aula pb 7_resumo

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De

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ão

Uma empresa de construção civil mantém um stock de um dado material de construção a partir do qual

satisfaz as necessidades de diversas obras em curso. Estas necessidades semanais são aleatórias e

podem ser descritas estatisticamente pela seguinte distribuição de probabilidades, sendo a média de 30

toneladas:

Exercício 10 - Enunciado

Gestão de Stocks

Necessidade semanal (ton.) 10 20 30 40 50 60

Probabilidade 0.10 0.17 0.50 0.13 0.06 0.04

Política do nível de encomenda

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Ge

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cis

ão

A empresa decidiu adoptar a política do nível de encomenda para regular o funcionamento deste stock,

com um intervalo médio entre reaprovisionamentos de 2 semanas. O tempo de entrega das encomendas

deste material pode considerar-se fixo e igual a uma semana.

O custo anual de manter em stock uma tonelada deste material foi estimado em 130 €, enquanto o custo

de rotura é de 200 € por tonelada em falta, independentemente do tempo em falta.

a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de

posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura.

b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria?

Quantifique a redução de custos anual que resultaria da sua recomendação.1

I(t)

M

Ciclo i Ciclo (i+1) Ciclo (i+2)

Q Q

Q

...

...Q+M


τi

τi+1

0t

Ti =ti+1 -ti Ti+1 =ti+2 –ti+1 Ti+2

τi+2

M

M – Ponto ou nível de encomenda

τi – Tempo de reposição ou entrega no ciclo i

Ti – Período ou comprimento do ciclo i

Q – Quantidade encomendada --- e recebida –––Si – Nível do stock antes da recepção de Q

...

...

Si S

i+2

Si+1

S=M-µX

Nota

O nível/ponto de encomenda, M, que ocorre no

instante, ti, da revisão contínua, tem que cobrir

as necessidades até ao instante em que a

encomenda, colocada no início do ciclo i,

chega.

ti ti+1 ti+2

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Exercício 10 - Resolução

Gestão de Stocks


Dados do problema (Unidade de tempo: 1 semana)

( )

2

(Taxa média de procura por unidade de tempo) 30 ton./semana

(Tempo médio de entrega ou de reposição) 1 semana

Intervalo de tempo médio entre reaprovisionamentos 2 semanas

(Custo de posse) 130

r

T

C

τ

=

=

=

='

3

€/ton./ano=2.5 €/ton./semana

(Custo de rotura) 200 €/ton.C =

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3

i 1 2 3 4 5 6

Necessidade semanal (ton.): (xi) 10 20 30 40 50 60

Probabilidade: hX(xi)= P(X = xi) 0.10 0.17 0.50 0.13 0.06 0.04

HX(xi)=P(X ≤ xi) 0.10 0.27 0.77 0.90 0.96 1.00

Funções massa de probabilidade hX(xi) = P(X=xi) e de distribuição de probabilidade HX(xi)=P(X ≤ xi)

Modelo de probabilidade da procura, X, no tempo (médio) de reposição de 1 semana

A procura/necessidades, X, no tempo de reposição é variável aleatória discreta com função (massa de)

probabilidade hX(xi) = P(X = xi) e de distribuição de probabilidade HX(xi) = P(X ≤ xi), dadas por

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Gestão de Stocks


Modelação probabilística da procura X, no tempo/período de reposição


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P(X=30)=0.5

P(X=20)=0.17

( )

( )( )( )( )( )( )

( )

0.00, 10

0.10, 10 20

0.27, 20 30

0.77, 30 40

0.90, 40 50

0.96, 50 60

1.00, 60

X

x

x

x

H x x

x

x

x

<

≤ < ≤ <

= ≤ < ≤ <

≤ < ≥

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Gestão de Stocks


Modelação probabilística da procura X, no tempo/período de reposição

6

1

6

1

Procura média no tempo de reposição :

( )

( )

10 0.1 20 0.17 30 0.5 40 0.13 50 0.06 60 0.04

X

X i X i

i

i i

i

x h x

x P X x

µ

µ=

=

=

= =

= × + × + × + × + × + ×

∑

∑


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30 ton.

