aula4 - l hospital e graficos

Disciplina: Matemática Aplicada á Ciências 2 prof.a Valéria Luchetta

STEWART, J. Cálculo. 4 ed. vol. 1. São Paulo: Pioneira-Thomson Learning, 2001.

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Aula 4

Formas indeterminadas e a regra de L’Hospital John Bernoulli descobriu uma regra para calcular limites de frações cujos

denominadores e denominadores tendem a zero ou a ∞+ . A regra é conhecida

atualmente como regra de L’Hospital, em homenagem a Guillaume de L’Hospital.

Regra de L’Hospital – Suponha que f e g sejam diferenciáveis e g’(x) ≠ 0 próximo de a

(exceto possivelmente em a). Suponha que

lim!→! 𝑓 𝑥 = 0 e lim!→! 𝑔 𝑥 = 0

Ou que lim!→! 𝑓 𝑥 = ±∞ e lim!→! 𝑔 𝑥 = ±∞

(Em outras palavras, temos uma forma indeterminada do tipo !! ou !

! ). Então

( )( )

( )( )xgxf

limxgxf

limaxax ʹ′ʹ′

=→→

se o limite do lado direito existir.

Exemplo: Calcule:

1. lim!→!!" (!)!!!

2. lim!→!!!

!!



2

3. lim!→!!" (!)

!!

4. lim!→!!" ! !!!!

5. lim!→!!!"#(!)

!!!"# (!)



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Formas indeterminadas 0⋅∞ , ∞−∞

Ás vezes, ao tentarmos calcular um limite quando x → a substituindo x = a, obtemos uma expressão ambígua do tipo 0⋅∞ ou ∞−∞ , em vez de 0/0 ou

∞∞ .

Exemplo: Calcule

1. lim!→!! 𝑥 ∙ ln 𝑥

2. lim!→!!!(𝑠𝑒𝑐( 𝑥)− 𝑡𝑔(𝑥))

Construção de gráficos

Como as derivadas afetam a forma do gráfico

Como f’ (x) representa a inclinação da curva y = f(x) no ponto (x, f(x)), ela nos informa a direção segundo a qual a curva segue em cada ponto. Assim, é razoável esperar que a informação sobre f’ (x) nos dê informações sobre f(x).

O que f’ nos diz sobre f ?



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Teorema. Seja f contínua no intervalo I.

a) Se f’ (x) > 0 para todo x interior a I então f é estritamente crescente em I.

b) Se f’ (x) < 0 para todo x interior a I então f é estritamente decrescente em I.

Exemplo 1: Encontre o intervalo onde a função f(x) = x3 – 3x + 3 é crescente e o intervalo

onde ela é decrescente.



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Teste da Primeira Derivada. Suponha que c seja um número crítico de uma função

contínua f. a) Se o sinal de f’ mudar de positivo para negativo em c, então f tem um máximo local em c.

b) Se o sinal de f’ mudar de negativo para positivo em c, então f tem um mínimo local em c.

c) Se o sinal de f’ não mudar em c, então f não tem máximo ou mínimo locais em c.

Exemplo 2: Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função f(x) = x3 – 3x + 3.

O que f’’ nos diz sobre f ?



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Definição. Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I, então

ele é chamado côncavo para cima em I. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as

suas tangentes em I, então ele é chamado côncavo para baixo em I.

Teste da Concavidade a) Se f” (x) > 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I.

b) Se f” (x) < 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I.

Exemplo 3: Determine as concavidades da função f(x) = x3 – 3x + 3.

Definição. Um ponto P na curva y = f(x) é conhecido como ponto de inflexão se f é

contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo.



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Exemplo 4: Encontre o ponto de inflexão da função f(x) = x3 – 3x + 3.

Teste da Segunda Derivada. Suponha que f” seja contínua na proximidade de c. a) Se f’ (c) = 0 e f” (c) > 0, então f tem um mínimo local em c.

b) Se f’ (c) = 0 e f” (c) < 0, então f tem um máximo local em c.

Exemplo 5: Examine a curva f(x) = x3 – 3x + 3 em relação à concavidade, pontos de

inflexão e mínimo e máximo locais. Use essas informações para esboçar a curva.



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A tabela a seguir apresenta um resumo que poderá ser seguido para analisar o

comportamento de uma função a partir de sua representação algébrica. Neste caso, sua

análise pode culminar com um esboço gráfico destacando as propriedades e

características da função.

Etapas Procedimentos

1ª Encontre o domínio da função.

2ª Calcular os pontos de interseção com os eixos.

(Quando não requer muitos cálculo)

3ª Encontrar os pontos críticos.

(f’ (x) = 0)

4ª Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x).

( ⇒∈∀>ʹ′ [b,a]x0)x(f f é crescente em ]a, b[

⇒∈∀<ʹ′ [b,a]x0)x(f f é decrescente em ]a, b[)

5ª Encontrar os máximos e mínimos relativos.

( 0)c(f <ʹ′ʹ′ , f tem um valor máximo relativo

0)c(f >ʹ′ʹ′ , f tem um valor mínimo relativo)

6ª Determinar a concavidade e os pontos de inflexão de f.

( ⇒∈∀>ʹ′ʹ′ [b,a]x0)x(f f é côncava para cima em ]a, b[

⇒∈∀<ʹ′ʹ′ [b,a]x0)x(f f é côncava para baixo em ]a, b[)

7ª Encontrar as assíntotas horizontais e verticais, se existirem.

8ª Esboçar o gráfico.

Exemplo: Esboçar o gráfico da função f(x) = 3x4 – 8x3 +6x2 + 2.

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