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Estruturas de Dados

Grafos III:Busca em Largura

Prof. Ricardo J. G. B. Campello

Parte deste material baseado em adaptaes e extenses de slidesdisponveis em http://ww3.datastructures.net (Goodrich & Tamassia).

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OrganizaoDefinio e Motivao

Algoritmo BFS Exemplo de Execuo BFS

Pseudo-cdigo

Propriedades do Percurso BFS

Algumas Aplicaes de BFS Caminhos com nmero mnimo de arestas

Busca de ciclos

Anlise de Complexidade do Algoritmo BFS

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Busca em LarguraBusca em Largura (BFS) uma estratgia geral de percurso em grafos

BFS em um grafo G: Descobre o componente conexo

de G que contm o vrtice de partida da busca

logo, se G conexo ou no

Visita todos os vrtices e arestas de G se este for conexo

Para percorrer todo um grafo no conexo, BFS deve ser executada mltiplas vezes, sempre a partir de um vrtice no visitado nas anteriores

BFS pode ser estendida para resolver outros problemas em grafos:

Encontrar um caminho entre um dado par de vrtices, com a menor quantidade de arestas, caso exista

Encontrar um ciclo simples, caso exista

Encontrar uma rvore geradora de G conexo

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Busca em LarguraAlternativamente, pode-se marcar apenas os vrtices, como no descobertos, descobertos e explorados

vide pseudo-cdigo

CB

A

E

D

F

Um algoritmo do tipo BFS usa marcadores para direcionar o percurso (caminhamento)

A forma mais geral marcar ambos vrtices e arestas

As arestas so marcadas como de descoberta ou cruzamento

Arestas de descoberta levam a vrtices no descobertos

so tambm chamadas arestas de rvore (tree edges)

Arestas de cruzamento so as demais arestas

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Exemplo de Execuo

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aresta de descobertaaresta de cruzamento

vrtice descobertovrtice no descoberto

aresta inexplorada

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vrtice explorado

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Exemplo de Execuo (cont.)

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Exemplo de Execuo (cont.)

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4

2

3

0 0 1 6 5 1 1

0 1 2 3 4 5 6

parent

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Algoritmo BFS(G, v)Q nova fila vaziaenqueue(Q, v)v.label DESCOBERTOenquanto ( no empty(Q) )

v dequeue(Q)process_vertex(v)v.label EXPLORADOpara todo e incidentEdges(G, v)

y opposite(G, v, e)se y.label = NO-DESCOBERTO

enqueue(Q, y)y.label DESCOBERTOy.parent v

se ( no y.label = EXPLORADO )process_edge(e)

Assume-se que inicialmente os vrtices de G so rotulados como no-descobertos.

Algoritmo BFSGarante que cada arestaser processada apenas umavez, no duas (uma paracada vrtice adjacente).

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PropriedadesNotao:

Gv: componente conexo que contm v.

Propriedade 1:

BFS(G, v) explora todos os vrtices e arestas de Gv.

Propriedade 2:

As arestas de descoberta formam uma rvore geradora de Gv.

Propriedade 3:

Qualquer vrtice s v a um no. mnimo de i arestas de v ser descoberto por um vrtice a um no. mnimo de i 1 arestas de v.

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3

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3

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Caminhos Mnimos

A propriedade 3 garante que a sucesso de descobertas produz caminhos com no. mnimo de arestas da origem v at s v .Nota: Caminhos no so nicos.

11561006543210

parent

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1

4

2

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Idia de Algoritmo Recursivo:

Caminho mnimo entre o vrtice vde incio da busca e um vrtice squalquer dado por:

caminho entre seu antecessor e s via aresta

incidente aos dois

caminho mnimo entre v e o antecessor (pai) de s na sucesso de descobertas

+

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CiclosComo as arestas de descoberta formam uma rvore geradora, qualquer aresta de cruzamento fecha um ciclo.

O ciclo dado pela aresta de cruzamento em questo mais os caminhos mais curtos a partir do ltimo antecessor comum dos seus vrtices adjacentes no parentesco de descobertas.

Exemplo:

aresta (4,6)

Antecessor comum: vrtice 2

45

2

6

3

7

1

45

2

6

3

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AnliseA rotulao de um vrtice leva tempo O(1). Cada um dos n vrtices rotulado trs vezes:

NO DESCOBERTO DESCOBERTO EXPLORADO O(n).Inserir ou remover um vrtice da fila leva tempo O(1). Cada vrtice inserido e removido uma vez da fila Q O(n).

Para cada vrtice, cada uma de suas arestas incidentes e orespectivo vrtice adjacente verificado:

Para um vrtice v tem-se que isso leva tempo O(deg(v))*. Logo, lembrando que vG deg(v) = 2m, tem-se O(m) no total.

Portanto, assumindo que process_vertex(v) e process_edge(v) executamem tempo O(1), tem-se que BFS executa em tempo O(n+m).

* PS. Esse tempo vlido para as implementaes de grafos em lista de adjacncias e estrutura alternativa.

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Exerccios1. O teorema das quatro cores declara que qualquer mapa

planar pode ser colorido utilizando apenas quatro cores sem que qualquer regio seja colorida com a mesma cor de uma regio vizinha. Aps permanecer aberto como uma conjectura por mais de 100 anos, esse teorema foi provado em 1976 com a ajuda de um computador. Um problema mais simples que este determinar se um grafo qualquer que seja no direcionado, simples e conexo pode ser bicolorido, isto , ter seus vrtices pintados com duas cores sem que vrtices adjacentes sejam pintados com uma mesma cor. Explique como resolver esse problema com BFS e modifique o pseudo-cdigo BFS para tal.

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Exerccios2. Ilustre graficamente, conforme o exemplo dado em aula, as execues

passo a passo do algoritmo BFS com incio em cada um dos vrtices do grafo abaixo. Nota: Destaque, em cada execuo, quais as arestas de cruzamento, as arestas de descoberta, a rvore geradora resultante e a relao (vetor) de parentesco entre os vrtices:

3. Elabore outros grafos e repita o Exerccio 3 para exercitar a busca BFS.

1 2

3

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a

b

c

d

eg

fh

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Exerccios4. Considere que a matriz abaixo represente as conexes areas bilaterais existentes (x) ou

no (em branco) entre um dado conjunto de 16 cidades. Aplique BFS para descobrir as rotas com o menor nmero de conexes ligando a cidade 1 s demais cidades e apresente as 15 rotas. Dica: Visualize o grafo como um grid 4 x 4, sendo a cidade 1 na posio (1,1), a cidade 2 na posio (1,2), etc, at a cidade 16 na posio (4,4).

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x x

x x x x

x x x

x x

x x x

x x

x x

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BibliografiaM. T. Goodrich and R. Tamassia, Data Structures and Algorithms in C++/Java, John Wiley & Sons, 2002/2005.

N. Ziviani, Projeto de Algoritmos, Thomson, 2a. Edio, 2004.

T. H. Cormen, C. E. Leiserson, and R. L. Rivest, Introduction to Algorithms, MIT Press, 2nd Edition, 2001.

S. Skiena e M. Revilla, Programming Challenges: The Programming Contest Training Manual, Springer-Verlag, 2003.