Nota:

30 1 30 ton.

X

X

rµ τ

µ

=

= ×

= × =

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Gestão de Stocks


1. Probabilidade de rotura por ciclo, α = P(X > M), com M (ponto/nível de encomenda) = S+µX

M = S+µX = 10 + 30 = 40 ton.

a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os

respectivos custos de rotura.

( ) ( ) ( ) ( ): 40

( 40) 50 60 0.06 0.04 0.10i

i

i x

P X M P X P X x P X P Xα>

= > = > = = = = + = = + =∑

Dado ( de segurança) 10 ton., calcular , .S Stock α= probabilidade de rotura por ciclo

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6

( )

( ) ( ) ( )

( )

: 40

:

( )

(50 40) 0.06 (60 40) 0.04 1.4 ton.

=1 1

i

i

i x

i i

i x M

Outras quantidades relevantes

M

M x M P X x

NS

MNS

Q

η

η

η

>

>

= − = = − × + − × =

− =

∑

Quantidade média em falta

Nível de serviço

( ) 1.4

1 0.9772 30

, (1 ) 1 0.10 0.90

M

T r

η

α

− = − =× ×

− = − =Nível de protecção

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Gestão de Stocks


a) Para um stock de segurança de 10 ton., qual a probabilidade de rotura? Estime os custos anuais de posse deste stock de segurança e os

respectivos custos de rotura.

52 semanas/ano 522.3. 26 ciclos/anoNCiclos NCiclos

≅ = =

2. Custos anuais de posse deste stock de segurança e os respectivos custos de rotura.

( )

( ) ( ) ( )

2 2

' '

3 3

: 40

2.1. ( )= € / ciclo,

2.2. ( ) = € / cicloi

P X

R i i

i x

C Custos de por ciclo C S T C M T

C Custos de rotura por ciclo C M C x M P X x

µ

η>

× × = × −

× = × − =∑

posse do stock de segurança

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7

( ) ( )2

52 semanas/ano 522.3. 26 ciclos/ano

semanas/ciclo 2

2.4. ( ) =

52 = 52 2.5 40 30 130 10 1300 €/ano

P P

P X

NCiclos NCiclosT

K Custos anuais de posse do stock de segurança NCiclos C

K = C M µ

≅ = =

×

× × − × × − = × =

( ) ( ) ( )' '

3 3

: 40

2.5. ( ) =

52 52 52 200 1.4 7280 €/ano

2

2.6. ( ) 8580 € / ano

i

R R

R i i

i x

P R

K Custos de rotura anuais NCiclos C

K = C M C x M P X xT T

K Custos totais anuais K K

η>

×

× × = × × − = = × × =

= + =

∑

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Gestão de Stocks


b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que

resultaria da sua recomendação.

( )

( ) ( )

2 2

'

3

:

Substituindo

, função de , ( ) :

( ) ( ) ( ), com

( ) = 52 52 € / ano

52( ) = € / ano

X

P R

P P X

R R i i

i x M

S M

M K M

K M K M K M

K M NCiclos C = C S C M

K M NCiclos C = C x M P X xT

µ

µ

>

= −

= +

× × × = × × −

× × × − =∑

Custos totais anuais

Ge

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8

( )

:

2

52( ) 52

ii x M

X

T

K M C MT

µ

>

= × × − + × ( ) ( )

( ) ( ) ( )

'

3

:

'

2 3

: :

€ / ano

52 52

i

i i

i i

i x M

X i i i

i x M i x M

C x M P X x

C M C x P X x M P X xT

µ

>

> >

× − =

= × × − + × × = − =

∑

∑ ∑

( )

( ) ( )**

*

'

2 3

:

