aula passada representação de...
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Representação de vetores
cbaCBA !!!!!!
cbaCBA !!!!!! ,,,,,
Modo escrito: Letras maiúsculas ou minúsculas em negrito:
A, B, C, a, b, c
Modo Gráfico: Segmento de reta orientado com a mesma direção e sentido que o vetor considerado e cujo comprimento é proporcional à magnitude do mesmo.
Ou letras em itálico com uma flecha em cima:
Módulo ou magnitude de um vetor é representado por: A, B, C, a, b, c
ou
AULA PASSADA
Soma de vetores
222 )()()( DCADAC +=
θθ sencos 221 VDCVVBDABAD =+=+=
θθθθθ 222
22221
21
22
221
2 sencoscos2)sen()cos( VVVVVVVVV +++=++=
θ
θθθ
cos2
)sen(coscos2
2122
21
222221
21
VVVVV
VVVVV
++=
+++=
V = V1+V2
V2cosθ
V2 senθ
θ D A B
V
V1
V2
C
Calculando o módulo da soma de dois vetores
AULA PASSADA
V = V1+V2 α
β
V2cosθ
V2 senθ
θ D A B
V
V1
V2
C Soma de vetores
θα sensen BCACCD ==αθ
θαsensen
ou sensen 22
VVVV ==↔
αββα
sensensensen forma mesma da 21
21VVVV =↔=→
αβθ sensensen:equações as juntando 21 VVV
==
Calculando a direção do vetor resultante V E
AULA PASSADA
Diferença entre dois vetores
θ
θπθπ
θπ
cos2
)sensencos(cos2
)cos(2
2122
21
2122
21
2122
21
VVVVD
VVVVD
VVVVD
−+=
−++=
−++=
V=V1+V2
V1
V2
-V2
θ
π-θ
D=V1-V2
AULA PASSADA
Componentes de um Vetor Qualquer vetor V pode ser considerado como o resultado da soma de dois ou mais vetores. As suas componentes ortogonais Vx e Vy são mutuamente perpendiculares.
V
Vx
Vy
Y
X 0
B
A
C No plano
z
x y
θ
φ
Segue que
2222zyx VVVV ++=
AULA PASSADA
Vetor posição Um caso particularmente importante é o do vetor-posição r de um ponto de P de coordenadas (x, y, z).
O vetor-posição relativo de dois pontos P1 e P2 é
Ou seja,
AULA PASSADA
Produto de Vetores
Física Geral
Produto de um Vetor e um escalar
Se temos dois vetores paralelos podemos representá-los como:
'ˆ'eˆ VuVVuV ==!!
V!
'V!
VV
VV
u'
chamando eˆsendo == λ
!
VV!!
λ=⇒ '
Produto Escalar
0ˆˆˆˆˆˆe
1ˆˆˆˆˆˆ
=⋅=⋅=⋅
=⋅=⋅=⋅
zyzxyx
zzyyxx
uuuuuu
uuuuuu
É uma grandeza escalar representada por
B.)escalar A se-(Leia BA!!⋅
O valor é definido por
θcosABBA =⋅!!
Assim, o produto escalar entre os vetores unitários ortogonais é:
θ
A
B
Propriedade distributiva em relação à soma: 𝐴 ∙(𝐵 + 𝐶 )= 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶
Usando as componentes ortogonais: Notando que como visto anteriormente.
( ) ( )zzyyxx
zzyyxxzzyyxx
BABABAuBuBuBuAuAuABA
++=
++⋅++=⋅!!!!!!!!
Produto Escalar
2222zyx AAAAAA ++==⋅
!!
θcosABBA =⋅!!
Produto Escalar Também, mostra-se facilmente que o módulo da soma 𝑉 = 𝐴 + 𝐵 , Isto é válido para a soma de qualquer número de vetores Nesse caso
( ) ( )θcos2
222
2
ABBABABBAABABAV
++=
⋅+⋅+⋅=+⋅+=!!!!!!!!!!
∑=+++=i iVVVVV!!!!!
