aula_09

CLCULO NUMRICOAula 9 Resoluo de Equaes Diferenciais Ordinrias de 1a ordem.

SSSSS

AULA 9: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIASCLCULO NUMRICO

CONTEDO PROGRAMTICO DESTA AULAEquaes diferenciais de 1a ordem

Mtodo de Euler

SSSSS


EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS

Uma Equao Diferencial Ordinria (EDO) uma equao da forma F(x, y(x), y(x), y(x), ..., y(n)(x)) = 0 envolvendo uma funo incgnita y = y(x) e suas derivadas. A varivel x independente enquanto y dependente. O smbolo y(k) denota a derivada de ordem k da funo y = y(x).

Exemplos:

SSSSS


EQUAES DIFERENCIAIS - APLICAES

Na engenharia, a utilizao de equaes diferenciais tem como objetivo descrever o comportamento dinmico de sistemas fsicos. Como, por exemplo, a equao diferencial que descreve o comportamento dinmico de um circuito ou de um movimento harmnico simples.

SSSSS


EQUAES DIFERENCIAIS - CONCEITOS

A ordem da equao diferencial a ordem da mais alta derivada da funo incgnita que ocorre na equao. Grau o valor do expoente para a derivada mais alta da equao, quando a equao tem a forma de um polinmio na funo incgnita e em suas derivadas.

Equao diferencial ordinria aquela em que a funo y e suas derivadas s dependem de 1 varivel.(ordem 2 e grau 1)(ordem 2 e grau 3)

SSSSS


SOLUO DE UMA EQUAO DIFERENCIAL

A soluo de uma equao diferencial uma funo que no contm derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equao dada, isto , a funo que, substituda na equao dada, a transforma em uma identidade.

SSSSS


PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)

Para que a equao diferencial tenha soluo nica define-se o PVI para uma equao diferencial de ordem n F(x,y,y,y,...,yn)=0 como sendo a equao diferencial mais n equaes do tipo:

SSSSS


EXEMPLO 1.

Dada a equao diferencial y + 4y = 0, verifique se y = C1.cos2x + C2.sen2x uma soluo geral e resolva o problema de valor inicial com as seguintes condies:

Soluo:y = C1.cos2x + C2.sen2x y = -2C1.sen2x + 2C2.cos2x

y = -2C1.sen2x + 2C2.cos2x y = -4C1.cos2x - 4C2.sen2x

Substituindo: -4C1.cos2x - 4C2.sen2x +4.(C1.cos2x + C2.sen2x) = 00 = 0

SSSSS


EXEMPLO 1 - CONTINUAO.

y = C1.cos2x + C2.sen2x e y = -2C1.sen2x + 2C2.cos2xy(/4) =11 = C1.cos2(/4) + C2.sen2(/4)1 = C1.cos(/2) + C2.sen(/2)1 = C1.0 + C2.1C2=1y(/4) =00 = -2C1.sen2(/4) + 2C2.cos2(/4)0 = -2C1.sen(/2) + 2.1.cos(/2)0 = C1.1 + C2.0C1=0Soluo particular: y = sen2x

SSSSS


MTODO DE EULER

O mtodo de Euler, tambm conhecido como mtodo da reta secante, um dos mtodos mais antigos que se conhece para a soluo de equaes diferenciais ordinrias

Seja uma funo y = f (x, y) com a condio inicial de y = yn quando x = xn.

SSSSS


MTODO DE EULER - CONTINUAO

Do grfico: y = yn+1 quando x = xn+1; h = xn+1- xn.(passo)

SSSSS


MTODO DE EULER - CONTINUAO

Equao da reta:

yn+1 = yn + tg. (xn+1- xn)

tg = dy/dx = y = f(xn,yn) (aproximadamente)

Substituindo tg = f(xn,yn) e h = xn+1- xn, temos:

yn+1 = yn + h.f(xn,yn) (Frmula de Euler)

SSSSS


EXEMPLO 2 Resolva a equao y = 1 x + 4y com a condio y0(0)= 1 para o intervalo [0,2] com passo h = 0,01Soluoyn+1 = yn + h.f(xn,yn) yn+1 = yn + 0,01.(1 x + 4y)

h = xn+1- xn xn+1 = xn + h xn+1 = xn + 0,01

n = 0 y1 = 1 + 0,01.(1 0 + 4.1) = 1,05 x1 = 0 + 0,01 = 0,01

n = 1 y2 = 1,05 + 0,01.(1 0,01 + 4.1,05) = 1,1019 x2 = 0,01 + 0,01 = 0,02

SSSSS


EXEMPLO 2 CONTINUAOSoluoyn+1 = yn + h.f(xn,yn) yn+1 = yn + 0,01.(1 x + 4y)

h = xn+1- xn xn+1 = xn + h xn+1 = xn + 0,01

n = 2 y3 = 1,1019 + 0,01.(1 0,02 + 4.1,1019) = 1,155776 x3 = 0,02 + 0,01 = 0,03

n = 3 y4= 1,155776 + 0,01.(1 0,03 + 4.1,155776) = 1,211707 x4= 0,03 + 0,01 = 0,04

SSSSS


EXEMPLO 2 CONTINUAO

SSSSS


SSSSS


RESUMINDONesta aula vocs estudaram: Equaes diferenciais de 1a ordemMtodo de Euler.

SSSSS

**

aula_09

Documents