AVALIAÇÃO DA INTEGRIDADE ESTRUTURAL DE PLATAFORMASOFFSHORE TIPO JAQUETA

Cleidiane Passos Soares1; Oscar A. Z. Sotomayor2

1 Universidade Federal de Sergipe, Departamento de Engenharia de Elétrica – clei_passos@hotmail.com2 Universidade Federal de Sergipe, Departamento de Engenharia de Elétrica – oscars@ufs.br

RESUMOAs plataformas fixas tipo jaqueta foram as primeiras estruturas offshore construídas e, atéhoje, continuam a ser produzidas e utilizadas. Pelo tempo de vida útil e por estaremexpostas ao ambiente oceânico hostil, estas estruturas podem desenvolver fadigametálica, podendo levar, inclusive, ao colapso do sistema. Assim, há a necessidadeconstante de avaliar sua integridade estrutural. O objetivo deste trabalho é usar o métodode decomposição no domínio da frequência (FDD) para monitorar via simulaçõesnuméricas a integridade estrutural de uma plataforma offshore tipo jaqueta, por meio daanálise modal em condições de operação normal. Utilizou-se um modelo de 2 graus deliberdade em coordenadas generalizadas para representar a plataforma, enquanto que aequação de Morison é usada para descrever as oscilações naturais produzidas pela forçahidrodinâmica de ondas e correntes marinhas. Os resultados obtidos mostram aviabilidade do método proposto na identificação dos parâmetros modais da plataforma,baseada apenas nos sinais de respostas dos deslocamentos da estrutura.

Palavras-chave: Plataforma offshore, Análise modal operacional, Decomposição nodomínio da frequência.

1. INTRODUÇÃO

As jaquetas de aço são os sistemasestruturais mais utilizados pela indústriaoffshore de Exploração e Produção (E&P)no mundo para atividades em águasrasas (profundidades menores do que 400metros). Quando viáveis, representam asolução de engenharia com a melhorrelação custo-benefício, em comparaçãocom os demais tipos de plataforma[CASTRO, 2013].

No entanto, estas estruturas sãoexpostas a diversos tipos decarregamentos. Além da gravidade e daprópria carga operacional, elas estãocontinuamente sujeitas a perturbaçõesdinâmicas oscilatórias, principalmentevento, ondas e correntes marinhas, eainda de outras, como corrosão,terremotos etc.

A exposição dessas instalações aoambiente oceânico hostil tem efeitos

prejudiciais a estrutura, como excessivasvibrações que afetam o conforto e aestabilidade das instalações, além da suafadiga metálica, efeito mais prejudicialdestas vibrações, trazendo consigo umalto risco de falha e possível colapso daplataforma [SILVA, 2014].

Assim, a necessidade de reavaliaras jaquetas existentes torna-se bastanterelevante para toda a indústria petroleira epara a sociedade em geral, com esteobjetivo, neste artigo será aplicada aanálise modal operacional, umaferramenta para monitoramento deintegridade que é capaz de estimar osparâmetros comportamentais deestruturas a partir de suas respostasdinâmicas.

1.1. Análise modal operacionalA análise modal, estudo dos modos

estruturais, é uma das técnicas utilizadaspara o estudo e análise dinâmica de

sistemas estruturais. Os modos são,propriedades inerentes de uma estrutura,determinados pelas propriedades domaterial (massa, amortecimento erigidez), e condições de contorno daestrutura. Cada modo é definido por umafrequência natural (modal ouressonância), por um amortecimentomodal, e uma forma modal (os chamados"parâmetros modais") [GUILLAUME,2009]. A existência de danos estruturaisnum sistema leva a modificação dessesmodos de vibração, estas alteraçõesmanifestam-se como mudanças nosparâmetros modais [SALAWU, 1997].

