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Aula II Lei de Ohm, ddp, corrente elétrica e força eletromotriz Prof. Paulo Vitor de Morais E-mail: [email protected] 1

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Page 1: Aula II Lei de Ohm, ddp, corrente elétrica e força eletromotriz · Potencial elétrico Energia potencial elétrica •Quando temos uma força que atua sobre uma partícula levando-a

Aula IILei de Ohm, ddp, corrente elétrica e

força eletromotriz

Prof. Paulo Vitor de Morais

E-mail: [email protected]

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Page 2: Aula II Lei de Ohm, ddp, corrente elétrica e força eletromotriz · Potencial elétrico Energia potencial elétrica •Quando temos uma força que atua sobre uma partícula levando-a

Potencial elétrico

Energia potencial elétrica

• Quando temos uma força que atua sobre uma partícula levando-a do ponto 𝑎 até o 𝑏, o trabalho realizado é:

𝑊𝑎→𝑏 = 𝑎

𝑏

𝐹. 𝑑𝑙 = 𝑎

𝑏

𝐹 cos𝜑 𝑑𝑙 (1)

𝑑𝑙 é o deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória;

𝜑 é o ângulo entre 𝐹 e 𝑑𝑙 em cada ponto da trajetória;

• Se 𝐹 é uma força conservativa podemos expressá-la em termos da energia potencial elétrica:

𝑊𝑎→𝑏 = 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 = − 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎 = −∆𝑈 (2)

Se 𝑈𝑎 > 𝑈𝑏, 𝑊𝑎→𝑏 será positivo;

Se 𝑈𝑏 > 𝑈𝑎, 𝑊𝑎→𝑏 será negativo; 3

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• Fazendo referência ao campo elétrico, temos:

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Energia potencial elétrica para um campo elétrico uniforme

• Imagine um par de placas metálicas paralelas carregadas, produzindo um campo elétrico uniforme orientado de cima para baixo;

• O módulo 𝐸 do campo elétrico exerce sobre a partícula (pela Lei de Coulomb):

𝐹 = 𝑞0𝐸 (3)

• Sendo 𝑑 a distância entre os pontos 𝑎 e 𝑏, e utilizando a equação 1 o trabalho realizado sobre a partícula e a energia potencial para a força elétrica serão:

𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹𝑑 = 𝑞0𝐸𝑑 (4)

𝑈 = 𝑞0𝐸𝑑 (5)

• Poderíamos abordar a energia potencial elétrica para uma ou diversas cargas puntiformes, mas esse não é o escopo da aula;

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Como podemos definir potencial elétrico?

• O potencial elétrico é definido como a energia potencial por unidade de carga;

𝑈 = 𝑞0𝐸𝑑 ⇒ 𝑈 = 𝑞0𝑉 ⇒ 𝑉 =𝑈

𝑞0(6)

• A unidade no SI é Volt. Essa unidade é em homenagem ao Alessandro Volta (1745-1827), o qual foi pesquisador experimental de eletricidade;

1 𝑉 = 1 𝑣𝑜𝑙𝑡 = 1𝐽

𝐶= 1

𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒

𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏

• Se igualarmos o trabalho realizado por uma força elétrica sobre uma partícula do ponto 𝑎 ao ponto 𝑏 ao conceito de trabalho por unidade de carga, temos:

𝑊𝑎→𝑏𝑞0

=− 𝑈𝑏 − 𝑈𝑎

𝑞0(7)

• Como 𝑉 =𝑈

𝑞0, temos:

𝑊𝑎→𝑏𝑞0

= − 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 (8)

• 𝑉𝑎 é o potencial no ponto 𝑎 e 𝑉𝑏 é o potencial no ponto 𝑏; 6

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𝑊𝑎→𝑏𝑞0

= − 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 (9)

• 𝑉𝑎 é o potencial no ponto 𝑎 e 𝑉𝑏 é o potencial no ponto 𝑏;

• O trabalho realizado nesse deslocamento da carga é igual ao potencial no ponto 𝑎 menos o potencial do ponto 𝑏;

