREQUÊNCIAS NATURAIS DA ESTRUTURA E MODOS DE
VIBRAÇÃO
De posse das matrizes KGd e MGd, pode-se resolver as equações (4.8) e (4.9)
através dos comandos expostos no final do Capítulo 4 para se obter os autovalores λ e
autovetores ϕ do problema. Nesta etapa, deve-se escolher qual modo de vibração se está
buscando (modo 1, 2, 3, etc).
Realizando uma série de operações sobre os autovalores extraídos com o
comando eigenvals, obtêm-se as frequências naturais e outras propriedades estruturais
do jumper, como exposto nas equações (5.1):
Com λ e o comando eigenvec, encontram-se os deslocamentos sofridos por cada
nó para cada um dos seis graus de liberdade do mesmo. Como mencionado no Cap. 4,
44
esses deslocamentos foram normalizados para o maior valor absoluto obtido pela
resolução da equação (4.8). Para conseguir o modo de vibração da estrutura, tais
deslocamentos são somados às coordenadas iniciais do jumper no estado de repouso e o
resultado impresso no programa AutoCAD através do comando polyline.
5.3 DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES EM CADA NÓ
Sendo conhecida a matriz de rigidez local de cada elemento e os deslocamentos
em todos os graus de liberdade, pode-se determinar os esforços internos que surgem no
jumper devido ao efeito das vibrações livres através da conhecida fórmula da Análise de
Estruturas apresentada abaixo:
𝑭𝒍𝒐𝒄𝒂𝒍 = 𝑲𝒍𝒐𝒄𝒂𝒍. 𝝓𝒍𝒐𝒄𝒂𝒍 (5.2)
Entretanto, deve-se destacar que os deslocamentos obtidos pelo autovetor para
um determinado comportamento modal são referentes aos eixos globais. Portanto, antes
de se aplicar a equação (5.2), os deslocamentos globais de cada elemento foram trazidos
para os eixos locais dos mesmos através da equação (5.3), que envolve a anteriormente
mencionada matriz de rotação R:
𝝓𝒍𝒐𝒄𝒂𝒍 = 𝑹.𝝓𝒈𝒍𝒐𝒃𝒂𝒍 (5.3)
Em posse de Flocal, os esforços devidos aos momentos fletores nas direções y e z
em todos os nós do jumper se tornam conhecidos e podem ser aplicados nas fórmulas
(5.4) à (5.7) para a obtenção das tensões em quatro pontos distintos, visando buscar o
seu maior valor em módulo. A Figura 5-1 evidencia os pontos em que se procuraram as
maiores tensões.
Figura 5-1 – Pontos nos quais foram procuradas as maiores tensões.
45
𝜎1 =𝑀𝑦.
𝐷𝑒2
𝐼𝑧
(5.4)
𝜎2 = −𝑀𝑧 .
𝐷𝑒2
𝐼𝑦 (5.5)
𝜎3 = −𝑀𝑦.
𝐷𝑒2
𝐼𝑧
(5.6)
𝜎4 =𝑀𝑧 .
𝐷𝑒2
𝐼𝑦 (5.7)
Fica claro pelas equações (5.4) à (5.7) que as tensões associadas ao esforço de
tração foram consideradas positivas e as de compressão como negativas. Observa-se
também que não se consideraram esforços normais para o cálculo das tensões axiais no
jumper. Como dito anteriormente no Capítulo 4, tais esforços normais devidos ao peso
próprio e ao empuxo são desprezíveis em uma estrutura como a do jumper rígido em
estudo. A planilha calcula as tensões nos nós iniciais e finais de todos os elementos.
Em seguida, para se achar a tensão máxima σmáx os valores encontrados pelas
equações (5.4) à (5.7) foram colocados em módulo. Com o uso do comando match no
MathCAD foi possível também determinar o elemento em que ocorre a tensão máxima.
5.4 DETERMINAÇÃO DA AMPLITUDE DE VIBRAÇÃO E DA
VARIAÇÃO DE TENSÕES IN-LINE
O próximo passo realizado pela planilha é a determinação da amplitude máxima
de vibração do jumper. Para tal, deve-se inserir mais alguns dados que já foram
mencionados e detalhados no Capítulo 3. São eles:
Taxa de amortecimento total (ξT);
Velocidade da corrente uniforme (Uc) em m/s;
Fatores de Segurança relacionados com a frequência natural e o
amortecimento;
46
Parâmetro de intensidade de turbulência Ic;
Ângulo de ataque do escoamento (θrel);
Fator de concentração de tensões (SCF);
O modelo de resposta in-line foi programado segundo a DNV-RP-F105 (2006) e,
assim, tem-se como saída a amplitude normalizada de vibração (Ay/D) e a amplitude
máxima de vibração (A), caso a corrente uniforme informada esteja excitando o modo
de vibração escolhido. A variação de tensões in-line (ΔS) é obtida através da equação
(3.6) em MPa.
5.5 CURVA S-N E DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CICLOS
RESISTENTES DO JUMPER
A avaliação de fadiga da planilha foi baseada no uso de curvas S-N bilineares da
norma DNV-RP-C203, as quais são obtidas a partir de testes de fadiga. Neste ponto da
planilha, inseriram-se os dados para a curva com a qual pretende-se trabalhar. A saída
desta etapa será o número de ciclos que a estrutura resiste (N) para a variação de tensão
ΔS calculada no tópico 5.4.
5.6 DETERMINAÇÃO DOS CICLOS SOLICITANTES, DO DANO
ANUAL E DA VIDA ÚTIL
Nesta planilha, é possível calcular o número de ciclos solicitantes (n), o dano
anual e a vida útil para duas situações distintas: a fadiga a longo prazo, que leva em
consideração a ocorrência anual de uma determinada corrente, ou a fadiga a curto prazo
(eventos extremos), que considera o número de horas em que uma corrente anual,
decenária ou centenária pode atuar sobre o jumper. Ambas as situações seguem a
mesma formulação geral para o cálculo da fadiga exposta no Capítulo 3.
Quando se deseja calcular a fadiga a longo prazo, fornece-se a ocorrência anual
da corrente marítima. O número de ciclos solicitantes (n) é calculado na planilha através
da equação (5.8):
𝑛 = 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎. 365.24.3600. 𝑓𝑛 (5.8)
onde fn é a frequência natural do modo de vibração escolhido.
47
Quando, por outro lado, se estiver em busca do número de ciclos que ocorrem
para um evento de curta duração (evento extremo), deve-se fornecer o número de horas
e, assim, o número de ciclos solicitantes (n) é calculado na planilha através da equação
(5.9):
𝑛 = ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. 3600. 𝑓𝑛 (5.9)
onde fn é a frequência natural do modo de vibração escolhido.
Por fim, o dano será dado por (5.10):
𝐷𝑎𝑛𝑜 =𝑛
𝑁 (5.10)
onde n é o número de ciclos solicitantes e N é o número de ciclos resistentes do
jumper. Como mencionado anteriormente no Cap. 3, o dano total é dado pelo somatório
dos danos causados por cada corrente marítima anual ou evento extremo analisado,
como expresso novamente em (5.11) pela Regra de Miner. A vida útil da estrutura é
dada pela equação (5.12).
𝐷𝑎𝑛𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =∑𝐷𝑎𝑛𝑜𝑖𝑖
(5.11)
𝑉𝑖𝑑𝑎ú𝑡𝑖𝑙 =1
𝐷𝑎𝑛𝑜𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (5.12)
48
CAPÍTULO 6 – ESTUDOS DE CASOS
Neste capítulo, serão apresentadas as características do jumper estudado e os
resultados encontrados com a planilha MathCAD, elaborada no presente trabalho, para
o cálculo dos modos e frequências naturais de vibração, tensões nodais, amplitudes de
vibração e, por fim, cálculo do dano e vida útil da estrutura. Os testes efetuados para a
verificação da eficácia da planilha desenvolvida serão apresentados no decorrer do
próprio capítulo e também no Anexo A.
Ambos os estudos de casos aqui apresentados se baseiam no mesmo jumper e
para um mesmo comportamento modal. Sendo assim, este capítulo será dividido em três
partes.
Na primeira, serão apresentadas as características gerais do jumper estudado e as
propriedades que foram inseridas nos dados iniciais da planilha. Nesta mesma parte,
ainda serão calculadas e apresentadas as frequências naturais do jumper, o modo de
vibração para o comportamento modal escolhido e um quadro comparativo com as
tensões nodais associadas com o modo selecionado.
Na segunda parte, será apresentado o primeiro estudo de caso, que envolve a
avaliação da fadiga a longo prazo e todas as correntes anuais necessárias para
determinação da mesma.
Por fim, na terceira parte, será apresentado o segundo estudo de caso, que
envolve a avaliação da fadiga a curto prazo (eventos extremos) e a metodologia
utilizada para a determinação da mesma.
49
6.1 PROPRIEDADES DO JUMPER EM ESTUDO
6.1.1 Dados Iniciais
O jumper que será analisado se encontra em uma profundidade elevada (2.200m)
e a uma pequena distância do solo marinho, de tal forma que, ao se estudar os efeitos da
fadiga devido às VIV, a única influência sobre o mesmo será proveniente das correntes
marítimas. As dimensões do jumper são apresentadas na Figura 6-1 com o auxílio da
Tabela 6-1.
Figura 6-1 – Geometria do Jumper em estudo (modificada de BARROS, 2014).
