avaliaÇÃo de imoveis urbanos

AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS URBANOS ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA

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“A estatística tem uma particularidade: pesquisamos para dizer algo

significativo sobre o universo que elegemos, porém a pesquisa só será

significativa se conhecermos suficientemente o universo para escolhermos

adequadamente as variáveis e as condições de amostragem.”

Instrutora: ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA

End. : Rua Curuzú, 56 – Alto da Lapa Tel: 55 (11) 3831-1568/ 8109-7733 São Paulo -S.P

e-mail: [email protected]

CURRICULUM VITAE - RESUMIDO

Arquiteta, graduada pela Pontifícia Universidade Católica de Campinas. Pós –

graduada em Engenharia de Avaliações e Perícias pela Universidade Santa

Cecília -UNISANTA – Santos–SP. Mestre em Engenharia Civil e Urbana pela Escola

Politécnica da USP.Profissional autônoma exercendo as mais diversas funções na

área de Avaliações e Perícias de Engenharia. Vice- presidente do IBAPE/SP-

Instituto Brasileiro de Avaliações e Perícias de Engenharia de São Paulo.

Participação como relatora na elaboração da NORMA PARA AVALIAÇÃO DE

IMÓVEIS URBANOS do IBAPE/SP.Coordenadora do estudo “VALORES DE

EDIFICAÇÕES DE IMÓVEIS URBANOS” do IBAPE/SP versão 2002.Integrante da

Comissão de Estudos da ABNT - COBRACON no processo de revisão das Normas

de Avaliações de Bens.Instrutora nos cursos de especialização versando sobre

“Inferência Estatística Aplicada à Engenharia de Avaliações de Imóveis”

ministrados para entidades e órgãos públicos e em cursos em cursos de pós -

graduação “Latu Sensu” em Engenharia de Avaliações e Perícias


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1 - Conceitos Gerais

1.1- A Natureza da Avaliação de um Bem Imóvel

Do ponto de vista geral e pela definição contida na NBR (Norma Brasileira) -14.653 -

PARTE 1: PROCEDIMENTOS GERAIS, a avaliação de um bem consiste na

“análise técnica, realizada por Engenheiro de Avaliações, para identificar o valor de

um bem, de seus custos, frutos e direitos, assim como determinar indicadores da

viabilidade de sua utilização econômica, para uma determinada finalidade,

situação e data”.

Sendo que:

3.6 bem: Coisa que tem valor, suscetível de utilização ou que pode ser objeto

de direito, que integra um patrimônio

3.6.1 bem tangível: Bem identificado materialmente (ex.: imóveis,

equipamentos, matérias-primas)

3.6.2 bem intangível: Bem não identificado materialmente (ex.: fundo de

comércio, marcas e patentes)

1.2 Classificação dos bens, vistoria e coleta de dados (transcrições Normas técnicas brasileiras NBR 14653-2))

1.2.1 Classificação dos imóveis urbanos

• Quanto ao uso:

a) residencial;

b) comercial;

c) industrial;

d) institucional;

e) misto.

• Quanto ao tipo do imóvel, entre outros:

a) terreno (lote ou gleba);

b) apartamento;

c) casa;

d) escritório (sala ou andar corrido);

e) loja;

f) galpão;

g) vaga de garagem;

h) misto;


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i) hotéis e motéis;

j) hospitais;

k) escolas;

l) cinemas e teatros;

m) clubes recreativos;

n) prédios industriais.

• Quanto ao agrupamento dos imóveis:

a) loteamento;

b) condomínio de casas;

c) prédio de apartamentos;

d) conjunto habitacional (casas, prédios ou mistos);

e) conjunto de salas comerciais;

f) prédio comercial;

g) conjunto de prédios comerciais;

h) conjunto de unidades comerciais;

i) complexo industrial.

1.2.2 - Vistoria do bem avaliando

Nenhuma avaliação poderá prescindir da vistoria. Em casos excepcionais, quando

for impossível o acesso ao bem avaliando, admite-se a adoção de uma situação

paradigma, desde que acordada entre as partes e explicitada no laudo.

A vistoria deve ser efetuada pelo engenheiro de avaliações com o objetivo de

conhecer e caracterizar o bem avaliando e sua adequação ao seu segmento de

mercado, daí resultando condições para a orientação da coleta de dados.

• É recomendável registrar as características físicas e de utilização do bem e

outros aspectos relevantes à formação do valor.

• O conhecimento de estudos, projetos ou perspectivas tecnológicas que

possam vir a afetar o valor do bem avaliando deverá ser explicitado e suas

conseqüências apreciadas.

• Caracterização da região

― Aspectos gerais: análise das condições econômicas, políticas e sociais, quando

relevantes para o mercado, inclusive usos anteriores atípicos ou estigmas.

― Aspectos físicos: condições de relevo, natureza predominante do solo e

condições

ambientais.


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― Localização: situação no contexto urbano, com indicação dos principais pólos de

influência.

― Uso e ocupação do solo: confrontar a ocupação existente com as leis de

zoneamento e uso do solo do município, para concluir sobre as tendências de

modificação a curto e médio prazo.

― Infra-estrutura urbana: sistema viário, transporte coletivo, coleta de resíduos

sólidos, água potável, energia elétrica, telefone, redes de cabeamento para

transmissão de dados, comunicação e televisão, esgotamento sanitário, águas

pluviais e gás canalizado.

― Atividades existentes: comércio, indústria e serviço.

― Equipamentos comunitários: segurança, educação, saúde, cultura e lazer.

• Caracterização do terreno

― Localização: situação na região e via pública, com indicação de limites e

confrontações.

― Utilização atual e vocação, em confronto com a legislação em vigor.

― Aspectos físicos: dimensões, forma, topografia, superfície, solo.

― Infra-estrutura urbana disponível.

― Restrições físicas e legais ao aproveitamento.

• Caracterização das edificações e benfeitorias

― Aspectos construtivos, qualitativos, quantitativos e tecnológicos, comparados com

a documentação disponível.

― Aspectos arquitetônicos, paisagísticos e funcionais, inclusive conforto ambiental.

― Adequação da edificação em relação aos usos recomendáveis para a região.

― Condições de ocupação.

• Situações especiais

- Vistoria por amostragem

Na avaliação de conjunto de unidades autônomas padronizadas, é permitida

vistoria interna por amostragem aleatória de uma quantidade definida previamente

pelas partes ou, se houver omissão no contrato, de um percentual mínimo de 10%

do total das unidades de cada bloco ou conjunto de unidades de mesma tipologia.


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- Impossibilidade de vistoria

Quando não for possível o acesso do avaliador ao interior do imóvel, o motivo deve

ser justificado no laudo de avaliação. Neste caso, em comum acordo com o

contratante, a vistoria interna pode ser prescindida e a avaliação pode prosseguir

com base nos elementos que for possível obter ou fornecidos pelo contratante, tais

como:

a) descrição interna;

b) no caso de apartamentos, escritórios e conjuntos habitacionais, a vistoria externa

de áreas comuns, a vistoria de outras unidades do mesmo edifício e informações da

respectiva administração;

c) no caso de unidades isoladas, a vistoria externa.

As considerações hipotéticas sobre o imóvel que configuram a situação paradigma,

devem estar claramente explicitadas no laudo de avaliação.

1.2.3 Coleta de dados

É recomendável que seja planejada com antecedência, tendo em vista: as

características do bem avaliando, disponibilidade de recursos, informações e

pesquisas anteriores, plantas e documentos, prazo de execução dos serviços, enfim,

tudo que possa esclarecer aspectos relevantes para a avaliação.

Aspectos Quantitativos

É recomendável buscar a maior quantidade possível de dados de mercado, com

atributos comparáveis aos do bem avaliando.

Aspectos Qualitativos

Na fase de coleta de dados é recomendável:

a) buscar dados de mercado com atributos mais semelhantes possíveis aos do

bem avaliando;

b) identificar e diversificar as fontes de informação, sendo que as informações

devem ser cruzadas, tanto quanto

possível, com objetivo de aumentar a confiabilidade dos dados de mercado;

c) identificar e descrever as características relevantes dos dados de mercado

coletados;

d) buscar dados de mercado de preferência contemporâneos com a data de

referência da avaliação.


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Planejamento da pesquisa

No planejamento de uma pesquisa, o que se pretende é a composição de uma

amostra representativa de dados de mercado de imóveis com características, tanto

quanto possível, semelhantes às do avaliando, usando-se toda a evidência

disponível. Esta etapa – que envolve estrutura e estratégia da pesquisa – deve

iniciar-se pela caracterização e delimitação do mercado em análise, com o auxílio

de teorias e conceitos existentes ou hipóteses advindas de experiências adquiridas

pelo avaliador sobre a formação do valor.

Na estrutura da pesquisa são eleitas as variáveis que, em princípio, são relevantes

para explicar a formação de valor e estabelecidas as supostas relações entre si e

com a variável dependente.

A estratégia de pesquisa refere-se à abrangência da amostragem e às técnicas a

serem utilizadas na coleta e análise dos dados, como a seleção e abordagem de

fontes de

Levantamento de dados de mercado

O levantamento de dados tem como objetivo a obtenção de uma amostra

representativa para explicar o comportamento do mercado no qual o imóvel

avaliando esteja inserido e constitui a base do processo avaliatório. Nesta etapa o

engenheiro de avaliações investiga o mercado, coleta dados e informações

confiáveis preferentemente a respeito de negociações realizadas e ofertas,

contemporâneas à data de referência da avaliação, com suas principais

características econômicas, físicas e de localização.


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2 Métodos para identificar o valor de um bem, de seus frutos e direitos

Método comparativo direto de dados de mercado

Identifica o valor de mercado do bem por meio de tratamento técnico dos

atributos dos elementos comparáveis, constituintes da amostra. Preferencialmente

utilizado na busca do valor de mercado de terrenos, casas padronizadas, lojas,

apartamentos, escritórios, armazéns, entre outros, sempre que houver dados

semelhantes ao avaliando.

Método involutivo

Identifica o valor de mercado do bem, alicerçado no seu aproveitamento eficiente,

baseado em modelo de estudo de viabilidade técnico-econômica, mediante

hipotético empreendimento compatível com as características do bem e com as

condições do mercado no qual está inserido, considerando-se cenários viáveis para

execução e comercialização do produto. Utilizado no caso de inexistência de

dados amostrais semelhantes ao avaliando.

Método evolutivo

Identifica o valor do bem pelo somatório dos valores de seus componentes. Caso a

finalidade seja a identificação do valor de mercado, deve ser considerado o fator

de comercialização. Indicado para obter o valor de mercado no caso de

inexistência de dados amostrais semelhantes ao avaliando. É o caso de residências

de alto padrão, galpões, entre outros.

Método da capitalização da renda

Identifica o valor do bem, com base na capitalização presente da sua renda líquida

prevista, considerando-se cenários viáveis. Recomendado para empreendimentos

de base imobiliária, tais como shopping-centers, hotéis.

Escolha da metodologia

A metodologia escolhida deve ser compatível com a natureza do bem avaliando, a

finalidade da avaliação e os dados de mercado disponíveis. Para a identificação

do valor de mercado, sempre que possível preferir o método comparativo direto de

dados de mercado.


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2.1 Avaliação pelo Método Comparativo de Dados de Mercado

O Método Comparativo Direto de Dados de Mercado é aquele que define o valor

através da comparação com os preços de bens similares, que foram

transacionados (vendidos, locados, etc...) recentemente, ou estão ofertados. As

particularidades dos dados pesquisados que exercem influência na formação dos

preços deverão ser ponderadas através de ajustes, ou pelo Tratamento por Fatores

(Homogeneização) ou através de Tratamento Científico (inferência Estatística).

2.1.1. A Prática da Pesquisa

Na utilização do Processo Comparativo busca-se um valor representativo para a

população de imóveis semelhantes àquele que se pretende avaliar. Como a

população é, normalmente, inacessível na sua totalidade, utiliza-se uma amostra,

cujo valor médio fornece estimativas do valor médio populacional.

É evidente que, quanto mais homogênea a população investigada, mais

homogênea será amostra, sendo provável que esta contenha dados com valores

próximos à média aritmética.

Entretanto, para previsão do valor de mercado de um imóvel, pelo Processo

Comparativo, o pesquisador enfrenta dificuldades significativas, pelo fato de ser

muito heterogêneo, e o resultado da pesquisa imobiliária é a obtenção de amostras

heterogêneas, conseqüência do próprio fato de que o mercado brasileiro não se

faz através de imóveis padronizados, ,as sim. diferenciado em função,

principalmente, de fenômenos culturais, locacionais e socioeconômicos.

Preços unitários homogêneos (difícil na pratica), indicam que, à priori, não devem

existir atributos influenciantes na formação dos preços. Neste caso, a avaliação

poderá ser feita a partir da média dos preços coletados no mercado.

Preços unitários heterogêneos indicam a possibilidade de haver um ou mais

atributos que estão influenciando na formação dos preços deste mercado. Parte-se

então para a identificação destes atributos. No início da pesquisa, é necessário um

pré-estudo identificando inicialmente que variáveis possam influenciar os preços,

mas, em muitos casos, a identificação de certos atributos só será possível durante

contatos com os agentes do mercado.


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A aplicação adequada do método comparativo está fundamentada na

metodologia da pesquisa científica, que se desenvolve através das seguintes fases:

1 - Preparação da pesquisa:

2 - Trabalho de campo;

3 - Processamento e análise dos dados:

4 - Interpretação e explicação dos resultados;

5 - Redação do laudo avaliatório.

Portanto, a pesquisa abrange todo o processo avaliatório. Neste curso apresentam-

se alguns conceitos básicos sobre as duas primeiras fases. As demais são objetos de

outros cursos.

2.1.2 - Preparação da pesquisa

Esta fase está vinculada diretamente ao planejamento da pesquisa. Nela se faz a

escolha, definição e delimitação do problema em análise. Observa-se as teorias e

abordagens a serem empregadas e os conceitos e hipóteses que devem ser

levados em consideração.

No planejamento da pesquisa imobiliária, o que se pretende é a composição de

uma amostragem aleatória de valores de imóveis com características, tanto quanto

possível, semelhantes às do avaliando.

Cada dado coletado deve reunir condições de tal forma que possa ser

considerado um evento representativo do mercado imobiliário na região de

pesquisa.

Em geral o avaliador conhece a priori as principais características influenciantes

sobre o valor de um bem e em conseqüência a formulação das hipóteses de

trabalho.

Devido ao grande número de variáveis independentes (atributos dos imóveis) que

teriam lugar num modelo explicativo do valor de um imóvel e a quantidade

reduzida de dados que se trabalha na prática, tenta-se na fase de planejamento

da pesquisa, na medida do possível eliminar a presença de algumas destas

variáveis. Por exemplo, na pesquisa de valores para avaliação de um lote urbano,

geralmente limita-se a área de pesquisa à mesma região geo-econômica e ao

mesmo zoneamento do terreno avaliando, evitando-se assim a presença de duas

covariáveis no modelo.


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2.1.3 - Trabalho de campo - Levantamento de dados de mercado

O trabalho de campo é uma das mais importantes fases do processo avaliatório.

Nesta etapa, o engenheiro de avaliações investiga o mercado imobiliário e coleta

dados e informações que servirão de base para a avaliação.

O levantamento de dados tem como objetivo a obtenção de uma amostra

representativa para explicar o comportamento do mercado no qual o imóvel

avaliando esteja inserido e constitui a base do processo avaliatório. Nesta etapa o

engenheiro de avaliações investiga o mercado, coleta dados e informações

confiáveis preferentemente a respeito de negociações realizadas e ofertas,

contemporâneas à data de referência da avaliação, com suas principais

características econômicas, físicas e de localização.

O levantamento dos elementos pode ser feito, utilizando-se principalmente:

• no próprio local, com identificação de placas;

• banco de dados existentes;

• sites de internet;

• empresas Imobiliárias;

• corretores especializados;

• anúncios de Jornais;

• cartórios de Registro Geral de Imóveis;

Todas estas fontes devem ser vistas com sua devida cautela. Um cuidado particular

deve ser observado quando se tomar como referencia dados de cartórios, pois nem

sempre o valor constante numa escritura de compra e venda é o efetivamente

negociado. Assim. torna-se necessário verificar junto a um dos participantes da

operação, o valor real da transação e confrontar suas informações com outras. Na

entrevista com corretores de imóveis ou ofertantes, é de grande importância que o

pesquisador se apresente como pessoa realmente interessada em adquirir o bem

ofertado, sob pena de receber informações distorcidas ou até mesmo não receber

informação alguma. Neste caso o avaliador pode apresentar contra-propostas,

visando retirar a super-estimativa que normalmente acompanha o valor de oferta

inicial. Informações de sites de internet, atualmente são importantes indicadores

quanto à exposição de imóveis no mercado e podem auxiliar nas investigações. É


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um mercado que está crescendo com tendência a serem os grandes formadores

de bancos de dados.

É importante a visita aos elementos tomados como referência, como forma de

verificar todas as informações de interesse. Na própria visita ao campo, muitas vezes

consegue-se referências importantes com moradores da própria região, ou pela

verificação de placas indicativas da manifestação de comercializar o bem.

É importante, também, que os dados coletados sejam de forma diversas, buscando

o lado mais qualitativo do que quantitativo na composição da amostra, como

forma das informações serem cruzadas, o que aumentará a confiabilidade dos

dados levantados.

Os dados de oferta são indicações importantes do valor de mercado. Entretanto,

devem-se considerar superestimativas que em geral acompanham esses preços e,

sempre que possível, quantificá-las pelo confronto com dados de transações.

Na amostragem deve-se analisar o uso de informações que impliquem opiniões

subjetivas do informante e recomenda-se:

a) visitar cada imóvel tomado como referência, com o intuito de verificar, tanto

quanto possível, todas as informações de interesse;

b) atentar para os aspectos qualitativos e quantitativos;

c) confrontar as informações das partes envolvidas, de forma a conferir maior

confiabilidade aos dados coletados.


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2.2 - O Método Comparativo e a Avaliação de Imóveis

Um Método de Avaliação deverá basear-se em um diagnóstico de mercado com a

identificação de atributos influenciantes que podem ser expressos de forma

quantitativa ou qualitativa.

As características do bem em avaliação e do próprio mercado onde está inserido,

a forma com que é transacionado e o tipo e volume de informação disponível,

determinam a aplicabilidade de cada um dos métodos para se estimar o valor de

mercado.

Quando baseados em informações de um mercado aberto, destaca-se o método

comparativo, o qual pode ser considerado como método eletivo quando houver

número suficiente de elementos para compor uma amostra representativa.

O critério de Aproximação de Mercado (Marketing Approach) foi no passado, a

principal ferramenta de avaliação de imóveis e contemplava o principio de que:

"Imóveis similares se venderão a preços similares"

Para a sua aplicação bastava obter no mercado elementos comparáveis ou

similares ao imóvel objeto de avaliação e não haviam problemas com este método

- que era de fácil compreensão e perfeitamente válido - devido as condições de

mercado e as ferramentas de cálculos existentes na época.

