aulas de estatística

5/20/2018 Aulas de Estat stica

1/230


2/230

EMENTA DO CURSO

1.0 PORQUE ESTATSTICA?

2.0 PROBABILIDADE: BINOMIAL E POISSON

3.0 A DISTRIBUIO NORMAL

4.0 INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIA

5.0 ANLISE DE REGRESSO SIMPLES

6.0 ANLISE DE REGRESSO MLTIPLA

7.0 DATA MINING (MINERAO DE DADOS)

8.0 RVORES DE DECISO


3/230

1 0 PORQUE ESTATSTICA?

A estatstica utiliza teorias e distribuies de

probabilidades para entender e descrever a

ocorrncia de eventos, atravs da observao direta

de fenmenos ou atravs da realizao de

experimentos, buscando descrever modelos

matemticos que considerem a aleatoriedade e a

incerteza dos resultados, estimando ou prevendo

fenmenos futuros, conforme o caso.


4/230

Estatstica a cincia que se ocupa de coletar,

organizar, analisar e interpretar dados para que se

tomem decises.

A estatstica a arte de torturar os nmeros at que

eles confessem. E eles sempre confessam.


5/230


6/230

Um dos pontos principais da estatstica a coleta,

anlise e interpretao de dados, bem como tirar

concluses sobre as caractersticas das fontes de

onde estes dados foram retirados, para melhor

compreender as situaes.


7/230


8/230

O escritor H. G. Wells (1866-1945) disse que "no futuro,

o pensamento estatstico ser to necessrio para a

cidadania eficiente como saber ler e escrever."

Pois bem, estamos hoje no futuro de H. G. Wells e de

fato para compreendermos o mundo temos que saber

estatstica


9/230

Leonard Milodnow publicou seu mais recente livro O

Andar do

Bbado

um tratado sobre estatstica e

aleatoriedade, mostrando, atravs de exemplos

divertidos do cotidiano, o poder do acaso em reas da

nossa vida que vo de jogar futebol, conseguir

emprego e receber um diagnstico mdico.

O caso do acertador

aleatrio

da loteria que sonhou 7

dias com o nmero 7 e a 7 X 7 = 48 que estava no

final do nmero vencedor


10/230

1.1 A REGRESSO MDIA

Muitas

vezes elogiei entusiasticamente meus alunos por manobras

areas muito bem executadas, e na vez seguinte sempre se

saram

pior,

disse o instrutor de voo.

E

j gritei com eles por

manobras mal executadas, e geralmente melhoraram na vez

seguinte. No venha me dizer que a recompensa funciona e a

punio no. Minha experincia contradiz essa ideia.

Os outros

instrutores concordaram. Para Kahneman, a experincia deles

parecia genuna. Por outro lado, ele acreditava nos experimentos

com animais que demonstravam que a recompensa funcionava

melhor que a punio. Ele meditou sobre esse aparente

paradoxo. E ento se deu conta: os gritos precediam a melhora,

porm, ao contrrio do que parecia, no a causavam.


11/230

A resposta se encontra num fenmeno chamado

regresso mdia. Isto , em qualquer srie de

eventos aleatrios, h uma grande probabilidade de

que um acontecimento extraordinrio seja seguido,

em virtude puramente do acaso, por um

acontecimento mais corriqueiro.


12/230


13/230


14/230


15/230

1.2 TIPOS DE VARIVEIS E SEUS DADOS GERADOS

Varivel a caracterstica de interesse que medida em cada

elemento da amostra ou populao. Como o nome diz, seus

valores variam de elemento para elemento. As variveis podem

ter valores numricos ou no numricos.

Populao um conjunto de elementos que possuem ao menos

uma caracterstica comum entre si.


16/230

Variveis Quantitativas: so as caractersticas que podem ser medidas em

uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numricos que

fazem sentido. Podem ser contnuas ou discretas.

Variveis contnuas: caractersticas mensurveis que assumem valores em

uma escala contnua (na reta real), para as quais valores fracionais

fazem sentido. Usualmente devem ser medidas atravs de algum

instrumento. Exemplos: peso (balana), altura (rgua), tempo (relgio),

presso arterial, idade.

Variveis discretas: caractersticas mensurveis que podem assumir

apenas um nmero finito ou infinito contvel de valores e, assim,

somente fazem sentido valores inteiros. Geralmente so o resultado de

contagens. Exemplos: nmero de filhos, nmero de bactrias por litro de

leite, nmero de cigarros fumados por dia.


17/230

Variveis Qualitativas (ou categricas): so as caractersticas que

no possuem valores quantitativos, mas, ao contrrio, so

definidas por vrias categorias, ou seja, representam uma

classificao dos indivduos. Podem ser nominais ou ordinais.

Variveis nominais: no existe ordenao dentre as categorias.

Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/no fumante,

doente/sadio.

Variveis ordinais: existe uma ordenao entre as categorias.

Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), estgio da doena

(inicial, intermedirio, terminal), ms de observao (janeiro,

fevereiro,..., dezembro).


18/230


19/230

Entretanto, ao se aplicar tcnicas estatsticas de anlise de dados,

variveis contnuas podem ser representadas por distribuies

contnuas, sendo a distribuio mais comumente utilizada a distribuio

normal (em funo do teorema do limite central).

