avaliação de opções exóticas por simulação de monte carlo ... · dos prêmios das opções....

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Fábio Henrique de Sousa Coelho Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância COPPEAD / UFRJ 2004

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Fábio Henrique de Sousa Coelho

Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância

COPPEAD / UFRJ

2004

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Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância

Fábio Henrique de Sousa Coelho

Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto COPPEAD de Administração

Orientador: Eduardo Saliby, Ph.D

Rio de Janeiro

Novembro de 2004

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Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância

Fábio Henrique de Sousa Coelho

Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto COPPEAD de Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro – UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre.

Rio de Janeiro, 18 de Novembro de 2004 Aprovada por:

Rio de Janeiro Novembro de 2004

_______________________________ Eduardo Saliby, Ph.D – Orientador (COPPEAD/UFRJ) _______________________________ Eduardo Facó Lemgruber, Ph.D (COPPEAD/UFRJ) _______________________________ Regis da Rocha Motta, Ph.D (COPPE/UFRJ)

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Coelho, Fábio Henrique de Sousa

Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância / Fábio Henrique de Sousa Coelho. Rio de Janeiro, 2004.

xx, 105 f.

Dissertação (Mestrado em Administração) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto COPPEAD de Administração, 2004. Orientador: Eduardo Saliby 1. Simulação de Monte Carlo. 2. Técnicas de Redução de variância. 3.Opções Exóticas 4.Finanças – Teses. I.Saliby, Eduardo (Orient.). II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto COPPEAD de Administração. III. Título.

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À minha família.

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"A sabedoria não nos é dada; é preciso descobri-la por nós mesmos depois de uma viagem que ninguém nos pode poupar ou fazer por nós."

M. Proust1871-1922

"Ninguém pode construir em seu lugar as pontes queprecisarás passar para atravessar o rio da vida, ninguém,exceto você."

F. Nietzsche1844-1900

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AGRADECIMENTOS

Este trabalho é resultado da contribuição de diversas pessoas. Entretanto, não posso deixar de agradecer à sociedade pela oportunidade de realizar um curso de alto gabarito em uma instituição pública. Agradeço à FAPERJ, pelo auxílio financeiro prestado. Aos meus pais, Ana e Henrique, pelo apoio incondicional. Deixo meus sinceros agradecimentos ao amigo Eduardo Saliby, pela paciência demonstrada na orientação deste trabalho. Aos amigos do COPPEAD, pela experiência compartilhada, pelo convívio e pelo companheirismo. Ao amigo Márcio Bologna, pelos conselhos e pela paciência. Aos amigos Gilberto Teixeira e Marcelo Queiroz, pela irreverência e humor cativantes. Ao amigo Bruno Maletta, pelo apoio e parceria. Agradeço todas as pessoas e Instituições mencionadas, na certeza de que a colaboração estabelecida não será esquecida.

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RESUMO

COELHO, Fábio Henrique de Sousa. Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância. Orientador: Eduardo Saliby. Dissertação (Mestrado em Administração). Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2004.

Este trabalho examina as técnicas de redução de variância na obtenção

de estimativas de prêmios por simulação de monte Carlo para algumas opções

exóticas. Os resultados dessas estimativas foram analisados comparativamente

aos resultados de prêmios obtidos pelas respectivas soluções analíticas das

opções exóticas. O objetivo precípuo deste trabalho consiste na análise dos

efeitos de alguns parâmetros de cálculo da precificação sobre os resultados das

estimativas de prêmio. Os parâmetros utilizados para as simulações foram

definidos de forma que se pudessem avaliar seus efeitos sobre as estimativas

de prêmio em situações muito distintas. Foram utilizadas as técnicas de

Amostragem aleatória simples, Hipercubo Latino, Amostragem Descritiva,

Moment Match do primeiro momento, Moment Match do segundo momento e

variáveis antitéticas na amostragem dos números aleatórios para a estimação

dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo

barreira, asiática, binária, além das opções européias. Os resultados mostram

que reduções significativas de variância só podem ser obtidas para opções

dentro do dinheiro, exceto para as opções binárias, as quais não apresentaram

nenhum ganho significativo de redução de variância.

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ABSTRACT

COELHO, Fábio Henrique de Sousa. Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo com Técnicas de Redução de Variância. Orientador: Eduardo Saliby. Dissertação (Mestrado em Administração). Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2004.

This work examines variance reduction techniques in the generation by

Monte Carlo Simulation of premium estimates for some exotic options. The

results of these estimates were comparatively analyzed with the premium

obtained by the analytic solution of the exotic options. The main objective of this

thesis is to analyze the effects of some pricing computation parameters over the

results of premium estimates. The parameters used in the simulation were

defined aproprately for its effects over the premium estimates to be aprraised in

different situations. The study evaluated the techniques of simple random

sampling, Latin Hypercube, Descriptive Sampling, Moment match for the first

moment, Moment match for the second moment and Antithetic Variates in the

sampling of random numbers for the estimation of option premiums. The options

implemented in this work were barrier, asian, binary, and plain vanilla options.

The results show that significant variance reduction can only be obtained for in-

the-money options, except for the binary options, which did not present any

significant variance reduction gain.

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LISTA DE SIGLAS E ABREVIAÇÕES

CBOE Chicago Board of Options Exchange

SMC Simulação de Monte Carlo

AAS Amostragem Aleatória Simples

VA Variáveis Antitéticas

HL Hipercubo Latino

AD Amostragem Descritiva

MM1 Moment Matching do primeiro momento

MM2 Moment Matching do segundo Momento

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

TABELA 2.1 – EXPOSIÇÕES À PERDA DAS PARTES ENVOLVIDAS NA NEGOCIAÇÃO DE OPÇÕES

EUROPÉIAS .................................................................................................................................. 4

TABELA 2.2 – EXEMPLO DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA DE BLACK & SCHOLES PARA A

PRECIFICAÇÃO DE UMA OPÇÃO DE COMPRA ............................................................................. 16

TABELA 4.1 – MÉDIA DOS RESULTADOS OBTIDOS PARA UM LANÇAMENTO DE UMA MOEDA

REALIZADO N VEZES. ................................................................................................................ 30

TABELA 4.2 – NÚMEROS RECORRENTES UTILIZADOS PARA DEMONSTRAÇÃO DO MÉTODO ............. 31

TABELA 4.3 – NÚMEROS ALEATÓRIOS ORIGINADOS PELO MÉTODO DE CONGRUÊNCIA LINEAR A

PARTIR DOS NÚMEROS RECORRENTES DA TABELA 4.2 ............................................................. 32

TABELA 4.4 – PARÂMETROS PARA PRECIFICAÇÃO DE UMA OPÇÃO EUROPÉIA DE COMPRA.............. 34

TABELA 4.5 – RESULTADOS DA SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA OS PARÂMETROS DA

TABELA 4.4 DE FORMA A EXEMPLIFICAR O FUNCIONAMENTO DO MÉTODO ............................. 35

TABELA 5.1 – NÚMEROS ALEATÓRIOS GERADOS POR HIPERCUBO LATINO PARA DUAS

DIMENSÕES ............................................................................................................................... 41

TABELA 5.2 – NÚMEROS ALEATÓRIOS GERADOS POR AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES PARA

DUAS DIMENSÕES...................................................................................................................... 41

GRÁFICO 5.1 – HIPERCUBO UNITÁRIO BIDIMENSIONAL PARA AMOSTRAGEM POR HIPERCUBO

LATINO ..................................................................................................................................... 42

GRÁFICO 5.2 – HIPERCUBO UNITÁRIO BIDIMENSIONAL PARA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES. 42

TABELA 5.3 – NÚMEROS ALEATÓRIOS GERADOS POR AMOSTRAGEM DESCRITIVA PARA DUAS

DIMENSÕES ............................................................................................................................... 44

GRÁFICO 5.3 – HIPERCUBO UNITÁRIO BIDIMENSIONAL PARA AMOSTRAGEM DESCRITIVA ............. 44

TABELA 6.1.1 – PARÂMETROS DE CÁLCULO DAS OPÇÕES DE COMPRA EUROPÉIAS UTILIZADAS

NO EXPERIMENTO ..................................................................................................................... 46

TABELA 6.1.2 – PRÊMIOS DA OPÇÃO EUROPÉIA DE COMPRA OBTIDOS VIA EXPRESSÃO DE BLACK

& SCHOLES PARA DIFERENTES VOLATILIDADES ANUAIS E PREÇOS DE EXERCÍCIOS, SENDO

OS DEMAIS PARÂMETROS DESCRITOS NA TABELA 6.1.1 ........................................................... 47

GRÁFICO 6.1.1 – ERRO-PADRÃO DAS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA, POR

DIFERENTES TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM, EM FUNÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO. OS

DEMAIS PARÂMETROS SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.1.1, CONSIDERANDO UMA

TRAJETÓRIA COM 1 DIMENSÃO PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A

PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ................... 48

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GRÁFICO 6.1.2 – ERRO-PADRÃO DAS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA POR

DIFERENTES TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM, EM FUNÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO. OS

DEMAIS PARÂMETROS SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.1.1, CONSIDERANDO UMA

TRAJETÓRIA COM 1 DIMENSÃO PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A

PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ................... 48

GRÁFICO 6.1.3 – ERRO-RELATIVO, EM FUNÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIOS, ENTRE AS

ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA OBTIDAS POR SIMULAÇÃO E OS

VALORES OBTIDOS VIA SOLUÇÃO DE BLACK & SCHOLES PARA OS PARÂMETROS

APRESENTADOS NA TABELA 6.1.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 1 DIMENSÃO

PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)

VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ............................................................... 49

GRÁFICO 6.1.4 – ERRO-RELATIVO, EM FUNÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO, ENTRE AS

ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA OBTIDAS POR SIMULAÇÃO E OS

VALORES OBTIDOS VIA SOLUÇÃO DE BLACK & SCHOLES PARA OS PARÂMETROS

APRESENTADOS NA TABELA 6.1.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 1 DIMENSÃO

PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B)

VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ............................................................... 49

TABELA 6.1.5 - PARÂMETROS DE CÁLCULO DAS OPÇÕES DE COMPRA EUROPÉIAS UTILIZADAS

NESTE EXPERIMENTO ................................................................................................................ 51

GRÁFICO 6.1.5 – ERRO-PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5,

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A)

VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA

O ATIVO-OBJETO. .................................................................................................................... 52

GRÁFICO 6.1.6 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5,

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A)

VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA

O ATIVO-OBJETO. .................................................................................................................... 52

GRÁFICO 6.1.7 – ERRO RELATIVO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO E OS VALORES OBTIDOS VIA SOLUÇÃO DE BLACK & SCHOLES

PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5, CONSIDERANDO UMA

TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A

PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ................. 53

GRÁFICO 6.1.8 – ERRO RELATIVO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO E OS VALORES OBTIDOS VIA SOLUÇÃO DE BLACK & SCHOLES

PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5, CONSIDERANDO UMA

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TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A

PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ................. 53

GRÁFICO 6.1.9 – ERRO-PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5,

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A)

VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA

O ATIVO-OBJETO ..................................................................................................................... 54

GRÁFICO 6.1.10 – ERRO-PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES DE COMPRA

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5,

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A)

VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA

O ATIVO-OBJETO ..................................................................................................................... 54

TABELA 6.2.1 – PARÂMETROS UTILIZADOS PARA AS SIMULAÇÕES DAS OPÇÕES COM BARREIRA

DO TIPO UP AND OUT ............................................................................................................... 56

TABELA 6.2.2 – PRÊMIOS DAS OPÇÕES COM BARREIRA OBTIDOS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA. A

TABELA FOI CONSTRUÍDA PARA BARREIRA NO NÍVEL DE $60 PARA DIFERENTES

VOLATILIDADES ANUAIS DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E PARA DIFERENTES PREÇOS DE

EXERCÍCIO NAS LINHAS. OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1 ........................................................................................................................... 57

TABELA 6.2.3 – PRÊMIOS DAS OPÇÕES COM BARREIRA OBTIDOS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA. A

TABELA FOI CONSTRUÍDA PARA BARREIRA NO NÍVEL DE $70 PARA DIFERENTES

VOLATILIDADES ANUAIS DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E PARA DIFERENTES PREÇOS DE

EXERCÍCIO NAS LINHAS. OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1 ........................................................................................................................... 57

TABELA 6.2.4 – PRÊMIOS DAS OPÇÕES COM BARREIRA OBTIDOS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA. A

TABELA FOI CONSTRUÍDA PARA BARREIRA NO NÍVEL DE $80 PARA DIFERENTES

VOLATILIDADES ANUAIS DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E PARA DIFERENTES PREÇOS DE

EXERCÍCIO NAS LINHAS. OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1 ........................................................................................................................... 58

TABELA 6.2.5 – PRÊMIOS DAS OPÇÕES COM BARREIRA OBTIDOS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA. A

TABELA FOI CONSTRUÍDA PARA BARREIRA NO NÍVEL DE $90 PARA DIFERENTES

VOLATILIDADES ANUAIS DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E PARA DIFERENTES PREÇOS DE

EXERCÍCIO NAS LINHAS. OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1 ........................................................................................................................... 58

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TABELA 6.2.6 – PRÊMIOS DAS OPÇÕES COM BARREIRA OBTIDOS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA. A

TABELA FOI CONSTRUÍDA PARA BARREIRA NO NÍVEL DE $100 PARA DIFERENTES

VOLATILIDADES ANUAIS DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E PARA DIFERENTES PREÇOS DE

EXERCÍCIO NAS LINHAS. OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1 ........................................................................................................................... 59

GRÁFICO 6.2.1 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $60. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-

OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO .......................................... 60

GRÁFICO 6.2.2 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $60. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-

OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ........................................... 60

GRÁFICO 6.2.3 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $70. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-

OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ......................................... 61

GRÁFICO 6.2.4 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $70. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-

OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO .......................................... 61

GRÁFICO 6.2.5 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $80. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-

OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ......................................... 62

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GRÁFICO 6.2.6 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $80. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-

OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ........................................... 62

GRÁFICO 6.2.7 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $90. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-

OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ......................................... 63

GRÁFICO 6.2.8 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $90. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-

OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO .......................................... 63

GRÁFICO 6.2.9 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $100. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-

OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ......................................... 64

GRÁFICO 6.2.10 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BARREIRAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VARIANDO-SE OS PREÇOS DE EXERCÍCIO E PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA

TABELA 6.2.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO E A BARREIRA COMO SENDO $100. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-

OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO .......................................... 64

TABELA 6.3.1 – PARÂMETROS DE CÁLCULO ................................................................................... 66

TABELA 6.3.2 – PRÊMIOS DAS OPÇÕES BINÁRIAS OBTIDOS SEGUNDO SOLUÇÃO ANALÍTICA COM

VARIAÇÃO DA VOLATILIDADE ANUAL DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E VARIAÇÃO DOS

PREÇOS DE EXERCÍCIO NAS LINHAS, SENDO OS DEMAIS PARÂMETROS DEFINIDOS NA

TABELA 6.3.1 ........................................................................................................................... 67

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TABELA 6.3.3 – PRÊMIOS DAS OPÇÕES BINÁRIAS OBTIDOS SEGUNDO SOLUÇÃO ANALÍTICA COM

VARIAÇÃO DA VOLATILIDADE ANUAL DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E VARIAÇÃO DOS

PREÇOS DE EXERCÍCIO NAS LINHAS, SENDO OS DEMAIS PARÂMETROS DEFINIDOS NA

TABELA 6.3.1 ........................................................................................................................... 67

GRÁFICO 6.3.1 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BINÁRIAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA E COM

VARIAÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO, SENDO OS DEMAIS PARÂMETROS APRESENTADOS

NA TABELA 6.3.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE

20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO. ............................................................................................ 68

GRÁFICO 6.3.2 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BINÁRIAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA E COM

VARIAÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO, SENDO OS DEMAIS PARÂMETROS APRESENTADOS

NA TABELA 6.3.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE

40% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ............................................................................................. 68

GRÁFICO 6.3.3 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BINÁRIAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA E COM

VARIAÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO, SENDO OS DEMAIS PARÂMETROS APRESENTADOS

NA TABELA 6.3.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE

20% A.A PARA O ATIVO-OBJETO ............................................................................................. 69

GRÁFICO 6.3.4 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES BINÁRIAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA E COM

VARIAÇÃO DOS PREÇOS DE EXERCÍCIO, SENDO OS DEMAIS PARÂMETROS APRESENTADOS

NA TABELA 6.3.1, CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-

OBJETO. A) VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLIDADE DE 40% A.A

PARA O ATIVO-OBJETO ............................................................................................................ 69

TABELA 6.4.1 – PARÂMETROS UTILIZADOS PARA AS SIMULAÇÕES DAS OPÇÕES ASIÁTICAS COM

MÉDIA GEOMÉTRICA. .............................................................................................................. 71

TABELA 6.4.2 – PRÊMIOS DAS OPÇÕES ASIÁTICAS OBTIDAS POR SOLUÇÃO ANALÍTICA COM

VARIAÇÃO DA VOLATILIDADE ANUAL DO ATIVO OBJETO NAS COLUNAS E VARIAÇÃO DOS

PREÇOS DE EXERCÍCIO NAS LINHAS, SENDO OS DEMAIS PARÂMETROS DEFINIDOS NA

TABELA 6.4.1 ........................................................................................................................... 72

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xvii

GRÁFICO 6.4.1 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES ASIÁTICAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1,

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A)

VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA

O ATIVO-OBJETO. .................................................................................................................... 73

GRÁFICO 6.4.2 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES ASIÁTICAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1,

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A)

VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA

O ATIVO-OBJETO ...................................................................................................................... 73

GRÁFICO 6.4.3 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES ASIÁTICAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1,

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A)

VOLATILIDADE DE 10% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 20% A.A PARA

O ATIVO-OBJETO. .................................................................................................................... 74

GRÁFICO 6.4.4 – ERRO PADRÃO PARA AS ESTIMATIVAS DE PRÊMIO DAS OPÇÕES ASIÁTICAS

OBTIDAS POR SIMULAÇÃO PARA OS PARÂMETROS APRESENTADOS NA TABELA 6.1,

CONSIDERANDO UMA TRAJETÓRIA COM 42 DIMENSÕES PARA O ATIVO-OBJETO. A)

VOLATILIDADE DE 30% A.A PARA O ATIVO-OBJETO E B) VOLATILIDADE DE 40% A.A PARA

O ATIVO-OBJETO ...................................................................................................................... 74

TABELA 6.1.3 – APRESENTA OS RESULTADOS PARA OS PRÊMIOS OBTIDOS POR SIMULAÇÃO DE

MONTE CARLO PARA AS DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VOLATILIDADES E PREÇOS DE EXERCÍCIOS, BEM COMO OS RESPECTIVOS ERROS-PADRÃO DE

CADA ESTIMATIVA PARA O CASO UNIDIMENSIONAL. OS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO

APRESENTADOS NA TABELA 6.1.1 ................................................................................................. 84

TABELA 6.1.4 – DIFERENÇAS PERCENTUAIS ENTRE AS ESTIMATIVAS POR SIMULAÇÃO E A

PRECIFICAÇÃO POR BLACK & SCHOLES SEGUNDO OS PARÂMETROS DE CÁLCULO DA

TABELA 6.1.1. AS SIMULAÇÕES FORAM REALIZADAS PARA 1 DIMENSÃO NA TRAJETÓRIA

DO ATIVO-OBJETO.................................................................................................................... 85

TABELA 6.1.6 - APRESENTA OS RESULTADOS PARA OS PRÊMIOS OBTIDOS POR SIMULAÇÃO DE

MONTE CARLO PARA AS DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA,

VOLATILIDADES E PREÇOS DE EXERCÍCIO, BEM COMO OS RESPECTIVOS ERROS-PADRÃO DE

CADA ESTIMATIVA PARA O PROBLEMA COM 42 DIMENSÕES. OS PARÂMETROS DA

SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5 ................................................................ 86

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xviii

TABELA 6.1.7 - DIFERENÇAS PERCENTUAIS ENTRE AS ESTIMATIVAS POR SIMULAÇÃO E A

PRECIFICAÇÃO POR BLACK & SCHOLES PARA OS PARÂMETROS DE CÁLCULO DA TABELA

6.1.5, UTILIZANDO-SE 42 DIMENSÕES PARA A TRAJETÓRIA DO ATIVO-OBJETO. ......................... 87

TABELA 6.1.8 - APRESENTA OS RESULTADOS PARA OS PRÊMIOS OBTIDOS POR SIMULAÇÃO DE

MONTE CARLO PARA AS DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA, BEM COMO

OS RESPECTIVOS ERROS-PADRÃO DE CADA ESTIMATIVA UTILIZANDO-SE 42 DIMENSÕES

PARA A TRAJETÓRIA DO ATIVO E UM INTERVALO MAIOR PARA OS PREÇOS DE EXERCÍCIO.

OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.1.5 .................... 88

TABELA 6.2.7 - ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES COM BARREIRA DO

TIPO UP AND OUT OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS

DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA COM VARIAÇÃO DAS VOLATILIDADE DO ATIVO OBJETO E DOS

PREÇOS DE EXERCÍCIO. A BARREIRA FOI ESTABELECIDA EM $60 E OS DEMAIS PARÂMETROS

SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1.............................................................................................. 89

TABELA 6.2.8 - ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES COM BARREIRA DO

TIPO UP AND OUT OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS

DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA COM VARIAÇÃO DAS VOLATILIDADE DO ATIVO OBJETO E DOS

PREÇOS DE EXERCÍCIO. A BARREIRA FOI ESTABELECIDA EM $70 E OS DEMAIS PARÂMETROS

SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1.............................................................................................. 90

TABELA 6.2.9 - ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES COM BARREIRA DO

TIPO UP AND OUT OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS

DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA COM VARIAÇÃO DAS VOLATILIDADE DO ATIVO OBJETO E DOS

PREÇOS DE EXERCÍCIO. A BARREIRA FOI ESTABELECIDA EM $80 E OS DEMAIS PARÂMETROS

SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1.............................................................................................. 91

TABELA 6.2.10 - ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES COM BARREIRA DO

TIPO UP AND OUT OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS

DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA COM VARIAÇÃO DAS VOLATILIDADE DO ATIVO OBJETO E DOS

PREÇOS DE EXERCÍCIO. A BARREIRA FOI ESTABELECIDA EM $90 E OS DEMAIS PARÂMETROS

SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1.............................................................................................. 92

TABELA 6.2.11 - ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES COM BARREIRA DO

TIPO UP AND OUT OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS

DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA COM VARIAÇÃO DAS VOLATILIDADE DO ATIVO OBJETO E DOS

PREÇOS DE EXERCÍCIO. A BARREIRA FOI ESTABELECIDA EM $100 E OS DEMAIS

PARÂMETROS SÃO APRESENTADOS NA TABELA 6.2.1..................................................................... 93

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xix

TABELA 6.3.4 - RESULTADO DAS ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES

BINÁRIAS OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE

REDUÇÃO DE VARIÂNCIA, PREÇOS DE EXERCÍCIOS E VOLATILIDADES. A TABELA FOI

CONSTRUÍDA PARA 42 DIMENSÕES E OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO

APRESENTADOS NA TABELA 6.3.1...................................................................................................... 94

TABELA 6.3.5 - RESULTADO DAS ESTIMATIVAS DOS PRÊMIOS E ERROS-PADRÃO DAS OPÇÕES

BINÁRIAS OBTIDAS POR SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSAS TÉCNICAS DE

REDUÇÃO DE VARIÂNCIA, PREÇOS DE EXERCÍCIOS E VOLATILIDADES. A TABELA FOI

CONSTRUÍDA PARA 42 DIMENSÕES E OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO

APRESENTADOS NA TABELA 6.3.1...................................................................................................... 95

TABELA 6.4.3 - PRÊMIOS DAS OPÇÕES ASIÁTICAS, COM MÉDIA GEOMÉTRICA, OBTIDAS POR

SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSOS PREÇOS DE EXERCÍCIOS E VOLATILIDADES.

A TABELA APRESENTA OS RESULTADOS PARA DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE

VARIÂNCIA. OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA

6.4.1 ....................................................................................................................................................... 96

TABELA 6.4.4 - PRÊMIOS DAS OPÇÕES ASIÁTICAS, COM MÉDIA GEOMÉTRICA, OBTIDAS POR

SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO PARA DIVERSOS PREÇOS DE EXERCÍCIOS E VOLATILIDADES.

A TABELA APRESENTA OS RESULTADOS PARA DIFERENTES TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE

VARIÂNCIA. OS DEMAIS PARÂMETROS DA SIMULAÇÃO SÃO APRESENTADOS NA TABELA

6.4.1 ....................................................................................................................................................... 97

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ÍNDICE

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO..................................................................................................................... 1 CAPÍTULO 2 - OPÇÕES: INTRODUÇÃO .................................................................................................. 3

2.1 – INTRODUÇÃO ......................................................................................................................................... 3 2.2 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA OS PRÊMIOS........................................................................................ 5 2.3 - PUT-CALL PARITY.................................................................................................................................. 7 2.4 – MODELAGEM DOS PREÇOS DOS ATIVOS ................................................................................................. 8 2.5 – LEMA DE ITO........................................................................................................................................ 10 2.6 – MODELO DE BLACK & SCHOLES.......................................................................................................... 13

CAPÍTULO 3 - OPÇÕES EXÓTICAS ........................................................................................................ 18 3.1 – OPÇÕES DEPENDENTES DO CAMINHO (PATH-DEPENDENT OPTIONS).................................................... 18

3.1.1 – Opçõe com Barreiras .................................................................................................................. 19 3.1.2 – Opções LookBack........................................................................................................................ 20 3.1.3 – Opções Asiáticas......................................................................................................................... 22

3.2 – PATH INDEPENDENT............................................................................................................................. 24 3.2.1 – Opções Binárias.......................................................................................................................... 24

CAPÍTULO 4 - SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO ................................................................................ 26 4.1 – INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................... 26 4.2 – DESCRIÇÃO DO MÉTODO ...................................................................................................................... 27 4.3 – AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES (AAS) ........................................................................................ 30

4.3.1 – Precificação de opções européias com AAS ............................................................................... 33 CAPÍTULO 5 - TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA................................................................ 36

5.1 – VARIÁVEIS ANTITÉTICAS..................................................................................................................... 36 5.2 – MATCH DE MOMENTOS ......................................................................................................................... 37 5.3 – VARIÁVEL CONTROLE ......................................................................................................................... 39 5.4 – HIPERCUBO LATINO............................................................................................................................. 40 5.5 – AMOSTRAGEM DESCRITIVA ................................................................................................................. 43

CAPÍTULO 6 - EXPERIMENTOS E RESULTADOS............................................................................... 45 6.1 – OPÇÃO EUROPÉIA PLAIN VANILLA ......................................................................................................... 45

6.1.1 – Opção Européia plain vanilla: Experimento 1 ........................................................................... 46 6.1.2 – Opção Européia plain vanilla: Experimento 2 ........................................................................... 51

6.2 – OPÇÃO COM BARREIRA........................................................................................................................ 56 6.3 – OPÇÃO BINÁRIA OU DIGITAL ............................................................................................................... 66 6.4 – OPÇÃO ASIÁTICA................................................................................................................................. 71

CAPÍTULO 7 - CONCLUSÃO ..................................................................................................................... 76 CAPÍTULO 8 - BIBLIOGRAFIA................................................................................................................. 79 CAPÍTULO 9 - ANEXOS.............................................................................................................................. 83

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1

Capítulo 1 Introdução

A simulação de Monte Carlo, desenvolvida durante a segunda guerra mundial,

encontrou um enorme campo de aplicação na área de finanças. Especificamente para os

contratos de opções, a simulação de Monte Carlo tem sido aplicada na precificação e

análise destes. Com a evolução do mercado de derivativos e sua difusão, as opções

tradicionais – plain vanilla – sofreram modificações e adaptações de forma a atender às

necessidades específicas dos traders. Assim surgiram os chamados contratos exóticos, que

embora ainda não tenham um grande volume de negociação nas bolsas de valores

internacionais, podem ser realizados no mercado de balcão.

Hoje, em contratos mais complexos, muitas vezes sem solução analítica fechada, a

técnica de simulação de Monte Carlo tem sido empregada para precificar esses contratos.

Como as opções plain vanilla, a simulação de Monte Carlo também evoluiu, uma

vez que novas técnicas de amostragem foram desenvolvidas de maneira a reduzir o tempo

de processamento e aumentar a precisão das estimativas. Essas novas técnicas de

amostragem, também chamadas de técnicas de redução de variância, são discutidas neste

trabalho em um contexto de precificação de contratos de opções exóticas.

O foco deste trabalho, então, recai na aplicação da simulação de Monte Carlo com

técnicas de redução de variância na precificação de alguns contratos de opções exóticas. O

objetivo, mais especificamente, seria o de avaliar os ganhos de redução de variância nas

estimativas de prêmios das opções, variando-se alguns paramentos de calculo das opções.

Uma delimitação de estudo a ser destacada é que este trabalho não se propões a exaurir as

técnicas de amostragem que podem ser utilizadas na simulação, tampouco se propõe a

avaliar o ganho de processamento computacional que existe entre as técnicas utilizadas.

No capítulo 2, faz-se uma introdução ao estudo de opões, sendo analisados os

conceitos fundamentais e abordados os aspectos referentes a precificação de opções plain

vanilla segundo a formulação proposta por Black & Scholes (1973).

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2

No capítulo 3, desenvolve-se uma introdução e revisão da literatura sobre as opções

exóticas. Abordam-se aqui questões como a classificação destas opções e apresentam-se,

também, as soluções analíticas de algumas opções exóticas.

O capítulo 4 apresenta uma revisão de literatura sobre a simulação de Monte Carlo,

onde são discutidos aspectos como a origem do método, a amostragem aleatória simples e

os números aleatórios.

O capítulo 5 discute técnicas de amostragem mais eficientes para a simulação de

Monte Carlo. Neste capítulo apresentam-se os aspectos técnicos e teóricos da aplicação

destas técnicas na simulação de opções exóticas.

O capítulo 6 apresenta os experimentos e os resultados obtidos nos experimentos de

precificação de algumas opções exóticas segundo as técnicas de redução de variância

apresentadas no capítulo 5.

O capítulo 7 apresenta as conclusões, considerações finais e as sugestões para

trabalhos futuros, encerrando este trabalho.

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3

Capítulo 2 Opções: Introdução

2.1 – Introdução Uma opção é um contrato que confere o direito, mas não a obrigação, de se comprar

ou vender um ativo por um determinado preço em uma data estabelecida.

Uma call é um tipo de opção que dá ao seu portador o direito de se comprar um

ativo objeto por uma quantia determinada em uma data determinada. Uma Put dá ao seu

portador o direito de vender um ativo objeto, por uma certa quantia, em uma data

especificada. O preço estabelecido no contrato é conhecido como preço de exercício da

opção (strike price) e a data estabelecida no contrato é conhecida como data de vencimento

da opção. As opções do tipo americana são aquelas que podem ser exercidas a qualquer

tempo até o seu vencimento, enquanto que as opções européias só podem ser exercidas na

data de vencimento da opção. As opções se diferenciam dos contratos futuros e dos

contratos a termo pelo fato do portador das opções não ser obrigado a realizar o contrato na

data estabelecida. Assim, o portador de uma opção só exercerá o seu direito quando lhe for

vantajoso, pagando por esse direito uma quantia em dinheiro que é conhecida como prêmio

da opção. Assim, nas situações não vantajosas, a opção não é exercida e o portador perde

somente o prêmio pago previamente.

Na realização de um contrato de opções existem duas partes interessadas: o

vendedor e o comprador deste produto.

Sendo K o preço de exercício e TS o preço de um ativo objeto na data de

vencimento da opção, o payoff da opção, isto é, os resultados prováveis de pagamento da

opção podem ser descritos como:

}0,max{ KSC T −=+ (2.1)

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Assim, de acordo a expressão 2.1, uma posição comprada em uma opção de compra

nunca pagará um valor negativo e que esta só será exercida se KST ≥ . O vendedor de uma

Call terá o payoff inverso:

}0,min{}0,max{ TT SKKSC −=−−=− (2.2)

De maneira análoga, o payoff de uma Put para uma posição comprada e vendida,

respectivamente, será dado por:

}0,max{ TSKP −=+ (2.3)

}0,min{}0,max{ KSSKP TT −=−−=− (2.4)

Das expressões anteriores, pode-se observar que as posições compradas em opções

possuem uma perda limitada e um lucro ilimitado. Já nas posições vendidas, a situação é

invertida, ou seja, a perda é ilimitada e o lucro é limitado. Estas propriedades das opções

fazem com que estes contratos não sejam muito indicados para investidores conservadores

ou com pouco conhecimento sobre o funcionamento do instrumento.

