Primitivacao

Maria do Carmo Martins

Novembro de 2006

Primitiva

Seja I um intervalo de R e f : I → R nao degenerado (isto e, commais de um ponto). Diz-se que F e uma primitiva de f em I seF : I → R e tal que

F ′(x) = f (x), ∀x ∈ I .

Nestas condicoes, diz-se que f e primitivavel.

Exemplo

A funcao F (x) = x3

3 e uma primitiva de f (x) = x2 em R, pois paracada x ∈ R,

F ′(x) =3x2

3= x2.

Notemos que esta nao e a unica primitiva de f em R.Efectivamente, sendo c uma constante a funcao F (x) + c = x3

3 + ce tambem ma primitiva de f , pois

[F (x) + c]′ = F ′(x) + 0 = f (x), ∀x ∈ R.

Observacao

Seja I um intervalo de R, f : I → R e c ∈ R. Se F e uma primitivade f em I , entao F + c e tambem uma primitiva de f em I .Conclui-se deste modo que, se f admite uma primitiva em I , entaoadmite uma infinidade de primitivas em I . O problema daPrimitivacao e assim um problema indeterminado.

Observacao

Se F1 e F2 sao suas primitivas de f em I , entao

[F1 − F2]′ = F ′

1 − F ′2 = f − f = 0.

Assim, F1 − F2 e uma funcao constante em I . Portanto, sendo Fuma primitiva de f em I , entao todas as primitivas de f em I saoda forma F + c , com c ∈ R. Diz-se que,

F (x) + c

e a expressao geral das primitivas de f nesse intervalo, sendo cuma constante.

Observacao

Notemos que nem toda a funcao e primitivavel. Por exemplo, afuncao de Heaviside h : R → R definida por

h(x) =

{0, se x < 0

1, se x ≥ 0

nao e primitivavel em R, uma vez que se o fosse, qualquerprimitiva H restringida ao intervalo ]−∞, 0[ seria da forma x + c ,com c ∈ R. Por outro lado, tambem a restricao de H ao intervalo]0,+∞[ seria da forma k, com k ∈ R. Portanto,

Observacao - continuacao

H(x) =

{k, se x < 0

x + c , se x ≥ 0.

Como facilmente se verifica, a funcao H nao tem derivada emx = 0 independentemente do valor dado a H(0). Assim, H nao euma primitiva de h em R, pelo que h nao e primitivavel.

Notacao

sendo f uma funcao primitivavel (num dado intervalo que muitasvezes nao sera necessario especificar) usaremos o sımbolo∫

f ou

∫f (x) dx ,

para designar o conjunto de todas as primitivas de f (no intervaloconsiderado). Assim, pelo que ja foi dito∫

f (x) dx = F (x) + c , com c ∈ R.

Primitivacao Imediata

Como ja foi referido, a operacao de primitivacao e inversa da dederivacao. Isto significa que, as regras de primitivacao sao obtidasinvertendo-se as de derivacao. As primitivas que sao determinadasaplicando simplesmente essas regras sao denominadas porprimitivas imediatas. Vejamos alguns exemplos:

Funcao Constante

∫k dx = kx + c , com k constante, para todo o x ∈ R.

Exemplo:

1∫

2 dx = 2x + c ;

2∫−√

5 dx = −√

5x + c .

Potencia

∫xm dx = xm+1

m+1 + c , com m ∈ R \ {−1}, para todo o x ∈ R+.

Generalizacao: ∫f m(x) f ′(x) dx =

f m+1(x)

m + 1+ c ,

para m ∈ R \ {−1}, em qualquer intervalo de R onde f ediferenciavel e f (x) > 0.

Exemplo

1∫

x5 dx = x6

6 + c ;

2∫

(x2 + 5)3 2x dx = (x2+5)4

4 + c .

Logarıtmo

∫1x dx = log |x |+ c , em qualquer intervalo de R que nao contenha

o ponto x = 0.

Generalizacao: ∫f ′(x)

f (x)dx = log |f (x)|+ c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e f (x) 6= 0.

