aula trigonometria estudo das funções

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E.E.E.F.M. PROFA. CLOTILDE PEREIRA. DISCIPLINA: MATEMÁTICA SÉRIE: PROF: JOÃO CARLOS. TRIGONOMETRIA – ESTUDO DAS FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE. 1- ESTUDO DA FUNÇÃO SENO: Podemos definir a função seno como: sen f ( x )=sen x π/2=90° C B D A π=180° E H F G 3π/2 = 270° FUNÇÃO SENO QUADRANTE I II III IV CRESCIMEN TO SINAL POS POS NEG NEG ARCOS PRICIPAIS: AR C π/ 2=90° π= 180° 3π/ 2=270° 2π=36 se n 0 1 0 - 1 0 Gráfico: f(x) = sen x Arco sen Y = f(x) 0 0 90°=π/2 1 1 180°=π 0 0 270°=3π /2 -1 -1 360°=2π 0 0 = sen x senóide Domínio da função f(x) = sen x . O domínio de uma função são todos os valores da variável (x) onde a função existe. D f (x) =R Imagem da função: é o conjunto de valores que a função assume. No caso da função seno, ela assume os valores: Valor mínimo: f ( x ) min =−1 Valor máximo: f ( x) max =1 Logo o conjunto imagem da função é o intervalo: I m f ( x )=[1 ; 1 ] Período: A função seno é uma função periódica, cujo período é 2π. Isto é a partir de 2π, os

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E.E.E.F.M. PROFA. CLOTILDE PEREIRA.DISCIPLINA: MATEMÁTICA SÉRIE: 2ªPROF: JOÃO CARLOS.TRIGONOMETRIA – ESTUDO DAS FUNÇÕES SENO, COSSENO E TANGENTE.

1- ESTUDO DA FUNÇÃO SENO:

Podemos definir a função seno como: sen f ( x )=sen x

π/2=90° C B

D A π=180° 0°

E H

F G 3π/2 = 270°

FUNÇÃO SENOQUADRANTE I II III IVCRESCIMENT

OSINAL POS POS NEG NEG

ARCOS PRICIPAIS:ARC 0° π/2=90° π= 180° 3π/2=270° 2π=360°sen 0 1 0 - 1 0

Gráfico: f(x) = sen xArco sen Y = f(x)

0° 0 090°=π/2 1 1180°=π 0 0

270°=3π/2 -1 -1360°=2π 0 0

= sen x senóide

Domínio da função f(x) = sen x .

O domínio de uma função são todos os valores da variável (x) onde a função existe.

Df ( x )=R

Imagem da função: é o conjunto de valores que a função assume.No caso da função seno, ela assume os valores:

Valor mínimo: f ( x )min=−1Valor máximo: f (x)max=1

Logo o conjunto imagem da função é o intervalo:

Im f ( x )=[−1;1 ]

Período: A função seno é uma função periódica, cujo período é 2π. Isto é a partir de 2π, os valores que a função assume voltam-se a repetir.

Forma modificada da função seno:

f ( x )=D+A sen (b+kx)

D : Representa um deslocamento vertical, isto é, ao longo do eixo Y.A : É uma variação na amplitude da função.b : Representa um deslocamento horizontal, isto é, ao longo do eixo X.k : Modifica o período da função. Para a função seno cujo período é 2π. O novo período é calculado por:

P ( f )=2 πk

Ex: Faça o gráfico da função

f ( x )=2+sen ( π2

+2x )

Determine o Domínio, a Imagem e o período:Solução:Podemos sem fazer o gráfico já determinar o Domínio, a Imagem e o período da função:Domínio: Como não existe restrição para os valores de x o domínio é o conjunto dos reais.

D ( f )=R

A imagem pode ser calculada usando os valores mínimo e máximo que a função seno assume:

Para o mínimo: sen( π2 +2 x)=−1, então:

f ( x )=2+ (−1 )=1

Para o máximo: sen( π2 +2 x)=1, então:

f ( x )=2+1=3

Portanto o conjunto imagem da função é o intervalo:

ℑ ( f )= [1 ;3 ]

O período é dado por:

P ( f )=2 πk

como k=2, então:

P ( f )=2 π2

O gráfico:

Arco sen( π2 +2 x) x Y=f (x )

0° 0−π4

2

π/2 1 0 3

π 0π4

2

3π/2 -1π2

1

2π 03π2

2

Calculo dos valores de x:π2+2 x=0→x=−π

4

π2+2 x=π

2→x=0

π2+2 x=π→ x=π

4π2+2 x=3π

2→x=π

2π2+2 x=2π→ x=3 π

4

Calculo dos valores de Y:

Y=f ( x )=2+sen( π2 +2 x)

Para 0°: Y=2+0=2Para π/2: Y=2+1=3 Para π: Y=2+0=2Para 3π/2: Y=2+(−1)=1Para 2π Y=2+0=2

Gráfico: Y 3

2

1

−π4

0 π4

π2

3π2

X

2- ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO:

f ( x )=cos x

π/2=90° C B

D Aπ=180° 0° cos 2π=360° E H

F G 3π/2=270°

FUNÇÃO COSSENOQUADRANTE I II III IVCRESCIMENT

OSINAL POS NEG NEG POS

ARCOS PRINCIPAISARC 0° π/2=90° π= 180° 3π/2=270° 2π=360°cos 1 0 -1 0 1

GRÁFICO DA FUNÇÃO Y = f (x) = cos x

Arco cos Y = f(x)0° 1 1

90°=π/2 0 0180°=π -1 -1

270°=3π/2 0 0360°=2π 1 1

Y = cos x

0Domínio da função f(x) = cos x .