Análise modal operacional érealizada quando o sinal de excitação naentrada do sistema não é conhecido,geralmente ocorre quando são medidasas respostas de uma estrutura, emoperação, a excitação ambiente. Nestecaso, assume-se que as forças deexcitação são consideradas como umarealização de um processo estocásticogaussiano de tipo ruído branco commédia nula. [RODRIGUES et al., 2004]

Algumas técnicas de análise modaloperacional no domínio da frequência têmsido desenvolvidas, dentre elas:Transformada de Wavelet [LE et al.,2010], Transformada de Hilbert-Huang[SILVA, 2014] e Decomposição noDomínio da Frequência (FDD)[RODRIGUES et al., 2004]. No presentetrabalho a FDD é usada na identificaçãomodal operacional de uma plataforma fixatipo jaqueta sujeita a perturbaçõespersistentes de forças hidrodinâmicas.

1.2. Plataforma offshore tipojaqueta

A plataforma fixa tipo jaqueta éconstituída por estruturas espaciaistubulares em aço ancoradas no local deoperação por estacas cravadas no fundodo mar, projetadas para resistir aosesforços provenientes das ondas, vento ecorrente. Além disso, a jaqueta serve deapoio aos condutores e risers deexplotação na subida até a planta de

processamento da plataforma[MENEZES, 2007].

Esse tipo de plataforma fixa éformado por dois conjuntos: o convés e ajaqueta. O primeiro representa a própriaunidade de E&P, com seusequipamentos, utilidades e, normalmente,um heliponto para apoio logístico. Já osegundo, representa a estrutura quesustenta o convés e que, juntamente comas estacas, mantém a plataforma em suaposição de instalação, ver Fig.1.

Figura 1: Representação de umaplataforma fixa offshore do tipo jaqueta

[CASTRO, 2013].

Estas estruturas sofrem diversostipos de carregamentos naturais, como:pressão hidrostática (flutuabilidade),corrosão por causa da composiçãomarítima, incrustações marinhas quecausam aumento da força de arrasto,marés, tempestades, sismicidade,maremotos, inundações e, principalmente,correntes, ventos e ondas. Em que asondas são as perturbações dominantes.

2. METODOLOGIA

Uma plataforma fixa offshore podeser modelada como um sistema commúltiplos graus de liberdade. Porém,como as estruturas offshore sãoprojetadas para ter uma frequênciafundamental maior que a frequência de

excitação dominante, a resposta dinâmicada estrutura é, geralmente, dominada peloprimeiro (e segundo) modo(s) devibração. Para os propósitos do presenteartigo, um modelo de 2 graus de liberdadeserá considerado para representar umaplataforma offshore tipo jaqueta.

2.1 Modelo dinâmico daplataforma

O método de elementos finitos écomumente utilizado na modelagem eanálise estrutural de plataformas offshoretipo jaqueta. No entanto, para ospropósitos do presente trabalho, ummodelo de 2 graus de liberdade seráconsiderado para representar aplataforma, conforme proposto porABDEL-ROHMAN [1993], e cujo diagramaesquemático é mostrado na Fig.2. Estaestrutura possui um dispositivo TMD(Amortecedor de Massa Sintonizado)ativo, conectado a um servo mecanismohidráulico, instalado no topo da estrutura.

Estruturas offshore estão expostas aforças hidrodinâmicas não lineares. A nãolinearidade destas forças decorre da suadependência em relação à flexibilidade daestrutura que induz um termo de carga

autoexcitada. Uma força de ondahorizontal atuando numa junção de umaestrutura offshore é geralmente modeladausando a equação de Morison. Estaequação é amplamente utilizada paraestimar cargas de ondas no projeto deplataformas de petróleo e outrasestruturas offshore.

Figura 2: Plataforma sujeita a forçashostis [ZRIBI et al. 2004].

As expressões que descrevem omovimento da plataforma sujeita a forçashidrodinâmicas autoexcitadas nãolineares podem ser escritas comomostrado na Eq.[1] [ZRIBI et al., 2004].

