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Sucessoes de Numeros Reais

Maria do Carmo Martins

Novembro de 2006

sucessao de numeros reais

Chama-se sucessao de numeros reais ou sucessao numerica atoda a aplicacao u de N em R.Simbolicamente:

u : N → Rn 7−→ u(n)

Observacao:

Quando se trata de sucessoes e usual substituir a notacao u(n) porun.

sucessoes de numeros reais

Nota: Numa sucessao, a cada imagem chamamos termo dasucessao, enquanto que ao respectivo objecto chamamos ordem dotermo.

A sucessao representa-se por:

(u1, u2, · · · , un, · · · );(un)n∈N;

(un).

Sucessoes de numeros reais

Exemplo Seja un = n + 1.

u1 = 1 + 1 = 2 diz-se o 1o termo da sucessao ou termo deordem 1;

u2 = 2 + 1 = 3 diz-se o 2o termo da sucessao ou termmo deordem 2;...

un = n + 1 diz-se o n-esimo termo da sucessao ou termo deordem n ou termo geral da sucessao.

Termo geral de uma sucessao e uma expressao designatoria, dedomınio N, que gera todos os termos da sucessao.

Conjunto dos termos de uma sucessao

Qualquer sucessao, como aplicacao que e, tem um contradomınio(conjunto das imagens), que no caso das sucessoes efrequentemente designado por conjunto dos termos da sucessao.

Exercıcio Indique o conjunto dos termos da sucessao:

1 un = n;

2 un = (−1)n;

3 un = 4.

Modos de definir uma sucessao

Para determinar (ou referirmo-nos a) uma sucessao, indica-segeralmente uma formula, atraves da qual pode-se obter para cadan ∈ N o correspondente termo de ordem n.

Exemplo: Seja (un) a sucessao definida por:

un =

{5, n par

24+3n , n ımpar

Modos de definir uma sucessao

Evidentemente, a determinacao de uma sucessao pode fazer-se poroutros processos:

Indicam-se alguns termos iniciais considerados suficientes paradeterminar qualquer outro termo.Exemplo: Seja (xn) definida por:

3, 8, 13, 18, · · ·

Por recorrencia.Exemplo: Seja (vn) definida por:

v1 = 0

v2 = 1

vn+2 = vn+1 + vn

Sucessoes Monotonas

Uma sucessao diz-se monotona quando e crescente ou decrescente(em sentido lato ou estrito).

Seja (un) uma sucessao de numeros reais. Diz-se que (un) e:

Crescente ou estritamente crescente ou crescente em sentidoestrito se

un+1 > un,∀n ∈ N ⇐⇒ un+1 − un > 0,∀n ∈ N.

Nao decrescente ou crescente em sentido lato se

un+1 ≥ un,∀n ∈ N ⇐⇒ un+1 − un ≥ 0,∀n ∈ N.

Sucessoes Monotonas

Decrescente ou estritamente decrescente ou decrescente emsentido estrito se

un+1 < un,∀n ∈ N ⇐⇒ un+1 − un < 0,∀n ∈ N.

Nao crescente ou decrescente em sentido lato se

un+1 ≤ un,∀n ∈ N ⇐⇒ un+1 − un ≤ 0,∀n ∈ N.

Exercıcio

Verifique se sao monotonas as sucessoes cujos termos gerais sao:

1 un = nn+1 ;

2 un =

{2n + 1, n par

−n + 3, n ımpar

3 un = (−1)n+2n+1 ;

4 un = 12n+1 .

Sucessao limitada inferiormente

Diz-se que uma sucessao (un) e minorada ou limitadainferiormente se, e so se, o conjunto dos seus termos forminorado, isto e, se existir b ∈ R, tal que

un ≥ b, ∀n ∈ N.

Sucessao limitada superiormente

Diz-se que uma sucessao (un) e majorada ou limitadasuperiormente se, e so se, o conjunto dos seus termos formajorado, isto e, se existir c ∈ R, tal que

un ≤ c , ∀n ∈ N.

Sucessao limitada

Diz-se que uma sucessao (un) e limitada se, e so se, o conjuntodos seus termos for limitado, isto e, se existir a, b ∈ R tais que

a ≤ un ≤ b, ∀n ∈ N.

