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Método de Análise Nodal

A solução de um circuito elétrico contendo b ramos requer a determinação de 2b incógnitas, as quais

são a corrente e a tensão de cada ramo. Com as Leis de Kirchoff e as relações tensão-corrente de cada ramo

encontram-se as equações necessárias para a solução do circuito.

No caso da análise de nós são utilizadas as tensões dos nós do circuito em relação a um nó de

referência, ao invés da tensão de ramo (tensão entre os terminais de cada ramo). Obtêm-se um sistema de

equações tendo como incógnitas as tensões dos nós do circuito em relação ao nó de referência que é

escolhido no circuito. A aplicação deste procedimento é a Análise Nodal.

Procedimento:

A análise nodal envolve:

1 - Seleção do Nó de Referência:

1.1) Selecionar um nó qualquer do circuito como nó de referência, em relação ao qual todas as

tensões serão determinadas.

OBS: O potencial deste nó será assumido como zero, motivo pelo qual ele muitas vezes será

denominado de nó de terra.

1.2) Em seguida os demais nós são numerados de 1 a (n-1), sendo n o número total de nós do

circuito incluindo o nó de referência. As demais tensões dos nós serão designadas como V1,

V2, V3 .... Vn-1. Teremos n-1 equações que é o numero de nos principais.

1.3) Designar o sentido das correntes.

2 - Aplicar da LCK aos Nós:

Após a escolha do nó de referência e numeração dos nós restantes e sentidos das correntes, deve-se aplicar a

Lei de Kirchoff para os (n-1) nós. A LCK não necessita ser aplicada para o nó de referência, uma vez que resultará

numa equação a mais do que o necessário para a solução do circuito. Deve-se adotar uma convenção de sinal de

acordo com o sentido das correntes em relação aos nós. Geralmente, são consideradas positivas as correntes que

entram no nó, enquanto as que saem são negativas. Haverá (n-1) equações que representam os somatórios das

correntes que incidem e saem dos (n-1) nós.

3- Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos:

As equações da etapa anterior foram escritas em função das correntes de nós. No entanto, as

incógnitas são tensões de nó. Deve-se, portanto, utilizar as relações de tensão-corrente para substituir as

correntes de nós por relações envolvendo as tensões de nó. Como resultado desta etapa, obtém-se (n-1)

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equações envolvendo as tensões de nó. Observar que existe uma relação tensão-corrente para cada ramo,

existindo portanto b relações deste tipo.

4. Solução do Sistema de Equações

Após obter as equações de nó, deve-se utilizar algum método de solução de sistemas de equações e

determinar as (n-1) incógnitas. Caso o circuito seja composto apenas de resistores e fontes independentes,

obtém-se um sistema de (n-1) equações algébricas onde os coeficientes são obtidos a partir das resistências

do circuito, sendo a solução neste caso mais fácil, uma vez que as equações não envolvem integrais e

derivadas.

5. Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos:

Depois de solucionado o sistema de equações, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do

circuito a partir das tensões de nó. Por exemplo, a tensão do ramo k, conectado entre os nós x e y do circuito

conforme a Figura, pode ser obtida pela seguinte equação:

Vk = Vxy = Vx- Vy (1)

Considerando-se os sentidos associados, a corrente no ramo k que circula do nó x para o nó y será

dada como:

푖 = Rk - resistência do ramo k (Ω).

Exemplo de solução através de análise nodal.

Supor: Ia = 5 A, Ib = 3 A, R1 = 2 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 8 Ω.

Solução:

1- Seleciona-se o nó de referencia

2- Encontrar LCK +Ia - Ib - i1 - i2 = 0 - + Ia - Ib = i1 + i2 +Ib - i3 + i2 = 0 - Ib = i3 - i2

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3 - Consideração de relações de tensão corrente nos ramos.

푖 =푉 − 0푅

=푉푅

푖 =푉 − 푉푅

푒 푖 =푉 − 0푅

=푉푅

Substituindo i1, i2 e i3 nas eq. obtidas no segundo passo:

4. Solução do sistema de Equações: Na forma matricial:

ou em que Desse modo:

E a solução é:

5. Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos:

O sinal negativo da tensão VR2 que aparece na solução significa que a tensão que efetivamente existe

sobre este componente possui polaridade contrária ao sentido assumido como positivo. Da mesma forma, a

corrente negativa significa que o sentido que efetivamente existe é contrário àquele considerado positivo.

Com a determinação de todos as tensões e correntes do circuito, pode-se também determinar a potência

dissipada em cada um dos resistores e nas fontes de corrente.

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6. Aplicação de Análise por Super-nó.

No caso de uma fonte de tensão conectada entre dois nós que não sejam o de referência temos um

supernó ou um nó generalizado identificado na figura a seguir e deve-se aplicar LTK e LCK para a solução

do problema.