⎩⎪⎨⎪⎧ ̈ = −2 ̇ − − ( + ) + − ( ̇ + ̇ ) + ̇− + +̈ = −2 ̇ − − ( + ) + − ( ̇ + ̇ ) + ̇− + +̈ = −2 ̇ + 2 ( ̇ + ̇ ) − + ( + ) + [1]

sendo que e são as coordenadas generalizadas dos modos vibracionais 1 e 2,respectivamente; é o deslocamento horizontal do TMD; e são as frequênciasnaturais dos primeiros dois modos de vibração; e são os fatores de amortecimentonos dois primeiros modos de vibração, respectivamente; e são o primeiro e osegundo vetores de forma modal, respectivamente; é o fator de amortecimento doTMD; = ⁄ é a frequência natural do TMD; e são a rigidez e a massa doTMD, respectivamente; é o amortecimento do TMD; é a ação de controle; e , ,

e são os termos da força hidrodinâmica autoexcitada não linear.Definindo as seguintes variáveis de estado:= ; = ̇ ; = ; = ̇ ; = ; = ̇O modelo da plataforma da Eq.[1] pode ser escrito na forma de espaço de estados

como segue:̇ = + + ( , ) [2]

Sendo que:

=⎣⎢⎢⎢⎢⎡

0 1 0−( + ) − 2 + −0 0 0 0 0 0− 1 0 0− − −( + )0 0 02 −(2 + )0 0 12 − −2 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

= ⎣⎢⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎥⎤ =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡ 0−0−01 ⎦⎥⎥

⎥⎥⎥⎤

= ⎣⎢⎢⎢⎢⎡0 01 00 00 10 00 0⎦⎥⎥

⎥⎥⎤ ( , ) = ++Apresentado o modelo da plataforma

utilizado, segue a explicação do métodode análise modal operacional estudado.

2.2 Decomposição no domínio dafrequência

As vibrações ambientais têmnatureza de entradas múltiplas e comfrequência de banda larga sendo capazesde excitar um número significativo demodos. Por simplificação, os métodos deidentificação modal operacional assumemo ruído branco de média zero comoentrada, este é o caso do método dedecomposição no domínio da frequência(FDD) cuja formulação foi desenvolvidapor Brincker, detalhes da formulação podeser encontrados em [BRINCKER et al.,2010].

No método FDD, para identificaçãodos modos de vibração de um sistema,constrói-se uma matriz de funções dedensidade espectral, com autoespectros(PSD) na diagonal principal e espectroscruzados (CSD) nas outras posições. Amatriz de funções de densidade espectralé, em cada frequência discreta,decomposta em valores singulares evetores utilizando o algoritmo dedecomposição em valores singulares(SVD).

O(s) modo(s) dominante(s)aparece(m) no primeiro espectro de valorsingular e os outros modos nos outros

espectros de valores singulares. A partirda análise destes espectros é possívelidentificar as funções de densidade depotência autoespectrais quecorrespondem a cada modo de umsistema, o qual pode incluir partes devários espectros de valores singulares,dependendo do modo que é dominanteem cada frequência. No método de FDD,os modos de vibração são estimados comos vetores singulares no pico de cadafunção de densidade de potênciaautoespectral correspondente a cadamodo.

No entanto, não é possível detectaro amortecimento modal com essemétodo, por isso, será utilizado umprocedimento do método dedecomposição no domínio da frequênciaavançado (EFDD), no qual, a seleção dosautoespectros correspondentes a cadamodo (1DOF) é realizada com base nosvalores do coeficiente Modal AssuranceCriterion (MAC) dos vetores singularesentre o pico de ressonância e asfrequências próximas. Estas funções dedensidade autoespectral são, então,transformadas para o domínio do tempo,pela transformada inversa de Fourier,resultando em funções de autocorrelação,para cada modo de um sistema. Oscoeficientes de amortecimento sãoestimados a partir do decrementologarítmico das referidas funções de

autocorrelação [RODRIGUES et al.,2004]. O resumo do método pode servisualizado no fluxograma da Fig.3.

Figura 3: Fluxograma do método de FDD[SOARES, 2015].

3. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Para realizar a simulação foramutilizados os seguintes dados de onda

[ZRIBI et al., 2004]: H = 12,19 m, ℎ = 76,2m, λ = 182,88 m e = 0,122 m/s. Adensidade do aço é 7730,7 kg/m3, adensidade da água é =1025,6 kg/m3 eo peso do convés de concreto suportadopela estrutura de aço é 6672300 N. Comestes dados, conjuntamente com osdados obtidos em [ABDEL-ROHMAN,1993], os parâmetros de força de ondaem cada junção da estrutura foramcalculados.