Exemplo

1∫

(5 + x)−1 dx = log |5 + x |+ c ;

2∫

ex+6

1+ex dx = e6 log(1 + ex) + c ;

3∫

1x log x dx = log | log x |+ c .

Exponencial de base e

∫ex dx = ex + c ,

para todo o x ∈ R.

Generalizacao: ∫ef (x)f ′(x) dx = ef (x) + c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel.

Exemplo

1∫

e4x dx = 14e4x + c ;

2∫

ex3 dx = 3e

x3 + c .

Exponencial

∫ax dx =

ax

log a+ c ,

com a ∈ R+ \ {1}, para todo o x ∈ R.

Generalizacao: ∫af (x)f ′(x) dx =

af (x)

log a+ c ,

com a ∈ R+ \ {1}, em qualquer intervalo de R onde f ediferenciavel.

Exemplo

1∫

5x dx = 5x

log 5 + c ;

2∫−23x dx = − 23x

3 log 2 + c .

Funcao Cosseno

∫cos x dx = sen x + c ,

para todo o x ∈ R.

Generalizacao:∫f ′(x) cos f (x) dx = sen f (x) + c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel.

Exemplo

1∫

x2 cos x3 dx = 13sen x3 + c ;

2∫

2x cos 2x dx = 1log 2sen 2x + c .

Funcao Seno

∫sen x dx = − cos x + c ,

para todo o x ∈ R.

Generalizacao:∫f ′(x) sen f (x) dx = − cos f (x) + c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel.

Exemplo

1∫ sen ( arctgx)

1+x2 dx = − cos(arctg x) + c ;

2∫ sen (

√x3+3x)√

x3+3xdx = −2

3 cos(√

x3 + 3x) + c .

Secante ao quadrado

∫sec2 x dx = tg x + c ,

em qualquer intervalo de R que nao contenha pontos π2 + kπ com

k ∈ Z.

Generalizacao:∫f ′(x) sec2 f (x) dx = tg f (x) + c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e cos f (x) 6= 0.

Exemplo

1∫

2x+1cos2(x2+x)

dx = tg (x2 + x) + c ;

2∫

e3x sec2(e3x) dx = 13tg (e3x) + c .

Cossecante ao quadrado

∫cosec 2x dx = −cotg x + c ,

em qualquer intervalo de R que nao contenha nenhum dos pontoskπ com k ∈ Z.

Generalizacao:∫f ′(x)cosec 2f (x) dx = −cotg f (x) + c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e sen f (x) 6= 0.

Exemplo

1∫

1sen 2(8x)

dx = −18cotg (8x) + c ;

2∫ cosec 2(

√x)√

xdx = −2cotg (

√x) + c .

Secante tangente

∫sec x tg x dx = sec x + c .

Generalizacao:∫f ′(x) sec f (x) tg f (x) dx = sec f (x) + c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e cos f (x) 6= 0.

Exemplo

1∫

sec(4x)tg (4x) dx = 14 sec(4x) + c ;

2∫ sen (

√x)√

x cos2(√

x)dx = 2 sec(

√x) + c .

Cossecante cotangente

∫cosec x cotg x dx = −cosec x + c .

Generalizacao:∫f ′(x) cosec f (x) cotg f (x) dx = −cosec f (x) + c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e sen f (x) 6= 0.

Exemplo

1∫

x cosec (x2) cotg (x2) dx = −12cosec (x2) + c ;

2∫ cosec (

√x) cotg (

√x)√

xdx = −2cosec (

√x) + c .

Cotangente

∫cos xsen x dx =

∫cotg x dx = log |sen x |+ c .

Generalizacao:∫f ′(x) cotg f (x) dx = log |sen f (x)|+ c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e sen f (x) 6= 0.

Exemplo

1∫

dxtg x

5= 5 log |sen x |+ c ;

2∫ x3sen (x4)

cos x4 dx = 14 log |sen (x4)|+ c .

Tangente

∫sen xcos x dx =

∫tg x dx = − log | cos x |+ c .

Generalizacao:∫f ′(x) tg f (x) dx = log | cos f (x)|+ c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e cos f (x) 6= 0.