Entretanto, com o passar dos anos e a evidente escassez de dados comparáveis, foi

se tornando cada vez mais difícil obter uma amostra representativa de imóveis

similares, quando, então, se passou a recorrer a um processo de “corrigir” ou

homogeneizar os dados referenciais mediante expressões lógicas- matemáticas,

geralmente empíricas, a fim de “ajustá-los” e torná-los semelhantes ao avaliando.

As cidades cresceram e se diversificaram e com isto, veio a necessidade de

empregar simultaneamente “vários fatores de correção” a uma serie de

referenciais, os quais, por serem empíricos e subjetivos, passaram a afetar a

exatidão dos cálculos do valor do imóvel.

Com a acessibilidade aos computadores pessoais durante a segunda metade da

década de oitenta e o advento de pacotes estatísticos, em particular aqueles de

Regressão Linear que empregam o método dos Mínimos Quadrados, tornou-se

possível utilizar essa técnica uma inovadora ferramenta para o cálculo do valor de

bens.


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As técnicas de regressão múltipla surgiram como um aperfeiçoamento do método

comparativo, já que os próprios referenciais se "auto-corrigem" entre si e constituem

um modelo, sem necessidade de utilizar critérios subjetivos por parte do Engenheiro

de Avaliações.


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2.3–Procedimentos Metodológicos em conformidade as Normas da ABNT

2.3.1- Breve histórico

A Engenharia de Avaliações experimentou significativa e definitiva evolução a partir

do ano de 1989, quando a Norma Brasileira para Avaliação de Imóveis Urbanos -

NBR5676/1989 -, teve sua revisão concluída com grandes avanços em relação ao

texto anterior - de 1979 -, reformulando conceitos fundamentais e concretizando o

uso da inferência estatística como ferramenta de pesquisa científica e através da

qual os trabalhos passaram a ter uma classificação de “nível rigoroso” e “rigoroso

especial”.

Os procedimentos utilizando o método cartesiano até aquele momento, norteados

por formulações empíricas através de critérios numéricos dedutivos e racionais,

pelos chamados “fatores de homogeneização”, não perderam sua utilidade e

tiveram uma classificação com grau de rigor dito “normal”.

Em 1991 entrou em vigor o Código de Defesa do Consumidor, que, por sua vez,

tornou obrigatório o uso das normas técnicas brasileiras (art. 39, inciso VIII).

Em meados de 1998, com o início de nova revisão, todas normas envolvendo

avaliação de bens foram incorporadas numa única, que passou a ser subdividida

em Partes de acordo com a natureza do bem. Esta norma denominada NBR-

14.653/01 e substituindo a anterior NBR 5676/89, teve a Parte 1 - Procedimentos

Gerais, aprovada no ano de 2.001.

A Parte 2, NBR-14.653-2, específica para Imóveis Urbanos, foi concluída com

reformulações substanciais, especialmente quanto aos critérios para tratamento de

dados, passando a ser denominados “tratamento por fatores” ou” tratamento

científico” e os anteriormente denominados níveis de rigor (expedito, normal ou

rigoroso), que passaram a ser substituídos por níveis de fundamentação e níveis de

precisão e com classificações independentes ao tipo de tratamento empregado

nos dados.

A metodologia científica para tratamento dos dados com base na inferência

estatística é referenciada pelas normas técnicas, como uma das alternativas de

aplicação do método comparativo direto e por isso será o enfoque principal desta

apostila.

No método comparativo direto, pela própria designação, o valor do imóvel é obtido

diretamente, pela comparação com imóveis similares. Neste sentido, é condição


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fundamental a existência de um conjunto de dados que possa ser tomado

estatisticamente, como amostra representativa do mercado imobiliário.

Se a qualidade da pesquisa de mercado (ou da amostra) é fundamental, o

processo de tratamento dos dados que a compõem, pode ser o fator determinante

na avaliação de um bem.

Os preços dos imóveis, por natureza são heterogêneos – se fossem homogêneos, o

que dificilmente acontece, não existiriam variações e a avaliação poderia ser feita

simplesmente pela média de preços - o que implica na necessidade de estabelecer

relações que expliquem essas variações.

2.3.2- Tratamento dos dados

É recomendável, preliminarmente, a sumarização das informações obtidas sob a

forma de gráficos que mostrem as distribuições de freqüência para cada uma das

variáveis, bem como as relações entre elas. Nesta etapa, verificam-se o equilíbrio

da amostra, a influência das possíveis variáveis-chave sobre os preços e a forma de

variação, possíveis dependências entre elas, identificação de pontos atípicos, entre

outros. Assim, pode-se confrontar as respostas obtidas no mercado com as crenças

a priori do engenheiro de avaliações, bem como permitir a formulação de novas

hipóteses.

Os dados devem ser tratados para obtenção de modelos de acordo com a

metodologia escolhida. No tratamento dos dados podem ser utilizados,

alternativamente e em função da qualidade e da quantidade de dados e

informações disponíveis:

− Tratamento por fatores: homogeneização por fatores e critérios,

fundamentados por estudos e posterior análise estatística dos resultados

homogeneizados.

− Tratamento científico: tratamento de evidências empíricas pelo uso de

metodologia científica que leve à indução de modelo validado para o

comportamento do mercado.

Deve-se levar em conta que qualquer modelo é uma representação simplificada

do mercado, uma vez que não considera todas as suas informações. Por isso,

precisam ser tomados cuidados científicos na sua elaboração, desde a preparação

da pesquisa e o trabalho de campo, até o exame final dos resultados.


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O poder de predição do modelo deve ser verificado a partir do gráfico de preços

observados na abscissa versus valores estimados pelo modelo na ordenada, que

deve apresentar pontos próximos da bissetriz do primeiro quadrante.

Alternativamente, podem ser utilizados procedimentos de validação.

No Processo Comparativo busca-se um valor representativo para a população de

imóveis semelhantes àquele que se pretende avaliar. A população geralmente é

inacessível na sua totalidade, utilizando-se uma amostra, cujo valor médio fornece

estimativas do valor médio populacional.

É evidente que, quanto mais homogênea a população investigada, mais

homogênea será amostra, sendo provável que esta contenha dados com valores

próximos à média aritmética.

Preços unitários homogêneos (difícil na pratica) indicam que, à priori, devem existir

poucos atributos influenciantes na formação dos preços. Neste caso, a avaliação

poderá ser feita a partir da média dos preços coletados no mercado, ou se

necessário, utilizando-se fatores de ajustes com pouca influencia.

No Processo Comparativo, portanto, a amostra deve ser representativa de forma a

permitir construir um modelo que permita estimar o valor médio populacional e

prever valor médio do imóvel avaliando.

A figura a seguir ilustra a diferença entre aplicar fatores e utilizar análise de

regressão (no exemplo é considerada uma variável explicativa, ou seja, Valor/m2

versus Frente).


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Tratamento por fatores: utiliza-se "fatores" empíricos para ajustar os dados de

mercado à média, ou seja, são efetuadas transformações matemáticas que

expressem, em termos relativos, as diferenças entre os atributos dos dados de

mercado e os do bem avaliando, que é estimado pela média ajustada pelos

fatores.

Tratamento por análise de regressão linear: procura-se encontrar a média que mais

se aproxima dos dados de mercado, ou seja, as diferenças dos atributos dos dados

da pesquisa são ajustados com base na própria amostra, onde é possível construir

um modelo e com ele prever o valor médio do bem avaliando


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2.4– Especificação das Avaliações

A especificação de uma avaliação está relacionada tanto com o empenho

do engenheiro de avaliações, como com o mercado e as informações que

possam ser dele extraídas. O estabelecimento inicial pelo contratante do

grau de fundamentação desejado tem por objetivo a determinação do

empenho no trabalho avaliatório, mas não representa garantia de alcance

de graus elevados de fundamentação. Quanto ao grau de precisão, este

depende exclusivamente das características do mercado e da amostra

coletada e, por isso, não é passível de fixação a priori.

As avaliações serão especificadas quanto a fundamentação e precisão,

guardado o critério geral de atribuir graus em ordem numérica e crescente,

onde o Grau I é o menor:

A fundamentação será função do aprofundamento do trabalho avaliatório,

com o envolvimento da seleção da metodologia em razão da

confiabilidade, qualidade e quantidade dos dados amostrais disponíveis.

A precisão será estabelecida quando for possível medir o grau de certeza e

o nível de erro tolerável numa avaliação. Depende da natureza do bem, do

objetivo da avaliação, da conjuntura de mercado, da abrangência

alcançada na coleta de dados (quantidade, qualidade e natureza), da

metodologia e dos instrumentos utilizados.

No caso de informações insuficientes para a utilização dos métodos previstos

no item 8.1.2 da NBR 14653-1, o trabalho não deve ser classificado quanto à

fundamentação e à precisão e deve ser considerado parecer técnico, como

definido em 3.34 da NBR 14653-1.

Os laudos de uso restrito, conforme 10.3 da NBR 14653-1:2001, podem ser

dispensados de especificação, em comum acordo entre as partes.


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Graus de fundamentação Tabela 1 – Graus de fundamentação no caso de utilização de modelos de regressão linear

Item Descrição

Grau III II I

1 Caracterização do imóvel avaliando

Completa quanto a todas as variáveis

analisadas

Completa quanto às variáveis utilizadas no

modelo

Adoção de situação paradigma

2 Coleta de dados de mercado

Características conferidas pelo autor do laudo

Características conferidas por

profissional credenciado pelo

autor do laudo

Podem ser utilizadas características fornecidas por

terceiros

3 Quantidade mínima

de dados de mercado, efetivamente utilizados

6 (k+1), onde k é o número de

variáveis independentes

4 (k+1), onde k é o número de variáveis

independentes

3 (k+1), onde k é o número de variáveis

independentes

4 Identificação dos dados de mercado

Apresentação de informações

relativas a todos os dados e

variáveis analisados na

modelagem, com foto

Apresentação de informações relativas aos dados e variáveis

efetivamente utilizados no modelo

Apresentação de informações relativas aos dados e variáveis

efetivamente utilizados no modelo

5 Extrapolação Não admitida

Admitida para apenas uma variável, desde

que: a) as medidas das características do

imóvel avaliando não sejam superiores a

100% do limite amostral superior, nem inferiores

à metade do limite amostral inferior

b) o valor estimado não ultrapasse 10% do

valor calculado no limite da fronteira amostral, para a referida variável

Admitida, desde que: a) as medidas das características do imóvel avaliando

não sejam superiores a 100% do limite

amostral superior, nem inferiores à

metade do limite amostral inferior

b) o valor estimado não ultrapasse 10% do valor calculado

no limite da fronteira amostral, para as referidas variáveis, simultaneamente

6

Nível de significância (somatório do valor das duas caudas)

máximo para a rejeição da hipótese

nula de cada regressor (teste bicaudal)

10% 20% 30%

7 Nível de significância máximo admitido nos

demais testes estatísticos realizados

1% 5% 10%

9.2.1.1 Para atingir o grau III, são obrigatórias:

a) apresentação do laudo na modalidade completa;


20

b) discussão do modelo, verificadas a coerência da variação das variáveis

em relação ao mercado, bem como suas elasticidades no ponto de

estimação.

9.2.1.2 A utilização de códigos alocados no modelo de regressão implica a

obtenção, no máximo, de grau II de fundamentação.

9.2.1.3 A utilização de tratamento prévio por fatores de homogeneização,

para a transformação de variáveis em modelos de regressão, implica a

obtenção, no máximo, de grau II de fundamentação.

9.2.1.4 Para fins de enquadramento global do laudo em graus de

fundamentação, devem ser considerados os seguintes critérios:

a) na tabela 1, identificam-se três campos (graus III, II e I) e sete itens;

b) o atendimento a cada exigência do grau I terá um ponto; do grau II, dois

pontos; e do grau III, três pontos;

c) o enquadramento global do laudo deve considerar a soma de pontos

obtidos para o conjunto de itens, atendendo à tabela 2.

Tabela 2 – Enquadramento dos laudos segundo seu grau de fundamentação no caso de utilização de modelos de regressão linear

Graus III II I Pontos Mínimos 18 11 7

Itens obrigatórios no grau correspondente

3, 5, 6 e 7, com os demais no

mínimo no grau II

3, 5, 6 e 7 no mínimo no grau II

1 Todos, no mínimo no grau I

Graus de precisão no caso de utilização de modelos de regressão linear

Tabela 3 - Grau de precisão da estimativa do valor no caso de utilização de modelos de regressão linear

Descrição Grau III II I

Amplitude do intervalo de confiança de 80% em torno do valor central da

estimativa ≤30% 30%-50% >50%

a) Nota: Observar 9.1 a 9.3 desta Norma.


21

Grau de fundamentação no caso de utilização do tratamento por fatores

Item Descrição Grau III II I

1 Caracterização do imóvel avaliando

Completa quanto a todos os fatores

analisados

Completa quanto aos fatores utilizados

no tratamento

Adoção de situação paradigma

2 Coleta de dados de

mercado

Características conferidas pelo autor do laudo

Características conferidas por

profissional credenciado pelo

autor do laudo

Podem ser utilizadas características fornecidas por

terceiros

3 Quantidade mínima de

dados de mercado, efetivamente utilizados

12 5 3

4 Identificação dos dados de mercado

Apresentação de informações

relativas a todas as características

dos dados analisadas, com

foto

Apresentação de informações relativas

a todas as características dos dados analisadas

Apresentação de informações relativas

a todas as características dos

dados correspondentes aos

fatores utilizados

Extrapolação conforme B.5.2 do Anexo B Não admitida Admitida para

apenas uma variável Admitida

5 Intervalo admissível de

ajuste para o conjunto de fatores

0,90 a 1,10

0,80 a 1,20

0,50 a 1,50

Notas: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma. (*) No caso de utilização de menos de 5 dados de mercado, o intervalo admissível de ajuste é de 0,80 a 1,25, pois é desejável que, com um número menor de dados de mercado, a amostra seja menos heterogênea.

Tabela 4 – Enquadramento do laudo segundo seu grau de fundamentação no caso de utilização de tratamento por fatores

Graus III II I Pontos Mínimos 13 8 5

Itens obrigatórios Itens 2, 4 e 5 no grau III, com os demais no

mínimo no grau II

Itens 2, 4 e 5 no mínimo no grau II e

os demais no mínimo no grau I

2 todos, no mínimo no grau I

3 Nota: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma.

Tabela 5 - Grau de precisão da estimativa de valor nos casos de utilização de modelos de regressão linear ou do tratamento por fatores

Descrição Grau III II I

Amplitude do intervalo de confiança de 80% em torno do valor central da estimativa ≤30% 30%-50% >50%

Nota: Observar de 9.1 a 9.2 desta Norma.


22

1.3 - PROCEDIMENTOS PARA A UTILIZAÇÃO DE MODELOS DE REGRESSÃO LINEAR

– EXIGÊNCIAS DA ABNT NBR 14653-2 Anexo A (normativo)

A.1 Introdução A.1.1 A técnica mais utilizada quando se deseja estudar o comportamento de uma

variável dependente em relação a outras que são responsáveis pela variabilidade

observada nos preços é a análise de regressão.

A.1.2 No modelo linear para representar o mercado, a variável dependente é

expressa por uma combinação linear das variáveis independentes, em escala

original ou transformadas, e respectivas estimativas dos parâmetros populacionais,

acrescida de erro aleatório, oriundo de variações do comportamento humano –

habilidades diversas de negociação, desejos, necessidades, compulsões, caprichos,

ansiedades, diferenças de poder aquisitivo, entre outros – imperfeições acidentais

de observação ou de medida e efeitos de variáveis irrelevantes não incluídas no

modelo.

A.1.3 Com base em uma amostra extraída do mercado, os parâmetros

populacionais são estimados por inferência estatística.

A.1.4 Na modelagem, devem ser expostas as hipóteses relativas aos

comportamentos das variáveis dependentes e independentes, com base no

conhecimento que o engenheiro de avaliações tem a respeito do mercado,

quando serão formuladas as hipóteses nula e alternativa para cada parâmetro.

A.2 Pressupostos básicos

A.2.1 Ressalta-se a necessidade, quando se usam modelos de regressão, de

observar os seus pressupostos básicos, apresentados a seguir, principalmente no que

concerne à sua especificação, normalidade, homocedasticidadede, não-

multicolinearidade, não-autocorrelação, independência e inexistência de pontos

atípicos, com o objetivo de obter avaliações não-tendenciosas, eficientes e

consistentes:

a) para evitar a micronumerosidade, o número mínimo de dados efetivamente

utilizados (n) no modelo deve obedecer aos seguintes critérios, com respeito ao

número de variáveis independentes (k):

n ≥ 3 (k+1)

ni ≥ 5, até duas variáveis dicotômicas ou três códigos alocados para a

mesma característica;


23

ni ≥ 3, para 3 ou mais variáveis dicotômicas ou quatro ou mais códigos

alocados para a mesma característica

onde ni é o número de dados de mesma característica, no caso de utilização

de variáveis dicotômicas ou de códigos alocados, ou número de valores

observados distintos para cada uma das variáveis quantitativas;

b) os erros são variáveis aleatórias com variância constante, ou seja,

homocedásticos;

c) os erros são variáveis aleatórias com distribuição normal;

d) os erros são não-autocorrelacionados, isto é, são independentes sob a condição

de normalidade;

e) não devem existir erros de especificação no modelo, isto é, todas as variáveis

importantes devem estar incorporadas – inclusive as decorrentes de interação – e

nenhuma variável irrelevante deve estar presente no modelo;

f) em caso de correlação linear elevada entre quaisquer subconjuntos de variáveis

independentes, isto é, multicolinearidade, deve-se examinar a coerência das

características do imóvel avaliando com a estrutura de multicolinearidade inferida,

vedada a utilização do modelo em caso de incoerência;

g) não deve existir nenhuma correlação entre o erro aleatório e as variáveis

independentes do modelo.

h) possíveis pontos influenciantes, ou aglomerados deles, devem ser investigados e

sua retirada fica condicionada à apresentação de justificativas.

A.2.2 Verificação dos pressupostos do modelo

A.2.2.1 Linearidade

Deve ser analisado, primeiramente, o comportamento gráfico da variável

dependente em relação a cada variável independente, em escala original. Isto

pode orientar o avaliador na transformação a adotar. Existem formas estatísticas de

se buscar a transformação mais adequada, como, por exemplo, os procedimentos

de Box e Cox.

As transformações utilizadas para linearizar o modelo devem, tanto quanto possível,

refletir o comportamento do mercado, com preferência pelas transformações mais

simples de variáveis, que resultem em modelo satisfatório.

Após as transformações realizadas, se houver, examina-se a linearidade do modelo,

pela construção de gráficos dos valores observados para a variável dependente

versus cada variável independente, com as respectivas transformações.