Tabela 6-1 – Geometria.
Comprimento
total (m)
Comprimento de cada trecho (m)
A B C D E F G
86,880 10,040 6,079 14,000 32,058 14,000 6,079 11,189
Os dados de entrada fornecidos e as propriedades calculadas do jumper se
encontram nas Tabelas 6-2 e 6-3, respectivamente.
50
Tabela 6-2 – Dados de Entrada.
Dado de Entrada
Aceleração da gravidade (m/s²) 9,81
Massa específica da água (kg/m³) 1,025E+03
Massa específica do aço (kg/m³) 7,85E+03
Massa específica do fluido interno (kg/m³) 0
Diâmetro interno do jumper (m) 0,4444
Diâmetro externo do jumper (m) 0,508
Módulo de elasticidade do aço (N/m²) 2,00E+11
Coeficiente de Poisson 0,3
Tabela 6-3 – Propriedades do Jumper.
Propriedades do Jumper
Área do Jumper (m²) 0,048
Área Interna (m²) 0,155
Massa por metro do Jumper (kg/m) 373,453
Massa por metro de fluido (kg/m) 0,00
Massa total por metro (kg/m) 373,453
Massa adicionada por metro (kg/m) 207,75
Peso Seco por metro (N/m) 3664,00
Peso Molhado por metro (N/m) 1626,00
Momento de Inércia em Y (m⁴) 1,355E-03
Momento de Inércia em Z (m⁴) 1,355E-03
Módulo de Cisalhamento (N/m²) 7,692E+10
Momento de Inércia Polar (m⁴) 2,709E-03
Observa-se pelos dados apresentados na Tabela 6-2 que se considerou o jumper
representado por um tubo rígido de aço sem fluido interno. Este é um cenário válido
para se avaliar a eficácia da planilha desenvolvida neste trabalho.
Para a planilha ler a geometria do jumper, mostrada na Figura 6-1, criou-se um
arquivo txt que discretizou essa estrutura em 222 nós. Para se visualizar a posição
desses nós, recomenda-se ver o Anexo B. As coordenadas desses pontos encontram-se
na Tabela B-1 e seguem os eixos mostrado na Figura 6-1. Como estamos representando
o jumper por elementos de pórtico espacial, temos 1332 graus de liberdade. Desses, os
seis primeiros e os seis últimos foram restringidos para se implementar as condições de
contorno, o que equivale dizer que o jumper se encontra engastado no nó inicial e final.
51
Com as coordenadas da Tabela B-1 foi possível extrair o tamanho (Le) dos 221
elementos que compõem o jumper. Foi possível também obter as suas respectivas
matrizes de rotação, massa e rigidez. Como mencionado nos Capítulos 4 e 5, todas as
componentes foram somadas adequadamente para cada grau de liberdade para compor
as matrizes globais de massa e rigidez.
6.1.2. Frequências Naturais e Modo de Vibração do Jumper
Utilizando os comandos expostos no Capítulo 4 para determinação dos
autovalores e as operações mostradas no tópico 5.2, extrairam-se as dez primeiras
frequências naturais do jumper. Tais frequências encontram-se na Tabela 6-4 junto com
as frequências calculadas por um programa comercial e as respectivas diferenças
relativas.
Tabela 6-4 – Frequências naturais: Resultados e Comparações.
Frequências Naturais (Hz) Diferença
Relativa (%) MathCAD Programa Comercial
0,401 0,406 1,272
1,006 1,012 0,617
1,016 1,013 0,265
1,089 1,093 0,337
1,442 1,442 0,001
1,638 1,622 1,005
1,714 1,715 0,052
2,418 2,430 0,490
2,860 2,843 0,606
4,157 4,209 1,230
Para fins comparativos, determinaram-se também as dez primeiras frequências
naturais do mesmo jumper preenchido internamente por um fluido com massa
específica de 400 kg/m³. É interessante observar como as frequências obtidas na Tabela
6-5 estão na mesma ordem de grandeza daquelas obtidas por BARROS (2014) em sua
Tabela 7-37. Tanto este estudo quanto a Dissertação de Mestrado de BARROS (2014)
trataram de jumpers bastante similares. Pode-se notar também que, com a presença do
fluido interno, a massa da estrutura aumentou, assim como o seu período natural. Tal
alteração refletiu-se diretamente sobre a frequência natural da estrutura que,
consequentemente, diminuiu.
52
Tabela 6-5 – Frequências naturais do jumper com fluido interno.
Frequências Naturais (Hz) Diferença
Relativa (%) MathCAD Programa Comercial
0,381 0,388 1,780
0,956 0,956 0,037
0,957 0,964 0,767
1,023 1,025 0,195
1,37 1,371 0,073
1,538 1,525 0,852
1,629 1,630 0,092
2,298 2,314 0,692
2,691 2,680 0,411
3,922 3,966 1,114
O próximo passo foi selecionar um modo de vibração do jumper que seja
classificado como in-line (vibração na direção da corrente) para poder-se efetuar a
análise de fadiga para esse comportamento. Por motivo de simplificação, e por ser a
favor da segurança, as correntes marítimas que serão apresentadas nos tópicos 6.2 e 6.3
tem as mesmas características em todas as direções. Logo, as velocidades que serão
utilizadas serão as maiores encontradas e para a pior posição de incidência do
carregamento, que se dá a 90º em relação à estrutura do jumper, ou seja, incidindo na
direção Y da Figura 6-1. Portanto, para se selecionar um modo de vibração in-line
bastou-se imprimir a deformada da estrutura no AutoCAD, calculada através do
comando eigenvec, para as frequências calculadas na Tabela 6-4 e verificar quais destas
se deformam na direção do fluxo.
O modo selecionado foi o primeiro que possui a frequência natural f1 = 0,406 Hz,
pois o mesmo atendeu imediatamente o objetivo do trabalho. Sua deformada é
apresentada na Figura 6-2.
53
Figura 6-2 – Deformada do jumper para o primeiro modo de vibração.
Os valores para os deslocamentos encontrados estão disponíveis no Anexo A.
Neste mesmo Anexo, também foram colocados os deslocamentos encontrados por um
programa comercial para fins comparativos. Deve-se destacar aqui que os
deslocamentos encontrados pelo programa comercial também foram normalizados de
maneira similar ao que foi feito na planilha MathCAD.
6.1.3 Tensões Nodais no Jumper
Seguindo o que foi descrito no tópico 5.3, a planilha calculou os esforços
internos para os nós inicial e final de cada elemento para o primeiro modo de vibração
do jumper. Em seguida, a mesma calculou as tensões nos quatro pontos evidenciados na
Figura 5-1 e extraiu a tensão máxima σmáx. Para fins comparativos, os valores máximos
absolutos das tensões nos nós finais dos elementos que compõem o jumper se
encontram na Tabela 6-6 junto com os valores determinados por um programa
comercial.
54
Tabela 6-6 – Tensão nodal máxima em todos os nós finais do jumper.
MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
1 37080 36695 1,05 41 135300 135539 0,18
2 42370 42012 0,85 42 137600 137869 0,19
3 47640 47320 0,68 43 136600 136794 0,14
4 52930 52644 0,54 44 132300 132382 0,06
5 58220 57971 0,43 45 127100 127095 0,00
6 63500 63300 0,32 46 121900 121821 0,07
7 68780 68616 0,24 47 116800 116534 0,23
8 74070 73947 0,17 48 111700 111247 0,41
9 79350 79279 0,09 49 106600 105961 0,60
10 84640 84611 0,03 50 101500 100675 0,82
11 89920 89931 0,01 51 96500 96020 0,50
12 95210 95264 0,06 52 91510 91378 0,14
13 100500 100598 0,10 53 86540 86724 0,21
14 105800 105932 0,12 54 81610 82071 0,56
15 111100 111253 0,14 55 76720 77418 0,90
16 116400 116587 0,16 56 71870 72766 1,23
17 121700 121922 0,18 57 67060 68115 1,55
18 127000 127256 0,20 58 62310 63477 1,84
19 132300 132578 0,21 59 57600 58828 2,09
20 137600 137913 0,23 60 52930 54181 2,31
21 136500 136918 0,31 61 48320 49536 2,45
22 126600 126990 0,31 62 43770 44893 2,50
23 113600 114097 0,44 63 39270 40253 2,44
24 97600 98075 0,48 64 34840 35630 2,22
25 79960 80453 0,61 65 30460 31001 1,74
26 59580 60105 0,87 66 26150 26381 0,88
27 38510 39131 1,59 67 21250 21097 0,73
28 16260 17334 6,19 68 15500 14917 3,91
29 6326 8318 23,95 69 9388 8443 11,19
30 28810 29307 1,69 70 3023 2890 4,60
31 37780 38174 1,03 71 3299 5260 37,28
32 33250 33724 1,41 72 9600 10386 7,57
33 28730 29302 1,95 73 15550 15506 0,29
34 36560 37037 1,29 74 21110 20393 3,51
35 57310 57655 0,60 75 26100 24836 5,09
36 76420 76719 0,39 76 30400 28725 5,83
37 93610 93897 0,31 77 33990 32051 6,05
38 108200 108452 0,23 78 37390 35313 5,88
39 120500 120822 0,27 79 40700 38579 5,50
40 129300 129580 0,22 80 43900 41841 4,92
Diferença
Relativa (%)Nó
Tensões Nodais (kPa) Diferença
Relativa (%)Nó
Tensões Nodais (kPa)
55
Tabela 6-6 – Tensão nodal máxima em todos os nós finais do jumper (cont.).
MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
81 47020 45113 4,23 121 86650 85714 1,09
82 50040 48387 3,42 122 85430 84856 0,68
83 52970 51663 2,53 123 84120 84000 0,14
84 55780 54932 1,54 124 82690 83143 0,54
85 58510 58211 0,51 125 81160 82285 1,37
86 61140 61491 0,57 126 79530 81428 2,33
87 63660 64763 1,70 127 77790 80573 3,45
88 66080 68045 2,89 128 75950 79716 4,72
89 68400 71327 4,10 129 74000 78859 6,16
90 70630 74610 5,33 130 71950 78004 7,76
91 72740 75634 3,83 131 69790 74667 6,53
92 74750 76660 2,49 132 67530 71331 5,33
93 76660 77687 1,32 133 65170 67996 4,16
94 78470 78712 0,31 134 62710 64669 3,03
95 80170 79739 0,54 135 60150 61335 1,93
96 81770 80766 1,24 136 57490 58002 0,88
97 83260 81794 1,79 137 54740 54679 0,11
98 84640 82819 2,20 138 51880 51348 1,04
99 85910 83847 2,46 139 48920 48019 1,88
100 87090 84875 2,61 140 45860 44692 2,61
101 88150 85903 2,62 141 42720 41375 3,25
102 89100 86929 2,50 142 39480 38053 3,75
103 89950 87957 2,27 143 36140 34734 4,05
104 90690 88986 1,92 144 32700 31419 4,08
105 91320 90012 1,45 145 29060 27988 3,83
106 91840 91041 0,88 146 24660 23911 3,13
107 92260 92070 0,21 147 19510 19210 1,56
108 92560 93100 0,58 148 13760 14039 1,98
109 92760 94127 1,45 149 7543 8587 12,16
110 92850 95157 2,42 150 955 3397 71,89
111 92830 94297 1,56 151 5708 5457 4,59
112 92700 93439 0,79 152 12440 12286 1,25
113 92460 92580 0,13 153 18950 19091 0,74
114 92110 91720 0,42 154 25090 25515 1,67
115 91650 90861 0,87 155 30100 30731 2,05
116 91090 90004 1,21 156 34420 35189 2,18
117 90420 89146 1,43 157 38790 39641 2,15
118 89630 88287 1,52 158 43230 44109 1,99
119 88750 87431 1,51 159 47730 48580 1,75
120 87750 86572 1,36 160 52280 53053 1,46
NóTensões Nodais (kPa) Diferença
Relativa (%)Nó
Tensões Nodais (kPa) Diferença
Relativa (%)
56
Tabela 6-6 – Tensão nodal máxima em todos os nós finais do jumper (cont.).
57
6.2 ESTUDO DE CASO 1: FADIGA A LONGO PRAZO
A avaliação da fadiga a longo prazo consiste em se determinar o dano anual
causado por correntes anuais considerando-se a ocorrência de cada uma delas. Para o
caso em estudo, o carregamento ambiental que atua sobre o jumper encontra-se na
Tabela 6-7 que apresenta as distribuições das velocidades e direções para a corrente de
fundo anual. Essa distribuição foi adotada sem manter qualquer relação com qualquer
dado real, sendo fictícia e apenas utilizada neste estudo para fins acadêmicos.
Tabela 6-7 – Distribuição das velocidades e direções para corrente de fundo.
m/s N NE L SE S SO O NO Freq. %
0,00 0,05 366 477 494 634 619 699 473 399 4161 36,58
0,05 0,10 305 307 387 548 938 1548 770 309 5112 44,94
0,10 0,15 11 34 54 66 203 959 231 65 1623 14,27
0,15 0,20 5 0 0 3 21 270 48 2 349 3,07
0,20 0,25 0 0 0 0 0 59 13 0 72 0,63
0,25 0,30 0 0 0 0 0 28 12 0 40 0,35
0,30 0,35 0 0 0 0 0 14 2 0 16 0,14
0,35 0,40 0 0 0 0 0 2 1 0 3 0,03
Freq 687 818 935 1251 1781 3579 1550 775 11376
% 6,04 7,19 8,22 11,00 15,66 31,46 13,63 6,81
Como mencionado no tópico 6.1, adotou-se a maior velocidade de corrente (Uc)
de cada linha para compor uma ocorrência atuando na direção Y por ser esta a pior
situação.
Além de Uc, outros dados são necessários, como descrito no tópico 5.4, para o
funcionamento da planilha:
Taxa de amortecimento total ξT = 0,005. Valor recomendado pela DNV-
RP-F105 (2006) quando nenhuma informação estiver disponível e a
estrutura não se encontrar em contato com o solo (item 4.1.9).
γf = 1,1 e γk = 1,15. Valores de coeficientes de segurança para o cenário
Well-Defined e classe de segurança normal, assumidos para esse estudo e
definidos no item 2.6 da DNV-RP-F105 (2006).
58
Parâmetro de Intensidade de Turbulência Ic = 0,05. Valor recomendado
pela DNV-RP-F105 (2006) quando nenhuma informação estiver
disponível (item 3.2.12).
θrel = 90º. Como mencionado no tópico 6.1 está é a pior direção que a
corrente pode atuar.
SCF = 1,19. Extraído da Tabela 7-26 de BARROS (2014), já que o
mesmo tratou de um jumper com características semelhantes.
σmáx = 143 MPa. Tensão máxima calculada pela planilha.
Aplicando estes dados, obteve-se a amplitude de vibração normalizada, a
amplitude de vibração máxima e a variação de tensões in-line para cada corrente como
apresentado na Tabela 6-8. O modelo de resposta montado pela planilha é interceptado
apenas pelas ocorrências anuais compostas por correntes maiores que 0,20 m/s, como
mostrado na Figura 6-3.
Figura 6-3 – Modelo de Resposta in-line com as velocidades reduzidas de cada
corrente anual.
59
Tabela 6-8 – Variação de Tensões in-line para cada corrente anual.
Uc (m/s) Vrd Ay/D A (m) ΔS (MPa)
Corrente 1 0,05 0,27 -- -- --
Corrente 2 0,10 0,54 -- -- --
Corrente 3 0,15 0,81 -- -- --
Corrente 4 0,20 1,08 0,017 8,695E-03 3,847
Corrente 5 0,25 1,35 0,044 0,022 9,918
Corrente 6 0,30 1,62 0,071 0,036 15,989
Corrente 7 0,35 1,89 0,098 0,05 22,06
Corrente 8 0,40 2,16 0,125 0,064 28,131
Por fim, os valores dos ciclos solicitantes e resistentes foram calculados
utilizando as ocorrências para cada corrente anual da Tabela 6-7 e a curva S-N para o
mar com proteção catódica D, como requisita o SCF adotado. A planilha calculou
também o dano anual e a vida útil. A Tabela 6-9 mostra os parâmetros da curva S-N
adotada, a Figura 6-4 mostra a curva em si e a Tabela 6-10 apresenta os resultados
obtidos.
Tabela 6-9 – Curva S-N da DNV-RP-C203 adotada.
Curva S-N N ≤ 10⁶ ciclos N > 10⁶ ciclos
m1 log a1 m2 log a2
Curva D (seawater) 3 11,764 5 15,606
Figura 6-4 – Curva S-N Seawater CP D
60
Tabela 6-10 – Resultados obtidos pela planilha para o dano e a vida útil.
Uc (m/s) Ocorrência (%) n N Dano Anual
Corrente 1 0,05 36,58% -- -- --
Corrente 2 0,10 44,94% -- -- --
Corrente 3 0,15 14,27% -- -- --
Corrente 4 0,20 3,07% 3,88E+05 4,79E+12 8,11E-08
Corrente 5 0,25 0,63% 7,97E+04 4,21E+10 1,89E-06
Corrente 6 0,30 0,35% 4,43E+04 3,86E+09 1,15E-05
Corrente 7 0,35 0,14% 1,77E+04 7,73E+08 2,29E-05
Corrente 8 0,40 0,03% 3,79E+03 2,29E+08 1,66E-05
Dano Total 5,29E-05
Vida Útil 18904 anos
Vale mencionar que o valor da vida útil obtido na Tabela 6-10 desconsidera a
presença de eventos extremos. Estes serão estudados no próximo tópico.
É interessante observar também a sensibilidade do modelo. Caso todas as
correntes fossem 30% maiores e mantivessem a mesma ocorrência anual, teríamos
resultados cerca de dez vezes piores, como pode-se concluir a partir da Figura 6-5 e das
Tabelas 6-11 e 6-12.
Figura 6-5 – Modelo de Resposta in-line com as velocidades reduzidas de cada
corrente anual elevadas em 30%.
61
Tabela 6-11 – Variação de Tensões in-line para cada corrente anual.
Uc (m/s) Vrd Ay/D A (m) ΔS (MPa)
Corrente 1 0,07 0,38 -- -- --
Corrente 2 0,13 0,70 -- -- --
Corrente 3 0,20 1,08 0,017 8,70E-03 3,847
Corrente 4 0,26 1,40 0,05 0,025 11,132
Corrente 5 0,33 1,78 0,087 0,044 19,632
Corrente 6 0,39 2,11 0,12 0,061 26,916
Corrente 7 0,46 2,49 0,158 0,08 35,416
Corrente 8 0,52 2,81 0,179 0,091 40,253
Tabela 6-12 – Resultados obtidos pela planilha para o dano e a vida útil.
