aula02 eme 301 parte2

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Exemplo 3

O poste da figura est sujeito a uma fora de 60 N na direo

de CparaB. Determine a intensidade do momento criado

pela fora em relao ao suporte emA.

Captulo 2 - Esttica dos Corpos Rgidos 29

2.2 Momento de uma Fora

O momento de umafora em relao a

um ponto igual soma dos momentosdos componentes

Princpio dos Momentos

(teorema de Varignon)


das foras emrelao ao mesmoponto.

( )

1 2

1 2

O = +

= + =

M r F r F

r F F r F

2.3 Momento de uma Fora em

relao a um Eixo

Seja a tubulao espacial livre emA e engas-tada no planoxz.



relao a um Eixo

O momento da fora F em relao ao pontoO tende a girar a tubulao em relao ao

eixo Ob.


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relao a um Eixo

Como obter o momento da fora F em rela-

o ao eixoy?



relao a um Eixo

O momento de uma fora em relao a um

eixo especificado obtido por meio de duasetapas:

1 - Encontrar o momento


em relao ao ponto O(localizado no eixo dese-

jado)

( ) ( )

( )

0,3 0, 4 20

8 6 N.m

O A= = +

= +

M r F i j k

i j


relao a um Eixo

O momento de uma fora em relao a eixo obtido por meio de duas etapas:

2 O componente ou


projeo desse momentosobre o eixo desejado(eixoy) dado por

( )8 6 6 N.m

y O a OM = =

= + =

M u M j

i j j


relao a um Eixo

Esse processo de duas

etapas pode ser genera-lizado e aplicado a um


-trio.

)

)

1

2

O

a O O aM M cos

=

= =

M r F

M u

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relao a um Eixo

Combinando em umanica expresso, temos:


Como o produto escalar comutativo

a a=

( )a aM = u r F


relao a um Eixo

Uma vez conhecidos os eixosx,y,z, temos

M u u u r r r= = + +

i j k

u r F i k


( )

x y z

x y z

a a a a a x y z

x y z

a a a

a a x y z

x y z

F F F

u u u

M r r r

F F F

= =u r F


relao a um Eixo

( )

x y za a a

a a x y z

x y z

u u u

M r r rF F F

= =u r F


O resultado para Ma, obtido pela equaoanterior, pode ser um escalar positivo ou nega-tivo. Se for positivo, Ma ter o mesmo sentido

de ua; se for negativo, Ma ser oposto de ua .


relao a um Eixo

Na forma de um vetor cartesiano

( )a a a a aM = = M u u r F u


Finalmente, o momento resultante de umasrie de foras, calculado em relao ao eixoaa, dado por

( ) ( )a a aM = = u r F u r F

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Exemplo 4

A barra mostrada na

figura sustentada

por dois grampos emA eB. Determine o

momento MAB


pro uz o por

F = (-600i + 200j -

300k) N, que tende a

girar a barra em torno

do eixoAB.

2.4 Momento de um Conjugado

Um conjugado ou binrio formado por duasforas paralelas de mesma intensidade, senti-dos opostos e separadas por uma distnciaperpendicular d.


nula, o nico efeito de umconjugado produzirrotao ou tendncia derotao em determinadadireo


( )A B= + M r F r F

Vimos que o( )B A= r r r

Seja calcular o momento conjugado sobre aorigem.


vetor deslocamento entreos pontos A e B. Ento,

( )B A=

=

M r r F

M r F


Este resultado indica que o momento de umconjugado um vetor livre, isto , pode atuarem qualquer ponto, pois M depende apenasdo vetor posio r, que orientado entre as


,arbitrrio O.

Isso no acontece comos vetores posio rA e

rB, que tm origem noponto O.

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Esse conceito diferente domomento de uma fora, querequer um ponto (ou eixo)definido em relao ao qual


. Pela definio de produto

vetorial, M est na direo

normal ao plano do conjuga-do. O sentido pode ser vistopela figura


Para lembrar a equao do momento conju-gado, basta tomar o momento de ambas asforas em relao a um ponto sobre a linhade ao de uma delas. Por exemplo,


- O momento de -F nulo.

- O momento de F definido

pela equao:= M r F


Conjugados equivalentes: Dois conjugados so ditos equivalentes se pro-

duzem o mesmo momento. necessrio que as foras de conjugados iguais

este am ou no mesmo lano ou em lanos


paralelos entre si.

Momento conjugado resultante: Como os momentos conjugados so vetores

livres, podem ser aplicados em qualquer ponto

de um corpo e somados vetorialmente.


Por exemplo, dois conjugadosatuando em planos diferentesdo corpo so substitudos pe-los momentos conjugados cor-


. ,vetores livres so movidos atum ponto P e somados paraobter o momento conjugadoresultante.

( )= M r F

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Exemplo 5

Determine o mo-

mento conjugado

que atua sobre aestrutura de tubos

mostrada na figu-


ra. segmento

AB est orientado

em 30o abaixo do

planoxy.

Exemplo 6

Uma fora F1 = 10i + 6j + 3k age na posio

(3,0,2). No ponto (0,2,-3) age uma fora igual e

oposta - F1.

a) Qual o momento conjugado?


Quais so os cossenos diretores da normal ao

plano do conjugado?

c) Qual a distncia perpendicular entre essas

foras?

Proposto 1

Determine a distncia dentreA eB de modo que o

momento conjugado resultante tenha intensidade

MR = 20 N.m.


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