24

A.2.2.2 Normalidade

A verificação da normalidade pode ser realizada, entre outras, por uma das

seguintes formas:

a) pelo exame de histograma dos resíduos amostrais padronizados, com o objetivo

de verificar se sua forma guarda semelhança com a da curva normal;

b) pela análise do gráfico de resíduos padronizados versus valores ajustados, que

deve apresentar pontos dispostos aleatoriamente, com a grande maioria situados

no intervalo [-2;+2 ].

c) pela comparação da freqüência relativa dos resíduos amostrais padronizados

nos intervalos de [-1;+1], [-1,64;+1,64 ] e [-1,96;+1,96 ], com as probabilidades da

distribuição normal padrão nos mesmos intervalos, ou seja, 68%, 90% e 95%;

d) pelo exame do gráfico dos resíduos ordenados padronizados versus quantis da

distribuição normal padronizada, que deve se aproximar da bissetriz do primeiro

quadrante;

e) pelos testes de aderência não-paramétricos, como, por exemplo, o qui-

quadrado, o de

Kolmogorov-Smirnov ajustado por Stephens e o de Jarque-Bera.

A.2.2.3 Homocedasticidade

A verificação da homocedasticidade pode ser feita, entre outros, por meio dos

seguintes processos:

a) análise gráfica dos resíduos versus valores ajustados, que devem apresentar

pontos dispostos aleatoriamente, sem nenhum padrão definido;

b) pelos testes de Park e de White.

A.2.2.4 Verificação da autocorrelação

O exame da autocorrelação deve ser precedido pelo pré-ordenamento dos

elementos amostrais, em relação a cada uma das variáveis independentes

possivelmente causadoras do problema ou em relação aos valores ajustados.

Sua verificação pode ser feita:

a) pela análise do gráfico dos resíduos cotejados com os valores ajustados, que

deve apresentar pontos dispersos aleatoriamente, sem nenhum padrão definido;

b) pelo Teste de Durbin-Watson, considerando o pré-ordenamento anteriormente

citado.


25

A.2.2.5 Colinearidade ou multicolinearidade

A.2.2.5.1 Uma forte dependência linear entre duas ou mais variáveis independentes

provoca degenerações no modelo e limita a sua utilização. As variâncias das

estimativas dos parâmetros podem ser muito grandes e acarretar a aceitação da

hipótese nula e a eliminação de variáveis fundamentais.

A.2.2.5.2 Para verificação da multicolinearidade deve-se, em primeiro lugar, analisar

a matriz das correlações, que espelha as dependências lineares de primeira ordem

entre as variáveis independentes, com atenção especial para resultados superiores

a 0,80. Como também é possível ocorrer multicolinearidade, mesmo quando a

matriz de correlação apresenta coeficientes de valor baixo, recomenda-se,

também, verificar o correlacionamento de cada variável com subconjuntos de

outras variáveis independentes, por meio de regressões auxiliares.

A.2.2.5.3 Para tratar dados na presença de multicolinearidade, é recomendável

que sejam tomadas medidas corretivas, como a ampliação da amostra ou adoção

de técnicas estatísticas mais avançadas, a exemplo do uso de regressão de

componentes principais.

A.2.2.5.4 Nos casos em que o imóvel avaliando segue os padrões estruturais do

modelo, a existência de multicolinearidade pode ser negligenciada, desde que

adotada a estimativa pontual.

A.2.2.6 Pontos influenciantes ou outliers

A existência desses pontos atípicos pode ser verificada pelo gráfico dos resíduos

versus cada variável independente, como também em relação aos valores

ajustados, ou usando técnicas estatísticas mais avançadas, como a estatística de

Cook para detectar pontos influenciantes.

A.3 Testes de significância

A.3.1 A significância individual dos parâmetros das variáveis do modelo deve ser

submetida ao teste t de Student, em conformidade com as hipóteses estabelecidas

quando da construção do modelo.

A.3.2 A hipótese nula do modelo deve ser submetida ao teste F de Snedecor e

rejeitada ao nível máximo de significância de 1%.

A.3.3 A significância de subconjuntos de parâmetros, quando pertinente, pode ser

testada pela análise da variância particionada, com a utilização do teste da razão

de verossimilhança.


26

A.3.4 Os níveis de significância utilizados nos testes citados nesta subseção serão

compatíveis com a especificação da avaliação.

A.4 Poder de explicação

Em uma mesma amostra, a explicação do modelo pode ser aferida pelo seu

coeficiente de determinação. Devido ao fato de que este coeficiente sempre

cresce com o aumento do número de variáveis independentes e não leva em

conta o número de graus de liberdade perdidos a cada parâmetro estimado, é

recomendável considerar também o coeficiente de determinação ajustado.

A.5 Campo de arbítrio

O campo de arbítrio corresponde à semi-amplitude de 15% em torno da estimativa

pontual adotada. Caso não seja adotada a estimativa pontual, o engenheiro de

avaliações deve justificar sua escolha.

A.6 Códigos alocados

Recomenda-se considerar tantas variáveis dicotômicas quantas forem necessárias

para descrever as diferenças qualitativas, em lugar da utilização de códigos

alocados, especialmente quando a quantidade de dados é abundante e pode-se

preservar os graus de liberdade necessários à modelagem estatística, definidos

nesta Norma. A utilização de códigos alocados é tolerada nos seguintes casos, na

seguinte ordem de prioridade:

a) quando seus valores são extraídos da amostra com a utilização de variáveis

dicotômicas;

b) quando são utilizados números naturais em ordem crescente das características

possíveis, com valor inicial igual a 1, sem a utilização de transformações, ou seja, na

escala original.

A.7 Diferentes agrupamentos

No caso de utilização no mesmo modelo de regressão de diferentes agrupamentos

(tipologia, mercados, localização, usos etc.), recomenda-se verificar a

independência entre os agrupamentos, entre as variáveis utilizadas e possíveis

interações entre elas.

A.8 Apresentação do modelo

A variável dependente no modelo de regressão deve ser apresentada no laudo na

forma não transformada.


27

Procedimentos para a utilização de tratamento por fatores Anexo B (normativo)

B.1 Neste tratamento de dados, aplicável ao Método Comparativo Direto de Dados

de Mercado, é admitida a priori a validade da existência de relações fixas entre os

atributos específicos e os respectivos preços.

B.1.1 Para isso, são utilizados fatores de homogeneização calculados conforme

8.2.1.4.2, por metodologia científica, que reflitam, em termos relativos, o

comportamento do mercado com determinada abrangência espacial e temporal.

B.2 É recomendável que sejam utilizados dados de mercado:

a) com atributos mais semelhantes possíveis aos do imóvel avaliando;

b) que sejam contemporâneos. Nos casos de exame de dados não

contemporâneos, é desaconselhável a atualização do mercado imobiliário através

de índices econômicos, quando não houver paridade entre eles, devendo, neste

caso, o preço ser atualizado mediante consulta direta à fonte. Quando a

atualização na forma mencionada for impraticável, só será admitida a correção

dos dados por índices resultantes de pesquisa no mercado.

B.2.1 Para a utilização deste tratamento, considera-se como dado de mercado

com atributos semelhantes aqueles em que cada um dos fatores de

homogeneização, calculados em relação ao avaliando, estejam contidos entre

0,50 e 1,50.

B.2.2 O preço homogeneizado, resultado da aplicação de todos os fatores de

homogeneização ao preço original, deve estar contido no intervalo de 0,50 a 1,50.

B.3 Após a homogeneização, devem ser utilizados critérios estatísticos consagrados

de eliminação de dados discrepantes, para o saneamento da amostra.

B.4 O campo de arbítrio corresponde ao intervalo compreendido entre o valor

máximo e mínimo dos preços homogeneizados efetivamente utilizados no

tratamento, limitado a 10% em torno do valor calculado. Caso não seja adotado o

valor calculado, o engenheiro de avaliações deve justificar sua escolha.

B.5 Os fatores de homogeneização devem apresentar, para cada tipologia, os seus

critérios de apuração e respectivos campos de aplicação, bem como a

abrangência regional e temporal.

B.5.1 Os fatores de homogeneização não podem ser utilizados fora de sua tipologia,

campo de aplicação e abrangências regional e temporal.


28

B.5.2 As características quantitativas, ou expressas por variáveis proxy, do imóvel

avaliando não devem ultrapassar em 50%, para mais ou para menos,

respectivamente, os limites superior e inferior observados na amostra. Para as demais

características qualitativas é vedada a extrapolação em relação aos limites

amostrais.

B.5.3 A fonte dos fatores utilizados na homogeneização deve ser explicitada no

trabalho avaliatório.

B.6 Os fatores de homogeneização que resultem em aumento da heterogeneidade

dos valores não devem ser utilizados.

1.2.5- Apresentação do laudo de avaliação

1.2.5.1 Requisitos mínimos

O laudo de avaliação deverá conter, no mínimo, as informações abaixo

relacionadas:

a) identificação da pessoa física ou jurídica e/ou seu representante legal que tenha solicitado o trabalho;

b) objetivo da avaliação; c) identificação e caracterização do bem avaliando; d) indicação do(s) método(s) utilizado(s), com justificativa da escolha; e) especificação da avaliação; f) resultado da avaliação e sua data de referência; g) qualificação legal completa e assinatura do(s) profissional(is) responsável(is)

pela avaliação; h) local e data do laudo;

i) outras exigências previstas nas demais partes desta Norma.

1.2.5.2 Modalidades

O laudo de avaliação pode ser apresentado nas seguintes modalidades:

a) Simplificado – contém de forma sucinta as informações necessárias ao seu

entendimento.

b) Completo – contém todas as informações necessárias e suficientes para ser

auto-explicável.

1.2.5.3 Laudo de avaliação de uso restrito

Obedece a condições específicas pré combinadas entre as partes contratantes,

não tendo validade para outros usos ou exibição para terceiros.


29

Modelagem CAPÍTULO 2

2.1 – A INFERÊNCIA ESTATÍSTICA APLICADA NA AVALIAÇÃO DE IMÓVEIS

As recomendações explicitadas na Norma Brasileira de Avaliação de Imóveis

Urbanos visando à utilização da inferência estatística na Engenharia de Avaliações,

com algumas exceções, têm sido particularmente voltadas, até o momento, para a

utilização da Regressão Linear no cálculo do valor do imóvel.

Atualmente a aplicação dessas técnicas estatísticas é bastante facilitada graças ao

avanço tecnológico dos computadores que tornou os cálculos relativamente fáceis

e originaram vasta disposição de programas aplicativos, em particular aqueles de

Regressão Linear que empregam o Método dos Mínimos Quadrados, mas isso não é

condição suficiente, pois sua aplicação não pode prescindir do julgamento crítico e

de sólidos conhecimentos do mercado imobiliário por parte do engenheiro de

avaliações.

2.2 – CONCEITOS DE MODELO

Usando dos conceitos introduzidos por Orlando Carneiro de Matos, in Econometria

Básica Teoria e Aplicações, a palavra modelo, de modo geral, pode ser entendida

como representação simplificada da realidade, estruturada de forma tal que

permita compreender o funcionamento total ou parcial dessa realidade ou

fenômeno. Num sentido mais restrito, modelo, é uma representação formal de idéias

ou conhecimentos acerca de um fenômeno. Essas idéias (chamadas teorias)

expressam-se por um conjunto de hipóteses sobre os elementos essenciais do

fenômeno e das leis que os regem, as quais geralmente se traduzem sob a forma de

um sistema de equações matemáticas.

As definições introduzidas na NBR14653-1, de forma resumida, endossam esses

conceitos, ou seja:

“3.31 modelo: Representação técnica da realidade”.

e “3.32 modelo de regressão: Modelo utilizado para representar determinado fenômeno,

com base numa amostra, considerando-se as diversas características influenciantes”.

Os modelos, de uma forma geral, podem ser puramente teóricos ou

econométricos.


30

Modelos Teóricos são aqueles que expressam leis de mercado sem necessariamente

conter a especificação efetiva da forma matemática nem a enumeração exaustiva

das variáveis que o compõem.

Modelos Econométricos são aqueles que necessariamente contêm as especificações

(forma matemática e definição das variáveis) para aplicação empírica, além de

incorporar um termo residual com a finalidade de levar em conta variáveis ou outros

elementos, que, por alguma razão, não puderam ser considerados explicitamente.

A montagem de um modelo é sempre um processo interativo e geralmente requer o

uso da evidência empírica dos dados e do conhecimento do mercado analisado.

Mesmo contendo os elementos que permitam sua operacionalização, os modelos

probabilísticos não admitem relações exatas em virtude da não-inclusão de todas as

variáveis que determinam o comportamento do fenômeno e de erros de medidas das

variáveis. Constituem uma formulação incompleta da realidade em face da

impossibilidade de um modelo abranger todos os fatores que determinam ou

condicionam o comportamento do mercado imobiliário, contrastando com os

modelos determinísticos que supõem a existência de variáveis que satisfazem

exatamente as equações matemáticas.

Em um campo tão vasto como o do mercado imobiliário, modelos que simplifiquem a

compreensão da realidade, mas que ao mesmo tempo possuam a abrangência suficiente

para que os principais fatores intervenientes e suas interações estejam claramente

identificados, são de extrema importância.

2.3- OS MÉTODOS ESTATÍSTICOS

Os métodos estatísticos, de um modo geral, envolvem a análise e a interpretação

de dados observados em um fenômeno. O conjunto de observações colhidas

constitui-se na amostra (no caso específico da avaliação de imóveis, na pesquisa

de mercado) e o grupo todo de elementos do qual ela foi extraída, é designado

por população.

A parte estatística referente a coleta, a sumarização e a descrição dos dados

refere-se a estatística descritiva. Compreende a organização e o resumo dos

mesmos, bem como análise e interpretações numéricas e gráficas, envolvendo

cálculo de medidas, tais como, a média, a mediana, o desvio padrão, etc.


31

A inferência estatística, por sua vez, envolve a formulação de certos julgamentos

(ou conclusões) sobre um todo, após examinar apenas uma parte, ou amostra,

dele. Para que a inferência estatística seja válida, a amostra deve ser

representativa da população, e a probabilidade do erro, ser especificada.

Deste modo, a inferência estatística envolve um raciocínio indutivo: argumentação

do específico - amostra - para o geral - população - , no qual impõe-se que

obedeça algum modelo de probabilidade.

Na prática, o processo de inferência consiste em investigar a forma e o grau das

relações entre as observações colhidas em amostras, que se supõem estarem

interligadas de alguma maneira e, a partir delas, construir modelos.

O modelo escolhido deve satisfazer os pressupostos básicos determinado por um

conjunto de testes de hipóteses e, dentro de intervalos de confiança, conferir

validade às predições das probabilidades estabelecidas.

A abordagem é feita pela análise de regressão, pelo método dos mínimos

quadrados.

A aplicação do método dos mínimos quadrados, considerando exemplificativamente duas

variáveis (Yi, Xi), consiste em encontrar, a partir dos dados amostrais as estimativas para o

coeficiente angular b1 (que define o aumento ou diminuição da variável Yi por unidade de

variação da variável Xi) e para o intercepto b0 (que define o ponto em que a reta corta o

eixo das ordenadas), de modo que os erros (ou resíduos) sejam mínimos.

Conceitos de uma equação de regressão (4 elementos básicos):

- variáveis : dependente (Y)

independentes (X1, X2,...Xn) que podem ser qualitativas ou quantitativas;

- relações (ou equações): descrevem o comportamento investigado (no caso o de

mercado imobiliário) através de uma função linear (ou linearizáveis):

- parâmetros: são as magnitudes das relações (B0, B1, ...,Bn);

- termo aleatório ou erro (resíduos): incluído na análise de regressão para contemplar

erros devidos a não consideração na regressão de variáveis de importância menor (já

que o propósito do modelo é generalizar e simplificar as relações apenas das causas

mais importantes), levar em conta o efeito de possíveis erros de medidas ou

informações e para captar a imprevisibilidade do comportamento humano,

inerentemente aleatório.


32

Identificação das variáveis do modelo (item 8.2.1.2 da NBR 14653-2)

8.2.1.2.1 Variável dependente

Para a especificação correta da variável dependente, é necessária uma

investigação no mercado em relação à sua conduta e às formas de expressão dos

preços (por exemplo, preço total ou unitário, moeda de referência, formas de

pagamento), bem como observar a homogeneidade nas unidades de medida.

8.2.1.2.2 Variáveis independentes

As variáveis independentes referem-se às características físicas (por exemplo: área,

frente), de localização (como bairro, logradouro, distância a pólo de influência,

entre outros) e econômicas (como oferta ou transação, época e condição do

negócio – à vista ou a prazo).

Sempre que possível, recomenda-se a adoção de variáveis quantitativas. As

diferenças qualitativas das características dos imóveis podem ser especificadas na

seguinte ordem de prioridade:

a) por meio de codificação, com o emprego de variáveis dicotômicas (por exemplo:

aplicação de condições booleanas do tipo “maior do que” ou “menor do que”, “sim” ou

“não”);

b) pelo emprego de variáveis proxy (por exemplo: padrão construtivo expresso pelo custo

unitário básico);

c) por meio de códigos alocados (por exemplo: padrão construtivo baixo igual a 1, normal

igual a 2 e alto igual a 3).

DEFINIÇÕES BNR 14.653-1

3.63 variáveis-chave: Variáveis que, a priori e tradicionalmente, são importantes para a

formação do valor do imóvel.

3.64 variáveis independentes: Variáveis que dão conteúdo lógico à formação do valor do

imóvel objeto da avaliação.

3.65 variáveis qualitativas: Variáveis que não podem ser medidas ou contadas, mas apenas

ordenadas ou hierarquizadas, de acordo com atributos inerentes ao bem (por exemplo:

padrão construtivo, estado de conservação, qualidade do solo).

3.66 variáveis quantitativas: Variáveis que podem ser medidas ou contadas (por exemplo:

área privativa, número de quartos, número de vagas de garagem).

3.67 variável dependente: Variável que se pretende explicar pelas variáveis independentes.

3.68 variável dicotômica: Variável que assume apenas dois valores.

3.69 variável proxy: Variável utilizada para substituir outra de difícil mensuração e que se

presume guardar com ela relação de pertinência.


33

Conceitos Básicos da Inferência Estatística CAPÍTULO 3

3.1- ANÁLISE DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS Freqüentemente, um conjunto de dados pode reduzir-se a uma ou algumas

medidas que resumem todo o conjunto. Duas são as características importantes dos

dados, que as medidas numéricas podem evidenciar:

- 1o) o valor central ou mais típico do conjunto

- 2o) a dispersão dos números 3.1.1- Medidas de Tendência Central

As medidas da tendência central são indicadores que permitem que se tenha uma

primeira idéia, um resumo, de como se distribuem os dados de um experimento.

Essencialmente, elas informam o valor (ou faixa de valores) da variável aleatória

que ocorrem com a maior freqüência. Uma medida de tendência central é um

valor no centro ou no meio de um conjunto de dados.

Existem três medidas básicas que refletem a tendência central de uma distribuição

de freqüências, sendo elas: a média, a mediana e a moda.

