avaliação de clusteres sandra de amo aula 23 data mining
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Avaliação de Clusteres
Sandra de Amo
AULA 23
DATA MINING
O que avaliar ? Os dados são “clusterizáveis” ? Isto é, existem
estruturas não-randômicas nos dados ? Qual o número ideal de clusteres ? Os clusteres encontrados realmente correspondem a
clusteres “reais” ? Dados dois conjuntos de clusteres para os mesmos
dados, qual é o melhor ?
Como avaliar ? Como medir a
“tendência de clusteres”, o número ideal de clusteres, a qualidade da clusterização,
sem a “visualização gráfica” dos dados (só factível até 3 dimensões) ?
Medidas de Avaliação Não-supervisionadas
Medem a qualidade de uma clusterização sem utilizar medidas externas aos dados
Medidas de Coesão Medidas de Separação
Supervisionadas Medem a qualidade de uma clusterização utilizando
medidas externas aos dados, por exemplo, dados de testes etiquetados com um atributo classe.
Seja C = {C1, ...., Ck} um conjunto de clusteres
Avaliação(C) = Σ wi Avaliação(Ci)
Fórmula geral de avaliação
i = 1
k
Avaliação global de Cpesos Avaliação individual do
cluster Ci
Clusteres baseados em Protótipos Medidas de Avaliação = coesão e separação
Coesão(individual)Mede o quanto os objetosdentro de um cluster se aglomeramperto do centro do cluster
Separação (inter clusteres)Mede o quanto os centros dos clusteresestão bem separados entre si
Clusteres baseados em Protótipos Coesão(Ci) = Σ proximidade(x,ci) ci = centroide (centro de gravidade) de Ci
Separação(Ci,Cj) = proximidade(ci,cj)
Separação (Ci) = proximidade(ci,c) c = centro de gravidade do conjunto total de dados
Proximidade : noção que pode variar dependendo da aplicação
Exemplo: SSE mede coesão quando a função de proximidade é o quadrado da distância.
x ɛ Ci
Clusteres baseados em Grafos Medidas de Avaliação = coesão e separação
Coesão(individual)Mede o quanto os objetosdentro de um cluster estão juntos
Separação (inter clusteres)Mede o quanto cada elemento de um cluster está afastado dos elementos de outros clusteres.
Clusteres baseados em grafos Coesão(Ci) = Σ proximidade(x,y)
Separação(Ci,Cj) = Σ proximidade(x,y)
Proximidade: noção que pode variar dependendo da aplicação
x,y ɛ Ci
x ɛ Ci, y ɛ Cj
Coesão e Separação globaisMedida Fórmula para os clusters
individuais (Ci) Peso Tipo
I1 Σ proximidade(x,y)
x,y ɛ Ci 1/mi
mi=tamanho de Ci
Coesão baseada em grafo
I2 Σ proximidade(x,ci)
x ɛ Ci1 Coesão baseada
em protótipo
E1 proximidade(ci,c)
c = centro de gravidade do conjunto total de dados
mi Separação baseada em protótipo
G1 k k
Σ Σ prox.(x,y)
i=1 j=1
i ≠ j x ɛ Ci , y ɛ Cj
1Σ prox.(x,y)
x,y ɛ Ci
Separação baseada grafo
Exemplos de Medidas de Coesão Baseada em protótipo
SSE : noção de proximidade é dada pelo quadrado da distância euclidiana dist
SSE(Ci) = Σ dist(x,ci)2 x ɛ Ci SSE = Σ SSE(Ci) i = 1,...,k
Baseada em grafos Σ dist(x,y)2 x,y ɛ Ci
Relação entre as duas medidas SSE(Ci) = 1 Σ dist(x,y)2 2mi x,y ɛ Ci
Exemplo de Medidas de Separação Baseada em Protótipos
SSB = Σ mi dist(ci,c)2 onde mi = tamanho de Ci
i = 1,...,k Se os clusters têm mesmo tamanho mi = m/k
SSB = 1/2k Σ m/k dist(ci,cj)2 i,j = 1,...,k
Relação entre coesão e separação (baseada em protótipos)
SSE + SSB = TSS = Σ Σ dist(x,c)2 i = 1,...,k x ɛ Ci
Número constanteIndepende dos clusteresSó depende dos dados iniciais
Exercício 1 Considere o seguinte conjunto de objetos D = {(1,2), (1.3, 2.5), (2,2.2), (5,1), (5.5, 1.3), (5.3,2.4)}
Considere C = {C1, C2} onde C1 = {(1,2), (1.3, 2.5), (2,2.2)}
C2 = {(5,1), (5,5, 1,3), (5,3.2,4)}
Calcule a coesão e separação do conjunto de clusteres C, utilizando as medidas SSE e SSB respectivamente.
