Derivação Implícita – Profa Cristina - 1

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA

Considere a equação:

0y)F(x, = (1)

Dizemos que )x(fy = é definida implicitamente pela equação (1) se ao substituirmos y por

)x(f em (1) obtivermos uma igualdade.

Exemplo 1: xy =2 . Se considerarmos duas funções deriváveis de x, 0≥x , dadas por xy =1

e xy −=2 veremos que ao substituí-las na equação, teremos ( ) xx =2

e ( ) xx =−2

. Logo, tanto

1y quanto 2y satisfazem a equação dada. Dizemos, neste caso, que a equação xy =2 define

implicitamente as funções xy =1 e xy −=2 .

Exemplo 2: A equação 422=+ yx define implicitamente uma variedade de funções. Dois exemplos

de funções definidas implicitamente são 2

1 4 xy −= e 2

2 4 xy −−= , [ ]22,x −∈ , cujos gráficos

são mostrados na Figura 1.

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = sqrt(4-xx)

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

yy = -sqrt(4-xx)

Figura 1 – Duas funções definidas implicitamente pela equação 422=+ yx .

Outras funções definidas implicitamente pela mesma equação podem ser

<≤−−

<≤−−=

214

124

2

2

1

x,x

x,x)x(h e

<≤−−

<≤−−=

204

024

2

2

2

x,x

x,x)x(h . Observe que as funções )x(h1 e

)x(h2 não são contínuas em todos os pontos de seu domínio e, portanto, não são deriváveis nestes

pontos. Além das funções dadas, existem outras infinitas funções que são definidas implicitamente

pela equação 422=+ yx .

OBSERVAÇÃO: Nos exemplos 1 e 2 dados anteriormente, foi possível encontrar a forma explícita

de uma função definida implicitamente. Entretanto, nem sempre isso é possível, como, por exemplo,

em uma equação do tipo )xy(senxy +=22 .

Derivação Implícita – Profa Cristina - 2

DERIVAÇÃO IMPLÍCITA

Suponha que 0y)F(x, = defina implicitamente uma função derivável )x(fy = . Nestas

condições, usaremos a Regra da Cadeia para determinar y , sem explicitar y .

Exemplo 3: Sabendo que )x(fy = é definida implicitamente pela equação 422=+ yx , determinar

y .

Exemplo 4: Sabendo que )x(fy = é definida implicitamente pela equação )xy(senxy +=22 ,

determinar y .

Exemplo 5: Sabendo que )x(fy = é definida implicitamente pela equação 022=+ xsenyyx ,

determinar y .

Exemplo 6: Mostre que o ponto ),(P 11 pertence à curva 012444 22=−++ xyyx . Em seguida,

encontre a tangente e a normal à curva neste ponto.

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Exemplo 7: Mostre que o ponto ),(P 42 pertence à curva 0933=−+ xyyx . Em seguida, encontre a

tangente e a normal à curva neste ponto.

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

y