A média A média de um conjunto de valores é o valor obtido somando-se todos

eles e dividindo-se o total pelo número de casos. De modo geral a mais importante

de todas as mensurações numéricas descritivas. A média pode expressar-se como x

(x barra) se o conjunto de valores é uma amostra; se todos os valores da população

estão presentes, a média é expressa por μ (letra grega mu). Logo, a média de uma

amostra de 70, 90 e 110, é:

A mediana A mediana de um conjunto de dados é o valor da variável aleatória a

partir do qual metade dos casos se encontra acima dele e metade se encontra

abaixo, indicando, portanto, o valor do meio quando os dados estão dispostos em

ordem crescente (ou decrescente). Se o número de elementos é impar, a mediana

é o meio, se o número é par a média dos dois valores do meio.

A moda A moda de um conjunto de dados é o evento ou categoria de eventos

que ocorre com maior freqüência,indicando o valor ou categoria mais provável.

Quando dois valores ocorrem com a mesma freqüência máxima, cada um deles é

uma moda, e o conjunto se diz bimodal; se mais de dois valores, o conjunto é

multimodal.

nxMédia ∑= 90

31109070

=++

=−

x


34

Sequem alguns exemplos:

Média Mediana Moda

M (2, 3, 3, 4) M=3 Me=3 Mo=3

M (1,18,19,40) M=19,50 Me=18,50 Mo= não tem

M (1,2,3,3,3,7,7,7,11,20) M=6,4 Me=5 Mo=3 e 7

M (9,10,80,80,100) M=55,80 Me=80 Mo=80

A melhor medida de tendência central As diversas medidas de tendência central têm diferentes vantagens e

desvantagens, algumas das quais resumidas na tabela abaixo. Uma vantagem

importante da média é que leva em conta todos os valores, mas a grande

desvantagem é que às vezes pode ser seriamente afetada por valores extremos.

Definição

Leva em conta todos os valores?

Afetada pelos valores

extremos? Vantagens

Média Soma dos valores

dividido pelo número de valores

Sim Sim Funciona bem com

muitos métodos estatísticos

Mediana Valor do meio Não Não Costuma ser boa

escolha se há alguns valores extremos

Moda Valor mais freqüente Não Não Apropriada para dados de nível nominal

Assimetria

Em distribuições de freqüência que refletem uma distribuição de probabilidade mais

simétrica, como é o caso da Curva Normal, as três medidas convergem para um

mesmo resultado. Em distribuições assimétricas, como o caso da Exponencial, as

medidas divergem significativamente. A comparação da média, mediana e moda

pode nos dizer algo sobre a característica da assimetria, conforme mostrado nas

figuras abaixo.

Fig. 2 - Assimetria

MÉDIA MODA

MEDIANA

MODA MÉDIA

MEDIANA

MÉDIA MODA

MEDIANA

Negativamente Assimétrica: a

Média e a Mediana estão à

esquerda da Moda .

Positivamente Assimétrica:

a Média e a Mediana estão à

direita da Moda .

Simétrica: a Média, a Moda

e a Mediana coincidem


35

3.1.2 - Medidas de dispersão (ou variação)

Para descrever adequadamente um conjunto de dados, além da informação quanto ao

“meio” de um conjunto de números, é conveniente dispor também de um método que

permita exprimir a dispersão em torno da média, ou seja, da maior ou menor variabilidade

dos resultados obtidos. As medidas de dispersão (ou variação) indicam se os valores estão

relativamente próximos um dos outros, ou separados. Elas permitem se identificar até que

ponto os resultados se concentram ou não ao redor da tendência central de um conjunto

de observações.

.. ..... .... .. Pequena dispersão: números relativamente próximos uns dos outros têm baixas medidas de variação

. . . . . . . . .

Grande dispersão: valores mais dispersos têm maior medida de variação.

Fig. 3 - Dispersão

Basicamente, os índices de dispersão expressam diferentes formas de se quantificar a

tendência que os resultados de um experimento aleatório tem de se concentrarem ou não

em determinados valores. Existem várias medidas de dispersão que podem avaliar diversos

aspectos da variabilidade de um conjunto de dados. As principais são:

Amplitude

A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor que foi

observado para a variável aleatória, servindo para caracterizar a abrangência do estudo.

Para calculá-la, basta subtrair o menor valor do maior. Geralmente não é calculada, mas é

costumeiro mostrar o valor mínimo e o valor máximo da amostra. A utilidade da amplitude é

bastante limitada pelo fato de só levar em conta os dois valores extremos de um conjunto,

nada informando quanto aos outros valores.

Desvio padrão e variância

De um modo geral, o desvio padrão é a mais importante medida de variação de valores e

desempenha papel relevante em toda estatística. Ao contrário da amplitude, leva em

conta todos os valores. Ao medir a variação em um conjunto de dados amostrais, é razoável

começar pelo desvio médio, que é a média dos valores absolutos das diferenças entre cada

dado e a média do conjunto. Entretanto a soma de todos esses valores (por serem negativos

e positivos) é sempre zero. Para se obter uma estatística que realmente meça a variação,

toma-se, então, a soma desses valores absolutos (todos positivos). Determinando a média

deste somatório, tem-se o desvio médio, dado pela seguinte expressão:

O desvio médio absoluto de um

conjunto de números é a média dos

desvios dos valores a contar da

média, ignorando-se o sinal de diferença.

Fornece uma idéia da diferença típica entre

uma medida isolada e a média da amostra. n

xxoDesvioMédi ∑ −

=


36

Ao invés de utilizar valores absolutos de uma amostra, é possível obter uma medida de

variação ainda melhor, tomando os quadrados dos desvios (x-x)2 , que são não-negativos,

obtendo-se assim a variância. Calcula-se a variância de uma amostra da mesma forma que

o desvio médio, com duas exceções (1) os desvios médios são elevados ao quadrado antes

da soma, e (2) tomam-se a média dividindo por n-1 em lugar de n, porque isso dá uma

melhor estimativa da variância populacional. Pode-se calcular a variância pela fórmula

abaixo:

Variância é a soma dos quadrados dos desvios de cada ponto em torno

da média aritmética. Caracteriza a dispersão dos pontos de uma

amostra potencializando as diferenças.

O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada positiva da variância:

Na distribuição gaussiana, cerca de 95% dos casos fica

dentro do intervalo entre a média e +1.96*DP.

Ou, ainda, pode-se calcular desvio padrão pela fórmula:

O Coeficiente de Variação é o desvio padrão dividido pela média. Indica a variabilidade da

amostra em relação à média.

XS.V.C e&&

=

3.2 – PROBABILIDADE O método da inferência estatística baseia-se na evidência amostral para formular

conclusões sobre toda uma população. As decisões inferenciais se baseiam sem chances -

ou probabilidades- de eventos.

3.2.1 – Distribuições de freqüências

É o conjunto das freqüências relativas

observadas para um dado fenômeno

estudado, sendo a sua representação

gráfica o Histograma (diagrama onde o

eixo horizontal representa faixas de valores

da variável aleatória e o eixo vertical

representa a freqüência relativa). Quanto

maior o tamanho da amostra, mais a

distribuição de freqüência tende para a

distribuição de probabilidade (Lei dos

Grandes Números).

Fig. 4 - Distribuição de Freqüências

1)( 2

2

−

−=∑

nxxi

xs

1)( 2

−

−= ∑

nxx

s i

1])([ 22

−−

= ∑∑n

nxxs ii


37

3.2.2 – Testes de Aderência

Fig. 5 - Aderência

A identificação de uma distribuição de

probabilidade a partir de um conjunto de

freqüências é realizada pelos chamados

Testes de Aderência, os quais calculam a

probabilidade da diferença entre uma

distribuição de freqüência observada e

aquela que seria de se esperar a partir de

uma determinada distribuição de

probabilidade.

3.2.3 – Distribuições de probabilidades

Os valores das variáveis aleatórios só são conhecidos após a realização de um experimento e

nem todos os valores são igualmente prováveis: portanto as afirmações sobre certos valores são

probabilïsticos, especificados através de uma distribuição de probabilidade.

Quando se relacionam os valores de uma variável aleatória discreta com sua probabilidade de

ocorrência, o resultados é um função densidade de probabilidade: para a variável aleatória

discreta X, o valor da função densidade de probabilidade f(x) é a probabilidade de a variável

aleatória X tomar o valor de x , f (x)= P (X=x).

Para a variável aleatória contínua Y, a função de densidade de probabilidade f(y) pode ser

representada por uma equação, descrita graficamente por uma curva. No caso das variáveis

contínuas, a área sob a função densidade de probabilidade corresponde à probabilidade.

F(y) f(y)

a b y

Fig. 6– Probabilidade como área sob uma função de densidade de probabilidade.

A área total sob a função de densidade de probabilidade 1, e a probabilidade de Y tomar o

valor do intervalo [a,b] ou P [a ≤ Y ≤ b] é a área sob a função densidade entre os valores y=a e y

= b. Uma distribuição de probabilidades é uma distribuição de freqüências para os resultados

de um espaço amostral. A essência da análise estatística é confrontar as hipóteses de uma

distribuição de probabilidades com as especificações de determinado problema. Há uma

variedade de tipos de distribuição de probabilidades na estatística, tendo cada uma seu

próprio conjunto de hipóteses que definem as condições sob as quais o tipo de distribuição

pode ser utilizado. A mais importante e que será abordada a seguir, por ser extensamente usada

em problemas de inferência é a distribuição normal.


38

3.2.4- Distribuição Normal

O conhecimento desta distribuição de probabilidades se deve a Abraham de Moivre (1667-

1754) que, em 1733, apresentou a função que a representa. Tratava-se até então de um

exercício teórico, sem aplicação prática. J. Bernoulli (1654-1705) acreditava que poderia haver

aplicação na área da economia, no entanto, o uso desses conhecimentos na prática se deve a

Pierre-Simon Laplace (1749-1827) na França e a Johan K. F. Gauss (1777-1855) na Alemanha.

O nome “Curva de Gauss” se deve à suposição que Gauss tivesse sido a primeira pessoa a fazer

uso de suas propriedades; no entanto, em 1924, Karl Pearson reafirmou o papel fundamental de

Abraham de Moivre.

O gráfico de uma distribuição normal se assemelha à forma de sino.. A curva se prolonga em

qualquer das direções a partir da média, tendendo ao eixo horizontal à medida que aumenta a

distancia, mas nunca toca o eixo.

Esta curva é definida por dois parâmetros: sua média (µ) e sua variância (ó2). Dessa forma são

possíveis infinitas curvas normais, ora variando a média, ora a sua variância.

Suas principais características são:

- A variável x pode assumir qualquer valor real (-∝ a +∝)

- Os valores de y são assintóticos em relação ao eixo das abscissas, isto é, nunca tocam o eixo

de x.

- A curva é simétrica e unimodal, apresentando um ponto de inflexão à esquerda (x = µ - 1ó) e

outro à direita (x = µ +1ó).

Como se trata de distribuição de probabilidade contínua, a área que fica entre a curva e o eixo

das abscissas representa a probabilidade. A probabilidade de ocorrer um evento entre os

pontos a e b é calculada pela integral definida da função entre os pontos a e b, representada

pela área no gráfico

Fig. 07– Curva de Probabilidade Normal

3.2.5-A tabela normal padronizada

Curvas normais, com qualquer µ e ó, podem ser transformadas em uma normal muito

especial que tem média 0 (µ = 0) e desvio padrão 1 (ó = 1). Esta curva normal com média 0

e desvio padrão 1 é conhecida como curva normal reduzida. Suas probabilidades já foram

calculadas e são apresentadas em tabelas de fácil utilização. Como a normal é simétrica, os


39

livros apresentam somente as probabilidades da metade direita da curva. A probabilidade

de um intervalo qualquer da metade esquerda é igual à probabilidade do intervalo

equivalente na metade direita.

Regra básica para qualquer função de probabilidade:

Total da área embaixo da curva = 1.00 ou P(- ∞ < Zi < + ∞) = 1.0

P(...) SIGNIFICA PROBABILIDADE e f(Z) é a função de densidade.

Fig. 8– Distribuição normal

A tabela da paina seguinte dá a probabilidade de ocorrência de um evento entre 0 e z. Na

margem esquerda temos o valor de z com uma decimal e, se necessitamos considerar a

segunda decimal, a procuramos na margem superior. No interior obtemos as probabilidades.

Para calcular a probabilidade de z entre 0 e 1, procuramos na margem esquerda a linha

que tem z = 1,0 e a coluna 0,00 e encontramos o valor 0,3413. Isto significa que a

probabilidade de encontrar um valor de x entre a média zero e z=1,0 é 0,3413 ou 34,13%.

Para se obter a probabilidade de z entre 0 e 1,64, procuramos a célula cuja linha é 1,6 e

coluna 0,06 o que resulta o valor 0,8990 ou 89,90%, ou seja:

ÁREA ENTRE 1 e –1 DESV. PADRÃO = 68,27% P(- 1 < Zi < + 1) = 0.6827 ÁREA ENTRE 1,64 e –1,64 DESV. PADRÃO = 89,90% P(- 1,64 < Zi < + 1,64) = 0.8990 ÁREA ENTRE 1,96 e –1,96 DESV. PADRÃO = 95% P(- 1,96 < Zi < + 1,96) = 0.9500 ÁREA ENTRE 2 e –2 DESV. PADRÃO = 95,45% P(- 2 < Zi < + 2) = 0.9545 ÁREA ENTRE 3 e –3 DESV. PADRÃO = 99,73% P(- 3 < Zi < + 3) = 0.9973

-1,96δ -1,64δ -1δ 0 +1δ +1,64δ +1,96δ

68%

89,90%

95,0%

Fig. 9 – Área sob a curva normal a 1, 2, e 3 desvios padrões a contar de cada lado da média.

DISTRIBUICAO NORMAL

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

DESVIOS PADRAO

f(Z)


40

Tabela 1 -Curva Normal (p = área entre 0 e z)

segunda casa decimal

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389

1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830

1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974

2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981

2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986

3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990


41

3.3- Estimação e Testes de Significância

A estimação e os testes de significância são os dois principais pontos da inferência

estatística.

3.3.1-Estimação

A estimação envolve a avaliação do valor de algum parâmetro populacional com base em

dados amostrais. As estimativas podem ser pontuais ou especificar um intervalo de valores

em que se julga que o parâmetro populacional possa estar. Uma estimativa pontual é um

valor (ou ponto) único usado para aproximar um parâmetro populacional.

Os intervalos de confiança são estimativas intervalares em que incluem a afirmação

probabilística que indica a percentagem de intervalos que possa esperar abranger o

verdadeiro valor do parâmetro em seus limites. A amplitude de um intervalo de confiança

depende:

- da dispersão dos valores,

- do nível de confiança indicado,

- do erro tolerável e,

- do tamanho da amostra

Um intervalo de confiança está associado a um grau de confiança que é uma medida da

certeza de que o intervalo contem o par6ametro populacional. A definição de grau de

confiança utiliza α para descrever uma probabilidade que corresponde a uma área. Veja a

figura abaixo, onde a probabilidade de α está dividida igualmente entre duas regiões

extremas sombreadas (caudas) na distribuição z (ou t no caso de pequenas amostras).

Intervalo de Confiança

x-e x x+e

Z=0 Z α/2 Fig.10 – A distribuição Normal Padronizada: o valor crítico de zα/2

α /2α /2

Pela Tabela corresponde à Área de 0,5 - α/2


42

O grau de confiança é a probabilidade 1-α (comumente expressa como o valor percentual

equivalente) de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro

populacional. (o grau de confiança é também chamado de nível de confiança, ou

coeficiente de confiança). São escolhas comuns para grau de confiança: 90% (com α =

0,10), 95% (com α = 0,05). Pelas Normas de avaliações de imóveis – conforme comentado

adiante, usa-se intervalo de confiança de 80%.

Um valor crítico é o número na fronteira que separa os valores das estatísticas amostrais

prováveis de ocorrerem, dos valores que têm pouca chance de ocorrer. O número zα/2 é um

valor crítico que é um escore z com a propriedade de separa uma área de α/2 na cauda

direita da distribuição normal padronizada. (Há uma área de 1-α entre as fronteiras de - zα/2

e zα/2). Os mesmos conceitos valem para distribuição t.

Fig.11 – Determinação de zα/2 para 95% de grau de confiança.

Os intervalos de confiança são estimativas intervalares calculadas com auxílio do erro-

padrão da estimativa Se . Pode referir-se ao valor médio de Y para um dado X, ou então, a

um valor individual esperado de Y. Em ambos os casos o valor esperado é o mesmo, mas o

intervalo de confiança depende do ponto de vista adotado.

Intervalo para predizer a o valor médio de Y, o desvio padrão de Yi: Intervalo de Predição para um valor Y

individual, soma-se um único termo (1) à

expressão, ou seja, o desvio padrão de Yi

∑ ∑−−

++=

−

/n]X)[(X)X(X

n1sS 2

21i

eYi 21.

0,475

α /2 = 0,025 α /2 = 0,025

0,475

GRAU DE CONFIANÇA = 95%

z=0 -z α /2 = -1,96 +z α /2 = +1,96

∑ ∑−

−+=

−

/n]X)[(X

)X(Xn1.sS 2

21i

eYi 2


43

No caso, pela interpretação das Normas da ABNT, a estimativa é para um valor

médio de Y, portanto, o intervalo deve ser obtido através da primeira fórmula.

Dado um valor fixo X0, o intervalo de predição para um determinado Y será:

Ŷ – E <Y< E + Ŷ

Onde a margem de erro E envolve a distribuição t, sendo dado por:

A distribuição de probabilidade de Yi é do tipo distribuição t com (n-k-1) graus de liberdade,

com média igual a Y e erro padrão igual Si. Portanto, o intervalo de confiança poderá ser

estimado por:

iSytYiYSytiY ii .. 2/)1Kn(2/)1Kn( λ−−λ−− +≤≤−

onde: t é o valor obtido na tabela t de Student e Syi o desvio padrão de X0

O intervalo de confiança pode ser calculado para qualquer valor de X, possibilitando a

construção de uma faixa de confiança para a reta de regressão populacional como um

todo.

Quanto maior o número da amostra (n) e quanto mais dispersa for a variável x, menor será o

erro padrão e conseqüentemente a amplitude dos intervalos de confiança. O intervalo de

confiança terá uma amplitude menor a medida que X se aproxima da média x e que eles

vão se alargando progressivamente à medida que se afastam da média.

O grau de confiança é a probabilidade 1-α (comumente expressa como o valor percentual

equivalente) de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro

populacional. (o grau de confiança é também chamado de nível de confiança, ou

coeficiente de confiança). São escolhas comuns para grau de confiança: 90% (com α =

0,10), 95% (com α = 0,05). A Norma, estipula que, que o valor final a ser indicado , em

função do tratamento estatístico dado, “tem de estar contido em um intervalo de

confiança fechado e máximo de 80%” ( que corresponde ao nível de significância igual a

20%, resultando λ2

10 00= ) para o valor médio induzido pela equação de regressão.