O domínio de uma função são todos os valores da variável (x) onde a função existe.

Df ( x )=R

Imagem da função: é o conjunto de valores que a função assume.No caso da função cosseno, ela assume os valores:

Valor mínimo: f ( x )min=−1Valor máximo: f (x)max=1

Logo o conjunto imagem da função é o intervalo:

Im f ( x )=[−1;1 ]

Período: A função cosseno é uma função periódica, cujo período é 2π. Isto é a partir de 2π, os valores que a função assume voltam-se a repetir.

Forma modificada da função seno:

f ( x )=D+A cos(b+kx )

D : Representa um deslocamento vertical, isto é, ao longo do eixo Y.A : É uma variação na amplitude da função.b : Representa um deslocamento horizontal, isto é, ao longo do eixo X.k : Modifica o período da função. Para a função cosseno cujo período é 2π. O novo período é calculado por:

P ( f )=2 πk

Ex: Faça o gráfico da função

f ( x )=2+cos( π2+2x )

Determine o Domínio, a Imagem e o período:

3- FUNÇÃO TANGENTE:

f ( x )=tg x tg x

B π/2=90° F

A Eπ=180° 0° 2π=360° D H 3π/2=270° C G

FUNÇÃO TANGENTEQUADRANTE I II III IVCRESCIMENT

OSINAL POS NEG POS NEG

ARCOS PRINCIPAISARC 0° π/2=90° π= 180° 3π/2=270° 2π=360°cos 0 ∄ 0 ∄ 0

Gráfico da função Y=f(x)=tg xArco Tg Y = f(x)

0° 0 090°=π/2 ∄ ∄180°=π 0 0

270°=3π/2 ∄ ∄360°=2π 0 0

Y=tg x

X 0°

Domínio da função f(x) = tg x .

O domínio de uma função são todos os valores da variável (x) onde a função existe. A função tangente não existe para x= π/2 + kπ com k=1,2,3,....

Df ( x )={xϵ R /x ≠ π2+kπ }

Imagem da função: é o conjunto de valores que a função assume.No caso da função tangente, ela assume os valores:

Valor mínimo: f ( x )min=−∞Valor máximo: f (x)max=+∞

Logo o conjunto imagem da função é o conjunto dos reais:

Im f ( x )=R

Período: A função tangente é uma função periódica, cujo período é π. Isto é a partir de π, os valores que a função assume voltam-se a repetir.

Ex: Para que valores de x existe a função f(x)= tg 3x.

Pela definição do domínio temos:

3 x≠π2+kπ

x≠π6+k π3

Ex2: Qual o domínio da função real definida por

f ( x )=tg(2x− π3).

Ex3: Esboce o gráfico e dê o domínio da funçãof ( x )=tg¿)

(I João 5:4-5) - Porque todo o que é nascido de Deus vence o mundo; e esta é a vitória que vence o mundo, a nossa fé. Quem é que vence o mundo, senão aquele que crê que Jesus é o Filho de Deus?EXERCÍCIOS:1ª) Faça o gráfico, dê o domínio, a imagem e o período das funções abaixo:

a) f ( x )=3−sen xb) f ( x )=4+2cos x

c) f ( x )=2+3 sen( π6 +2x )d) f ( x )=3+2cos( π3 +3 x )

2ª)( Unesp-SP) Observe o gráfico abaixo:

Y(x)

2

π6

0 π3

π2

2π3

x

-2

Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função Y(x) é:

a) – 2 cos (3x)b) – 2 sen (3x)c) 2 cos (3x)d) 3 sem (2x)e) 3 cos (2x)

3ª) (Vunesp, adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura em °C do solo da região compreendida entre os Municípios de Mojú e Tailândia, em uma pesquisa para verificar a viabilidade de implantação de um plantio de dendê em alta escala, visto que a região já tem uma grande produção do produto. A coleta durou 3 dias e foi feita em intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou ás 3 horas da manhã do primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função:

T (t )=23+6. sen( π12 t+ 3π2 )Em que t indica o tempo em horas decorrido após o início da observação, e T (t) a temperatura em °C no instante t. Então a temperatura máxima registrada e o horário em que essa temperatura ocorreu no primeiro dia de observação , são respectivamente:

a) 23°C e 12 h d) 26°C e 18 h b) 23°C e 18 h e) 29°C e 12 hc) 29°C e 18 h