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Aula Introdutória Matemática Básica- março 2017

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Aula Introdutória Matemática Básica- março 2017

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Pensamento

“Não creio em números, não creio na palavra

tudo e nem na palavra nada. São três afirmações

exatas e imóveis: o mundo está sempre dando

voltas.”

(Provérbio Chinês)

Prof. MSc. Herivelto Nunes

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Unidades

• Conjuntos.

• Conjuntos Numéricos.

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Conjuntos

A noção de conjunto usada na Matemática é a

utilizada na linguagem do dia a dia.

Georg Cantor (1845 – 1918), matemático russo,

foi quem, em seus trabalhos deu as noções

iniciais sobre conjunto, elemento e pertinência.

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Conceitos Primitivos

Entende-se por conjunto, um agrupamento, uma

coleção, uma coleção.

Elemento é qualquer um dos componentes,

objetos, coisas, de uma conjunto.

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Exemplos:

a) A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}.

b) B = { domingo, segunda, terça, quarta, quinta,

sexta, sábado}.

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Formas de Representar Conjuntos

1ª) Por extensão: Esta forma consiste em

escrever os elementos do conjunto, separadas

por vírgula, entre uma par de chaves.

Ex.: A = {a, e, i, o, u}

Obs.: Podemos utilizar essa representação

mesmo que o conjunto seja finito ou infinito.

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Formas de Representar Conjuntos

2ª) Por compreensão: O conjunto é representado

por meio de uma propriedade que caracteriza

seus elementos.

Ex.: A = {x/x é vogal}

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Formas de Representar Conjuntos

3ª) Por diagramas: Os diagramas (figuras) que

representam os conjuntos por curvas fechadas

denominadas Diagramas de Venn

Ex.: A a.

e.

i.

o.

u.

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Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os

elementos envolvidos em um determinado

assunto ou estudo é simbolizado por U ou S.

Importante: Se procuramos determinar as

soluções reais de uma equação do segundo grau,

nosso conjunto universo U é ℝ.

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Conjunto Vazio e Conjunto Unitário

Conjunto Vazio – é o conjunto que não possui elemento e é representado por { } ou ∅.

Ex.: Seja A um conjunto de números maiores que 10 e menores que 5.

Este conjunto não possui elementos, logo:

A = { } ou ∅.

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Conjunto Vazio e Conjunto Unitário

Conjunto Unitário – é o conjunto que possui

apenas elemento.

Ex.: A = {x/x é solução da equação 2x – 3 = 0}

Logo, A = 𝟑

𝟐 unitário.

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Relações

Relação de Pertinência: é a relação entre uma elemento e o conjunto ao qual pertence. Assim, um elemento pode ou não pertencer a um determinado conjunto.

Símbolos: ∈ pertence; ∉ não pertence

Ex.: A = {a, e, i, o, u}.

a ∈ A; c ∉ A

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Relações

Relação de Inclusão (subconjuntos): dados dois

conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou A é um subconjunto de se, e somente se, cada elemento de A for também um elemento do conjunto B.

Indicamos a relação por: A ⊂ B ou B ⊃ A.

Símbolos: ⊂ está contido; ⊃ contém; ⊄ não contém e; ⊅ não contém.

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Conjunto das partes de um conjunto

O conjunto das partes de um conjunto A ou

conjunto potência de A é o conjunto formado por

todos os subconjuntos de A.

Se um conjunto A possui n elementos, o

número de subconjuntos de A é dado pela

expressão: P(A) = 𝟐𝒏

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Exemplos:

1) Escreva o conjunto das partes de A, sendo A={1,2,3}.

Solução: P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

2) O conjunto das partes de A possui 32 elementos. Determine o número de elementos do conjunto A:

Solução: P(A) = 𝟐𝒏 32 = 𝟐𝒏 𝟐𝟓= 𝟐𝒏 n = 5

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Operações com Conjuntos I- União

A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou B e é representado por A U B.

𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙\𝒙 ∈ 𝑨 𝒐𝒖 𝒙 ∈ 𝑩

Obs.:

a) 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐁 ∪ 𝐀

b) 𝐀 ∪ 𝐀 = 𝐀

c) 𝐀 ∪ ∅ = 𝐀

d) 𝐀 ⊂ 𝐁 ↔ 𝐀 ∪ 𝐁 = 𝐁

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Operações com Conjuntos

II – Intersecção

A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. E é representado por 𝑨 ∩ 𝑩.

𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙\x ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩

Obs.:

a) 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑩 ∩ 𝑨

b) 𝑨 ∩ 𝑨 = 𝑨

c) 𝑨 ∩ ∅ = ∅

d) 𝑨 ⊂ 𝑩 ↔ 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨

e) Se 𝑨 ≠ ∅, 𝑩 ≠ ∅ 𝒆 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅, dizemos que A e B são disjuntos.

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Operações com Conjuntos III - Diferença

Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença A – B é formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertençam a B.