∑ ∑−

−+=

−

/n]X)[(X)X(X

n1.s 2

20

e 22/ .αtE


44

3.3.2-Testes de Significância (Testes de Hipóteses)

Pelo processo da indução, as estatísticas amostrais tendem a se aproximar ( e não igualar)

aos parâmetros da população e os testes de testes de significância são para verificar se a

diferença entre o valor alegado de um parâmetro populacional e o valor de uma estatística

amostral pode ser razoavelmente atribuído à variabilidade amostral ou se a discrepância é

demasiadamente grande.

Os testes de significância são usados para avaliar afirmações sobre parâmetros

populacionais e o processo consiste basicamente em:

1o) Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa

2o) Escolher a distribuição amostral adequada

3o) Escolher a um nível de significância ( e assim os valores críticos)

4o) Calcular a estatística do teste e compará-la com o(s) valor (es) crítico(s)

5o) Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede o(s) valor(es) crítico(s);

caso contrário, aceitá-la.

Portanto, para iniciar o processo, dois são os tipos de hipóteses que devem ser formuladas:

- a que sugere que a afirmação é verdadeira, chama-se hipótese nula e se designa pelo

símbolo H0;

- a que sugere a afirmação é falsa chama-se hipótese alternativa e se designa pelo

símbolo H1.

ou seja: A hipótese nula H0 é uma afirmação que diz que o parâmetro populacional é tal

como especificado (isto é, a afirmação é verdadeira).

A hipótese alternativa H1 é uma hipótese que oferece uma alternativa à alegação

(isto é, o parâmetro é maior (ou menor) que o alegado).

O segundo passo consiste em identificar a distribuição amostral adequada (normal z, t de

Student, F de Fischer, etc..)

O terceiro passo consiste em escolher um nível de significância aceitável para indicar um

valor crítico como padrão de comparação, para não rejeitar uma hipótese nula, quando

verdadeira.

Valor crítico é o valor, ou valores que separa(m) a região crítica dos valores da estatística do teste que não levam à rejeição da hipótese nula

A essência de um teste de significância consiste então em particionar uma distribuição

amostral – com base na suposição de H0 ser verdadeira – em uma região de aceitação e

uma região de rejeição de H0. Calcula-se, então, a estatística do teste com base nos dados

amostrais para compará-lo com o valor crítico, cumprindo assim a quarta etapa do teste.

Para finalizar o processo, uma estatística teste que excede o valor crítico sugere a rejeição

de H0 , enquanto que uma estatística teste inferior ao valor crítico sugere H0 que seja

aceita.


45

3.3.2.1-Testes unilaterais e testes bilaterais

A distribuição amostral é particionada em uma região que sugere a aceitação de H0 e uma

região (testes unilaterais) ou duas regiões (testes bilaterais que sugerem a rejeição de H0).

A hipótese alternativa, essencialmente, é usada para indicar o aspecto da variação,

podendo ocorrer três casos possíveis:

1 - concentrar em ambas direções

2- concentrar os desvios para baixo

3- concentrar os desvios para cima

Simbolicamente, no caso da jogada de uma moeda, onde: Ho:p=0,50, tem-se:

H0 : p#0,5

H0 : p< 0,5

H0 : p>0,5

Fig. 12 – Comparação da partição de uma distribuição amostral para testes unilaterais e bilaterais. Note-se, nos testes unilaterais, que o sinal > ou o sinal < aponta para a cauda utilizada

3.3.2.2-Erros tipo I e tipo II

Ao ser testada uma hipótese nula, a conclusão é rejeitá-la ou não rejeitá-la: tais conclusões

ora são corretas, ora são incorretas. Há dois tipos de erros inerentes ao processo de teste de

significância:

- erro Tipo I: consiste em rejeitar a Hipótese Nula Ho quando ela é verdadeira. A

probabilidade de cometer esse erro é chamada nível de significância de um teste e se

denota por α (alfa). O valor de α é tipicamente predeterminado: São comuns a escolha

α =0,05; α =0,01.

- erro Tipo II: consiste em não rejeitar a Hipótese Nula Ho quando ela é falsa. Usa-se o

símbolo β (beta) para representar a probabilidade de um erro tipo II.

α /2 α /2 Rejeitar H0

Aceitar H0

Rejeitar H0

Valor crítico

Valor crítico

Rejeitar H0 α

Aceitar H0

Aceitar H0

Rejeitar H0

α

Valor crítico

Valor crítico

0

0

0


46

Espera-se naturalmente, que Ho seja aceita quando verdadeira e rejeitada quando falsa.

Logo, há 4 resultados possíveis indicados na tabela abaixo e tomada a decisão, ou ela será

correta, ou ocorrerá um tipo de erro, e a decisão (aceitar ou rejeitar) indicará que tipo de

erro é possível.

A Hipótese Nula é Verdadeira A Hipótese Nula é Falsa

Decisão

Decidimos rejeitar a Hipótese Nula

Erro Tipo I (rejeição de uma hipótese nula verdadeira) Decisão Correta

Não rejeitamos a Hipótese Nula Decisão Correta Erro Tipo II (não rejeição

de uma hipótese nula falsa)

Fig. 13 - Erros Tipo I e Tipo II

A probabilidade de cometer o erro do tipo I, α, é mais fácil de ser detectada e pode ser

controlada. Contudo, reduzindo α , aumenta a probabilidade de cometer um erro do tipo II,

β.

α é chamado o nível de significância e 1-α é o nível de significância do teste.

3.3.2.3-Conclusão quanto aos testes de Hipóteses:

A afirmação original, ou básica, ora se torna a hipótese nula, ora se transforma na hipótese

alternativa. Entretanto, o processo exige que sempre seja testada a hipótese nula e a

conclusão final será sempre uma das seguintes:

1- Não rejeitar a hipótese nula H0;

2- Rejeitar a hipótese nula H0

3.3.3- O método tradicional do Teste de Hipóteses

Este processo consiste em identificar um resultado amostral que é significativamente

diferente do valor alegado: uma estatística amostral importante se converte em uma

estatística de teste, que é comparada com um valor crítico e utiliza-se este critério para

conclusão:

- Rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste está na região crítica;

- Não rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste não está na região crítica.

3.3.4-O método do Valor P para o Teste de Hipóteses

Os programas de computador utilizam uma outra abordagem para o teste de hipóteses,

baseada no cálculo do valor de uma probalidade, ou valor P. Um valor P muito pequeno

(como 0,05 ou menos) sugere que os resultados amostrais são muito improváveis sob a

hipótese nula; logo, uma evidência contra a hipótese nula

3.2.5 – Distribuições relacionadas com a distribuição normal

Existem duas importantes distribuições de probabilidade utilizadas na estatística inferencial

relacionadas com a distribuição normal: a distribuição t e a distribuição F.


47

3.2.5.1-A Distribuição t

Pelo Teorema do Limite Central, quando o tamanho da amostra é superior a 30, a

distribuição das médias é aproximadamente normal, mas para observações menores que

30, a aproximação normal pode não ser adequada. Por outro lado, quando o desvio

padrão da população não é conhecido (o que ocorre em geral), usa-se o desvio padrão

da amostra como estimativa, substituindo-se σx por Sx nas equações para intervalos de

confiança e erros. Portanto, se a amostra é pequena (n ≤30) e o desvio padrão da

população não é conhecido, usa-se a distribuição t1 de Student.

A forma da distribuição t é similar à normal, conforme mostrado na figura a seguir. A

principal diferença entre as duas distribuições é que a distribuição t tem mais área nas

caudas: isto significa que , para um dado nível de confiança, o valor t será um pouco maior

que o correspondente ao z.

Fig. 14 – Comparação de distribuição normal z e t.

Note-se que a distribuição t tem mais área nas caudas . A partir de 30 dados amostrais, elas

se aproximam.

Para usar a tabela t2 (TABELA 2) é preciso conhecer duas coisas: o nível de confiança

desejado e o número de graus de liberdade. O número de graus de liberdade está

relacionado com a maneira de calcular o desvio padrão:

1 O criador da distribuição t foi W.S.Gosset, empregado de uma cervejaria irlandesa no princípio do século XX que precisava de uma distribuição que pudesse ser utilizada com pequenas amostras. Como esta não permitia a publicação de resultados de pesquisas, usou o pseudônimo de Student. 2 A tabela de t de Student será usada mais adiante para cálculos de verificação das variáveis e cálculo do intervalo de confiança.

1)( 2

−−

= ∑n

xxS x

onde:

Sx = desvio padrão amostral e

n-1=graus de liberdade (tamanho da amostra menos 1)


48

O número de graus de liberdade para um conjunto de dados corresponde ao número de

valores que podem variar após terem sido impostas certas restrições a todos os valores.

Explicação intuitiva sobre o número de graus de liberdade:

Determinar três números cuja soma seja

10: o primeiro número pode ser qualquer

um (até negativo); o segundo também.

Mas o terceiro será limitado à condição

que a soma dos três deve ser 10. Escolhido

os dois primeiros, o terceiro

será determinado: não existe grau de

liberdade para ele. Há três números em

jogo, mas liberdade só para dois, ou seja,

como os dois primeiros números foram

escolhidos arbitrariamente, há dois graus

de liberdade


49

Tabela 2 - Distribuição t de Student

Coeficiente de Confiança Duas caudas 0,80 0,90 0,95 0,98 0,990 0,9990 Uma cauda 0,90 0,95 0,98 0,99 0,995 0,9995

Testes de Hipóteses Duas caudas 0,20 0,10 0,05 0,02 0,010 0,0010 Uma cauda 0,10 0,05 0,03 0,01 0,005 0,0005 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 636,578 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,600 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4,140 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4,073 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4,015 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,965 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,922 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,883 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,850 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,819 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,792 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,768 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,745 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,725 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,707 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,689 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,674 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,660 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,646 31 1,309 1,696 2,040 2,453 2,744 3,633 32 1,309 1,694 2,037 2,449 2,738 3,622 33 1,308 1,692 2,035 2,445 2,733 3,611 34 1,307 1,691 2,032 2,441 2,728 3,601 35 1,306 1,690 2,030 2,438 2,724 3,591 36 1,306 1,688 2,028 2,434 2,719 3,582 37 1,305 1,687 2,026 2,431 2,715 3,574 38 1,304 1,686 2,024 2,429 2,712 3,566 39 1,304 1,685 2,023 2,426 2,708 3,558 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,551 41 1,303 1,683 2,020 2,421 2,701 3,544 42 1,302 1,682 2,018 2,418 2,698 3,538 43 1,302 1,681 2,017 2,416 2,695 3,532 44 1,301 1,680 2,015 2,414 2,692 3,526 45 1,301 1,679 2,014 2,412 2,690 3,520 46 1,300 1,679 2,013 2,410 2,687 3,515 47 1,300 1,678 2,012 2,408 2,685 3,510 48 1,299 1,677 2,011 2,407 2,682 3,505 49 1,299 1,677 2,010 2,405 2,680 3,500 50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,496


50

3.2.5.2- A distribuição F - Análise de variância

A distribuição F tem inúmeras utilidades, especialmente para comparação de médias

amostrais. No caso específico da avaliação de imóveis, a distribuição F é usada para realizar

testes de hipóteses da equação de regressão como um todo. A distribuição F testa a

hipótese de que nenhum dos coeficientes da regressão tenha significado contra a hipótese

de que pelo menos um tenha significado, ou seja, formulando as seguintes hipótese nula e

alternativa:

H0= nenhum dos coeficientes da regressão tenha significado.

H1= pelo menos um tem significado.

O valor da estatística deve ser comparado com uma tabela de valores F, no caso da tabela

de distribuição F de Fischer- Snedecor (TABELA 3), que indica o valor máximo da estatística no

caso de H0 ser verdadeira, a um determinado nível de significância

Análise de Variância (ANOVA)

Usualmente as partes componentes desse teste - compreendendo não só da fonte de

variação como de verificação dos cálculos, como também a própria estatística do teste

(razão F) e o P valor - são indicadas numa Tabela chamada Analise da Variância (ANOVA)

reproduzida pelos programas de computador, nos moldes do quadro reproduzido a seguir.

Fonte de variação de Y

Soma de Quadrados

Graus de Liberdade

Quadrado médio das variações Razão F Valor -P

E = Explicada pela regressão X1...Xn

SQE=r2 K QME=SQE/k =QME/QMR Significância

obtida da

Tabela F R= Residual não explicada pela regressão

SQR=SQT-SQE n-k-1 QMR=SQR/(n-k-1)

T=Total SQT=(SQE+SQR) TOTAL TOTAL

Ao fazer a análise, utilizam-se duas estimativas amostrais da variância para calcular uma

razão F. O F observado é dado por: F= Variância Explicada ÷ Variância não explicada

Compara-se o número resultante com um valor F da Tabela: se o valor é maior que o valor

tabulado, rejeita-se a hipótese nula. Se o valor calculado é menor, a hipótese nula não

pode ser rejeitada. Os valores constantes da tabela F são os valores críticos.

Compara-se o número resultante com um valor F da Tabela: se o valor é maior que o valor

tabulado, rejeita-se a hipótese nula. Se o valor calculado é menor, a hipótese nula não

pode ser rejeitada.


51

Tabela 3 - Distribuição F

Colunas: Graus de Liberdade Numerador.

Nivel de Significância: 0,01

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 25 1000

1 4052 4999 5404 5624 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6083 6107 6157 6209 6240 6363

2 98,50 99,00 99,16 99,25 99,30 99,33 99,36 99,38 99,39 99,40 99,41 99,42 99,43 99,45 99,46 99,50

3 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,34 27,23 27,13 27,05 26,87 26,69 26,58 26,14

4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,20 14,02 13,91 13,47

5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96 9,89 9,72 9,55 9,45 9,03

6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,56 7,40 7,30 6,89

7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,31 6,16 6,06 5,66

8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,52 5,36 5,26 4,87

9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 4,96 4,81 4,71 4,32

10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,56 4,41 4,31 3,92

11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,25 4,10 4,01 3,61

12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,01 3,86 3,76 3,37

13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,82 3,66 3,57 3,18

14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,66 3,51 3,41 3,02

15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,52 3,37 3,28 2,88

16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,41 3,26 3,16 2,76

17 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,31 3,16 3,07 2,66

18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,23 3,08 2,98 2,58

19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,15 3,00 2,91 2,50

20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,09 2,94 2,84 2,43

21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,03 2,88 2,79 2,37

22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 2,98 2,83 2,73 2,32

23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 2,93 2,78 2,69 2,27

24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,89 2,74 2,64 2,22

25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,85 2,70 2,60 2,18

26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,81 2,66 2,57 2,14

27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,78 2,63 2,54 2,11

28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,75 2,60 2,51 2,08

29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,73 2,57 2,48 2,05

30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,70 2,55 2,45 2,02

40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,52 2,37 2,27 1,82

50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,63 2,56 2,42 2,27 2,17 1,70

60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,35 2,20 2,10 1,62

70 7,01 4,92 4,07 3,60 3,29 3,07 2,91 2,78 2,67 2,59 2,51 2,45 2,31 2,15 2,05 1,56

80 6,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,87 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,27 2,12 2,01 1,51

90 6,93 4,85 4,01 3,53 3,23 3,01 2,84 2,72 2,61 2,52 2,45 2,39 2,24 2,09 1,99 1,48

100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,43 2,37 2,22 2,07 1,97 1,45

500 6,69 4,65 3,82 3,36 3,05 2,84 2,68 2,55 2,44 2,36 2,28 2,22 2,07 1,92 1,81 1,20

1000 6,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,06 1,90 1,79 1,16


52

CAPÍTULO 4 Pressupostos de um Modelo para Explicação do Mercado Imobiliário

Na estimativa do valor de um determinado segmento do mercado imobiliário (de um

terreno, de uma residência, de um aluguel, etc...), o processo de inferência estatística pode

se constituir na metodologia adequada, desde que atenda o pressuposto básico inicial

quanto a existência de um conjunto de dados que possa ser tomado, estatisticamente,

como amostra deste segmento.

O processo de inferência consiste em obter um modelo de regressão de múltiplas variáveis,

que explique a variação do valor investigado a partir desse conjunto de dados,

normalmente estimado através do método dos mínimos quadrados.

Este método consiste calcular as relações estatísticas no âmbito das informações colhidas

em amostra e o processo que possibilita prever o valor de um parâmetro desconhecido

(populacional) tem explicação na teoria das probabilidades. Essa teoria permite fazer

inferências, mediante testes de hipóteses e intervalos de confiança e é nela que estão

baseadas as especificações quanto aos critérios estabelecidos para o tratamento estatístico

inferencial introduzidas pelas normas de avaliação de imóveis da ANBT (NBR-14.653-2).

Assim é que, na estimativa do valor de um determinado imóvel (Yi), pressupõe-se que ele

possa ser explicado segundo uma variação de diversas componentes (X1j ,X2j ... Xkj , que

podem ser representados por uma variação de: área, frente, distancia a um polo atrativo,

padrão construtivo, etc..) e o modelo de regressão ajustado normalmente consiste numa

função linear- ou linearizável por transformação nas escalas das variáveis envolvidas - do

tipo:

Yi = β0 + β1X1i + β2X2i + ......... βkXki + εi , onde:

Yi = variável dependente ou explicada, que se constitui no valor investigado (terreno, casa, loja)

X1i ,X2i ... Xki = variáveis independentes ou explicativas, que podem ser de natureza quantitativa

(área, frente, distancia a um polo atrativo, etc..) ou qualitativa (padrão, topografia, etc..)

β1,β2 ...βk = parâmetros da regressão

εi = os respectivos erros ou resíduos, sendo a expressão de inúmeras pequenas causas que produzem um desvio do que a variável dependente deveria ser, se a relação fosse determinística.

Cabe relembrar a natureza do termo erro ei , e especificar que ,no caso de avaliações, se deve

principalmente aos seguintes aspectos:

1o) erros decorrentes de observação ou medidas das variáveis (muito comuns na prática da

pesquisa, por serem dependente de informações de terceiros);

2o) erros devidos a não consideração de variáveis influentes na variação de valor, não

contempladas na regressão. Isto significa dizer que, além das variáveis reconhecidas no

modelo, existiriam fatores que poderiam influenciar indiretamente o valor (Y,) mas que não

se revelam suficientemente fortes para estarem no modelo,

3o) aleatoriedade do comportamento humano, elemento imprevisível e muito presente no

mercado imobiliário


53

Devido a esse erro amostral, dificilmente a regressão estimada da amostra coincidirá com a

verdadeira regressão populacional:

Y

X

Fig.15 - Representação esquemática das regressões (amostral e populacional)

O máximo que se pode esperar é uma

aproximação razoável entre as duas

funções. Ao ajustar a regressão amostral,

o objetivo é manter os resíduo ( erros), tão

pequenos quanto possível.

A técnica mais usada para determinar a

equação de regressão é a dos mínimos

quadrados e a denominação provem de

a reta resultante minimizar a soma dos

quadrados dos desvios dos pontos em

relação a reta, conforme especificado

adiante.