E no caso das variveis discretas, nominais e ordinais,utilizam-se com mais

frequncia as distribuies de dados discretos, como a distribuio

Binomial e a distribuio de Poisson.


20/230

1.3 QUANTIFICANDO DADOS CONTNUOS

As mtricas mais comuns de quantificao de dados contnuos so

a mdiae o desvio padro.

A mdia d uma medida da posio central dos dados, enquanto

que o desvio padro d uma medida de disperso, isto , o

quanto esses dados esto agrupados ou espalhados em torno

da mdia.


21/230


22/230

Observe a figura a seguir. Considere que os quadrados azuis representam

pesos iguais, distribudos em uma fina rgua de metal.

Agora tente encontrar o ponto de equilbrio dessas rguas. Em que posio

da rgua est o ponto de equilbrio de cada rgua?


23/230

Entretanto, observando esses grupos de dados, podemos facilmente concluir

que eles so diferentes, apesar de todos terem o mesmo valor de mdia. E

essa diferena est relacionada com o espalhamento (ou disperso) dos

dados. Tomando-se como referncia o seu

ponto

de equilbrio

foi

elaborada uma forma de medir essa disperso, atravs do clculo MDIO da

disperso em torno da mdia.

A somatria desses desvios em torno da mdia (elevados ao quadrado) e

posteriormente divididos pelo nmero de dados chamada de varincia.

Ao extrair a raiz quadrada desse resultado, tm-se o desvio padro. O

resumo desses clculos:


24/230

Atravs desses clculos pode-se verificar que o desvio padro pode ser visualizado

como uma mdia dos desvios dos dados em torno do ponto mdio dos dados.


25/230

Tm-se ento a definio dessas 2 medidas de dados contnuos, concebidas de

forma bastante intuitiva, para representar essas caractersticas bsicas de um

determinado grupo de dados contnuos.


26/230

1.4 AMOSTRANDO DADOS CONTNUOS

Uma das principais finalidades de representar dados de forma resumida

poder condensar a informao de uma populao inteira em poucos

valores.

Esse raciocnio deu origem a amostragem, e para tal uma notao

matemtica especfica foi desenvolvida, como mostrada a seguir.

Basicamente utilizam-se caracteres gregos para representar todos os dados

(ou populao) e algarismos romanos para representar a poro de

dados que foi observada desse todo (amostra).


27/230


28/230

1.5 ESTATSTICA DESCRITIVA DE DADOS CONTNUOS

A estatstica descritiva um ramo da estatstica dedicada a aplicao de

vrias tcnicas que objetivam descrever e resumir um conjunto de

dados.

Sua diferena da estatstica inferencial, ou indutiva que a estatstica

descritiva busca organizar e resumir os dados, o que pode ser encarado

como o passo inicial para o entendimento das caractersticas da

populao.


29/230


30/230

Considerando os dados das medidas de espessura de uma pea

apresentados nessa figura, pode-se obter uma estatstica descritiva

completa dos dados.

Como os dados apresentados so contnuos, alm de informaes

referentes a sua posio e disperso, alguns indicadores relacionados

com o formato da distribuio so considerados, como a Curtose e a

Assimetria.


31/230

1.6 EXERCCIOS

Classifique as variveis em qualitativa (nominal ou ordinal) ou quantitativa

(contnua ou discreta):

i. Populao: alunos de uma Universidade.

Varivel: cor dos cabelos (louro, castanho, ruivo, preto)

ii. Populao: funcionrios de uma empresa.

Varivel: escolaridade (E.Fund., E.Mdio, E.Sup., Ps-Grad.)

iii. Populao: peas produzidas por certa mquina.

Varivel: dimetro externo 2mm x 4mm

)

iv. Populao: estao meteorolgica de uma cidade.

Varivel: precipitao pluviomtrica, durante um ano. 250mm x

300mm )

v. Populao: Bolsa de Valores de So Paulo.

Varivel: nmero de aes negociadas. (0,1,2,3,..)

vi. Populao: pregos produzidos por uma mquina.

Varivel: comprimento. 1,5cm x 2,8cm )

vii. Populao: aparelhos produzidos em uma linha de montagem.

Varivel: nmero de defeitos por unidade. (0,1,2,3,..)


32/230

Observe as variveis constantes na planilha abaixo. Em seguida, assinale a alternativa que

identifica as variveis de acordo com sua classificao.

a) grau de instruo, funo, salrio, estado civil, gnero, idade, nmero de filhos, moradia.

b) naturalidade, grau de instruo, funo, salrio, idade, nmero de filhos, moradia.

c) naturalidade, grau de instruo, funo, salrio, estado civil, gnero, idade, moradia.

d) salrio, estado civil, gnero, idade, nmero de filhos, moradia.

e) naturalidade, grau de instruo, funo, estado civil, gnero, moradia.


33/230

Estatstica descritiva:

Em uma Tabela anote a altura de todos os alunos da sala de aula.

Em seguida faa uma Estatstica Descritiva desses dados.


