Clculo NumricoMdulo 2 Prof. Dr. Reinaldo Burian

Mdulo 2 p. *Existem vrios mtodos de refinamento de raiz a forma como se efetua o refinamento que diferencia os mtodos.

Todos eles pertencem classes dos mtodos iterativos.

Todos eles fornecem apenas uma aproximao para a soluo exata.

Fluxograma:

Deve-se ter cuidado de estipular um nmero mximo de iteraes para se evitar que o programa entre em looping devido a erros no prprio programa ou inadequao do mtodo usado para o problema em questo!!!Refinamento das Razes

Mdulo 2 p. *Como efetuar o teste (i) se no sabemos ?Uma forma reduzir o intervalo que contm a raiz a cada iterao.

Refinamento das razesCritrio de ParadaOs mtodos iterativos para obter zeros de funo efetuam um texto do tipo:xk est suficientemente prximo da raiz exata?

Xk a aproximao obtida no iterao k, ou seja o valor aproximado do zero da funo ou raiz aproximada da funo.Existem duas interpretaes para raiz aproximada que nem levam ao mesmo resultado:

Xk a raiz aproximada com preciso se:

(i) ou (ii)

Nem sempre possvel ter as duas exigncias acima!

A raiz exata da funo

Mdulo 2 p. *Ao se conseguir um intervalo [a,b] tal que:

[a,b] e b a <

Ento x [a,b], | x - | < .Portanto, x [a,b] pode ser tomado como a raiz aproximada .abLocalizao das Razes

Mdulo 2 p. *Teorema: para garantir a convergncia do processo iterativo.Seja uma raiz de uma funo , isolada num intervalo A = [a,b]e seja uma funo tal que . Se(a) e so funes contnuas em A;

(b)

(c) xo I e xn+1 = (xn) A para n = 0, 1, 2, ...

ento a seqncia {xn} converge para .

Mtodo de Newton-RaphsonA seqncia de aproximaes da raiz de uma funo f(x) obtida atravs de uma relao de recorrncia da forma:

xn+1 = (xn) , n = 0, 1, 2, ...

onde xo uma aproximao inicial de e (x) uma funo que tem como ponto fixo, isto , .

Mdulo 2 p. *Newton-RaphsonIdia Central:

Mdulo 2 p. *Newton-Raphson

Mdulo 2 p. *Newton-RaphsonEscolhe-se uma aproximao inicial xo suficientemente prxima da raiz e depois obtm-se a seqncia xn, para n=1, 2, ....Se a seqncia obtida aparentemente no estiver convergindo, abandona-se o processo e recomea-se escolhendo outro valor inicial.

Mdulo 2 p. *Newton-RaphsonInterpretao Geomtrica:Este mtodo tambm conhecido como mtodo das tangentes!

Mdulo 2 p. *x0f(x0 )x1A cada aplicao do mtodo, ficamos cada vez mais prximos da raiz verdadeira.Newton-Raphson

Mdulo 2 p. *x1x0f(x0 )f(x0) aproxima-se de zero.A cada aplicao do mtodo, ficamos cada vez mais prximos da raiz verdadeira.Newton-Raphson

Mdulo 2 p. *Exemplo 1: Consideremos a funo:

f(x) = x3 9x + 3.

Newton-RaphsonSabemos que Esta funo possui 3 zeros:x1 A1= (-4,-3)x2 A2 = (0,1)x3 A3 = (2,3)Vamos utilizar o mtodo de Newton-Raphson para encontrar a primeira raiz (x1). chuteValor da derivada da funo no ponto xnValor da funo no ponto xnNovo chuteIteraes

xf(x)-4-25.00-33.00-313,39-2-113.0011.0003.001-5.003-7,392-7.0033.00

Mdulo 2 p. *Faamos a seguinte tabela:Newton-RaphsonA derivada f (x) da funo :

f (x) = 3x2 - 9 O nosso chute inicial (x0) ser

x0 = [(-4) + (-3)] / 2 = -3,5 Ponto mdio do intervalo onde a raiz estConsideraremos os resultados com 4 casas decimais.