Uc (m/s) Ocorrência (%) n N Dano Anual
Corrente 1 0,07 36,58% -- -- --
Corrente 2 0,13 44,94% -- -- --
Corrente 3 0,20 14,27% 1,80E+06 4,79E+12 3,77E-07
Corrente 4 0,26 3,07% 3,88E+05 2,36E+10 1,64E-05
Corrente 5 0,33 0,63% 7,97E+04 1,38E+09 5,76E-05
Corrente 6 0,39 0,35% 4,43E+04 2,86E+08 1,55E-04
Corrente 7 0,46 0,14% 1,77E+04 7,25E+07 2,44E-04
Corrente 8 0,52 0,03% 3,79E+03 3,82E+07 9,93E-05
Dano Total 5,73E-04
Vida Útil 1745 anos
6.3. ESTUDO DE CASO 2: FADIGA A CURTO PRAZO
6.3.1 Introdução
Atualmente, a importância da aferição dos dados para eventos extremos, short
term ou de curta duração, tem sido relevante, pois propicia à Engenharia uma maior
capacidade de simulação de um ambiente real e, assim, uma melhor caracterização do
problema. Tal questão foi levantada pelo American Petroleum Institute (API) em suas
práticas recomendadas para design de risers, a API-RP-2RD, em 1998.
O avanço na obtenção de dados fez com que os projetistas solicitassem que se
associe durações aos eventos extremos. Uma vez que a maior dificuldade é definir a
durações destes perfis extremos, porque as medições são da ordem de poucos anos e
perfis, como o centenário, só ocorrem muito raramente, o objetivo deste tópico será
62
comparar os resultados obtidos para a fadiga devido às VIV in-line considerando três
distribuições distintas e avaliar o quanto a variação do número de horas atuantes de uma
determinada corrente anual, decenária ou centenária pode vir a influenciar neste cenário
extremo.
6.3.2 Dados de Entrada na Planilha
Como dito no início do Cap. 6, ambos os estudos de caso tratam do mesmo
jumper. Portanto, os dados de entrada permanecem os mesmos daqueles apresentados
nas Tabelas 6-1 a 6-3 e o modo escolhido para análise também será o primeiro modo de
vibração. Além disso, também irá se utilizar os mesmos dados apresentados no tópico
6.2, como taxa de amortecimento total, coeficientes de segurança, etc., com a exceção
daqueles apresentados na Tabela 6-7.
Os valores adotados para as correntes marítimas de um evento extremo são
apresentados na Tabela 6-13. Tais valores são meramente acadêmicos e estão sendo
utilizados apenas como base para este estudo.
Tabela 6-13 – Velocidades das correntes em função do tempo de recorrência.
1 ano 10 anos 100 anos
Uc (m/s) 0,40 0,55 0,70
Observa-se que o valor adotado para a corrente anual é o maior valor presente no
primeiro estudo de caso.
As três distribuições que serão analisadas estão em evidência nas Figuras 6-6, 6-7
e 6-8. Todas possuem a mesma duração total, 30 horas, que é um valor estipulado e
aplicado neste trabalho apenas para fins acadêmicos.
63
Figura 6-6 – Distribuição 1.
Figura 6-7 - Distribuição 2.
Figura 6-8 - Distribuição 3.
64
A única diferença entre as distribuições 1 e 2 é a presença ou não da corrente
anual. A distribuição 1 considera que, antes de o evento extremo decenário atingir sua
corrente máxima característica, ele irá atingir em módulo primeiramente a corrente
anual máxima e depois voltar a este valor depois da corrente decenária perdurar por 10
horas. A distribuição 3 busca avaliar se o dano causado por 30 horas de corrente
centenária é maior ou não quando comparado com a distribuição 2 (30 horas de corrente
decenária).
6.3.3 Resultados
Os resultados encontrados são apresentados abaixo seguindo o mesmo esquema
de tabelas e figuras visto no tópico 6.2.
Figura 6-9 – Modelo de Resposta in-line com as velocidades reduzidas de cada
corrente do evento extremo.
Tabela 6-14 – Variação de Tensões in-line para cada corrente dos eventos
extremos.
Uc (m/s) Vrd Ay/D A (m) ΔS (MPa)
0,40 2,160 0,125 0,064 28,131
0,55 2,971 0,171 0,087 38,354
0,70 3,781 0,128 0,065 28,859
65
Os valores dos ciclos solicitantes e resistentes foram calculados utilizando o
tempo de duração para cada corrente e a curva S-N para o mar com proteção catódica D,
como requisita o SCF adotado. A Tabela 6-9 mostra os parâmetros da curva S-N
adotada e as Tabelas 6-15, 6-16 e 6-17 apresentam os resultados obtidos para cada
distribuição.
Tabela 6-15 - Resultados obtidos para a distribuição 1.
Duração (horas) n N Dano
Corrente Anual 20 2,89E+04 2,29E+08 1,26E-04
Corrente Decenária 10 1,44E+04 4,86E+07 2,97E-04
Dano Total 4,23E-04
Tabela 6-16 – Resultados obtidos para a distribuição 2.
Duração (horas) n N Dano
Corrente Anual 0 -- -- --
Corrente Decenária 30 4,33E+04 4,86E+07 8,90E-04
Dano Total 8,90E-04
Tabela 6-17 – Resultados obtidos para a distribuição 3.
Duração (horas) n N Dano Anual
Corrente Centenária 30 4,33E+04 2,02E+08 2,15E-04
Dano Total 2,15E-04
Como era de se esperar ao se observar as amplitudes normalizadas de vibração
presentes na Figura 6-9 e na Tabela 6-14, a distribuição que causou mais dano foi
aquela que apresentou a corrente decenária perdurando por mais tempo. A variação de
tensão in-line causada pela corrente decenária é cerca de 30% maior que as demais e
durando 20 horas a mais que na distribuição 1, foi capaz de causar mais do que o dobro
de dano da distribuição 1 e quatro vezes mais que o dano da distribuição 3.
De qualquer forma, o dano causado pelos eventos extremos está uma ordem de
grandeza acima quando comparado ao dano causado pelas correntes anuais do diagrama
de dispersão, o que demonstra a importância dos mesmos para a análise da fadiga em
um jumper.
66
Por fim, é importante que seja dito que os resultados aqui obtidos para as
distribuições 2 e 3 não são necessariamente válidos caso estivesse se tratando de um vão
livre. Diferentemente dos jumpers, os vãos livres apresentam frequências de vibração
in-line muito próximas das de cross-flow. Consequentemente, uma corrente centenária
poderia induzir o VIV nessas duas direções e, assim, causar mais dano para um vão
livre do que a corrente decenária, que estaria induzindo apenas o VIV in-line. A Figura
6-10 a seguir ilustra esta situação.
Figura 6-10 – VIV in-line e cross-flow em um vão livre.
67
CAPÍTULO 7 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES
O Cap. 6 e o Anexo A sintetizam toda a capacidade do programa criado.
Observando todas as tabelas comparativas apresentadas algumas conclusões podem ser
tiradas:
No caso do cálculo das frequências de vibrações naturais do jumper
através de elementos de pórtico espacial, pode-se afirmar ao observar as
Tabelas 6-4 e 6-5 que o programa foi muito bem-sucedido, apresentando
diferenças inferiores a 2%.
No que diz respeito aos deslocamentos para o modo de vibração
escolhido, o programa também apresentou bons resultados. Observa-se
nas Tabelas A-1 até A-3 que as maiores diferenças relativas surgiram ou
nas extremidades do jumper ou nos trechos curvos, onde os
deslocamentos são muitos pequenos quando comparados ao deslocamento
máximo (= 1). Como solução para a segunda questão, os trechos curvos
poderiam ser discretizados um pouco mais.
No caso das tensões nodais, o programa também foi muito bem-sucedido.
Apresentando uma diferença média de apenas 2,34%, os poucos trechos
conturbados também se localizaram próximos às curvas do jumper, onde
as tensões são muito menores quando comparadas com as tensões
máximas. Mais um indicador que mostra que os trechos curvos poderiam
ser ligeiramente mais discretizados. De qualquer forma, a tensão máxima
calculada, que entra no cálculo da variação de tensões in-line apresentou
uma diferença de apenas 0,19%, o que dá confiabilidade ao programa.
Analisando os estudos de casos, fica claro que se a avaliação da fadiga in-line se
limitasse apenas aos eventos de longo prazo, o jumper em questão seria classificado
como uma estrutura com vida bem maior do que o tempo de operação, o que não é
necessariamente verdade. Considerando que a vida útil de projeto dessa estrutura seja de
30 anos e considerando, portanto, a ocorrência de três eventos extremos decenários para
a distribuição 2, que é mais conservadora, um evento centenário (distribuição 3) e mais
68
trinta vezes o dano anual calculado na Tabela 6-10 do primeiro estudo de caso, temos
que a vida útil do jumper se reduziria para 6711 anos. Fica assim comprovada a
importância do estudo de eventos extremos e de uma definição adequada da distribuição
probabilística tanto das correntes quanto das suas respectivas durações.
É importante ressaltar também que aqui não se realizaram análises para as fibras
internas do jumper, pois os critérios de escolha da curva S-N variam muito e são
determinados pela operadora do duto. Entretanto, deve-se chamar a atenção para o fato
de que, mesmo apresentando tensões menores do que as fibras externas, as fibras
internas podem ser o fator limitante para a vida útil da estrutura dependendo da curva S-
N adotada.
