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Estabilidade de Sistemas Lineares Realimentados

1. Estabilidade relativa

2. Estabilidade no espaco de estado

3. Exemplo de projeto: controle de direcao de um veculo

4. Usando MATLAB c

5. Projeto sequencial: sistema de leitura de um acionador de disco

c Reinaldo M. Palhares pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 7

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Estabilidade Relativa

Routh-Hurwitz indica precisamente a estabilidade absoluta

A estabilidade relativa de um sistema pode ser denida como a propriedadeque e medida pelo valor da parte real de cada raz ou par de razes

Para duas razes, r 1 e r 2 , se |R {r 1 }| < |R {r 2 }| , diz-se que r 2 erelativamente mais estavel

A estabilidade relativa de um sistema pode tambem ser denida em termos

do coeciente de amortecimento, , de cada par de razes complexas e, portanto,em termos da velocidade de resposta e sobre-elevacao ao inves do tempo deacomoda cao


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O criterio de Routh-Hurwitz pode ser estendido de forma a possibilitardetermina cao da estabilidade relativa atraves de uma simples mudanca de variavel(deslocamento no eixo real)

Exemplo Pode-se determinar sem calcular as razes que a parte real de todas asrazes do polinomio abaixo e menor do que 1 ?

( s ) = s4 + 14 s 3 + 71 s 2 + 154 s + 120

Faca s = s 1, Entao

( s ) = s 4 + 10 s 3 + 35 s 2 + 50 s + 24


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O arranjo e dado por

s 4 1 35 24

s 3 10 50

s 2 30 24

s 1 42

s 0 24

Portanto o polin omio nao tem razes com R {s } 0 ou R {s + 1 } 0 ouR {s } 1. Entao todas as razes tem parte real menor do que 1


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Estabilidade no Espa co de Estado

A EC pode ser obtida diretamente do determinante da regra de Mason, dodiagrama de uxos de sinais correspondente ao sistema de equacoes

Exemplo Para o sistema de equacoes

x 1 = 3x 1 + x 2x 2 = Kx 1 + x 2 + Ku

Diagrama de uxo de sinais correspondente:

1

1

1

1

3

U ( s ) X 1 ( s )

X 1 ( s )X 2 ( s )X 2 ( s )

1 /s1 /sK


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Aplicando a regra de Mason:

( s ) = 1 L 1 1 + L 2 2 L 3 3 +

L 1 = 1 /s ; L2 = 3/s ; L3 = K/s 2

( s ) = 1 (L 1 + L 2 + L 3 ) + L 1 L 2 = 1 1s

3s

K s 2

3s 2

= 0

( s ) = s2 + 2 s + ( K 3) = 0

Logo, basta K > 3 para que se tenha estabilidade


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Outra forma de vericar estabilidade, para sistemas aut onomos (u = 0 ), ecalcular os autovalores associado a matriz dinamica do sistema

x ( t ) = Ax ( t )

Calculo dos autovalores ?

x = Ax, x = 0

( I A )x = 0 ( I A ) e singular | I A | = 0


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Exemplo de Projeto

Controle de dire cao de um veculo

Neste caso, o objetivo e realizar o controle de direcao de um veculo, comacionamento independente nas duas rodas (no caso, veculos com esteira)

Objetivo Especco ? Manter o erro em estado estacionario, para um entrada

em rampa, limitado a um certo patamar depende de parametros a seremselecionados...

Por que entrada rampa?

Como funciona? E o modelo? Descritos a seguir


T t ti T h l T k d V hi l

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Transportation Technology: Tracked Vehicles

Motion of Vehicle

Sprocket WheelActs as drive wheel,it powers the track.

Idler WheelsCarry the weight of thevehicle. In some cases mayhave sprockets and brakes.

TracksLinks chained together with metal or rubber pads thatcontact and grip the ground. The links mesh with thesproket wheel teeth.

Engine and Steering HousingWaterproof housing for the engine andsteering systems. Exhaust is ported at thehighest point of the vehicle in gasolinepowered vehicles.

Wheelbase

Maximum height of obstaclethat vehicle can climb over

Suspension SystemLets idler wheels move upand down in response tochanges in the terrain.

CG

Tracked vehicle fundamentals

Note: CG = Center of Gravity. In these examples Centerof Gravity is exagerated and does not take into accountany other parts of the vehicle other than the track part.

8" 40"

The weight of the vehicle makes thetire flatten where it contacts theground. This gives a contact area of8" x 12" (the width of the tire) for atotal area of 96 square inches.(Depends on air pressure in the tire)

The weight of the vehicle isdispersed over the entire length oftrack that contacts the ground.This gives a contact area of 40" x12" (the width of the track) for atotal of 480 square inches.