34/230


35/230


36/230


37/230


38/230

2.0 PROBABILIDADE

A histria da teoria das probabilidades se deu juntamente com o inicio dos

jogos de cartas, dados e de roleta. Por essa razo, muitos exemplos de

probabilidade so relacionados e esses tipos de jogos. Os estudos de

probabilidade possibilitam o calculo da chance de ocorrncia de certo

resultado especfico de um

espao

amostral

em um evento chamado

experimentoaleatrio.

Experimento Aleatrio

aquele experimento que, quando repetido em

iguais condies, podem fornecer resultados diferentes (dentro de um

espao amostral), ou seja, so resultados explicados ao acaso.

Espao Amostral

o conjunto de todos os resultados possveis de um

experimento aleatrio.


39/230

2.1 O PROBLEMA DE MONTY HALLA questo a seguir, proposta originalmente por Marilyn Vos Savant, escritora e

colunista da revista Parade estadunidense, que em 9 de setembro de 1990,

talvez tenha se tornado o caso mais conhecido envolvendo sua coluna.

Suponha que voc esteja em um game show, e dada a voc a escolha de trs

portas. Atrs de uma porta est um carro, atrs das outros, cabras. Voc escolhe

uma porta, por exemplo, a No. 3. O anfitrio, que sabe o que est por trs das

portas, abre a porta No. 1, que tem uma cabra. E ele pergunta: Voc quer

escolher a porta No. 2? vantajoso mudar a sua escolha de porta?


40/230

Marilyn Vos Savant respondeu argumentando que a seleo deve ser trocar para a

porta No. 2 porque ela tem 2/3 de chance de sucesso, enquanto a porta No. 3

tem apenas 1/3. Esse clculo utiliza uma forma elementar do cmputo de

probabilidade:

Esta resposta provocou cartas de milhares de leitores, quase todas argumentando

que as portas No. 2 e No. 3 cada um tem uma chance igual de sucesso. Uma

coluna de sequncia reafirmando sua posio serviu apenas para intensificar o

debate e logo se tornou um artigo na primeira pgina do The New York Times.

Entre as fileiras dos argumentos contrrios quase mil PhDs escreveram cartas, e

muitos deles eram professores de matemtica e pareciam especialmente irados.

Um desses, que trabalhava no Instituto de Pesquisa do Exrcito dos Estados

Unidos afirmou:


41/230

Mas o fato que Marilyn estava certa, como pode ser visto no quadro a

seguir.

Considere que o participante sempre escolhe inicialmente a porta 2 e o

apresentador abre uma das outras 2 portas, eliminando-a. A

probabilidade de ganhar maior se fora dotada a estratgia de mudar

de opinio.

Esse acontecimento ilustra muito bem a nossa falta de capacidade de

julgar apropriadamente sobre probabilidades se no houver um

entendimento claro do espao amostral, bem como a estratgia do

experimento realizado.

2 2 EXEMPLO DE ESPAO AMOSTRAL E


42/230

2.2 EXEMPLO DE ESPAO AMOSTRAL EDISTRIBUIO DE PROBABILIDADES

Considere o experimento de lanamento de dados de forma aleatria. Todas os

possveis resultados do lanamento de 1 dado so mostrados na tabela a seguir,

comas suas respectivas probabilidades.


43/230

Considerando que o dado no est viciado, de se esperar que o resultado dos

lanamentos resulte na seguinte distribuio de probabilidades:


44/230

2.3 O CASO DAS PROBABILIDADES METEREOLGICASIke: Contagem Regressiva para o Dia D um filme histrico retratando os 90 dias que

antecederam a Invaso da Normandia em 4 de junho de 1944, durante a Segunda

Guerra Mundial. O filme enfatiza as decises estratgicas e relaes polticas de

Dwight Eisenhower, comandante supremo das foras Aliadas para batalhas europeias.

Destacam-se no filme as relaes com o ento primeiro-ministro ingls Winston Churchill,

com o general americano George S. Patton, com o general britnico Bernard

Montgomery e com o presidente francs Charles de Gaulle. Dwight Ike Eisenhower

interpretado por Tom Selleck e a grande qualidade do filme demonstrar o drama de

um homem com o poder de colocar milhes de vidas em risco, bem como as

dificuldades de organizar diferentes estratgias militares em uma mesma operao.

Apesar de se ter conhecimento que as foras armadas so grandes utilizadores de

estudos estatsticos, pode-se notar neste filme em particular como inmeras

informaes so tratadas com muita seriedade, em funo da seriedade das suas

consequncias.

Destaque especial pode ser dado a cena onde o protagonista pergunta ao responsvel

pelo comunicado de informaes referentes ao clima. Ao ouvir que h a uma

possibilidade metereolgica, Eisenhower retruca que no pode tomar decises

baseadas em possibilidades. Ele enfatiza que sejam reportadas a cada hora as

probabilidades metereolgicas que o permitam decidir sobre o desembarque na

Normandia, fator crucial para o sucesso da misso e da guerra.