Exemplo

Prove que sao limitadas as sucessoes definidas por:

1 un = 1 + 1n ;

2 un = (−1)n.

Infimo e supremo de uma sucessao

Se a e minorante de (un) e verificar-se a condicao a ≥ c , sendo cqualquer minorante de (un), entao a e o maior dos minorantes ou oınfimo de (un).

Se b e majorante de (un) e verificar-se a condicao b ≥ d , sendo dqualquer majorante de (un), entao b e o menor dos majorantes ouo supremo de (un).

Subsucessao

Chama-se subsucessao de uma sucessao (un) a toda a sucessaoque se obtem de (un) por supressao de alguns termos.Representa-se por

(u′n) = (un)n∈N′ , com N′ ⊂ N.

Exemplo

Indique duas subsucessoes de cada uma das sucessoes que sesegue:

1 un = n;

2 un = 1+(−1)n

n .

Observacoes

1 Qualquer subsucessao de uma sucessao limitada e limitada.

2 Qualquer subsucessao de uma sucessao monotona e tambemmonotona (crescente ou decrescente consoante a sucessaoconsiderada).

3 De uma sucessao nao monotona e possıvel extrairsubsucessoes monotonas.

4 Toda a sucessao crescente (mesmo em sentido lato) e limitadainferiormente pelo seu primeiro termo.

5 Toda a sucessao decrescente (mesmo em sentido lato) elimitada superiormente pelo seu primeiro termo.

Limite de uma sucessao

Seja (un) uma sucessao de numeros reais e a ∈ R. Diz-se que (un)converge para a ou tende para a ou tem limite a e escreve-se

un → a

se, e so se, para todo o numero real positivo δ, e possıvel obter umnumero natural n0, tal que para n > n0 se tem |un − a| < δ.Simbolicamente:

un → a ⇔ ∀δ > 0, ∃n0 ∈ N : n > n0 ⇒ |un − a| < δ

Nota

Podemos assim verificar que, se lim un = a, entao qualquerintervalo do tipo ]a− δ, a + δ[ contem todos os termos de (un),com excepcao no maximo de um numero finito de termos.

Definicoes

Se o limite e zero, diz-se que (un) e um infinitesimo.

Uma sucessao diz-se convergente se tiver limite finito, isto e,se tender para um numero real.

Uma sucessao diz-se divergente se nao for convergente.

Sucessoes

Classificacao das sucessoes quanto a existencia e natureza dolimite:

sucessao

convergente

divergente

{propriamente divergente

oscilante

Exercıcio

Prove, pela definicao de limite, que lim un =2

3, sendo un = 2n−1

3n+1

Teoremas sobre limites de sucessoes

Teorema 1 (Unicidade do limite)O limite de uma sucessao, quando existe e unico.

Teorema 2Qualquer subsucessao de uma sucessao convergente e tambemconvergente para o mesmo limite.

Corolario 1Se lim un = a, entao

∀k ∈ N, lim un+k = a.

Isto e, o limite de uma sucessao nao se altera, quando se retira umnumero finito de termos.


Teorema 3Toda a sucessao convergente e limitada.

Teorema 4 (Convergencia das sucessoes monotonas)Toda a sucessao monotona e limitada e convergente.

Corolario 1Se (un) e uma sucessao monotona e possui uma subsucessaoconvergente, entao (un) e convergente.


Teorema 5Seja (xn) um infinitesimo e (yn) uma sucessao limitada. Entao asucessao (xn.yn) e um infinitesimo (mesmo que nao exista lim yn)).

NotaEste resultado e referido muitas vezes dizendo-se que “ o produtode um infinitesimo por uma sucessao limitada e um infinitesimo”.


Teorema 6Se lim xn = a e lim yn = b entao:

1 lim (xn + yn) = a + b;

2 lim (xn − yn) = a− b;

3 lim (xn.yn) = ab;

4 lim(

xnyn

)= a

b ;

5 lim p√

xn = p√

lim xn = p√

a;

6 lim |xn| = | lim xn| = |a|.


Teorema 7 (Permanencia do sinal)Se uma sucessao tem limite positivo, entao a partir de uma certaordem todos os seus termos sao positivos.

Nota:Do mesmo modo se prova que se lim xn = b, com b < 0, entao apartir de uma certa ordem, todos os termos xn sao negativos.