Exemplo

1∫ tg (

√x)

√x

dx = −2 log | cos(√

x)|+ c ;

2∫

xtg (x2 + 1) dx = −12 log | cos(x2 + 1)|+ c .

Secante

∫sec x dx = log | sec x + tg x |+ c

= log∣∣∣tg (π

4+

x

2

)∣∣∣ + c ,

em qualquer intervalo de R que nao contenha nenhum dos pontosπ2 + kπ com k ∈ Z.

Generalizacao:∫f ′(x) sec f (x) dx = log | sec f (x) + tg f (x)|+ c

= log

∣∣∣∣tg (π

4+

f (x)

2

)∣∣∣∣ + c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e cos f (x) 6= 0.

Cossecante

∫cosec x dx = log |cosec x − cotg x |+ c

= log∣∣∣tg (x

2

)∣∣∣ + c ,

em qualquer intervalo de R que nao contenha nenhum dos pontoskπ com k ∈ Z.

Generalizacao:∫f ′(x)cosec f (x) dx = log |cosec f (x)− cotg f (x)|+ c

= log

∣∣∣∣tg (f (x)

2

)∣∣∣∣ + c ,

em qualquer intervalo de R onde f e diferenciavel e sen f (x) 6= 0.

Cosseno hiperbolico

∫cosh x dx = senh x + c .

Generalizacao:∫f ′(x) cosh f (x) dx = senh f (x) + c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.

Exemplos

1∫ cosh 1

x3

x4 dx = −13senh 1

x3 + c ;

2∫

2x cosh 2x dx = 1log 2senh 2x + c .

Seno hiperbolico

∫senh x dx = cosh x + c .

Generalizacao:∫f ′(x)senh f (x) dx = cosh f (x) + c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.

Exemplos

1∫

1cosech 3√x

x−23 dx = 3 cosh 3

√x + c ;

2∫ log x senh (log2 x)

x dx = 12 cosh(log2 x) + c

Secante hiperbolica

∫sech 2x dx = tgh x + c .

Generalizacao:∫f ′(x) sech 2f (x) dx = tgh f (x) + c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.

Exemplos

1∫

1√x cosh2 √x

dx = 2tgh√

x + c ;

2∫

x sech 2(x2) dx = 12tgh (x2) + c

Cossecante hiperbolica

∫cosech 2x dx = −cotgh x + c , para todo o x ∈ R \ {0}.

Generalizacao:∫f ′(x) cosech 2f (x) dx = −cotgh f (x) + c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel e senh f (x) 6= 0.

Exemplos

1∫

cosech 2(2x) dx = −12cotgh (x2) + c ;

2∫

1√xsenh 2

√x

dx = −2cotgh√

x + c ;

Secante tangente

∫sech x tgh x dx = −sech x + c .

Generalizacao:∫f ′(x) sech f (x) tgh f (x) dx = −sech f (x) + c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.

Exemplos

1∫− senh (x+1)

cosh2 x+1dx = sech (x + 1) + c ;

2∫

5x sech (5x) tgh (5x) dx = − 1log 2sech (5x) + c .

Cosecante cotangente

∫cosech x cotgh x dx = −cosech x + c , para todo o x ∈ R \ {0}.

Generalizacao:∫f ′(x) cosech f (x) cotgh f (x) dx = −cosech f (x) + c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel e senh f (x) 6= 0

Exemplos

1∫−cotgh (sen 2x)cosech (sen 2x) dx = −1

2cosech (sen 2x)+ c ;

2∫

cosh 6xsenh 26x

dx = −16cosech 6x + c .

cotangente hiperbolica

∫cosh xsenh x dx =

∫cotgh x dx = log |senh x |+ c , para todo o

x ∈ R \ {0}.

Generalizacao:∫f ′(x) cotgh f (x) dx = log |senh f (x)|+ c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel e senh f (x) 6= 0.

Exemplos

1∫

dxtgh x

5= 5 log |senh x |+ c ;

2∫ x3senh (x4)

cosh x4 dx = 14 log |senh (x4)|+ c .

Tangente hiperbolica

∫senh xcosh x dx =

∫tgh x dx = log | cosh x |+ c .

Generalizacao:∫f ′(x) tgh f (x) dx = log | cosh f (x)|+ c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.

