Áreas e Volumes

TOPOGRAFIA

¨  A estimativa da área de um terreno pode ser determinada através de medições realizadas diretamente no terreno ou através de medições gráficas sobre uma planta topográfica.

¨  As áreas que realmente interessam em todos os trabalhos topográficos são as correspondentes à projeção horizontal do terreno.

¨  Um terreno plano e um inclinado podem ter a mesma área legal e administrativa, mesmo que as suas áreas reais sejam distintas.

Áreas e Volumes

¨  A área de um terreno pode ser estimada por vários processos:

¤  Processo geométrico (decomposição em figuras elementares)

¤  Processo analítico (coordenadas cartesianas dos vértices, média das alturas, trapézios, parábolas ou de Sympson, quadrículas)

¤  Processo mecânico (planímetros)

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DECOMPOSIÇÃO EM FIGURAS ELEMENTARES

¨  Consiste em dividir a área a ser estimada em figuras geométricas conhecidas tais como: triângulos, quadriláteros, trapézios.

¨  Aplica-se quando os contornos são poligonais.

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COORDENADAS CARTESIANAS DO VÉRTICE

¨  A área é calculada a partir das coordenadas cartesianas do contorno poligonal que limita o terreno.

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MÉTODO DA MÉDIA DAS ALTURAS

¨  AB = maior eixo y = rectas perpendiculares a AB

¨  A área pode ser estimada substituindo a figura por um retângulo de lados AB e Ym, cuja área = AB × Ym.

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MÉTODO DOS TRAPÉZIOS OU DE BEZOUT

¨  AB = maior eixo y = rectas perpendiculares a AB = bases dos trapézios; h = altura do trapézio/triângulo

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MÉTODO DAS PARÁBOLAS OU DE SIMPSON

¨  Dividir a área num n.º de par de intervalos com o mesmo espaçamento

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MÉTODO DA QUADRÍCULA

¨  Consiste em sobrepor uma quadrícula de dimensões conhecidas sobre a figura da área a determinar e contar o número de quadrados inscritos nesta.

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PLANÍMETRO

¨  Instrumento que mede a área de uma região simplesmente percorrendo o contorno que a delimita e com base em princípios matemáticos sofisticados.

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¨  O volume pode ser estimada por vários processos:

¤  Decomposição em troncos de cone

¤  Método aproximado

¤  Decomposição em formas simples (formas mais complexas)

¤  Método da área média

¤  Método exacto

¤  Método da média das áreas

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DECOMPOSIÇÃO EM TRONCOS DE CONE

¨  Considere-se duas curvas de nível, sendo A1 e A2 áreas das figuras limitadas pelas curvas de nível.

¨  No caso de não ser possível medir M, pode-se tomar como estimativa:

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E – equidistância natural M – área da secção equidistante das bases A1 e A2

MÉTODO APROXIMADO

¨  Condições de aplicação: Superfícies laterais planas e verticais

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= base plana e horizontal

h = cota de trabalho = cota terreno - cota de projeto

DECOMPOSIÇÃO EM FORMAS SIMPLES

¨  Aplica-se a formas complexas e consiste em dividir estas em formas mais simples.

¨  Metodologia 1.  Divide-se a área num conjunto de áreas elementares, escolhidas de modo a

que correspondam ou só a escavação (Es) ou só a aterro (At);

2.  Determina-se para cada área, as cotas do terreno dos vértices;

3.  Determina-se para cada vértice as cotas de trabalho (diferença entre as cotas do terreno e as cotas do projecto);

4.  Volume correspondente a cada área elementar = S × hm

(V – Volume; S – Secção ou área da base; hm – Altura média)

5.  Volume total (Es ou At) = soma algébrica dos volumes calculados anteriormente.

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MÉTODO DA ÁREA MÉDIA

¨  Cálculo do volume entre perfis: 1.  Desenhar P1 2.  Desenhar P2

3.  Calcular A1 e A2

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MÉTODO EXACTO

¨  Se a geometria se aproxima de um prismóide sólido: ¤  Limitado por duas faces planas e paralelas (bases); ¤  Limitado por uma superfície gerada por uma reta que se apoia nas

bases;

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¤  l = distância entre bases ou altura do prismóide;

¤  A1, A2 = área das bases; Am = área da secção média (l/2)

Fórmula do prismóide

MÉTODO DA MÉDIA DAS ÁREAS

¨  Se as geratrizes do prismóide são paralelas;

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MÉTODO DA MÉDIA DAS ÁREAS

¨  No caso de perfis mistos:

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MÉTODO DA MÉDIA DAS ÁREAS

¨  No caso de perfis mistos:

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BIBLIOGRAFIA

Fonte, Cidália C.. “Textos de apoio de Topografia”. Departamento de Matemática FCTUC, Universidade de Coimbra.

Freitas, Elisabete (2011). Apresentações teóricas no âmbito da disciplina de Topografia. Universidade do Minho.

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