Nível de encomenda optimal dado (valor a recomendar) é o ponto estacionário de ( ), . .,

o valor de em que se anula a função 1ª derivada de ( )

( ) 520 52 0

i

i i

i x MM M

Q M K M i e

M K M

dK MC C P X x P X x

dM T >=

= ⇒ × − × × = = ⇔ =∑*

2 2

'': 33

52

52

ii x M

C C T

CC

T

Vidé

>

× ×= =

×∑

Nota 1

( )*

:

No caso da procura, , no tempo de reposição, ser uma variável aleatória discreta, a condição de

optimalidade do nível de encomenda, , dado , com , traduzida na igualdade

X

M Q Q T r= ×

Nota 1

( )

( )

*

*

2

'

: 3

2

'

: 3

,

deve ser substituída pela desigualdade ,

i

i

i x M

i

i x M

c TP X x

c

c TP X x

c

>

>

×= =

×= ≤

∑

∑

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Gestão de Stocks

Política do nível de encomendaExercício 10 - Resolução

*: 3

porque 1) o conjunto dos valores da procura é finito e discreto e

ii x M

i

c

x

>

( )

( )

( )

( ) ( )

*

*

*

* *

:

2

'

: 3

2

'

: 3

2

'

: :3

2) porque

é a probabilidade de rotura que deve ser limitada superiormente. A condição ,

é equivalente a 1 , pois

i

i

i

i i

i

i x M

i

i x M

i

i x M

i i

i x M i x M

P X x

c TP X x

c

c TP X x

c

c TP X x P X x

c

>

>

≤

> >

=

×= ≤

×= ≥ −

×= ≤ ⇔ − =

∑

∑

∑

∑ ( )

( )

*

*

2 2

' '

:3 3

2

'

: 3

1 1

1

i

i

i

i x M

i

i x M

c T c TP X x

c c

c TP X x

c

>

≤

× ×≥ − ⇔ − = ≥ −

×⇔ = ≥ −

∑ ∑

∑

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Gestão de Stocks


b) Que nível de encomenda recomendaria a esta empresa e que stock de segurança resultaria? Quantifique a redução de custos anual que

resultaria da sua recomendação.

( )

( )

( )

*

*

*

:

6

dado :

2.5 21 1 0.025 0.975 60 ton.

200

60 é o menor dos cuja probabilidade de não ser excedido é maior ou igual a 0.975

i

i

i x M

i

Q M

P X x M

x x

Vidé

≤

×= ≥ − = − = ⇒ =

=

∑

Nível de encomenda optimal

Nota 2

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10

de segurançStock

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

*

* *

*

* * ' *

2 3

:

*

: 60

60 30 30 ton.

5252

52 52 52 2.5 60 30 200 3900 200 0

2 2

3900 €/a

i

i

*

X

X i i

i x M

i i

i x

S

S M

K M

K M C M C x M P X xT

x M P X x

µ

µ>

>

= − = − =

= × × − + × × − =

= × × − + × × − = = + × ×

=

∑

∑

a

Custo total anual do stock de segurança

*

no

( ) ( ) 3900 8580 4680 €/anoK K M K M∆ = − = − = −

Redução de custos anual

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Gestão de Stocks


Nota 2

M* é o menor valor da procura discreta, xi , tal que a probabilidade de não ser excedido, HX(xi), é maior

ou igual a

×

2 2

' '

3 3

1 1c T c Q

c c r

× ×− = −

×

isto é, que satisfaz a condição


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( )*

2

'

: 3

1

i

i

i x M

c TP X x

c≤

×= ≥ −∑

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ão

Uma empresa de construção utiliza semanalmente 100 unidades de um produto que adquire no mercado

internacional e do qual constitui stocks. A cada encomenda deste produto está associado um custo fixo

(independente da quantidade adquirida) de 100 €, enquanto que à manutenção em stock de uma unidade

deste produto a empresa associa um custo anual de 26€.

