Controle Avançado – 2011-IProf. Marcos Cruz

Aula 1 – Realimentação de Estados Realimentação de estados x: as variáveis de

estado do sistema precisam estar disponíveis para serem utilizadas pelo controlador;

Realimentação de saídas y: um conjunto de variáveis de saída relacionadas a variáveis de estado devem estar disponíveis,

y = Cx+Du;

Aula 1 – Realimentação de Estados

Aula 1 – Realimentação de Estados

Planta:

Sistema Realimentado

Cxy

BuAxx

Cxy

BrÃxx

BrxBKAx

)(

Controle

Kxru

Aula 1 – Realimentação de Estados Os pólos em malha fechada serão os

autovalores de (A – BK) e podem ser posicionados arbitrariamente se e somente se o par (A,B) for controlável;

Obs: sI – (A – BK) = sI – A + BK

Exemplo

Exemplo - continuação

Vantagem da Forma Canônica Controlável A imposição de uma

dinâmica modificada para o sistema (em outro termos, reposicionamento dos pólos da malha fechada em relação aos pólos da malha aberta) é simplificado pela representação do sistema na forma controlável, porque pode se escolher uma lei de controle u(t) que altere todos coeficientes da matriz dinâmica;

Exemplo no MatLab

Os comandos ‘place’ e ‘acker’ retornam o vetor K, com os ganhos necessários para que os autovalores em malha fechada se posicionem onde especificado;

Exemplo – no MatLaB

>> f=place(A,B,[-2+3.464j,-2-3.464j])

f = 13.9993 1.0000

>> f=acker(A,B,[-2+3.464j,-2-3.464j])

f = 13.9993 1.0000

Exemplo – quando não é possível reposicionar um dos autovalores O autovalor +2 não

pode ser reposicionado porque o termo correspondente na matriz sI – (A-BK) não pode ser alterado por K1 nem por K2;

O termo ‘fixo’ é ‘s-2’;

Exemplo Anterior – identificando um modo não controlável >> [P,AV]=eig(A)

P = 1.0000 0.7071 0 0.7071

AV = 1 0 0 2

>> Pinv = inv(P) Pinv = 1.0000 -1.0000 0 1.4142

>> Bstar = Pinv*B Bstar = 1 0

Exemplo Anterior – identificando um modo não controlável O zero na matriz modal

B mostra que o modo associado ao estado r2 não é controlável;

Fórmula de Ackermann

Para sistemas com ordem maior que 2, a fórmula de Ackermann provê uma maneira mais simples de determinar os valores de K;

Q = [A AB …An-1B] matriz de controlabilidade; K = [0…1]Q-1d(A)

d(s): polinômio definido pela localização dos novos pólos;

Fórmula de Ackermann – voltando ao exemplo

Ackermann – Função p/ evoluir polinômio c/ argumento matriz quadrada >> P=[1 4 16]; >> A=[0 1;-2 -3]; >> Y=POLYVALM(P,A)

Y =

14 1 -2 11

1,4,16 coeficientes de

s2+4s+16; 3 coeficientes porque

grau máximo (no caso) é 2;

Atenção: POLYVAL ≠ POLYVALM;

Restrições Numéricas ao comando ‘acker’ Note: This algorithm uses Ackermann's

formula. This method is NOT numerically reliable and starts to break down rapidly for problems of order greater than 10, or for weakly controllable systems. A warning message is printed if the nonzero closed-loop poles are greater than 10% from the desired locations specified in P.

Realimentação de Estados – efeito sobre a observabilidade Realimentação de estados não modifica a

controlabilidade, mas pode afetar a observabilidade, criando ou destruindo esta;

A destruição da observabilidade está associada ao deslocamento de um pólo que, em função disso, cancela um zero;

Exemplo – efeito sobre observabilidade

O=OBSV(A,C)

O = 1 1 4 -1

>> rank(O) ans = 2

Exemplo – efeito sobre observabilidade Autovalores de A: 2.61

e 0.38 (instável); Projeto de

realimentação para posicionar os autovalores em -1 e -2;

O posicionamento em -1 deverá comprometer a observabilidade;

>> f=place(A,B,[-1,-2])

f = 6.0000 1.0000; Ã=(A-BK) Ã = [-3 -2;1 0];

Exemplo – efeito sobre observabilidade Autovalores de A: 2.61

e 0.38 (instável); Projeto de

realimentação para posicionar os autovalores em -1 e -2;

O posicionamento em -1 deverá comprometer a observabilidade;

>> Atil= [-3 -2;1 0]; >> C=[1 1]; >> O=OBSV(Atil,C) O =

1 1

-2 -2

>> rank(O) ans = 1

Exercício

A = (1 1;1 2) B = (1;0) Verificar estabilidade (instabilidade, no caso) Projetar ganho de realimentação de estados

que estabiliza o sistema; Se novos autovalores em -5 e -6, K = [14

57]; Verificar se a Observabilidade foi afetada;