Um superno é formado por fonte de tensão envolvida por dois nós que não sejam o de referência e

qualquer elemento conectado em paralelo com ele.

Nesse caso 2 e 3 formam o supernó.

A resolução do exercício segue os mesmos procedimentos, exceto em relação ao supernó.

1. Para as correntes do supernó LCK, obtém-se:

e

2. Aplicando a LTK ao supernó, tem-se

Sabendo que V1=10 V, determinam-se as demais tensões.

Exemplo: Encontrar a tensão nos nós.

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v1= -7,333V e v2=-5,333 V

Exercícios

1) Empregar análise de malhas para determinar correntes e tensões de todos elementos.

R: I1=1 A, I2=0,5 A e iAD=0,5 A e V1= 10 V, V2= 10 V , V3= 7,5 V e V4= 2,5 V

Empregar análise de malhas e de nós para determinar correntes e tensões de todos elementos. Supor: Ia=2 A, Ib=2 A, R1=2 R2=4 R3=10 E=2 V

R: V1=-8V, V2=-6V e If=-4,8 A.

2) Empregar análise nodal para encontrar tensão corrente de todos elementos.

VA= 20 V; VB=10V; VC=2,5 V e VD=0 V, IR1=1 A; IR2=0,5 A; IR3=0,5 A; IR4=0,5 A; VR1=10 V; VR2=10 V; VR3=7,5 V; VR4=2,5 V.

V120

R1 10

R220

R315

D

A

0

R4 5

V120

R1 10

R220

R315

R4 5

A

CD

BB

0

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3) Pelo método de análise de malhas, encontre:

a) as ddps sobre R1, R2 e R3; b) a potência total entregue por V1 c) V2 recebe ou entrega potência? Explique.

5. Para o circuito:

a) Calcule o valor de V1 para que a fonte entregue 33W quando R=10. b) Encontre as correntes nas malhas. c) Calcule as ddps sobre R1 e R3 e comente o resultado, baseando-se na teoria dos circuitos série. 6. Sendo a fonte V1 formada por quatro pilhas alcalinas grandes de 1,5V em série, calcule: a) o valor de R para que a potência em V1 seja 240mW; b) as quedas de tensão sobre 2R e 4R. c) Verifique se a potência total dissipada pelos resistores é igual a potência entregue pela fonte.

7. Para o circuito a seguir:

a) Calcule, pelo método de análise de malhas, os valores de E e de R. b) Encontre a potência entregue a E/4.

V130

R1 2

R25

R310

A

C

B

D

B

0

V2

10

R2 2RA

D

B

0

V1

R3 10R

R420R

C

R1R

R2 2R R3 4R

R44R

V1 R18R

5R 10R

E

10R

E/4i2=0,5Ai1=1A

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8. Utilizando o método de análise nodal, calcule:

a) a corrente de carga da fonte de 10V; b) a tensão VBD. 9. a) Calcule as ddps sobre os resistores, empregando análise nodal. b) Encontre a potência recebida pelas fontes de 6V.

10.Para o circuito a seguir: a) Através da análise nodal, encontre as ddps sobre os resistores. b) Verifique se as fontes de tensão entregam ou recebem energia.

11. Determinar tensões e correntes de todos os elementos dos circuitos a e b:

a) b)

A B C

D

E1

30

R1 2

R25

R3 10

E2 10

V

V

A

E1

30

R1 3

R227

E26

VE36

R39

R49

E

B

C D

A

E1

44

R1 10

R220V

E318

R315

E

B

DC

R412

R5 30

1k

6k 2k4mA2k

3k

1k

4k4mA2k8mA

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12. Determinar correntes i1, i2 e i3.

R: i8i=0,25 A e i3=1,25 A. 12. Determinar v e i.

R: v=-0,2 V i=1,4 A

13. Encontrar i1, i2, i3, i4 e i5 (quando existir) para os circuitos:

a) b) R: i1=0,75 A e i2=0 A R: i2=-5 e i1 = -2

c) d) R: i1=-3,2 A e i2=2,8 A R:i1=3,474 A, i2=0,4737 A e i3=1,1052 A

e) f)

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R: R: f) Empregar um software de simulação de circuitos elétricos e determinar as tensões dos nós.

R: g)

V1=-40 V, V2=57,14 V e V3=200 V

Bibliografia Rangel, P. R. T. Métodos de Análise de Circuitos Elétricos. Disponível em: <http://www.cefetsc.edu.br/~mussoi/sistemas_digitais/Analise_Malhas_Nos.pdf Acesso> em: 20 de Maio de 2009. Pereira, L. A. Método de Análise Nodal, Disponivel em:<http://diana.ee.pucrs.br/~lpereira/CKT_I/AnaliseNodal.pdf > Acesso em 20 de Maio de 2009. C. K. Alexander and M. N. O. Sadiku. Fundamentos de Circuitos Elétricos._________.