....321
( )
∑ ∑ ⋅+=
+⋅++⋅+⋅++++=
+++=
vetorestodos
parestodos
2
323121321
2321
2
2
...2...22...
...
jii VVV
VVVVVVVVV
VVVV
!!
!!!!!!!!!
!!!
Produto Escalar
θcosABBA =⋅!!
Produto Escalar
Produto Vetorial A representação é dada por
𝐴 × 𝐵 (leia-se A vetor B). É um vetor perpendicular ao plano formado por 𝐴 e 𝐵
|𝐴 × 𝐵 |=𝐴𝐵sen 𝜃 e 𝐴 × 𝐵 =− 𝐵 × 𝐴
Produto Vetorial O módulo do produto vetorial é igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores.
|𝐴 × 𝐵 |=𝐴(𝐵sen 𝜃)=𝐴ℎ
Produto Vetorial
Propriedade distributiva em relação à soma: O produto entre os vetores ortogonais unitários é:
( ) CABACBA!!!!!!!
×+×=+×
0ˆˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ
=×=×=×
=×−=×
=×−=×
=×−=×
zzxyxx
yzxxz
xyzzy
zxyyx
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
|𝐴 × 𝐵 |=𝐴𝐵sen 𝜃
⌢uz
⌢ux⌢uy
Produto Vetorial Escrevendo o produto vetorial em termos das componentes ortogonais, temos
( ) ( )zzyyxxzzyyxx uBuBuBuAuAuABA ˆˆˆˆˆˆ ++×++=×!!
ou
( ) ( ) ( ) zxyyxyzxxzxyzzy uBABAuBABAuBABABA ˆˆˆ −+−+−=×!!
Podendo ser representado também pelo determinante
( ) ( ) ( ) zxyyxyzxxzxyzzy
zyx
zyx
zyx
uBABAuBABAuBABA
BBBAAAuuu
BA
ˆˆˆ
ˆˆˆ
−+−+−=
=×!!
Produto Vetorial
Produto Vetorial
Produto Vetorial
Área - Representação Vetorial Consideremos uma superfície plana S. Convenciona-se representá-la por um vetor, cujo módulo é igual à área da superfície e cuja direção é perpendicular à superfície.
As componentes do vetor S são iguais às projeções da superfície sobre os três planos coordenados.
Área - Representação Vetorial Suponhamos que a superfície faça um ânguloθcom o plano XY.
A projeção de S sobre o plano XY é .cosθS
Mas a normal com o plano também faz o mesmo ângulo com o eixo Z. Logo, também
.cosθSSZ =
Área - Representação Vetorial Se a superfície não é plana, pode sempre ser dividida em um grande número de áreas muito pequenas, cada uma representada por um vetor.
∑=+++=i iSSSSS!!!!!
...421
Porém,
∑≠ i iSS!
Ou seja, o módulo do vetor S não é igual à área da superfície. Mas as suas componentes são iguais às projeções da área sobre os três planos coordenados.
Área - Representação Vetorial Exemplo: Suponha um terreno composto de uma área de horizontal S1 e outra inclinada S2 . A área utilizável para a lavoura é S1+ S2 . Mas supondo que o terreno seja utilizado para a construção de um prédio, apenas a projeção horizontal interessa. Ou seja a área de interesse é S1 + S2cosθ.
O vetor S1 + S2 possui módulo igual a
θcos2 2122
2121 SSSSSS ++=+
!!
que é menor que S1+ S2 . Mas a sua componente Z é igual a S1 + S2cosθ, que concorda com a projeção das superfícies no plano XY.
Área - Representação Vetorial Consideremos uma superfície fechada. Dividamo-la em várias superfícies planas, cada uma representada por um vetor Si no sentido externo.
Podemos sempre agrupar as pequenas áreas em pares cujas projeções somadas resultam em zero. Ou seja,
S1z = a e S2z = -a Somado todo o conjunto desses pares obtém-se
Sz= Σi Siz = 0. Com esse mesmo argumento, vemos que o mesmo resultado vale para as outras duas componentes (x e y).
Portanto, o vetor que representa uma superfície fechada é zero.