Teorema 8 (Passagem ao limite numa desigualdade)Sejam (xn) e (yn) duas sucessoes convergentes. Se xn ≤ yn,∀n ∈ N, entao

lim xn ≤ lim yn.

NotaSupondo xn < yn, ∀n ∈ N, nao podemos garantir quelim xn < lim yn.


Corolario 1Seja (un) uma sucessao convergente. Se un ≥ a, ∀n ∈ N, entaolim un ≥ a.

Nota:Refira-se que se un > a, entao lim un ≥ a.


Teorema 9 (Teorema ou Criterio das Sucessoes Enquadradas)Se (un) e (vn) sao duas sucessoes de numeros reais convergentespara o mesmo limite a e, se a partir de certa ordem, a sucessao(wn) e tal que un ≤ wn ≤ vn, entao lim wn = a.

Exemplo

Recorrendo ao teorema anterior, calcule o limite das sucessoesdefinidas por:

1 wn =4n∑

k=2n

cos2n

n2 + k.

2 wn = 1+sen2(2n)!n+3 .


Lema 1Toda a sucessao limitada possui subsucessoes convergentes.

Limites infinitos

Seja (un) uma sucessao. Diz-se que (un) e um infinitamentegrande positivo, e escreve-se un → +∞ ou lim un = +∞, se

∀L ∈ R+,∃p ∈ N : n > p ⇒ un > L.

ExemploA sucessao de termo geral un = n2.

Limites infinitos

Seja (un) uma sucessao. Diz-se que (un) e um infinitamentegrande negativo, e escreve-se un → −∞ ou lim un = −∞ se, e sose, a sucessao (−un) for um infinitamente grande positivo.

ExemploA sucessao de termo geral un = −n2.

Limites infinitos

Seja (un) uma sucessao. Diz-se que (un) e um infinitamentegrande (sem sinal) ou infinitamente grande em modulo se, eso se, |un| → +∞

ExemploAs sucessoes de termos gerais:

1 un = (−1)n+1n2;

2 un = 3 + (−1)nn.

Teorema

Sejam (xn) e (yn) duas sucessoes de numeros reais.1 Se lim xn = +∞ e (yn) e limitada inferiormente por um

numero positivo, entao lim (xn + yn) = +∞.2 Se lim xn = +∞ e (yn) e limitada inferiormente por um

numero positivo, entao lim (xn.yn) = +∞.3 Se (xn) e uma sucessao de termos positivos, entao

lim xn = 0 ⇔ lim1

xn= +∞.

4 Se (xn) e (yn) sao sucessoes de termos positivos:Se (xn) e limitada inferiormente por um numero positivo elim yn = 0, entao

limxn

yn= +∞.

Se (xn) e limitada superiormente e lim yn = +∞, entao

limxn

yn= 0.

Propriedades algebricas dos limites

lim (xn + yn) = lim xn + lim yn

(Desde que as sucessoes nao tenham simultaneamente limitesinfinitos de sinais contrarios)

lim (xn − yn) = lim xn − lim yn

(Desde que as sucessoes nao tenham simultaneamente limitesinfinitos com o mesmo sinal)

lim (xn.yn) = lim xn. lim yn

(Desde que as sucessoes nao tenham simultaneamente limitenulo e limite infinito)

lim(

xnyn

)= lim xn

lim yn

(Desde que as sucessoes nao tenham simultaneamente limitesnulos ou limites infinitos)


lim |xn| = |lim xn|

lim n√

xn = n√

lim xn, com p ∈ N(Desde que a expressao tenha significado)

lim(xkn

)= (lim xn)

k , desde que para k = 0 lim xn 6= 0 elim xn 6= ∞.

lim (kxn) = k lim xn , desde que para k = 1, lim xn 6= ∞ e parak = 0, lim xn 6= 0.

lim(xynn

)= (lim xn)

lim yn , desde que para1 lim xn = 0, lim yn 6= 0;

2 lim xn = ∞, lim yn 6= 0;

3 lim xn = 1, lim yn 6= ∞.


lim (log xn) = log (lim xn), desde que a expressao tenhasignificado.