As frequências naturais dos modosde vibração 1 e 2 são = 1,818 Hz e =10,8683 Hz, respectivamente. Oamortecimento estrutural em cada modo éconsiderado 0,5%, i.e. = = 0,005, eas contribuições das formas modais são

= −0,003445 e = 0,00344628. Osparâmetros do TMD foram escolhidospara estar em sintonia com o primeiromodo, tal que = 1,818 Hz, = 0,15,

= 1551,5 e = 256 [ZRIBI et al.,2004].

Os autovalores da matriz A são−0,0560 ± 10,8690j, −0,0276 ± 1,8117j e−0,2557 ± 1,8059j. Isto implica que aparte linear do modelo do sistema éestável. Entretanto, dado que estesautovalores estão muito próximos do eixoimaginário, o desempenho do sistema nãoé bom. [SILVA, 2014].

Usando os valores dos parâmetros do sistema, obteve-se:

=⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 0 1−3,3235 −0,0212 0 00,0184 0,0030 0 0−5,3449 −0,88190 00,0184 0,0030 0 0−118,1385 −0,1117 0 05,3468 0,88220 0−0,0114 −0,0019 0 00,0114 0,0019 0 1−3,3051 −0,5454⎦⎥⎥

⎥⎥⎤

= ⎣⎢⎢⎢⎢⎡ 00,0034450−0,0034462800,00213 ⎦⎥⎥

⎥⎥⎤

Na Fig.4 e na Fig.5 sãoapresentados a força hidrodinâmica daonda atuando sobre a plataforma,derivada da equação de Morison, e osrespectivos deslocamentos laterais dostrês andares da plataforma (estrutura +TMD) para uma frequência de onda Ω=0,5773 Hz. As amplitudes das oscilaçõespico a pico dos três andares são 0,4534m, 0,4935 m e 0,5214 m.

Figura 4: Força hidrodinâmica da ondasobre a plataforma (Ω =0,5773 Hz).

Figura 5: Resposta da plataforma parauma frequência de onda Ω =0,5773 Hz.

Os sinais de deslocamento dos doisandares da plataforma (Fig.5) foramprocessados segundo os dois primeirospassos do fluxograma da Fig.3,produzindo a decomposição em valores evetores singulares das matrizes dedensidade espectral. A Fig.6 apresenta asmagnitudes dos dois valores singulares,para o intervalo de frequência de 0 a 25Hz, em que o gráfico em azul representa

o 1º valor singular e o gráfico emvermelho o 2º valor singular.

Figura 6: SVD das matrizes de densidadeespectral para resposta de deslocamento

da plataforma (com 100s de duração).

Nesta Fig.6 são identificadas duascaracterísticas interessantes, a primeira éa detecção da frequência fundamental deexcitação do sistema no gráfico do 1ºvalor singular e a segunda é que não sepode visualizar o pico do segundo modono gráfico do 1º valor singular, apenas nográfico do 2º valor singular.

Ambas as situações são justificadaspelas características do tipo de excitaçãoempregada na simulação. Para explicar aprimeira situação é importante lembrarque o FDD mantém a hipótese dasexcitações serem processos gaussianosestacionários tipo ruído branco com médianula. E segundo RODRIGUES et al.[2004]se esta hipótese não se verifica, ou seja,se as forças de excitação contiveremcomponentes com frequências claramentedominantes, então nessas frequênciassurgirão picos na amplitude das funçõesde densidade espectral e porconsequência nos valores singulares.

Já a justificativa para a segundasituação é que o 1º valor singular éresponsável pela identificação dos modosdominantes da estrutura, o qual para omodelo de plataforma é justamente o 1ºmodo que possui frequência (1,818 Hz). Odomínio do primeiro modo na resposta

100 101 102-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50Maximum and minimum singular values

Mag

nitu

de (d

B)

Frequência (Hz)

dinâmica pode ser observado com maisclareza no cálculo do MAC, Fig.7.

Figura 7: MAC entre os picos deressonância e os demais vetores

singulares.