Calcule TSS para o conjunto de dados D (não depende de C).Mostre que SSE + SSB = TSS
Exercício 2 : Comparação de medidas de agrupamentos (baseados em protótipos e baseados em grafos)
Clusterização 1obtida utilizando um métodobaseado em grafos
Clusterização 2obtida utilizando um métodobaseado em grafos
Qual a que tem a melhor coesão segundo I1 ? E a melhor separação segundo G1?Proximidade = quadrado da distância.
Dados para Exercício 2
X Y
1,5 1,4
1,5 2,5
2,5 1,3
4 1,3
3,5 2,1
3,8 3,3
5,2 3
Como utilizar coesão e separação para “melhorar” a clusterização Um cluster com baixo grau de coesão pode
ser dividido em 2 subclusteres.
Dois clusteres que têm boa coesão mas que não tem bom grau de separação podem ser juntados para formar um único cluster.
Como avaliar objetos dentro de um clusterComo objetos individualmente contribuem para a
coesão e separação globais de um conjunto de clusteres ?
Objetos que contribuem mais para a coesão e separação estão mais no “interior” de seu cluster.
Objetos que contribuem pouco estão mais na “fronteira” de seu cluster.
Coeficiente de Silhueta Medida que combina coesão e separação Coeficiente de Silhueta de um cluster C
= média do coef. Silhueta dos objetos de C Coeficiente de Silhueta da clusterização =
média do coef. Silhueta de todos os objetos Coeficiente de Silhueta de um objeto –
depende da clusterização.
Coeficiente de Silhueta de um Objeto tDado um conjunto de Clusteres C = {C1,...,Ck} e um
objeto t do banco de dados Calcule at = distância média de t a todos os objetos
de seu cluster. Calcule bt
Para cada cluster C’ não contendo t, calcule t(C’) a distância média entre t e todos os objetos de C’
bt = min {t(C’) | C’ não contém t }
Coef. Silhueta (t) = (bt – at ) / max(at , bt )
Coeficiente de Silhueta de objetos Coeficiente de Silhueta varia de -1 a 1. Valores negativos: at > bt (não desejados)
Distância média de t a objetos de seu cluster é
maior que distância média de t a objetos de outros clusteres
Valores Ideais Valores positivos at bem próximo de zero
Coeficiente de silhueta bem próximo de 1
Dados agrupados em 10 clusters e os coeficientes de silhueta dos pontos
Exercício 3Considere as duas clusterizações do Exercicio 2. Calcule o coeficiente de silhueta do objeto tcom relação a cada uma destas clusterizações.
t t
Para casa: calcular o coeficiente de Silhueta global de cada uma das duas clusterizações e decida qual a melhor.
Determinar o número ideal de clusteresTécnica 1 Executa-se o algoritmo K-means diversas vezes com
diferentes números de clusteres. Calcula-se o SSE global de cada clusterização obtida Plota-se os valores de SSE (eixo y) por número de
clusteres (eixo x) O número ideal de clusteres corresponde a um
momento onde se atinge um mínimo no gráfico e logo em seguida há uma estabilização.
Exemplo : número de clusters = 10
Ponto minimo antesda estabilização
Determinar o número ideal de clusteresTécnica 2 Executa-se o algoritmo K-means diversas vezes com
diferentes números de clusteres. Calcula-se o coeficiente de silhueta global de cada
clusterização obtida. Plota-se os valores dos coeficientes de silhueta (eixo
y) por número de clusteres (eixo x) O número ideal de clusteres corresponde a um
momento onde se atinge um pico no gráfico.
Exemplo: Número de Clusters = 10
Ponto de Pico
Determinar a tendência de clusteres nos dados Técnica óbvia de se testar a tendência dos dados
Aplique um algoritmo de clusterização Avalie cada um dos clusteres obtidos Caso pelo menos um dos clusteres é de boa qualidade
boa coesão e boa separação dos demais
Conclua que os dados apresentam alguma tendência de
clusteres. Problema: os dados podem apresentar clusteres de
um tipo não detectável pelo algoritmo aplicado.
Determinar a tendência de clusteres nos dados Outra técnica
Aplicar diversos algoritmos de clusterização que buscam clusteres de naturezas distintas: baseados em protótipos, em densidade, em grafos
Se nenhum algoritmo apresenta clusteres com boa coesão e boa separação pode-se concluir que os dados não apresentam tendência de clusteres.