Exemplos

1∫ tgh (

√x)√

xdx = 2 log | cosh(

√x)|+ c ;

2∫

xtgh (x2 + 1) dx = 12 log | cosh(x2 + 1)|+ c .

secante hiperbolica

∫sech x dx = arctg (senh x) + c

= 2arctg ex + c .

Generalizacao:∫f ′(x)sech f (x) dx = arctg f (x) + c

= 2arctg ef (x) + c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel

Cossecante hiperbolica

∫cosech x dx = log

∣∣∣tghx

2

∣∣∣ + c

= −2arccotgh ex + c

= log(cosech x − cotgh x) + c

Generalizacao:∫f ′(x) cosech x dx = log

∣∣∣∣tghf (x)

2

∣∣∣∣ + c

= −2arccotgh ef (x) + c

= log (cosech f (x)− cotgh f (x)) + c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel e senh f (x) 6= 0.

∫1√

1−x2dx = arcsen x + c , para todo o x ∈]− 1, 1[.

Generalizacao:

∫ f ′(x)√1−f 2(x)

dx = arcsen f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e

diferenciavel e |f (x)| < 1.

Exemplos

1∫

ex√

1−4ex dx = 12arcsen (2ex) + c .

2∫

3x√16−25x4

dx = 310arcsen (5x2

4 ) + c ;

∫1√

1−x2dx = − arccos x + c , para todo o x ∈]− 1, 1[.

Generalizacao:

∫ f ′(x)√1−f 2(x)

dx = − arccos f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e

diferenciavel e |f (x)| < 1.

∫1

1+x2 dx = arctg x + c .

Generalizacao:

∫ f ′(x)1+f 2(x)

dx = arctg f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e

diferenciavel.

Exemplo

∫5x

9+x4 dx = 56arctg x2

3 + c .

∫1

1+x2 dx = −arccotg x + c .

Generalizacao:

∫ f ′(x)1+f 2(x)

dx = −arccotg f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e

diferenciavel.

∫1√

1+x2dx = arcsenh x + c , para todo o x ∈ R.

Generalizacao:

∫ f ′(x)√1+f 2(x)

dx = arcsenh f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e

diferenciavel.

Exemplos

1∫

ex√

1+4ex dx = 12arcsenh (2ex) + c .

2∫

3x√16+25x4

dx = 310arcsenh (5x2

4 ) + c ;

∫1√

x2−1dx = arccosh x + c , para todo o x ≥ 1.

Generalizacao:

∫ f ′(x)√f 2(x)−1

dx = arccosh f (x) + c , em qualquer intervalo onde f e

diferenciavel.

Exemplos

1∫

ex√

4ex−1dx = 1

2arccosh (2ex) + c .

2∫

3x√25x4−16

dx = 310arccosh (5x2

4 ) + c ;

∫1

1− x2dx = arctgh x + c

= arccotgh x + c

Generalizacao:

∫f ′(x)

1− f 2(x)dx = arctgh f (x) + c

= arccotgh f (x) + c ,

em qualquer intervalo onde f e diferenciavel.

Exemplo

∫5x

9− x4dx =

5

6arctgh

x2

3+ c

=5

6arccotgh

x2

3+ c .

Observacao

Seja m ∈ N. Se f1, f2, . . . , fm sao m funcoes primitivaveis numintervalo I , entao qualquer combinacao linear k1f1 + · · ·+ kmfm,(com k1, . . . , km ∈ R), tambem e primitivavel em I , tendo-se∫

(k1f1 + · · ·+ kmfm) dx = k1

∫f1 dx + · · ·+ km

∫fm dx .

Exemplo

∫ (x2

1 + x3+

x√4 + x2

)dx =

∫x2

1 + x3dx +

∫x√

4 + x2dx

=1

3

∫3x2

1 + x3dx +

∫x(4 + x2)−

12 dx

=1

3log |1 + x3|+ 1

2

∫2x(4 + x2)−

12 dx

=1

3log |1 + x3|+ (4 + x2)−

12+1

−12 + 1

+ c

=1

3log |1 + x3|+

√4 + x2 + c