A tabela 2.1 resume as exposições à perda de cada uma das partes da negociação da

opção.

Tabela 2.1 – Exposições à perda das partes envolvidas na negociação de opções

Comprador Vendedor

Call Perda Limitada ao valor do prêmio Perda Ilimitada

Put Perda Limitada ao valor do prêmio Perda Ilimitada

Os contratos de opções são bastante utilizados como instrumentos de hedge e de

especulação financeira. Sabe-se que os riscos associados às opções são bastante elevados, o

que se reflete na possibilidade de ganhos extraordinários, assim como perdas exorbitantes.

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5

As especulações dos investidores podem se traduzir como uma expectativa de

elevação ou queda no preço das ações do ativo objeto. Se a expectativa for de elevação de

preços, um investidor pode realizar lucros comprando ações ou opções de ações sobre este

ativo. De maneira análoga, se a expectativa for de uma queda dos preços de um ativo, o

especulador pode realizar um lucro vendendo ações ou comprando puts. Entretanto, os

riscos associados são bastante distintos entre uma ação e uma opção sobre a ação.

O fato dos contratos de opções dependerem do valor do ativo objeto ( tS ) faz com

que estes instrumentos financeiros sejam chamados de contratos derivativos, assim como os

swaps, os futuros e os contratos a termo.

2.2 – Condições de contorno para os prêmios A modelagem exposta nesta seção é bastante difundida no mundo financeiro,

entretanto, torna-se útil a sua apresentação para facilidade de compreensão dos próximos

capítulos.

Adota-se nesta seção, c como o preço de uma opção de compra do tipo européia e C

como uma opção de compra do tipo americana.

Apresentam-se aqui as condições de contorno a que os preços das opções de compra

estão submetidas.

A primeira condição de contorno para as opções é que o seu valor nunca pode ser

negativo, ou seja:

0≥c e 0≥C (2.5)

Tem-se, também, que o preço de uma Call nunca pode exceder o preço do ativo

objeto, pois não faria sentido se pagar um valor superior a um direito sobre determinado

bem do que o próprio valor do bem, então:

Sc ≤ e SC ≤ (2.6)

Da aplicação da teoria da arbitragem, sabe-se que não existe investimento que

propicie um lucro sem risco, pois o seu aparecimento seria instantaneamente extinto pelas

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forças de mercado. Assim, para que não ocorra arbitragem, uma call sempre valerá, a

qualquer tempo, mais do que a diferença entre o preço do ativo nesta data e o valor presente

do preço de exercício. Então:

)(KPVSc −≥ (2.7)

A última condição de contorno é aplicada somente às opções americanas, que são

aquelas opções que podem ser exercidas durante qualquer período de sua vida. Essa

especificidade faz com que esta opção deva sempre valer mais do que a diferença entre o

ativo em qualquer data e o preço de exercício da data de vencimento. Assim:

KSC −≥ (2.8)

De maneira semelhante, as condições de contorno para uma Put são:

0≥p e 0≥P (2.9)

Kp ≤ e KP ≤ (2.10)

SKVPp −≥ )( (2.11)

SKP −≥ (2.12)

Ressalta-se que p é o preço de uma Put européia e P refere-se à Put americana.

Observa-se que uma Put também não pode assumir um valor negativo e nem exceder o

preço de exercício

Intuitivamente, pode-se avaliar que o valor de uma opção americana deva sempre

ser superior ao de uma opção européia como os mesmo parâmetros. Isto se deve ao fato de

que um portador de uma opção americana possuir mais direitos que um portador de uma

opção européia (direito de exercício antecipado), fazendo com que esta opção tenha um

custo também superior. Entretanto, esta particularidade só é válida para opções de venda,

pois as opções de compra européias e americanas possuem o mesmo valor.

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2.3 - Put-Call Parity Embora uma Call e uma Put apresentem diferenças em seus contratos, elas

apresentam uma correlação perfeita que se traduz através da expressão apresentada por

Stoll (1969) e conhecida como Put-Call Parity.

Supondo um portfólio representado por Π , no tempo t = 0, composto por uma

posição comprada em uma ação, uma posição comprada em uma Put e uma posição

vendida em uma Call, tem-se:

cpS −+=Π (2.13)

Sendo S o preço da ação, p o preço da put e c o preço da Call, todos na data t=0.

Assume-se que as opções do portfólio são feitas sobre a mesma ação presente no portfólio e

que os preços de exercício das opções, bem como o período até o vencimento sejam os

mesmos.

O payoff deste portfólio na data de vencimento das opções, t = T, é:

⎩⎨⎧

≥≤

=−−−+=ΠKSseKKSseK

KSSKST

TTTT ,

,}0,max{}0,max{ (2.14)

Então, na data t = T, este portfólio garante o valor de K independente do preço da

ação do ativo objeto. Ainda segundo a teoria de não arbitragem, tem-se que o valor presente

deste portfólio no tempo t, para t pertencente a [0,T], é rTKe− , com r sendo a taxa de juros

livre de risco. Assim sendo, tem-se:

)( tTrKecpS −−=−+ (2.15)

A expressão 2.15 é conhecida como Put-Call parity e é válida somente para opções

do tipo européia, uma vez que as Puts americanas possuem um valor superior às Puts

européias. Nota-se que o valor de uma Call pode ser obtido a partir de Put, e vice versa, se

estes contratos forem feitos sobre o mesmo preço de exercício e data de vencimento.

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2.4 – Modelagem dos preços dos Ativos A precificação de um contrato de opções requer o conhecimento do preço ou da

distribuição de probabilidade dos preços do ativo-objeto na data de vencimento. Como o

futuro é desconhecido, faz-se necessário utilizar um modelo que apresente a trajetória dos

preços ou retornos do ativo-objeto até a data de vencimento da Opção.

As condições de contorno dos preços das opções, conforme discussão anterior, são

úteis, mas não suficientes para a determinação do preço justo de um contrato. Nos

mercados reais, é de suma importância a determinação dos preços das opções de forma

mais precisa. Esta parte da dissertação apresenta uma revisão da teoria de precificação de

opções, apresentando a modelagem de preços dos ativos e a apresentação da solução

analítica proposta por Black & Scholes (1973) para as opções européias plain vanilla.

Ressalta-se que em nenhum momento foi adotado o rigor matemático necessário para o

desenvolvimento das expressões apresentadas, uma vez que este não é o foco do trabalho.

Entretanto, de maneira a facilitar a compreensão das expressões, adota-se que todas as

funções apresentadas neste capítulos sejam definidas, contínuas e diferenciáveis,

parcialmente e totalmente, no plano R x R e para o intervalo de tempo [0,T].

A hipótese básica para o comportamento dos preços nos mercados é que estes

refletem toda a informação disponível sobre determinado ativo. Esta hipótese faz parte da

teoria dos mercados eficientes, que também prega que os preços passados não apresentam

qualquer influencia na determinação dos preços futuros.

Estas premissas permitem que os preços dos ativos possam ser modelados segundo

um processo de Markov, que é um tipo particular de processo estocástico onde somente o

valor presente da variável tem relevância para a predição do futuro. Toda a informação

passada da variável é irrelevante.

Assim como Black & Scholes (1973), admitiu-se neste trabalho que o retorno do

ativo-objeto segue o movimento geométrico browniano, processo utilizado na física para

descrever o movimento de uma partícula sujeita a choques de outras moléculas. O

movimento geométrico browniano é expresso como um processo de Wiener, que é um tipo

particular dos processos de Markov.

Sendo Z uma variável que siga o processo de Wiener e ∆ Z sua mudança durante

um intervalo de tempo ∆ t, tem-se:

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tZ ∆=∆ ε (2.16)

Sendo ε uma variável aleatória com distribuição normal )1,0(φ .

Assim, ∆ Z é considerada uma variável com distribuição Normal com média igual a

zero e variância igual a ∆ t. Um processo de Wiener para uma variável Y pode ser descrito

em termos de ∆ Z, de uma maneira mais geral e utilizando-se o conceito de limite, como

sendo:

bdzadtdY += (2.17)

dtbadtdY ε+= (2.18)

Nas expressões anteriores, 2.17 e 2.18, a e b são constantes.

A equação 2.18 mostra que a variação da variável Y é composta por dois termos,

sendo o primeiro determinístico - conhecido como drift - que se traduz como sendo o valor

esperado de dY após um período de dt. O segundo termo é uma variável aleatória que segue

o Processo de Wiener e informa que o desvio padrão de dY é b dt , ou seja, representa a

variação da variável dY sobre a tendência do drift.

Supondo que o preço dos ativos seja representado pela variável S, e que esta siga

um processo de Wiener generalizado, conforme expressão 2.18, tem-se:

dtbadtdS ε+= (2.19)

Onde o primeiro termo representa o valor esperado de S após um intervalo

infinitesimal de tempo. Dessa forma, tem-se que:

µ=a S (2.20)

Onde µ representa a taxa de retorno esperada do ativo S, considerada constante e

expressa como taxa de juros contínuos em sua forma decimal.

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10

O segundo termo prevê mudanças no preço do ativo causadas por fatores externos,

como a aparição de notícias inesperadas pelo mercado, funcionando como uma medida da

volatilidade dos preços. Tem-se que:

σ=b S (2.21)

Onde σ representa o desvio padrão da variável S, que é a medida mais aceita para a

volatilidade desta variável.

De maneira agregada, tem-se:

SdS µ= dt + Sσ dz (2.22)

µ=S

dS dt + σ dz (2.23)

Lembrando que dz = dtε .

As expressões anteriores, 2.22 e 2.23, apresentam a modelagem de preços dos ativos

conhecida como movimento geométrico browniano. Infere-se que os retornos dos ativos

possuem uma distribuição normal, ou seja, S

dS ~ µφ ( dt, σ dt).

2.5 – Lema de Ito O lema de Ito é uma das ferramentas mais importantes na manipulação de variáveis

aleatórias do mundo matemático financeiro. Supondo uma variável aleatória x seja descrita

por:

),( txadx = dt + ),( txb dz (2.24)

Sendo a e b funções em termos de x e t, com dz = dtε descrevendo um processo

de Wiener. Assim, a variável x apresenta um drift de a e uma variância de 2b . A expressão

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11

acima é conhecida como o processo de Ito, que serve de suporte para o desenvolvimento do

Lema de Ito.

Supondo agora a existência de uma função G(x,t), tem-se que dG será dado por:

),(),( txGdttdxxGdG −++= (2.25)

Considerando uma expansão de Taylor para termos de segunda ordem, tem-se:

dG = ξ+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ 2

2

22

2

2

)(21)(

21 dt

tGdx

xGdx

xGdt

tG (2.26)

Eliminando os termos de ordens superiores, ξ , e desprezando o termo de ordem 2

para a variável tempo, pode-se escrever:

dG = 22

2

)(21 dx

xGdx

xGdt

tG

∂∂

+∂∂

+∂∂ (2.27)

Embora a expressão anterior seja uma forma aproximada para o cálculo de dG,

adota-se a igualdade sem maiores prejuízos na análise. Da expressão 2.24, tem-se que:

22 )),(),(()( dttxbdttxadx ε+= (2.28)

Desprezando-se os termos de segunda ordem para dt e sabendo que E )( 2ε =1, tem-

se:

dttxbdttxbdx ),(),()( 2222 == ε (2.29)

Substituindo a expressão 2.24 em 2.27, e agregando-se a expressão 2.29, tem-se:

dG = dttxbxGdztxbdttxa

xGdt

tG ),(

21]),(),([ 2

2

2

∂∂

++∂∂

+∂∂ (2.30)

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Rearranjando a expressão 2.28 para os termos em dt e dz, tem-se a expressão

conhecida como Lema de Ito:

dG = dztxbxGdttxb

xG

tGtxa

xG ),()],(

21),([ 2

2

2

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ (2.31)

Como aplicação do Lema de Ito, considere as funções:

)(),( SLntSG =

SdS µ= dt + Sσ dz (2.32)

Então, calculando-se as derivadas parciais da função G(S,t) com relação a S e t, e

substituindo estes valores em 2.31, obtém-se:

dzdtdG σσµ +−= )2

(2

(2.33)

O que equivale a dizer que o taxa de retorno dos preços segue uma distribuição

normal descrita por:

)( TSLn ~ ])();)(2

()([2

tTtTSLn t −−−+ σσµφ (2.34)

Onde:

TS representa o preço futuro na data t=T,

tS representa o preço do ativo em uma data qualquer Tt ≤≤0 ,

Se considerarmos a presença da neutralidade de risco, ou seja, se o retorno esperado

para os ativos for a taxa livre de risco, tem-se que fr=µ . Então, na data t = T:

)( TSLn ~ ];)2

()([2

0 TTrSLn f σσφ −+ (2.35)

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Pode-se, então, escrever a expressão de recorrência do preço do ativo, em t = T, a

partir do seu preço inicial ( 0S ):

if ZTTr

T eSSσσ +−

=)

21(

0

2

(2.36)

Ou, de maneira mais geral:

if Zttr

tt eSSσσ +−

+ =)

21(

1

2

(2.37)

2.6 – Modelo de Black & Scholes Assumindo que um ativo comporte-se segundo o movimento geométrico

Browniano, e sendo C = ),( tSf o valor de uma call em termos de S e t, tem-se pelo Lema

de Ito:

dC = SdzSCdtS

SC

tCS

SC σσµ

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ ]

21[ 22

2

2

(2.38)

Black & Scholes (1973), com o intuito de eliminar o termo aleatório dz da expressão

anterior, consideraram a construção de uma carteira de ativos composta por uma posição

comprada em uma call e uma quantia vendida no próprio ativo:

V = ][ SSCC

∂∂

− (2.39)

Os incrementos do portfólio construído são representados por:

dV = ][ dSSCdC

∂∂

− (2.40)

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Substituindo as expressões 2.31 e 2.32 em 2.38, tem-se:

dV = ][}]21{[ 22

2

2

SdzSdtSCSdz

SCdtS

SC

tCS

SC σµσσµ +

∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ (2.41)

Rearranjando-se os termos, tem-se:

dV = dtSC

tC ]

21[ 2

2

∂∂

+∂∂ (2.42)

Considerando a neutralidade em relação ao risco deste mercado e a impossibilidade

de arbitragens, tem-se que uma quantia V investida à taxa livre de risco por um período dt é

espressa por:

dV = Vdtrf (2.43)

Assim, substituindo a expressão 2.41 na expressão 2.40 tem-se:

Vdtrf = dtSC

tC ]

21[ 2

2

∂∂

+∂∂ (2.44)

Substituindo a expressão 2.37 na expressão 2.42, tem-se:

021 22

2

2

=−∂∂

+∂∂

+∂∂ CrSr

SCS

SC

tC

ffσ (2.45)

A expressão 2.43 é conhecida como a equação diferencial de Black & Scholes. Esta

expressão possui uma solução analítica conhecida e originária da equação física da

transferência de calor. Assim, a resolução desta equação resulta na clássica expressão de

Black & Scholes para a precificação de opções européias plain vanilla:

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)()( 210 dNKedNSC TR f−−= (2.46)

sendo:

T

TrKSd

f

σ

σ )21()/ln( 2

0

1

++= (2.47)

Tdd σ−= 12 (2.48)

Onde:

C é o prêmio justo da opção européia de compra;

0S é preço do ativo-objeto da opção no instante t = 0;

fr é a taxa anual de juros livre de risco composta continuamente;

σ é a volatilidade anual do ativo-objeto;

T é o prazo de vencimento da opção, expressa em anos com base em 252 dias úteis;

K é preço de exercício da opção;

N( 1d ) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto 1d ;

N( 2d ) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto 2d .

Apresenta-se, a seguir, um exemplo numérico de aplicação da fórmula de Black &

Scholes. Os dados apresentam-se resumidos na tabela 2.2.

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Tabela 2.2 – Exemplo de aplicação da fórma de Black & Scholes para a precificação de

uma opção de compra Parâmetros de Entrada do

Modelo

0S 50 $

fr (captitalização

discreta)

9,53 % a.a (10 % a.a)

σ 40 % a.a

T 0,50 ano

K 40 $ Parâmetros Intermediárioss

1d 2,002

2d 1,861 N( 1d ) 0,977 N( 2d ) 0,969

Valor do Prêmio da Opção C 12,014 $

Este exemplo ilustra a precificação de uma opção sobre uma ação que apresenta um

valor inicial de $50,0 e uma volatilidade histórica de 40% a.a. O contrato foi firmado para

um preço de exercício de $40,0 e para um vencimento dentro de 6 meses. Considerando

que na data de lançamento desse contrato a taxa livre de risco opera a 10% a.a, então o

valor da opção de compra é avaliado por $ 12,014. Este valor será reavaliado durante a vida

da opção, variando-se os parâmetros de tempo de vencimento. Entretanto, a volatilidade e a

taxa de juros livre de risco, conforme condição de resolução da equação diferencial de

Black & Scholes, são previstas como sendo constantes durante a vida da opção,

apresentando, assim, uma deficiência desse modelo. Conforme o exposto, uma variação da

volatilidade da ação durante a vida da opção faz com que o modelo não seja válido, embora

ainda seja largamente utilizado nestas situações.

Outras críticas ao modelo de Black & Scholes existem no que diz respeito ao

modelo de distribuição utilizada para os preços dos ativos. Conforme discussão anterior, a

modelagem dos preços dos ativos foi feita segundo uma distribuição Lognormal e os

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17

retornos como tendo uma distribuição normal. Sabe-se, entretanto, que a realidade difere

dessa proposta, principalmente nos chamados eventos raros das distribuições. Outra motivo

de críticas é a premissa do comportamento aleatório dos preços, supondo que estes não

apresentem autocorrelações.

Cabe ressaltar que a taxa de juros aplicada no modelo apresenta uma composição

contínua durante o tempo, ou seja, sua capitalização é feita de maneira exponencial e difere

da maioria das taxas utilizadas no Brasil. Assim, a conversão dessas taxas pode ser assim

expressa:

)1( rLnrc += (2.49)

Sendo cr uma taxa com capitalização contínua e r uma taxa com capitalização

discreta. As premissas apresentadas para o modelo de Black & Scholes, salvo indicações

em contrário, são estendidas para as demais opções apresentadas no decorrer deste trabalho.

As taxas apresentadas neste trabalho são taxas com capitalização discreta,

entretanto,as taxa livre de risco, na expressão de Black & Scholes, são utilizadas com

capitalização contínua obtida pela expressão de conversão 2.49. Assim, a taxa livre de risco

da tabela 2.2, com capitalização discreta e valendo 10% a.a, deve ser utilizada na expressão

de Black & Scholes como sendo ln(1+0,1).

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18

Capítulo 3

Opções Exóticas

O Mercado de opções nos EUA se desenvolveu ainda na década de 1970, quando da

inauguração da CBOE (Chicago Board of Options Exchange) e da publicação de “The

Pricing of Options and Corporate Liabilities” por Black & Scholes. Neste sentido,

Zhang(1995) argumenta que o crescimento do entendimento sobre as opções gerou os

primeiros conceitos sobre os contratos exóticos. Nas décadas de 1980 e 1990 os contratos

exóticos ganharam importância e nesta época alguns contratos já eram relativamente

populares no mercado americano.

Conceitualmente, as opções são ditas exóticas quando fogem dos padrões dos

contratos Plain Vanilla, discutidas no capítulo anterior, cujo payoff é do tipo Max[St-K;0].

Existem diversos tipos de opções exóticas, mas suas construções, em geral, são variações

dos payoffs das opções Plain Vanilla.

Ong (1996) indica que as opções com barreiras já eram disponíveis no mercado de

balcão americano no final da década de 1960 e, que embora muitos trabalhos sobre

precificação de contratos exóticos já haviam aparecido na década de 1970 e 1980, o termo

exótico é atribuído a Mark Rubinstein quando da publicação, em 1990, de uma série de

artigos que apresentavam, em sua maioria, soluções fechadas para alguns contratos.

A flexibilidade obtida com os contratos exóticos, juntamente com a vantagem

gerada pela economia na construção de payoffs, atraiu a atenção dos investidores.

Entretanto, hoje, poucas opções exóticas são negociadas em bolsas, tornando o mercado de

balcão o palco de transação desses contratos.

3.1 – Opções dependentes do caminho (Path-Dependent Options)

As opções são ditas dependentes do caminho quando seus payoffs são representados em

função da trajetória de preços passados do ativo objeto até a data de vencimento da opção.

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Ong (1996) apresenta 3 subdivisões desta categórica: extremum-dependent que englobam,

dentre outras, as opções com barreiras e as opções Lookback; Average type que englobam

as chamadas opções asiáticas; e os chamados capped, que são variações das opções

barreiras. Este trabalho apresenta algumas particularidades das opções mais comuns.

3.1.1 – Opões com Barreiras

A opção com barreira é o tipo mais antigo de opção exótica, sendo que sua

existência remonta ao final da década de 1960 no mercado americano. O payoff deste tipo

de opção é idêntico ao payoff das opções Plain Vanilla, mas existem restrições ao exercício

das opções. Sabe-se, ainda, que as opções barreira são mais baratas que as opções Plain

Vanilla, o que estimula ainda mais o seu uso.

As opções barreiras podem ser do tipo Knock-in ou Knock-out, quanto à forma de

validação do exercício da opção e Down ou Up, quanto á localização da barreira em relação

ao preço inicial do ativo objeto. Uma opção de compra Up-and-out Call (UOC) apresenta o

preço da barreira acima do valor inicial do ativo objeto, com a especificidade de que se em

algum momento da vida da opção o preço do ativo objeto ultrapassar o valor da barreira, a

opção terá um payoff nulo. Assim, para que a opção seja exercida, o preço do ativo objeto

deve ser superior ao preço de exercício na data de vencimento – como uma opção Plain

Vanilla - mas o preço do ativo objeto nunca pode ter sido superior à barreira durante a vida

da opção.

Levando-se em consideração as opções de compra e venda, têm-se 8 tipos diferentes de

opções com barreira. No entanto, muitas variações das opções com barreiras podem ser

encontradas.

Douady (1998) apresenta algumas expressões para precificação das opções com

barreiras e argumenta que embora existam soluções fechadas para algumas opções com

barreiras, payoffs mais complicados ainda não tiveram soluções estabelecidas. Aqui,

apresenta-se a expressão para uma opção do tipo Up and Out Call, que será utilizada

posteriormente neste trabalho:

UOC = ))(())('( 7542)(

86310)( NNNNKeNNNNSe TrTr −−−−−−− −− αα µµ (3.1)

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onde:

0

log1SHh

σ= ,

0

log1SKk

σ= ,

0

log1SLl

σ= ,

σµλ −= ,

2' σ

σµλ +=

he λα 2= , 20

2'2'

SHe h αα λ ==

Onde:

UOC = prêmio da opção com barreira Call up and out;

0S = preço do ativo-objeto da opção no instante zero;

µ = taxa anual de juros contínuos livre de risco;

σ = volatilidade anual do ativo-objeto;

T = prazo de vencimento da opção em anos (252 dias úteis);

K = preço de exercício da opção;

)( ii dNN = = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto id ;

Grandes contribuições à Precificação destas opções foram feitas por Merton (1973),

Goldman, Sosin & Shepp (1979) e Rubinstein & Reiner (1991).

3.1.2 – Opções LookBack

As opções LookBack são uma espécie de opções path dependents que apresentam

seus payoffs como sendo dependentes do preço máximo ou mínimo do ativo objeto durante

sua vida. Basicamente, na data de vencimento, o portador dessas opções pode avaliar a

TkTd /'1 −= λTkTd /2 −= λThTd /'3 −= λ

ThTd /4 −= λ

ThTd /5 −−= λ

ThTd /'6 −−= λ

TkhTd /)2(7 −−−= λ

TkhTd /)2('8 −−−= λ

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conveniência do seu exercício baseando-se no histórico de preços do ativo objeto.

Usualmente, estas opções podem ser realizadas sobre calls e puts sob duas formas:

a) Strike fixo

Neste tipo de opção Lookback, o preço de exercício é definido a priori e, desta

forma, o payoff de uma Call e uma Put são apresentados como se segue:

]),...,,max(,0[ 10 KSSSMaxC Tfix −= (3.2)

)],...,,min(,0[ 10 Tfix SSSKMaxP −= (3.3)

b) Strike flutuante:

Neste tipo de opção Lookback, o preço de exercício é uma função dos preços do

ativo objeto. Assim, os payoffs de uma Call e uma Put são apresentados como se segue:

)],...,,min(,0[ 10 TTfloat SSSSMaxC −= (3.4)

]),...,,max(,0[ 10 TTfloat SSSSMaxP −= (3.5)

Originalmente, Goldman, Sosin & Gatto (1979) apresentaram as opções Lookback

como uma forma de investimento onde se teria a ilusão de estar realizando uma compra na

“baixa” e uma venda na “alta”, maximizando assim os portfólios. O paper, entitulado Path

Dependent Options: “Buy at the Low, Sell at the High” analisou o hedge, a precificação e

outras propriedades destas opções. Outros trabalhos importantes foram apresentados por

Garman (1989) e Conze & Viswanathan (1991).

Goldman, Sosin & Gatto (1979) apresentam as expressões para uma call lookback

do tipo strike flutuante com sendo:

))()(2

)(()()(2

)( 3

2

201

2

010 aNq

aNeSaNq

eSaNeSC rtqTqTfloat −

−−−−

−−= −−−

µσ

µσ (3.6)

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onde:

TTqa

σσµ ))2(( 2

1+−

= e Taa σ−= 12

TTqa

σσµ ))2(( 2

3++−

=

floatC = prêmio da opção lookback com strike flutuante;

0S = preço do ativo-objeto da opção no instante zero;

µ = taxa anual de juros livre de risco;

σ = volatilidade anual do ativo-objeto;

T = prazo de vencimento da opção em anos (252 dias úteis);

)( ii aNN = = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto ia ;

3.1.3 – Opções Asiáticas

As opções asiáticas são uma espécie de path-dependents options cujo payoff é

obtido por uma média de preços do ativo objeto ou do strike. A média pode ainda ser obtida

de forma aritmética, que não possui uma solução analítica, e de forma geométrica. Menos

comum, as médias podem ainda ser ponderadas, tanto na forma aritmética como na forma

geométrica. Neste trabalho, considerou-se as opções asiáticas com média geométrica sem

ponderação. Assim, os payoffs são:

],0[ KSMaxC Asian −= (3.7)

Sendo: S = média geométrica dos preços do ativo-objeto da opção entre a data inicial e a data de vencimento da opção; K = preço de exercício da opção.

Segundo Riskglossary (2004), o termo asiático refere-se tão somente ao fato de ter

sido Tóquio a localidade onde foram desenvolvidas as primeiras fórmulas de uso comercial

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para a precificação de opções sobre o preço de derivados do petróleo. Vorst (1996),

entretanto, apresenta a origem do nome a transações feitas pelo Bankers Trust para com

firmas japonesas. Vorst (1996) ainda apresenta as opções asiáticas como uma das opções

exóticas mais populares desde a metade da década de 1980 e, mesmo no final da década de

1970, estas opções já se apresentavam como títulos ligados a commodities como os

petrobonds.

Kemna & Vorst (1990) apresentam as seguintes expressões para a precificação de

opções asiáticas do tipo geométrico:

)()( 2)252(

1))252()((

0 dNeKdNeSC TTaAsian

µ−− −= (3.8) Sendo:

TTaKS

da

a

σσ 252/)5.0()/ln( 2

01

++=

e 252/12 Tdd aσ−=

)6/(5,0 2σµ +=a e 3/σσ =a

Onde: AsianC = prêmio da opção com barreira up and out call;

0S = preço do ativo-objeto da opção no instante zero;

µ = taxa anual de juros contínuos livre de risco;

σ = volatilidade for a do ativo-objeto;

T = prazo de vencimento da opção em anos (252 dias úteis);

K = preço de exercício da opção;

N(d1) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto d1;

N(d2) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto d2.

Kemna & Vorst (1990), neste artigo clássico, ainda utilizam a solução pela média

geométrica como um controle utilizado na simulação de Monte Carlo com Variáveis

controles, de forma a se obter um valor aproximado para as opções asiáticas do tipo média

aritmética.

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3.2 – Path Independent Diferentemente das opções path dependents, as opções do tipo path independents

independem da trajetória de preços do ativo objeto até a data de vencimento da opção.

Pode-se, então, precificar as opções baseando-se somente no preço do ativo objeto no dia

do vencimento da opção. Este fato facilita as simulações quando da precificação de opções

via simulação de Monte Carlo. Enquadram-se nesta categoria, dentre outras, as próprias

opções plain vanilla e as opções binárias.

3.2.1 – Opções Binárias As opções binárias, ou digitais, são opções que apresentam uma forte

descontinuidade em seus payoffs. O tipo mais comum destas opções são as chamadas cash-

or-nothing, que pagam uma quantia fixa de dinheiro se as opções terminam dentro do

dinheiro ou não pagam nada caso terminem for a do dinheiro. As fórmulas de precificação

destas opções são facilmente obtidas a partir das opções plain vanilla e foram,

primeiramente, apresentadas por Reiner & Rubinstein (1991).

Hull (2003) chama atenção para o fato de que em um mundo neutro ao risco, a

probabilidade do ativo objeto permanecer acima do strike na data de vencimento da opção é

N(d2), que é a probabilidade usada por Black & Scholes em sua expressão para as opções

plain vanilla. Assim, considerando-se Q como a quantia a ser obtida em caso de exercício

da opção, tem-se:

)( 2dNQeC Tbin

µ−= (3.9)

T

TrKSd

f

σ

σ )21()/ln( 2

0

1

++= e Tdd σ−= 12

sendo:

binC = prêmio da opção binária do tipo cash-or-nothing;

0S = preço do ativo-objeto da opção no instante zero;

fr = taxa anual de juros livre de risco;

σ = volatilidade anual do ativo-objeto;

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T = prazo de vencimento da opção em anos (252 dias úteis);

K = preço de exercício da opção;

N(d2) = valor da função de distribuição acumulada Normal Padrão no ponto d2.

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26

Capítulo 4

Simulação de Monte Carlo

4.1 – Introdução A simulação de Monte Carlo tem grandes aplicações na solução de uma variedade

de problemas matemáticos através de experimentos computacionais em diversas áreas do

conhecimento, como é o caso da simulação de filas, precificação de opções, análise de risco

etc. O método é aplicado tanto em problemas determinísticos quanto àqueles com caráter

probabilístico. Sua estrutura é muito simples e flexível o que faz com que Simulação de

Monte Carlo possa ser aplicada em problemas de qualquer nível de complexidade.

Entretanto, a maior inconveniência do método recai sobre o número de simulações

necessárias para se reduzir o erro da estimativa da solução procurada, o que tende, na

prática, a tornar o método muito lento.

Na literatura, existem relatos de aplicações do método de MC em estudos de jogos

de azar, dentre outros, realizados por matemáticos dos séculos XVI e XVII. No final de

século XIX e início do século XX, o método também foi aplicado como forma de avaliação

de médias de funções com variáveis aleatórias contínuas através da aproximação por

integrais. Entretanto, o caso mais conhecido de aplicação do método de MC é o da

construção da bomba atômica durante a II Guerra Mundial, no famoso projeto Manhattam,

quando da publicação de “The Monte Carlo Method” por Ulam & Metropolis (1949). Estes

autores decidiram usar o nome Monte Carlo como alusão à cidade de Monte Carlo, no

principado de Mônaco, famosa pelos seus cassinos e jogos de roleta, que são dispositivos

que produzem números aleatórios.