Y = βo +β1Xi Regressão verdadeira

(desconhecida)

1.1.1.1.1i =b0 +b1X1i

Regressão


54

Para que este modelo matemático seja considerado válido para explicação do

fenômeno investigado, considera-se, ainda, que as variáveis explicativas ((X1j ,X2j ... Xkj ,,

área, testada, etc...) não contenham nenhuma perturbação aleatória - que deve ser

assegurado mediante verificação dos testes de hipóteses básicos (demonstrados pela

significância dos regressores através do teste “t” e da equação como um todo através

da distribuição “F” ) e que a distribuição dos resíduos os erros, εi , satisfaçam aos

pressupostos de modelo de regressão linear normal, isto é, variância constante (

homocedasticidade) , independencia entre as variáveis explicativas e não auto-

regressão (quando usadas séries temporais).

E o que é mais importante, é que este modelo poderá ser utilizado para avaliação,

desde que represente com clareza, coerência e logicidade o efetivo comportamento

do segmento de mercado estudado naquele momento.

4.1 – O MODELO DE REGRESSÃO LINEAR – CÁLCULO DOS PARÂMETROS

Após ter selecionado a fórmula básica da parte funcional do modelo, a etapa seguinte

no processo é a estimação dos parâmetros (b0, b1, b2, ..., bk) na função. Isto deve ser

realizado resolvendo um problema que relaciona a resposta variável e a parte

funcional do modelo de uma maneira que produzam as estimativas dos parâmetros o

mais próximo possível dos valores dos parâmetros verdadeiros, desconhecidos.

Existem diversos métodos para a estimação dos parâmetros de uma equação de

regressão

Os dois métodos mais comumente utilizados são os dos Mínimos Quadrados Ordinários e

o da Máxima Verossimilhança, sendo o primeiro mais difundido na Engenharia de

Avaliações.

4.1.1 - O método dos mínimos quadrados

Pelo critério dos mínimos quadrados, os valores desconhecidos dos parâmetros, β0,

β1,...,βK são estimados encontrando os valores numéricos para os parâmetros que

minimizam a soma dos resíduos, ou seja, das diferenças entre as respostas observadas e

a parcela funcional do modelo (calculadas através da equação de regressão).

Matematicamente, o critério da soma dos quadrados, que é minimizado para obter as

estimativas do parâmetro é:


55

2n

1ii

ˆ;x(fy∑=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=∂ β

rrsendo que, β1, β2,..., βK, são tratados como os coeficientes das

variáveis X1, X2,..., Xk e resultarão nos valores de predição de Y, em função da variação

destas referidas variáveis. Para enfatizar o fato que as estimativas dos valores de

parâmetro não são as mesmas como os valores verdadeiros dos parâmetros as

estimativas são denotados perto kβ,...,β ,β 10ˆˆˆ .

A explicação do método será ilustrada com base em sua expressão mais simples

recorrendo à regressão linear relacionando apenas duas variáveis, considerando o

modelo de regressão em linha reta. A relação entre "Y" e "X", pode ser representada em

um diagrama de dispersão, com os valores yi em ordenada e os xi em abscissa. Cada

par de valores xi e yi fornecerão um ponto e utilizando-se, por exemplo, o método que

minimiza o somatório dos resíduos ao quadrado, pode-se calcular, neste caso, a

equação de uma reta de tendência que melhor se ajuste à nuvem de distribuição dos

pontos representativos dos dados pesquisados da amostra utilizada.

y

Yi

Y1 Ŷi

e i b1

b0

X1 X

Fig.16 – Representação da Reta de Regressão.

Para ajustar uma reta aos valores dos dados de uma amostra, pelo princípio dos

mínimos quadrados deve-se procurar uma reta tal que a soma dos quadrados das

distâncias verticais de cada ponto à reta seja a menor possível. Tomam-se os

quadrados das distâncias para que as distancias positivas sejam canceladas pelas

negativas. O intercepto e o coeficiente angular dessa reta, são b0 e b1, que


56

correspondem às estimativas obtidas pelo método dos mínimos quadrados de β0 e β1

e a reta ajustada é representada pela expressão:

Ŷi= b0 + b1 x1

Considerando o gráfico acima, para cada reta que passe pelos pontos do diagrama,

existe um resíduo correspondente a distancia vertical entre Xi e a reta, para cada par (

Xi,Yi) observado. As distâncias verticais de cada ponto à reta ajustada são os resíduos

de mínimos quadrados, e são dados por:

ei = Yi – Ŷi ou

4 ei = Yi – b0 – b1 .Xi

onde: Yi é o valor observado da variável dependente

Ŷii é o valor estimado ou previsto pelo modelo

ei o resíduo estimado

b0 e b1 as estimativas dos parâmetros β0 e β1

A aplicação do método dos mínimos quadrados, portanto, consiste em encontrar, a partir dos

dados amostrais (Yi, Xi), as estimativas para o coeficiente angular b1 (que define o aumento ou

diminuição da variável Yi por unidade de variação da variável Xi) e para o intercepto b0 (que

define o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas), de modo que os erros (ou resíduos)

sejam mínimos.

Uma vez que as diferenças entre valores reais (Yi) e valores previstos ( Ŷi ) serão tanto positivas

como negativas para diferentes observações, é necessário minimizar matematicamente como:

Como Ŷi= b0 + b1.X1,, o que está sendo minimizado é:

Para este modelo, as estimativas dos mínimos quadrados dos parâmetros seriam

computadas minimizando:

Fazendo o exame de derivadas parciais δ com respeito à b0 e b1, ajustando cada

derivada parcial igual a zero e resolvendo o sistema resultante de duas equações com

dois desconhecidos, tem-se as seguintes estimativas para os parâmetros:

2

1)]Xb (b - [Y i10i +∑

=

n

i

2n

1i)]Xb (b - [Y i10i +=∂ ∑

=


57

Onde, x corresponde ao valor médio da variável Xi e y corresponde ao valor médio

da variável Yi.

E a equação de regressão é, então, dada por:

Ŷ = b0 + b1 xi

É relevante, a esta altura, informar que, no caso de utilização de duas variáveis

explicativas e uma explicada, a reta de regressão passa a ser um plano de regressão,

em relação ao qual são calculados os resíduos. No caso de mais de duas variáveis

explicativas, diz-se que os resíduos são calculados em relação a um hiper-plano teórico.

As equações de regressão podem ser úteis quando usadas para predizer o valor de

uma das variáveis, dado um valor da outra variável, desde que se ajustem bem aos

dados e não ultrapasse os limites dos valores disponíveis. A regressão múltipla é usada,

portanto, para testar dependências cumulativas de uma única variável dependente

em relação à diversas variáveis independentes. Cada variável é isolada e mantida

constante enquanto as variáveis restantes variam sistematicamente, sendo observados

os seus efeitos sobre a variável dependente. A variável a ser inicialmente mantida

constante é aquela que ocasiona a maior influência na variabilidade da variável

dependente.

O modelo geral é representado por

ikik110i exbxbby ++++= L

A condição inicial, como na regressão linear simples, é descrita por

111o exbby ++= onde xi é a variável independente, responsável pela

maior variabilidade, b0 e b1 são os coeficientes e e1 é o erro, isto é, a

variabilidade em Y não explicada pela relação linear.

∑

∑

=

=

−

−−= n

1i

2i

n

1iii

)xx(

)yy)(xx(1b

xby 1−=0b


58

A variável que, em seguida, mais reduz a variabilidade do erro é em seqüência

adicionada de tal modo que:

y b b x b x eo= + + +1 1 2 2 2 , sendo b0 , b1 e b2 calculados e e2 < e1 .

O processo segue por etapas até que o comportamento de todas as variáveis

independentes em relação à dependente seja verificado.

O desenvolvimento dos sistemas de equações não se constitui no objetivo precípuo

deste curso, sendo recomendado aos alunos se aprofundar utilizando as referências

bibliográficas recomendada na apostila.

A mesma recomendação vale para os modelos lineares de regressão múltipla,

especialmente aqueles envolvendo muitas variáveis explicativas, onde a estimação dos

parâmetros pelo método dos mínimos quadrados (b0, b1, b2,...., bk) é obtida através de

operações com matrizes, cujas formulações teóricas baseiam-se em cálculos

complexos, que não se constituem no principal objetivo deste curso, razão pela qual

serão apresentados apenas os conceitos mais importantes, até mesmo porque, os

programas aplicativos de computador resolvem todos os sistema de equações.

Correlações do modelo e das variáveis explicativas

O coeficiente de correlação isolada entre variáveis expressa o quanto as mesmas

estão relacionadas entre si.

O coeficiente de correlação entre Y e X, simbolizado por r, pode ser pode ser definido

na forma de raiz quadrada do coeficiente de determinação R2 ou pela fórmula:

ry x

= ∑∑∑

xy2 2.

O coeficiente de correlação é útil no processo de investigação das variáveis

potencialmente importantes no modelo e de eventual existência de colinearidade

entre variáveis explicativas. Indicado pela letra ' r ' , pode ser medido por duas

características:

a) sua intensidade, que varia de 0 a 1;

b) seu sentido, que pode ser positivo ou negativo: a correlação é positiva quando

as duas variáveis examinadas crescem ou diminuem ambas no mesmo sentido, e


59

negativa quando variam em sentidos contrários, ou seja, quando uma cresce a

outra diminui.

A análise das correlações “isoladas” entre cada uma das variáveis independentes e a

variável dependente permite verificar, pelo seu sinal, a forma da relação (se positiva,

aumenta o valor do imóvel ou se, negativa, diminui) e, pela magnitude do coeficiente

(de 0 a 100%) o quanto cada uma das variáveis independentes contribuem

isoladamente para maximizar a predição (variação explicada) da variável

dependente.

Portanto a análise das correlações isoladas entre a variável dependente e as demais

variávei é útil no trabalho exploratório de investigação das variáveis potencialmente

importantes a serem incluídas no modelo, por medir simultaneamente seu sentido e seu

grau ou força de relacionamento, desde que exista a já citada relação de causa e

efeito entre elas.

Em compensação, uma das hipóteses básicas da aplicação do método dos mínimos

quadrados é que inexista, ou seja muito baixa, a correlação isolada entre cada uma

das variáveis explicativas e as demais variáveis explicativas. Se essa correlação entre

variáveis explicativas for muito alta, diz-se que há colineariedade entre elas. Se houver

simultaneamente altas correlações entre duas ou mais variáveis explicativas, ocorre a

multicolinearidade entre elas

Se as variáveis independentes são altamente correlacionadas, então elas

“compartilham” de algum poder de predição. Ao analisar o poder de predição do

modelo, é imprescindível estar atento para que variações compartilhadas

(correlacionadas) entre algumas variáveis independentes não sejam “contadas

dobradas”, porque além de problemas estatísticos, expõe o modelo a uma

redundância de variáveis, como é caso por exemplo de área útil e número de

dormitórios como variáveis explicando a variação do valor do apartamento. Esses

cálculos da variação compartilhada ilustram uma das formas de identificar os efeitos

da colinearidade entre variáveis independentes atuando sobre a variável dependente,

objeto de análise específica e detalhada em tópico à parte deste curso.

O coeficiente de correlação parcial (por vezes chamada “com influência") indica o

relacionamento entre duas variáveis analisadas, na presença de uma ou mais variáveis

que com elas atuam simultaneamente.


60

Coeficiente de determinação (R2)

O poder de explicação de um modelo é feito através do coeficiente de determinação.

O coeficiente de determinação, indicado por “r²” (quadrado do coeficiente de

correlação 'r') mede o percentual da variação total do valor em torno da media que

é explicada pela variação dos regressores adotados na equação. Quanto maior a

variação a ser explicada, maior o coeficiente e vice-versa. Embora seja desejável o

mais próximo de 1 (100% da variação explicada), não se pode definir valor mínimo

aceitável, pois dependerá do tamanho da variação da amostra e das variáveis

colhidas para explicar esta variação.

Ao ajustar uma equação, espera-se que ela se ajuste à variação de um grupo de

dados e a questão que surge naturalmente é saber quão precisa é a estimativa dada

por essa equação.

Mas qual seria o critério para determinar a reta que é melhor que todas as outras? Esse

critério baseia-se na distancia vertical entre os pontos que representam os dados

originais e a reta de regressão: tais distâncias chamam-se resíduos.

Dado um par de dados amostrais (x,y), um resíduo é a diferença (y- ŷ ) entre um valor amostral

observado y e o valor ŷ predito com base na equação de regressão. Portanto: uma reta verifica

a propriedade dos mínimos quadrados se a soma dos quadrados dos resíduos é a menor

possível.

Considerando por exemplo a dispersão de pontos da figura abaixo em torno da média, em

oposição à dispersão vertical de pontos em torno da reta de regressão como ilustra a figura

abaixo. Se a dispersão associada à reta é muito menor que a dispersão (erro) associada à

média, as predições baseadas na reta serão melhores que a da média.

Fig.17 - Comparação de dispersão de y’s em torno da reta de regressão com a dispersão de y’s em torno

da média

DISPERSÃO DE PONTOS

EM TORNO DA MÉDIA

DISPERSÃO DE PONTOS EM TORNO

DISPERSÃO DE PONTOS EM TORNO

DA RETA DE REGRESSÃO


61

Para ilustrar a questão e voltando ao caso do relacionamento de duas variáveis, ao aplicar

modelo de regressão simples, a variável Xi é introduzida na esperança de que sua variação

“explique” a variação de Yi, ou seja:

Yi = βo +β1Xi + ε i onde (βo + β1Xi ) é ó componente explicável da variação de Yi e ε i é o

componente não explicado. Desta forma, para examinar se a variável independente prevê bem a

variável dependente no modelo estatístico, é necessário desenvolver essas medidas de variação.

Para tanto, será necessário decompor o valor de Yi em:

iii eyy )) += onde ii xbby 10 +=) e ii yyie )) −=

Y Yi

EXPLICADONÃO

COMPONENTE−

=−= yye Ii))

VARIAÇÃO TOTAL ŷi = b0 + b1. xi

)yy( iI − EXPLICADO

COMPONENTE=− yy)

),( yx

Xi X

Fig.18 – Componentes: explicado e não-explicado, de yi

Como ilustra a figura acima, a diferença entre yi e o seu valor médio iyr (variação total)

consiste em uma parte explicada pelo modelo de regressão ( ii yy − ) e uma parte não explicada ( ii yy ˆ− ), que são os resíduos. Existem diversas formas de medir a variação total de uma variável,

sendo que uma delas consiste em somar sobre toda a amostra, os quadrados das diferenças entre yi e a sua média iyr . Especificamente essas somas de quadrado resultam nas seguintes

medidas:

∑=

n

1i

2)( y-y i = soma de quadrados total – STQ: que é uma medida de variação total dos valores de

Yi em torno de sua média amostral.

∑=

−n

1i

2)( yy = soma de quadrados devido a regressão – SQR: que é a parcela da variação total de

y em relação à sua media, que é explicada pela regressão, ou a parcela atribuída à relação entre X e Y.

∑=

n

1i

2)( y-y i = soma do quadrado dos erros – SQE: que é a parcela da variação total de y em

relação à sua média, que não é explicada pela regressão e que é atribuída a outros fatores diferentes da relação entre X e Y.


62

Sendo que: 2

∑=

n

1ii )y-(y =

2ˆ∑

=

n

1ii )y-y( + ∑

=

n

1ii )y-(y ˆ 2

= +

O Coeficiente de Determinação - R² é representada pela proporção da variância dos Yi

observados "explicada" pelo modelo de regressão ajustado ou o resultado da soma de

quadrados devida à regressão dividida pela soma total dos quadrados:

TALVARIAÇÃOTO

PLICADAVARIAÇÃOEXn

1i2)Yi(Y

n

1i2)YiY(

2R =∑=

−

∑=

−=

ˆˆ

O coeficiente de determinação fornece uma medida dimensional de quantidade do ajuste do

modelo de regressão múltipla aos dados, correspondendo a um valor compreendido entre 0 e 1

e podendo ser interpretado como a porcentagem (variando de 0 a 100%) da variação de Yi,

em torno de sua média, explicada pelo modelo de regressão.

Quanto maior for o valor de R2, maior será a parcela da variação de Yi “explicada” pela

variação das várias variáveis explicativas Xi, e, em princípio, melhor a capacidade de previsão

do modelo encontrado. Valores de R2 próximos de zero indicam um péssimo ajuste dos dados

obtidos pela equação de regressão aos dados obtidos no campo amostral.

Exemplo: Numa regressão simples valor unitário x área, o fato de ter R2=0,60 indica que aproximadamente

60% da variação no preço unitário estão relacionados com a variação da área, logo os restantes 40% não

são explicados por esta variável. Isto sugere que:

1.1.1.1.1.1 1o) Talvez uma equação não linear se ajustasse melhor;

2o) É possível que outras variáveis não incluídas no modelo sejam importantes.

Com a adição de novas variáveis ao modelo, é sempre possível aumentar o valor de R2, no

entanto, nem sempre um novo modelo com mais variáveis regressoras será melhor que um

modelo que não envolva essas variáveis.

Para contornar esse problema, é sugerido que seja calculado um coeficiente de determinação

múltipla ajustado, simbolizado por 2R , em cuja fórmula, apresentada a seguir é possível verificar

que, diferentemente do R2, reflete tanto o número de variáveis explicativas k e quanto o

tamanho da amostra n:

[ ]1

1).1(1 22

−−−

−−=kn

nRR

VARIAÇÃO TOTAL

VARIAÇÃO EXPLICADA

VARIAÇÃO NÃO-EXPLICADA


63

Observações:

• Não utilizar equações de regressão com número de elementos amostrais igual ao número de

variáveis utilizadas, pois a equação corresponderá sempre a coeficiente de determinação 1,

já que consiste em resolver um sistema determinístico de n equações a n incógnitas.

• Evitar número reduzido de elementos amostrais, pois há casos que podem induzir a um

elevado coeficiente de correlação ( r ) , porém equivalendo a um grande intervalo de

confiança no respectivo valor de ' ρ ' da população (podendo, inclusive, conter o valor

zero). Isto significa dizer que, a equação pode estar explicando grande parte da variação

do fenômeno para uma pequena amostra mas, na realidade, pode não estar explicando

absolutamente nada da variação do fenômeno na população da qual essa amostra faz

parte.

• O coeficiente de determinação, apesar de ser um indicador sensível para explicação do

modelo, trata-se de uma medida descritiva e, por si só, não mede a qualidade do modelo de

regressão. O fato de ser alto, não implica necessariamente que o modelo ajustado seja

adequado, não sendo recomendável seguir uma estratégia de regressão que vise apenas à

maximização de R2. (in Eonometria, Judge). Devem ser verificadas a sua consistência, através

dos testes de hipóteses (t e F) a distribuição dos resíduos e a coerência do modelo com o

mercado.

• O pesquisador deve se preocupar com a relevância lógica das variáveis explicativas para a

variável dependente e com seu significado estatístico cuja tendência é a de encontrar

modelos que representem um comportamento médio de mercado devendo ter cuidado com

modelos que atinjam coeficientes de determinação próximo de 1 (ou 100%) que podem ser o

resultado de um ajuste perfeito apenas “matemático”

• O valor de R2 depende do número de variáveis explicativas k e do tamanho da amostra n ,

por isso, aumenta o com o acréscimo de variáveis. A fim de tornar os R2 comparáveis, utiliza-

se R2 ajustado, R2 , expresso em termos da variância e não da variação.