A empresa pretende adoptar a política do nível de encomenda e tem vindo a colocar encomendas de

400 unidades. O tempo de entrega das encomendas deste produto é aleatório, com uma distribuição

normal de média 4 semanas e desvio padrão 1 semana.

Exercício 11 - Enunciado

Gestão de Stocks


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ão

a) Se for definido um nível de encomenda de 500 unidades, qual a probabilidade de rotura?

b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de encomenda recomendaria?

c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade

em falta, determine em que condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao

determinado na alínea b).

d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de

encomenda que recomendaria?

e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a

encomendar e ao nível de encomenda? 12

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Gestão de Stocks


2

(unidade de tempo: 1 semana; 1 ano = 52 semanas)

Custo fixo de encomenda, 100 €/encomenda;

Custos de posse, 26 €/unid./ano ( 0.50 €/unid./semana);

Quantidade en

A

C

=

= =

Dados do problema

( )

comendada, 400 unid./encomenda;

Procura por unidade de tempo (determinística): 100 unid./semana, 0;

Tempo de reposição/entrega (aleatória): , , com 4 semanas e 1 semana;

r

Q

r

τ τ

σ

τ τ σ τ σ

=

= =

= =∼N

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13

( )Tempo de reposição/entrega (aleatória): , , com 4 semanas e 1 semana;τ ττ τ σ τ σ= =∼N

( )

2 2 2 2 2

, ,

100 4 400 unid.

4 0 100 1 100 unid.

a

X X

X

X r

X

X

com

r

r τ

µ σ

µ τ

σ τ σ σ

= × = × =

= × + × = × + × =

Modelação probabilística da procura, , durante o tempo de reposição

∼N

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De

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Gestão de Stocks


a) Se for definido um nível de encomenda de 500 unidades, qual a probabilidade de rotura?

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Dado 500 unid., calcular probabilidade de rotura, , por ciclo

500 500 400= 500 , com e 1

100

1 1 1

1 1

1 0.8413 0.1587

X X

X X

M

XP X M P X P Z z Z z

P Z P Z

α

µ µα

σ σ

=

− − −> = > = > = = = =

> = − ≤

= − Φ

= − =

Ge

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Ge

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14

1 0.8413 0.1587

α

= − =

∴ = 0.15870.15870.15870.1587b) Caso se pretenda um risco de rotura da ordem dos 5%, que nível de encomenda recomendaria?

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dado 0.05, calcular nível de encomenda

Determinar , , tal que

, com e

1 1 1 0.95

1.65

400 100 1

XX

X X

XX X

X

M

M M P X M

MXP X M P Z z Z z

P Z z P Z z z z z

z

Mz M z

α α

αα α

α α α α α

α

αα α α

α

α

µµ

σ σ

α α

µµ σ

σ

≅

> =

−−> = > = =

> = − ≤ ⇒ − Φ = ⇒ Φ = − ⇒ Φ =

≅

−= ⇒ = + = + × .65 .= 565 unid565 unid565 unid565 unid

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Gestão de Stocks


c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que

condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).

( ) ( )

( ) ( )

'

3

'

3

2

Que torna 500 unid. preferível a 565

( )

52 52( ) ( ),

2

com ( ) ,

X

XX

M

C M M

A r C rQK M C M M

Q Q

MM x M h x dx

µ η

µη σ ξ

σ

∞

= =

× × = + × + − + ×

−= − =

∫

Custos totais por unidade de tempo ano

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15

( ) ( )

( )

com ( ) ,

é função de perdas normal estan

XM

X

M x M h x dx

u

η σ ξσ

ξ

= − =

∫

( )

( )

dardizada (Tabela 2 de Livro de IO ou Tabela no Anexo 2)

para = unidades

500 400(500) 100 100 1.0 100 0.0829 8.29

100

100 100 52 400(500) 26 500 400

400 2

M

K

η ξ ξ−

= = = × =

× × = + × + −

Custos totais por unidade de tempo 500

( )

( ) ( )

'

3

'

3

'

3

100 52(500)

400

100 100 52 100 52400 26 500 400 8.29

400 2 400

9100 107.8

C

C

C

η×

+ ×

× × × = + × + − + ×

= +

Ge

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da

De

cis

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Ge

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da

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ão


Gestão de Stocks


c) Admitindo que a empresa associa às situações de rotura de stock um custo proporcional à quantidade em falta, determine em que

condições o nível de encomenda 500 unidades é preferível em relação ao determinado na alínea b).