Destaque especial pode ser dado a cena onde o protagonista pergunta ao


45/230

responsvel pelo comunicado de informaes referentes ao clima. Ao ouvir que

h a uma possibilidade metrolgica, Eisenhower retruca que no pode tomar

decises baseadas em possibilidades.Ele enfatiza que sejam reportadas a cada

hora as probabilidades metrolgicas que o permitam decidir sobre o

desembarque na Normandia, fator crucial para o sucesso da misso e da guerra.

2 4 QUANTIFICANDO DADOS DISCRETOS E


46/230

2.4 QUANTIFICANDO DADOS DISCRETOS EQUALITATIVOSFrequentemente temos a necessidade de analisar dados oriundos de

situaes onde os dados gerados so discretos ou qualitativos, tambm

chamados de dados categricos, onde sua escala pode ser ordinal,

nominal, ou simplesmente nmeros inteiros.

Dados discretos podem ser representados por quantidades, bem como

taxas, ndices ou probabilidades, que podem ser representadas atravs

de determinadas distribuies.

As distribuies comumente utilizadas para representar dados discretos

so a distribuio Binomial e a distribuio de Poisson.


47/230

2.4.1 A DISTRIBUIO BINOMIAL

A Distribuio Binomial uma distribuio discreta mostrando a probabilidade de um

evento que pode assumir dois valores. (Exemplo: Cara ou coroa de uma moeda,

PASSA/NO PASSA, produtos bons / defeituosos). As seguintes condies devem ser

satisfeitas para que se aplique a distribuio binomial:

1. Experimento Bernoulli - O resultado do experimento pode assumir somente dois valores,

como o lanamento de uma moeda.

2. Igualdade dos Experimentos - Uma srie de experimentos feita sob as mesmas

condies.

3. Independncia dos Experimentos - O resultado de um experimento no influencia nem

influenciado por outros.

4. Igualdade de Probabilidades - A probabilidade do resultado de um experimento a

mesma probabilidade do mesmo resultado em qualquer outro experimento.


48/230

Os parmetros da distribuio Binomial so:

X = Nmero de resultados esperados aps n experimentos.

(x pode assumir os valores 0, 1, 2, 3, ..., n)

n = Nmero de experimentos

p = probabilidade do resultado esperado de cada experimento individualmente

Exemplo:

Suponha que um hospital possui um ndice de absentesmo (faltas dos funcionrios)

de 5%. Qual a probabilidade de que, em uma visita surpresa, o responsvel

pelo hospital encontre presentes todos os funcionrios de um grupo de 10,

escolhidos aleatoriamente?


49/230

n = 10 ; x = 0 ; p = 0,0 5; P(x=0) = ?

Resposta: A probabilidade de se no encontrar nenhum

funcionrio ausente de 59,87%.


50/230

Calculando o valor da probabilidade de outros valores de x temos o resultado

apresentado na tabela a seguir:

De acordo com os valores apresentados acima, o grfico da distribuio de

probabilidades binomial desse evento pode ser observado a seguir.:


51/230

Pode-se notar que, sendo uma distribuio discreta, no h valores

de probabilidade entre os valores inteiros do eixo X.

De forma alternativa, pode-se responder a pergunta:

Qual a probabilidade de, nesse grupo de 10 funcionrios, ao

menos 1 estar ausente?

Nesse caso, procura-se a probabilidade P(x>0), que por ser uma

distribuio discreta, o mesmo valor de P(x>1).

Sendo P(x=0)=0,5987 pode-se encontrar P(x>0) da seguinte forma:

P(x > 0) = 1 P(x=0) = 1 0,5987 = 0,4013 40,13%

Pode-se ento concluir que, ao fazer essa visita surpresa, a probabilidade

de se encontrar algum funcionrio ausente, em uma amostra de 10,

de aproximadamente 40%.


52/230

Em estudos estatsticos, normalmente toma-se decises com base em um

valor de probabilidade igual ou superior a 80%.

Nesse caso, sugere-se que haja um aumento no tamanho da amostra para

uma lista de 32 funcionrios, o que daria o seguinte resultado:

P(x = 0) = 0,1937 P(x > 0) = 0,8063


53/230

2.4.2 A DISTRIBUIO DE POISSON

A Distribuio de Poisson uma distribuio discreta mostrando a

probabilidade de um nmero de ocorrncias de um evento em um

intervalo.

Alguns Exemplos:

Nmero de clientes chegando loja, por hora;

Nmero de acidentes de trnsito, por dia;

Nmero de acertos de passes de um jogador, por partida;

Nmero de falhas em um rolo de papel, por metro;

Nmero de acidentes em uma estrada, por dia.


54/230

A distribuio de Poisson se encaixa em eventos discretos que ocorrem de

forma aleatria

Os parmetros da distribuio de Poisson so:

X = Nmero de resultados por intervalo (x pode assumir os valores 0, 1, 2,

3, ...,

= taxa mdia de ocorrncia por intervalo.

Frmula:


55/230

EXEMPLO:

Esta a histria de um tcnico de um determinado processo. Em mdia

trs chamados de inspeo acontecem por dia. Baseado em um

levantamento anterior dois tcnicos podem atender a esses trs

chamados. Se mais de trs chamados acontecerem em um dia temos

que considerar a opo de aumentar o nmero de tcnicos.

Encontre a probabilidade de que quatro ou mais chamados por dia

aconteam.


