Aurora Pozo

É um dos mais conhecidos e poderosos para obtenção de raízes de equações não-lineares.

Considere uma função f(x) continua e diferençável no intervalo [a,b].

A função possui, portanto, tangente única em cada ponto do intervalo.

Teorema: Se f(a) * f(b) < 0 e f’ e f’’ forem não nulas e

preservarem o sinal em [a; b], então partindo-se de uma aproximação inicial x0 2 [a; b] tal que f(x0) £ f00(x0) > 0 é possível gerar, pelo Método de Newton, uma sequência de aproximações xk que converge para a raiz de f(x) = 0.

O Método de Newton-Raphson tem convergência muito boa (quadrática).

Entretanto, apresenta as seguintes desvantagens:(i) Exige o cálculo e a análise do sinal de f’ e f’’(ii) Se f’(xk) for muito elevado a convergência será lenta(iii) Se f’(xk) for próximo de zero pode ocorrer overflow

Para contornar o item (i), o qual é necessário para a escolha da aproximação inicial, é comum apenas calcular-se o valor da função e o de sua derivada segunda nos extremos a e b, considerando para x0 o extremo que satisfazer a condição f’(x0)f’’(x0) > 0.

Para tanto, é importante que o intervalo [a; b] considerado seja sucientemente pequeno, de forma a minimizar a possibilidade de variação de sinal de f’ e f’’.

Método de Newton-RaphsonNewton-Raphson Um grande inconveniente é a necessidade

da obtenção de f’(x)f’(x) e o cálculo de seu valor numérico a cada iteração

Forma de desvio do inconveniente

Substituição da derivada f’(xf’(xkk)) pelo

quociente das diferenças

f’(xf’(xkk) ≈ [f(x) ≈ [f(x

kk) - f(x) - f(xk-1k-1)]/(x)]/(x

kk - x - xk-1k-1))

onde xxk-1k-1 e xxkk são duas aproximações para a raiz

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SecanteSecante

A função de iteração será

g(x) g(x) = x= xkk - f(x - f(x

kk)/)/[(f(x[(f(xkk) - f(x) - f(x

k-1k-1))/(x))/(xkk - x - x

k-1k-1)])]

= = (x(xkk - x - xk-1k-1)) . f(x . f(x

kk)/)/[f(x[f(xkk) - f(x) - f(x

k-1k-1)])]

= [x= [xk-1 k-1 .f(x.f(x

kk) – ) – xxk k .f(x.f(xk-1k-1)])]//[f(x[f(x

kk) - f(x) - f(xk-1k-1)])]

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)]x()x([)]x(.x)x(.[x

=g(x)1 - kk

1 - kkk1 - k

ffff

-

-

SecanteSecante

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A partir de duas aproximações xxk-1k-1 e xxkk

Obtém-se o ponto xxk+1k+1 como sendo a abscissa do ponto

de intersecção do eixo oxox e da reta que passa pelos pontos (xxk-1 k-1 , f(x, f(x

k-1k-1)) ) e (xxk k , f(x, f(xkk)) ) (secante à curva da

função)

SecanteSecante

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Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada.

Repete-se o processo até que o valor de xx atenda às condições de paradacondições de parada.

x

1a iteração

2a iteração

3a iteração4a iteração

f(x)

x1xx00 x2

x3 x4

x5

SecanteSecante

Testes de Parada A cada iteração, testa-se se a

aproximação encontrada poderá ser considerada como a solução do problema.

||f(xf(xkk))||

||((x((xk+1k+1 – x – x

kk)/x)/xk+1k+1 ) )||

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SecanteSecante

Algoritmok := 0; x0 := X0; x1 := X1

while critério de interrupção não satisfeito and k k L Lk := k +1;

xk+1 := (xk-1*f(xk) - xk*f(xk-1))/(f(xk) - f(xk-1)) endwhile

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SecanteSecante

Vantagens:Vantagens: Rapidez processo de convergência; Cálculos mais convenientes que do método

de Newton; Desempenho elevado.

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SecanteSecante

Desvantagens:Desvantagens: Se o cálculo f’(x)f’(x) não for difícil, então o

método logo será substituído pelo de Newton-Raphson;

Se o gráfico da função for paralela a um dos eixos e/ou tangencia o eixo das abscissas em um ou mais pontos, logo não se deve usar o método da Secante Secante ;

Difícil implementação.

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SecanteSecante