( )

( ) ( )

( )

'

3

para =565 unidades

565 400(565) 100 100 1.65 100 0.0213 2.13

100

100 100 52 100 52400(565) 26 565 400 (565)

400 2 400

100 100 52 400

M

CK

η ξ ξ

η

− = = = × =

× × × = + × + − + ×

× ×

Custos totais por unidade de tempo

( )' 100 52C ×

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

16

( )100 100 52 400 26

400 2

× ×= + ×

( )

( )

'

3

'

3

' '

3 3

100 52165 2.13

400

10790 27.7

500 preferível (500) (565)

(500) (565) (500) (565) 0

9100 107.8 10790 27.7 0

C

C

M K K

K K K K

C C

× + + ×

= +

= ⇒ <

< ⇒ − <

⇒ + − + <

Condição de preferência

' '

3 3

1689 1689 80.1 0 21.09 €/unid.

80.1C C⇒ − + < ⇒ < =

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks


d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria?

( ) ( ) ( )

( ) ( )

'

3

2

'

3

2

52 52( ) ( ), com

2

52 52 ( ),

2

X

X

A r Q S S C rK M C M S M

Q Q

A r C rQC M M

Q Q

η µ

µ η

× + + × = + × + × = −

× × = + × + − + ×

Custo total por unidade de tempo

Problema de optimização

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

17

( ) ( )'

3

2

52 52min. ( )

2X

M

A r C rQK M C M

Q Qµ

× × = + × + − + ×


( ) ( )

( )

( )*

*

*

2

'

3

( ),

onde ( ) ,

é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)

A , , dado , é a solução da equação seguinte:

( )52

XX

MX

M

M

MM x M h x dx

u

M Q

C Qh x dx

C r

η

µη σ ξ

σ

ξ

∞

∞

−= − =

=×

∫

∫

solução optimal

( )( )

* * * ** *2 2

' '

3 3

, ou ( ) 1 1 , com 52

MX

X

C Q C Q Mh x dx z z

C r C r

µ

σ−∞

−= − ⇒ Φ = − =

×∫

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks


d) Se a empresa associar um custo de 25 € a cada unidade do produto em falta, qual o nível de encomenda que recomendaria?

( )( ) ( )

( )

* 2

'

3

* 1

** * *

26 400 41. 1 1 1 0.92

52 25 52 100 50

0.92 1.405

2. 400 100 1.405 540.5 540X

C Qz

C r

z

Mz M z

µµ σ

−

×Φ = − = − = − =

× × ×

= Φ ≅

−= ⇒ = + = + × = ≅

Cálculos

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

18

* * *

*

2. 400 100 1.405 540.5 540

unidades

XX X

X

Mz M z

M

µµ σ

σ

−= ⇒ = + = + × = ≅

∴ = 540

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks


e) Para o custo de rotura definido na alínea anterior, qual a sua recomendação quanto à quantidade a encomendar e ao nível de encomenda?