56/230

x = 4 chamados

= 3 chamados por dia

P (x4) = ?

Sendo a distribuio de Poisson uma distribuio de dados discretos, a

probabilidade P(X

4) pode ser obtida da seguinte forma:

P(x 4) = 1 [P(x =0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)]

Atravs da equao de probabilidade de Poisson, os valores de P(X=0),

P(X=1), P(X=2) e P(X=3) podem ser calculados.:


57/230

Calculando o valor da probabilidade de outros valores de x temos o

resultado apresentado na tabela a seguir:

Tabela 2.2 Probabilidades de x seguindo uma distribuio de

Poisson.

Logo, a probabilidade de 4 ou mais chamados ocorrerem igual a:

P(x 4) = 1 (0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240) = 0,3528

Ou seja, 35,28%

x 0 1 2 3 4 5 6P(X=x) 0,0498 0,1494 0,224 0,224 0,168 0,1008 0,0504


58/230

O grfico mostrado na figura a seguir representa as probabilidades de

Poisson para os valores de x igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6:

2 5 EXERCCIOS


59/230

2.5 EXERCCIOS

Estudo De Caso Binomial

O seu fornecedor de materiais alega que est cumprindo com as exigncias

contratuais de fornecimento com uma taxa de defeito no maior que

1%. Suponha que durante uma auditoria no seu estoque, voc colha

uma amostra de 20 itens, aleatoriamente. Considerando que a taxa de

defeito 0,01 qual a probabilidade de que voc no encontre nenhum

defeito nessa amostra de 20 itens?


60/230

Estudo De Caso Poisson 01

Tubos de plstico so produzidos com a mdia de um defeito (falha)

a cada 30 metros. Se os tubos so cortados em tiras de 3

metros, qual ser a proporo de tiras que contenham defeito?


61/230

Estudo De Caso Poisson 02

O Problema do Enfermeiro

Em um determinado hospital, os enfermeiros trabalham em turnos de 8

horas na enfermaria.

Se h em mdia, 6 situaes de emergncia por dia, nos pacientes

internados nessa enfermaria, e caso acontea, o enfermeiro fica em

torno de 1 hora atendendo a emergncia.

Quantos enfermeiros so necessrios, em qualquer turno, para que se

tenha no mais que 1% de chance de uma situao de emergncia no

ser atendida?


62/230


63/230


64/230

3.0 A DISTRIBUIO NORMAL

Exemplo: Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao

acaso em uma populao.

O histograma por densidade o seguinte:

60

45

15

30


65/230

a distribuio dos valores aproximadamente simtrica em torno de 70kg;

A anlise do histograma indica que:

- a maioria dos valores (88 ) encontra-se no intervalo (55 - 85);

- existe uma pequena proporo de valores abaixo de 48kg (1,2 ) e acima de 92kg

(1 ).

Vamos definir a varivel aleatria:

A curva contnua da figura denomina-se curva Normal.

Como se distribuem os valores da varivel aleatria X, isto , qual a distribuio de

probabilidades de X ?

X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da populao.

A distribuio normal uma das mais importantes distribuies contnuas de


66/230

probabilidade pois muitos fenmenos aleatrios comportam-se de forma

prxima a essa distribuio.

Exemplos de dados contnuos que obedecem a uma distribuio normal so:

Medies do peso de pes;

Peso de uma poro de carne;

Comprimento de vrios lpis;

Confirmao da real quantidade de suco em uma garrafa;

Tempo de realizao de uma determinada tarefa;

Tempo de resposta de certo exame;

Consumo de gua de certa residncia.

Em todos esses casos, se espera que os valores estejam em torno de um valor

central, mas admite-se certa variabilidade em torno desse valor central.


67/230

Considere o seguinte exemplo:

Dados do consumo de gua, em litros por dia, em uma determinada residncia. Qual

a estimativa mdia de consumo por dia? Qual a faixa de consumo mnimo?

Qual a faixa de consumo mximo?

Para responder essa pergunta, temos que distribuir esses valores em faixas, e para

fazer essa distribuio, vamos utilizar a tcnica de distribuio que se aplica

distribuio normal.

Inicialmente tem-se que saber a quantidade total de dados, nesse caso 50 (n=50).


68/230

Em seguida, encontram-se os valores mximo e mnimo dessa amostra, e a

amplitude, que a diferena do valor mximo pelo valor mnimo. Nesse caso os

valores so:

Mximo = 47 Mnimo = 6 Amplitude = 41

Ento se estima a largura de cada faixa a ser observada utilizando-se da seguinte

equao:

Largura de Faixa = Amplitude / raiz (n)

Neste caso, a largura de cada faixa ser igual a [41/raiz(50)] = 5,80. Esse valor ser

arredondado, por questes prticas, para 6. Nesse caso, tm-se ento as faixas

de dados mostradas a seguir. Contando-se os valores dos dados

correspondentes a cada faixa, utilizando a conveno de incluir os dados nos

limites superiores das faixas, para que no haja contagem duplicada, tm-se os

resultados apresentados na coluna de frequncia observada.