A base do método de monte Carlo reside na amostragem de números aleatórios, que

pode ser realizada de diferentes maneiras, fazendo-se uso das chamas técnicas de redução

de variância que são aplicadas de forma a se reduzir o tempo de processamento da

simulação bem como a precisão das estimativas. Nesse contexto, Boyle (1997) afirma que a

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27

simulação de Monte Carlo torna-se preferível a outros métodos numéricos na medida em

que o número de dimensões do problema cresce.

No mundo financeiro, a simulação de monte Carlo tem se mostrado bastante

eficiente como ferramenta de avaliação de problemas associados à análise de risco,

precificação de contratos, testes de cenários e outros. Especificamente, a precificação de

contratos derivativos via simulação de Monte Carlo iniciou-se com os trabalho de Boyle

(1977), que utilizou a abordagem estocástica dos preços dos ativos como forma de simular

um contrato derivativo.

Em escala comercial, Davidson (2002), em uma reportagem para a revista RISK,

afirma que muitos bancos já utilizam esta ferramenta como forma de avaliar os problemas

financeiros de alta complexidade, com muitos fatores de risco e que não são facilmente

tratados através de soluções analíticas. Assim, a simulação de Monte Carlo aparece como

uma maneira de se encontrar respostar aproximadas ou distribuições mais prováveis para os

resultados de um problema. Outras aplicações são citadas naquela reportagem como o caso

dos bancos americanos que utilizam a simulação de Monte Carlo como forma de se validar

as soluções obtidas pelos modelos de árvores binomiais e algumas soluções analíticas de

difícil comprovação.

4.2 – Descrição do método A implementação de uma simulação de Monte Carlo apresenta etapas semelhantes

para a maioria dos problemas em que esta ferramenta é empregada. Especificamente,

apresentam-se os passos utilizados para a realização de uma simulação de Monte Carlo para

a precificação de um instrumento financeiro. Tem-se:

1 – Simular caminhos aleatórios para os fatores de risco do problema, ou seja, as variáveis

do problema que apresentam uma distribuição conhecida de resultados.

2 – Avaliar os resultados de cada caminho aleatório segundo as especificidades de cada

contrato

3 – Realizar o cálculo do valor esperado do contrato através de um cálculo da média dos

valores obtidos na etapa 2.

4 – Calcular o valor presente do contrato que foi obtido na etapa 3

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28

Supondo que o valor de um contrato derivativo seja expresso por θ e que os valores

dos preços gerados aleatoriamente, como descrito na etapa 1, sejam representados por iθ̂ | i

= 1, 2, ..., n. Dessa forma, o valor esperado e a variância de iθ̂ podem ser representados,

respectivamente, por θ~ e 2σ .

Assim, o valor estimado de θ pode ser representado como a média das n simulações

realizadas, representada como sendo:

∑=

=n

iin 1

ˆ1~ θθ (4.1)

De acordo com o teorema do limite central, para grandes valores de n, a variância e

o desvio padrão do estimador θ são dados, respectivamente, por:

n

22 σσ θ = (4.2)

nσσ θ = (4.3)

Segue, então, que o estimador para a variância, 2σ , é dado por:

∑=

−−

=N

iin

S1

22 )ˆ(1

1 θθ (4.4)

Da expressão 4.3, conhecida como erro padrão, tem-se que o desvio padrão é

diretamente proporcional à 2/1−N , ou seja, para se reduzir o desvio padrão pela metade,

deve-se quadruplicar o número de amostras. Este ponto é apontado como uma das

principais deficiências do método de Monte Carlo, uma vez que a precisão da estimativa

procurada só é obtida sob um custo bastante elevado de uso computacional para a geração

de amostras maiores.

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29

Uma discussão mais detalhada sobre o trade-off existente entre precisão e tempo de

processamento é entrada em Boyle (1997). Esta discussão serve com um argumento para a

introdução das chamadas técnicas de redução de variância, que se apresentam como

alternativas para a geração dos números aleatórios utilizados na simulação e surgem como

forma de aumento de precisão e redução do tempo de processamento.

Hammerley & Handscomb (1964) apresentam o método de monte Carlo como

alternativa para o cálculo de integrais nos casos em que não existam soluções analíticas,

aplicação esta que deu origem às aplicações da simulação de monte durante a Segunda

Guerra Mundial. Os autores exemplificam o estimador θ como o resultado da avaliação de

uma integral, como se segue:

( )dxxfb

a∫= .θ (4.5)

Então, de maneira análoga às expressões apresentadas anteriormente e fazendo uso

do teorema do limite central, tem-se que o valor esperado para a integral é dado por:

∑=

=n

iif

n 1

1θ (4.6)

Como forma de se exemplificar alguns conceitos da simulação de Monte Carlo,

apresenta-se um exemplo simples e didático que ilustra seu desenvolvimento. Considerando

o lançamento de uma moeda não viciada, realiza-se a contagem do número de caras e do

numero de coroas obtidas. Sabe-se, intuitivamente, que o valor esperado para uma

seqüência de lançamentos é um número de caras iguais ao número de coroas. Entretanto, se

uma simulação deste jogo fosse realizada com um número finito de lançamentos aleatórios,

espera-se que o número de caras apresente-se, ao menos, próximo do número de coroas. A

tabela 4.1 apresenta os resultados obtidos para esta simulação do lançamento de moedas.

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30

Tabela 4.1 – Freqüência Relativa dos resultados obtidos para um lançamento de uma moeda

realizado n vezes.

n Caras Coroas 10 40,00% 60,00% 20 50,00% 50,00% 50 42,00% 58,00% 100 51,00% 49,00% 500 51,20% 48,80%

1000 49,20% 50,80% 5000 49,84% 50,16%

Pode-se observar que a ocorrência dos resultados obtidos se apresenta de maneira

semelhante, embora uma variação seja observada devido à aleatoriedade dos resultados.

Sabe-se que na medida em que o número de repetições desse experimento cresce, os

resultados convergem para o valor de 50% e o custo computacional se eleva.

4.3 – Amostragem Aleatória Simples (AAS) Entende-se por amostragem aleatória simples o processo de geração de números

aleatórios. Sabe-se, entretanto, que o processo de geração dos números aleatórios segue

uma seqüência lógica ou uma expressão de recorrência, o que faz com o que o processo

perca sua parte de sua aleatoriedade. Assim, a literatura atribui o nome de pseudo-aleatórios

aos números determinísticos gerados via computador. Entretanto, neste trabalho, por

questões de difusão de nomenclatura, utiliza-se o termo aleatório em substituição do termo

pseudo-aleatório.

Banks & Carson (1996) descrevem os números aleatórios como o ingrediente básico

de uma simulação e afirmam que uma seqüência de números aleatórios deve apresentar

uniformidade e independência. Sabe-se que os números aleatórios apresentam uma

distribuição uniforme entre 0 e 1, cuja função de distribuição de probabilidades é dada por:

⎩⎨⎧ ≤≤

=0

10,1)(

xxf (4.7)

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31

O valor esperado e a variância dos números aleatórios, iR , gerados são dados,

respectivamente, por:

∫=1

0

)( xdxRE i = 21 (4.8)

∫ −=1

0

22 )]([)( dxxExRVar i = 121 (4.9)

A técnica mais comum de geração de números aleatórios é o chamado método da

congruência linear, proposto por Lehmer (1951), que apresenta uma fórmula de recorrência

para a geração dos números aleatórios, como se segue:

mcaXX ii mod)(1 +=+ (4.10)

mX

R ii = (4.11)

A expressão 4.10 apresenta os parâmetros “a”, “c” e “m”, que são números inteiros.

O valor inicial 1X é chamado de semente, o parâmetro “a” é chamado de constante

multiplicadora, “c” é o incremento e “m” refere-se ao módulo. A operação “mod m” refere-

se ao resto da divisão por “m”. Assim, a escolha dos parâmetros influi significativamente

nas propriedades estatísticas e no tamanho do ciclo de recorrência, uma vez que os números

aleatórios, gerados pela expressão 4.11, terão valores repetidos após um ciclo de m

números.

Moler (2004) apresenta, como exemplo, os seguintes parâmetros: a = 13, c = 0, m =

31 e 1X = 1. Assim, os dez primeiros números recorrentes são apresentados na tabela 4.2.

Estes números recorrentes geram os números aleatórios apresentados na tabela 4.3.

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32

Tabela 4.2 – Números recorrentes utilizados para demonstração do método

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xi 1,0 13,0 14,0 27,0 10,0 6,0 16,0 22,0 7,0 29,0

Tabela 4.3 – Números aleatórios originados pelo método de congruência linear a partir dos

números recorrentes da tabela 4.2

I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ri 0,0323 0,4194 0,4516 0,8710 0,3226 0,1935 0,5161 0,7097 0,2258 0,9355

Moler (2004) ainda apresenta os parâmetros de recorrência utilizados nas versões

anteriores do software Matlab:

2147483647120

168077

31

5

=−=

===

mca

Dessa forma, o ciclo de números aleatórios para este software, em suas versões

anteriores, era de mais de 2 bilhões de valores antes do início das repetições dos valores.

A qualidade de geração dos números aleatórios é um aspecto importante nas

formulas de recorrência. Assim, Banks & Carson (1996) descrevem os erros mais comuns

na geração de números aleatórios:

1 – Os números gerados podem não se apresentar uniformemente distribuídos;

2 – Os números gerados podem ser considerados discretos ao invés de contínuos.

3 – A média e a variância dos números gerados podem apresentar valores muito reduzidos

ou muito elevados.

4 – Pode haver ocorrência de autocorrelação entre os números.

5 – Pode Haver números extremamente elevados ou reduzidos em relação aos números

adjacentes

6 –Pode Haver números muito superiores à média seguidos de números bastante inferiores.

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33

De maneira a garantir a qualidade dos números gerados sobre os aspectos de

uniformidade e independência, diversos testes podem ser realizados. Uma descrição

detalhadas dos testes pode ser encontrada em Banks & Carson (1996).

Uma vez definido o processo de geração dos números aleatórios, gera-se uma

distribuição normal padrão a partir da distribuição uniforme anteriormente descrita. O

método mais conhecido, desenvolvido por Box & Muller (1958), gera uma distribuição

normal padrão através das seguintes expressões:

)2cos(2 211 RLnRZ π−= (4.12)

)2(2 212 RsenLnRZ π−= (4.13)

Observa-se que são necessário dois números aleatórios, gerados segunda uma

distribuição uniforme entre 0 e 1, para a obtenção de dois números gerados sobre uma

distribuição normal padrão.

4.3.1 – Precificação de opções européias com AAS Utilizando-se a expressão 2.37, que rege os preços do ativo objeto, e conhecendo-se

o payoff de uma call européia, tem-se:

if ZTTr

T eSSσσ +−

=)

21(

0

2

(4.14)

}0,max{ KSC T −=+ (4.15)

De forma a exemplificar a simulação da call européia, realizam-se somente 10

simulações para uma opção com os seguintes parâmetros.

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34

Tabela 4.4 – Parâmetros para precificação de uma opção européia de compra

0S [$] 50

fr [a.a] (Cap. Contínua)

0,10 (0,905)

σ [a.a] 0,40

T [ano] 0,50

K [$] $ 40

Assim, a tabela 4.5 apresenta os resultados da simulação:

Tabela 4.5 – Resultados da simulação de Monte Carlo para os parâmetros da tabela 4.4 de

forma a exemplificar o funcionamento do método

(1) (2) (3) (4) (5) (6) N Z ST Payoff Média C 1 -1,3823 33,96 0,00 21,16 20,13 2 1,0188 66,97 25,65 3 -1,9198 29,17 0,00 4 -0,0434 49,59 9,12 5 -0,2989 46,13 5,83 6 1,6317 79,64 37,71 7 2,1626 92,55 49,98 8 0,2816 54,36 13,66 9 2,8762 113,24 69,67 10 -1,2691 35,06 0,00

A coluna 1 apresenta o número de cada simulação gerada. A coluna 2 apresenta os

número aleatórios gerados sobre uma distribuição normal padrão. A coluna 3 e a coluna 4

apresentam, respectivamente, o preço final do ativo objeto e o payoff da opção de compra.

A coluna 5 representa a média dos valores da coluna 4. A coluna 6 representa o prêmio da

opção obtido pelo valor presente da coluna 5.

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35

Sabe-se que a simulação de uma opção européia não apresenta muito sentido diante

da existência da solução analítica de Black & Scholes. Entretanto, a existência de uma

solução analítica serve como parâmetro para se avaliar a qualidade dos parâmetros gerados

na simulação. Assim, procedendo-se o cálculo do prêmio da opção de compra definida

pelos parâmetros da tabela 4.4 via solução de Black & Scholes, obtém-se o valor de R$ 13,04. Dessa forma, na medida em que o número de simulações cresce, o valor de R$ 20,13,

apresentado na tabela 4.5 tende a convergir para o valor R$ 13,04.

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36

Capítulo 5

Técnicas de Redução de Variância

As chamadas técnicas de redução de variância dizem respeito a diferentes

metodologias de amostragem dos números aleatórios com o intuito de se reduzir o tempo de

processamento das simulações e aumentar a eficiência das simulações geradas pela

amostragem aleatória simples. Assim, para determinado nível de precisão, é necessário um

número menor de simulações e conseqüentemente um menor esforço computacional.

A chamada redução de variância é medida, geralmente, através do erro padrão das

estimativas. Dessa forma, quanto menor o erro padrão obtido, maior a precisão e qualidade

das simulações. Entretanto, o aumento de precisão não deve ser obtido às custas de uma

aumento do tempo de processamento, uma vez que sabemos que um simples ganho de

precisão poderia ser obtido com o aumento do número de simulações de um problema.

Realiza-se, a seguir, uma revisão das principais técnicas de redução de variância

empregadas na simulação de monte Carlo.

5.1 – Variáveis Antitéticas A técnica de variáveis antitéticas é a mais simples e mais utilizada em problemas de

precificação. A redução de variância obtida por esta técnica é obtida através de uma

indução de correlação negativa na amostra aleatória simples. Charnes (2000) apresenta a

técnica partindo do principio que se um conjunto de números aleatórios representado por

iZ apresenta uma distribuição normal, então, - iZ também apresentará a mesma

distribuição. Dessa forma, obtém-se duas estimativas, 1θ e 2θ , geradas, respectivamente,

pela seqüência de números aleatórios iZ e - iZ . Assim, uma estimativa com menor erro

padrão é obtida pela média das estimativas 1θ e 2θ . Então:

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37

)(21

21 θθθ +=VA (5.1)

Boyle (1997) descreve, de maneira mais formal, como ocorre a redução da variância

nas estimativas. Considerando a expressão 5.1, tem-se a variância de AVθ é dada por:

)1]([21]),[][2(

41]

2[][ 1211

21 ρθθθθθθ

θ +=+=+

= VarCovVarVarVar AV (5.2)

Sendo que ][][ 21 θθ VarVar = e ρ representa a correlação existente entre 1θ e 2θ .

Assim, percebe-se que a variância de AVθ será inferior à soma das variâncias de 1θ e 2θ

quando uma correlação negativa for induzida entre as estimativas.

Considerando a estimativa do preço de uma opção de compra européia, tem-se, de

maneira semelhante ao exposto, que:

=VAC ∑=

+2

1

)(2

)(1

21

i

ii CCn

(5.3)

Sendo )(1

iC o payoff obtido pela seqüência de números aleatórios iZ e )(2

iC o payoff

obtido pela seqüência de número aleatórios - iZ .

5.2 – Match de Momentos A técnica do match de momentos foi proposta por Barraquand (1995) e foi

primeiramente denominada de “Quadratic resampling”. A idéia desta técnica consiste na

correção das amostras aleatórias geradas de maneira que elas apresentem as características

das distribuições teóricas sobre as quais elas foram geradas. Assim, no caso dos números

aleatórios gerados sobre uma distribuição normal padrão, força-se que a média da amostra

apresente o valor zero, assim como o desvio padrão apresente o valor 1. Considerando Z~ o

valor médio dos números aleatórios iZ gerados sobre a distribuição normal padrão, tem-se:

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38

ZZZ ii~~ −= (5.4)

Assim, constrói-se uma variável iZ~ que apresenta média igual a zero e que substitui

a variável iZ no cálculo das estimativas. Considerando a expressão do caminho aleatório

dos preços, tem-se que os novos preços finais serão dados por:

if ZTTriT eSS

~)21(

0)(

2~ σσ +−= (5.5)

Então, os payoffs de uma opção podem ser computados para os novos preços finais )(~ i

TS .

A expressão 5.4 representa o chamado match do primeiro momento, que é a média.

Outros momentos podem ser corrigidos para que apresentem as mesmas características das

distribuições teóricas. Boyle (1997) apresenta o match para o segundo momento, que faz a

correção da média e do desvio padrão da amostra. Tem-se:

ZZ

Zii S

ZZZ µσ

+−= )~(~ (5.6)

Sendo Zµ e Zσ , respectivamente, a média e o desvio padrão da distribuição teórica

sobre a qual os números aleatórios foram gerados. ZS representa o desvio amostral dos

números aleatórios gerados. Então, para o caso da distribuição normal padrão a expressão

5.6 é apresentada como sendo:

Z

ii S

ZZZ

)~(~ −= (5.7)

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39

A expressão 5.7 apresenta o match do segundo momento para o caso da distribuição

normal padrão. A nova variável iZ~ é, então, utilizada na expressão 5.5 para a geração dos

preços finais do ativo.

Boyle (1997) ressalta que a variável iZ~ originalmente não apresentaria uma

distribuição normal, o que introduz um viés na estimativa do prêmio de uma opção.

Entretanto, este viés apresenta um valor muito pequeno para a maioria dos problemas

financeiros de interesse prático. O autor também chama atenção para o fato de que

intervalos de confiança para a estimativa do prêmio da opção não podem ser computados

devido ao viés introduzido na amostra.

5.3 – Variável Controle Esta técnica de redução de variância é aplicada, usualmente, em situações em que o

problema de estudo não apresenta uma solução analítica. Assim, utiliza-se a solução

analítica de um problema semelhante como forma de controlar a variação das amostras

geradas para o problema com solução desconhecida. Um exemplo comum de emprego

desta técnica na precificação de opções é o caso das opções asiáticas. Sabe-se que a opção

asiática com média aritmética não apresenta uma solução analítica conhecida, mas a opção

asiática com média geométrica apresenta uma solução fechada. Assim, utiliza-se a solução

para o caso geométrico como controle para o caso aritmético.

Bratley, Fox & Schrage (1987) explicam que um ajuste no valor estimado por

simulação do problema sem solução analítica é obtido ao se aplicar um coeficiente da

diferença entre o valor analítico e o valor obtido por simulação. Essa diferença serve como

controle para a estimação do por simulação do problema sem solução analítica.

Saliby, Marins & Santos (2003) aplicaram esta técnica de redução de variância para

o caso das opções asiáticas obtidas com média aritmética e geométrica. Os autores

consideraram:

)( PGCPAPAVC −+= β (5.8)

Onde:

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40

PAVC = prêmio aritmético estimado por Variável de Controle;

PA = prêmio aritmético estimado por simulação;

β = coeficiente angular da regressão entre PA e PG;

C = prêmio obtido por solução analítica para a opção asiática com média geométrica;

PG = prêmio obtido por simulação para a opção asiática com média geométrica.

Assim, considera-se a realização de duas simulações. Uma simulação é aplicada à estimativa

do problema sem solução analítica e a outra é aplicada ao problema com solução analítica. Utiliza-

se a diferença entre o prêmio geométrico obtido analiticamente e o prêmio geométrico estimado por

simulação ao prêmio aritmético também estimado por simulação.

5.4 – Hipercubo Latino A técnica de amostragem por hipercubo latino foi apresentada por Mckay (1979). A

idéia básica desta técnica consiste na divisão do espaço amostral em estratos de forma que

um número aleatório seja obrigatoriamente sorteado em cada estrato. Assim, garante-se

alguma regularidade da distribuição sobre a qual a simulação é feita. A aleatoriedade da

geração é obtida pela permutação aleatória da ordem em que os números, gerados dentro de

cada estrato, serão sorteados.

Considerando um problema de dimensão d, pode-se dividir cada dimensão em K

estratos, totalizando KD estratos no espaço amostral. Seja um problema bidimensional onde

se deseja a geração de uma amostra com 10 números aleatórios em cada dimensão. Assim,

tem-se 102 estratos, com um número aleatório gerado em cada estrato e para cada

dimensão.

De maneira mais formal, a geração por hipercubo latino pode ser descrita como:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎟

⎞⎜⎝

⎛ +−= −−

nRandi

FnRandi

Fxh iii

11 1

(5.9)

Sendo:

n = tamanho da amostra de números aleatórios a serem gerados,

i = 1,2,3, ..., n;

xhi = i-ésimo elemento do primeiro conjunto de valores da amostra;

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41

F-1 = inversa da função de distribuição acumulada da variável X;

Randi = i-ésimo número aleatório entre 0 e 1.

As tabelas 5.1 e 5.2 apresentam, respectivamente para o Hipercubo Latino e

Amostragem Aleatória Simples, 10 números aleatórios gerados em cada dimensão, para um

problema bidimensional. Os gráficos 5.1 e 5.2 apresentam o hipercubo unitário, para duas

dimensões, gerado para os dados das tabelas 5.1 e 5.2. No caso do Hipercubo Latino,

observa-se que cada estrato, em cada dimensão, garante a presença de um número aleatório.

O mesmo não ocorre com a amostragem aleatória simples, conforme figura 5.2. Vê-se, no

caso da amostragem aleatória simples, que para a dimensão 1, na abscissa, os seguintes

extratos não foram preenchidos: [0,1;0,2], [0,2;0,3], [0,6;0,7], [0,7;0,8], [0,9;1,0]. Para a

dimensão 2, na ordenada, os seguintes estratos não foram preenchidos: [0,0;01], [0,6;0,7],

[0,7;0,8], [0,8;0,9].

Tabela 5.1 – Números aleatórios gerados por Hipercubo Latino para duas dimensões

HL-1 HL-2 0,138 0,372 0,736 0,693 0,508 0,261 0,691 0,109 0,075 0,454 0,884 0,524 0,415 0,856 0,343 0,088 0,907 0,738 0,237 0,963

Tabela 5.2 – Números aleatórios gerados por Amostragem Aleatória Simples para duas

dimensões

AAS-1 AAS-2 0,369 0,950 0,014 0,288 0,087 0,260 0,092 0,536 0,533 0,164 0,325 0,324 0,498 0,423 0,880 0,131 0,035 0,547 0,386 0,209

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42

Gráfico 5.1 – Hipercubo unitário bidimensional para amostragem por Hipercubo Latino

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Gráfico 5.2 – Hipercubo unitário bidimensional para amostragem aleatória simples

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

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43

Para a obtenção de números aleatórios gerados sobre uma distribuição específica,

utiliza-se a função inversa correspondente à distribuição do problema a ser modelado. No

caso das opções, utiliza-se a função inversa da distribuição normal para os parâmetros de

média zero e desvio unitário.

5.5 – Amostragem Descritiva A implementação da técnica de Amostragem Descritiva é muito semelhante à

implementação da amostragem por hipercubo latino. Entretanto, conforme apresentado em

Saliby (1980), a Amostragem descritiva propõem um controle sobre o processo de

amostragem. Saliby (1990) argumenta que as distribuições dos fatores de risco do problema

já são determinadas durante a modelagem do problema.

Enquanto o hipercubo latino seleciona um número aleatório dentro de cada estrato, a

amostragem descritiva utiliza o ponto médio em cada estrato. Dessa forma, a amostragem

descritiva faz uso de uma escolha determinística dos valores de entrada no modelo de

simulação. A aleatoriedade do processo, como no hipercubo latino, é feita pela permutação

aleatória da ordem em que os números gerados em cada estrato são apresentados.

A geração pela técnica de amostragem descritiva é feita pela expressão 5.10.

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

= −−

niF

niFxdi

5.05.01 11

(5.10)

Sendo:

n = tamanho da amostra descritiva;

i = 1,2,3, ..., n;

xdi = i-ésimo elemento do conjunto de valores da amostra descritiva;

F-1 = inversa da função de distribuição acumulada da variável modelada pela simulação.

A tabela 5.3 e o gráfico 5.3 apresentam um problema bidimensional com a geração

de 10 números aleatórios, definindo 10 estratos, para cada dimensão.

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44

Tabela 5.3 – Números aleatórios gerados por Amostragem Descritiva para duas dimensões

AD1 AD2 0,15 0,35 0,75 0,65 0,55 0,25 0,65 0,15 0,05 0,45 0,85 0,55 0,45 0,85 0,35 0,05 0,95 0,75 0,25 0,95

Gráfico 5.3 – Hipercubo unitário bidimensional para Amostragem Descritiva

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

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45

Capítulo 6

Experimentos e Resultados

Este capítulo apresenta os experimentos realizados com as opções do tipo européias

e as opções exóticas. Estes ensaios têm como objetivo a avaliação das técnicas de redução

de variância no ganho de precisão das estimativas do prêmio das opções obtidas por

simulação, além de ganhos referentes à redução do erro padrão destas estimativas. Sabe-se

que as opções dependem de diversos parâmetros que influenciam seu preço. Assim,

buscou-se, nos experimentos, a investigação da sensibilidade da simulação para alguns

destes parâmetros, conforme o tipo da opção estudada.

6.1 – Opção Européia plain vanilla Diversos estudos de simulação já foram feitos sobre as opções européias, as mais

simples das opções apresentadas neste trabalho. Entretanto, não se tem conhecimento de

estudos que busquem, de uma maneira geral, levantar as situações em que as técnicas de

redução de variância apresentariam ganhos significativos em relação à técnica de

amostragem tradicional, a Amostragem Aleatória Simples (AAS).

A equação de Black & Scholes e o erro padrão das estimativas de prêmio foram os

controles utilizados neste experimento para verificação da qualidade das simulações e do

ganho com as técnicas de redução de variância.

A precificação das opções foi realizada utilizando-se o movimento geométrico

browniano, conforme equação 2.37. Nos experimentos que se seguem, o número de

períodos refere-se, de forma simplificada, ao número de dias em que se obtém o preço da

opção, embora este valor possa ser ajustado para qualquer intervalo de tempo.

No caso das opções européias poder-se-ia simular somente o preço final do ativo na

sua data de vencimento, o que não tornaria possível a descrição de um caminho aleatório,

pois somente um preço seria gerado. Neste caso, a simulação seria unidimensional, pois

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46

somente um período seria utilizado. Números de períodos (dimensões) elevados são

necessários, sobretudo, quando se está avaliando as opções exóticas do tipo path dependent.

O número de simulações refere-se ao número de preços aleatórios gerados para cada

período. Assim, uma simulação de 5 períodos de 1000 simulações significa que 1000

simulações foram realizadas em cada um dos 5 dias, definindo assim 5 preços do ativo-

objeto para cada simulação. Outro conceito utilizado neste trabalho foi o do número de

corridas, que se refere somente ao número de repetições de cada experimento.

6.1.1 – Opção Européia plain vanilla: Experimento 1 Este experimento apresenta as simulações para uma opção européia de compra para

os parâmetros da tabela 6.1.1. Destaca-se, mais uma vez, a realização das simulações de

maneira unidimensional, isto é, somente são simulados os preços do ativo objeto na data de

vencimento da opção.

Tabela 6.1.1 – Parâmetros de Cálculo das opções de compra européias utilizadas neste

experimento

S0 Preço Inicial do Ativo-objeto da opção em t=0 $50

Rf Taxa anual de juros livre de risco com capitalização Discreta (Capit. contínua) 10% ou (9,531%)

K Preços de Exercícios [$46, $47, $48, $49, $50, $51, $52, $53, $54] σ Volatilidade Anual do ativo [10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 35%, 40%] T Ponto(s) da Trajetória 1 T Prazo de vencimento das opções em dias 42 No de observações por corrida 1000 No de corridas 30

A tabela 6.1.2 apresenta os prêmios das opções européias de compra para os

parâmetros da tabela 6.1.1, segundo a expressão de Black & Scholes. Estes prêmios

serviram de controle para os demais prêmios obtidos com as outras técnicas de

amostragem, conforme resultados apresentados nos anexos 1 e 2 (tabelas 6.1.3 e 6.1.4), que

apresentam os prêmios, erros-padrão e erros relativos entre os valores simulados e os

valores de Black & Scholes, em função de diferentes preços de exercícios e diferentes

volatilidades. As informações presentes nos anexos 1 e 2 (tabelas 6.1.3 e 6.1.4) são

apresentadas, de forma condensada, nos gráficos 6.1.1, 6.1.2, 6.1.3 e 6.1.4.

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47

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,7297 4,7893 4,9358 5,1507 5,4118 5,7036 6,0164 K2=47 3,7621 3,8836 4,0984 4,3709 4,6780 5,0069 5,3499 K3=48 2,8310 3,0413 3,3285 3,6546 4,0021 4,3623 4,7307 K4=49 1,9795 2,2882 2,6391 3,0086 3,3875 3,7720 4,1597 K5=50 1,2622 1,6462 2,0398 2,4373 2,8366 3,2367 3,6373 K6=51 0,7215 1,1281 1,5352 1,9423 2,3494 2,7563 3,1629 K7=52 0,3647 0,7341 1,1240 1,5223 1,9247 2,3294 2,7354 K8=53 0,1614 0,4527 0,8002 1,1732 1,5596 1,9539 2,3529

K9=54 0,0622 0,2643 0,5537 0,8891 1,2502 1,6267 2,0131

Tabela 6.1.2 - Prêmios da opção européia de compra obtidos via expressão de Black & Scholes para diferentes volatilidades anuais e preços de exercícios, sendo os demais parâmetros descritos na tabela 6.1.1

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48

Redução de Variância - Opção Européia

0,00

0,010,020,030,04

0,050,060,07

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Redução de Variância - Opção Européia

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de ExercícioE

rro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Redução de Variância - Opção Européia

0,000,020,040,060,080,100,120,140,160,18

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Redução de Variância - Opção Européia

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.1.1 – Erro-padrão das estimativas de prêmio das opções de compra, por diferentes técnicas de amostragem, em função dos preços de exercícios. Os demais parâmetros são apresentados na tabela 6.1.1, considerando uma trajetória com 1 dimensão para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.1.2 – Erro-padrão das estimativas de prêmio das opções de compra, por diferentes técnicas de amostragem, em função dos preços de exercícios. Os demais parâmetros são apresentados na tabela 6.1.1, considerando uma trajetória com 1 dimensão para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto.

(a) (b)

(a) (b)

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49

Erro Relativo - Opção Européia

0,00%1,00%2,00%3,00%4,00%5,00%6,00%7,00%8,00%9,00%

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Per

cent

ual

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Erro Relativo - Opção Européia

0,00%

0,50%1,00%1,50%2,00%

2,50%3,00%3,50%

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Per

cent

ual

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Erro Relativo - Opção Européia

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Per

cent

ual

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Erro Relativo - Opção Européia

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Per

cent

ual

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.1.3 – Erro-relativo, em função dos preços de exercícios, entre as estimativas de prêmio das opções de compra obtidas por simulação e os valores obtidos via solução de Black & Scholes para os parâmetros apresentados na tabela 6.1.1, considerando uma trajetória com 1 dimensão para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.1.4 – Erro-relativo, em função dos preços de exercícios, entre as estimativas de prêmio das opções de compra obtidas por simulação e os valores obtidos via solução de Black & Scholes para os parâmetros apresentados na tabela 6.1.1, considerando uma trajetória com 1 dimensão para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto.

(a) (b)

(a) (b)

Page 70: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

50

Para o caso da simulação de Monte Carlo quando apenas uma dimensão é utilizada,

ou seja, quando somente um período da trajetória do ativo é gerado, existem algumas

peculiaridades nos resultados. Sabe-se que nesta situação a técnica de Amostragem

Descritiva não apresenta erro padrão, uma vez que todas as suas estimativas serão iguais.

De maneira semelhante, as estimativas da técnica de Hipercubo Latino apresentam seus

resultados bastante próximos de zero. Assim, o erro padrão destas estimativas só pode ser

auferido se forem computadas mais dimensões durante a geração da trajetória do ativo.

Uma discussão mais sólida sobre este assunto é apresentada por Saliby (1990).