( )

( ) ( )

( ) ( )

* *

'

3

2,

Calcular e

52 52min . ( , ) ( ),

2

onde ( ) ,

XM Q

XX

MX

M Q

A r C rQK M Q C M M

Q Q

MM x M h x dx

µ η

µη σ ξ

σ

∞

× × = + × + − + ×

−= − =

∫


Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

19

( ) é função de perdas normal estandardizada (Tabela 2 de Livro de IO)

X

u

σ

ξ

S

( )( )

( ) ( )

*

*

' *

3*

2

* * * *

2 2 2

' ' '

3 3 3

( )

2 52 ( )=

( ) ou ( ) 1 152 52

MX

MX

r A C MQ

C

C Q C Q M C Qh x dx h x dx

C r C r C r

η

µ

σ

∞

−∞

× + ×

−= = − ⇒ Φ = −

× × ∫ ∫

olução optimal solução do problema de optimização

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks



( ) ( )

*

*

2

Estimativa inicial de :

2 52 2 100 52 100= 100 2 2 200 unidades

26

Q

r AQ

C

× × ×= = × =

Cálculos (Método iterativo)

Iteração 1

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

20

( )( ) ( )

* *

** * * 12

'

3

1. Calcular ,dado :

26 2001.1 Calcular tal que 1 1 0.96 =

52 25 100 52

M Q

C Qz z z

C r

−×Φ = − = − = ⇒ Φ

× × ×

Iteração 1

( )

( )

* * *

* *

** *

*

0.96 1.75

1.2 Calcular : 400 100 1.75 575 unidades

2. Calcular dado

2.1 Calcular ( ) ( )

575 400 (575) 100 100 100 1.75 100 0.0

100

X X

XX

X

X

X

M M z

Q M

MM M

M

µ σ

µη η σ ξ

σ

µη ξ ξ ξ

σ

≅

= + = + × =

−=

− − = = = ≅ ×

168 1.68=

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks



( )( ) ( )( )

*

' *

3*

2

* *

( )

2.2 Calcular

2 52 ( ) 2 100 52 100 25 1.68 = 238.3275 unidades

26

Teste de convergência: 38.3275 (p.ex. 1)previo tolerância tolerância

Q

r A C MQ

C

Q Q

η

ε ε

× + × × + ×= =

− = =

Iteração 1 continuação

Iteração 2

≫

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

21

1. Calcul

Iteração 2

( )( ) ( )

( )

* *

** * * 12

'

3

* * *

* *

*

ar ,dado :

26 238.32751.1 Calcular tal que 1 1 0.9523 = 0.9523 1.67

52 25 100 52


2. Calcular dado

2.1 Calcular ( ) (

X X

M Q

C Qz z z

C r

M M z

Q M

M M

µ σ

η η

−×Φ = − = − = ⇒ Φ ≅

× × ×

= + = + × =

( )

**

*

)

567 400 (567) 100 100 100 1.67 100 0.0203 2.03

100

XX

X

X

X

M

M

µσ ξ

σ

µη ξ ξ ξ

σ

−=

− − = = = ≅ × =

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks



( )( ) ( )( )

*

' *

3*

2

* *

( )

2.2 Calcular

2 52 ( ) 2 100 52 100 25 2.03 = 245.5606 unidades

26

Teste de convergência: 7.23previo tolerância

Q

r A C MQ

C

Q Q

η

ε

× + × × + ×= =

− = >


Iteração 3

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

22

* *1. Calcular ,dado :

1.1 Calcular

M Q

Iteração 3

( )( ) ( )

( )*

* * * 12

'

3

* * *

* *

** *

26 245.5606 tal que 1 1 0.9509 = 0.9509 1.655

52 25 100 52

1.2 Calcular : 400 100 1.655 565.5 unidades

2. Calcular dado


X X

XX

X

C Qz z z

C r

M M z

Q M

MM M

µ σ

µη η σ ξ

σ

−×Φ = − = − = ⇒ Φ ≅

× × ×

= + = + × ≅

−=

( )* 565.5 400

(565.5) 100 100 100 1.655 100 0.0210 2.10 100

X

X

M µη ξ ξ ξ

σ

− − = = = ≅ × =

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks



( )( ) ( )( )

*

' *

3*

2

* *

( )