Portanto, pode-se concluir que o programa deu certo. Para trabalhos futuros,
sugere-se que se programe no software MathCAD a fadiga devido às variações de
tensões produzidas pelo movimento cross-flow (perpendicular ao fluxo) e também pelas
VIV in-line induzidas pelo movimento cross-flow, que aqui não foram avaliadas.
Sugere-se também a análise de jumpers mais complexos utilizando CFD
(Computer Fluid Dynamics), com o perfil de corrente variando com a altura. Outro
procedimento interessante de ser utilizado para essa abordagem seria utilizar uma
programação similar àquela adotada no programa SHEAR7.
69
CAPÍTULO 8 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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SUMER, B. M., FREDSØE, J., 2006, Hydrodynamics Around Cylindrical
Structures. Advanced Series on Ocean Engineering – Volume 26 (Revised Edition).
Singapore, World Scientific Publishing Company.
72
ANEXO A – RESULTADOS PARA OS DESLOCAMENTOS
DO PRIMEIRO MODO DE VIBRAÇÃO DO JUMPER
Neste anexo, estão disponibilizadas as tabelas relativas aos deslocamentos
obtidos para todos os nós do jumper para o primeiro modo de vibração no MathCAD e
no programa comercial.
Vale observar que como as translações em X e Z e a rotação em Y são iguais a
zero em ambos os programas, não se anexou nenhuma planilha referentes a esses
deslocamentos.
73
Tabela A-1 – Translação em Y.
Nó Translação em Y Diferença
Relativa (%) Nó
Translação em Y Diferença
Relativa (%) MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
1 0.00000 0.00000 0.00 41 0.11400 0.11800 3.39
2 -0.00006 -0.00005 11.47 42 0.13300 0.13700 2.92
3 -0.00025 -0.00022 11.07 43 0.15200 0.15600 2.56
4 -0.00058 -0.00053 10.12 44 0.17100 0.17300 1.16
5 -0.00108 -0.00098 10.07 45 0.18900 0.19200 1.56
6 -0.00176 -0.00161 9.32 46 0.20800 0.21100 1.42
7 -0.00263 -0.00241 9.04 47 0.22800 0.23000 0.87
8 -0.00371 -0.00342 8.50 48 0.24700 0.24900 0.80
9 -0.00502 -0.00466 7.77 49 0.26800 0.26900 0.37
10 -0.00658 -0.00609 8.09 50 0.28800 0.29000 0.69
11 -0.00839 -0.00781 7.36 51 0.30900 0.31000 0.32
12 -0.01000 -0.00980 2.08 52 0.33000 0.33100 0.30
13 -0.01300 -0.01200 8.33 53 0.35100 0.35200 0.28
14 -0.01600 -0.01500 6.67 54 0.37300 0.37300 0.00
15 -0.01900 -0.01700 11.76 55 0.39400 0.39400 0.00
16 -0.02200 -0.02100 4.76 56 0.41600 0.41600 0.00
17 -0.02600 -0.02400 8.33 57 0.43900 0.43800 0.23
18 -0.03000 -0.02800 7.14 58 0.46100 0.46000 0.22
19 -0.03400 -0.03200 6.25 59 0.48300 0.48300 0.00
20 -0.03900 -0.03700 5.41 60 0.50600 0.50500 0.20
21 -0.04400 -0.04200 4.76 61 0.52900 0.52800 0.19
22 -0.04800 -0.04600 4.35 62 0.55200 0.55100 0.18
23 -0.05100 -0.04900 4.08 63 0.57500 0.57400 0.17
24 -0.05400 -0.05100 5.88 64 0.59900 0.59700 0.34
25 -0.05400 -0.05100 5.88 65 0.62200 0.62000 0.32
26 -0.05400 -0.05000 8.00 66 0.64600 0.64300 0.47
27 -0.05200 -0.04800 8.33 67 0.67000 0.66700 0.45
28 -0.04800 -0.04400 9.09 68 0.69600 0.69300 0.43
29 -0.04200 -0.03800 10.53 69 0.72200 0.71800 0.56
30 -0.03400 -0.03000 13.33 70 0.74700 0.74300 0.54
31 -0.02700 -0.02300 17.39 71 0.77000 0.76700 0.39
32 -0.01900 -0.01500 26.67 72 0.79200 0.78900 0.38
33 -0.01200 -0.00755 58.90 73 0.81200 0.80800 0.50
34 -0.00178 0.00257 169.16 74 0.82900 0.82500 0.48
35 0.01000 0.01500 33.33 75 0.84200 0.83800 0.48
36 0.02400 0.02900 17.24 76 0.85100 0.84800 0.35
37 0.04000 0.04400 9.09 77 0.85900 0.85600 0.35
38 0.05700 0.06100 6.56 78 0.86600 0.86300 0.35
39 0.07500 0.07900 5.06 79 0.87400 0.87100 0.34
40 0.09400 0.09800 4.08 80 0.88100 0.87800 0.34
74
Tabela A-1 – Translação em Y (continuação).
Nó Translação em Y Diferença
Relativa (%) Nó
Translação em Y Diferença
Relativa (%) MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
81 0.88800 0.88500 0.34 121 0.98300 0.98300 0.00
82 0.89500 0.89200 0.34 122 0.98000 0.98000 0.00
83 0.90200 0.89900 0.33 123 0.97700 0.97600 0.10
84 0.90800 0.90600 0.22 124 0.97300 0.97200 0.10
85 0.91500 0.91300 0.22 125 0.96900 0.96800 0.10
86 0.92100 0.91900 0.22 126 0.96500 0.96400 0.10
87 0.92700 0.92500 0.22 127 0.96000 0.95900 0.10
88 0.93300 0.93100 0.21 128 0.95600 0.95500 0.10
89 0.93800 0.93700 0.11 129 0.95100 0.95000 0.11
90 0.94400 0.94200 0.21 130 0.94600 0.94400 0.21
91 0.94900 0.94800 0.11 131 0.94000 0.93900 0.11
92 0.95400 0.95300 0.10 132 0.93500 0.93300 0.21
93 0.95900 0.95800 0.10 133 0.92900 0.92700 0.22
94 0.96300 0.96200 0.10 134 0.92300 0.92100 0.22
95 0.96800 0.96700 0.10 135 0.91600 0.91500 0.11
96 0.97200 0.97100 0.10 136 0.91000 0.90800 0.22
97 0.97600 0.97500 0.10 137 0.90400 0.90100 0.33
98 0.97900 0.97800 0.10 138 0.89700 0.89500 0.22
99 0.98200 0.98200 0.00 139 0.89000 0.88700 0.34
100 0.98500 0.98500 0.00 140 0.88300 0.88000 0.34
101 0.98800 0.98800 0.00 141 0.87600 0.87300 0.34
102 0.99000 0.99000 0.00 142 0.86800 0.86500 0.35
103 0.99300 0.99200 0.10 143 0.86100 0.85800 0.35
104 0.99500 0.99400 0.10 144 0.85300 0.85000 0.35
105 0.99600 0.99600 0.00 145 0.84400 0.84000 0.48
106 0.99800 0.99700 0.10 146 0.83000 0.82700 0.36
107 0.99900 0.99800 0.10 147 0.81400 0.81000 0.49
108 0.99900 0.99900 0.00 148 0.79400 0.79100 0.38
109 1.00000 1.00000 0.00 149 0.77200 0.76900 0.39
110 1.00000 1.00000 0.00 150 0.74800 0.74500 0.40
111 1.00000 1.00000 0.00 151 0.72300 0.72000 0.42
112 1.00000 1.00000 0.00 152 0.69800 0.69500 0.43
113 0.99900 0.99900 0.00 153 0.67200 0.67000 0.30
114 0.99800 0.99800 0.00 154 0.64700 0.64500 0.31
115 0.99700 0.99700 0.00 155 0.62400 0.62200 0.32
116 0.99500 0.99500 0.00 156 0.60000 0.59900 0.17
117 0.99300 0.99300 0.00 157 0.57700 0.57600 0.17
118 0.99100 0.99100 0.00 158 0.55400 0.55300 0.18
119 0.98900 0.98900 0.00 159 0.53100 0.53000 0.19
120 0.98600 0.98600 0.00 160 0.50800 0.50700 0.20
75
Tabela A-1 – Translação em Y (continuação).