Observando a Fig.7, maisprecisamente o gráfico em azul, percebe-se que praticamente todos os vetoressingulares são similares ao vetor singulardo 1º modo (1,841 Hz), exceto o vetorsingular do 2º modo (11,04 Hz). O gráficoem vermelho confirma a não similaridadedo vetor singular do 2º modo em relaçãoaos demais vetores.

Na realização dos ensaios demedição das respostas estruturais àsações ambientais é muito importante aduração total dos registos obtidos. Poisnos ensaios com excitação natural não hácontrole sobre as forças de excitação,tornando-se conveniente registrar arespostas durante um tempo longo comoforma de assegurar que durante esseperíodo todos os modos do sistema sejamsuficientemente excitados.

Portanto, o modelo de plataforma foisimulado por um tempo 10 vezes maiorque o utilizado na simulação anterior, aforma de onda e deslocamento obtidosforam similares ao apresentado na Fig. 4e Fig. 5, respectivamente, com registro de1000 segundos de duração. Utilizandoesses novos sinais de deslocamento dosdois andares da plataforma foramaplicados, novamente, os passos 1 e 2 dofluxograma, e obtida uma nova SVD paraas novas matrizes de densidade

espectral. A Fig. 8 apresenta os novosvalores singulares, para o intervalo defrequência de 0 a 100 Hz. O gráfico emazul representa o 1º valor singular e ográfico em vermelho o 2º valor singular.

Figura 8: SVD das matrizes de densidadeespectral da resposta de deslocamento da

plataforma (com 1000s de duração).

Na nova SDV, Fig.8, é possívelidentificar o pico, embora discreto, do 2ºmodo no 1º valor singular, cuja frequênciaé de 10,97 Hz. Além, dos picoscorrespondentes à frequência deexcitação (0,5752 Hz) e à frequêncianatural do 1º modo (1,764 Hz).

A Tab.1 apresenta, a modo decomparação, os valores analíticos domodelo e os calculados usando FDD dafrequência natural dos modos.

Tabela 1-Frequência natural dos modos.Frequência (Hz)FDD Modelo Erro Relativo

Modo1 1,764 1,818 2,97%Modo2 10,97 10,87 0,92%

Além das frequências encontradas,pode-se ver na Fig. 8 que há picos emoutras frequências que não estãodescritas no modelo da plataforma. Entreelas, estão: 1,15 Hz, 2,30 Hz, 2,895 Hz e4,05 Hz. Essas frequências podem serjustificadas pela não linearidade domodelo e da formulação de Morison.Essas frequências possuem amplitudesmaiores que a frequência do 2º modo por

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

MA

C

Frequência (Hz)

10-1 100 101 102-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

X: 10.97Y: -140.9

Maximum and minimum singular values

Mag

nitu

de (d

B)

Frequência (Hz)

estarem mais próximas da frequência deexcitação e serem, portanto, maisrequisitadas.

Para verificar a similaridades dosvetores singulares correspondentes aosdois modos de vibração da plataforma, foiutilizando novamente o cálculo do MAC. AFig.9 mostra o resultado do MAC (1°modo, em azul, e o 2° modo, emvermelho).

Figura 9: MAC entre os picos deressonância e os demais vetores

singulares.

Observando a Fig.9, percebe-se queo gráfico em vermelho, que representa asimilaridade do vetor singular do 2º modoem relação aos demais, é muito maisexpressivo que o da Fig.7, isso demonstraque com o aumento na duração dasmedições foi possível detectar a respostadesse modo, ou seja, este foi excitadopelo sinal de onda de entrada. A Fig. 10mostra em detalhes o MAC na região do2º modo para resposta de 1000 segundos.

Com o valor de MAC mostrado naFig.10 foi possível isolar a função de umgrau de liberdade (1DOF) do segundomodo no intervalo de 10,93 Hz a 10,99Hz. Já para o primeiro modo foi utilizado ointervalo de 1,534 Hz a 2,11 Hz. NaFig.11 são mostradas as regiõesdelimitadas no 1º valor singular. Essasregiões delimitadas foram transformadasem duas funções de 1DOF às quaisaplicou-se a transformada inversa deFourier.

Figura 10- MAC perto do pico deressonância do 2º modo para resposta de

deslocamento com duração de 1000 s.