2.2 Calcular

2 52 ( ) 2 100 52 100 25 2.10 = 246.9818 unidades

26

Teste de convergência: 1.4212previo tolerância

Q

r A C MQ

C

Q Q

η

ε

× + × × + ×= =

− = >


Iteração 4

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

23

* *1. Calcular ,dado :

1.1 Calcul

M Q

Iteração 4

( )( ) ( )

( )*

* * * 12

'

3

* * *

* *

** *

26 246.9818ar tal que 1 1 0.9506 = 0.9506 1.65

52 25 100 52


2. Calcular dado


X X

XX

X

C Qz z z

C r

M M z

Q M

MM M

µ σ

µη η σ ξ

σ

−×Φ = − = − = ⇒ Φ ≅

× × ×

= + = + × ≅

−=

( )* 565 400

(565) 100 100 100 1.65 100 0.0213 2.13 100

X

X

M µη ξ ξ ξ

σ

− − = = = ≅ × =

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks



( )( ) ( )( )

*

' *

3*

2

* *

( )

2.2 Calcular

2 52 ( ) 2 100 52 100 25 2.13 = 247.5884 unidades

26

Teste de convergência: 0.6066 ( ) previo tolerância

Q

r A C MQ

C

Q Q

η

ε

× + × × + ×= =

− = <


Terminar

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

24

* 248 unidadeQ =

Solução optimal

*s e 565 unidadesM =

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão


Gestão de Stocks



Resumo das iterações------------------------------------------------------------------------------------------------------

iteração Q α zα M ξ(zα) η(M) K(Q,M) Qnew Erro

------------------------------------------------------------------------------------------------------

1 200.00 0.9600 1.7507 575.0686 0.0161 1.6146 10801.30 236.95 36.95

2 236.95 0.9526 1.6707 567.0700 0.0196 1.9635 10695.95 244.20 7.25

3 244.20 0.9512 1.6562 565.6203 0.0203 2.0332 10692.51 245.63 1.42

4 245.63 0.9509 1.6534 565.3396 0.0205 2.0470 10692.38 245.91 0.28

+-----------------------------------------------------------------+

| Solução optimal |

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

25

| Solução optimal |

+-----------------------------------------------------------------+

Numero total de iterações (iter) = 4

Quantidade a encomendar óptima (Q*) = 246 unidades

Nível de encomenda óptimo (M*) = 565 unidades

Custos totais anuais (valor optimal) (K(Q*,M*) = 10692.38 €/ano

Custos fixos de encomenda anuais (K_A(Q*,M*) = 2117.04 €/ano

Custos de posse anuais (K_P(Q*,M*) = 7491.97 €/ano

Custos de rotura anuais (K_R(Q*,M*) = 1083.37 €/ano

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

21

, 12

xz z

z P Z z x dx e dx z zφπ

−

−∞ −∞Φ = ≤ = = Φ − = − Φ∫ ∫

( )zΦ

Anexo 1: Distribuição Normal

Função de distribuição de probabilidade - Φ(z)G

estã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.39894 0.39396 0.38902 0.38412 0.37926 0.37444 0.36966 0.36492 0.36022 0.35556

0.1 0.35094 0.34635 0.34181 0.33731 0.33285 0.32842 0.32404 0.31969 0.31539 0.31112

0.2 0.30689 0.30271 0.29856 0.29445 0.29038 0.28634 0.28235 0.27840 0.27448 0.27060

0.3 0.26676 0.26296 0.25920 0.25547 0.25178 0.24813 0.24452 0.24094 0.23740 0.23390

0.4 0.23044 0.22701 0.22362 0.22027 0.21695 0.21367 0.21042 0.20721 0.20404 0.20090

0.5 0.19780 0.19473 0.19170 0.18870 0.18573 0.18281 0.17991 0.17705 0.17422 0.17143

0.6 0.16867 0.16595 0.16325 0.16059 0.15797 0.15537 0.15281 0.15028 0.14778 0.14531