69/230

Nesse exemplo de cmputo dos dados em cada faixa considerando o valor

do limite superior na faixa na prpria faixa, chama-se, em notao

matemtica, de intervalos abertos para o valor inferior da faixa e

intervalos fechados no valor superior da faixa.

Com os dados resumidos da tabela do consumo de gua, pode-se montar

um grfico da distribuio do consumo como apresentado a seguir.


70/230

Pode-se ento estimar que a faixa de consumo mdio entre

18 e 24 litros, que a faixa de consumo mnimo at 6

litros e que a faixa de consumo Mximo entre 42 e

48litros de gua por dia nessa residncia em particular.


71/230

Analisando os dados de consumo de gua atravs de uma estatstica

descritiva, obtm-se os seguintes resultados.

3 1 A DISTRIBUIO NORMAL PADRONIZADA


72/230

3.1 A DISTRIBUIO NORMAL PADRONIZADA

A distribuio Normal Padronizada representa uma distribuio normal

genrica, com mdia no ponto zero ( = 0) e desvio padro unitrio (

=

1).

Essa distribuio utilizada para que se faam estimativas relacionadas s

distribuies de dados coletados, bem como comparaes entre

distribuies diferentes.

A v. a. tem distribuio normal com parmetros e

2

se sua funo

densidade de probabilidade dada por


73/230

Pode ser mostrado que:

1. o valor esperado (mdia) de X ( - < < );

2.

2

a varincia de X (

2

> 0).

Propriedades de

X~ N ;

2

)

E(X) = (mdia ou valor esperado);

Var X) =

2

(e portanto, DP(X) =

);

x= ponto de mximo de f (x);

f x) 0 quando x

- e + so pontos de inflexo de f (x);

a curva Normal simtrica em torno da mdia

.


74/230

Considerando, atravs da estatstica descritiva obtida, os valores da mdia e desvio

padro do consumo de gua como sendo 22,88 e 7,93, respectivamente, as

faixas de + 1 desvio padro, +2 desvio padro e +3 desvio padro so:


75/230

A Distribuio Normal Padronizada dividida em faixas, onde cada faixa

tem o tamanho do desvio padro. Os estudos da distribuio normal

estabeleceram a probabilidade de concentrao de resultados em cada

faixa da distribuio. Essas probabilidades podem ser aplicadas a

quaisquer distribuies de dados contnuos, desde que se verifique que

eles obedecem s caractersticas da distribuio normal.

Tomemos como exemplo os dados de consumo de gua anteriormente

apresentados. Ao observar o grfico da faixa de consumo de gua,

verificamos um formato muito semelhante ao formato da distribuio

normal padronizada. Para ter-se certeza dessa afirmao necessrio

que se faa um teste de hiptese de normalidade, mas vamos

considerar que esse teste j foi feito e que os dados apresentados

obedecem a uma distribuio normal.


76/230

3 2 O TEOREMA DO LIMITE CENTRAL


77/230

3.2 O TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

Para muitos estatsticos como o conceito mais importante de toda a teoria

estatstica o teorema do limite central, ligao entre a distribuio

normal e as distribuies de amostragem, considerado como a chave da

estocstica.

O teorema do lime central postula que, para quase todos os tipos de

populao de dados, a distribuio das mdias das amostras pode ser

aproximada por uma distribuio normal, desde que o tamanho das

amostras seja suficientemente grande.


78/230


79/230

Consideremos um exemplo prtico do teorema do limite central a anlise de uma

populao de dados, cujo formato esperado de sua distribuio o de uma


80/230

distribuio uniforme.

Para confirmar isso, vamos realizar alguns lanamentos de dados, digamos 200, em

20 sries de 10 lanamentos. O resultado desses lanamentos pode ser

observado na tabela a seguir.

Computando-se os valores dos resultados iguais a 1, 2, 3, 4, 5 e 6, temos na tabela a


81/230

seguir o resumo das observaes.

Representando graficamente as propores das observaes, pode-se ver que a

distribuio da quantidade dos valores observados se aproxima de uma

distribuio uniforme.

Entretanto, ao avaliar a coluna representando a mdia de cada srie de 10

lanamentos, tem-se o seguinte resultado:


82/230

Desta forma, a distribuio da mdia das 20 sries de 10 lanamentos fica conforme

o grfico da figura a seguir, o que notadamente se encaixa com o formato de

uma distribuio normal.

3 3 O HISTOGRAMA


83/230

3.3 O HISTOGRAMA

Suas aplicaes no se encerram na observao do formato da distribuio. Utiliza-


84/230

se o histograma tambm para se observar algum padro que possa dar um

maior entendimento do processo que originou os dados coletados. Alguns pontos

de observao mais comuns podem ser exemplificados na figura a seguir.

Entretanto, para melhor se observar as caractersticas dos dados representados no


85/230

histograma, um adequado ajuste de escala deve ser feito. Esse ajuste de escala

depende da faixa de valores utilizada para computar as frequncias observadas.

Essas faixas so tambm chamadas de intervalo de classe ou w (do termo ingls

width, que significa largura).

3.4 EXERCCIOS


86/230

1. Altura dos Alunos

Com os dados do Exerccio de Estatstica Descritiva da Aula 01

construa um histograma das alturas dos alunos da sala de aula.