nxnf(xn)f(xn)xn+10-3,5

Mdulo 2 p. *-8,375027,7500-3,1982-3,1554-3,154521,685420,8689-0,9289-0,01750,0000-3,1982-3,1554-3,1545123Zero da funof(x) = x3 9x + 3f(x) = (-3,5)3 9(-3,5) + 3f(x) = 3x2 9f(x) = 3(-3,5)2 9xn+1 = xn f(xn)/f(xn)xn+1 = (-3,5) (-8,3750 / 27,7500)f(x) = x3 9x + 3f(x) = (-3,1982)3 9(-3,1982) + 3f(x) = 3x2 9f(x) = 3(-3,1982)2 9xn+1 = xn f(xn)/f(xn)xn+1 = (-3,1982) (-0,9289 / 21,6854)f(x) = x3 9x + 3f(x) = (-3,1554)3 9(-3,1554) + 3f(x) = 3x2 9f(x) = 3(-3,1554)2 9xn+1 = xn f(xn)/f(xn)xn+1 = (-3,1554) (-0,0175 / 20,8689)f(x) = x3 9x + 3f(x) = (-3,1545)3 9(-3,1545) + 3

nxnf(xn)f(xn)xn+10-3,5

Mdulo 2 p. *Faamos a seguinte tabela:Newton-RaphsonO nosso chute inicial (x0) ser

x0 = [(0) + (1)] / 2 = 0,5 Ponto mdio do intervalo onde a raiz estConsideraremos os resultados com 4 casas decimais.Vamos utilizar o mtodo de Newton-Raphson para encontrar a segunda raiz (x2).

nxnf(xn)f(xn)xn+100,5

Mdulo 2 p. *-1,3750-8,25000,33330,3376-8,66670,03700,00000,33330,337612Zero da funof(x) = x3 9x + 3f(x) = (0,5)3 9(0,5) + 3f(x) = 3x2 9f(x) = 3(0,5)2 9xn+1 = xn f(xn)/f(xn)xn+1 = (0,5) (-1,3750 / -8,2500)f(x) = x3 9x + 3f(x) = (0,3333)3 9(0,3333) + 3f(x) = 3x2 9f(x) = 3(0,3333)2 9xn+1 = xn f(xn)/f(xn)xn+1 = (0,3333) (0,0370 / -8,6667)f(x) = x3 9x + 3f(x) = (0,3376)3 9(0,3376) + 3

nxnf(xn)f(xn)xn+100,5

Mdulo 2 p. *Faamos a seguinte tabela:Newton-RaphsonO nosso chute inicial (x0) ser

x0 = [(2) + (3)] / 2 = 2,5 Ponto mdio do intervalo onde a raiz est-3,87509,75002,89742,820416,18541,24740,05122,89742,820412Zero da funoVamos utilizar o mtodo de Newton-Raphson para encontrar a terceira raiz (x2). 14,86342,816932,81690,000114,80512,816942,81690,0000Consideraremos os resultados com 4 casas decimais.

nxnf(xn)f(xn)xn+102,5

Mdulo 2 p. *Exemplo 2: Deseja-se construir um reservatrio em forma de prisma reto de base quadrada, com capacidade de 2000 litros, usando, para paredes, fundo e tampa, 20 m2 de material. Quais devem ser as dimenses do reservatrio?Newton-RaphsonNo temos a funo para o problema, ento teremos que encontr-la.Prisma Reto de Base Quadrada:= 20 m2 = 2000 litros = 2 m3 Vamos chamar de x a aresta da base, ento temos duas equaes:

4xh + 2x2 = 20x2 h = 2Isolando h h = 2 / x2 x3 10x + 4 = 0

Mdulo 2 p. *Newton-Raphson

Mdulo 2 p. *Nossa funo e sua derivada de primeira ordem:f(x) = x3 10x + 4 f(x) = 3x2 10.

Newton-RaphsonEsta funo possui 2 zeros possveis (X > 0):x1 A1= (0,1)x2 A2 = (2,3)Vamos utilizar o mtodo de Newton-Raphson para encontrar a primeira raiz (x1). O nosso chute inicial (x0) ser

x0 = [(0) + (1)] / 2 = 0,5 Ponto mdio do intervalo onde a raiz est

xf(x)04.001-5.002-8.0031.00428.00579.00

Mdulo 2 p. *Faamos a seguinte tabela:-0,8750-9,25000,40540,4067-9,50690,01260,00000,40540,406712Zero da funoNewton-RaphsonVamos utilizar o mtodo de Newton-Raphson para encontrar a segunda raiz (x2). O nosso chute inicial (x0) ser

x0 = [(2) + (3)] / 2 = 2,5 Consideraremos os resultados com 4 casas decimais.f(x) = x3 10x + 4f(x) = 3x2 10xn+1 = xn f(xn)/f(xn)Mas ... E se eu considerar 3,5?