0.7 0.14288 0.14048 0.13810 0.13576 0.13345 0.13117 0.12892 0.12669 0.12450 0.12234

0.8 0.12021 0.11810 0.11603 0.11398 0.11196 0.10997 0.10801 0.10607 0.10417 0.10229

0.9 0.10043 0.09860 0.09680 0.09503 0.09328 0.09156 0.08986 0.08819 0.08654 0.08491

1.0 0.08332 0.08174 0.08019 0.07866 0.07716 0.07568 0.07422 0.07279 0.07138 0.06999

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

21

2

x

u uu x u x dx x u e dx

u u u

ξ φπ

ξ ξ

+∞ +∞ −

= − = −

− = +

∫ ∫

Anexo 2: Função de Perdas Normal ξ(u)G

estã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

1.0 0.08332 0.08174 0.08019 0.07866 0.07716 0.07568 0.07422 0.07279 0.07138 0.06999

1.1 0.06862 0.06727 0.06595 0.06465 0.06336 0.06210 0.06086 0.05964 0.05844 0.05726

1.2 0.05610 0.05496 0.05384 0.05274 0.05165 0.05059 0.04954 0.04851 0.04750 0.04650

1.3 0.04553 0.04457 0.04363 0.04270 0.04179 0.04090 0.04002 0.03916 0.03831 0.03748

1.4 0.03667 0.03587 0.03508 0.03431 0.03356 0.03281 0.03208 0.03137 0.03067 0.02998

1.5 0.02931 0.02865 0.02800 0.02736 0.02674 0.02612 0.02552 0.02494 0.02436 0.02380

1.6 0.02324 0.02270 0.02217 0.02165 0.02114 0.02064 0.02015 0.01967 0.01920 0.01874

1.7 0.01829 0.01785 0.01742 0.01699 0.01658 0.01617 0.01578 0.01539 0.01501 0.01464

1.8 0.01428 0.01392 0.01357 0.01323 0.01290 0.01257 0.01226 0.01195 0.01164 0.01134

1.9 0.01105 0.01077 0.01049 0.01022 0.00996 0.00970 0.00945 0.00920 0.00896 0.00872

2.0 0.00849 0.00827 0.00805 0.00783 0.00762 0.00742 0.00722 0.00702 0.00683 0.00665

2.1 0.00647 0.00629 0.00612 0.00595 0.00579 0.00563 0.00547 0.00532 0.00517 0.00503

2.2 0.00489 0.00475 0.00462 0.00449 0.00436 0.00423 0.00411 0.00400 0.00388 0.00377

2.3 0.00366 0.00356 0.00345 0.00335 0.00325 0.00316 0.00307 0.00298 0.00289 0.00280

2.4 0.00272 0.00264 0.00256 0.00248 0.00241 0.00234 0.00227 0.00220 0.00213 0.00207

2.5 0.00200 0.00194 0.00188 0.00183 0.00177 0.00171 0.00166 0.00161 0.00156 0.00151

2.6 0.00146 0.00142 0.00137 0.00133 0.00129 0.00125 0.00121 0.00117 0.00113 0.00110

2.7 0.00106 0.00103 0.00099 0.00096 0.00093 0.00090 0.00087 0.00084 0.00081 0.00079

2.8 0.00076 0.00074 0.00071 0.00069 0.00066 0.00064 0.00062 0.00060 0.00058 0.00056

2.9 0.00054 0.00052 0.00051 0.00049 0.00047 0.00046 0.00044 0.00042 0.00041 0.00040

3.0 0.00038 0.00037 0.00036 0.00034 0.00033 0.00032 0.00031 0.00030 0.00029 0.00028

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

Ge

stã

o e

Te

oria

da

De

cis

ão

NOTA: Os valores desta Tabela foram calculados pela fórmula ξ(u) = φ(u)-u(1-Φ(u)), e não coincidem com os da Tabela 2 do livro de IO

aula pb 7_resumo

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