Aula sobre Estudo da Circuferência:

A circunferência pode ser definida tanto em geometria plana quanto em geometria analítica, como o lugar geométrico dos pontos de um plano que equidistam de um ponto fixo. O ponto fixo é o centro e a equidistância o raio da circunferência. ISSO É A PROPRIEDADE DA CIRCUNFERÊNCIA.

Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P d(C,P) é o raio dessa circunferência. Então:

Falar um pouco de posicionamento de pontos na circuferência:

- pontos e circuferência

-reta e circ.

- circ. E circ.

Considere uma circunferência alpha e um ponto qualquer A. Existem 3 e apenas 3 posições possíveis para essa situação:

Discussão por segmentos. Explicar se o segmento PC for menor que o raio, o ponto é interior à circuferência, caso seja igual ele pertence a circuferência e se for maior, ele é exterior à circuferência.

Professor !!?? Muito interessante e como faço isso na prática. Muito legal, vamos lá. Vocês sabem calcular a distância entre dois pontos certo ? E sabem identificar o raio da circunferência também (caso seja dado, senão iremos mostrar como fazer com a equação reduzida da circunferência). Como fazemos a distância entre dois pontos A e B ? Recapitulando:

!!! Pitágoras – desenhar :

Logo podemos comparar com o raio e ver.

Mas vamos olhar a segunda maneira agora, que iremos usar também essa equação para deduzir a fórmula da equação reduzida da circunferência. Seja P um ponto qualquer pertencente a circunferência com coordenadas (x,y), conforme a figura abaixo:

Sendo C, o centro da circunferência com coordenadas (a,b), podemos determinar a distância desses pontos e sabemos que ela vale r (raio da circunferência, porntato:

na qual   e   são as coordenadas do centro da circunferência e   é o raio.

Importante notar que x e y representam as coordenadas de um ponto qualquer pertencente na circunferência.

Podemos tirar então seguinte conclusão:

Caso a circunferência tenha o centro sobre a origem do plano cartesiano, a equação é

Ponto importante !!! Tem muita gente que acha só por que está no plano cartesiano é uma função. o Gráfico de uma circunferência é uma relação e não uma função. Por que professor ? Qual a definição de função ? Para todo x pertencente aos reais, há também a correspondência de um único y nos reais. A gente observa que para um mesmo x, eu tenho dois y na circunferência.

Vamos a um exemplo. Sendo uma circunferência de centro C(2,3) e raio r valendo 5^0.5 (raiz de 5), substituindo na equação que acabamos de deduzir, notamos que a é a abscissa valendo 2 e 3 a ordenada representando b na nossa equação.

Vamos a outro exemplo pessoal, para pensar um pouco: Dado a distância do cento até a origem sendo 2raizde2, então qual a formulada da equação reduzida ?

EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA

Tomando a equação reduzida da circunferência notamos que x-a elevado ao quadrado é um binômio perfeito pessoal. Vocês lembra como desenvolvemos um binômio quadrado perfeito, pessoal ? Vamos lá relembrar: Seja (a-b)^2 isso vai ser:

Quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo e quadrado do segundo. Vamos aplicar esse conceito nessa fórmulinha reduzida então !!!

X^2-2ax+a^2+y^2-2yb+b^2=r^2

X^2+y^2-2ax-2bx+(a^2+b^2-r^2)=0

Pessoal essa é a equação geral, mas tomemos cuidado que como a,b e r normalmente são números, não temos como falar diretamente qual o raio e outra teremos um certo trabalhinho para passar da equação normal para a reduzida.

CONVERSÕES:

Da equação reduzida para a normal ? Basta expandir pessoal, por exemplo:

(x-2)^2+(y-3)^2=5

Agora da forma normal para a reduzida, como fazemos ? A ideia é encontrar os quadrados perfeitos !

Vamos por passos:

1) Agrupar termos que possuem x e y

2) Note que você terá 2 termos de cada desenvolvimento para cada binômio, Basta achar o terceiro termo

3) Haverá um “excesso” no final, que nada mais é que o raio.

4) Reescrever a equação

Exemplo: Converter x^2+y^2-4x-6y+8=0

Também é possível descrever uma circunferência através de equações paramétricas, usando funções trigonométricas:

Neste caso,   é a variável paramétrica, variando entre 0 e 2  radianos.

Na geometria analítica, pode ser representada através de uma equação da

forma  , com coeficientes reais. Sendo que   deve ser igual a   e diferente de zero e   deve ser igual a zero. O raio da circunferência é obtido através da relação:

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