• O R2 é um recurso descritivo para informar sobre o ajuste do modelo , enquanto que o R2 é

preferível para medir o grau de ajustamento por levar em conta o no. de variáveis

independentes (k) em relação a quantidade de observações (n).

• se R2 e R2ajustado forem muito diferentes, é uma indicação de que foi incluído um número muito

excessivo de variáveis explicativas, mas que não contribuem de modo significativo para

melhorar a qualidade do modelo ajustado.


64

CAPÍTULO 5 Tratamento por Fatores - recomendações

No tratamento por fatores, devem ser utilizados os elementos amostrais mais

semelhantes possíveis ao avaliando, em todas as suas características, cujas diferenças

perante o mesmo, para mais ou para menos, são levadas em conta.

É admitida a priori a existência de relações fixas entre as diferenças dos atributos

específicos e os respectivos preços e, neste caso, é aconselhável que os fatores sejam

aplicados ao valor original do elemento comparativo na forma de somatório.

O conjunto de fatores aplicado a cada elemento amostral será considerado como

homogeneizante quando após a aplicação dos respectivos ajustes, se verificar que o

conjunto de novos valores homogeneizados apresenta menor coeficiente de variação

dos dados que o conjunto original. Devem refletir, em termos relativos, o

comportamento do mercado, numa determinada abrangência espacial e temporal,

com a consideração de:

- elasticidade de preços;

- localização;

- fatores de forma (frente, profundidade, área ou múltiplas frentes);

- fatores padrão construtivo e depreciação (no caso de edificações).

Fator oferta

A superestimativa dos dados de oferta (elasticidade dos negócios) deverá ser

descontada do valor total pela aplicação do fator médio observado no mercado. Na

impossibilidade da sua determinação, pode ser aplicado o fator consagrado 0,9

(desconto de 10% sobre o preço original pedido). Todos os demais fatores devem ser

considerados após a aplicação do fator oferta.

Fator localização

Para a transposição da parcela do valor referente ao terreno de um local para outro,

poderá ser empregada a relação entre os valores dos lançamentos fiscais, obtidos da

Planta de Valores Genéricos editada pela Prefeitura Municipal, se for constatada a

coerência dos mesmos.


65

Nos casos de inexistência desses valores ou se forem constatadas incoerências nas suas

inter-relações, deverá ser procedido estudos de mercado devidamente

fundamentado.

No caso de terrenos com edificações, os fatores referentes à localização devem incidir

exclusivamente na parcela do valor do comparativo correspondente ao terreno.

Serão considerados semelhantes, elementos que:

a) Estejam na mesma região e em condições econômico-mercadológicas equivalentes

às do bem avaliando;

b) Constituam amostra onde o bem avaliando fique o mais próximo possível do

centróide amostral;

c) Sejam do mesmo tipo (terrenos, lojas, apartamentos etc);

d) Em relação ao bem avaliando, sempre que possível, tenham:

- dimensões compatíveis;

- número compatíveis de dependências (vagas de estacionamento, dormitórios,

entre outros);

- padrão construtivo semelhante;

- estado de conservação e obsoletismo similares.

Aplicação dos fatores

Na aplicação dos fatores, devem ser observados os seguintes princípios:

1. A utilização dos fatores deve ser na forma de somatório, após a consideração do

fator oferta.

2. São considerados discrepantes elementos que :

a) Os valores unitários, em relação ao valor médio amostral, extrapolem a sua

metade ou dobro;

b) Não obstante, recomenda-se que esses sejam descartados caso a

discrepância persista após a aplicação de fatores mais representativos

(localização para terrenos, padrão construtivo e depreciação para

benfeitorias), desde que validados preliminarmente.

3. Somente após a validação do conjunto de fatores, deve ser realizado o

saneamento dos dados homogeneizados, por meio dos seguintes procedimentos


66

a) Calcula-se a média dos valores unitários homogeneizados;

b) Adota-se como intervalo de elementos homogêneos, aquele definido entre os

limites de 30%, para mais ou para menos, do respectivo valor médio;

c) Se todos os elementos estiverem contidos dentro desse intervalo, adota-se essa

média como representativa do valor unitário de mercado. Caso contrário, procura-

se o elemento que, em módulo, esteja mais afastado da média, que é excluído da

amostra. Após a exclusão, procede-se como em a) e b), definindo-se novos limites.

e) Se elementos anteriormente excluídos passarem a estar dentro dos novos limites

devem ser reincluídos;

f) Este processo deve ser reiterado até que todos os dados atendam o intervalo

de +/- 30% em torno da última média;

g) Se houver coincidência de mais de um elemento a ser excluído na etapa d),

deve-se excluir apenas um, devidamente justificado Saneamento

Não são considerados elementos semelhantes ao avaliando aqueles cujos valores

unitários, após a aplicação do conjunto de fatores, resultem numa amplitude de

homogeneização aquém da metade ou além do dobro do valor original de transação

(descontada a incidência do fator oferta quando couber).


67

1)( 2

−

−= ∑

nxx

s i

ANÁLISE DE REGRESSÃO SIMPLES Avaliação de um terreno partindo de uma amostra com 7 elementos comparativos, com as

seguintes características:

Elem. Valor 1 6,00 2 6,00 3 7,00 4 7,00 5 10,00 6 12,00 7 15,00

Se, na pesquisa efetuada, as únicas informações disponíveis fossem os valores unitários, a alternativa seria considerar a média aritmética dos dados, dada por: MÉDIA= 9,00 Ou seja, seria admitido que os terrenos valeriam em média R$9,00/m2 (Para maior facilidade de condução dos cálculos, os valores unitários foram divididos por 10)

Verificando o quanto os dados disponíveis variam em torno da média, tem-se:

Elem. Valor (yi)

Valor médio (Y)

Diferença (Y-Y)

1 6,00 9,00 3,00 2 6,00 9,00 3,00 3 7,00 9,00 2,00 4 7,00 9,00 2,00 5 10,00 9,00 -1,00 6 12,00 9,00 -3,00 7 15,00 9,00 -6,00

Soma 63,00 0,00

Se as diferenças forem simplesmente

somadas (compensadas), o resultado será

zero, o que não permite encontrar a medida

de variação procurada.

A solução, então, é elevar essas diferenças ao quadrado para eliminar o sinal negativo e

trabalhar apenas com valores positivos, obtendo-se:

Elem. Valor (yi)

Valor médio (Y)

Diferença(Y-Y)

(Y-Y)2

1 6,00 9,00 3,00 9,00

2 6,00 9,00 3,00 9,00

3 7,00 9,00 2,00 4,00

4 7,00 9,00 2,00 4,00

5 10,00 9,00 -1,00 1,00

6 12,00 9,00 -3,00 9,00

7 15,00 9,00 -6,00 36,00

Soma 63,00 0,00 72,00

Média

Mediana =

Moda=

Desvio Padrão =

Coeficiente de variação =

Logo, a variação total em torno da

média será:72,00 (ou variação média:

72/7 = 10,28)

Isso demonstra que as informações não

são homogêneas, ou seja, apresentam

diferenças entre si que fazem os valores

variarem em torno da média (Variação

Total de 72) e, por conseqüência, a

avaliação não poderia ser feita pela

média simples.


68

Neste caso, e havendo variação, é necessário explica-la, procurando as características dos

terrenos que possam justificar o fato dos mesmos não apresentarem valores aproximadamente

iguais ao da referida média. Isto será feito, verificando, por exemplo, se as frentes dos terrenos

pudessem ser uma dessas prováveis variáveis.

Configurando em um gráfico no plano cartesiano essas duas medidas, tem-se o seguinte

diagrama de dispersão.

Com as informações das frentes dos terrenos, o valor médio destes não é mais constante, mas

uma função da variação destas.

A equação seria do tipo y= bo + b1 x1, onde y seria os valores médios dos terrenos e x as

respectivas frentes.

CONCEITO: Uma análise de regressão geral, essencialmente, uma equação, cujos coeficientes refletem

a intensidade da relação entre cada variável explicativa isolada e a variável resposta.

A sua interpretação estatística depende dos seguintes itens: • O Valor de r (Coeficiente de Correlação): É um índice que varia entre -1 e +1, apontando o quanto as

diversas medidas obtidas a partir da amostra se ajustam à equação matemática proposta. Quanto maior o valor

absoluto de r (seja positivo ou negativo), maior a concordância entre os dados e a curva de regressão.

• O valor de r2 (Coeficiente de Determinação) que indica qual o percentual da variância da variável

dependente que pode ser explicado pela(s) variável(eis) independente(s).

• O Valor de p Para a Estatística t de Cada Variável: É uma probabilidade associada ao valor da função t, a

qual é obtida, para cada variável, a partir do modelo de regressão. Indica a probabilidade de que o coeficiente

levantado para cada variável, seja qual for o seu valor, contribua de forma significativa no modelo.

• aferir a qualidade de uma regressão pela análise dos seus resíduos, ou seja, das diferenças entre os

valores previstos pelo modelo de regressão para a variável dependente e os valores de fato observados. Qualquer

padrão ou regularidade observada nos resíduos é um indicativo de um erro sistemático do modelo, ou seja, da sua

inadequação. O ideal seria que os resíduos fossem aleatórios, com distribuição normal e média zero.

valor unitário x frente

6,00 6,00

7,00 7,00

10,00

12,00

15,00

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00

frente

unitá

rio

Elem. Valor Frente

1 6,00 5,00

2 6,00 7,00

3 7,00 6,00

4 7,00 12,00

5 10,00 15,00

6 12,00 18,00

7 15,00 20,00

69

EXPLICAÇÕES BÁSICAS: Método dos mínimos quadrados PARTE I - Montagem do modelo: Tomando como base o gráfico acima, é possível verificar a

existência de uma relação (apesar de apresentar alguma dispersão) entre os pares dos preços unitários

(Y) com os das frentes (X1), demonstrando a intuição lógica de que quanto maior a frente, maior o preço unitário. Esta relação pode ser escrita através de uma equação matemática (nesta primeira

fase, linear) que descreva o comportamento entre essas duas variáveis. A equação de regressão linear

têm a forma Y =b0 +b1X1 + e ; onde Y é a variável dependente (no caso, valor unitário) e X1 é a

variável independente ( no caso, a frente) e b0 e b1 indicam o intercepto e o coeficiente angular,

respectivamente, e e, o termo residual ( ou erro). O objetivo é encontrar, a partir dos 7 dados

amostrais, uma expressão para o coeficiente angular b1 (que define o aumento ou diminuição da

variável Y - valor unitário, por unidade de variação da variável X1 -frente) e para o intercepto b0 (que

define o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas), de modo que os erros sejam mínimos.

Para obter uma reta para o exemplo valor unitário versus frente, é necessário primeiramente calcular

os parâmetros b0 e b1 da reta, e uma das formas utilizadas é efetuando os somatórios, conforme

demonstrado nos passos seguintes.

Montagem da equação de regressão - Cálculo de bo e b1 ( dados das tabelas

1.1.1.1.1.1.1.1.1

Médias de X e Y e respectivos somatórios

Tabela 1 Tabela 2

Ref. x ( frente) y ( valor unitário) X.Y x^2 Y^2

1 5,00 6,00 30,00 25,00 36,002 7,00 6,00 42,00 49,00 36,003 6,00 7,00 42,00 36,00 49,004 12,00 7,00 84,00 144,00 49,005 15,00 10,00 150,00 225,00 100,006 18,00 12,00 216,00 324,00 124,007 20,00 15,00 300,00 400,00 225,00

Somas ∑X = 83,00 ∑y= 63,00 864,00 1.203,00 639,00Médias 11,86 9,00 ∑xy ∑x2 ∑y2

X barra Y barra

Substituindo Y chapéu:

0)ˆe 2 == ∑ ii Y - (Y

Nota: Por convenção estatística: N = número de elementos K = número de variáveis explicativas Y barra = média Y chapéu = equação de regressão

6612.286,11x5343,09b

5343.083)203.1(7

)63x83()864(7b

0

21

=−=

=−

−=

02 =∑ + )]Xb (b - [(Y i10i

VARIAÇÃO DE Y

VARIAÇÃO DE x

b1Y

X

b0

e

equações “normais” (deduzidas através de derivadas , somatórias ou matrizes) ∑ ∑∑ += 2

i10ii X bXibYX

∑ ∑+= i10i X bnbY

∑∑∑ ∑∑−

−=

22 )x()x(n)y.)(x()xy(n

1b

XbY 1−=0b

70

Pode-se também calcular através dos Somatórios, ou seja:

Sxy= [ xy - ( x . y)/n] 864,00( 83,00 x 63,00 ) / 7 117,00Sxx= [ x^2 - ( x)^2/ n] 1.203,00( 83,00^2 ) / 7 218,86yy= [ y^2 - ( y)^2/ n] 639,00( 63,00^2 ) / 7 72,00

Equação de regressão B1 = Sxy / Sxx 117,00/ 218,86 B1= 0,5346Bo = Ybarra - ( B1. X barra) 9,00- ( 0,5346 x *1,86 ) = B0= 2,6612

Equação de regressão ( Y= Bo +B1.X1) ou seja : Valor unitário =2,6612 + 0,5346 x Frente

Parte II: Estatísticas da Regressão: Coeficiente de Correlação, de Determinação e do Erro Padrão da Regressão: Tabela 3 - Variação

Projeção Explicada Não explicada Resíduos TotalY chapéu Y=2,6612 +0,5343 . X1 (Ychapéu - Ybarra)^2 (Y - Ychapéu)^2 (Y - Ybarra)^2

5,33 (2,6612 +0,5346 x 5) 13,44 (5,33-9)^2 0,44 (6 -5,33)^2 9,00 (6 -9)^2

6,40 (2,6612 +0,5346 x 7) 6,74 (6,4-9)^2 0,16 (6 -6,4)^2 9,00 (6 -9)^25,87 (2,6612 +0,5346 x 6) 9,80 (5,87-9)^2 1,28 (7-5,87)^2 4,00 (7-9)^2

9,08 (2,6612 +0,5346 x 12) 0,01 (9,08-9)^2 4,31 (7-9,08)^2 4,00 (7-9)^210,68 (2,6612 +0,5346 x 15) 2,82 (10,68-9)^2 0,46 (10-10,68)^2 1,00 (10-9)^2

12,28 (2,6612 +0,5346 x 18) 10,78 (12,28-9)^2 0,08 (12-12,28)^2 9,00 (12-9)^213,35 (2,6612 +0,5346 x 20) 18,95 (13,35-9)^2 2,71 (15-13,35)^2 36,00 (15-9)^2

Somas 62,55 9,45 72,00 Coeficiente de Correlação

(r) = Sxy/ (Sxx.Syy)^ 0,5 117,00/ ( 218,86 x

75) ^0,5 0,9321

Coeficiente de Determinação

Correlação ao quadrado ou : variação explicada / variação total 0,8687

R2 0,9321^2 62,55/72 Coeficiente de Determinação R2 = 1- (1-R2). [(n-1)/(n-K-1) 0,8425

Ajustado R2 = Erro padrão da regressão: raiz quadrada do somatório dos resíduos ao quadrado dividido

pelos graus de liberdade (n-K-1) =√ 9.45 / ( 7-1-1) = 1,3749

Coeficiente de Variação Da Equação = erro padrão da regressão/média de Y (1,37/9) 15%

Pretende-se que Y se aproxime o máximo de Y ( Y chapéu) de forma que ( yi y )

i 1

n

−=

∑ $ ( ou a soma dos

resíduos) seja o menor possível.

COEF. DETERMINAÇÃO (R2) = 86,87% da variação do valor unitário (Ỷ) podem ser explicados pela variação da variável frente através da equação de regressão. Neste caso, 13,13% da variação total permanecem não explicados.

7 /12

15/20

y = + 2 ,6612 + 0 ,5346. X1R2 = 0 ,8687

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

0,00 5,00 10 ,00 15,00 20,00 25 ,00f rente

unitá

rio

13,35/20V ar iaç ão não ex p lic ada ou des v io (y -y c hapéu)

V ar iaç ão ex p lic ada (y c hapéu -y bar ra)

v ar iaç ão to ta l (v -y bar ra)

M é d ia (Yb ar r a)= 9

COEF DETERMINA ÇÃ O (R2) = V A RIA ÇÃ O EXPLICA DA

DIV IDIDA PELA V A RIA ÇÃ O TOTA L

R E P R E S E N TA Ç Ã O G R Á FIC A C O E FIC IE N TE D E D E TE R MIN A Ç Ã O


71

PARTE III: Inferência em Análise de Regressão Até aqui, o estudo envolveu apenas o

ajustamento de uma reta. Para fazer inferências sobre a população, da qual se extraiu

pesquisa (amostra), deve ser efetuado o teste de significância (teste de hipóteses).

-Testes de Hipóteses: Teste “t” - Teste da variável independente (frente).

No caso de b1=0, o valor de Yi a variável X1 (frente) não importa na variação do valor. Para

tanto impõe-se que b1≠0 , que deve ser assegurado através do teste t de Student.

O processo consiste basicamente em:





5o) Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede o(s) valor(es) crítico(s); caso

contrário, aceitá-la.

Portanto, para iniciar o processo, dois são formuladas dois tipos de hipóteses:

a hipótese nula (H0=b1=0) ou H0:0,5343 =0

Contra a

a hipótese alternativa (H1≠b1≠0) ou H1:0,5343 ≠0

O segundo passo consiste em identificar a distribuição amostral adequada (no caso, t de Student)

O terceiro passo consiste em escolher um nível de significância aceitável para indicar um valor crítico

como padrão de comparação, para não rejeitar uma hipótese nula, quando verdadeira.

Valor crítico é o valor, ou valores que separa(m) a região crítica dos valores da estatística do

teste que não levam à rejeição da hipótese nula

A essência de um teste de significância consiste então em particionar uma distribuição amostral – com

base na suposição de H0 ser verdadeira – em uma região de aceitação e uma região de rejeição de H0.

Calcula-se, então, a estatística do teste com base nos dados amostrais para compará-lo com o valor

crítico, cumprindo assim a quarta etapa do teste. Para finalizar o processo, uma estatística teste

que excede o valor crítico sugere a rejeição de H0 , enquanto que uma estatística teste inferior ao

valor crítico sugere H0 que seja aceita.

O teste é realizado pela comparação da estatística t, t calculado, deduzida para a variável X1

(frente), com o parâmetro obtido na tabela de distribuição t de Student, t tabelado, ao nível de

significância de 10% (teste bicaudal) – classificação no GRAU III de Fundamentação)


72

Assim tem-se:

- 0 +

1o) Calcula-se o t calculado

t calculado = (b1 / Sb) – VER tabela abaixo

- no caso

- t calculado = 0,5346/0,09294=5,75

2o) Verifica-se o t tabelado (t crítico) na Tabela A1, para o nível de significância de 5% e o número de graus de liberdade (n-K-1)

- no caso t tabelado =

3o) Compara-se o t calculado com o t crítico

4o) Conclusão:

Se t calc > tab, rejeita-se a hipótese nula H=0, e a variável frente correspondente ao coeficiente

testado (0,5346) pode ser considerado importante na explicação do modelo.