Estatística de HopkinsMedida que permite verificar se um conjunto de dados
tem tendência de clusteres sem efetuar nenhuma clusterização
G = p objetos randomicamente distribuídos no espaço dos dados (não necessariamente são objetos do BD !) G = {g1, g2, ... , gp}
A = uma amostragem de p objetos pertencentes ao banco de dados. A = {a1, a2, ..., ap}
Estatistica de Hopkins2
2
1,5
1
1
0,5
1,5
Para cada objeto calcula-se a distância a seu vizinho mais próximo da base de dados original
0,5
Estatistica de Hopkins
Σi=1
p
ui
Σi=1
p
ui Σi=1
p
wi+
H =
Valores de distâncias minimas associados a objetos de G (artificialmente gerados)
Valores de distâncias minimas associados a objetos de A (“reais” do banco de dados)
Estatistica de Hopkins 0 ≤ H ≤ 1 H próximo de 1 : dados clusterizáveis
wi são pequenos, ui não necessariamente pequenos
H próximo de 0 : uniformemente distribuídos Se os dados são regularmente espaçados, os wi tendem a ser
grandes.
H em torno de 0,5 : randomicamente distribuídos Indica que a distribuição dos ui e dos wis são similares,
Exercício 4Considerar o conjunto de dados do Ex. 2
Calcule a estatística de Hopkins destes dados e conclua se estes dados apresentam alguma estrutura de clusteres ou são aleatórios
Exemplo: dados não clusterizáveis Número de amostras = 20
Número de experimentos = 100
H = 0,56
Dados são randômicos
Clusterização utilizando DBSCAN
Outlier !!
Outlier !!
Outlier !!
Clusterização utilizando K-Means
Exemplo de dados clusterizáveisNúmero de amostras = 20
Número de experimentos = 100
H = 0,95
Exercício 51
2
3
4 5
6
7
8
9
10
11
1213
14
1516
17
1 1,9 7,3
2 3,4 7,5
3 2.5 6,8
4 1,5 6,5
5 3,5 6,4
6 2,2 5,8
7 3,4 5,2
8 3,6 4
9 5 3,2
10 4,5 2,4
11 6 2,6
12 1.9 3
13 1 2,7
14 1.9 2,4
15 0,8 2
16 1,6 1,8
17 1 1
Calcule a estatística de Hopkins para estes dados para amostragens de 6 elementos, fazendo 10 experimentos . Conclua se os dadossão clusterizáveis, randômicos ou uniform. distribuídos.
Exercício 61 2
3
4 5
6
7
8
9
10
11
1213
14
15
16
17
1 1,9 7,3
2 3,4 7,5
3 2.5 6,8
4 1,5 6,5
5 3,5 6,4
6 2,2 5,8
7 3,4 5,2
8 3,6 4
9 5 3,2
10 4,5 2,4
11 6 2,6
12 1.9 3
13 1 2,7
14 1.9 2,4
15 0,8 2
16 1,6 1,8
17 1 1
Achar 3 clusters utilizando o k-means1ª escolha das sementes: pontos 3, 9, 142a escolha das semestes: pontos 6,10,15
Exercício 7 Calcular o coeficiente de silhueta global de
cada uma das clusterizações. Analise os resultados.
Exercícios 8 e 9 Exercicio 8: Aplique o algoritmo CURE nos dados do exercício 5 para
encontrar 3 clusters.
a) Faça 2 escolhas distintas para cada um dos parâmetros α e N (= número de representantes de cada cluster).
b) Calcule o coeficiente de silhueta global de cada uma das clusterizações e analise o resultado.
Exercício 9: Aplique o algoritmo DBSCAN nos dados do exercício 5.
a) Faça 2 escolhas distintas para cada um dos 2 parâmetros do algoritmo: Eps, MinPts
b) Calcule o coeficiente de silhueta global de cada uma das clusterizações e analise o resultado.
Referências P-N Tan, M. Steinbach, V. Kumar:
Introduction to Data Mining, 2006. A. K. Jain and R. C. Dubes Algorithms for Clustering Data. Prentice Hall
Advanced Reference Series. March 1988Livro disponível em http:
//www.cse.msu.edu/~jain/Clustering_Jain_Dubes.pdfCapitulo 5: Aplicações de Clusterização em Processamento de Imagens
Data Clustering: A Review Jain et al. 1999 –
ACM Computing Surveys, Vol. 31, n. 3, Sep. 1999
Aplicações – Survey Jain et al. 1999