Os gráficos 6.1.1 e 6.1.2 revelam que o erro-padrão, da estimativa obtida segundo a

técnica de Amostragem Aleatória Simples (AAS), manteve-se elevado em relação às

demais técnicas para os preços de exercícios inferiores ao preço inicial de geração do ativo,

que foi $50. Nesta situação, as demais técnicas de redução de variância apresentam um

ganho bastante significativo na redução do erro padrão das estimativas em relação ao erro

padrão da AAS. Entretanto, na medida em que os preços de exercício aumentam e as

opções começam a ficar fora do dinheiro, o ganho relativo de redução no erro padrão é

bastante reduzido. Percebe-se, então, que o erro padrão da AAS reduz-se a um nível

semelhante ao das demais técnicas de redução de variância.

Percebe-se, também, que a elevação da volatilidade do ativo objeto faz com que o

erro padrão aumente, mas o erro padrão da AAS continua muito superior às demais técnicas

para opções dentro do dinheiro, ou seja, com preços de exercício inferior a $50. Vê-se,

então, que o uso das chamadas técnicas de redução de variância não fornece ganhos

significativos na medida em que o preço de exercício se distancia do preço inicial do ativo-

objeto de forma a tornar os prêmios das opções de compra muito fora do dinheiro e,

portanto, próximos de zero.

Os gráficos 6.1.3 e 6.1.4 apresentam os erros percentuais dos prêmios obtidos por

simulação e o preço da opção obtido analiticamente via a fórmula de Black & Scholes,

sendo a base o preço obtido analiticamente. Percebe-se que o erro relativo diminui à

medida que a volatilidade aumenta. Verifica-se, ainda, que o erro relativo para os prêmios

obtidos pelas demais técnicas de redução de variância foram menores do que os obtidos via

AAS. Considerando que o erro padrão destas técnicas foi menor do que o da AAS, o

Page 71: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

51

intervalo de confiança para o valor do prêmio é mais fechado e, portanto, acarreta uma

melhor precisão nas estimativas.

6.1.2 – Opção Européia plain vanilla: Experimento 2 Este experimento é semelhante ao experimento anterior, entretanto, utilizaram-se

simulações com 1 e 42 dimensões na precificação das opções européias de compra, de

forma a se avaliar o efeito da dimensionalidade na qualidade das simulações. Os parâmetros

utilizados estão apresentados na tabela 6.1.5.

Realizou-se, também, uma outra seqüência de simulações para um intervalo de

preços de exercícios diferentes. Assim, este experimento apresenta simulações para o

intervalo de $46 a $54 e de $30 a $70.

De forma semelhante ao experimento anterior, os anexos 3, 4 e 5 (tabelas 6.1.6,

6.1.7 e 6.1.8) apresentam informações referentes aos prêmios, erro-padrão e erros relativos

das estimativas simuladas, cujas informações encontram-se condensadas nos gráficos 6.1.5,

6.1.6, 6.1.7 e 6.1.8.

Tabela 6.1.5 - Parâmetros de Cálculo das opções de compra européias utilizadas neste

experimento

S0 Preço Inicial do Ativo-objeto da opção em t=0 $50

Rf Taxa anual de juros livre de risco com capitalização Discreta (Capit. contínua) 10% ou (9,531%)

K Preços de Exercícios

[$46, $47, $48, $49, $50, $51, $52, $53, $54] [$30, $35, $40, $45, $50, $55, $60, $65, $70]

σ Volatilidade Anual do ativo [10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 35%, 40%] T Pontos da Trajetória 1 e 42 T Prazo de vencimento das opções em dias 42 No de observações por corrida 1000 No de corridas 30

Page 72: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

52

Redução de Variância - Opção Européia

0,00

0,010,020,030,04

0,050,060,07

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Redução de Variância - Opção Européia

0,00

0,020,040,060,08

0,100,120,14

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de ExercícioEr

ro P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Redução de Variância - Opção Européia

0,000,020,040,060,080,100,120,140,160,18

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Redução de Variância - Opção Européia

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.1.5 – Erro-padrão para as estimativas de prêmio das opções de compra obtidas por simulação para os parâmetros apresentados na tabela 6.1.5, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.1.6 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções de compra obtidas por simulação para os parâmetros apresentados na tabela 6.1.5, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto.

(a) (b)

(a) (b)

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53

Erro Relativo - Opção Européia

0,00%

2,00%

4,00%

6,00%

8,00%

10,00%

12,00%

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Per

cent

ual

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Erro Relativo - Opção Européia

0,00%0,50%1,00%1,50%2,00%2,50%3,00%3,50%4,00%4,50%

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Per

cent

ual

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Erro Relativo - Opção Européia

-0,50%

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Err

o Pe

rcen

tual

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Erro Relativo - Opção Européia

-0,50%

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Err

o Pe

rcen

tual

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.1.7 – Erro relativo para as estimativas de prêmio das opções de compra obtidas por simulação e os valores obtidos via solução de Black & Scholes para os parâmetros apresentados na tabela 6.1.5, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.1.8 – Erro relativo para as estimativas de prêmio das opções de compra obtidas por simulação e os valores obtidos via solução de Black & Scholes para os parâmetros apresentados na tabela 6.1.5, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto.

(a) (b)

(a) (b)

Page 74: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

54

Redução de Variância - Opção Européia

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Erro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Redução de Variância - Opção Européia

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

30 35 40 45 50 55 60 65 70Er

ro P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Redução de Variância - Opção Européia

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Erro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Redução de Variância - Opção Européia

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Erro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.1.9 – Erro-padrão para as estimativas de prêmio das opções de compra obtidas por simulação para os parâmetros apresentados na tabela 6.1.5, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.1.10 – Erro-padrão para as estimativas de prêmio das opções de compra obtidas por simulação para os parâmetros apresentados na tabela 6.1.5, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto.

(a) (b)

(a) (b)

Page 75: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

55

Conforme discussão anterior, neste experimento, onde foram utilizadas 42

dimensões na simulação de Monte Carlo, pôde-se avaliar o erro padrão para as técnicas de

amostragem descritiva e Hipercubo Latino.

Os gráficos 6.1.5 e 6.1.6 revelam que, de maneira semelhante ao experimento para

uma única dimensão, o erro padrão da estimativa obtida segundo a técnica de Amostragem

Aleatória Simples (AAS) mantém-se elevado em relação às demais técnicas para os preços

de exercícios inferiores ao preço inicial de geração do ativo. Nesta situação, as demais

técnicas de redução de variância continuam a apresentar um ganho bastante significativo na

redução do erro padrão das estimativas em relação ao erro padrão da AAS. Percebe-se,

ainda, a tendência de queda no erro padrão para o caso da AAS à medida que o preço de

exercício aumenta. Os gráficos 6.1.9 e 6.1.10 apresentam os resultados do erro padrão das

estimativas do prêmio para um intervalo maior de preços de exercício. Estes gráficos

revelam que, como discutido anteriormente, o erro padrão da AAS apresenta-se bastante

elevado para opções dentro do dinheiro e sofre uma redução à medida que o preço de

exercício se eleva.

O efeito da volatilidade também se apresentou de forma semelhante ao problema

unidimensional, sendo que a elevação da volatilidade do ativo-objeto faz com que o erro

padrão aumente para toda as técnicas. Pode-se concluir que o efeito do Moneyness, ou seja,

do nível de quão dentro do dinheiro está a opção, apresenta-se como o principal

componente na determinação da redução de variância das estimativas, dentre os parâmetros

estudados.

Pelos gráficos 6.1.7 e 6.1.8, que apresentam os erros relativos para os prêmios da

opções, percebe-se que o erro relativo da AAS apresentou-se bastante reduzido em relação

aos demais. Entretanto, como seu erro padrão foi bastante elevado, o intervalo de confiança

para a estimativa do prêmio é mais aberto. Dessa forma, para determinado nível de

confiança da estimativa, o seu intervalo será sempre mais amplo que os demais, não

garantindo a precisão nas estimativas.

Ressalta-se, ainda, que as técnicas de Moment Matching para o primeiro e segundo

momentos não permitem o calculo do intervalo de confiança, devido ao viés introduzido

durante a amostragem dos números aleatórios.

Page 76: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

56

6.2 – Opção Barreira As opções do tipo barreira, conforme discussão do capítulo 03, apresentam a

característica de terem seus payoffs dependentes não só dos preços de exercício, mas

também das barreiras impostas aos preços do ativo objeto. Os experimentos realizados aqui

para as opções com barreira foram feitos para as opções do tipo Up and Out Call, que

foram precificadas por diferentes técnicas de redução de variância para diversos parâmetros

de cálculo. Deve-se lembrar o fato destas opções exóticas serem do tipo path dependents,

assim, foram utilizados 42 dimensões no cálculo das estimativas de premio.

O presente experimento foi feito para se investigar os efeitos da variação dos

parâmetros sobre as estimativas de premio simuladas.

As tabelas 6.2.2 e 6.2.3 apresentam os prêmios das opções barreira obtidos pela

solução analítica apresentada no capítulo 03 sob a fórmula 3.1 para diferentes níveis da

barreira e segundo os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1. O anexos 6, 7, 8, 9 e 10

(tabelas 6.2.7 a 6.2.11) apresentam as estimativas de prêmio, para diferentes níveis da

barreira, e os erros-padrão obtidos por simulação. As informações destas tabelas anexas

apresentam-se condensadas nos gráficos 6.2.1 a 6.2.10.

S0 Preço Inicial do Ativo-objeto da opção em t=0 $50

Rf Taxa anual de juros livre de risco (Capitalização Discreta)

0,1

[$46, $47, $48, $49, $50, $51, $52, $53, $54] K Preços de Exercícios [$30, $35, $40, $45, $50, $55, $60, $65, $70]

σ Volatilidade Anual do ativo [10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 35%, 40%]

T Pontos da Trajetória [42]

T Prazo de vencimento das opções em dias 42

Número de observações por corrida 1000

Número de corridas 30 B Barreiras [$60, $70, $80, $90, $100]

Tabela 6.2.1 – Parâmetros utilizados para as simulações das opções com Barreira do tipo

Up and Out.

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57

60 σ1 = 0,1 σ2 = 0,15 σ3 = 0,2 σ4 = 0,25 σ5 = 0,3 σ6 = 0,35 σ7 = 0,4 K1=30 20,4716 20,3060 19,4116 17,8237 15,9652 14,1235 12,4244 K2=35 15,5506 15,4125 14,6660 13,3401 11,7887 10,2557 8,8513 K3=40 10,6296 10,5190 9,9222 8,8709 7,6613 6,4947 5,4568 K4=45 5,7094 5,6512 5,2913 4,6485 3,9196 3,2345 2,6441 K5=50 1,2619 1,5901 1,6811 1,5380 1,2990 1,0564 0,8465 K6=55 0,0206 0,1175 0,1888 0,1939 0,1679 0,1359 0,1076 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

70 σ1 = 0,1 σ2 = 0,15 σ3 = 0,2 σ4 = 0,25 σ5 = 0,3 σ6 = 0,35 σ7 = 0,4

K1=30 20,4728 20,4728 20,4700 20,4185 20,1865 19,6676 18,8630 K2=35 15,5516 15,5516 15,5492 15,5042 15,3025 14,8548 14,1669 K3=40 10,6304 10,6304 10,6301 10,6042 10,4677 10,1488 9,6495 K4=45 5,7100 5,7350 5,8239 5,9511 6,0186 5,9444 5,7175 K5=50 1,2622 1,6462 2,0384 2,4100 2,6927 2,8317 2,8264 K6=55 0,0208 0,1459 0,3714 0,6422 0,8832 1,0396 1,1022 K7=60 0,0000 0,0033 0,0332 0,1060 0,1939 0,2617 0,2967 K8=65 0,0000 0,0000 0,0013 0,0080 0,0189 0,0285 0,0340

K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabela 6.2.3 – Prêmios das opções com barreira obtidos por solução analítica. A tabela foi construída para barreira em nível de $70 para diferentes volatilidades anuais do ativo objeto nas colunas e para diferentes preços de exercícios nas linhas. Os demais parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.2.1.

Tabela 6.2.2 – Prêmios das opções com barreira obtidos por solução analítica. A tabela foi construída para barreira em nível de $60 para diferentes volatilidades anuais do ativo objeto nas colunas e para diferentes preços de exercícios nas linhas. Os demais parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.2.1.

Page 78: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

58

80 σ1 = 0,1 σ2 = 0,15 σ3 = 0,2 σ4 = 0,25 σ5 = 0,3 σ6 = 0,35 σ7 = 0,4 K1=30 20,4728 20,4728 20,4728 20,4725 20,4648 20,4165 20,2671 K2=35 15,5516 15,5516 15,5516 15,5514 15,5461 15,5092 15,3916 K3=40 10,6304 10,6304 10,6322 10,6448 10,6764 10,7088 10,6948 K4=45 5,7100 5,7350 5,8256 5,9849 6,1925 6,4099 6,5834 K5=50 1,2622 1,6462 2,0398 2,4371 2,8318 3,2028 3,5129 K6=55 0,0208 0,1459 0,3725 0,6625 0,9874 1,3162 1,6097 K7=60 0,0000 0,0033 0,0339 0,1196 0,2634 0,4445 0,6279 K8=65 0,0000 0,0000 0,0016 0,0149 0,0544 0,1217 0,2017

K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0013 0,0083 0,0246 0,0472

90 σ1 = 0,1 σ2 = 0,15 σ3 = 0,2 σ4 = 0,25 σ5 = 0,3 σ6 = 0,35 σ7 = 0,4 K1=30 20,4728 20,4728 20,4728 20,4728 20,4727 20,4702 20,4539 K2=35 15,5516 15,5516 15,5516 15,5517 15,5531 15,5576 15,5594 K3=40 10,6304 10,6304 10,6322 10,6450 10,6827 10,7517 10,8437 K4=45 5,7100 5,7350 5,8256 5,9851 6,1979 6,4474 6,7134 K5=50 1,2622 1,6462 2,0398 2,4373 2,8365 3,2349 3,6240 K6=55 0,0208 0,1459 0,3725 0,6627 0,9914 1,3429 1,7018 K7=60 0,0000 0,0033 0,0339 0,1197 0,2665 0,4658 0,7011 K8=65 0,0000 0,0000 0,0016 0,0150 0,0567 0,1376 0,2559

K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0099 0,0352 0,0828

Tabela 6.2.5 – Prêmios das opções com barreira obtidos por solução analítica. A tabela foi construída para barreira em nível de $90 para diferentes volatilidades anuais do ativo objeto nas colunas e para diferentes preços de exercícios nas linhas. Os demais parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.2.1.

Tabela 6.2.4 – Prêmios das opções com barreira obtidos por solução analítica. A tabela foi construída para barreira em nível de $80 para diferentes volatilidades anuais do ativo objeto nas colunas e para diferentes preços de exercícios nas linhas. Os demais parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.2.1.

Page 79: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

59

100 σ1 = 0,1 σ2 = 0,15 σ3 = 0,2 σ4 = 0,25 σ5 = 0,3 σ6 = 0,35 σ7 = 0,4 K1=30 20,4728 20,4728 20,4728 20,4728 20,4728 20,4728 20,4722 K2=35 15,5516 15,5516 15,5516 15,5517 15,5533 15,5599 15,5762 K3=40 10,6304 10,6304 10,6322 10,6450 10,6828 10,7539 10,8590 K4=45 5,7100 5,7350 5,8256 5,9851 6,1980 6,4494 6,7271 K5=50 1,2622 1,6462 2,0398 2,4373 2,8366 3,2366 3,6362 K6=55 0,0208 0,1459 0,3725 0,6627 0,9914 1,3444 1,7125 K7=60 0,0000 0,0033 0,0339 0,1197 0,2666 0,4671 0,7102 K8=65 0,0000 0,0000 0,0016 0,0150 0,0568 0,1387 0,2635

K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0099 0,0361 0,0888

Tabela 6.2.6 – Prêmios das opções com barreira obtidos por solução analítica. A tabela foi construída para barreira em nível de $100 para diferentes volatilidades anuais do ativo objeto nas colunas e para diferentes preços de exercícios nas linhas. Os demais parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.2.1.

Page 80: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

60

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,010,020,030,04

0,050,060,07

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Barreira = $60

Redução de Variância - Opção Barreira

0,000,020,040,060,080,100,120,140,16

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de ExercícioE

rro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Barreira = $60

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Barreira = $60

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,050,100,150,20

0,250,300,35

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Barreira = $60

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.2.1 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Barreiras obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância, variando-se os preços de exercício e para os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto e a barreira como sendo $60. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.2.2 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Barreiras obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância, variando-se os preços de exercício e para os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto e a barreira como sendo $60. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto

(a) (b)

(a) (b)

Page 81: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

61

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,010,020,030,04

0,050,060,07

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Barreira = $70

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,020,040,060,08

0,100,120,14

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Barreira = $70

Redução de Variância - Opção Barreira

0,000,020,040,060,080,100,120,140,160,18

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Barreira = $70

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Barreira = $70

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.2.3 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Barreiras obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância, variando-se os preços de exercício e para os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto e a barreira como sendo $70. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.2.4 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Barreiras obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância, variando-se os preços de exercício e para os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto e a barreira como sendo $70. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto

(a) (b)

(a) (b)

Page 82: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

62

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,010,020,030,04

0,050,060,07

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Barreira = $80

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,020,040,060,08

0,100,120,14

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Barreira = $80

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Barreira = $80

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Barreira = $80

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.2.5 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Barreiras obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância, variando-se os preços de exercício e para os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto e a barreira como sendo $80. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.2.6 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Barreiras obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância, variando-se os preços de exercício e para os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto e a barreira como sendo $80. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto

(a) (b)

(a) (b)

Page 83: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

63

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,010,020,030,04

0,050,060,07

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Barreira = $90

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,020,040,060,08

0,100,120,14

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de ExercícioE

rro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Barreira = $90

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Barreira = $90

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Barreira = $90

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.2.7 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Barreiras obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância, variando-se os preços de exercício e para os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto e a barreira como sendo $90. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.2.8 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Barreiras obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância, variando-se os preços de exercício e para os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto e a barreira como sendo $90. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto

(a) (b)

(a) (b)

Page 84: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

64

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,010,020,030,04

0,050,060,07

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Barreira = $100

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,020,040,060,08

0,100,120,14

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de ExercícioE

rro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Barreira = $100

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Barreira = $100

Redução de Variância - Opção Barreira

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Barreira = $100

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.2.9 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Barreiras obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância, variando-se os preços de exercício e para os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto e a barreira como sendo $100. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.2.10 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Barreiras obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância, variando-se os preços de exercício e para os parâmetros apresentados na tabela 6.2.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto e a barreira como sendo $100. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto

(a) (b)

(a) (b)

Page 85: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

65

As opções com barreiras, por apresentarem a peculiaridade da existência das

barreiras de preços em seus payoffs, revelaram resultados distintos, em parte, aos resultados

do experimento com as opções européias. As fortes descontinuidades causadas pelas

barreiras de preços, neste caso, devem ser avaliadas juntamente com a volatilidade do ativo

objeto. Independente do nível da barreira pôde-se perceber que o erro-padrão das

estimativas foi o mesmo para uma pequena volatilidade do ativo-objeto, neste caso, 10%

a.a. À medida que a volatilidade aumenta, os ativos simulados passam a sofrer a influencia

da barreira de preços, fazendo com que seus payoffs se tornem nulos e, dessa forma,

reduzem o erro-padrão das estimativas para as opções fora do dinheiro.

O efeito moneyness, no que se refere à redução de variância nas estimativas de

prêmios, também foi notado, uma vez que os ganhos de redução do erro-padrão em relação

às técnicas de amostragem aleatória simples (AAS) só estiveram presentes nas opções

muito dentro do dinheiro. Entretanto, à medida que as barreiras aumentavam de valor, as

opções barreiras apresentaram resultados semelhantes às opções européias. Sabe-se, no

entanto, que esta observação já era esperada e condiz com o fato das opções barreiras

convergirem às opções européias à medida que as barreiras de preços se tornam muito

elevadas, fazendo que poucos ou nenhum dos ativos simulados atinja um valor igual ou

superior ao valor da barreira.

Page 86: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

66

6.3 – Opção Binária ou Digital As opções binárias, conforme abordagem do capítulo 03, apresentam um prêmio

que avalia a probabilidade de determinado ativo em superar ou não um preço de exercício

estabelecido. Diferentemente das opções européias de compra que, em caso de exercício,

pagam a diferença entre o preço final do ativo e o preço de exercício, as opções digitais

pagam uma quantia fixa. Os resultados para as estimativas de prêmio das opções digitais

são apresentados, nesta seção, de maneira semelhante às demais opções já apresentadas.

Assim, a tabela 6.3.1 especifica os parâmetros de calculo utilizados e os anexos 11 e 12

(tabelas 6.3.4 e 6.3.5) apresentam as estimativas de prêmios e os erros-padrão das opções

obtidas por simulação de Monte Carlo para os parâmetros da tabela 6.3.1. As tabelas 6.3.2 e

6.3.3 apresentam, como forma de controle, as soluções analíticas obtidas pela expressão 3.9

para as opções binárias, cujos parâmetros são apresentados na tabela 6.3.1. Ressalta-se que

as simulações realizadas neste experimento, conforme experimentos anteriores, foram feitas

em dois blocos de intervalo de preços de exercício. Assim, utilizou-se um intervalo mais

fechado compreendendo os preços de $46 a $54 e outro para o intervalo $30 a $70.

S0 Preço Inicial do Ativo-objeto da opção em t=0 $50

Rf Taxa anual de juros livre de risco (Capitalização Discreta)

0,1

[$46, $47, $48, $49, $50, $51, $52, $53, $54] K Preços de Exercícios [$30, $35, $40, $45, $50, $55, $60, $65, $70]

σ Volatilidade Anual do ativo [10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 35%, 40%]

T Pontos da Trajetória [42]

T Prazo de vencimento das opções em dias 42

Número de observações por corrida 1000

Número de corridas 30

Q Montante em caso de Exercício $50

Tabela 6.3.1 – Parâmetros de Cálculo

Page 87: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

67

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 48,8207 46,4624 43,3061 40,4339 38,0484 36,0945 34,4797 K2=47 47,7474 43,9151 40,3044 37,4708 35,2804 33,5532 32,1555 K3=48 45,0015 40,0937 36,5815 34,1076 32,2868 30,8840 29,7600 K4=49 39,6690 35,0298 32,2756 30,4566 29,1474 28,1425 27,3328 K5=50 31,6837 29,0588 27,6122 26,6561 25,9491 25,3858 24,9128 K6=51 22,3264 22,7517 22,8648 22,8529 22,7784 22,6683 22,5359 K7=52 13,6278 16,7461 18,3056 19,1860 19,7148 20,0390 20,2342 K8=53 7,1304 11,5608 14,1616 15,7724 16,8253 17,5397 18,0351

K9=54 3,1841 7,4792 10,5855 12,6978 14,1616 15,2031 15,9603

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 49,2120 49,2120 49,2120 49,2120 49,2115 49,2046 49,1710 K2=35 49,2120 49,2120 49,2119 49,2042 49,1413 48,9361 48,5275 K3=40 49,2120 49,2094 49,1162 48,6715 47,7676 46,5229 45,1042 K4=45 49,1337 47,9508 45,5530 42,9235 40,5254 38,4567 36,6943 K5=50 31,6837 29,0588 27,6122 26,6561 25,9491 25,3858 24,9128 K6=55 1,2133 4,5349 7,6471 10,0139 11,7583 13,0525 14,0258 K7=60 0,0010 0,1473 0,9250 2,2788 3,8276 5,3238 6,6672 K8=65 0,0000 0,0012 0,0545 0,3362 0,9376 1,7821 2,7462

K9=70 0,0000 0,0000 0,0018 0,0348 0,1818 0,5071 1,0057

Tabela 6.3.3 – Prêmios das opções binárias obtidos segundo solução analítica com variação da volatilidade anual do ativo objeto nas colunas e variação dos preços de exercício nas linhas, sendo os demais parâmetros definidos na tabela 6.3.1

Tabela 6.3.2 – Prêmios das opções binárias obtidos segundo solução analítica com variação da volatilidade anual do ativo objeto nas colunas e variação dos preços de exercício nas linhas, sendo os demais parâmetros definidos na tabela 6.3.1

Page 88: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

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Redução de Variância - Opção Binária

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,800

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Redução de Variância - Opção Binária

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,800

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de ExercícioE

rro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Redução de Variância - Opção Binária

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,800

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Redução de Variância - Opção Binária

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,900

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Erro

Pad

rão

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.3.1 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções binárias obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância e com variação dos preços de exercício, sendo os demais parâmetros apresentados na tabela 6.3.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.3.2 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções binárias obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância e com variação dos preços de exercício, sendo os demais parâmetros apresentados na tabela 6.3.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto

(a) (b)

(a) (b)

Page 89: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

69

Redução de Variância - Opção Binária

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,800

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Redução de Variância - Opção Binária

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,800

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Redução de Variância - Opção Binária

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,800

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Redução de Variância - Opção Binária

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,900

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Legenda

AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.3.3 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções binárias obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância e com variação dos preços de exercício, sendo os demais parâmetros apresentados na tabela 6.3.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.3.4 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções binárias obtidas por simulação para diversas técnicas de redução de variância e com variação dos preços de exercício, sendo os demais parâmetros apresentados na tabela 6.3.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto.

(a) (b)

(a) (b)

Page 90: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

70

Diferentemente da opção européia, o erro padrão para a AAS não apresentou a

peculiaridade de se apresentar elevado para opções dentro do dinheiro. Assim, o erro

padrão de todas as técnicas se manteve, basicamente, em um mesmo patamar. Atribui-se

essa peculiaridade das opções binárias à particularidade em seu payoff fixo, que difere, de

maneira geral, das demais opções que apresentam em seus payoff alguma relação da

diferença entre ativo e preço de exercício.

Os gráficos 6.3.1 e 6.3.2 revelam o efeito da volatilidade em aumentar o valor

absoluto do erro padrão, embora a relação existente entre as técnicas de redução de

variância seja praticamente mantida.

Ainda nos gráficos 6.3.1 e 6.3.2, que analisam os erros-padrão das estimativas para

um intervalo de preços de exercício próximo ao preço incial de geração do ativo-objeito,

não fornecem nenhuma informação ou padrão. Entretanto, os gráficos 6.3.3 e 6.3.4, que

avaliam os erro-padrão para um intervalo maior de preços de exercícios, revelam que não

existem ganhos relativos de redução de variância entre as diversas técnicas de amostragem

empregadas. Observa-se que para pequenas volatilidades, como esperado, os erros-padrão

só existem para um intervalo fechado de preços nas proximidades do valor $50, que é o

valo inicial de geração do ativo-objeto. Maiores volatilidades fazem aumentar o intervalo

de preços nos quais existem erros-padrão.

Para as opções fora do dinheiro, a redução do erro-padrão justifica-se pela ausência

de ativos com valor superior aos elevados preços de exercício, gerando assim uma grande

quantidade de amostras nulas para o cômputo do erro-padrão. Para as opções dentro do

dinheiro, atribui-se a redução do erro-padrão das estimativas ao controle obtido pelas

técnicas de redução de variância quando da geração de amostras de preços do ativo objeto

com pequeno desvio padrão.

Page 91: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

71

6.4 – Opção Asiática Conforme apresentado no capítulo 03, as opções asiáticas são aquelas que têm em

seu payoff o preço do ativo objeto ou o preço de exercício computado como sendo a média

de preços do ativo objeto durante a vida da opção. A média de preços pode ser obtida

aritmeticamente ou geometricamente. As opções asiáticas com média aritmética ainda não

possuem uma solução analítica, entretanto seus prêmios têm sido calculados por simulação

com elevado grau de precisão. Neste experimento, entretanto, as simulações são feitas

sobre as opções asiáticas com média geométrica dos preços do ativo objeto, que possui uma

solução analítica que serviu de controle para as simulações realizadas. Efetuou-se a

precificação e a avaliação do erro padrão das estimativas para diferentes parâmetros de

cálculos, conforme a tabela 6.4.1. A Tabela 6.4.2 apresenta os prêmios das opções obtidos

pela solução analítica da expressão 3.8. Em seguida, os anexos 13 e 14 (tabelas 6.4.3 e

6.4.4) apresentam os prêmios obtidos por simulação para diferentes técnicas de redução de

variância e para os diversos parâmetros de cálculo. Os gráficos apresentados mostram o

comportamento do erro padrão das estimativas em relação à variação dos parâmetros de

cálculo.

S0 Preço Inicial do Ativo-objeto da opção em t=0 $50

Rf Taxa anual de juros livre de risco (Capitalização Discreta)

0,1

[$46, $47, $48, $49, $50, $51, $52, $53, $54] K Preços de Exercícios [$30, $35, $40, $45, $50, $55, $60, $65, $70]

σ Volatilidade Anual do ativo [10%, 15%, 20%, 25%, 30%, 35%, 40%]

T Pontos da Trajetória [1 e 42]

T Prazo de vencimento das opções em dias 42

Número de observações por corrida 1000

Número de corridas 30

Tabela 6.4.1 – Parâmetros utilizados para as simulações das opções asiáticas com média

geométrica.

Page 92: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

72

σ1 = 0,1 σ2 = 0,15 σ3 = 0,2 σ4 = 0,25 σ5 = 0,3 σ6 = 0,35 σ7 = 0,4 K1=30 20,4716 20,3060 19,4116 17,8237 15,9652 14,1235 12,4244 K2=35 15,5506 15,4125 14,6660 13,3401 11,7887 10,2557 8,8513 K3=40 10,6296 10,5190 9,9222 8,8709 7,6613 6,4947 5,4568 K4=45 5,7094 5,6512 5,2913 4,6485 3,9196 3,2345 2,6441 K5=50 1,2619 1,5901 1,6811 1,5380 1,2990 1,0564 0,8465 K6=55 0,0206 0,1175 0,1888 0,1939 0,1679 0,1359 0,1076 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabela 6.4.2 – Prêmios das opções asiáticas obtidas por solução analítica com variação da volatilidade anual do ativo objeto nas colunas e variação dos preços de exercício nas linhas, sendo os demais parâmetros definidos na tabela 6.4.1

Page 93: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

73

Redução de Variância - Opção Asiática

0,000,010,010,020,020,030,030,040,04

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Redução de Variância - Opção Asiática

0,000,010,020,030,040,050,060,070,08

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Redução de Variância - Opção Asiática

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Redução de Variância - Opção Asiática

0,000,020,040,060,080,100,120,140,16

46 47 48 49 50 51 52 53 54

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.4.1 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Asiáticas obtidas por simulação para os parâmetros apresentados na tabela 6.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.4.2 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Asiáticas obtidas por simulação para os parâmetros apresentados na tabela 6.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto

(a) (b)

(a) (b)

Page 94: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

74

Redução de Variância - Opção Asiática

0,000,010,010,020,020,030,030,040,04

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 10%

Redução de Variância - Opção Asiática

0,000,010,020,030,040,050,060,070,08

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 20%

Redução de Variância - Opção Asiática

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 30%

Redução de Variância - Opção Asiática

0,000,020,040,060,080,100,120,140,16

30 35 40 45 50 55 60 65 70

Preço de Exercício

Err

o P

adrã

o

AAS VA MM1 MM2 HL AD

Sigma = 40%

Legenda AAS Amostragem Aleatória Simples VA Variáveis Antitéticas MM1 Match do Primeiro Momento MM2 Match do Segundo Momento HL Hipercubo Latino AD Amostragem Descritiva

Sigma Volatilidade do Ativo objeto

Gráfico 6.4.3 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Asiáticas obtidas por simulação para os parâmetros apresentados na tabela 6.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 10% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 20% a.a para o ativo-objeto.

Gráfico 6.4.4 – Erro padrão para as estimativas de prêmio das opções Asiáticas obtidas por simulação para os parâmetros apresentados na tabela 6.1, considerando uma trajetória com 42 dimensões para o ativo-objeto. a) Volatilidade de 30% a.a para o ativo-objeto e b) Volatilidade de 40% a.a para o ativo-objeto

(a) (b)

(a) (b)

Page 95: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

75

De maneira semelhante à opção européia, o erro padrão para a AAS apresentou a

peculiaridade de se apresentar elevado para opções dentro do dinheiro. Assim, o erro

padrão para as técnicas de redução de variância apresentou níveis bastante inferiores ao da

AAS para opções dentro do dinheiro e níveis semelhantes para opções fora do dinheiro.