lim sen xn = sen lim xn

lim cos xn = cos lim xn

lim tg xn = tg lim xn

lim cotg xn = cotg lim xn

Limite do quociente entre dois polinomios em n

lima0 + a1n + a2n

2 + · · ·+ apnp

b0 + b1n + b2n2 + · · ·+ bqnq=

∞ se p > qap

bqse p = q

0 se p < q

Exemplo: Calcule os seguintes limites:

1 lim3n3 + 5

n2

2 lim5n2 + n + 3

4n2 + 6

3 limn

n2 + 4

Limite da Exponencial

lim an =

∞ se |a| > 11 se a = 16 ∃ se a = −10 se |a| < 1

Exemplo: Calcule

1 lim 2n

2 lim(−1)n

3 lim

(1

2

)n

4 lim

(−1

4

)n

5 lim(−3)n

A sucessao un =(1 + 1

n

)n

A sucessao (un) e estritamente crescente e limitada, pois

2 ≤(

1 +1

n

)n

< 3 , ∀n ∈ N.

Logo, pelo teorema de convergencia das sucessoes monotonas, (un)e convergente, tendo-se

lim

(1 +

1

n

)n

= e

limun→+∞

(1 +

1

un

)un

= e

limun→+∞

(1 +

k

un

)un

= ek

Exemplo

Calcule os seguintes limites:

1 lim

(1 +

2

n

)n+2

2 lim

(1− 9

4n2

)3n

Regras para a determinacao de limites

Consideremos as sucessoes (un) e(

unn

). Demonstra-se que:

lim(un+1 − un) = a ⇒ limun

n= a.

Exemplo: Calcule

limlog(n + 1)

n.


Consideremos as sucessoes (un) com un > 0, ∀n ∈ N, e(

n√

un

).

Demonstra-se que:

limun+1

un= b ⇒ lim n

√un = b.

Exemplo: Calcule

1 lim n√

n + 1;

2 lim1

nn√

n!.


Demonstra-se que se (un) e uma sucessao convergente, entao

lim un = k ⇒ limu1 + u2 + · · ·+ un

n= k.

Exemplo: Calcule

1 lim1

n

(1

2+

1

4+

1

6+ · · ·+ 1

2n

);

2 lima1 + a2 + · · ·+ an

n, com an = 3n2−1

n2+1.


Demonstra-se que se (un) e uma sucessao convergente e un > 0,∀n ∈ N, entao

lim un = r ⇒ lim n√

u1.u2. . . . .un = r

ExemploCalcule:

1 limn

√1

2

3

4

5

6. . .

2n − 1

2n;

2 lim n

√(1 +

1

1

) (1 +

1

2

). . .

(1 +

1

n

)


Sejam (un) e (vn) duas sucessoes reais com (vn) sucessaocrescente. Demonstra-se que

limun+1 − un

vn+1 − vn= m ⇒ lim

un

vn= m.

Exemplo: Calcule

1 limlog n

n;

2 lim3n2 + 2

log n;

3 lim

∑ni=1

√2i∑n

i=1

√2i − 1

;


A exponencial de base maior do que 1 evolui mais rapidamente doque qualquer potencia do seu expoente.

limaun

(un)k

= ∞, com un → +∞ e a > 1

lim(un)

k

aun= 0, com un → +∞ e a > 1

Exemplo

Calcule, se existirem, os seguintes limites:

1 limen

n;

2 lime−n

−n;

3 lim5n+2

(n + 2)100;

4 lim(3n + 4)10

63n+4;


Os numeros evoluem mais rapidamente do que qualquer potenciados seus logarıtmos.

limn

(log n)k= ∞

lim(log n)k

n= 0

Generalizacao:

limun

(log un)k= ∞, com un →∞ e un > 0

lim(log un)

k

un= 0, com un →∞ e un > 0

Exemplo

Calcule

1 limlog(n + 1)

n + 1;

2 lim(log n)5

n;

3 limn6 + 1)

[log (n6 + 1)]2.


limun→0

sen un

un= 1

limun→0

tg un

un= 1

Exemplo Calcule

1 lim n2sen1

n2;

2 limtg

(12

)n(12

)n .


lim yn(xn − 1) = k ⇒ lim(xn)yn = ek

(so serve para indeterminacoes do tipo 1∞)

Exemplo: Calcule

lim

(log(n + 1)

log n

)n

.

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