Nó Translação em Y Diferença
Relativa (%) Nó
Translação em Y Diferença
Relativa (%) MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
161 0.48500 0.48500 0.00 201 -0.03900 -0.03600 8.33
162 0.46300 0.46300 0.00 202 -0.03400 -0.03200 6.25
163 0.44000 0.44100 0.23 203 -0.03000 -0.02800 7.14
164 0.41800 0.41900 0.24 204 -0.02600 -0.02400 8.33
165 0.39600 0.39700 0.25 205 -0.02200 -0.02100 4.76
166 0.37400 0.37500 0.27 206 -0.01900 -0.01800 5.56
167 0.35300 0.35400 0.28 207 -0.01600 -0.01500 6.67
168 0.33100 0.33300 0.60 208 -0.01400 -0.01200 16.67
169 0.31000 0.31200 0.64 209 -0.01100 -0.01000 10.00
170 0.29000 0.29200 0.68 210 -0.00919 -0.00833 10.39
171 0.26900 0.27200 1.10 211 -0.00740 -0.00665 11.28
172 0.24900 0.25200 1.19 212 -0.00584 -0.00522 11.83
173 0.22900 0.23300 1.72 213 -0.00451 -0.00401 12.45
174 0.21000 0.21300 1.41 214 -0.00339 -0.00299 13.27
175 0.19100 0.19500 2.05 215 -0.00246 -0.00215 14.38
176 0.17200 0.17600 2.27 216 -0.00170 -0.00148 15.45
177 0.15400 0.15800 2.53 217 -0.00111 -0.00095 16.60
178 0.13500 0.13900 2.88 218 -0.00066 -0.00057 17.62
179 0.11500 0.12000 4.17 219 -0.00035 -0.00029 19.54
180 0.09500 0.10100 5.94 220 -0.00014 -0.00011 21.17
181 0.07600 0.08100 6.17 221 -0.00003 -0.00002 23.50
182 0.05700 0.06300 9.52 222 0.00000 0.00000 0.00
183 0.04000 0.04500 11.11
184 0.02400 0.02900 17.24
185 0.00950 0.01500 36.64
186 -0.00296 0.00241 222.80
187 -0.01300 -0.00816 59.39
188 -0.02100 -0.01600 31.25
189 -0.02900 -0.02400 20.83
190 -0.03700 -0.03200 15.63
191 -0.04500 -0.04000 12.50
192 -0.05100 -0.04700 8.51
193 -0.05600 -0.05100 9.80
194 -0.05800 -0.05400 7.41
195 -0.05900 -0.05500 7.27
196 -0.05800 -0.05500 5.45
197 -0.05600 -0.05300 5.66
198 -0.05300 -0.05000 6.00
199 -0.04900 -0.04600 6.52
200 -0.04400 -0.04100 7.32
76
Tabela A-2 – Rotação em X.
Nó Rotação em X Diferença
Relativa (%) Nó
Rotação em X Diferença
Relativa (%) MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
1 0.00000 0.00000 0.00 41 0.04400 0.04400 0.00
2 0.00031 0.00028 11.32 42 0.04600 0.04500 2.22
3 0.00066 0.00060 10.50 43 0.04700 0.04600 2.17
4 0.00105 0.00096 9.49 44 0.04800 0.04700 2.13
5 0.00148 0.00136 8.58 45 0.04900 0.04800 2.08
6 0.00195 0.00181 7.78 46 0.05000 0.04900 2.04
7 0.00247 0.00230 7.26 47 0.05100 0.05000 2.00
8 0.00302 0.00284 6.63 48 0.05100 0.05100 0.00
9 0.00362 0.00341 6.16 49 0.05200 0.05200 0.00
10 0.00426 0.00403 5.74 50 0.05300 0.05200 1.92
11 0.00493 0.00470 4.89 51 0.05400 0.05300 1.89
12 0.00565 0.00539 4.80 52 0.05500 0.05400 1.85
13 0.00641 0.00613 4.67 53 0.05500 0.05400 1.85
14 0.00722 0.00691 4.50 54 0.05600 0.05500 1.82
15 0.00806 0.00777 3.72 55 0.05600 0.05600 0.00
16 0.00894 0.00863 3.59 56 0.05700 0.05700 0.00
17 0.00987 0.00954 3.46 57 0.05800 0.05700 1.75
18 0.01100 0.01000 10.00 58 0.05800 0.05700 1.75
19 0.01200 0.01100 9.09 59 0.05800 0.05800 0.00
20 0.01300 0.01300 0.00 60 0.05900 0.05800 1.72
21 0.01400 0.01400 0.00 61 0.05900 0.05900 0.00
22 0.01500 0.01500 0.00 62 0.06000 0.05900 1.69
23 0.01600 0.01600 0.00 63 0.06000 0.05900 1.69
24 0.01800 0.01800 0.00 64 0.06000 0.06000 0.00
25 0.01900 0.01900 0.00 65 0.06000 0.06000 0.00
26 0.02100 0.02100 0.00 66 0.06100 0.06000 1.67
27 0.02300 0.02200 4.55 67 0.06100 0.06000 1.67
28 0.02400 0.02400 0.00 68 0.06100 0.06000 1.67
29 0.02600 0.02600 0.00 69 0.06100 0.06000 1.67
30 0.02800 0.02700 3.70 70 0.06100 0.06100 0.00
31 0.02900 0.02900 0.00 71 0.06100 0.06100 0.00
32 0.03100 0.03000 3.33 72 0.06100 0.06100 0.00
33 0.03200 0.03200 0.00 73 0.06200 0.06100 1.64
34 0.03400 0.03400 0.00 74 0.06200 0.06100 1.64
35 0.03600 0.03500 2.86 75 0.06200 0.06100 1.64
36 0.03700 0.03700 0.00 76 0.06200 0.06100 1.64
37 0.03900 0.03800 2.63 77 0.06200 0.06100 1.64
38 0.04000 0.04000 0.00 78 0.06200 0.06100 1.64
39 0.04200 0.04100 2.44 79 0.06200 0.06100 1.64
40 0.04300 0.04300 0.00 80 0.06200 0.06100 1.64
77
Tabela A-2 – Rotação em X (continuação).
Nó Rotação em X Diferença
Relativa (%) Nó
Rotação em X Diferença
Relativa (%) MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
81 0.06200 0.06100 1.64 121 0.06200 0.06100 1.64
82 0.06200 0.06100 1.64 122 0.06200 0.06100 1.64
83 0.06200 0.06100 1.64 123 0.06200 0.06100 1.64
84 0.06200 0.06100 1.64 124 0.06200 0.06100 1.64
85 0.06200 0.06100 1.64 125 0.06200 0.06100 1.64
86 0.06200 0.06100 1.64 126 0.06200 0.06100 1.64
87 0.06200 0.06100 1.64 127 0.06200 0.06100 1.64
88 0.06200 0.06100 1.64 128 0.06200 0.06100 1.64
89 0.06200 0.06100 1.64 129 0.06200 0.06100 1.64
90 0.06200 0.06100 1.64 130 0.06200 0.06100 1.64
91 0.06200 0.06100 1.64 131 0.06200 0.06100 1.64
92 0.06200 0.06100 1.64 132 0.06200 0.06100 1.64
93 0.06200 0.06100 1.64 133 0.06200 0.06100 1.64
94 0.06200 0.06100 1.64 134 0.06200 0.06100 1.64
95 0.06200 0.06100 1.64 135 0.06200 0.06100 1.64
96 0.06200 0.06100 1.64 136 0.06200 0.06100 1.64
97 0.06200 0.06100 1.64 137 0.06200 0.06100 1.64
98 0.06200 0.06100 1.64 138 0.06200 0.06100 1.64
99 0.06200 0.06100 1.64 139 0.06200 0.06100 1.64
100 0.06200 0.06100 1.64 140 0.06200 0.06100 1.64
101 0.06200 0.06100 1.64 141 0.06200 0.06100 1.64
102 0.06200 0.06100 1.64 142 0.06200 0.06100 1.64
103 0.06200 0.06100 1.64 143 0.06200 0.06100 1.64
104 0.06200 0.06100 1.64 144 0.06200 0.06100 1.64
105 0.06200 0.06100 1.64 145 0.06200 0.06100 1.64
106 0.06200 0.06100 1.64 146 0.06200 0.06100 1.64
107 0.06200 0.06100 1.64 147 0.06100 0.06100 0.00
108 0.06200 0.06100 1.64 148 0.06100 0.06100 0.00
109 0.06200 0.06100 1.64 149 0.06100 0.06100 0.00
110 0.06200 0.06100 1.64 150 0.06100 0.06000 1.67
111 0.06200 0.06100 1.64 151 0.06100 0.06000 1.67
112 0.06200 0.06100 1.64 152 0.06100 0.06000 1.67
113 0.06200 0.06100 1.64 153 0.06100 0.06000 1.67
114 0.06200 0.06100 1.64 154 0.06100 0.06000 1.67
115 0.06200 0.06100 1.64 155 0.06000 0.06000 0.00
116 0.06200 0.06100 1.64 156 0.06000 0.06000 0.00
117 0.06200 0.06100 1.64 157 0.06000 0.05900 1.69
118 0.06200 0.06100 1.64 158 0.06000 0.05900 1.69
119 0.06200 0.06100 1.64 159 0.05900 0.05900 0.00
120 0.06200 0.06100 1.64 160 0.05900 0.05800 1.72
78
Tabela A-2 – Rotação em X (continuação).