Dessa maneira, a mesma interpretação realizada para as opções européias pode ser

empregada para as opções asiáticas, sem prejuízo de análise.

Aqui, os gráficos 6.4.1 e 6.4.2, referentes à simulação para preços de exercícios

mais próximos ao preço inicial do ativo, são semelhantes aos gráficos 6.5 e 6.6 no sentido

que os resultados indicam o ganho relativo de eficiência para diferentes valores de preços

de exercícios.

Page 96: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

76

Capítulo 7

Conclusão

O presente trabalho examinou técnicas de redução de variância na obtenção de

estimativas de prêmios por simulação de Monte Carlo para algumas opções exóticas. Os

resultados dessas estimativas foram analisados comparativamente aos resultados de

prêmios obtidos pelas respectivas soluções analíticas das opções exóticas. O objetivo

precípuo deste trabalho consistia na análise dos efeitos de alguns parâmetros de cálculo da

precificação sobre os resultados das estimativas de prêmio, o que confere a este trabalho

um caráter exploratório.

Os parâmetros utilizados para as simulações foram definidos de forma que se

pudessem avaliar seus efeitos sobre as estimativas de prêmio em situações muito distintas.

Entretanto, o custo computacional tornou-se, aqui, o fator limitante para variações dos

parâmetros.

As opções exóticas utilizadas neste trabalho foram escolhidas dentre as mais

conhecidas e utilizadas no mundo. A simplicidade de seus payoffs facilitou a compreensão

dos efeitos da variação dos parâmetros de entrada das simulações nas estimativas de

prêmios.

A técnica de simulação de Monte Carlo mostrou-se, mais uma vez, bastante flexível

para a modelagem financeira. Dessa forma, pôde-se construir modelos com certa facilidade,

sobretudo porque estes são, geralmente, variações em maior ou menor grau do modelo de

precificação de opções européias, o qual já foi extensivamente explorado em trabalhos de

simulação.

Algumas técnicas de redução de variância utilizadas neste trabalho já haviam sido

exploradas em outros trabalhos da área de finanças, como é o caso das técnicas de variáveis

antitéticas e mesmo a técnica de hipercubo latino. No entanto, as técnicas de match de

momentos e a amostragem descritiva ainda não foram difundidas, sendo o seu uso restrito a

poucos trabalhos.

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77

Os resultados das simulações revelaram que o preço de exercício das opções

estudadas, exceto para opção binária, foi o parâmetro de maior sensibilidade para as

estimativas de prêmio. De uma maneira geral, considerando-se as opções plain vanilla,

barreira e asiática, o erro-padrão das estimativas apresentou uma característica marcante.

Para as opções muito dentro do dinheiro, o erro-padrão se apresentou muito pequeno em

relação ao erro-padrão das estimativas obtidas pelas técnicas de amostragem aleatória

simples (AAS). Na medida em que o preço de exercício aumentava de valor e deixava as

opções de compra em cima do dinheiro, o erro-padrão das estimativas aumentava para as

demais técnicas de redução de variância, o que deixava o erro-padrão dessas estimativas em

um mesmo patamar das estimativas por AAS. Enfim, para opções muito dentro do dinheiro,

as estimativas de todas as técnicas de amostragem, inclusive a AAS, convergia para zero

com a elevação do preço de exercício das opções.

Estes resultados, não apresentados em outros trabalhos de simulação, indicam que

os ganhos de redução de variância obtidos por outras técnicas de amostragem só podem ser

verificados em opções dentro do dinheiro. Assim, para opções fora do dinheiro, não haveria

necessidade da utilização de técnicas de redução de variância nas simulações uma vez que a

técnica AAS, a mais simples, apresenta os mesmos níveis de erro-padrão que as demais

estimativas obtidas por técnicas mais robustas. Ressalta-se que esta análise é feita sob a

ótica do ganho de eficiência em termos de erro-padrão, nada podendo ser dito sobre os

ganhos em termos de tempo de processamento.

Atribui-se a este efeito do preço de exercício sobre as estimativas de prêmios o

nome de efeito moneyness. Faz-se aqui uma alusão ao termo usado nas opções para medir o

nível em que o preço do ativo objeto encontra-se próximo do exercício.

A análise exploratória da ocorrência do efeito moneyness revelou algumas

explicações para esse comportamento. Para as opções dentro do dinheiro, o baixo erro-

padrão das estimativas em relação à técnica de AAS pode ser explicado por um ganho no

controle da amostra de números aleatórios. Assim, os preços do ativo objeto na data de

exercício das opções apresentam um baixo desvio-padrão, o que se reflete nas estimativas

de prêmio das opções e, por conseqüência, no erro padrão dessas estimativas. Para as

opções fora do dinheiro, isto é, as opções que raramente são exercidas, a falta de ativos com

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exercício faz com o que erro-padrão das estimativas de premio seja muito próximo de zero,

sendo nulo caso não ocorra nenhum exercício.

Outros parâmetros, como a volatilidade e o retorno do ativo objeto, apresentam

papel secundário no efeito moneyness. Isso ocorre porque um aumento destes parâmetros

faz com que os preços do ativo objeto apresentem um intervalo maior de preços, tanto de

valorização como de desvalorização. Isso faz com que probabilidade de exercício das

opções se eleve uma vez que mais ativos simulados encontram-se superiores ao preço de

exercício.

Diferentemente do exposto até aqui, as opções binárias apresentaram

comportamento distinto, uma vez o efeito moneyness não se manifestou. Atribui-se este

fato à peculiaridade do payoff desta opção, sendo que este é fixo e, portanto, não é do tipo S

– K como nas outras opções.

Como consideração final e sugestão para trabalhos futuros, deixa-se a investigação

de outras técnicas de redução de variância na simulação de Monte Carlo, como a

amostragem por importância e o Monte Carlo condicional. Outro ponto a ser explorado são

as opções exóticas que ainda não apresentam soluções analíticas fechadas, como ocorre nas

opções asiáticas com média aritmética dos preços.

Algumas questões ainda se encontram em aberto, sendo motivos, também, para

investigação futura. Será que o efeito moneyness afeta outras opções? Se sim, quais seriam

os mecanismos para que houvesse ganho computacional e ganho de precisão nas opções

que se encontram muito fora do dinheiro? Qual o efeito da variação de outros parâmetros

na análise, como o número de simulações e as dimensões utilizadas?

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Capítulo 8

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Capítulo 9

Anexos

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AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 4,7766 4,8414 4,9925 5,2111 5,4745 5,7694 6,0861 0,0597 0,0852 0,1088 0,1331 0,1581 0,1838 0,2091 K2=47 3,8091 3,9348 4,1529 4,4272 4,7374 5,0699 5,4168 0,0584 0,0815 0,1053 0,1297 0,1544 0,1785 0,2026 K3=48 2,8773 3,0899 3,3784 3,7073 4,0582 4,4227 4,7958 0,0546 0,0780 0,1019 0,1253 0,1483 0,1714 0,1952 K4=49 2,0221 2,3313 2,6847 3,0579 3,4411 3,8296 4,2211 0,0513 0,0743 0,0962 0,1181 0,1407 0,1636 0,1872 K5=50 1,2972 1,6841 2,0811 2,4822 2,8856 3,2901 3,6952 0,0465 0,0672 0,0883 0,1100 0,1323 0,1553 0,1788 K6=51 0,7476 1,1589 1,5705 1,9822 2,3937 2,8050 3,2161 0,0377 0,0581 0,0791 0,1007 0,1229 0,1457 0,1691 K7=52 0,3797 0,7560 1,1516 1,5551 1,9625 2,3720 2,7827 0,0277 0,0482 0,0692 0,0906 0,1128 0,1356 0,1591 K8=53 0,1687 0,4665 0,8204 1,1990 1,5909 1,9904 2,3944 0,0194 0,0386 0,0595 0,0814 0,1034 0,1262 0,1497 K9=54 0,0660 0,2727 0,5673 0,9086 1,2754 1,6571 2,0485 0,0114 0,0307 0,0504 0,0714 0,0937 0,1170 0,1405

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,7662 4,8270 4,9747 5,1910 5,4533 5,7479 6,0644 0,0042 0,0164 0,0346 0,0558 0,0768 0,0987 0,1208 K2=47 3,7992 3,9212 4,1367 4,4099 4,7197 5,0517 5,3984 0,0071 0,0231 0,0432 0,0634 0,0843 0,1048 0,1255 K3=48 2,8677 3,0776 3,3650 3,6934 4,0437 4,4077 4,7806 0,0125 0,0315 0,0510 0,0705 0,0896 0,1082 0,1267 K4=49 2,0139 2,3221 2,6747 3,0472 3,4299 3,8185 4,2104 0,0206 0,0391 0,0569 0,0738 0,0911 0,1094 0,1285 K5=50 1,2923 1,6782 2,0748 2,4758 2,8789 3,2831 3,6879 0,0272 0,0424 0,0585 0,0753 0,0927 0,1106 0,1293 K6=51 0,7460 1,1565 1,5674 1,9784 2,3895 2,8005 3,2114 0,0281 0,0432 0,0590 0,0755 0,0926 0,1105 0,1290 K7=52 0,3803 0,7556 1,1506 1,5537 1,9606 2,3698 2,7804 0,0253 0,0417 0,0576 0,0738 0,0910 0,1088 0,1273 K8=53 0,1709 0,4685 0,8216 1,1997 1,5908 1,9897 2,3935 0,0175 0,0357 0,0539 0,0716 0,0896 0,1077 0,1263 K9=54 0,0675 0,2762 0,5710 0,9114 1,2776 1,6591 2,0503 0,0102 0,0278 0,0465 0,0656 0,0848 0,1038 0,1234 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 4,7659 4,8257 4,9729 5,1879 5,4480 5,7394 6,0526 0,0036 0,0145 0,0305 0,0473 0,0634 0,0804 0,0974 K2=47 3,7986 3,9201 4,1345 4,4057 4,7123 5,0414 5,3849 0,0064 0,0207 0,0370 0,0525 0,0690 0,0849 0,1012 K3=48 2,8673 3,0762 3,3615 3,6871 4,0346 4,3960 4,7657 0,0116 0,0272 0,0423 0,0576 0,0727 0,0882 0,1042 K4=49 2,0131 2,3192 2,6693 3,0395 3,4194 3,8045 4,1931 0,0179 0,0325 0,0465 0,0608 0,0754 0,0903 0,1060 K5=50 1,2898 1,6736 2,0675 2,4657 2,8660 3,2674 3,6692 0,0225 0,0355 0,0487 0,0625 0,0766 0,0913 0,1064 K6=51 0,7421 1,1504 1,5589 1,9674 2,3758 2,7840 3,1918 0,0230 0,0354 0,0483 0,0617 0,0757 0,0902 0,1054 K7=52 0,3762 0,7494 1,1420 1,5423 1,9464 2,3526 2,7600 0,0208 0,0342 0,0474 0,0609 0,0750 0,0896 0,1049 K8=53 0,1669 0,4620 0,8129 1,1884 1,5770 1,9731 2,3739 0,0160 0,0302 0,0444 0,0592 0,0737 0,0886 0,1040 K9=54 0,0651 0,2698 0,5616 0,9000 1,2636 1,6421 2,0304 0,0097 0,0253 0,0402 0,0547 0,0700 0,0860 0,1022 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 4,7654 4,8236 4,9687 5,1817 5,4395 5,7286 6,0395 0,0019 0,0063 0,0117 0,0162 0,0201 0,0241 0,0271 K2=47 3,7977 3,9173 4,1297 4,3987 4,7032 5,0301 5,3712 0,0031 0,0089 0,0135 0,0178 0,0219 0,0247 0,0267 K3=48 2,8657 3,0727 3,3559 3,6796 4,0250 4,3841 4,7516 0,0056 0,0106 0,0153 0,0189 0,0214 0,0231 0,0247 K4=49 2,0109 2,3150 2,6632 3,0314 3,4093 3,7924 4,1788 0,0074 0,0122 0,0152 0,0172 0,0191 0,0212 0,0234 K5=50 1,2869 1,6690 2,0611 2,4575 2,8558 3,2552 3,6548 0,0079 0,0102 0,0127 0,0152 0,0177 0,0202 0,0229 K6=51 0,7390 1,1456 1,5525 1,9592 2,3656 2,7718 3,1775 0,0055 0,0084 0,0112 0,0142 0,0172 0,0203 0,0237 K7=52 0,3735 0,7450 1,1358 1,5342 1,9364 2,3406 2,7459 0,0068 0,0096 0,0123 0,0153 0,0184 0,0217 0,0253 K8=53 0,1648 0,4581 0,8070 1,1807 1,5674 1,9615 2,3602 0,0080 0,0116 0,0142 0,0176 0,0209 0,0244 0,0280 K9=54 0,0638 0,2665 0,5566 0,8929 1,2543 1,6308 2,0169 0,0068 0,0124 0,0168 0,0194 0,0226 0,0266 0,0306

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,7649 4,8228 4,9671 5,1799 5,4393 5,7297 6,0414 0,0006 0,0009 0,0012 0,0016 0,0021 0,0026 0,0032 K2=47 3,7973 3,9159 4,1282 4,3986 4,7041 5,0317 5,3738 0,0005 0,0009 0,0012 0,0016 0,0021 0,0026 0,0032 K3=48 2,8648 3,0715 3,3560 3,6803 4,0265 4,3857 4,7532 0,0005 0,0009 0,0012 0,0016 0,0021 0,0026 0,0032 K4=49 2,0100 2,3151 2,6640 3,0320 3,4100 3,7937 4,1809 0,0005 0,0009 0,0012 0,0016 0,0021 0,0026 0,0032 K5=50 1,2872 1,6691 2,0616 2,4583 2,8570 3,2567 3,6570 0,0005 0,0009 0,0012 0,0016 0,0021 0,0026 0,0032 K6=51 0,7395 1,1464 1,5535 1,9607 2,3677 2,7745 3,1811 0,0005 0,0009 0,0012 0,0016 0,0021 0,0026 0,0032 K7=52 0,3759 0,7479 1,1390 1,5380 1,9409 2,3459 2,7520 0,0005 0,0009 0,0012 0,0016 0,0021 0,0026 0,0032 K8=53 0,1675 0,4624 0,8120 1,1864 1,5738 1,9686 2,3680 0,0005 0,0009 0,0012 0,0016 0,0021 0,0026 0,0032 K9=54 0,0650 0,2707 0,5628 0,9000 1,2623 1,6397 2,0268 0,0005 0,0009 0,0012 0,0016 0,0021 0,0026 0,0032

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,7646 4,8224 4,9665 5,1792 5,4383 5,7285 6,0399 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K2=47 3,7970 3,9155 4,1276 4,3978 4,7032 5,0305 5,3723 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K3=48 2,8646 3,0711 3,3555 3,6795 4,0255 4,3845 4,7517 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K4=49 2,0098 2,3147 2,6634 3,0313 3,4091 3,7925 4,1794 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K5=50 1,2869 1,6687 2,0610 2,4575 2,8560 3,2555 3,6555 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K6=51 0,7392 1,1460 1,5530 1,9599 2,3668 2,7733 3,1796 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K7=52 0,3757 0,7475 1,1384 1,5373 1,9399 2,3447 2,7506 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K8=53 0,1672 0,4620 0,8115 1,1857 1,5728 1,9674 2,3665 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K9=54 0,0648 0,2703 0,5622 0,8992 1,2613 1,6385 2,0253 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabela 6.1.3 - Apresenta os Resultados para os prêmios obtidos por simulação de Monte Carlo para as diferentes técnicas de redução de variância, volatilidades e preços de exercício, bem como os respectivos erros-padrão de cada estimativa para o caso unidimensional. Os parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.1.1

Anexo 1

Page 105: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

85

AAS σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,991% 1,087% 1,148% 1,172% 1,159% 1,154% 1,158% K2=47 1,248% 1,319% 1,329% 1,287% 1,269% 1,259% 1,250% K3=48 1,636% 1,598% 1,500% 1,443% 1,403% 1,384% 1,377% K4=49 2,151% 1,884% 1,728% 1,640% 1,581% 1,528% 1,476% K5=50 2,770% 2,302% 2,023% 1,843% 1,729% 1,649% 1,592% K6=51 3,612% 2,732% 2,302% 2,053% 1,886% 1,767% 1,681% K7=52 4,129% 2,978% 2,457% 2,157% 1,964% 1,829% 1,730% K8=53 4,524% 3,051% 2,531% 2,200% 2,004% 1,870% 1,765% K9=54 6,086% 3,204% 2,458% 2,196% 2,017% 1,867% 1,756%

VA σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,771% 0,786% 0,788% 0,782% 0,767% 0,777% 0,798% K2=47 0,985% 0,969% 0,933% 0,892% 0,890% 0,896% 0,906% K3=48 1,297% 1,194% 1,098% 1,063% 1,040% 1,040% 1,055% K4=49 1,737% 1,482% 1,349% 1,285% 1,250% 1,233% 1,218% K5=50 2,382% 1,944% 1,714% 1,580% 1,493% 1,433% 1,391% K6=51 3,400% 2,519% 2,100% 1,857% 1,707% 1,604% 1,532% K7=52 4,290% 2,931% 2,368% 2,065% 1,865% 1,735% 1,646% K8=53 5,880% 3,475% 2,683% 2,260% 1,998% 1,835% 1,727% K9=54 8,506% 4,502% 3,113% 2,506% 2,193% 1,990% 1,846%

MM1 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,765% 0,759% 0,751% 0,722% 0,670% 0,628% 0,601% K2=47 0,969% 0,941% 0,880% 0,796% 0,732% 0,690% 0,654% K3=48 1,283% 1,148% 0,992% 0,890% 0,813% 0,772% 0,740% K4=49 1,697% 1,356% 1,145% 1,029% 0,940% 0,862% 0,802% K5=50 2,183% 1,664% 1,356% 1,166% 1,038% 0,948% 0,877% K6=51 2,848% 1,978% 1,546% 1,291% 1,124% 1,005% 0,913% K7=52 3,169% 2,087% 1,603% 1,316% 1,128% 0,996% 0,901% K8=53 3,371% 2,046% 1,587% 1,296% 1,113% 0,985% 0,894% K9=54 4,651% 2,088% 1,432% 1,222% 1,073% 0,945% 0,857%

MM2 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,754% 0,715% 0,666% 0,602% 0,512% 0,438% 0,384% K2=47 0,945% 0,868% 0,763% 0,635% 0,538% 0,464% 0,398% K3=48 1,227% 1,033% 0,824% 0,685% 0,573% 0,499% 0,442% K4=49 1,586% 1,172% 0,913% 0,759% 0,642% 0,541% 0,459% K5=50 1,954% 1,385% 1,042% 0,829% 0,679% 0,571% 0,481% K6=51 2,424% 1,553% 1,129% 0,869% 0,689% 0,563% 0,461% K7=52 2,417% 1,483% 1,052% 0,784% 0,608% 0,481% 0,385% K8=53 2,101% 1,180% 0,857% 0,640% 0,497% 0,391% 0,312% K9=54 2,583% 0,866% 0,513% 0,423% 0,329% 0,250% 0,187%

HL σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,743% 0,698% 0,634% 0,567% 0,509% 0,458% 0,415% K2=47 0,935% 0,832% 0,726% 0,633% 0,557% 0,496% 0,446% K3=48 1,195% 0,993% 0,827% 0,704% 0,611% 0,536% 0,476% K4=49 1,540% 1,177% 0,944% 0,779% 0,663% 0,576% 0,509% K5=50 1,978% 1,391% 1,067% 0,862% 0,721% 0,617% 0,541% K6=51 2,495% 1,624% 1,194% 0,946% 0,779% 0,661% 0,574% K7=52 3,081% 1,880% 1,336% 1,034% 0,842% 0,709% 0,608% K8=53 3,768% 2,139% 1,480% 1,126% 0,908% 0,755% 0,643% K9=54 4,458% 2,440% 1,641% 1,225% 0,969% 0,798% 0,678%

AD σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,737% 0,690% 0,622% 0,553% 0,490% 0,437% 0,390% K2=47 0,927% 0,822% 0,711% 0,615% 0,538% 0,472% 0,418% K3=48 1,188% 0,980% 0,812% 0,682% 0,586% 0,508% 0,444% K4=49 1,530% 1,159% 0,921% 0,756% 0,636% 0,544% 0,473% K5=50 1,954% 1,366% 1,038% 0,829% 0,686% 0,580% 0,500% K6=51 2,453% 1,588% 1,162% 0,905% 0,741% 0,617% 0,527% K7=52 3,026% 1,825% 1,283% 0,988% 0,790% 0,657% 0,557% K8=53 3,582% 2,051% 1,418% 1,066% 0,844% 0,693% 0,579% K9=54 4,137% 2,289% 1,533% 1,135% 0,889% 0,724% 0,604%

Tabela 6.1.4 – Diferenças percentuais entre as estimativas por simulação e a precificação por Black & Scholes segundo os parâmetros de cálculo da tabela 6.1.1. As simulações foram realizadas para 1 dimensão na trajetória do ativo-objeto.

Anexo 2

Page 106: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

86

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,7584 4,8137 4,9548 5,1652 5,4212 5,7082 6,0167 0,0632 0,0911 0,1169 0,1405 0,1641 0,1890 0,2145 K2=47 3,7913 3,9068 4,1166 4,3836 4,6861 5,0104 5,3495 0,0617 0,0878 0,1109 0,1339 0,1579 0,1826 0,2068 K3=48 2,8587 3,0629 3,3443 3,6656 4,0088 4,3650 4,7294 0,0591 0,0820 0,1044 0,1277 0,1506 0,1740 0,1982 K4=49 2,0044 2,3066 2,6526 3,0179 3,3928 3,7731 4,1568 0,0537 0,0754 0,0973 0,1192 0,1418 0,1651 0,1892 K5=50 1,2817 1,6609 2,0503 2,4440 2,8397 3,2364 3,6337 0,0467 0,0672 0,0882 0,1100 0,1327 0,1562 0,1805 K6=51 0,7346 1,1389 1,5433 1,9477 2,3518 2,7557 3,1593 0,0376 0,0581 0,0793 0,1014 0,1241 0,1477 0,1721 K7=52 0,3719 0,7408 1,1292 1,5255 1,9255 2,3275 2,7306 0,0292 0,0499 0,0713 0,0934 0,1162 0,1398 0,1642 K8=53 0,1658 0,4571 0,8035 1,1746 1,5587 1,9504 2,3468 0,0218 0,0423 0,0627 0,0848 0,1078 0,1317 0,1563 K9=54 0,0645 0,2679 0,5561 0,8899 1,2490 1,6230 2,0066 0,0137 0,0345 0,0559 0,0772 0,0992 0,1228 0,1475

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,7650 4,8244 4,9701 5,1852 5,4460 5,7381 6,0513 0,0035 0,0133 0,0271 0,0436 0,0615 0,0793 0,0971 K2=47 3,7980 3,9179 4,1323 4,4040 4,7112 5,0400 5,3833 0,0057 0,0183 0,0338 0,0510 0,0677 0,0847 0,1015 K3=48 2,8658 3,0744 3,3604 3,6860 4,0332 4,3938 4,7632 0,0102 0,0247 0,0410 0,0569 0,0727 0,0883 0,1041 K4=49 2,0119 2,3184 2,6682 3,0376 3,4172 3,8025 4,1915 0,0163 0,0315 0,0462 0,0606 0,0752 0,0901 0,1056 K5=50 1,2892 1,6724 2,0663 2,4646 2,8649 3,2663 3,6683 0,0222 0,0352 0,0485 0,0623 0,0763 0,0909 0,1060 K6=51 0,7418 1,1500 1,5586 1,9671 2,3756 2,7839 3,1920 0,0234 0,0359 0,0488 0,0623 0,0763 0,0909 0,1060 K7=52 0,3780 0,7509 1,1433 1,5437 1,9480 2,3545 2,7622 0,0203 0,0339 0,0473 0,0610 0,0751 0,0896 0,1047 K8=53 0,1693 0,4655 0,8165 1,1919 1,5805 1,9766 2,3774 0,0136 0,0286 0,0433 0,0580 0,0726 0,0875 0,1028 K9=54 0,0657 0,2737 0,5669 0,9056 1,2694 1,6480 2,0364 0,0087 0,0216 0,0371 0,0526 0,0679 0,0837 0,0996 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 4,7655 4,8239 4,9673 5,1799 5,4379 5,7270 6,0373 0,0036 0,0136 0,0254 0,0363 0,0484 0,0616 0,0752 K2=47 3,7983 3,9163 4,1283 4,3974 4,7017 5,0278 5,3685 0,0065 0,0180 0,0286 0,0402 0,0529 0,0658 0,0792 K3=48 2,8652 3,0716 3,3550 3,6781 4,0229 4,3808 4,7471 0,0108 0,0212 0,0325 0,0444 0,0566 0,0697 0,0830 K4=49 2,0101 2,3142 2,6618 3,0288 3,4056 3,7877 4,1732 0,0141 0,0250 0,0361 0,0480 0,0599 0,0721 0,0849 K5=50 1,2862 1,6671 2,0583 2,4538 2,8513 3,2498 3,6489 0,0175 0,0280 0,0386 0,0496 0,0611 0,0734 0,0863 K6=51 0,7378 1,1438 1,5500 1,9561 2,3621 2,7677 3,1731 0,0186 0,0286 0,0392 0,0503 0,0619 0,0742 0,0870 K7=52 0,3738 0,7443 1,1346 1,5327 1,9345 2,3384 2,7433 0,0182 0,0284 0,0391 0,0503 0,0620 0,0743 0,0872 K8=53 0,1666 0,4596 0,8076 1,1804 1,5662 1,9597 2,3580 0,0157 0,0277 0,0386 0,0500 0,0620 0,0743 0,0873 K9=54 0,0647 0,2693 0,5593 0,8948 1,2553 1,6309 2,0165 0,0108 0,0248 0,0375 0,0495 0,0613 0,0738 0,0872 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 4,7656 4,8244 4,9683 5,1816 5,4399 5,7297 6,0406 0,0037 0,0140 0,0260 0,0371 0,0500 0,0636 0,0784 K2=47 3,7985 3,9170 4,1296 4,3991 4,7041 5,0308 5,3722 0,0067 0,0184 0,0292 0,0415 0,0548 0,0687 0,0829 K3=48 2,8656 3,0726 3,3564 3,6800 4,0255 4,3841 4,7509 0,0110 0,0216 0,0334 0,0462 0,0592 0,0731 0,0875 K4=49 2,0107 2,3153 2,6635 3,0311 3,4083 3,7910 4,1770 0,0143 0,0258 0,0378 0,0504 0,0633 0,0764 0,0901 K5=50 1,2870 1,6684 2,0601 2,4559 2,8538 3,2529 3,6524 0,0183 0,0296 0,0410 0,0527 0,0648 0,0777 0,0912 K6=51 0,7386 1,1450 1,5516 1,9582 2,3646 2,7708 3,1766 0,0198 0,0305 0,0417 0,0535 0,0658 0,0787 0,0923 K7=52 0,3744 0,7453 1,1360 1,5347 1,9370 2,3413 2,7468 0,0187 0,0297 0,0410 0,0530 0,0654 0,0784 0,0920 K8=53 0,1670 0,4605 0,8088 1,1821 1,5684 1,9623 2,3611 0,0161 0,0284 0,0398 0,0519 0,0645 0,0777 0,0914 K9=54 0,0650 0,2700 0,5604 0,8964 1,2573 1,6335 2,0194 0,0109 0,0254 0,0384 0,0509 0,0633 0,0765 0,0904

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,7658 4,8250 4,9708 5,1866 5,4486 5,7429 6,0587 0,0035 0,0133 0,0243 0,0362 0,0472 0,0585 0,0694 K2=47 3,7987 3,9183 4,1331 4,4060 4,7152 5,0463 5,3923 0,0063 0,0170 0,0286 0,0394 0,0501 0,0604 0,0708 K3=48 2,8661 3,0748 3,3619 3,6894 4,0388 4,4021 4,7734 0,0099 0,0213 0,0318 0,0417 0,0514 0,0620 0,0733 K4=49 2,0120 2,3197 2,6713 3,0427 3,4240 3,8114 4,2027 0,0142 0,0242 0,0332 0,0431 0,0536 0,0646 0,0758 K5=50 1,2905 1,6751 2,0705 2,4706 2,8731 3,2769 3,6817 0,0162 0,0254 0,0351 0,0451 0,0555 0,0663 0,0773 K6=51 0,7450 1,1549 1,5653 1,9760 2,3867 2,7975 3,2083 0,0173 0,0264 0,0359 0,0458 0,0560 0,0666 0,0776 K7=52 0,3825 0,7576 1,1521 1,5546 1,9612 2,3701 2,7806 0,0152 0,0248 0,0348 0,0449 0,0554 0,0661 0,0772 K8=53 0,1726 0,4722 0,8261 1,2041 1,5952 1,9940 2,3979 0,0117 0,0221 0,0322 0,0424 0,0531 0,0643 0,0756 K9=54 0,0688 0,2788 0,5758 0,9177 1,2847 1,6663 2,0578 0,0085 0,0184 0,0293 0,0398 0,0508 0,0615 0,0730

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,7657 4,8248 4,9704 5,1860 5,4476 5,7416 6,0570 0,0034 0,0132 0,0242 0,0362 0,0473 0,0587 0,0697 K2=47 3,7986 3,9180 4,1326 4,4051 4,7141 5,0449 5,3906 0,0062 0,0170 0,0287 0,0396 0,0504 0,0607 0,0712 K3=48 2,8660 3,0744 3,3612 3,6885 4,0376 4,4006 4,7716 0,0099 0,0213 0,0319 0,0420 0,0517 0,0623 0,0737 K4=49 2,0118 2,3192 2,6705 3,0418 3,4227 3,8098 4,2007 0,0142 0,0243 0,0334 0,0433 0,0539 0,0649 0,0761 K5=50 1,2902 1,6745 2,0696 2,4694 2,8716 3,2751 3,6797 0,0163 0,0256 0,0353 0,0453 0,0557 0,0665 0,0776 K6=51 0,7445 1,1542 1,5643 1,9747 2,3851 2,7956 3,2061 0,0173 0,0265 0,0360 0,0459 0,0561 0,0667 0,0778 K7=52 0,3821 0,7569 1,1511 1,5533 1,9596 2,3682 2,7783 0,0152 0,0249 0,0349 0,0451 0,0556 0,0663 0,0775 K8=53 0,1724 0,4716 0,8252 1,2029 1,5937 1,9922 2,3957 0,0117 0,0221 0,0323 0,0425 0,0533 0,0645 0,0758 K9=54 0,0687 0,2784 0,5750 0,9166 1,2833 1,6646 2,0557 0,0085 0,0185 0,0293 0,0399 0,0509 0,0617 0,0733

Tabela 6.1.6 - Apresenta os Resultados para os prêmios obtidos por simulação de Monte Carlo para as diferentes técnicas de redução de variância, volatilidades e preços de exercício, bem como os respectivos erros-padrão de cada estimativa para o problema com 42 dimensões. Os parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.1.5

Anexo 3

Page 107: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

87

AAS σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,606% 0,508% 0,385% 0,281% 0,174% 0,081% 0,005% K2=47 0,775% 0,598% 0,443% 0,290% 0,172% 0,071% -0,008% K3=48 0,979% 0,710% 0,476% 0,302% 0,168% 0,061% -0,027% K4=49 1,257% 0,805% 0,512% 0,311% 0,155% 0,030% -0,070% K5=50 1,542% 0,893% 0,513% 0,275% 0,111% -0,010% -0,099% K6=51 1,817% 0,959% 0,530% 0,277% 0,102% -0,021% -0,115% K7=52 1,981% 0,910% 0,464% 0,213% 0,042% -0,081% -0,174% K8=53 2,696% 0,962% 0,416% 0,120% -0,060% -0,177% -0,258% K9=54 3,660% 1,380% 0,426% 0,094% -0,095% -0,229% -0,325%

VA σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,745% 0,732% 0,695% 0,670% 0,633% 0,605% 0,580% K2=47 0,953% 0,884% 0,826% 0,757% 0,709% 0,662% 0,624% K3=48 1,230% 1,089% 0,959% 0,860% 0,778% 0,722% 0,688% K4=49 1,636% 1,321% 1,103% 0,966% 0,875% 0,809% 0,764% K5=50 2,136% 1,591% 1,297% 1,120% 0,999% 0,914% 0,852% K6=51 2,814% 1,943% 1,527% 1,275% 1,115% 1,002% 0,919% K7=52 3,657% 2,288% 1,719% 1,408% 1,211% 1,078% 0,981% K8=53 4,883% 2,824% 2,043% 1,595% 1,337% 1,164% 1,043% K9=54 5,583% 3,575% 2,382% 1,855% 1,537% 1,308% 1,155%

MM1 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,756% 0,721% 0,638% 0,567% 0,483% 0,410% 0,347% K2=47 0,961% 0,843% 0,728% 0,606% 0,506% 0,418% 0,347% K3=48 1,209% 0,996% 0,797% 0,644% 0,521% 0,424% 0,347% K4=49 1,545% 1,137% 0,860% 0,673% 0,533% 0,417% 0,324% K5=50 1,898% 1,269% 0,905% 0,677% 0,520% 0,404% 0,319% K6=51 2,259% 1,393% 0,966% 0,709% 0,540% 0,414% 0,322% K7=52 2,505% 1,389% 0,945% 0,686% 0,509% 0,387% 0,290% K8=53 3,210% 1,520% 0,930% 0,615% 0,420% 0,299% 0,218% K9=54 3,976% 1,910% 1,009% 0,640% 0,409% 0,257% 0,167%

MM2 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,758% 0,732% 0,658% 0,600% 0,520% 0,458% 0,402% K2=47 0,967% 0,861% 0,760% 0,645% 0,557% 0,478% 0,417% K3=48 1,223% 1,029% 0,839% 0,696% 0,586% 0,499% 0,428% K4=49 1,575% 1,185% 0,925% 0,750% 0,613% 0,504% 0,415% K5=50 1,962% 1,348% 0,993% 0,763% 0,608% 0,500% 0,415% K6=51 2,370% 1,500% 1,071% 0,817% 0,647% 0,526% 0,432% K7=52 2,670% 1,525% 1,069% 0,817% 0,639% 0,511% 0,418% K8=53 3,458% 1,719% 1,080% 0,759% 0,562% 0,432% 0,350% K9=54 4,458% 2,175% 1,208% 0,820% 0,569% 0,416% 0,311%

HL σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,762% 0,744% 0,709% 0,697% 0,681% 0,689% 0,703% K2=47 0,972% 0,894% 0,846% 0,802% 0,794% 0,788% 0,792% K3=48 1,241% 1,102% 1,004% 0,953% 0,918% 0,912% 0,903% K4=49 1,641% 1,378% 1,220% 1,135% 1,076% 1,045% 1,033% K5=50 2,239% 1,755% 1,503% 1,367% 1,288% 1,242% 1,220% K6=51 3,257% 2,377% 1,963% 1,734% 1,588% 1,495% 1,434% K7=52 4,891% 3,201% 2,502% 2,124% 1,896% 1,748% 1,654% K8=53 6,927% 4,304% 3,243% 2,635% 2,280% 2,055% 1,914% K9=54 10,565% 5,505% 3,989% 3,216% 2,761% 2,433% 2,218%

AD σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 0,760% 0,740% 0,701% 0,685% 0,662% 0,666% 0,675% K2=47 0,969% 0,887% 0,833% 0,782% 0,771% 0,760% 0,760% K3=48 1,237% 1,089% 0,983% 0,929% 0,888% 0,878% 0,865% K4=49 1,631% 1,356% 1,190% 1,105% 1,038% 1,003% 0,985% K5=50 2,215% 1,719% 1,459% 1,317% 1,236% 1,186% 1,165% K6=51 3,188% 2,315% 1,898% 1,667% 1,519% 1,426% 1,365% K7=52 4,781% 3,106% 2,413% 2,039% 1,813% 1,666% 1,570% K8=53 6,804% 4,171% 3,130% 2,532% 2,184% 1,962% 1,820% K9=54 10,404% 5,354% 3,845% 3,092% 2,649% 2,328% 2,114%

Tabela 6.1.7 – Diferenças percentuais entre as estimativas por simulação e a precificação por Black & Scholes para os parâmetros de cálculo da tabela 6.1.5, utilizando-se 42 dimensões para a trajetória do ativo-objeto.