Figura 11: Separação dos picos.

As funções de autocorrelaçãoobtidas para os dois modos sãoapresentadas na Fig.12 e Fig.13.

Figura 12: Correlação normalizada para oprimeiro oscilador de 1DOF (modo 1).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

MA

C

Frequência (Hz)

10.9 10.95 11 11.050.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1X: 10.97Y: 1

MA

C

Frequência (Hz)

10-1 100 101 102-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50Maximum and minimum singular values

Mag

nitu

de (d

B)

Frequência (Hz)

0 5 10 15 20-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Cor

rela

ção

Nor

mal

izad

a

Tempo (s)

Figura 13: Correlação normalizada para osegundo oscilador de 1DOF (modo 2).

Foi aplicado o decremento logaritmoaos valores máximos e mínimos de cadaoscilador. Considerando apenas ospontos mais relevantes do logaritmoforam ajustadas retas, cujos coeficientesangulares serão utilizados no cálculo doamortecimento modal. A Fig.14 e a Fig.15ilustram o ajuste linear realizado nologaritmo da função de autocorrelaçãodos modos 1 e 2, respectivamente.

Figura 14: Ajuste linear do logaritmo dafunção de autocorrelação para o 1º modo,

o coeficiente angular encontrado foiδ=0,0318.

Com os valores dos coeficientesangulares para as retas ajustadas naFig.14 e na Fig.15 foi possível calcular astaxa de amortecimento de cada modo. Osresultados podem ser observados naTab.2 que apresenta a comparação entreos valores analíticos do modelo e oscalculados via FDD.

Figura 15: Ajuste linear do logaritmo dafunção de autocorrelação do 2º modo, o

coeficiente angular encontrado foiδ=0,0315.

Tabela 2 - Valores comparativos entre oamortecimento calculado e o do modelo.

Amortecimentomodal

FDD Modelo ErroRelativo

Modo 1 0,0051 0,005 2%Modo 2 0,005 0,005 0%

A capacidade do FDD na detecçãodos parâmetros modais é notória,resultados com erros relativos menoresque 3%, até mesmo quando as excitaçõesdo sistema fogem da hipótese de ruídobranco a partir do qual o método foidesenvolvido.

É importante comentar que quandose trata de detecção da dinâmica deplataformas, ou de grandes estruturascivis, os modos mais importantes são oslocalizados próximos das frequências dasexcitações (geralmente frequênciasbaixas), pois os modos estruturaisafastados se comportam como se fossemestáticos.

Em plataformas reais, as diversasexcitações ambientais— correntes,ventos, ondas regulares e irregulares,movimento das máquinas etc—funcionaram como sinais de banda largapara os modos de interesse (modos comfrequências próximas das excitações).

0 5 10 15 20 25-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Cor

rela

ção

Nor

mal

izad

a

Tempo (s)

0 5 10 15 20 25 30 35-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Loga

ritm

o do

s m

áxim

os e

mín

imos

Número de semi-ciclos

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

Loga

ritm

o do

s m

áxim

os e

mín

imos

Número de semi-ciclos

4. CONCLUSÕES

A identificação modal operacionalsurgiu como opção para análise dinâmicade grandes estruturas, utilizando-se dacaracterística multi-entrada das açõesambientais, capazes de excitar ossistemas em diferentes pontossimultaneamente.

Os resultados alcançados nestetrabalho mostram que o método FDD écapaz de identificar as frequênciasnaturais e os amortecimentos modais daplataforma offshore com precisão econfiabilidade consideráveis, usandoapenas a resposta da estrutura excitadanaturalmente pelas forças hidrodinâmicasde ondas e correntes marinhas.

A FDD torna-se uma solução para aanálise dinâmica de estruturas que nãopodem ter seu funcionamentointerrompido, como as plataformas depetróleo.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoiofinanceiro do PRH-ANP 45.

5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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ZRIBI, M.; ALMUTAIRI, N.; ABDEL-ROHMAN, M.; TERRO, M. Nonlinear androbust control schemes for offshoresteel jacket platforms. NonlinearDynamics, 35(1): 61-80, 2004.