Nota importante: Os programas de computador já indicam o nível de significância (Valor P),

bastando apenas ficar atento para verificar se está abaixo de 5% para uma cauda (que, no

caso do exercício, será de 0,0001 ou 0,001% ) ou 10% para duas caudas (no caso 0,00223

ou 0,02%)

Nota: Calculo de Sb 1

Sb 1 = Erro padrão de B1= desvio da

regressão dividido pela raiz quadrada

de n-1 vezes variância da testada (X) =

1,3749 / √ (6 x 36,47) = 0,09294

Variância de X =√∑ (x-xbarra)2/ (n-1) x 1( frente) (x- xbarra) (x- xbarra)^2

5,00 -6,85714 47,020408

7,00 -4,85714 23,591837

6,00 -5,85714 34,306122

12,00 0,14286 0,020408

15,00 3,14286 9,877551

18,00 6,14286 37,734694

20,00 8,14286 66,306122

Soma 83,00 218,857143Xbarra 11,8571 Var x 36,476

Região de rejeição de H0

Nível de significância

ZONA DE ACEITAÇÃO de H0

Nível de significância

Região de rejeição de H0


17

Parte IV - Análise de Resíduos: proceder a verificação da proporção das diferenças e da existência de elementos discrepantes

Elemento Originais ( valores advindos do

campo)

Previsto ( usando a equação)

Resíduos ( diferença)

Resíduos padrão : resíduo dividido pelo

erro padrão da regressão

1 6,00 5,33 0,67 0,48235 0,67/1,3749 2 6,00 6,40 -0,40 -0,29339 -0,40/1,3749 3 7,00 4 7,00 5 10,00 10,68 -0,68 -0,4946 6 12,00 12,28 -0,28 -0,2065 7 15,00 13,35 1,65 1,1977

Representação gráfica dos resíduos padronizados:

. -3 -2 -1 0 +1 +2 +3

Parte V - Cálculo do valor unitário ( para imóvel com 10 m de frente) e do intervalo de confiança a) AVALIAÇÃO: Modelo : Valor unitário = 2,6612 + 0,5346 x Frente V unitário = R$

b) Calcular o INTERVALO DE CONFIANÇA de 80% previsto nas Normas da ABNT A Norma NB-502/89, estipula, em seu artigo 7.6.8, que o valor final a ser indicado, tem de estar contido em um intervalo de confiança fechado e máximo de 80%” ( que corresponde ao nível de significância igual a 20% ) para o valor médio induzido pela equação de regressão, ou seja:

hS..thYhYhS.thY 2/)1Kn(2/)1Kn( λλ −−−− +≥≥−

t= considerando ( n-K-1 =5) =

e

Syh = 1,37494x { ( 1/7 + [ (10 -11,86)^2 ] / [1203 - [(83)^2 / 7]} ^0,5

onde: t é o valor obtido na tabela t de Student e Syh o desvio padrão de Xh

Syh =1,37494 x {0,1429 + [ (3,4596/218,857)]}^0,5 = 0,3692

S s .1n

(X X)X [( X) / n]Yh e

1h2

2= +−

−

−

∑∑ 2


Avaliações com Tratamento por Fatores ARQUITETA ANA MARIA DE BIAZZI DIAS DE OLIVEIRA

XXII CONGRESO PANAMERICANO DE VALUACIÓN e XIII CONGRESSO BRASILEIRO DE ENGENHARIA DE AVALIAÇÕES E PERICIAS – abril 2006

18

MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS O modelo de regressão:

110i X.bbY += . O valor previsto de Y igual a interseção, mais a inclinação vezes o valor de X.

Onde: i observação a para Y de previsto valor o é Yi = i observação a para de valor o é Xi X=

Esta equação requer a determinação de dois coeficientes: b0 ( a intercecção de Y) e b1 (a inclinação)

no sentido de prever valores de Y.

.

iY iii YYd −= iY 110i X.bbY += iX

A análise de regressão significa a tentativa de encontrar a linha para a qual as diferenças entre os valores reais (Yi) e os valores que seriam previstos (Ỷi) sejam mínimas. Então, para cada valor de Xi existirá um desvio (di), ou seja, para cada valor observado o valor projetado será diferente:

iii YYd −= . Como as diferenças são tanto positivas como negativas, minimizamos matematicamente da seguinte forma:

2i

n

1ii )YY( −∑

= i observação a para Y de previsto valor o é Yi =

i observação a para de valor o é Xi X=

Na verdade estamos minimizando:

2110

n

1ii )]X.bb(Y[ +−∑

=

Que tem 2 incógnitas e para resolver o problema, sistema de 2 equações:

iXbb.nYn

1i10

n

1ii ∑∑

==

+=

∑∑

∑∑∑

=

=

=

==

−

−=

n

1i

n

1i

2i

2i

n

1i

n

1ii

n

1ii

ii

XX

)YX(YX

n

n1b X.bYb 10 −=

2n

1i1

n

1ii0

n

1iii i.XbXbYX ∑∑∑

===

+=

n

xX:e

n

yY:onde

n

1ni

n

1ni

∑

∑

−

−

=

=

Nota; Por convenção estatística: n = número de elementos Y barra = média Ychapéu = equação de regressão




19

ESPECIFICAÇÕES GERAIS E CONCEITOS INICIAIS DO MODELO DE REGRESSÃO

Modelo para avaliação de terreno no interior de São Paulo, com 300m2; 10m de frente;

localizado a 100m de distância do pólo principal, com asfalto

Pesquisa base: amostra abaixo contendo 20 elementos Variável Dependente: Unitário Variáveis Indepnedentes: Distancia a Pólo (medidas em m) – localização

Área do terreno (medidas em m2) Frente do Terreno (medidas em m) Existência de asfalto (variável dicotômica que indica: presença =1 ou ausência =0

Elemento Distancia polo

Área Terreno Frente Asfalto Unitário

1 1.000,00

300,00

10,00 0

60,00

2 700,00

500,00

15,00 0

50,00

3 800,00

300,00

10,00 0

60,00

4 300,00

300,00

10,00 1

100,00

5 500,00

500,00

15,00 0

70,00

6 500,00

300,00

10,00 1

90,00

7 300,00

500,00

15,00 1

80,00

8 100,00

600,00

18,00 1

90,00

9 100,00

1.000,00

20,00 1

80,00

10 0,01

600,00

15,00 1

100,00

11 200,00

500,00

15,00 1

80,00

12 400,00

500,00

15,00 1

40,00

13 1.000,00

800,00

20,00 0

55,00

14 800,00

300,00

10,00 0

70,00

15 200,00

300,00

10,00 1

80,00

16 1.000,00

600,00

20,00 0

50,00

17 100,00

500,00

18,00 1

80,00

18 0,01

300,00

10,00 1

100,00

19 0,01

500,00

15,00 1

120,00

20 1.000,00

1.000,00

20,00 0

40,00




20

Apresentação do 1º) Modelo pelo Programa Sisren

Comportamento das Variáveis com Valor

Área Total1.000900800700600500400300

Valo

r Uni

tário

120

110

100

90

80

70

60

50

40

Distancia polo1.0009008007006005004003002001000

Valo

r Uni

tário

120

110

100

90

80

70

60

50

40

Asfalto10

Valo

r Uni

tário

120

110

100

90

80

70

60

50

40

Frente2019181716151413121110

Valo

r Uni

tário

120

110

100

90

80

70

60

50

40

Equação de Regressão:

Valor Unitário = +126,4384081 -2,76256481 * ln (Distancia polo) -9,079814893 * ln (Área Total) +71,56555367 / Frente +18,45145095 * Asfalto




21

1º ) – Coeficiente de Determinação – R2

Informações Complementares:

• Número de variáveis: 5• Número de variáveis consideradas: 5• Número de dados: 20• Número de dados considerados: 20

Resultados Estatísticos:

• Coeficiente de Correlação: 0,8441284 / 0,8441284• Coeficiente Determinação: 0,7125527• Fisher-Snedecor: 9,30 • Significância modelo: 0,01

2º) – Testes de Hipóteses O processo consiste basicamente em:





5o) Rejeitar a hipótese de nulidade se a estatística teste excede o(s) valor(es) crítico(s); caso

contrário, aceitá-la.

Variáveis Equação t-Observado Sig.

• Distancia polo ln(x) -3,13 0,68• Área Total ln(x) -0,42 68,06• Frente 1/x 0,17 86,65• Asfalto x 2,64 1,84




22

3º) – Análise de Resíduos – Normalidade e Verificação de “outliers” Normalidade dos resíduos:

• 85% dos residuos situados entre -1 e + 1 s• 95% dos resíduos situados entre -1,64 e + 1,64 s• 95% dos resíduos situados entre -1,96 e + 1,96 s

Outliers do Modelo: 1

Resíduos da variável Valor Unitário

11010510095908580757065605550

3

2

1

0

-1

-2

-3

20

13

162

5

13

14 9

12

7

8

11176

4

15 10

19

18

Apresentação do 2º) Modelo




23

Informações do Modelo

Informações Complementares:

• Número de variáveis: 5• Número de variáveis consideradas: 5• Número de dados: 20• Número de dados considerados: 19

Resultados Estatísticos:

• Coeficiente de Correlação: 0,9319870 / 0,9319870• Coeficiente Determinação: 0,8685998• Fisher-Snedecor: 23,14 • Significância modelo: 0,01

Variáveis Equação t-Observado Sig.

• Distancia polo ln(x) -3,67 0,25• Área Total x -1,15 26,82• Frente 1/x 0,09 93,29• Asfalto x 5,16 0,01

Equação de Regressão:

Valor Unitário = +80,96948632 -2,140581456 * ln (Distancia polo) -0,02020731005 * Área Total +15,81583166 / Frente +24,16070794 * Asfalto

Correlações entre variáveis Isoladas Influência

• Distancia poloÁrea Total 0,07 0,19Frente -0,03 0,02Asfalto -0,52 0,35Valor Unitário -0,74 0,70

• Área TotalFrente -0,85 0,81Asfalto -0,11 0,19Valor Unitário -0,32 0,29

• FrenteAsfalto 0,06 0,05Valor Unitário 0,25 0,02

• AsfaltoValor Unitário 0,83 0,81




24

Projeções de Valores

Distancia Área Frente Asfato Valor Médio Mínimo Maximo

100 300 10 0 66,63 60,3 72,96 1.000,00 300 10 0 61,7 55,6 67,8 1.000,00 600 20 0 54,84 48,2 61,49

100 600 20 0 59,77 52,96 66,59 100 600 20 0 59,77 52,96 66,59

Apresentação do 3º) Modelo Informações Complementares:

• Número de variáveis: 5• Número de variáveis consideradas: 4• Número de dados: 20• Número de dados considerados: 19 Resultados Estatísticos:

• Coeficiente de Correlação: 0,9319500 / 0,9319500• Coeficiente Determinação: 0,8685308• Fisher-Snedecor: 33,03 • Significância modelo: 0,01 Variáveis Equação t-Observado Sig.

• Distancia polo ln(x) -3,80 0,18• Área Total x -2,45 2,71• Asfalto x 5,35 0,01




25

Análise do modelo (equação de regressão) Equação de Regressão:

Valor Unitário = +82,80931175 -2,139972135 * ln (Distancia polo) -0,0214923013 * Área Total +24,14031455 * Asfalto

Análise de Resíduos Normalidade dos resíduos:

• 73% dos residuos situados entre -1 e + 1 s• 94% dos resíduos situados entre -1,64 e + 1,64 s• 100% dos resíduos situados entre -1,96 e + 1,96 s

Outliers do Modelo: 0

Preço observado

Valor Estimado Resíduo

Resíduo Relativo

Resíduo/DP

60 61,57 -1,57 -2,63 -0,19 50 58,04 -8,04 -16,08 -0,97 60 62,05 -2,05 -3,42 -0,24

100 88,29 11,7 11,7 1,41 70 58,76 11,23 16,05 1,35 90 87,2 2,79 3,1 0,33 80 83,99 -3,99 -4,99 -0,48 90 84,19 5,8 6,44 0,7 80 75,6 4,39 5,49 0,53

100 103,9 -3,9 -3,9 -0,47 80 84,86 -4,86 -6,08 -0,58 55 50,83 4,16 7,57 0,5 70 62,05 7,94 11,34 0,96




26

80 89,16 -9,16 -11,45 -1,1 50 55,13 -5,13 -10,26 -0,62 80 86,34 -6,34 -7,93 -0,76

100 110,35 -10,35 -10,35 -1,25 120 106,05 13,94 11,61 1,68

40 46,53 -6,53 -16,33 -0,79

Resíduos da variável Valor Unitário

11010510095908580757065605550

2

1

0

-1

-2

Projeção de Valores

simulações sem asfalto simulações com asfalto

Distancia Área Asfato Valor Médio Mínimo Maximo Asfato Valor Médio

100,00 300,00 0 66,50 61,51 71,49 1 90,64 1.000,00 300,00 0 61,57 56,81 66,33 1 85,71 1.000,00 600,00 0 55,13 51,11 59,14 1 79,27 100,00 600,00 0 60,05 55,72 64,39 1 84,19 100,00 600,00 0 60,05 55,72 64,39 1 84,19




27

EXEMPLO 1 Exemplo Pratico Aplicação Fatores (Fundamento nos critérios da

Norma do IBAPE/SP)

Terreno rua H com 300m2 de área e 8m de frente: índice local 100

Elemento Local Valor unitário

Area m²

Frente m

Profundidade m Indice Local

1 Rua A 140,00 216 12,00 18,00 70

2 Rua B 180,00 480 6,00 80,00 80

3 Rua C 250,00 480 12,00 40,00 115

4 Rua D 150,00 200 10,00 20,00 70

5 Rua E 200,00 250 10,00 25,00 110

6 Rua F 250,00 450 18,00 25,00 120

7 Rua F 270,00 500 15,00 33,33 120 1ª) Parte – Fatores oferta e Localização

Fator Oferta Fator Transposição

Elemento Valor

unitárioFator Oferta

Unitário deduzido do fator oferta

I.LOCALelemento

Fator Transp.

Diferença transposição (R$/m²)

Unitário Homog pela localização

1 140,00 0,9 126,00 70 1,43 54,00 180,00

2 180,00 0,9 162,00 80 1,25 40,50 202,50

3 250,00 1,0 250,00 115 0,87 -32,61 217,39

4 150,00 0,9 135,00 70 1,43 57,86 192,86

5 200,00 0,9 180,00 110 0,91 -16,36 163,64

6 250,00 0,9 225,00 120 0,83 -37,50 187,50

7 270,00 0,9 243,00 120 0,83 -40,50 202,50

Média 205,71 Média 188,71 Média 192,34

Desvio padrão 51,92

Desvio padrão 51,04

LOCAL Avaliand

o = 100 Desv.padrão 17,48

Coef. Var. 25,24%Coef. Var. 27,04% Coef. Var. 9,09%


28

2ª) Parte – Fator Profundidade

Fator Oferta Coeficiente de Profundidade Fator Oferta Unitário

deduzido do fator oferta

Pe Coef. Profund.

Diferença profundidade

(R$m/²)

Unitário Homog pela

Profundidade

0,9 126,00 18,00 0,18 22,49 148,49

0,9 162,00 80,00 0,17 27,79 189,79

1,0 250,00 40,00 0,00 0,00 250,00

0,9 135,00 20,00 0,12 15,93 150,93

0,9 180,00 25,00 0,00 0,00 180,00

0,9 225,00 25,00 0,00 0,00 225,00

0,9 243,00 33,33 0,00 0,00 243,00

Média 188,71 Média 198,17

Desvio padrão 51,04 Desv.padrão 41,86

Coef. Var. 27,04% Pma = 40 Coef. Var. 21,12%

Pmi = 25

Exp.profundidade

= 0,5

-Entre Pmi e Pma admite-se que o fator profundidade Cp é igual a 1,00

-Se a profundidade equivalente for inferior à mínima e estiver acima da metade da mesma (1/2 Pmi < Pe < Pmi), deverá ser empregada a

seguinte fórmula: Cp = (Pe / Pmi)^ p

-Para Pe inferior a ½ Pmi adota-se Cp = (0,5) p

-Se a profundidade equivalente for superior à máxima até o triplo da mesma (P ma < Pe < 3Pma), o fator somente afeta o valor unitário da

parte do terreno que exceda este limite, a fórmula a ser empregada é a seguinte:

Cp = (Pma /Pe) + {[1-( Pma /Pe )] . (Pma / Pe) ^ p }

- Para Pe superior a 3 Pma, adota-se na fórmula acima Pe = 3 Pma




29

3ª) Parte – Fator Frente (Testada)

Fator Oferta Coeficiente de Frente Fator Oferta Unitário

deduzido do fator oferta

Cf Coef. Frente

Diferença frente

(R$m/²)

Unitário Homog.

pela Frente

0,9 126,00 12,00 -0,04 -4,51 121,49

0,9 162,00 6,00 0,11 17,43 179,43

1,0 250,00 12,00 -0,04 -8,95 241,05

0,9 135,00 10,00 0,00 0,00 135,00

0,9 180,00 10,00 0,00 0,00 180,00

0,9 225,00 18,00 -0,11 -24,95 200,05

0,9 243,00 15,00 -0,08 -18,93 224,07

Média 188,71 Média 183,01

Desvio padrão 51,04 Desv.padrão 43,70

Coef. Var. 27,04% Coef. Var. 23,88%

Frente referencia 10

Expoente frente= 0,2




30

4ª) Efeito de todos fatores e avaliação

Resultado da aplicação dos fatores

Unitário só com

Fator Fonte

Loc + prof + frente para a

média

Loc + prof + test para

o avaliando

Coef geral homog. Para a média

Saneada

Coef geral homog.Para

o Avaliando

126,00 197,98 189,34 1,57 1,50

162,00 247,72 236,91 1,53 1,46

250,00 208,44 199,34 0,83 0,80

135,00 208,79 199,68 1,55 1,48

180,00 163,64 156,49 0,91 0,87

225,00 162,55 155,45 0,72 0,69

243,00 183,57 175,56 0,76 0,72

Média 188,71 196,10 Média 187,54

Desv.padrão 51,04 29,77 Desv.padrão 28,47

Coef. Var. 27,04% 15,18% Coef. Var. 15,18%

Superior (+30%) 254,93

Inferior (-30%) 137,27

Calculo do

unitário Médio = 187,54

Intervalo de Confiança de

80% = 16,74 t=(n-1) =6 1,44 Desv. Pad. (s) = 28,47 Fórmula t x s/(n-1)^0,5

1,44 x 29,74/(7-1)^0,5

Avaliação = EXEMPLO BASICO

Intervalo inferior = 204,28 Intervalo superior = 170,80

Amplitude = 16% Grau de Precisão III

avaliaÇÃo de imoveis urbanos

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