Comente os resultados.


87/230

2. Produo de Leite

Os dados relacionados a seguir, referem-se a produo diria de

leite de vacas da raa Holandesa obtida em duas ordenhas, em

Kg.

Faa a Estatstica Descritiva e o Histograma desses dados. Comente

os resultados.

3. Tanques de leo


88/230

Os dados que seguem (j ordenados) referem-se tonelagem (em milhares

de toneladas) de grandes tanques de leo.

a. Construa uma tabela de frequncias (absolutas, relativas e acumuladas) para

esses dados utilizando sete classes e intervalo constante.

b. Represente graficamente o conjunto de frequncias relativas.

c. Indique no grfico o local aproximado da mediana e da moda.


89/230


90/2304.0 INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIADA POPULAO


91/230

DA POPULAO

Estimar qual a mdia da populao com base na mdia da amostragem

um dos problemas mais comuns na estatstica inferencial. O fato de isso

ser um problema corriqueiro e importante pode ser evidenciado por

alguns dos cenrios apresentados a seguir, onde a obteno do valor

mdio da populao pode ser invivel (por razes de custo ou tempo) ou

at mesmo por ser impossvel.

a) O gerente regional de uma rede de lojas necessita saber qual o tempo mdio de


92/230

permanncia dos clientes nas filas dos caixas aps ter instalado um novo

sistema de cdigo de barras nos produtos.

b) Uma empresa area gostaria de saber qual o tempo mdio de vida dos trens de

pouso das aeronavesde sua frota.

c) Uma empresa preocupada com o nvel de estresse dos seus funcionrios quer

estimar qual a presso sangunea mdiadeles.

d) O departamento de trnsito gostaria de estimar o trfego mdio em um

determinado horrio (em nmero de carros) de um importante cruzamento da

cidade.

e) Um gerente de frota de veculos de uma empresa de transporte coletivo gostaria

de estimar o consumo mdio de gasolina dos nibusde sua frota.

f) Um hospital particular gostaria de estimar a proporo mdia de atrasos nas

cobranasem funo de erros do seu pessoal interno.

g) Uma empresa de software gostaria de estimar o nmero mdio de desvios a cada

1000 linhas de cdigo de programa.


93/230

Vamos ilustrar agora como dados amostrados podem ser utilizados para

estimar a mdia da populao. Consideremos o cenrio do

supermercado apresentado anteriormente. Atravs de uma amostra

aleatria de 36 clientes e do registro do tempo que permaneceram no

caixa do supermercado, temos os dados presentados na tabela a seguir.

Desses dados amostrados ns gostaramos de estimar a mdia da


94/230

populao (), isto , a verdadeira, mas desconhecida, mdia de tempo

de permanncia no caixa de todos os clientes. A mdia da amostra

desses dados = 14 minutos, e certamente pode ser utilizada para

se estimar a mdia . Este tipo de estimativa chamado de estimativa

de ponto, porque um simples nmero utilizado para a estimativa.

Com o conceito de distribuio da mdia das amostras do teorema do

limite central, podemos quantificar o erro associado com a essa

estimativa. Isso pode ser feito atravs do desenvolvimento de um

mtodo chamado de estimativa de intervalo para a mdia da

populao.

O teorema do limite central postula que a distribuio de onde foi obtida a

mdia = 14 minutos umcenrio de uma distribuio normal. Ento,

a mdia da populao est no centro dessa distribuio, apesar de

no sabermos o seu valor


95/230

Dessa forma, intuitivamente foi estabelecida seguinte equao: =

erro

Onde esse erro, depende de algumas consideraes estatsticas. Aps

algum desenvolvimento matemtico com base na distribuio normal

padronizada, tambm chamada de distribuio Z, esse erro foi

estabelecido como sendo:

erro = Z . (

/

)

Onde Z um valor padronizado em funo do nvel de confiana (chamado

na estimativa, o desvio padro e n o tamanho da amostra.

Essa estimativa de erro considera que o desvio padro

da populao

conhecido, entretanto, se o tamanho da amostra n maior ou igual a

30, pode-se utilizar o desvio padro da amostra como estimativa do

desvio padro da populao.

A tabela a seguir mostra os valores de Zmais utilizados para a estimativa


96/230

de intervalo, em funo do nvel de confiana

.

Estimativas de intervalo normalmente utilizam um desses nveis de

confiana para

.Caso seja necessrio um nvel de confiana diferente

desses valores apresentados, deve ser consultada uma tabela

detalhada dos valores

e Z.

Desta forma, considerando os 36 dados de minutos de permanncia dos clientes no


97/230

caixa do supermercado, um valor

de 95% de confiana, e considerando

= 5,0

como o desvio padro conhecido da populao, pode ser feita a seguinte

estimativa de intervalo:

= Z . (

/

)

= 14 1,96 . ( 5,0 /36)

= 14 1,63

Dessa forma, podemos afirmar que a mdia da populao est entre o seguinte

intervalo, com uma probabilidade de 95% = 12,37 < < 15,63

Sabendo que o estabelecimento de uma probabilidade envolve variveis aleatrias,

e um valor desconhecido, no uma varivel, os estatsticos preferem utilizar o

termo

confiana

ao invs de

probabilidade

.