• Essa relação entre os potenciais dos pontos 𝑎 e 𝑏 é o que chamamos de diferença de potencial (ddp);

• A equação 9 pode ser entendida como: o potencial de 𝑎 em relação a 𝑏 é igual ao trabalho realizado pela força elétrica quando uma carga unitária se desloca de 𝑎 até 𝑏;

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Corrente elétrica

• Uma corrente elétrica é qualquer movimento efetivo de cargas de uma região para outra;

• Se não há nenhuma ddp aplicada em um metal, não há corrente;• Mas isso não quer dizer que os elétrons estejam parados;

• Em metais com alta condutividade, como, cobre ou alumínio os elétrons podem se mover livremente. Mas esse é uma movimento caótico;

• Em um movimento caótico não há um fluxo efetivo de cargas em nenhum direção fixa, logo não há corrente elétrica;

• Se um campo elétrico estacionário e constante é estabelecido no interior de um condutor, temos que a partícula está submetida a:

𝐹 = 𝑞𝐸 (10)

• Considerando esse sistema no vácuo, a partícula será acelerada na mesma direção da força 𝐹;

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• Mas como é o movimento da partícula em um condutor quando há um campo elétrico sendo aplicado? (Olhe a figura ao lado);

• Além do movimento caótico, há também uma velocidade de arraste (movimento muito lento) das partículas, devido a um grupo de cargas carregadas na direção da força elétrica;

• A corrente resultante é composta pelo movimento caótico (𝑣𝑚 =106 𝑚/𝑠) e pelo movimento de arraste (𝑣𝑎 = 10

−4 𝑚/𝑠);

• Mas se a velocidade é “lenta”, por que quando ligamos algum eletroeletrônico na tomada ele começa a funcionar quase que instantaneamente?

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Direção e sentido do fluxo da corrente

• Grande parte do trabalho realizado pelo campo elétrico é usado para aquecer o condutor, e não para acelerar os elétrons;• A energia cinética resultante das partículas é transferida para o material do condutor por meio de

colisões com os íons do condutor;

• Essas colisões aumentam a vibração dos íons do condutor, o que aumenta a temperatura do mesmo;

• Vamos sempre admitir um sentido convencional para a corrente elétrica;

• Não importando se o fluxo de cargas é positivo ou negativo;

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• Na análise de circuitos é irrelevante se o fluxo de cargas é positivo ou negativo;

• Definimos a corrente através da área com secção reta 𝐴 como igual ao fluxo das cargas através da área por unidade de tempo (figura ao lado);

𝐼 =𝑑𝑄

𝑑𝑡(11)

• A unidade no SI é ampère (𝐶/𝑠). Nome dado em homenagem ao cientista francês André Marie Ampère (1775-1836);

• Também é muito utilizado o conceito de densidade de corrente;

𝐽 =𝐼

𝐴

A

m2(12)

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Resistividade

• A densidade de corrente 𝐽 em um condutor depende do campo elétrico e das propriedades do material;

• Para certos materiais, especialmente os metais, em um dada temperatura, essa dependência de 𝐽e 𝐸 é quase diretamente proporcional;• Logo, a razão entre os módulos de 𝐸 e 𝐽 permanece constante;

• Essa relação é conhecida como Lei de Ohm. Definida por Georg Simon Ohm (1787-1854);

• A resistividade de um material é definida como:

𝜌 =𝐸

𝐽

V

m/A

m2=V

Am (13)

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𝜌 =𝐸

𝐽

V

m/A

m2=V

Am

1𝑉

𝐴= 1

• Quanto maior o valor da resistividade, maior terá que ser o campo elétrico necessário para produzir um dada densidade de corrente;

• O inverso da resistividade é a condutividade;

• Um material que obedece razoavelmente à lei de Ohm é chamado de condutor ôhmico ou linear;

• Para esses materiais 𝜌 é constante e não depende do valor de 𝐸;

• Materiais que não obedecem à lei de Ohm são chamados de não-ôhmicos ou não-lineares;

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Resistência• Para um condutor, temos:

𝐸 = 𝜌 𝐽 (14)

• Para a lei de Ohm, 𝜌 é constante e não depende de 𝐸;