𝑨 − 𝑩 = 𝒙\x ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∉ 𝑩

Obs.:

a) 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ → 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 𝒆 𝑩 − 𝑨 = 𝑩

b) 𝑨 − ∅ = 𝑨 𝒆 ∅ − 𝑨 = ∅.

c) A⊂ 𝑩 → 𝑨 − 𝑩 = ∅

d) 𝑨 − 𝑩 = 𝑩 − 𝑨 ↔ 𝑨 = 𝑩

e) Se 𝑩 ⊂ 𝑨, a diferença A – B denomina-se Complementar de B em relação a A

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Exemplo 1: Sejam ao conjuntos A e B

representados a seguir:

Determine:

a) 𝐴 ∪ 𝐵

b) 𝐴 ∩ 𝐵

c) 𝐴 − 𝐵

• 1

• 2

• 7

• 5

• 4

• 6

• 3

A B

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Solução:

a) 𝐴 ∪ 𝐵 = 1,2,3,4,5,6,7

b) 𝐴 ∩ 𝐵 = 3,6

c) 𝐴 − 𝐵 = {1,2,7}

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Exemplo 2: Sejam os conjuntos A e b

representados a seguir:

Determine o complementar de B em relação a A.

• 6

• 3

• 5

• 1

A

B

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Solução:

Neste caso, o conjunto B está contido em A, logo

a diferença entre A e B, será indicada por:

𝑪𝑨𝑩= A - B = {3,6}

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Problemas que envolvem conjuntos

Na teoria dos conjuntos é possível resolver

problemas que tratam de conjuntos de elementos

que podem ou não, ter características comuns.

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Exemplos:

1) Numa escola com 630 alunos, 350 deles estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 deles estudam as duas matérias (Matemática e Física). Pergunta-se:

a) Quantos alunos estudam somente Matemática?

b) Quantos alunos estudam somente Física?

c) Quantos alunos estudam Matemática ou Física?

d) Quantos alunos não estuda nenhuma das duas matérias?

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Solução:

São dados:

n(U) = número total de alunos = 630.

n(M) = número de alunos que estudam Matemática = 350.

n(F) = número de alunos que estudam Física = 210.

n(M ∩ F) = número de alunos que estudam Matemática e Física = 90.

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Solução:(cont.)

a) Se 350 estudam matemática, e 90 deles estudam Matemática e Física, então o número de alunos que estudam somente Matemática é: 350 – 90 = 260.

b) Se 210 alunos estudam Física e 90 deles estudam Matemática e Física, então o número de alunos que estudam somente Física é: 210 – 90 = 120.

c) O número de alunos que estudam Matemática ou Física é: 260 + 120 + 90 = 470.

d) O número de alunos que não estudam nenhuma das matérias é: 630 – 470 = 160

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Exemplo:

2) Numa pesquisa 1 500 pessoas foram consultadas sobre o uso de um produto A e de um produto B. Verificou-se que o produto A é usado por 850 pessoas e que 180 pessoas usam os dois produtos. Quantas pessoas usam o produto B?

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Solução:

São dados:

n(A U B) = número que usam os produtos A ou B = 1500.

n(A) = número que usam o produto A = 850.

n(B) = número que usam o produto B = ?.

n(A ∩ B) = número que usam o produto A e B = 180.

Assim, temos: 1500 = 850 + B – 180

B = 2030 – 1500 = 530

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Conjuntos Numéricos

Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula ℕ. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} ℕ* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}

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Conjuntos Numéricos

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais.

ℤ+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

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Conjuntos Numéricos

- Inteiros não positivos

São todos os números inteiros que não são

positivos.

ℤ- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

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Conjuntos Numéricos

- Inteiros positivos

É o conjunto ℤ+ excluindo o zero.

ℤ*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

ℤ*+ = ℕ*

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Conjuntos Numéricos

- Inteiros não positivos e não nulos

São todos os números do conjunto Z-

excluindo o zero.

ℤ*- = {... -4, -3, -2, -1}

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Conjuntos Numéricos

- Conjunto dos Números Racionais (ℚ) Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros , números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas.

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Conjuntos Numéricos

- Conjunto dos Números Irracionais

É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número 𝜋 (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o 𝜋. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como 2 =(1,4142135 ...).

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Conjuntos Numéricos

- Conjunto dos Números Reais (ℝ)

É formado por todos os conjuntos citados

anteriormente (união do conjunto dos racionais

com os irracionais).

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Conjuntos Numéricos

- Resumindo:

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Importante: Dízima Periódica

As dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos

números racionais, representado pela letra ℚ e que

engloba os números inteiros (ℤ), os números decimais

finitos…

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Classificação das dízimas

As dízimas periódicas podem ser classificadas em:

• Dízimas periódicas simples: Quando o período

apresenta-se logo após a vírgula.

Observe os exemplos a seguir:

• 4/13 = 0, 307692307692… (Período: 307692)

• 2/3 = 0, 666666 … (Período: 6)

• 31/33 = 0, 93939393 … (Período: 93)

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Classificação das dízimas

• Dízimas periódicas compostas: Quando há uma parte

não periódica (não repetitiva) entre o período e a vírgula.

Observe os exemplos a seguir:

• 44/45 = 0, 9777777 … (Período: 7; parte não periódica: 9)

• 35/36 = 0, 972222 … (Período: 2 ; parte não periódica: 97)

• 35/42 = 0, 833333 … (Período: 3 ; parte não periódica: 8)

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Geratriz de uma dízima periódica

A geratriz da dízima periódica é a fração (número

racional) que deu origem a essa dízima periódica.

Exemplos:

1) 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333…

2) 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta

0, 7666 …

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Referências Bibliográficas:

IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos, funções. Vol.1. São Paulo: Atual, 2000.

DANTE, L. Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único. São Paulo: Ática, 2013.

GOES, H.; TONA, U. Matemática para concursos. São Paulo: Editora ABC, 2010.

http://www.estudopratico.com.br/dizimas-periodicas/

http://www.infoescola.com/matematica/intervalo/

http://www.somatematica.com.br/emedio.php

https://pt.khanacademy.org/