This 4-wheeled vehicle has amaximum of 384 square inches of

contact with the ground. A forth of thetotal weight of the vehicle would be

carried by each wheel.

This 2-tracked vehicle has amaximum of 960 square inches ofcontact with the ground. A sixth of

the total weight of the vehicle iscarried by each idler wheel.

Wheel's and Tires Vs. Tracks

Wheel Tracks

Width of wheel and track = 12"

Note: not to scaleWheel's contact

area exagerated forthis illustration.

VariableDifferential

Engine

SteeringControls

F a s t e r

S l o w e r

Direction of Travel(Turn Right)

Steering a Tracked Vehicle

Tracked vehicles are steered byadjusting the speed of the track onone side of the vehicle inrelation to the speed of the trackon the other side. This creates atorque on the vehicle and causesit to pivot around the slowertrack. The steering controlschange individual track speedsthrough a variable speeddifferential. The differential isusually controlled by levers.

By reversing one track entirelythe vehicle can pivot and spin inplace.

Most of the track is slidingsideways compared to theforward motion of the vehiclewhen turning. This can causedamage to the ground or torodadways.

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MA S T E R

7 6

C o p y r i gh t 1 9

9 8 b y A

d d i s onW

e s l e y L on gm

an.A l l r i gh t s r e s er v e d .

R (s )Desireddirectionof turning

(s a )(s 1)

K

s (s 2)( s 5)

ThrottleSteering

Track

torque

Power trainand controller Vehicle

Right

Left

Difference in track speed

Y (s )Direction of

travel

(b)

(a)

Power train and

vehicle G (s )

Controller

G c (s )

Y (s )

Figure 6.8 (a) Turning control system for a two-track vehicle (b) Block diagram

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Exemplo: Controle de Dire cao de um Veculo

EC do sistema realimentado

1 + G c (s )G (s ) = 1 + K (s + a )

s (s + 1)( s + 2)( s + 5) = 0

ou

s (s +1)( s +2)( s +5)+ K (s + a ) = s4 +8 s 3 +17 s 2 +( K +10) s + K a = 0

Determinar a regiao de estabilidade para valores de K e a . De que forma?Routh-Hurwitz...


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Arranjo de Routh associado:

s 4 1 17 K a

s3

8 ( K + 10) 0s 2 b3 K a

s 1 c3

s 0 K a

b3 =

126 K

8 > 0

c3 = b3 (K + 10) 8K a

b3> 0

K < 126K a > 0

(K + 10)(126 K ) 64 K a > 0


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MASTER 77

0

1.0

0.6

2.0

3.0

500 70 100 126 150K

a

Stable

region Selected K and a

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Do objetivo especco, o erro em estado estacionario para entrada em rampa,R (s ) = A/s 2 e obtido de

e ss = lims 0

s

E ( s )

11 + G c (s )G (s )= lim

s 0s

s(s + 1)( s + 2)( s + 5)s (s + 1)( s + 2)( s + 5) + K (s + a )

As 2

= 10AK a


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Da gura, nota-se que pode-se selecionar uma innidade de valores para o par

K e a a m de atender o desempenho especicado

Eg, para ess = 23 .8% do valor de A e necessario que

e ss = 10AK a

= 0 .238 A K a = 100.238

= 42

O que pode ser conseguido, selecionando K = 70 e a = 0 .6 , ou K = 50 ea = 0 .84 , ou...


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Usando MATLAB c

roots calcula as razes de um polinomio

eig calcula os autovalores de uma matriz, particularmente

eig(A) % devolve todos os autovaleres da matriz A


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MASTER 78

K

a Stable region

(a 0.6, K 70)

Characteristicpolynomial

For a given value of K : determinefirst value of a for instability.

twotrackstable.m% the stability region for the two track vehicle% control problem%a=[0.1:0.01:3.0]; K=[20:1:120];x=0*K; y=0*K;n=length(K); m=length(a);for i=1:n for j=1:m q=[1, 8, 17, K(i)+10, K(i)*a(j)]; p=roots(q); if max(real(p)) > 0, x(i)=K(i); y(i)=a(j-1); break; end endendplot(x,y), grid, xlabel('K'), ylabel('a')

Range of a and K

Initialize plot vectors as zerovectors of appropriate lengths.