Anexo 4

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88

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4886 20,4849 20,4813 20,4776 20,4738 20,4703 20,4678 0,0641 0,0965 0,1292 0,1622 0,1955 0,2291 0,2631 K2=35 15,5712 15,5676 15,5639 15,5604 15,5588 15,5626 15,5779 0,0641 0,0965 0,1292 0,1621 0,1951 0,2273 0,2596 K3=40 10,6539 10,6503 10,6489 10,6592 10,6939 10,7608 10,8621 0,0641 0,0965 0,1287 0,1597 0,1899 0,2192 0,2486 K4=45 5,7376 5,7597 5,8452 6,0000 6,2087 6,4553 6,7293 0,0639 0,0935 0,1208 0,1465 0,1707 0,1951 0,2206 K5=50 1,2817 1,6609 2,0503 2,4440 2,8397 3,2364 3,6337 0,0467 0,0672 0,0882 0,1100 0,1327 0,1562 0,1805 K6=55 0,0216 0,1483 0,3752 0,6635 0,9901 1,3409 1,7073 0,0067 0,0267 0,0481 0,0703 0,0927 0,1155 0,1391 K7=60 0,0000 0,0032 0,0339 0,1217 0,2676 0,4675 0,7104 0,0000 0,0030 0,0119 0,0304 0,0536 0,0777 0,1019 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0142 0,0561 0,1404 0,2657 0,0000 0,0000 0,0021 0,0086 0,0197 0,0388 0,0624 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0011 0,0094 0,0345 0,0884 0,0000 0,0000 0,0000 0,0018 0,0080 0,0165 0,0305

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4961 20,4964 20,4968 20,4973 20,4980 20,4988 20,5007 0,0021 0,0048 0,0085 0,0133 0,0191 0,0260 0,0341 K2=35 15,5787 15,5790 15,5795 15,5801 15,5821 15,5893 15,6089 0,0021 0,0048 0,0085 0,0133 0,0194 0,0274 0,0381 K3=40 10,6614 10,6617 10,6636 10,6772 10,7162 10,7880 10,8947 0,0021 0,0048 0,0088 0,0160 0,0268 0,0416 0,0582 K4=45 5,7447 5,7699 5,8598 6,0198 6,2333 6,4846 6,7641 0,0024 0,0092 0,0220 0,0368 0,0540 0,0727 0,0914 K5=50 1,2892 1,6724 2,0663 2,4646 2,8649 3,2663 3,6683 0,0222 0,0352 0,0485 0,0623 0,0763 0,0909 0,1060 K6=55 0,0225 0,1515 0,3833 0,6766 1,0084 1,3642 1,7357 0,0048 0,0162 0,0300 0,0460 0,0622 0,0782 0,0944 K7=60 0,0000 0,0031 0,0358 0,1244 0,2731 0,4772 0,7257 0,0000 0,0029 0,0090 0,0193 0,0330 0,0469 0,0623 K8=65 0,0000 0,0000 0,0016 0,0150 0,0594 0,1442 0,2713 0,0000 0,0000 0,0020 0,0083 0,0150 0,0254 0,0394 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0092 0,0370 0,0930 0,0000 0,0000 0,0000 0,0020 0,0079 0,0147 0,0229 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4958 20,4957 20,4956 20,4954 20,4952 20,4951 20,4960 0,0018 0,0040 0,0071 0,0110 0,0159 0,0218 0,0287 K2=35 15,5784 15,5784 15,5782 15,5782 15,5801 15,5873 15,6058 0,0018 0,0040 0,0071 0,0111 0,0163 0,0238 0,0339 K3=40 10,6611 10,6610 10,6631 10,6768 10,7146 10,7844 10,8883 0,0018 0,0040 0,0076 0,0149 0,0253 0,0374 0,0515 K4=45 5,7448 5,7701 5,8584 6,0156 6,2265 6,4749 6,7512 0,0021 0,0098 0,0215 0,0331 0,0444 0,0571 0,0706 K5=50 1,2862 1,6671 2,0583 2,4538 2,8513 3,2498 3,6489 0,0175 0,0280 0,0386 0,0496 0,0611 0,0734 0,0863 K6=55 0,0216 0,1490 0,3772 0,6673 0,9956 1,3482 1,7160 0,0055 0,0204 0,0344 0,0477 0,0607 0,0735 0,0866 K7=60 0,0000 0,0032 0,0338 0,1218 0,2685 0,4699 0,7142 0,0000 0,0027 0,0099 0,0246 0,0417 0,0586 0,0747 K8=65 0,0000 0,0000 0,0014 0,0140 0,0561 0,1404 0,2664 0,0000 0,0000 0,0019 0,0076 0,0165 0,0314 0,0496 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0010 0,0092 0,0344 0,0882 0,0000 0,0000 0,0000 0,0016 0,0073 0,0143 0,0253 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4959 20,4959 20,4959 20,4959 20,4959 20,4960 20,4973 0,0018 0,0041 0,0074 0,0115 0,0167 0,0227 0,0300 K2=35 15,5785 15,5785 15,5785 15,5787 15,5808 15,5883 15,6074 0,0018 0,0041 0,0074 0,0115 0,0171 0,0249 0,0354 K3=40 10,6612 10,6612 10,6635 10,6775 10,7157 10,7860 10,8907 0,0018 0,0041 0,0080 0,0156 0,0262 0,0389 0,0533 K4=45 5,7449 5,7705 5,8593 6,0169 6,2286 6,4773 6,7543 0,0022 0,0101 0,0221 0,0339 0,0454 0,0589 0,0730 K5=50 1,2870 1,6684 2,0601 2,4559 2,8538 3,2529 3,6524 0,0183 0,0296 0,0410 0,0527 0,0648 0,0777 0,0912 K6=55 0,0217 0,1495 0,3781 0,6687 0,9974 1,3505 1,7189 0,0055 0,0208 0,0352 0,0489 0,0622 0,0758 0,0894 K7=60 0,0000 0,0032 0,0341 0,1224 0,2695 0,4713 0,7160 0,0000 0,0027 0,0099 0,0247 0,0423 0,0595 0,0765 K8=65 0,0000 0,0000 0,0014 0,0142 0,0565 0,1410 0,2677 0,0000 0,0000 0,0019 0,0076 0,0165 0,0315 0,0500 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0010 0,0093 0,0348 0,0888 0,0000 0,0000 0,0000 0,0016 0,0072 0,0142 0,0253

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4964 20,4972 20,4982 20,4995 20,5011 20,5032 20,5066 0,0017 0,0037 0,0064 0,0098 0,0140 0,0190 0,0251 K2=35 15,5791 15,5798 15,5808 15,5823 15,5857 15,5947 15,6151 0,0017 0,0037 0,0064 0,0099 0,0149 0,0212 0,0300 K3=40 10,6617 10,6625 10,6655 10,6800 10,7201 10,7920 10,9001 0,0017 0,0037 0,0074 0,0136 0,0235 0,0354 0,0465 K4=45 5,7453 5,7713 5,8613 6,0209 6,2355 6,4882 6,7698 0,0023 0,0093 0,0199 0,0318 0,0440 0,0552 0,0670 K5=50 1,2905 1,6751 2,0705 2,4706 2,8731 3,2769 3,6817 0,0162 0,0254 0,0351 0,0451 0,0555 0,0663 0,0773 K6=55 0,0238 0,1566 0,3905 0,6879 1,0232 1,3825 1,7575 0,0055 0,0152 0,0256 0,0368 0,0481 0,0593 0,0710 K7=60 0,0000 0,0033 0,0380 0,1306 0,2845 0,4914 0,7424 0,0001 0,0025 0,0103 0,0213 0,0314 0,0437 0,0555 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0159 0,0629 0,1517 0,2846 0,0000 0,0001 0,0018 0,0078 0,0171 0,0292 0,0410 K9=70 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0099 0,0393 0,0986 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0067 0,0155 0,0261

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4964 20,4970 20,4980 20,4992 20,5007 20,5026 20,5058 0,0015 0,0034 0,0060 0,0094 0,0135 0,0185 0,0246 K2=35 15,5790 15,5797 15,5806 15,5820 15,5852 15,5941 15,6143 0,0015 0,0034 0,0060 0,0095 0,0144 0,0208 0,0296 K3=40 10,6617 10,6623 10,6653 10,6797 10,7196 10,7912 10,8991 0,0015 0,0034 0,0071 0,0133 0,0232 0,0352 0,0462 K4=45 5,7452 5,7711 5,8609 6,0203 6,2346 6,4869 6,7683 0,0022 0,0092 0,0198 0,0318 0,0440 0,0554 0,0673 K5=50 1,2902 1,6745 2,0696 2,4694 2,8716 3,2751 3,6797 0,0163 0,0256 0,0353 0,0453 0,0557 0,0665 0,0776 K6=55 0,0237 0,1563 0,3899 0,6869 1,0218 1,3809 1,7555 0,0055 0,0152 0,0257 0,0368 0,0482 0,0593 0,0711 K7=60 0,0000 0,0033 0,0378 0,1304 0,2841 0,4906 0,7412 0,0001 0,0024 0,0101 0,0213 0,0315 0,0437 0,0555 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0158 0,0627 0,1513 0,2841 0,0000 0,0001 0,0018 0,0077 0,0169 0,0291 0,0411 K9=70 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0098 0,0390 0,0983 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0066 0,0153 0,0258

Tabela 6.1.8 - Apresenta os Resultados para os prêmios obtidos por simulação de Monte Carlo para as diferentes técnicas de redução de variância, bem como os respectivos erros-padrão de cada estimativa utilizando-se 42 dimensões para a trajetória do ativo e um intervalo maior para os preços de exercício. Os demais parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.1.5

Anexo 5

Page 109: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

89

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4880 20,3490 19,5570 18,2440 16,5750 14,9120 13,3040 0,0651 0,0764 0,1300 0,2101 0,2732 0,2514 0,2589 K2=35 15,5700 15,4540 14,7900 13,6880 12,2890 10,8960 9,5592 0,0649 0,0760 0,1096 0,1724 0,2269 0,2138 0,2188 K3=40 10,6530 10,5590 10,0260 9,1487 8,0531 6,9863 5,9879 0,0647 0,0771 0,0942 0,1393 0,1837 0,1763 0,1804 K4=45 5,7372 5,6909 5,3739 4,8511 4,1970 3,5724 2,9984 0,0643 0,0773 0,0782 0,1086 0,1338 0,1329 0,1383 K5=50 1,2814 1,6146 1,7302 1,6566 1,4559 1,2401 1,0322 0,0469 0,0565 0,0487 0,0559 0,0697 0,0688 0,0771 K6=55 0,0215 0,1245 0,2060 0,2342 0,2178 0,1917 0,1625 0,0067 0,0192 0,0226 0,0184 0,0165 0,0191 0,0174 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4950 20,3620 19,5910 18,2180 16,5050 14,8470 13,2260 0,0056 0,0548 0,1236 0,2236 0,2707 0,2908 0,3005 K2=35 15,5780 15,4670 14,8210 13,6700 12,2330 10,8440 9,4958 0,0048 0,0459 0,1024 0,1851 0,2241 0,2422 0,2514 K3=40 10,6610 10,5710 10,0530 9,1357 8,0107 6,9497 5,9429 0,0040 0,0371 0,0814 0,1464 0,1755 0,1896 0,1936 K4=45 5,7443 5,7018 5,3972 4,8471 4,1716 3,5530 2,9719 0,0032 0,0249 0,0517 0,0912 0,1091 0,1138 0,1142 K5=50 1,2889 1,6264 1,7513 1,6606 1,4460 1,2349 1,0201 0,0223 0,0406 0,0493 0,0527 0,0567 0,0569 0,0612 K6=55 0,0223 0,1276 0,2155 0,2383 0,2162 0,1934 0,1591 0,0048 0,0169 0,0217 0,0241 0,0246 0,0212 0,0199 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4950 20,3610 19,5930 18,2440 16,5810 14,8900 13,2920 0,0056 0,0560 0,1341 0,2211 0,2646 0,2392 0,2527 K2=35 15,5780 15,4660 14,8230 13,6920 12,2980 10,8820 9,5536 0,0047 0,0467 0,1117 0,1843 0,2218 0,2025 0,2147 K3=40 10,6600 10,5710 10,0550 9,1547 8,0637 6,9786 5,9876 0,0039 0,0374 0,0891 0,1483 0,1802 0,1658 0,1765 K4=45 5,7443 5,7019 5,3979 4,8580 4,2074 3,5688 3,0006 0,0034 0,0311 0,0642 0,1133 0,1313 0,1239 0,1371 K5=50 1,2859 1,6212 1,7450 1,6606 1,4624 1,2383 1,0341 0,0176 0,0320 0,0403 0,0618 0,0675 0,0613 0,0770 K6=55 0,0214 0,1255 0,2109 0,2353 0,2202 0,1912 0,1636 0,0055 0,0154 0,0205 0,0189 0,0175 0,0156 0,0180 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4950 20,3580 19,5790 18,2390 16,5660 14,8890 13,2660 0,0056 0,0565 0,1294 0,2184 0,2648 0,2401 0,2707 K2=35 15,5780 15,4630 14,8110 13,6870 12,2850 10,8810 9,5322 0,0047 0,0471 0,1076 0,1823 0,2216 0,2040 0,2283 K3=40 10,6610 10,5690 10,0460 9,1514 8,0541 6,9787 5,9720 0,0039 0,0377 0,0857 0,1468 0,1783 0,1678 0,1851 K4=45 5,7444 5,7010 5,3916 4,8563 4,2013 3,5697 2,9908 0,0034 0,0314 0,0611 0,1124 0,1284 0,1262 0,1386 K5=50 1,2867 1,6217 1,7421 1,6607 1,4596 1,2398 1,0292 0,0184 0,0334 0,0382 0,0610 0,0635 0,0640 0,0747 K6=55 0,0215 0,1256 0,2098 0,2355 0,2190 0,1920 0,1617 0,0055 0,0157 0,0190 0,0196 0,0162 0,0170 0,0193 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4950 20,3410 19,5590 18,1550 16,4890 14,7690 13,1660 0,0055 0,0715 0,1252 0,2105 0,2279 0,2882 0,2872 K2=35 15,5780 15,4500 14,7940 13,6160 12,2180 10,7780 9,4444 0,0047 0,0595 0,1042 0,1747 0,1886 0,2383 0,2366 K3=40 10,6610 10,5580 10,0310 9,0931 7,9972 6,8931 5,8996 0,0038 0,0477 0,0833 0,1395 0,1485 0,1863 0,1821 K4=45 5,7448 5,6925 5,3796 4,8129 4,1574 3,5065 2,9369 0,0033 0,0359 0,0647 0,1107 0,1113 0,1306 0,1232 K5=50 1,2902 1,6221 1,7413 1,6414 1,4384 1,2061 1,0000 0,0163 0,0369 0,0467 0,0654 0,0594 0,0707 0,0616 K6=55 0,0236 0,1293 0,2135 0,2346 0,2176 0,1840 0,1546 0,0053 0,0139 0,0206 0,0236 0,0218 0,0238 0,0196 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4950 20,3430 19,5580 18,1630 16,4980 14,7740 13,1700 0,0055 0,0693 0,1279 0,2031 0,2314 0,2802 0,2880 K2=35 15,5780 15,4510 14,7930 13,6240 12,2250 10,7820 9,4479 0,0047 0,0577 0,1065 0,1688 0,1919 0,2320 0,2374 K3=40 10,6610 10,5590 10,0310 9,0987 8,0029 6,8965 5,9023 0,0038 0,0462 0,0851 0,1349 0,1513 0,1820 0,1833 K4=45 5,7447 5,6933 5,3790 4,8168 4,1611 3,5088 2,9386 0,0033 0,0346 0,0661 0,1075 0,1137 0,1281 0,1240 K5=50 1,2898 1,6221 1,7403 1,6433 1,4399 1,2071 1,0005 0,0164 0,0365 0,0480 0,0646 0,0611 0,0687 0,0616 K6=55 0,0236 0,1294 0,2130 0,2352 0,2179 0,1843 0,1547 0,0053 0,0137 0,0212 0,0238 0,0223 0,0229 0,0197 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabela 6.2.7 – Estimativas dos prêmios e erros-padrão das opções com Barreira do tipo Up And Out obtidas por simulação de Monte Carlo para diversas técnicas de redução de variância com variação da volatilidade do ativo objeto e do preço de exercício. A barreira foi estabelecida em $60 e os demais parâmetros são apresentados na tabela 6.2.1.

Anexo 6

Page 110: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

90

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4890 20,4850 20,4800 20,4320 20,2490 19,8070 19,0880 0,0641 0,0965 0,1304 0,1345 0,1552 0,1645 0,1851 K2=35 15,5710 15,5680 15,5630 15,5210 15,3620 14,9800 14,3650 0,0641 0,0965 0,1302 0,1370 0,1569 0,1613 0,1678 K3=40 10,6540 10,6500 10,6480 10,6250 10,5250 10,2600 9,8165 0,0641 0,0965 0,1295 0,1377 0,1556 0,1537 0,1499 K4=45 5,7376 5,7597 5,8444 5,9714 6,0671 6,0352 5,8510 0,0639 0,0935 0,1216 0,1295 0,1422 0,1353 0,1224 K5=50 1,2817 1,6609 2,0497 2,4210 2,7258 2,8975 2,9225 0,0467 0,0672 0,0888 0,0963 0,1090 0,1016 0,0846 K6=55 0,0216 0,1483 0,3748 0,6460 0,9039 1,0831 1,1634 0,0067 0,0267 0,0483 0,0595 0,0745 0,0726 0,0645 K7=60 0,0000 0,0032 0,0336 0,1098 0,2089 0,2905 0,3319 0,0000 0,0030 0,0119 0,0230 0,0359 0,0406 0,0386 K8=65 0,0000 0,0000 0,0014 0,0078 0,0244 0,0410 0,0454 0,0000 0,0000 0,0021 0,0038 0,0079 0,0117 0,0106 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4960 20,4960 20,4960 20,4570 20,2680 19,8170 19,1310 0,0021 0,0048 0,0108 0,0445 0,0763 0,1246 0,1742 K2=35 15,5790 15,5790 15,5780 15,5450 15,3800 14,9900 14,4050 0,0021 0,0048 0,0103 0,0394 0,0662 0,1073 0,1489 K3=40 10,6610 10,6620 10,6630 10,6470 10,5430 10,2720 9,8560 0,0021 0,0048 0,0098 0,0315 0,0521 0,0808 0,1156 K4=45 5,7447 5,7699 5,8591 5,9944 6,0879 6,0520 5,8910 0,0024 0,0092 0,0223 0,0453 0,0641 0,0722 0,1055 K5=50 1,2892 1,6724 2,0657 2,4440 2,7477 2,9166 2,9606 0,0222 0,0352 0,0485 0,0674 0,0820 0,0857 0,1047 K6=55 0,0225 0,1515 0,3829 0,6610 0,9194 1,0975 1,1933 0,0048 0,0162 0,0301 0,0495 0,0644 0,0656 0,0825 K7=60 0,0000 0,0031 0,0355 0,1138 0,2121 0,2929 0,3468 0,0000 0,0029 0,0089 0,0193 0,0305 0,0302 0,0423 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0093 0,0261 0,0393 0,0481 0,0000 0,0000 0,0019 0,0040 0,0082 0,0107 0,0138 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4960 20,4960 20,4940 20,4530 20,2670 19,8210 19,1140 0,0018 0,0040 0,0100 0,0474 0,0834 0,1427 0,2083 K2=35 15,5780 15,5780 15,5770 15,5410 15,3800 14,9960 14,3910 0,0018 0,0040 0,0094 0,0415 0,0734 0,1235 0,1793 K3=40 10,6610 10,6610 10,6620 10,6450 10,5430 10,2750 9,8417 0,0018 0,0040 0,0093 0,0382 0,0686 0,1049 0,1510 K4=45 5,7448 5,7701 5,8576 5,9887 6,0827 6,0485 5,8722 0,0021 0,0098 0,0221 0,0478 0,0703 0,0923 0,1194 K5=50 1,2862 1,6671 2,0577 2,4322 2,7356 2,9060 2,9376 0,0175 0,0280 0,0388 0,0519 0,0689 0,0750 0,0881 K6=55 0,0216 0,1490 0,3768 0,6509 0,9081 1,0870 1,1724 0,0055 0,0204 0,0345 0,0420 0,0580 0,0618 0,0683 K7=60 0,0000 0,0032 0,0336 0,1107 0,2091 0,2908 0,3366 0,0000 0,0027 0,0098 0,0191 0,0305 0,0352 0,0383 K8=65 0,0000 0,0000 0,0013 0,0081 0,0242 0,0403 0,0467 0,0000 0,0000 0,0019 0,0036 0,0075 0,0094 0,0096 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4960 20,4960 20,4950 20,4530 20,2660 19,8200 19,1120 0,0018 0,0041 0,0102 0,0445 0,0810 0,1442 0,2021 K2=35 15,5790 15,5790 15,5770 15,5410 15,3790 14,9950 14,3900 0,0018 0,0041 0,0096 0,0391 0,0713 0,1247 0,1740 K3=40 10,6610 10,6610 10,6630 10,6450 10,5430 10,2750 9,8415 0,0018 0,0041 0,0095 0,0365 0,0672 0,1059 0,1466 K4=45 5,7449 5,7705 5,8586 5,9901 6,0838 6,0495 5,8730 0,0022 0,0101 0,0226 0,0475 0,0703 0,0931 0,1165 K5=50 1,2870 1,6684 2,0595 2,4343 2,7374 2,9076 2,9389 0,0183 0,0296 0,0412 0,0550 0,0712 0,0758 0,0864 K6=55 0,0217 0,1495 0,3777 0,6523 0,9093 1,0878 1,1733 0,0055 0,0208 0,0353 0,0442 0,0599 0,0609 0,0664 K7=60 0,0000 0,0032 0,0338 0,1113 0,2096 0,2907 0,3367 0,0000 0,0027 0,0098 0,0197 0,0325 0,0343 0,0372 K8=65 0,0000 0,0000 0,0013 0,0083 0,0243 0,0397 0,0468 0,0000 0,0000 0,0019 0,0037 0,0081 0,0094 0,0107 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4960 20,4970 20,4970 20,4580 20,2420 19,7910 19,0930 0,0017 0,0037 0,0092 0,0353 0,0961 0,1419 0,1664 K2=35 15,5790 15,5800 15,5800 15,5460 15,3580 14,9690 14,3710 0,0017 0,0037 0,0086 0,0314 0,0843 0,1224 0,1432 K3=40 10,6620 10,6620 10,6640 10,6490 10,5250 10,2520 9,8263 0,0017 0,0037 0,0086 0,0277 0,0746 0,1047 0,1273 K4=45 5,7453 5,7713 5,8604 5,9949 6,0717 6,0344 5,8661 0,0023 0,0093 0,0204 0,0395 0,0785 0,1028 0,1175 K5=50 1,2905 1,6751 2,0698 2,4498 2,7411 2,9092 2,9479 0,0162 0,0254 0,0353 0,0511 0,0776 0,0866 0,0896 K6=55 0,0238 0,1566 0,3900 0,6721 0,9230 1,1008 1,1935 0,0055 0,0152 0,0255 0,0383 0,0556 0,0648 0,0676 K7=60 0,0000 0,0033 0,0376 0,1199 0,2162 0,2955 0,3467 0,0001 0,0025 0,0098 0,0209 0,0292 0,0320 0,0372 K8=65 0,0000 0,0000 0,0013 0,0103 0,0262 0,0398 0,0506 0,0000 0,0001 0,0012 0,0059 0,0091 0,0091 0,0122 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4960 20,4970 20,4970 20,4590 20,2440 19,7960 19,0930 0,0015 0,0034 0,0091 0,0341 0,0970 0,1389 0,1715 K2=35 15,5790 15,5800 15,5790 15,5470 15,3600 14,9730 14,3710 0,0015 0,0034 0,0085 0,0303 0,0850 0,1197 0,1476 K3=40 10,6620 10,6620 10,6640 10,6500 10,5260 10,2560 9,8260 0,0015 0,0034 0,0085 0,0265 0,0750 0,1021 0,1305 K4=45 5,7452 5,7711 5,8600 5,9951 6,0725 6,0367 5,8651 0,0022 0,0092 0,0203 0,0385 0,0789 0,0996 0,1194 K5=50 1,2902 1,6745 2,0689 2,4491 2,7409 2,9103 2,9462 0,0163 0,0256 0,0355 0,0510 0,0774 0,0839 0,0908 K6=55 0,0237 0,1563 0,3894 0,6715 0,9227 1,1014 1,1917 0,0055 0,0152 0,0256 0,0379 0,0552 0,0639 0,0682 K7=60 0,0000 0,0033 0,0374 0,1199 0,2163 0,2963 0,3456 0,0001 0,0024 0,0096 0,0207 0,0286 0,0324 0,0377 K8=65 0,0000 0,0000 0,0013 0,0103 0,0263 0,0403 0,0502 0,0000 0,0001 0,0012 0,0057 0,0087 0,0095 0,0124 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Tabela 6.2.8 – Estimativas dos prêmios e erros-padrão das opções com Barreira do tipo Up And Out obtidas por simulação de Monte Carlo para diversas técnicas de redução de variância com variação da volatilidade do ativo objeto e do preço de exercício. A barreira foi estabelecida em $70 e os demais parâmetros são apresentados na tabela 6.2.1.