Nó Rotação em X Diferença
Relativa (%) Nó
Rotação em X Diferença
Relativa (%) MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
161 0.05800 0.05800 0.00 201 0.01200 0.01200 0.00
162 0.05800 0.05700 1.75 202 0.01100 0.01100 0.00
163 0.05800 0.05700 1.75 203 0.01000 0.01000 0.00
164 0.05700 0.05700 0.00 204 0.00950 0.00911 4.34
165 0.05600 0.05600 0.00 205 0.00863 0.00824 4.65
166 0.05600 0.05500 1.82 206 0.00780 0.00742 5.01
167 0.05500 0.05400 1.85 207 0.00700 0.00665 5.36
168 0.05500 0.05400 1.85 208 0.00625 0.00591 5.72
169 0.05400 0.05300 1.89 209 0.00554 0.00522 6.07
170 0.05300 0.05300 0.00 210 0.00487 0.00457 6.45
171 0.05200 0.05200 0.00 211 0.00424 0.00395 7.34
172 0.05100 0.05100 0.00 212 0.00365 0.00338 7.99
173 0.05100 0.05000 2.00 213 0.00310 0.00285 8.66
174 0.05000 0.04900 2.04 214 0.00259 0.00237 9.64
175 0.04900 0.04800 2.08 215 0.00212 0.00192 10.63
176 0.04800 0.04700 2.13 216 0.00170 0.00152 11.72
177 0.04700 0.04600 2.17 217 0.00131 0.00116 12.83
178 0.04600 0.04500 2.22 218 0.00096 0.00084 14.63
179 0.04500 0.04400 2.27 219 0.00066 0.00057 16.54
180 0.04300 0.04300 0.00 220 0.00039 0.00033 19.06
181 0.04200 0.04100 2.44 221 0.00017 0.00014 22.38
182 0.04100 0.04000 2.50 222 0.00000 0.00000 0.00
183 0.03900 0.03900 0.00
184 0.03800 0.03700 2.70
185 0.03600 0.03500 2.86
186 0.03400 0.03400 0.00
187 0.03300 0.03200 3.13
188 0.03100 0.03100 0.00
189 0.03000 0.02900 3.45
190 0.02800 0.02800 0.00
191 0.02600 0.02600 0.00
192 0.02500 0.02400 4.17
193 0.02300 0.02300 0.00
194 0.02100 0.02100 0.00
195 0.02000 0.01900 5.26
196 0.01800 0.01800 0.00
197 0.01700 0.01700 0.00
198 0.01600 0.01500 6.67
199 0.01500 0.01400 7.14
200 0.01300 0.01300 0.00
79
Tabela A-3 – Rotação em Z.
Nó Rotação em Z Diferença
Relativa (%) Nó
Rotação em Z Diferença
Relativa (%) MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
1 0.00000 0.00000 0.00 41 -0.02200 -0.02200 0.00
2 -0.00078 -0.00079 1.32 42 -0.02200 -0.02200 0.00
3 -0.00155 -0.00157 1.21 43 -0.02200 -0.02200 0.00
4 -0.00232 -0.00235 1.23 44 -0.02200 -0.02200 0.00
5 -0.00310 -0.00313 1.12 45 -0.02200 -0.02200 0.00
6 -0.00387 -0.00392 1.17 46 -0.02200 -0.02200 0.00
7 -0.00465 -0.00470 1.23 47 -0.02200 -0.02200 0.00
8 -0.00542 -0.00548 1.09 48 -0.02200 -0.02200 0.00
9 -0.00620 -0.00626 0.99 49 -0.02100 -0.02200 4.55
10 -0.00697 -0.00703 0.90 50 -0.02100 -0.02200 4.55
11 -0.00774 -0.00781 0.86 51 -0.02100 -0.02200 4.55
12 -0.00852 -0.00859 0.80 52 -0.02100 -0.02100 0.00
13 -0.00929 -0.00941 1.21 53 -0.02100 -0.02100 0.00
14 -0.01000 -0.01000 0.00 54 -0.02100 -0.02100 0.00
15 -0.01100 -0.01100 0.00 55 -0.02100 -0.02100 0.00
16 -0.01200 -0.01200 0.00 56 -0.02100 -0.02100 0.00
17 -0.01200 -0.01300 7.69 57 -0.02100 -0.02100 0.00
18 -0.01300 -0.01300 0.00 58 -0.02100 -0.02100 0.00
19 -0.01400 -0.01400 0.00 59 -0.02100 -0.02100 0.00
20 -0.01500 -0.01500 0.00 60 -0.02100 -0.02100 0.00
21 -0.01600 -0.01600 0.00 61 -0.02100 -0.02100 0.00
22 -0.01600 -0.01600 0.00 62 -0.02100 -0.02100 0.00
23 -0.01700 -0.01700 0.00 63 -0.02100 -0.02100 0.00
24 -0.01800 -0.01800 0.00 64 -0.02100 -0.02100 0.00
25 -0.01900 -0.01900 0.00 65 -0.02100 -0.02100 0.00
26 -0.02000 -0.02000 0.00 66 -0.02100 -0.02100 0.00
27 -0.02000 -0.02000 0.00 67 -0.02000 -0.02100 4.76
28 -0.02100 -0.02100 0.00 68 -0.02000 -0.02100 4.76
29 -0.02100 -0.02200 4.55 69 -0.02000 -0.02000 0.00
30 -0.02200 -0.02200 0.00 70 -0.02000 -0.02000 0.00
31 -0.02200 -0.02200 0.00 71 -0.02000 -0.02000 0.00
32 -0.02200 -0.02200 0.00 72 -0.02000 -0.02000 0.00
33 -0.02200 -0.02300 4.35 73 -0.02000 -0.02000 0.00
34 -0.02300 -0.02300 0.00 74 -0.02000 -0.02000 0.00
35 -0.02300 -0.02300 0.00 75 -0.01900 -0.02000 5.00
36 -0.02300 -0.02300 0.00 76 -0.01900 -0.01900 0.00
37 -0.02300 -0.02300 0.00 77 -0.01900 -0.01900 0.00
38 -0.02300 -0.02300 0.00 78 -0.01900 -0.01900 0.00
39 -0.02200 -0.02200 0.00 79 -0.01800 -0.01800 0.00
40 -0.02200 -0.02200 0.00 80 -0.01800 -0.01800 0.00
80
Tabela A-3 – Rotação em Z (continuação).
Nó Rotação em Z Diferença
Relativa (%) Nó
Rotação em Z Diferença
Relativa (%) MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
81 -0.01800 -0.01800 0.00 121 0.00769 0.00777 1.07
82 -0.01700 -0.01700 0.00 122 0.00836 0.00842 0.69
83 -0.01700 -0.01700 0.00 123 0.00902 0.00911 0.97
84 -0.01600 -0.01700 5.88 124 0.00967 0.00975 0.85
85 -0.01600 -0.01600 0.00 125 0.01000 0.01000 0.00
86 -0.01600 -0.01600 0.00 126 0.01100 0.01100 0.00
87 -0.01500 -0.01500 0.00 127 0.01200 0.01200 0.00
88 -0.01500 -0.01500 0.00 128 0.01200 0.01200 0.00
89 -0.01400 -0.01400 0.00 129 0.01300 0.01300 0.00
90 -0.01300 -0.01400 7.14 130 0.01300 0.01300 0.00
91 -0.01300 -0.01300 0.00 131 0.01400 0.01400 0.00
92 -0.01200 -0.01200 0.00 132 0.01400 0.01500 6.67
93 -0.01200 -0.01200 0.00 133 0.01500 0.01500 0.00
94 -0.01100 -0.01100 0.00 134 0.01500 0.01600 6.25
95 -0.01000 -0.01100 9.09 135 0.01600 0.01600 0.00
96 -0.00986 -0.00997 1.14 136 0.01600 0.01600 0.00
97 -0.00921 -0.00932 1.20 137 0.01700 0.01700 0.00
98 -0.00856 -0.00863 0.87 138 0.01700 0.01700 0.00
99 -0.00789 -0.00798 1.19 139 0.01800 0.01800 0.00
100 -0.00721 -0.00729 1.10 140 0.01800 0.01800 0.00
101 -0.00653 -0.00660 1.12 141 0.01800 0.01800 0.00
102 -0.00584 -0.00591 1.25 142 0.01900 0.01900 0.00
103 -0.00514 -0.00518 0.79 143 0.01900 0.01900 0.00
104 -0.00443 -0.00449 1.25 144 0.01900 0.01900 0.00
105 -0.00372 -0.00377 1.17 145 0.01900 0.02000 5.00
106 -0.00301 -0.00305 1.31 146 0.02000 0.02000 0.00
107 -0.00229 -0.00232 1.25 147 0.02000 0.02000 0.00
108 -0.00157 -0.00159 1.39 148 0.02000 0.02000 0.00
109 -0.00084 -0.00086 1.80 149 0.02000 0.02000 0.00
110 -0.00012 -0.00013 7.31 150 0.02000 0.02100 4.76
111 0.00061 0.00060 0.55 151 0.02000 0.02100 4.76
112 0.00133 0.00134 0.52 152 0.02100 0.02100 0.00
113 0.00205 0.00207 0.63 153 0.02100 0.02100 0.00
114 0.00278 0.00280 0.75 154 0.02100 0.02100 0.00
115 0.00349 0.00352 0.80 155 0.02100 0.02100 0.00
116 0.00421 0.00424 0.85 156 0.02100 0.02100 0.00
117 0.00492 0.00496 0.97 157 0.02100 0.02100 0.00
118 0.00562 0.00565 0.62 158 0.02100 0.02100 0.00
119 0.00631 0.00639 1.14 159 0.02100 0.02100 0.00
120 0.00700 0.00708 1.06 160 0.02100 0.02100 0.00
81
Tabela A-3 – Rotação em Z (continuação).