20 40 60 80 100 120

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0

(b)

(a)

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MASTER 79

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Ramp input y

( t )

Steady-state error

u unit ramp input

a 0.6 and K 70

Linear simulation

aKramp.m

% This script computes the ramp response% for the two-track vehicle turning control% problem with a=0.6 and K=70%t=[0:0.01:10]; u=t;numgc=[1 0.6]; dengc=[1 1];numg=[70]; deng=[1 7 10 0];[numa,dena]=series(numgc,dengc,numg,deng);

[num,den]=cloop(numa,dena);[y,x]=lsim(num,den,u,t);plot(t,y,t,u), gridxlabel('Time (sec)'), ylabel('y(t)')

(a)

Time (sec)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

y(t )

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Exemplo de Projeto Seq uencial

Sistema de Leitura de um Drive

No bloco anterior desempenho de sistemas realimentados considerou-se

apenas um ganho estatico, K a , associado ao amplicador no projeto sequencial

Nesta bloco, a questao do ajuste do ganho K a sera reavaliado quando seconsidera um sensor de realimentacao de velocidade, como apresentado a seguir


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MA S T E R

8 0

C o p y r i gh t 1 9

9 8 b y A

d d i s onW

e s l e y L on gm

an.A l l r i gh t s r e s er v e d .

R (s ) Y (s )Position

1s

1s + 20

Amplifier Motor coilK a G 1(s )

H (s ) = 1

D (s )

Velocity

Position sensor

K 1

Velocity sensor

Switch

R (s ) Y (s )K a G 1(s )

1 + K 1s

G 2(s )

D (s )

Figure 6.22 The closed-loop disk drive head system with an optional velocity feedback

Figure 6.23 Equivalent system with the velocity feedback switch closed

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Inicialmente deixando a chave aberta, a FT malha fechada e

Y (s )R (s )

= K a G 1 (s )G 2 (s )1 + K a G 1 (s )G 2 (s )

sendo

G 1 (s ) = 5000s + 1000

e G 2 (s ) = 1

s (s + 20)

Logo a EC e

s (s + 20)( s + 1000) + 5000 K a = s3 + 1020 s 2 + 20000 s + 5000 K a = 0


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Arranjo de Routh

s 3 1 20000

s 2 1020 5000 K as 1 b1s 0 5000 K a

b1 = (20000)1020 5000 K a

1020> 0

para estabilidade: K a < 4080

Se b1 = 0 obtem-se estabilidade marginal. Isto e obtido para K a = 4080 .Portanto a equacao auxiliar e dada por

1020 s 2 + 5000(4080) = 0 s1 ,2 = j 141 .4

Esta analise permite responder uma questao relevante quando abordou-seanteriormente o projeto seq uencial: o ganho K a nao pode assumir qualquer valorneste caso com modelo completo - sem reducao...


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Considerando a realimentacao de velocidade (ie, fechando a chave), a FTmalha fechada passa a ser:

Y (s )R (s )

= K a G 1 (s )G 2 (s )

1 + [ K a G 1 (s )G 2 ( s )] (1 + K 1 s )

e a EC e

s (s + 20)( s + 1000) + 5000 K a (1 + K 1 s ) =

s 3 + 1020 s 2 + [20000 + 5000 K a K 1 ] s + 5000 K a = 0


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com arranjo de Routh

s 3 1 [20000 + 5000 K a K 1 ]

s 2 1020 5000 K as 1 b1s 0 5000 K

a

b1 = 1020 [20000 + 5000 K a K 1 ] 5000 K a

1020> 0

Selecionar o par (K a , K 1 ) tal que b1 > 0, com K a > 0...

Eg, K 1 = 0 .05 e K a = 100 ...


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MA S T E R

8 1

C o p y r i gh t 1 9 9 8

b y A

d d i s onW

e s l e y L on gm

an.A l l r i gh t s r e s

er v e d .

TABLE 6.2 Performance of the Disk Drive System Compared to theSpecifications

Performance Measure Desired Value Actual Response

Percent overshoot Less than 5% 0%

Settling time Less than 250 ms 260 ms

Maximum responseto a unit disturbance Less than 5 10 3 2 10 3

Table 6.2 Performance of the disk drive system compared to the specifications

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Usando MATLAB c para avaliar: (i) a resposta de r ( t ) para y ( t ) ; (ii) a maximaresposta ao dist urbio unitario d ( t ) para y ( t ) .

ka = 100; k1 = 0.05; % Ganhos selecionadoss=tf(s) % vari avel "s"g1=tf([5000],[1 1000]) % G1(s)g2=tf([1],[conv([1 0],[1 20])]) % G2(s)FTmf=(ka*g1*g2)/(1+(ka*g1*g2)*(1+k1*s)) % FT malha fechada R->YFTdisturbio=(-g2)/(1+(ka*g1*g2)*(1+k1*s)) % FT malha fechada D->Ysubplot(2,1,1)step(FTmf)subplot(2,1,2)step(FTdisturbio)


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0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

A m

p l i t u d e

FTmf

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.52

1.5

1

0.5

0x 10

3

Time (sec)

A m

p l i t u d e

FTdisturbio


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