Anexo 7

Page 111: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

91

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4886 20,4849 20,4813 20,4776 20,4722 20,4237 20,2986 0,0641 0,0965 0,1292 0,1622 0,1970 0,2016 0,2111 K2=35 15,5712 15,5676 15,5639 15,5604 15,5574 15,5207 15,4254 0,0641 0,0965 0,1292 0,1621 0,1964 0,2023 0,2111 K3=40 10,6539 10,6503 10,6489 10,6592 10,6926 10,7234 10,7263 0,0641 0,0965 0,1287 0,1597 0,1911 0,1974 0,2070 K4=45 5,7376 5,7597 5,8452 6,0000 6,2076 6,4225 6,6103 0,0639 0,0935 0,1208 0,1465 0,1717 0,1766 0,1850 K5=50 1,2817 1,6609 2,0503 2,4440 2,8388 3,2083 3,5314 0,0467 0,0672 0,0882 0,1100 0,1335 0,1403 0,1486 K6=55 0,0216 0,1483 0,3752 0,6635 0,9893 1,3173 1,6217 0,0067 0,0267 0,0481 0,0703 0,0931 0,1016 0,1111 K7=60 0,0000 0,0032 0,0339 0,1217 0,2669 0,4485 0,6415 0,0000 0,0030 0,0119 0,0304 0,0539 0,0660 0,0763 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0142 0,0557 0,1260 0,2135 0,0000 0,0000 0,0021 0,0086 0,0197 0,0306 0,0407 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0011 0,0091 0,0247 0,0528 0,0000 0,0000 0,0000 0,0018 0,0080 0,0102 0,0157

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4961 20,4964 20,4968 20,4973 20,4931 20,4567 20,3383 0,0021 0,0048 0,0085 0,0133 0,0234 0,0520 0,0938 K2=35 15,5787 15,5790 15,5795 15,5801 15,5777 15,5512 15,4624 0,0021 0,0048 0,0085 0,0133 0,0221 0,0446 0,0820 K3=40 10,6614 10,6617 10,6636 10,6772 10,7123 10,7541 10,7641 0,0021 0,0048 0,0088 0,0160 0,0288 0,0525 0,0870 K4=45 5,7447 5,7699 5,8598 6,0198 6,2299 6,4548 6,6495 0,0024 0,0092 0,0220 0,0368 0,0549 0,0801 0,1119 K5=50 1,2892 1,6724 2,0663 2,4646 2,8620 3,2405 3,5696 0,0222 0,0352 0,0485 0,0623 0,0760 0,0967 0,1221 K6=55 0,0225 0,1515 0,3833 0,6766 1,0060 1,3426 1,6529 0,0048 0,0162 0,0300 0,0460 0,0623 0,0820 0,1059 K7=60 0,0000 0,0031 0,0358 0,1244 0,2711 0,4596 0,6587 0,0000 0,0029 0,0090 0,0193 0,0340 0,0487 0,0695 K8=65 0,0000 0,0000 0,0016 0,0150 0,0579 0,1307 0,2202 0,0000 0,0000 0,0020 0,0083 0,0150 0,0238 0,0398 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0083 0,0276 0,0578 0,0000 0,0000 0,0000 0,0020 0,0070 0,0092 0,0175 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4958 20,4957 20,4956 20,4954 20,4935 20,4536 20,3239 0,0018 0,0040 0,0071 0,0110 0,0184 0,0468 0,0871 K2=35 15,5784 15,5784 15,5782 15,5782 15,5786 15,5499 15,4507 0,0018 0,0040 0,0071 0,0111 0,0184 0,0453 0,0817 K3=40 10,6611 10,6610 10,6631 10,6768 10,7133 10,7511 10,7503 0,0018 0,0040 0,0076 0,0149 0,0267 0,0550 0,0893 K4=45 5,7448 5,7701 5,8584 6,0156 6,2254 6,4457 6,6302 0,0021 0,0098 0,0215 0,0331 0,0450 0,0681 0,0919 K5=50 1,2862 1,6671 2,0583 2,4538 2,8503 3,2247 3,5450 0,0175 0,0280 0,0386 0,0496 0,0615 0,0754 0,0903 K6=55 0,0216 0,1490 0,3772 0,6673 0,9948 1,3272 1,6292 0,0055 0,0204 0,0344 0,0477 0,0608 0,0679 0,0798 K7=60 0,0000 0,0032 0,0338 0,1218 0,2679 0,4530 0,6444 0,0000 0,0027 0,0099 0,0246 0,0418 0,0518 0,0610 K8=65 0,0000 0,0000 0,0014 0,0140 0,0556 0,1276 0,2137 0,0000 0,0000 0,0019 0,0076 0,0163 0,0265 0,0359 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0010 0,0089 0,0257 0,0524 0,0000 0,0000 0,0000 0,0016 0,0072 0,0093 0,0158 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4959 20,4959 20,4959 20,4959 20,4942 20,4561 20,3254 0,0018 0,0041 0,0074 0,0115 0,0189 0,0487 0,0890 K2=35 15,5785 15,5785 15,5785 15,5787 15,5794 15,5523 15,4525 0,0018 0,0041 0,0074 0,0115 0,0190 0,0475 0,0835 K3=40 10,6612 10,6612 10,6635 10,6775 10,7144 10,7539 10,7528 0,0018 0,0041 0,0080 0,0156 0,0276 0,0571 0,0902 K4=45 5,7449 5,7705 5,8593 6,0169 6,2275 6,4492 6,6335 0,0022 0,0101 0,0221 0,0339 0,0460 0,0715 0,0942 K5=50 1,2870 1,6684 2,0601 2,4559 2,8529 3,2287 3,5487 0,0183 0,0296 0,0410 0,0527 0,0651 0,0811 0,0958 K6=55 0,0217 0,1495 0,3781 0,6687 0,9966 1,3302 1,6322 0,0055 0,0208 0,0352 0,0489 0,0623 0,0705 0,0831 K7=60 0,0000 0,0032 0,0341 0,1224 0,2688 0,4550 0,6463 0,0000 0,0027 0,0099 0,0247 0,0424 0,0527 0,0622 K8=65 0,0000 0,0000 0,0014 0,0142 0,0560 0,1286 0,2151 0,0000 0,0000 0,0019 0,0076 0,0164 0,0268 0,0354 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0010 0,0090 0,0263 0,0531 0,0000 0,0000 0,0000 0,0016 0,0072 0,0094 0,0150

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4964 20,4972 20,4982 20,4995 20,4993 20,4586 20,3198 0,0017 0,0037 0,0064 0,0098 0,0161 0,0443 0,1130 K2=35 15,5791 15,5798 15,5808 15,5823 15,5840 15,5545 15,4467 0,0017 0,0037 0,0064 0,0099 0,0163 0,0412 0,1003 K3=40 10,6617 10,6625 10,6655 10,6800 10,7186 10,7562 10,7500 0,0017 0,0037 0,0074 0,0136 0,0240 0,0489 0,0990 K4=45 5,7453 5,7713 5,8613 6,0209 6,2342 6,4568 6,6382 0,0023 0,0093 0,0199 0,0318 0,0444 0,0665 0,1096 K5=50 1,2905 1,6751 2,0705 2,4706 2,8719 3,2500 3,5684 0,0162 0,0254 0,0351 0,0451 0,0557 0,0743 0,1059 K6=55 0,0238 0,1566 0,3905 0,6879 1,0222 1,3599 1,6626 0,0055 0,0152 0,0256 0,0368 0,0479 0,0618 0,0838 K7=60 0,0000 0,0033 0,0380 0,1306 0,2837 0,4733 0,6658 0,0001 0,0025 0,0103 0,0213 0,0310 0,0430 0,0558 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0159 0,0623 0,1380 0,2264 0,0000 0,0001 0,0018 0,0078 0,0162 0,0278 0,0345 K9=70 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0094 0,0300 0,0587 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0056 0,0124 0,0162

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4964 20,4970 20,4980 20,4992 20,4989 20,4580 20,3197 0,0015 0,0034 0,0060 0,0094 0,0158 0,0443 0,1118 K2=35 15,5790 15,5797 15,5806 15,5820 15,5836 15,5539 15,4465 0,0015 0,0034 0,0060 0,0095 0,0161 0,0411 0,0991 K3=40 10,6617 10,6623 10,6653 10,6797 10,7181 10,7554 10,7496 0,0015 0,0034 0,0071 0,0133 0,0238 0,0488 0,0978 K4=45 5,7452 5,7711 5,8609 6,0203 6,2333 6,4555 6,6372 0,0022 0,0092 0,0198 0,0318 0,0445 0,0667 0,1083 K5=50 1,2902 1,6745 2,0696 2,4694 2,8704 3,2482 3,5669 0,0163 0,0256 0,0353 0,0453 0,0559 0,0746 0,1044 K6=55 0,0237 0,1563 0,3899 0,6869 1,0209 1,3583 1,6612 0,0055 0,0152 0,0257 0,0368 0,0480 0,0620 0,0825 K7=60 0,0000 0,0033 0,0378 0,1304 0,2832 0,4725 0,6652 0,0001 0,0024 0,0101 0,0213 0,0310 0,0430 0,0549 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0158 0,0620 0,1377 0,2265 0,0000 0,0001 0,0018 0,0077 0,0160 0,0278 0,0342 K9=70 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0093 0,0298 0,0588 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0054 0,0123 0,0161

Tabela 6.2.9 – Estimativas dos prêmios e erros-padrão das opções com Barreira do tipo Up And Out obtidas por simulação de Monte Carlo para diversas técnicas de redução de variância com variação da volatilidade do ativo objeto e do preço de exercício. A barreira foi estabelecida em $80 e os demais parâmetros são apresentados na tabela 6.2.1.

Anexo 8

Page 112: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

92

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4890 20,4850 20,4810 20,4780 20,4740 20,4680 20,4560 0,0641 0,0965 0,1292 0,1622 0,1955 0,2308 0,2594 K2=35 15,5710 15,5680 15,5640 15,5600 15,5590 15,5610 15,5670 0,0641 0,0965 0,1292 0,1621 0,1951 0,2288 0,2561 K3=40 10,6540 10,6500 10,6490 10,6590 10,6940 10,7590 10,8520 0,0641 0,0965 0,1287 0,1597 0,1899 0,2206 0,2456 K4=45 5,7376 5,7597 5,8452 6,0000 6,2087 6,4539 6,7205 0,0639 0,0935 0,1208 0,1465 0,1707 0,1963 0,2176 K5=50 1,2817 1,6609 2,0503 2,4440 2,8397 3,2353 3,6259 0,0467 0,0672 0,0882 0,1100 0,1327 0,1571 0,1765 K6=55 0,0216 0,1483 0,3752 0,6635 0,9901 1,3399 1,7006 0,0067 0,0267 0,0481 0,0703 0,0927 0,1161 0,1345 K7=60 0,0000 0,0032 0,0339 0,1217 0,2676 0,4667 0,7046 0,0000 0,0030 0,0119 0,0304 0,0536 0,0781 0,0980 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0142 0,0561 0,1398 0,2609 0,0000 0,0000 0,0021 0,0086 0,0197 0,0389 0,0598 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0011 0,0094 0,0340 0,0845 0,0000 0,0000 0,0000 0,0018 0,0080 0,0166 0,0291

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4961 20,4964 20,4968 20,4973 20,4980 20,4970 20,4846 0,0021 0,0048 0,0085 0,0133 0,0191 0,0275 0,0489 K2=35 15,5787 15,5790 15,5795 15,5801 15,5821 15,5876 15,5941 0,0021 0,0048 0,0085 0,0133 0,0194 0,0282 0,0491 K3=40 10,6614 10,6617 10,6636 10,6772 10,7162 10,7866 10,8812 0,0021 0,0048 0,0088 0,0160 0,0268 0,0423 0,0679 K4=45 5,7447 5,7699 5,8598 6,0198 6,2333 6,4833 6,7520 0,0024 0,0092 0,0220 0,0368 0,0540 0,0731 0,0971 K5=50 1,2892 1,6724 2,0663 2,4646 2,8649 3,2652 3,6575 0,0222 0,0352 0,0485 0,0623 0,0763 0,0910 0,1093 K6=55 0,0225 0,1515 0,3833 0,6766 1,0084 1,3632 1,7263 0,0048 0,0162 0,0300 0,0460 0,0622 0,0784 0,0981 K7=60 0,0000 0,0031 0,0358 0,1244 0,2731 0,4764 0,7175 0,0000 0,0029 0,0090 0,0193 0,0330 0,0470 0,0674 K8=65 0,0000 0,0000 0,0016 0,0150 0,0594 0,1435 0,2644 0,0000 0,0000 0,0020 0,0083 0,0150 0,0255 0,0428 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0092 0,0365 0,0874 0,0000 0,0000 0,0000 0,0020 0,0079 0,0144 0,0234 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4958 20,4957 20,4956 20,4954 20,4952 20,4933 20,4843 0,0018 0,0040 0,0071 0,0110 0,0159 0,0241 0,0337 K2=35 15,5784 15,5784 15,5782 15,5782 15,5801 15,5856 15,5951 0,0018 0,0040 0,0071 0,0111 0,0163 0,0256 0,0372 K3=40 10,6611 10,6610 10,6631 10,6768 10,7146 10,7829 10,8786 0,0018 0,0040 0,0076 0,0149 0,0253 0,0386 0,0538 K4=45 5,7448 5,7701 5,8584 6,0156 6,2265 6,4736 6,7425 0,0021 0,0098 0,0215 0,0331 0,0444 0,0579 0,0705 K5=50 1,2862 1,6671 2,0583 2,4538 2,8513 3,2487 3,6411 0,0175 0,0280 0,0386 0,0496 0,0611 0,0737 0,0828 K6=55 0,0216 0,1490 0,3772 0,6673 0,9956 1,3472 1,7093 0,0055 0,0204 0,0344 0,0477 0,0607 0,0737 0,0818 K7=60 0,0000 0,0032 0,0338 0,1218 0,2685 0,4691 0,7084 0,0000 0,0027 0,0099 0,0246 0,0417 0,0588 0,0707 K8=65 0,0000 0,0000 0,0014 0,0140 0,0561 0,1398 0,2616 0,0000 0,0000 0,0019 0,0076 0,0165 0,0315 0,0471 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0010 0,0092 0,0339 0,0844 0,0000 0,0000 0,0000 0,0016 0,0073 0,0143 0,0241 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4959 20,4959 20,4959 20,4959 20,4959 20,4942 20,4876 0,0018 0,0041 0,0074 0,0115 0,0167 0,0249 0,0342 K2=35 15,5785 15,5785 15,5785 15,5787 15,5808 15,5867 15,5985 0,0018 0,0041 0,0074 0,0115 0,0171 0,0265 0,0387 K3=40 10,6612 10,6612 10,6635 10,6775 10,7157 10,7845 10,8826 0,0018 0,0041 0,0080 0,0156 0,0262 0,0401 0,0563 K4=45 5,7449 5,7705 5,8593 6,0169 6,2286 6,4760 6,7470 0,0022 0,0101 0,0221 0,0339 0,0454 0,0597 0,0729 K5=50 1,2870 1,6684 2,0601 2,4559 2,8538 3,2517 3,6460 0,0183 0,0296 0,0410 0,0527 0,0648 0,0780 0,0876 K6=55 0,0217 0,1495 0,3781 0,6687 0,9974 1,3495 1,7133 0,0055 0,0208 0,0352 0,0489 0,0622 0,0759 0,0844 K7=60 0,0000 0,0032 0,0341 0,1224 0,2695 0,4705 0,7112 0,0000 0,0027 0,0099 0,0247 0,0423 0,0597 0,0721 K8=65 0,0000 0,0000 0,0014 0,0142 0,0565 0,1403 0,2637 0,0000 0,0000 0,0019 0,0076 0,0165 0,0314 0,0470 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0010 0,0093 0,0343 0,0857 0,0000 0,0000 0,0000 0,0016 0,0072 0,0143 0,0235

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4964 20,4972 20,4982 20,4995 20,5011 20,5012 20,4985 0,0017 0,0037 0,0064 0,0098 0,0140 0,0208 0,0335 K2=35 15,5791 15,5798 15,5808 15,5823 15,5857 15,5928 15,6076 0,0017 0,0037 0,0064 0,0099 0,0149 0,0220 0,0359 K3=40 10,6617 10,6625 10,6655 10,6800 10,7201 10,7902 10,8933 0,0017 0,0037 0,0074 0,0136 0,0235 0,0360 0,0496 K4=45 5,7453 5,7713 5,8613 6,0209 6,2355 6,4866 6,7637 0,0023 0,0093 0,0199 0,0318 0,0440 0,0557 0,0690 K5=50 1,2905 1,6751 2,0705 2,4706 2,8731 3,2755 3,6763 0,0162 0,0254 0,0351 0,0451 0,0555 0,0665 0,0801 K6=55 0,0238 0,1566 0,3905 0,6879 1,0232 1,3813 1,7527 0,0055 0,0152 0,0256 0,0368 0,0481 0,0591 0,0731 K7=60 0,0000 0,0033 0,0380 0,1306 0,2845 0,4903 0,7382 0,0001 0,0025 0,0103 0,0213 0,0314 0,0432 0,0572 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0159 0,0629 0,1508 0,2811 0,0000 0,0001 0,0018 0,0078 0,0171 0,0285 0,0424 K9=70 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0099 0,0386 0,0958 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0067 0,0142 0,0264

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4964 20,4970 20,4980 20,4992 20,5007 20,5006 20,4977 0,0015 0,0034 0,0060 0,0094 0,0135 0,0205 0,0331 K2=35 15,5790 15,5797 15,5806 15,5820 15,5852 15,5923 15,6069 0,0015 0,0034 0,0060 0,0095 0,0144 0,0218 0,0355 K3=40 10,6617 10,6623 10,6653 10,6797 10,7196 10,7895 10,8923 0,0015 0,0034 0,0071 0,0133 0,0232 0,0359 0,0493 K4=45 5,7452 5,7711 5,8609 6,0203 6,2346 6,4854 6,7622 0,0022 0,0092 0,0198 0,0318 0,0440 0,0559 0,0692 K5=50 1,2902 1,6745 2,0696 2,4694 2,8716 3,2737 3,6742 0,0163 0,0256 0,0353 0,0453 0,0557 0,0667 0,0803 K6=55 0,0237 0,1563 0,3899 0,6869 1,0218 1,3797 1,7507 0,0055 0,0152 0,0257 0,0368 0,0482 0,0592 0,0733 K7=60 0,0000 0,0033 0,0378 0,1304 0,2841 0,4895 0,7370 0,0001 0,0024 0,0101 0,0213 0,0315 0,0432 0,0573 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0158 0,0627 0,1505 0,2806 0,0000 0,0001 0,0018 0,0077 0,0169 0,0284 0,0425 K9=70 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0098 0,0383 0,0954 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0066 0,0139 0,0261

Tabela 6.2.10 – Estimativas dos prêmios e erros-padrão das opções com Barreira do tipo Up And Out obtidas por simulação de Monte Carlo para diversas técnicas de redução de variância com variação da volatilidade do ativo objeto e do preço de exercício. A barreira foi estabelecida em $90 e os demais parâmetros são apresentados na tabela 6.2.1.

Anexo 9

Page 113: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

93

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4886 20,4849 20,4813 20,4776 20,4738 20,4703 20,4658 0,0641 0,0965 0,1292 0,1622 0,1955 0,2291 0,2649 K2=35 15,5712 15,5676 15,5639 15,5604 15,5588 15,5626 15,5761 0,0641 0,0965 0,1292 0,1621 0,1951 0,2273 0,2613 K3=40 10,6539 10,6503 10,6489 10,6592 10,6939 10,7608 10,8604 0,0641 0,0965 0,1287 0,1597 0,1899 0,2192 0,2502 K4=45 5,7376 5,7597 5,8452 6,0000 6,2087 6,4553 6,7278 0,0639 0,0935 0,1208 0,1465 0,1707 0,1951 0,2220 K5=50 1,2817 1,6609 2,0503 2,4440 2,8397 3,2364 3,6323 0,0467 0,0672 0,0882 0,1100 0,1327 0,1562 0,1816 K6=55 0,0216 0,1483 0,3752 0,6635 0,9901 1,3409 1,7061 0,0067 0,0267 0,0481 0,0703 0,0927 0,1155 0,1399 K7=60 0,0000 0,0032 0,0339 0,1217 0,2676 0,4675 0,7093 0,0000 0,0030 0,0119 0,0304 0,0536 0,0777 0,1025 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0142 0,0561 0,1404 0,2648 0,0000 0,0000 0,0021 0,0086 0,0197 0,0388 0,0626 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0011 0,0094 0,0345 0,0877 0,0000 0,0000 0,0000 0,0018 0,0080 0,0165 0,0305

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4961 20,4964 20,4968 20,4973 20,4980 20,4988 20,4987 0,0021 0,0048 0,0085 0,0133 0,0191 0,0260 0,0354 K2=35 15,5787 15,5790 15,5795 15,5801 15,5821 15,5893 15,6070 0,0021 0,0048 0,0085 0,0133 0,0194 0,0274 0,0388 K3=40 10,6614 10,6617 10,6636 10,6772 10,7162 10,7880 10,8930 0,0021 0,0048 0,0088 0,0160 0,0268 0,0416 0,0588 K4=45 5,7447 5,7699 5,8598 6,0198 6,2333 6,4846 6,7626 0,0024 0,0092 0,0220 0,0368 0,0540 0,0727 0,0917 K5=50 1,2892 1,6724 2,0663 2,4646 2,8649 3,2663 3,6669 0,0222 0,0352 0,0485 0,0623 0,0763 0,0909 0,1061 K6=55 0,0225 0,1515 0,3833 0,6766 1,0084 1,3642 1,7345 0,0048 0,0162 0,0300 0,0460 0,0622 0,0782 0,0947 K7=60 0,0000 0,0031 0,0358 0,1244 0,2731 0,4772 0,7246 0,0000 0,0029 0,0090 0,0193 0,0330 0,0469 0,0624 K8=65 0,0000 0,0000 0,0016 0,0150 0,0594 0,1442 0,2704 0,0000 0,0000 0,0020 0,0083 0,0150 0,0254 0,0396 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0092 0,0370 0,0923 0,0000 0,0000 0,0000 0,0020 0,0079 0,0147 0,0227 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4961 20,4964 20,4968 20,4973 20,4980 20,4988 20,4987 0,0018 0,0040 0,0071 0,0110 0,0159 0,0218 0,0309 K2=35 15,5787 15,5790 15,5795 15,5801 15,5821 15,5893 15,6070 0,0018 0,0040 0,0071 0,0111 0,0163 0,0238 0,0356 K3=40 10,6614 10,6617 10,6636 10,6772 10,7162 10,7880 10,8930 0,0018 0,0040 0,0076 0,0149 0,0253 0,0374 0,0526 K4=45 5,7447 5,7699 5,8598 6,0198 6,2333 6,4846 6,7626 0,0021 0,0098 0,0215 0,0331 0,0444 0,0571 0,0715 K5=50 1,2892 1,6724 2,0663 2,4646 2,8649 3,2663 3,6669 0,0175 0,0280 0,0386 0,0496 0,0611 0,0734 0,0867 K6=55 0,0225 0,1515 0,3833 0,6766 1,0084 1,3642 1,7345 0,0055 0,0204 0,0344 0,0477 0,0607 0,0735 0,0869 K7=60 0,0000 0,0031 0,0358 0,1244 0,2731 0,4772 0,7246 0,0000 0,0027 0,0099 0,0246 0,0417 0,0586 0,0750 K8=65 0,0000 0,0000 0,0016 0,0150 0,0594 0,1442 0,2704 0,0000 0,0000 0,0019 0,0076 0,0165 0,0314 0,0497 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0092 0,0370 0,0923 0,0000 0,0000 0,0000 0,0016 0,0073 0,0143 0,0251 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,4959 20,4959 20,4959 20,4959 20,4959 20,4960 20,4953 0,0018 0,0041 0,0074 0,0115 0,0167 0,0227 0,0320 K2=35 15,5785 15,5785 15,5785 15,5787 15,5808 15,5883 15,6055 0,0018 0,0041 0,0074 0,0115 0,0171 0,0249 0,0370 K3=40 10,6612 10,6612 10,6635 10,6775 10,7157 10,7860 10,8890 0,0018 0,0041 0,0080 0,0156 0,0262 0,0389 0,0542 K4=45 5,7449 5,7705 5,8593 6,0169 6,2286 6,4773 6,7528 0,0022 0,0101 0,0221 0,0339 0,0454 0,0589 0,0738 K5=50 1,2870 1,6684 2,0601 2,4559 2,8538 3,2529 3,6511 0,0183 0,0296 0,0410 0,0527 0,0648 0,0777 0,0915 K6=55 0,0217 0,1495 0,3781 0,6687 0,9974 1,3505 1,7177 0,0055 0,0208 0,0352 0,0489 0,0622 0,0758 0,0895 K7=60 0,0000 0,0032 0,0341 0,1224 0,2695 0,4713 0,7149 0,0000 0,0027 0,0099 0,0247 0,0423 0,0595 0,0767 K8=65 0,0000 0,0000 0,0014 0,0142 0,0565 0,1410 0,2668 0,0000 0,0000 0,0019 0,0076 0,0165 0,0315 0,0500 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0010 0,0093 0,0348 0,0881 0,0000 0,0000 0,0000 0,0016 0,0072 0,0142 0,0252

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4964 20,4972 20,4982 20,4995 20,5011 20,5032 20,5043 0,0017 0,0037 0,0064 0,0098 0,0140 0,0190 0,0266 K2=35 15,5791 15,5798 15,5808 15,5823 15,5857 15,5947 15,6129 0,0017 0,0037 0,0064 0,0099 0,0149 0,0212 0,0306 K3=40 10,6617 10,6625 10,6655 10,6800 10,7201 10,7920 10,8981 0,0017 0,0037 0,0074 0,0136 0,0235 0,0354 0,0472 K4=45 5,7453 5,7713 5,8613 6,0209 6,2355 6,4882 6,7680 0,0023 0,0093 0,0199 0,0318 0,0440 0,0552 0,0675 K5=50 1,2905 1,6751 2,0705 2,4706 2,8731 3,2769 3,6801 0,0162 0,0254 0,0351 0,0451 0,0555 0,0663 0,0775 K6=55 0,0238 0,1566 0,3905 0,6879 1,0232 1,3825 1,7560 0,0055 0,0152 0,0256 0,0368 0,0481 0,0593 0,0707 K7=60 0,0000 0,0033 0,0380 0,1306 0,2845 0,4914 0,7411 0,0001 0,0025 0,0103 0,0213 0,0314 0,0437 0,0550 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0159 0,0629 0,1517 0,2835 0,0000 0,0001 0,0018 0,0078 0,0171 0,0292 0,0402 K9=70 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0099 0,0393 0,0976 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0067 0,0155 0,0248

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,4964 20,4970 20,4980 20,4992 20,5007 20,5026 20,5035 0,0015 0,0034 0,0060 0,0094 0,0135 0,0185 0,0262 K2=35 15,5790 15,5797 15,5806 15,5820 15,5852 15,5941 15,6122 0,0015 0,0034 0,0060 0,0095 0,0144 0,0208 0,0303 K3=40 10,6617 10,6623 10,6653 10,6797 10,7196 10,7912 10,8971 0,0015 0,0034 0,0071 0,0133 0,0232 0,0352 0,0470 K4=45 5,7452 5,7711 5,8609 6,0203 6,2346 6,4869 6,7665 0,0022 0,0092 0,0198 0,0318 0,0440 0,0554 0,0678 K5=50 1,2902 1,6745 2,0696 2,4694 2,8716 3,2751 3,6780 0,0163 0,0256 0,0353 0,0453 0,0557 0,0665 0,0778 K6=55 0,0237 0,1563 0,3899 0,6869 1,0218 1,3809 1,7541 0,0055 0,0152 0,0257 0,0368 0,0482 0,0593 0,0709 K7=60 0,0000 0,0033 0,0378 0,1304 0,2841 0,4906 0,7399 0,0001 0,0024 0,0101 0,0213 0,0315 0,0437 0,0550 K8=65 0,0000 0,0000 0,0015 0,0158 0,0627 0,1513 0,2830 0,0000 0,0001 0,0018 0,0077 0,0169 0,0291 0,0402 K9=70 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0098 0,0390 0,0973 0,0000 0,0000 0,0003 0,0018 0,0066 0,0153 0,0244

Tabela 6.2.11 – Estimativas dos prêmios e erros-padrão das opções com Barreira do tipo Up And Out obtidas por simulação de Monte Carlo para diversas técnicas de redução de variância com variação da volatilidade do ativo objeto e dos preços de exercício. A barreira foi estabelecida em $100 e os demais parâmetros são apresentados na tabela 6.2.1.

Anexo 10

Page 114: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

94

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 48,7655 46,5345 43,3430 40,5190 38,1620 36,1395 34,5265 0,1473 0,3605 0,4954 0,5528 0,5772 0,6052 0,5742 K2=47 47,7605 43,9925 40,4175 37,5635 35,3425 33,5985 32,1725 0,2543 0,4401 0,5580 0,5642 0,5810 0,6824 0,7522 K3=48 45,1350 40,2405 36,6800 34,2135 32,3085 30,9205 29,8105 0,3854 0,5520 0,5875 0,5587 0,7356 0,7508 0,7172 K4=49 39,8945 35,1950 32,3580 30,5580 29,2355 28,2680 27,3930 0,5541 0,5851 0,7332 0,7350 0,7302 0,7465 0,7602 K5=50 31,9840 29,2730 27,7815 26,7685 26,0175 25,4225 24,8835 0,7600 0,7422 0,7411 0,7350 0,7455 0,7871 0,7774 K6=51 22,6115 22,9215 22,9610 22,9230 22,8295 22,6950 22,5495 0,6951 0,6872 0,6934 0,6885 0,6910 0,6922 0,6810 K7=52 13,8620 16,9110 18,4875 19,3005 19,8200 20,0955 20,2675 0,5238 0,6464 0,6711 0,6599 0,6492 0,6461 0,6045 K8=53 7,2400 11,6510 14,2290 15,8025 16,8730 17,5990 18,1055 0,5318 0,4895 0,5705 0,6500 0,6521 0,6852 0,6556 K9=54 3,2389 7,5235 10,6100 12,7425 14,1815 15,2010 15,9390 0,4748 0,5778 0,4952 0,4758 0,5576 0,6391 0,6406

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 48,7735 46,5265 43,2760 40,5355 38,1175 36,1690 34,5575 0,1167 0,3305 0,4542 0,5184 0,5304 0,4434 0,4166 K2=47 47,7280 43,9515 40,4435 37,5195 35,3395 33,6185 32,2070 0,2124 0,4213 0,5215 0,5241 0,4289 0,4088 0,3788 K3=48 45,0660 40,2665 36,6755 34,2495 32,3775 30,9335 29,7845 0,3202 0,5077 0,4518 0,4112 0,4038 0,3955 0,3718 K4=49 39,9075 35,2015 32,4200 30,5350 29,1995 28,1930 27,3685 0,5269 0,4325 0,3917 0,3812 0,3920 0,3451 0,3309 K5=50 32,0105 29,2305 27,7370 26,7390 26,0225 25,4670 24,9505 0,4187 0,4052 0,3565 0,2456 0,2271 0,2482 0,1308 K6=51 22,7315 23,0180 23,0690 23,0200 22,9475 22,8115 22,6625 0,2426 0,2396 0,2377 0,2408 0,2400 0,2347 0,2546 K7=52 13,9405 16,9700 18,5255 19,3645 19,8810 20,1675 20,3220 0,4381 0,3792 0,3883 0,3726 0,4119 0,3965 0,4063 K8=53 7,4005 11,7670 14,3060 15,8815 16,9355 17,6090 18,1335 0,5169 0,5156 0,4584 0,3973 0,3937 0,3928 0,3773 K9=54 3,3028 7,6825 10,7395 12,8440 14,2505 15,2570 16,0060 0,3414 0,5226 0,5372 0,4431 0,4450 0,4088 0,3973 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 48,7640 46,5510 43,3680 40,5860 38,1505 36,1755 34,6135 0,1300 0,2974 0,3707 0,3879 0,4360 0,4452 0,4291 K2=47 47,7690 44,0005 40,4730 37,6160 35,4115 33,7330 32,2380 0,2243 0,3235 0,3968 0,4378 0,4212 0,4692 0,5024 K3=48 45,1480 40,3110 36,7705 34,2885 32,3890 31,0055 29,8910 0,3225 0,4052 0,4603 0,4549 0,5346 0,5469 0,5228 K4=49 39,9600 35,2720 32,4445 30,5925 29,3140 28,3060 27,4570 0,4095 0,4470 0,5346 0,4714 0,4954 0,4712 0,5254 K5=50 32,0530 29,3435 27,8520 26,8340 26,1015 25,4275 24,9785 0,4860 0,5030 0,5307 0,4988 0,5785 0,6263 0,6264 K6=51 22,7165 22,9935 23,0540 22,9950 22,9020 22,7740 22,6395 0,5305 0,5442 0,5447 0,5461 0,5461 0,5394 0,5149 K7=52 13,8670 16,9565 18,5595 19,3465 19,8840 20,2155 20,3645 0,3668 0,4415 0,4912 0,4959 0,4817 0,5352 0,5263 K8=53 7,3025 11,7080 14,2785 15,8895 16,9175 17,6580 18,1845 0,4249 0,3699 0,3619 0,3760 0,4321 0,4509 0,4476 K9=54 3,2291 7,5660 10,6460 12,7870 14,2110 15,2420 16,0175 0,3879 0,4190 0,4172 0,3803 0,3562 0,3920 0,3754 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 48,7620 46,5230 43,3775 40,5845 38,1355 36,1820 34,6065 0,1314 0,3130 0,3597 0,3915 0,4465 0,4315 0,4645 K2=47 47,7510 43,9905 40,4615 37,6095 35,4000 33,7120 32,2335 0,2110 0,3122 0,4024 0,4511 0,4666 0,4636 0,5298 K3=48 45,1415 40,2865 36,7345 34,2705 32,3710 30,9730 29,8875 0,3006 0,4024 0,4871 0,4522 0,5365 0,5287 0,5098 K4=49 39,9455 35,2540 32,4220 30,6075 29,3240 28,3175 27,4815 0,4223 0,4611 0,5342 0,4596 0,5026 0,5036 0,5204 K5=50 32,0120 29,3535 27,8340 26,8585 26,0655 25,4705 24,9850 0,5247 0,5012 0,5100 0,5299 0,5535 0,6033 0,6642 K6=51 22,6970 22,9820 23,0245 22,9835 22,8835 22,7655 22,5935 0,5147 0,5219 0,5279 0,5224 0,5158 0,5088 0,5228 K7=52 13,8735 16,9765 18,5990 19,3875 19,8745 20,1725 20,3725 0,3824 0,4365 0,4993 0,4624 0,4699 0,5036 0,5229 K8=53 7,3025 11,7035 14,2605 15,8915 16,9450 17,6795 18,2155 0,4323 0,3789 0,3761 0,3991 0,4375 0,4668 0,4707 K9=54 3,2455 7,5760 10,6525 12,7935 14,2060 15,2520 16,0175 0,3919 0,4228 0,4042 0,4043 0,3788 0,4030 0,3970