Nó Rotação em Z Diferença
Relativa (%) Nó
Rotação em Z Diferença
Relativa (%) MathCAD Prog Comercial MathCAD Prog Comercial
161 0.02100 0.02200 4.55 201 0.01500 0.01600 6.25
162 0.02100 0.02200 4.55 202 0.01500 0.01500 0.00
163 0.02200 0.02200 0.00 203 0.01400 0.01400 0.00
164 0.02200 0.02200 0.00 204 0.01300 0.01300 0.00
165 0.02200 0.02200 0.00 205 0.01300 0.01300 0.00
166 0.02200 0.02200 0.00 206 0.01200 0.01200 0.00
167 0.02200 0.02200 0.00 207 0.01100 0.01100 0.00
168 0.02200 0.02200 0.00 208 0.01000 0.01000 0.00
169 0.02200 0.02200 0.00 209 0.00955 0.00962 0.82
170 0.02200 0.02200 0.00 210 0.00881 0.00889 0.93
171 0.02200 0.02200 0.00 211 0.00807 0.00816 1.09
172 0.02200 0.02200 0.00 212 0.00733 0.00742 1.29
173 0.02200 0.02300 4.35 213 0.00659 0.00665 0.89
174 0.02200 0.02300 4.35 214 0.00585 0.00591 1.07
175 0.02300 0.02300 0.00 215 0.00511 0.00518 1.33
176 0.02300 0.02300 0.00 216 0.00437 0.00440 0.73
177 0.02300 0.02300 0.00 217 0.00363 0.00367 1.17
178 0.02300 0.02300 0.00 218 0.00289 0.00293 1.16
179 0.02300 0.02300 0.00 219 0.00215 0.00218 1.24
180 0.02300 0.02300 0.00 220 0.00141 0.00143 1.12
181 0.02300 0.02300 0.00 221 0.00067 0.00068 1.39
182 0.02400 0.02400 0.00 222 0.00000 0.00000 0.00
183 0.02400 0.02400 0.00
184 0.02400 0.02400 0.00
185 0.02400 0.02400 0.00
186 0.02400 0.02400 0.00
187 0.02400 0.02400 0.00
188 0.02300 0.02400 4.17
189 0.02300 0.02300 0.00
190 0.02300 0.02300 0.00
191 0.02300 0.02300 0.00
192 0.02200 0.02200 0.00
193 0.02200 0.02200 0.00
194 0.02100 0.02100 0.00
195 0.02000 0.02000 0.00
196 0.01900 0.02000 5.00
197 0.01900 0.01900 0.00
198 0.01800 0.01800 0.00
199 0.01700 0.01700 0.00
200 0.01600 0.01600 0.00
82
ANEXO B – POSIÇÃO DOS NÓS DO JUMPER
O objetivo deste anexo é o de fornecer as coordenadas dos nós que foram
inseridas no arquivo txt e uma imagem do jumper mostrando a localização dos nós da
estrutura. Tal imagem foi aqui posicionada pelo fácil acesso a mesma.
Figura B-1 – Posição dos nós do jumper dos estudos de casos.
83
Tabela B-1 – Coordenadas nodais.
Nó Coordenadas
Nó Coordenadas
X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m)
1 22.108 0 3.96 41 16.153 0 12.245
2 22.108 0 4.355 42 16.06 0 11.857
3 22.108 0 4.749 43 16.029 0 11.46
4 22.108 0 5.144 44 16.029 0 11.072
5 22.108 0 5.539 45 16.029 0 10.684
6 22.108 0 5.934 46 16.029 0 10.297
7 22.108 0 6.328 47 16.029 0 9.909
8 22.108 0 6.723 48 16.029 0 9.521
9 22.108 0 7.118 49 16.029 0 9.133
10 22.108 0 7.513 50 16.029 0 8.745
11 22.108 0 7.907 51 16.029 0 8.357
12 22.108 0 8.302 52 16.029 0 7.97
13 22.108 0 8.697 53 16.029 0 7.582
14 22.108 0 9.092 54 16.029 0 7.194
15 22.108 0 9.486 55 16.029 0 6.806
16 22.108 0 9.881 56 16.029 0 6.418
17 22.108 0 10.276 57 16.029 0 6.03
18 22.108 0 10.671 58 16.029 0 5.643
19 22.108 0 11.065 59 16.029 0 5.255
20 22.108 0 11.46 60 16.029 0 4.867
21 22.077 0 11.857 61 16.029 0 4.479
22 21.984 0 12.245 62 16.029 0 4.091
23 21.832 0 12.613 63 16.029 0 3.703
24 21.623 0 12.953 64 16.029 0 3.316
25 21.365 0 13.256 65 16.029 0 2.928
26 21.061 0 13.515 66 16.029 0 2.54
27 20.722 0 13.723 67 15.997 0 2.143
28 20.353 0 13.876 68 15.904 0 1.755
29 19.966 0 13.969 69 15.752 0 1.387
30 19.569 0 14 70 15.543 0 1.047
31 19.235 0 14 71 15.285 0 0.744
32 18.902 0 14 72 14.981 0 0.485
33 18.569 0 14 73 14.642 0 0.277
34 18.171 0 13.969 74 14.273 0 0.124
35 17.784 0 13.876 75 13.886 0 0.031
36 17.415 0 13.723 76 13.489 0 0
37 17.076 0 13.515 77 13.092 0 0
38 16.772 0 13.256 78 12.695 0 0
39 16.514 0 12.953 79 12.298 0 0
40 16.305 0 12.613 80 11.902 0 0
84
Tabela B-1 – Coordenadas nodais (continuação).
Nó Coordenadas
Nó Coordenadas
X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m)
81 11.505 0 0 121 -4.364 0 0
82 11.108 0 0 122 -4.761 0 0
83 10.711 0 0 123 -5.157 0 0
84 10.315 0 0 124 -5.554 0 0
85 9.918 0 0 125 -5.951 0 0
86 9.521 0 0 126 -6.348 0 0
87 9.125 0 0 127 -6.744 0 0
88 8.728 0 0 128 -7.141 0 0
89 8.331 0 0 129 -7.538 0 0
90 7.934 0 0 130 -7.934 0 0
91 7.538 0 0 131 -8.331 0 0
92 7.141 0 0 132 -8.728 0 0
93 6.744 0 0 133 -9.125 0 0
94 6.348 0 0 134 -9.521 0 0
95 5.951 0 0 135 -9.918 0 0
96 5.554 0 0 136 -10.315 0 0
97 5.157 0 0 137 -10.711 0 0
98 4.761 0 0 138 -11.108 0 0
99 4.364 0 0 139 -11.505 0 0
100 3.967 0 0 140 -11.902 0 0
101 3.57 0 0 141 -12.298 0 0
102 3.174 0 0 142 -12.695 0 0
103 2.777 0 0 143 -13.092 0 0
104 2.38 0 0 144 -13.489 0 0
105 1.984 0 0 145 -13.886 0 0.031
106 1.587 0 0 146 -14.273 0 0.124
107 1.19 0 0 147 -14.642 0 0.277
108 0.793 0 0 148 -14.981 0 0.485
109 0.397 0 0 149 -15.285 0 0.744
110 0 0 0 150 -15.543 0 1.047
111 -0.397 0 0 151 -15.752 0 1.387
112 -0.793 0 0 152 -15.904 0 1.755
113 -1.19 0 0 153 -15.997 0 2.143
114 -1.587 0 0 154 -16.029 0 2.54
115 -1.984 0 0 155 -16.029 0 2.928
116 -2.38 0 0 156 -16.029 0 3.316
117 -2.777 0 0 157 -16.029 0 3.703
118 -3.174 0 0 158 -16.029 0 4.091
119 -3.57 0 0 159 -16.029 0 4.479
120 -3.967 0 0 160 -16.029 0 4.867
85
Tabela B-1 – Coordenadas nodais (continuação).
Nó Coordenadas
Nó Coordenadas
X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m)
161 -16.029 0 5.255 201 -22.108 0 11.065
162 -16.029 0 5.643 202 -22.108 0 10.671
163 -16.029 0 6.03 203 -22.108 0 10.276
164 -16.029 0 6.418 204 -22.108 0 9.881
165 -16.029 0 6.806 205 -22.108 0 9.486
166 -16.029 0 7.194 206 -22.108 0 9.092
167 -16.029 0 7.582 207 -22.108 0 8.697
168 -16.029 0 7.97 208 -22.108 0 8.302
169 -16.029 0 8.357 209 -22.108 0 7.907
170 -16.029 0 8.745 210 -22.108 0 7.513
171 -16.029 0 9.133 211 -22.108 0 7.118
172 -16.029 0 9.521 212 -22.108 0 6.723
173 -16.029 0 9.909 213 -22.108 0 6.328
174 -16.029 0 10.297 214 -22.108 0 5.934
175 -16.029 0 10.684 215 -22.108 0 5.539
176 -16.029 0 11.072 216 -22.108 0 5.144
177 -16.029 0 11.46 217 -22.108 0 4.749
178 -16.06 0 11.857 218 -22.108 0 4.355
179 -16.153 0 12.245 219 -22.108 0 3.96
180 -16.305 0 12.613 220 -22.108 0 3.565
181 -16.514 0 12.953 221 -22.108 0 3.17
182 -16.772 0 13.256 222 -22.108 0 2.811
183 -17.076 0 13.515
184 -17.415 0 13.723
185 -17.784 0 13.876
186 -18.171 0 13.969
187 -18.569 0 14
188 -18.902 0 14
189 -19.235 0 14
190 -19.569 0 14
191 -19.966 0 13.969
192 -20.353 0 13.876
193 -20.722 0 13.723
194 -21.061 0 13.515
195 -21.365 0 13.256
196 -21.623 0 12.953
197 -21.832 0 12.613
198 -21.984 0 12.245
199 -22.077 0 11.857
200 -22.108 0 11.46
86