nxnf(xn)f(xn)xn+100,5

Mdulo 2 p. *Newton-RaphsonFaamos a seguinte tabela:11,875026,75003,05612,946118,01881,98170,10963,05612,946112Zero da funo16,03842,939332,93930,000415,91782,939242,93920,0000Consideraremos os resultados com 4 casas decimais.f(x) = x3 10x + 4f(x) = 3x2 10xn+1 = xn f(xn)/f(xn)

nxnf(xn)f(xn)xn+103,5

Mdulo 2 p. *Newton-RaphsonOs resultados para o nosso problema: x = 0,4067 m e h = 12,0899 m

Lembre-se que h = 2 / x2 x = 2,9392 m e h = 0,2315 m

Mdulo 2 p. *A expresso geomtrica do mtodo de Newton-Raphson exige que se conhea a expresso da derivada f(x).Isto nem sempre fcil de se obter.

Contudo, pode-se tomar uma aproximao para a derivada f(x):ConsideraesNewton-RaphsonDefinio de derivada!h arbitrrio, positivo e pequeno

Mdulo 2 p. *A expresso geomtrica do mtodo de Newton-Raphson ser agora:Newton-Raphson

Mdulo 2 p. *Exemplo 3: A funo abaixo possui um zero no intervalo A = [0,1]. Utilize o mtodo de Newton-Raphson para encontrar uma aproximao para esta raiz. Considere a preciso de 10-3 .f(x) = 0,9 xx/2.

Newton-RaphsonFaamos a seguinte tabela:O nosso chute inicial (x0) ser

x0 = [(0) + (1)] / 2 = 0,5 h = 0,001

nxnf(xn)xn+hf(xn+h)f(xn)xn+100,5

Mdulo 2 p. *0,0590,5010,95710,957-0,079-0,1290,9580,059-0,079-0,4680,78820,788-0,0100,789-0,011-0,3470,75830,7580,000Zero da funof(x) = 0,9-xx/2f(x) = [ f(x+h) f(x) ] / hxn+1 = xn f(xn)/f(xn)f(x+h) = 0,9-(x+h)(x+h)/2x + 0,001

nxnf(xn)xn+hf(xn+h)f(xn)xn+100,5

Mdulo 2 p. *Exerccios

Encontre a raiz aproximada das funes a seguir:

f(x) = x2 + 7

f(x) = (x - 2)4

f(x) = e-x - lnx

Determinar o valor da nica raiz fisicamente possvel do seguinte problema:

Uma bia esfrica de raio R e densidade especfica , ao flutuar na gua, afunda de uma quantidade x dada pela equao:

x3 + 2Rx2 - 4R3 = 0.

Se a bia tem raio 3 e feita de cortia ( = 0,25), encontre a quantidade que ele afundar.

Newton-Raphson

Mdulo 2 p. *Newton-RaphsonUm aparelho eletrnico pode ser vendido por R$1200,00 vista ou em 8 pagamentos mensais iguais de R$165,00, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Calcule a taxa de juros mensal que est sendo cobrada pelo lojista.

Dica: Considere:

V : preo de venda vista;A : valor de cada pagamento mensal; n : nmero de pagamentos mensais (o primeiro no ato da compra) x : taxa de juros mensal

Temos que:Implementar em Delphi

Mdulo 2 p. *AlgoritmoIncioEpsilon 0,00000001Entre com o valor de x0NX0 func(X0, Epsilon)X0Delta ABS (NX0 X0)X0 NX0Delta

Mdulo 2 p. *Func(X0, Epsilon)FX0 X0H XO + EpsilonFX0H X1 X0 (FX0 / DFX0)DFX0 (FXOH FX0) / EpsilonRetorna (Func)AlgoritmoAlgoritmo da Funo Func(X0)

h = Epsilon = precisoEste algoritmo no imprime a tabela com os dados calculados, somente fornece o valor do novo x!

Parmetros de entrada da subrotinaParmetros de sada da subrotinaO parmetro de sada (retorno) de uma funo deve ter o nome da funo! Func X1