Dessa forma, a declarao que pode ser feita nesse caso :

4.2 INTERVALO DE CONFIANA PARA A MDIADA POPULAO ( DESCONHECIDO)


98/230

DA POPULAO (DESCONHECIDO)

O clculo do intervalo de confiana para a mdia da populao

considerando o desvio padro

da populao desconhecido, difere

ligeiramente da condio anterior, com a substituio da distribuio Z

pela distribuio t-student, conforme mostrado na equao a seguir.

= t (n-1 ,/2) . ( s /)

onde s o desvio padro da amostra, et o valor da distribuio t-student

determinado em funo do grau de liberdade (n-1) e do risco /2)

estabelecido para o teste.

Considerando o mesmo exemplo da seo anterior, o clculo do intervalo de


99/230

confiana fica da seguinte forma:

t (36-1 , 0.05/2) = 2,34 (valor obtido de uma tabela ou software estatstico)

S = 4,2

= 14 2,34 . ( 4,2

/

36)

= 14 1,64

Dessa forma, podemos afirmar que a mdia da populao est entre o seguinte

intervalo, com uma probabilidade de 95%.

12,36 < < 15,64


100/230

4.3 INTERVALO DE CONFIANA PARA APROPORO DA POPULAO


101/230

PROPORO DA POPULAO

Na seo anterior foi apresentada uma estratgia para se determinar

estimativas da mdia de uma populao de dados contnuos. Quando

os dados so discretos h interesse em estimativas da proporo

da

populao, com base na proporo p da amostra, pode-se utilizar a

seguinte equao alternativa.

Onde p a proporo da amostra e n o tamanho da amostra.

Essa equao pode ser utilizada se n for

suficientemente

grande

. Em

termos prticos pode se considerar atravs da verificao se n.p > 5 e

n(1-p) > 5.

Considere o seguinte exemplo.


102/230

Nas proximidades de uma eleio, certa empresa de pesquisa de opinio

entrevistou 2.400 eleitores de forma aleatria e perguntou sobre as

preferncias de voto, sendo computados 42% de inteno de votar no

candidato que estava atualmente no cargo.

Calcule, com um nvel de confiana de 95%, qual o intervalo de confiana

para a verdadeira, mas desconhecida, proporo de votos que esse

candidato pode ter.


103/230

Resposta: Sendo p = 0,42 ; n = 2.400 e Z = 1,96, pode- se calcular

4.4 TESTE DE HIPTESES


104/230

Uma hiptese estatstica uma afirmao sobre algum estado real da natureza que

no completamente compreendido. Alguns exemplos podem ser:

a) A mdia de consumo de combustvel difere em funo do uso do tipo de

combustvel A ou B;

b) O tipo de analgsico determina a quantidade de alvio dor;

c) A probabilidade de morte em acidentes de carro difere, dependendo se os

passageiros utilizam cinto de segurana ou no;

d) A filtragem de elementos txicos melhor se utilizar o mtodo 1 ao invs do

mtodo 2;

e) A variabilidade na espessura da pea depende do tipo de ferramenta utilizada;

f) Estudantes oriundos de regies urbanas tem melhor desempenho na escola que

estudantes oriundos de regies rurais;

g) A fora de compresso de um determinado tipo de concreto est dentro das

especificaes;

h) A qualidade do produto depende do fornecedor de matria prima;

Uma hiptese a ser testada consiste de duas afirmaes complementares sobre um


105/230

estado real da natureza. Por exemplo, para um dado processo de medio de

tempo de resposta de um grupo de alunos, as seguintes hipteses podem ser

estabelecidas:

Ho= O tempo mdio de resposta dos alunos igual a 20 minutos.

H1= O tempo mdio de resposta dos alunosno igual a 20 minutos.

Essas duas afirmaes complementares so definidas como hiptese nula (Ho) e

hiptese alternativa (H1). Como o estado real da natureza raramente

conhecido com 100% de certeza, essas duas afirmaes podem ser

argumentadas e testadas.

Uma analogia ao teste de hipteses pode ser feita com o sistema legal onde um

acusado em julgamento pressuposto inocente at que os acusadores

apresentem evidencias irrefutveis que convenam o contrrio. Nesse exemplo,

as hipteses a serem testadas so:

Ho = O ru inocente.

H1 = O ru culpado.

Independente da concluso do jri, eles nunca realmente tem certeza


106/230

sobre o estado real da natureza. Concluir Ho: O ru inocente no

significa que o ru de fato inocente. Uma concluso Ho simplesmente

significa que no se tem evidencias suficientes para justificar sua

condenao. Por outro lado, concluir H1 no prova que ele culpado,

ao invs disso, implica somente que as evidencias so irrefutveis e d

ao jri certo nvel de confiana em declarar o ru como culpado.

Considerando que os vereditos so dados com menos de 100% de certeza,

h uma probabilidade de erro em qualquer uma das duas concluses.

Considere a tabela a seguir, a probabilidade de cometer um erro Tipo I definida


107/230

como

(0

aulas de estatística

Documents