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 48,7800 46,5250 43,3300 40,4850 38,0550 36,0550 34,4750 0,1317 0,3097 0,3700 0,3680 0,3506 0,3946 0,4369 K2=47 47,7650 43,9750 40,3850 37,4800 35,2650 33,5800 32,1200 0,2528 0,4144 0,3814 0,3865 0,4093 0,4528 0,5058 K3=48 45,1050 40,2300 36,5900 34,1650 32,2850 30,8700 29,8000 0,3393 0,3817 0,3509 0,4253 0,5100 0,5657 0,6307 K4=49 39,9200 35,1150 32,3350 30,5150 29,1700 28,1450 27,2900 0,3837 0,3892 0,5058 0,5801 0,5534 0,5636 0,5083 K5=50 31,9150 29,2100 27,6750 26,6550 25,9100 25,3050 24,7950 0,5375 0,5727 0,4881 0,4573 0,4747 0,4581 0,4089 K6=51 22,6500 22,9250 22,9600 22,9300 22,8400 22,7000 22,5800 0,4109 0,4374 0,4342 0,4423 0,4538 0,4252 0,4162 K7=52 13,9550 16,9150 18,4150 19,2450 19,7300 20,0650 20,2250 0,4247 0,3619 0,3893 0,4036 0,4238 0,4321 0,4317 K8=53 7,4000 11,8150 14,3000 15,8400 16,8800 17,6000 18,0650 0,3670 0,4487 0,4335 0,4296 0,3616 0,3699 0,3777 K9=54 3,3850 7,6950 10,7900 12,8700 14,2550 15,2450 15,9800 0,2991 0,4150 0,4707 0,4215 0,4314 0,4288 0,4283

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 48,7820 46,5330 43,3365 40,4910 38,0620 36,0640 34,4885 0,1307 0,3116 0,3739 0,3742 0,3464 0,3788 0,4301 K2=47 47,7590 43,9810 40,3945 37,4850 35,2605 33,5840 32,1135 0,2526 0,3979 0,3891 0,3909 0,4252 0,4698 0,5169 K3=48 45,0985 40,2420 36,6050 34,1675 32,2760 30,8530 29,7990 0,3534 0,3862 0,3464 0,4248 0,5150 0,5723 0,6164 K4=49 39,9370 35,1165 32,3200 30,5350 29,2040 28,1500 27,2830 0,3765 0,4019 0,5106 0,5882 0,5662 0,5661 0,5176 K5=50 31,9005 29,2335 27,6960 26,6900 25,9180 25,3000 24,7785 0,5487 0,5630 0,4978 0,4493 0,4606 0,4623 0,3962 K6=51 22,6545 22,9215 22,9725 22,9215 22,8410 22,7150 22,5855 0,4295 0,4519 0,4406 0,4519 0,4603 0,4373 0,4378 K7=52 13,9360 16,8880 18,4170 19,2250 19,7185 20,0660 20,2350 0,4176 0,3749 0,3982 0,3941 0,4216 0,4259 0,4358 K8=53 7,3825 11,8100 14,3045 15,8435 16,8535 17,5845 18,0695 0,3856 0,4351 0,4245 0,4346 0,3720 0,3695 0,3797 K9=54 3,3799 7,6905 10,7870 12,8685 14,2540 15,2375 15,9780 0,3115 0,4307 0,4601 0,4189 0,4247 0,4333 0,4271

Tabela 6.3.4 –Resultado das estimativas dos prêmios e erros-padrão das opções binárias obtidas por simulação de Monte Carlo para diversas técnicas de redução de variância, preços de exercícios e volatilidades. A tabela foi construída para 42 dimensões e os demais parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.3.1

Anexo 11

Page 115: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

95

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1635 49,1145 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0238 0,0490 K2=35 49,1735 49,1735 49,1735 49,1635 49,0915 48,8705 48,4540 0,0000 0,0000 0,0000 0,0238 0,0650 0,1415 0,1939 K3=40 49,1735 49,1670 49,0705 48,5980 47,7395 46,5560 45,1315 0,0000 0,0170 0,0840 0,1738 0,2534 0,3585 0,3879 K4=45 49,0915 47,9310 45,5955 42,9090 40,5910 38,5195 36,7065 0,0650 0,2527 0,3780 0,5052 0,5369 0,5920 0,5858 K5=50 31,9840 29,2730 27,7815 26,7685 26,0175 25,4225 24,8835 0,7600 0,7422 0,7411 0,7350 0,7455 0,7871 0,7774 K6=55 1,3080 4,5863 7,6710 9,9495 11,7330 13,0145 14,0310 0,2795 0,4832 0,5936 0,5257 0,4907 0,4658 0,5561 K7=60 0,0000 0,1426 0,9671 2,2735 3,7962 5,3155 6,6205 0,0000 0,0860 0,2728 0,4150 0,5237 0,5210 0,4930 K8=65 0,0000 0,0000 0,0557 0,3262 0,9720 1,8113 2,7259 0,0000 0,0000 0,0668 0,1201 0,2793 0,3675 0,4273 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0410 0,1705 0,5065 1,0327 0,0000 0,0000 0,0000 0,0593 0,0964 0,1743 0,2806

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1655 49,1360 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0227 0,0441 K2=35 49,1735 49,1735 49,1735 49,1655 49,1160 48,8850 48,4525 0,0000 0,0000 0,0000 0,0227 0,0672 0,1223 0,1660 K3=40 49,1735 49,1720 49,0965 48,6065 47,7080 46,5475 45,0625 0,0000 0,0090 0,0749 0,1270 0,2182 0,3289 0,3201 K4=45 49,1145 47,9165 45,5660 42,8550 40,6175 38,4900 36,7080 0,0664 0,1995 0,3383 0,4506 0,5045 0,5288 0,4490 K5=50 32,0105 29,2305 27,7370 26,7390 26,0225 25,4670 24,9505 0,4187 0,4052 0,3565 0,2456 0,2271 0,2482 0,1308 K6=55 1,3162 4,6813 7,7990 10,1510 11,8555 13,1180 14,1065 0,2065 0,3476 0,5144 0,5288 0,5019 0,4365 0,4384 K7=60 0,0000 0,1442 0,9573 2,3112 3,9159 5,4105 6,7960 0,0000 0,1000 0,1991 0,3292 0,3038 0,4414 0,4874 K8=65 0,0000 0,0000 0,0459 0,3770 0,9622 1,8227 2,7554 0,0000 0,0000 0,0547 0,1128 0,1987 0,2727 0,3230 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0361 0,1819 0,5475 1,0228 0,0000 0,0000 0,0000 0,0407 0,1082 0,1216 0,1964 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1635 49,1130 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0238 0,0495 K2=35 49,1735 49,1735 49,1735 49,1635 49,0935 48,8705 48,4640 0,0000 0,0000 0,0000 0,0238 0,0639 0,1324 0,1829 K3=40 49,1735 49,1670 49,0720 48,6050 47,7475 46,5655 45,1465 0,0000 0,0170 0,0774 0,1616 0,2176 0,2949 0,3222 K4=45 49,0935 47,9555 45,6230 42,9775 40,6715 38,5650 36,8095 0,0639 0,2258 0,3201 0,3995 0,3994 0,4118 0,4639 K5=50 32,0530 29,3435 27,8520 26,8340 26,1015 25,4275 24,9785 0,4860 0,5030 0,5307 0,4988 0,5785 0,6263 0,6264 K6=55 1,2933 4,6355 7,7005 10,0460 11,8375 13,1000 14,0505 0,2192 0,4120 0,4325 0,4031 0,3671 0,3674 0,3729 K7=60 0,0000 0,1426 0,9573 2,3013 3,8339 5,3780 6,6530 0,0000 0,0820 0,2345 0,3271 0,4207 0,4054 0,4057 K8=65 0,0000 0,0000 0,0541 0,3377 0,9605 1,8145 2,7488 0,0000 0,0000 0,0624 0,1101 0,2287 0,2988 0,3408 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0377 0,1688 0,5147 1,0294 0,0000 0,0000 0,0000 0,0558 0,0793 0,1548 0,2398 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1620 49,1130 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0248 0,0495 K2=35 49,1735 49,1735 49,1735 49,1620 49,0915 48,8720 48,4590 0,0000 0,0000 0,0000 0,0248 0,0637 0,1353 0,1783 K3=40 49,1735 49,1685 49,0670 48,6000 47,7345 46,5460 45,1315 0,0000 0,0150 0,0786 0,1670 0,2149 0,3152 0,2994 K4=45 49,0915 47,9440 45,6020 42,9515 40,6420 38,5535 36,7785 0,0637 0,2349 0,3082 0,3990 0,3863 0,4454 0,4916 K5=50 32,0120 29,3535 27,8340 26,8585 26,0655 25,4705 24,9850 0,5247 0,5012 0,5100 0,5299 0,5535 0,6033 0,6642 K6=55 1,3080 4,6322 7,6955 10,0480 11,8065 13,1015 14,0260 0,2397 0,3947 0,4341 0,4201 0,3879 0,4184 0,3753 K7=60 0,0000 0,1459 0,9474 2,3095 3,8290 5,3565 6,6680 0,0000 0,0811 0,2180 0,3509 0,4308 0,4202 0,4215 K8=65 0,0000 0,0000 0,0574 0,3426 0,9589 1,8309 2,7554 0,0000 0,0000 0,0660 0,1092 0,2183 0,2983 0,3526 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0361 0,1688 0,5213 1,0245 0,0000 0,0000 0,0000 0,0515 0,0844 0,1621 0,2256

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1635 49,1295 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0238 0,0506 K2=35 49,1735 49,1735 49,1735 49,1635 49,1000 48,8835 48,4785 0,0000 0,0000 0,0000 0,0238 0,0588 0,1052 0,1830 K3=40 49,1735 49,1705 49,0705 48,6310 47,7410 46,5430 45,1035 0,0000 0,0125 0,0820 0,1720 0,2604 0,3101 0,3389 K4=45 49,0935 47,9145 45,5825 42,9220 40,5585 38,4375 36,6295 0,0599 0,2235 0,3334 0,4156 0,3788 0,3348 0,3464 K5=50 31,9135 29,2125 27,6730 26,6555 25,9095 25,3045 24,7950 0,5375 0,5727 0,4881 0,4573 0,4747 0,4581 0,4089 K6=55 1,3523 4,6666 7,8335 10,1805 11,9245 13,1885 14,0950 0,2359 0,3361 0,4070 0,4107 0,4536 0,4087 0,4282 K7=60 0,0016 0,1557 1,0245 2,4063 3,9355 5,4830 6,7810 0,0090 0,0932 0,2199 0,2570 0,3225 0,3611 0,3570 K8=65 0,0000 0,0016 0,0639 0,3770 1,0278 1,9096 2,8750 0,0000 0,0090 0,0565 0,1463 0,2219 0,2467 0,2858 K9=70 0,0000 0,0000 0,0016 0,0344 0,1967 0,5836 1,0900 0,0000 0,0000 0,0090 0,0369 0,0949 0,1585 0,2157

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1735 49,1635 49,1295 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0238 0,0506 K2=35 49,1735 49,1735 49,1735 49,1620 49,1000 48,8785 48,4770 0,0000 0,0000 0,0000 0,0308 0,0588 0,1096 0,1799 K3=40 49,1735 49,1705 49,0705 48,6325 47,7460 46,5475 45,0940 0,0000 0,0125 0,0820 0,1708 0,2545 0,3044 0,3559 K4=45 49,0935 47,9165 45,5890 42,9220 40,5715 38,4470 36,6390 0,0599 0,2228 0,3306 0,4150 0,3887 0,3228 0,3425 K5=50 31,9005 29,2335 27,6960 26,6900 25,9180 25,3000 24,7785 0,5487 0,5630 0,4978 0,4493 0,4606 0,4623 0,3962 K6=55 1,3539 4,6732 7,8315 10,1690 11,9100 13,1835 14,0880 0,2313 0,3454 0,4222 0,4205 0,4532 0,4135 0,4331 K7=60 0,0016 0,1541 1,0278 2,4063 3,9306 5,4665 6,7665 0,0090 0,0920 0,2245 0,2553 0,3239 0,3570 0,3479 K8=65 0,0000 0,0016 0,0623 0,3819 1,0294 1,9014 2,8701 0,0000 0,0090 0,0531 0,1448 0,2273 0,2499 0,2813 K9=70 0,0000 0,0000 0,0016 0,0344 0,1983 0,5770 1,0966 0,0000 0,0000 0,0090 0,0369 0,0918 0,1489 0,2126

Tabela 6.3.5 – Resultado das estimativas dos prêmios e erros-padrão das opções binárias obtidas por simulação de Monte Carlo para diversas técnicas de redução de variância, preços de exercícios e volatilidades. A tabela foi construída para 42 dimensões e os demais parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.3.1

Anexo 12

Page 116: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

96

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 4,3290 4,3179 4,3209 4,3510 4,4106 4,4955 4,6013 0,0372 0,0554 0,0731 0,0900 0,1055 0,1197 0,1340 K2=47 3,3459 3,3472 3,3834 3,4579 3,5633 3,6900 3,8311 0,0371 0,0547 0,0714 0,0863 0,1002 0,1140 0,1272 K3=48 2,3698 2,4128 2,5085 2,6402 2,7929 2,9592 3,1337 0,0365 0,0529 0,0669 0,0806 0,0933 0,1055 0,1173 K4=49 1,4416 1,5723 1,7402 1,9253 2,1190 2,3168 2,5164 0,0343 0,0477 0,0599 0,0713 0,0829 0,0946 0,1065 K5=50 0,6858 0,9004 1,1177 1,3350 1,5514 1,7666 1,9803 0,0265 0,0376 0,0488 0,0601 0,0716 0,0833 0,0952 K6=51 0,2311 0,4411 0,6577 0,8761 1,0944 1,3118 1,5280 0,0159 0,0268 0,0380 0,0494 0,0610 0,0727 0,0845 K7=52 0,0506 0,1797 0,3506 0,5413 0,7416 0,9469 1,1546 0,0080 0,0186 0,0294 0,0401 0,0513 0,0629 0,0747 K8=53 0,0069 0,0608 0,1689 0,3136 0,4812 0,6627 0,8531 0,0027 0,0110 0,0209 0,0324 0,0437 0,0549 0,0660 K9=54 0,0006 0,0167 0,0736 0,1714 0,3001 0,4506 0,6164 0,0007 0,0056 0,0142 0,0239 0,0350 0,0469 0,0588

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,3384 4,3320 4,3388 4,3740 4,4387 4,5281 4,6375 0,0007 0,0025 0,0075 0,0145 0,0216 0,0299 0,0383 K2=47 3,3553 3,3606 3,4019 3,4812 3,5905 3,7214 3,8670 0,0009 0,0050 0,0116 0,0189 0,0269 0,0346 0,0427 K3=48 2,3788 2,4266 2,5268 2,6625 2,8196 2,9903 3,1686 0,0027 0,0090 0,0163 0,0237 0,0315 0,0404 0,0495 K4=49 1,4508 1,5856 1,7578 1,9469 2,1440 2,3451 2,5479 0,0066 0,0137 0,0214 0,0299 0,0382 0,0465 0,0548 K5=50 0,6939 0,9118 1,1324 1,3529 1,5725 1,7907 2,0073 0,0122 0,0195 0,0266 0,0339 0,0414 0,0490 0,0568 K6=51 0,2343 0,4475 0,6674 0,8890 1,1104 1,3309 1,5502 0,0109 0,0183 0,0256 0,0330 0,0403 0,0477 0,0553 K7=52 0,0511 0,1822 0,3554 0,5488 0,7520 0,9602 1,1709 0,0058 0,0127 0,0194 0,0269 0,0349 0,0429 0,0508 K8=53 0,0067 0,0613 0,1710 0,3180 0,4879 0,6718 0,8648 0,0023 0,0082 0,0148 0,0220 0,0289 0,0361 0,0439 K9=54 0,0005 0,0166 0,0742 0,1734 0,3039 0,4568 0,6251 0,0006 0,0044 0,0108 0,0171 0,0246 0,0319 0,0390 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 4,3383 4,3319 4,3392 4,3729 4,4358 4,5237 4,6322 0,0005 0,0019 0,0060 0,0112 0,0174 0,0232 0,0308 K2=47 3,3553 3,3610 3,4008 3,4785 3,5866 3,7159 3,8594 0,0008 0,0041 0,0093 0,0149 0,0217 0,0283 0,0352 K3=48 2,3790 2,4256 2,5243 2,6586 2,8137 2,9822 3,1589 0,0022 0,0074 0,0131 0,0196 0,0261 0,0326 0,0392 K4=49 1,4498 1,5833 1,7534 1,9408 2,1367 2,3368 2,5386 0,0055 0,0114 0,0176 0,0237 0,0299 0,0362 0,0424 K5=50 0,6915 0,9083 1,1279 1,3474 1,5662 1,7836 1,9996 0,0095 0,0150 0,0203 0,0258 0,0314 0,0370 0,0427 K6=51 0,2339 0,4461 0,6650 0,8856 1,1062 1,3259 1,5444 0,0087 0,0137 0,0188 0,0242 0,0296 0,0351 0,0408 K7=52 0,0514 0,1821 0,3552 0,5481 0,7505 0,9581 1,1681 0,0061 0,0125 0,0178 0,0227 0,0281 0,0337 0,0394 K8=53 0,0070 0,0617 0,1713 0,3178 0,4875 0,6713 0,8639 0,0024 0,0086 0,0150 0,0217 0,0276 0,0329 0,0383 K9=54 0,0006 0,0169 0,0747 0,1739 0,3043 0,4567 0,6246 0,0007 0,0048 0,0113 0,0177 0,0246 0,0315 0,0379 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=46 4,3384 4,3320 4,3395 4,3736 4,4368 4,5250 4,6339 0,0005 0,0019 0,0059 0,0111 0,0175 0,0237 0,0314 K2=47 3,3553 3,3612 3,4013 3,4793 3,5878 3,7175 3,8614 0,0008 0,0040 0,0092 0,0152 0,0221 0,0288 0,0360 K3=48 2,3791 2,4260 2,5250 2,6597 2,8151 2,9840 3,1609 0,0022 0,0074 0,0133 0,0200 0,0267 0,0333 0,0401 K4=49 1,4501 1,5839 1,7544 1,9419 2,1382 2,3385 2,5406 0,0056 0,0117 0,0180 0,0243 0,0307 0,0372 0,0437 K5=50 0,6920 0,9090 1,1288 1,3486 1,5676 1,7854 2,0016 0,0098 0,0155 0,0210 0,0266 0,0322 0,0379 0,0438 K6=51 0,2343 0,4468 0,6659 0,8868 1,1076 1,3276 1,5464 0,0087 0,0137 0,0190 0,0245 0,0300 0,0357 0,0415 K7=52 0,0516 0,1827 0,3560 0,5492 0,7519 0,9597 1,1701 0,0060 0,0120 0,0174 0,0224 0,0279 0,0334 0,0393 K8=53 0,0070 0,0621 0,1720 0,3187 0,4887 0,6728 0,8657 0,0023 0,0085 0,0145 0,0210 0,0268 0,0322 0,0376 K9=54 0,0006 0,0171 0,0752 0,1746 0,3054 0,4580 0,6262 0,0007 0,0046 0,0112 0,0173 0,0239 0,0305 0,0367

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,3385 4,3326 4,3406 4,3768 4,4427 4,5329 4,6421 0,0008 0,0026 0,0082 0,0155 0,0245 0,0339 0,0439 K2=47 3,3556 3,3618 3,4041 3,4846 3,5938 3,7245 3,8705 0,0010 0,0056 0,0129 0,0216 0,0314 0,0405 0,0497 K3=48 2,3794 2,4284 2,5292 2,6645 2,8217 2,9912 3,1692 0,0031 0,0104 0,0193 0,0283 0,0370 0,0449 0,0531 K4=49 1,4520 1,5867 1,7584 1,9468 2,1436 2,3447 2,5475 0,0079 0,0167 0,0247 0,0323 0,0397 0,0471 0,0547 K5=50 0,6936 0,9113 1,1320 1,3528 1,5726 1,7912 2,0083 0,0127 0,0194 0,0264 0,0335 0,0407 0,0480 0,0555 K6=51 0,2365 0,4499 0,6698 0,8915 1,1133 1,3342 1,5540 0,0115 0,0184 0,0254 0,0324 0,0395 0,0468 0,0543 K7=52 0,0525 0,1855 0,3607 0,5550 0,7590 0,9679 1,1794 0,0062 0,0134 0,0212 0,0293 0,0369 0,0444 0,0519 K8=53 0,0079 0,0633 0,1748 0,3238 0,4957 0,6815 0,8757 0,0021 0,0084 0,0161 0,0232 0,0312 0,0396 0,0481 K9=54 0,0006 0,0186 0,0769 0,1779 0,3102 0,4653 0,6358 0,0005 0,0042 0,0109 0,0187 0,0262 0,0336 0,0417

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=46 4,3385 4,3326 4,3404 4,3766 4,4423 4,5323 4,6414 0,0007 0,0026 0,0083 0,0157 0,0246 0,0340 0,0441 K2=47 3,3556 3,3617 3,4039 3,4842 3,5934 3,7239 3,8697 0,0010 0,0057 0,0131 0,0217 0,0315 0,0406 0,0497 K3=48 2,3794 2,4282 2,5289 2,6641 2,8211 2,9905 3,1683 0,0032 0,0105 0,0193 0,0284 0,0370 0,0449 0,0532 K4=49 1,4519 1,5864 1,7580 1,9463 2,1429 2,3438 2,5465 0,0080 0,0168 0,0247 0,0323 0,0397 0,0471 0,0547 K5=50 0,6934 0,9110 1,1315 1,3521 1,5718 1,7902 2,0072 0,0127 0,0194 0,0264 0,0334 0,0407 0,0480 0,0555 K6=51 0,2363 0,4495 0,6693 0,8909 1,1125 1,3333 1,5529 0,0116 0,0184 0,0254 0,0324 0,0396 0,0469 0,0544 K7=52 0,0524 0,1853 0,3602 0,5545 0,7583 0,9670 1,1783 0,0062 0,0134 0,0213 0,0294 0,0370 0,0444 0,0520 K8=53 0,0079 0,0631 0,1744 0,3233 0,4951 0,6808 0,8748 0,0021 0,0085 0,0162 0,0234 0,0314 0,0398 0,0482 K9=54 0,0006 0,0185 0,0766 0,1775 0,3096 0,4647 0,6349 0,0005 0,0042 0,0110 0,0188 0,0264 0,0338 0,0420

Tabela 6.4.3 – Prêmios das opções Asiáticas com média geométrica obtidas por simulação de Monte Carlo para diversos preços de exercícios e volatilidades. A tabela apresenta os resultados para diferentes técnicas de redução de variância. Os demais parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.4.1

Anexo 13

Page 117: Avaliação de opções exóticas por Simulação de Monte Carlo ... · dos prêmios das opções. As opções utilizadas neste trabalho foram as do tipo barreira, asiática, binária,

97

AAS PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,0645 20,0510 20,0340 20,0136 19,9896 19,9621 19,9311 0,0372 0,0559 0,0747 0,0935 0,1124 0,1314 0,1504 K2=35 15,1471 15,1337 15,1167 15,0962 15,0722 15,0447 15,0138 0,0372 0,0559 0,0747 0,0935 0,1124 0,1314 0,1504 K3=40 10,2298 10,2163 10,1993 10,1789 10,1553 10,1301 10,1066 0,0372 0,0559 0,0747 0,0935 0,1123 0,1308 0,1490 K4=45 5,3124 5,2992 5,2879 5,2906 5,3148 5,3628 5,4317 0,0372 0,0558 0,0739 0,0916 0,1087 0,1245 0,1395 K5=50 0,6858 0,9004 1,1177 1,3350 1,5514 1,7666 1,9803 0,0265 0,0376 0,0488 0,0601 0,0716 0,0833 0,0952 K6=55 0,0000 0,0039 0,0287 0,0880 0,1803 0,2984 0,4370 0,0001 0,0023 0,0086 0,0176 0,0274 0,0381 0,0499 K7=60 0,0000 0,0000 0,0001 0,0012 0,0079 0,0254 0,0580 0,0000 0,0000 0,0002 0,0017 0,0049 0,0104 0,0183 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0051 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0020 0,0045 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009

VA PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,0739 20,0652 20,0530 20,0373 20,0181 19,9954 19,9693 0,0007 0,0016 0,0028 0,0043 0,0063 0,0085 0,0111 K2=35 15,1566 15,1479 15,1356 15,1199 15,1007 15,0781 15,0520 0,0007 0,0016 0,0028 0,0043 0,0063 0,0085 0,0111 K3=40 10,2392 10,2305 10,2183 10,2026 10,1838 10,1634 10,1440 0,0007 0,0016 0,0028 0,0044 0,0062 0,0092 0,0139 K4=45 5,3219 5,3134 5,3064 5,3130 5,3424 5,3955 5,4692 0,0007 0,0016 0,0047 0,0103 0,0176 0,0247 0,0330 K5=50 0,6939 0,9118 1,1324 1,3529 1,5725 1,7907 2,0073 0,0122 0,0195 0,0266 0,0339 0,0414 0,0490 0,0568 K6=55 0,0000 0,0037 0,0286 0,0887 0,1821 0,3020 0,4425 0,0001 0,0020 0,0069 0,0135 0,0198 0,0271 0,0347 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0012 0,0075 0,0246 0,0576 0,0000 0,0000 0,0002 0,0016 0,0043 0,0087 0,0145 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0010 0,0048 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0018 0,0042 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0008 MM1 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,0739 20,0651 20,0528 20,0369 20,0176 19,9947 19,9684 0,0005 0,0012 0,0022 0,0034 0,0049 0,0067 0,0088 K2=35 15,1565 15,1477 15,1354 15,1196 15,1002 15,0774 15,0510 0,0005 0,0012 0,0022 0,0034 0,0049 0,0067 0,0088 K3=40 10,2392 10,2304 10,2180 10,2022 10,1833 10,1626 10,1435 0,0005 0,0012 0,0022 0,0034 0,0051 0,0072 0,0108 K4=45 5,3218 5,3133 5,3064 5,3134 5,3413 5,3926 5,4646 0,0005 0,0014 0,0036 0,0081 0,0133 0,0196 0,0256 K5=50 0,6915 0,9083 1,1279 1,3474 1,5662 1,7836 1,9996 0,0095 0,0150 0,0203 0,0258 0,0314 0,0370 0,0427 K6=55 0,0000 0,0039 0,0291 0,0894 0,1830 0,3027 0,4430 0,0001 0,0021 0,0073 0,0141 0,0207 0,0275 0,0348 K7=60 0,0000 0,0000 0,0001 0,0012 0,0080 0,0256 0,0588 0,0000 0,0000 0,0003 0,0017 0,0045 0,0092 0,0156 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0051 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0019 0,0043 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 MM2 PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO

σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 K1=30 20,0739 20,0651 20,0529 20,0371 20,0178 19,9951 19,9689 0,0005 0,0012 0,0022 0,0034 0,0049 0,0067 0,0087 K2=35 15,1566 15,1478 15,1355 15,1198 15,1005 15,0777 15,0515 0,0005 0,0012 0,0022 0,0034 0,0049 0,0067 0,0087 K3=40 10,2392 10,2304 10,2182 10,2024 10,1835 10,1630 10,1441 0,0005 0,0012 0,0022 0,0034 0,0051 0,0072 0,0107 K4=45 5,3218 5,3133 5,3066 5,3139 5,3421 5,3936 5,4661 0,0005 0,0014 0,0036 0,0079 0,0131 0,0196 0,0259 K5=50 0,6920 0,9090 1,1288 1,3486 1,5676 1,7854 2,0016 0,0098 0,0155 0,0210 0,0266 0,0322 0,0379 0,0438 K6=55 0,0000 0,0040 0,0293 0,0899 0,1838 0,3040 0,4445 0,0001 0,0021 0,0072 0,0140 0,0203 0,0267 0,0337 K7=60 0,0000 0,0000 0,0001 0,0012 0,0080 0,0258 0,0592 0,0000 0,0000 0,0003 0,0016 0,0044 0,0088 0,0152 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0051 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0019 0,0042 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009

HL PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 σ1 = 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

K1=30 20,0741 20,0655 20,0535 20,0380 20,0192 19,9969 19,9713 0,0008 0,0016 0,0028 0,0044 0,0062 0,0085 0,0110 K2=35 15,1567 15,1481 15,1361 15,1207 15,1018 15,0796 15,0540 0,0008 0,0016 0,0028 0,0044 0,0062 0,0085 0,0111 K3=40 10,2393 10,2308 10,2188 10,2033 10,1852 10,1655 10,1469 0,0008 0,0016 0,0028 0,0044 0,0064 0,0092 0,0135 K4=45 5,3220 5,3138 5,3075 5,3154 5,3458 5,4002 5,4751 0,0008 0,0018 0,0047 0,0109 0,0184 0,0275 0,0366 K5=50 0,6936 0,9113 1,1320 1,3528 1,5726 1,7912 2,0083 0,0127 0,0194 0,0264 0,0335 0,0407 0,0480 0,0555 K6=55 0,0000 0,0046 0,0314 0,0922 0,1872 0,3091 0,4517 0,0000 0,0021 0,0066 0,0135 0,0213 0,0295 0,0369 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0094 0,0292 0,0638 0,0000 0,0000 0,0000 0,0012 0,0045 0,0083 0,0140 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0011 0,0059 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0040 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003

AD PRÊMIOS ESTIMADOS POR SIMULAÇÃO ERRO PADRÃO σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4 σ1 = 0,1 σ2 =0,15 σ3 =0,2 σ4 =0,25 σ5 =0,3 σ6 =0,35 σ7 =0,4

K1=30 20,0740 20,0654 20,0534 20,0379 20,0191 19,9967 19,9710 0,0007 0,0016 0,0028 0,0043 0,0062 0,0084 0,0110 K2=35 15,1567 15,1481 15,1361 15,1206 15,1017 15,0794 15,0537 0,0007 0,0016 0,0028 0,0043 0,0062 0,0084 0,0110 K3=40 10,2393 10,2307 10,2187 10,2032 10,1850 10,1653 10,1466 0,0007 0,0016 0,0028 0,0043 0,0064 0,0093 0,0137 K4=45 5,3220 5,3138 5,3074 5,3152 5,3455 5,3997 5,4744 0,0007 0,0017 0,0048 0,0110 0,0186 0,0278 0,0368 K5=50 0,6934 0,9110 1,1315 1,3521 1,5718 1,7902 2,0072 0,0127 0,0194 0,0264 0,0334 0,0407 0,0480 0,0555 K6=55 0,0000 0,0046 0,0313 0,0919 0,1867 0,3084 0,4508 0,0000 0,0020 0,0066 0,0136 0,0214 0,0297 0,0371 K7=60 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0093 0,0290 0,0635 0,0000 0,0000 0,0000 0,0012 0,0043 0,0082 0,0139 K8=65 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0011 0,0059 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0011 0,0039 K9=70 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003

Tabela 6.4.4 – Prêmios das opções Asiáticas com média geométrica obtidas por simulação de Monte Carlo para diversos preços de exercícios e volatilidades. A tabela apresenta os resultados para diferentes técnicas de redução de variância. Os demais parâmetros da simulação são apresentados na tabela 6.4.1

Anexo 14