Lógica de Predicados

Sintaxe Semântica

A linguagem da lógica de predicados

Linguagem – sintaxe e semântica

Extensão da lógica proposicional

Inferências que não possuem representação adequada na lógica proposicional podem ser representadas na lógica de predicados Exemplo:

Todo aluno de Computação é inteligente.

Luciano é aluno de Computação. Logo, Luciano é inteligente

Como representar a palavra “todo”?

Alfabeto

Símbolos de pontuação: ( , ) Símbolo de verdade: true, false Conjunto de símbolos para variáveis: x, y, z, w, x1, y1, z1, w1, x2,...

Conjunto de símbolos para funções: f, g, h, f1, g1, h1, f2, g2, ... Conjunto de símbolos para predicados: p, q, r, p1, q1, r1, p2, ... Conectivos: ¬, ∧, ∨,→, ↔, ∀, ∃

Alfabeto

Aridade

número inteiro não-negativo associado a cada símbolo para função ou predicado

Variáveis

não ocorrem na Lógica Proposicional

Em programação lógica são utilizadas na determinação das respostas dos programas

Funções e predicados

maior poder de representação

Alfabeto

Constantes e símbolos proposicionais

Se aridade=0, a função ou predicado tem zero argumento

Funções com aridade nula são constantes

Predicados com zero argumento são os símbolos proposicionais

Conectivos

Quantificadores – aumentam poder de representação

Elementos básicos da linguagem

Resultado de uma interpretação Valor verdade Objeto A capital de Minas Gerais é BH? Qual a capital de Minas Gerais?

Termos: sentenças que representam os objetos Variáveis são termos (a interpretação é um objeto) Função de termos é um termo (resultado da aplicação de uma

função a um conjunto de termos é um termo) Variável x Constante “a” (função de 0 argumento, aplicada a 0 termo) f(x,a) – se for função binária é um termo

Exemplos de termos

x, a (constante, função zero-ária)

f(x,a) se e somente se f é binária

g(y, f(x,a), c) se e somente se g é ternária

+(9,10), -(9,5)

h(x,y,z), considerada implicitamente como ternária

Elementos básicos da linguagem

Átomos: expressões cuja interpretação é um valor verdade Símbolos de verdade são átomos Predicado de termos é um átomo P – predicado aplicado a 0 termos – símbolo proposicional é

um átomo

Exemplos de átomos

P (símbolo proposicional)

p(f(x,a),x) se e somente se p é binário

q(x,y,z) considerado implicitamente como ternário

Ex: >(9,10), =(9,+(5,4)) interpretados como 9>10, 9=5+4

Elementos básicos da linguagem Fórmula

Concatenação de átomos e conectivos

São construídas a partir destas regras: Todo átomo é uma fórmula da Lógica de Predicados Se H é fórmula então (¬H) também é Se H e G são fórmulas, então (H∨G) também é Se H é fórmula e x variável, então

((∀x)H) e ((∃x)H) são fórmulas

Expressão = termo ou fórmula

Elementos básicos da linguagem Subtermo

Se E=x, então a variável x é subtermo de E Se E = f(t1,t2,...,tn) então ti e f(t1,t2,...,tn) são subtermos de

E Se t1 é subtermo de t2 e t2 de E, então t1 também é

subtermo de E

Subfórmula - Se H é fórmula: H é uma subfórmula

Se H=(¬G), então G é subfórmula de H

Se H é do tipo (E∨G), (E∧G), (E→G) ou (E↔G), então E e G são subfórmulas de H

Se x é uma variável e Q um quantificador, H=((Qx)G) então G e ((Qx)G) são subfórmulas de H

Se G é subfórmula de H, então toda subfórmula de G também é subfórmula de H

Elementos básicos da linguagem

Todo subtermo ou subfórmula é uma subexpressão

Literal em lógica de predicados é um átomo ou sua negação

Uma fórmula está na forma normal disjuntiva (fnd ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de conjunções de literais

Uma fórmula está na forma normal conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais

Escopo do quantificador

Abrangência de seu uso nas subfórmulas Se E é uma fórmula na Lógica de Predicados

Se ((∀x)H) é subfórmula de E

o escopo de (∀x) é H

Se ((∃x)H) é subfórmula de E

o escopo de (∃x) é H

Exemplo

G=(∀x)(∃y)((∀z)p(x,y,w,z)→ (∀y)q(z,y,x,z1))

O escopo de (∀x) é (∃y)((∀z)p(x,y,w,z)→ (∀y)q(z,y,x,z1))

O escopo de (∃y) é ((∀z)p(x,y,w,z)→ (∀y)q(z,y,x,z1))

O escopo de (∀z) é p(x,y,w,z)

O escopo de (∀y) é q(z,y,x,z1))

Ocorrência livre e ligada

Se x é uma variável e E uma fórmula, uma ocorrência de x em E é Ligada, se x está no escopo de um quantificador (∀x)

ou (∃x) em E Livre, se não for ligada

G=(∀x)(∃y)((∀z)p(x,y,w,z) → (∀y)q(z,y,x,z1))

Variável livre e ligada

Se x é uma variável e E uma fórmula que contém x. x é Ligada em E, se existir uma ou mais ocorrências ligadas

de x em E Livre em E, se existir uma ou mais ocorrências livres de

x em E

No exemplo anterior, z é livre e ligada!

G=(∀x)(∃y)((∀z)p(x,y,w,z) → (∀y)q(z,y,x,z1))

Símbolos livres

Símbolos livres de uma fórmula são suas variáveis livres, símbolos de função e de predicado Tudo menos os conectivos, variáveis dos

quantificadores, símbolos de verdade e de pontuação

G=(∀x)(∃y)((∀z)p(x,y,w,z)→ (∀y)q(z,y,x,z1))

Conjunto de símbolos livres é {w,z,z1,p,q}

Fórmulas fechadas

Fórmulas fechadas não possuem variáveis livres Exemplos:

G=(∀x)(∃y)((∀z)p(x,y,w,z)→ (∀y)q(z,y,x,z1))

Não é fórmula fechada

G1=(∀w)(∀z)(∀z1)(∀x)(∃y) ((∀z)p(x,y,w,z)→(∀y)q(z,y,x,z1))

Variáveis ligadas: w,y,z,z1,x

Fórmula fechada!

Fecho de uma fórmula Se H é fórmula da Lógica de Predicados e {x1, x2, ..., xn} é o

conjunto das variáveis livres em H

O fecho universal de H, (∀*)H, é (∀x1)(∀x2)...(∀xn)

G=(∀x)(∃y)((∀z)p(x,y,w,z)→ (∀y)q(z,y,x,z1))

G1=(∀w)(∀z)(∀z1)(∀x)(∃y) ((∀z)p(x,y,w,z)→(∀y)q(z,y,x,z1))

G1 é o fecho universal de G

O fecho existencial de H, (∃*)H, é (∃x1)(∃x2)...(∃xn)

G2=(∃w)(∃z)(∃z1)(∀x)(∃y) ((∀z)p(x,y,w,z)→(∀y)q(z,y,x,z1))

Se H é fechada, como não possui variáveis livres, seus fechos universal e existencial são iguais a H

H=(∀*)H=(∃*)H