• Para termos práticos, há o interesse de se trabalhar com:• Corrente 𝐼 ao invés de 𝐽;• Ddp ao invés de 𝐸;• Essas medidas são mais fáceis de serem estabelecidas;

• Considere:• 𝑉 a diferença de potencial entre a extremidade com potencial maior e a de menor, logo 𝑉 é positivo. Podemos

escrever 𝑉 = 𝐸. 𝐿 ou 𝐸 = 𝑉/𝐿;

• 𝑈 = 𝑞0𝐸𝑑 5 ⇒𝑈

𝑞0= 𝑉 ⇒

𝑈

𝑞0= 𝐸𝑑 ⇒ 𝑉 = 𝐸𝑑

• Supondo que os módulos da densidade de corrente e do campo elétrico sejam uniformes através do condutor, a corrente pode ser dada por 𝐼 = 𝐽. 𝐴 (12) ou 𝐽 = 𝐼/𝐴;

• Temos:𝐸 = 𝜌𝐽 (15)

𝑉

𝐿=𝜌𝐼

𝐴⇒ 𝑉 =

𝜌𝐿

𝐴𝐼 (16)

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• Por definição a resistência é:

𝑅 =𝜌𝐿

𝐴(17)

• Diretamente proporcional ao comprimento do fio e inversamente proporcional à secção reta;

• A resistência também é denominada pela razão:

𝑅 =𝑉

𝐼(18)

• Para materiais ôhmicos, 𝑅 será constante;

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Relato sobre a “invenção” do resistor• Artigo: L. N. Kryzhanovsky. The invention of the resistor, Centaurus,

vol.32, 1989, pp. 336-339.

• O termo resistir e a descrição de dispositivos com relação a esse termo foram encontrados em uma carta de Delaval com data de 15 de março de 1759.

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Lei de Ohm

• Essa lei estabelece que a corrente que atravessa um dispositivo é sempre diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada ao dispositivo (figura da esquerda);

• Entretanto, essa lei não se aplica a todos os casos pois existem os dispositivos não-ôhmicos (figura da direita);

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• Um dispositivo obedece à Lei de Ohm se a resistência do mesmo não depende do valor absoluto e nem da polaridade da diferença de potencial aplicada;

Trabalho a ser feito junto com o relatório: Por que alguns materiais obedecem à Lei de Ohm? Responda a pergunta com a explicação

conceitual e cite a(s) referência(s);

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Associação de resistores (dispositivos ôhmicos)

Associação de resistores em série e em paralelo

• Como a tensão se comporta quando ela passa pelos resistores 𝑅1 e 𝑅2?

• Qual o comportamento da corrente ao passar pelas resistências?

• Qual a relação entre seus valores nos pontos a, b e c?

• Qual a relação entre os valores de tensão nos pontos a, b e c?

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• Temos que:𝑉1 ≠ 𝑉2

• Entretanto, a corrente é a mesma:𝑖1 = 𝑖2 = 𝑖

• Logo, pela Lei de Ohm:

𝑉1 = 𝑅1𝑖1; 𝑉1 = 𝑅2𝑖2;

𝑉𝑡 = 𝑉1 + 𝑉2

𝑅𝑒𝑞𝑖 = 𝑅1𝑖1 + 𝑅2𝑖2

𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 (19)

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Medidas de tensão em circuitos em série e em paralelo

• Como a tensão se comporta quando ela passa pelos resistores 𝑅1 e 𝑅2;

• Qual a relação entre os valores de tensão nos pontos a e b?

• Qual o comportamento da corrente ao passar pelas resistências?

• Qual a relação entre seus valores nos pontos a, b?

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𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉

𝑖𝑎 ≠ 𝑖𝑏

𝑉1 = 𝑅1𝑖1; 𝑉2 = 𝑅2𝑖2

𝑖𝑡 = 𝑖1 + 𝑖2

𝑖1 =𝑉1𝑅1; 𝑖2 =

𝑉2𝑅2

𝑉

𝑅𝑒𝑞=𝑉1𝑅1+𝑉2𝑅2

1

𝑅𝑒𝑞=1

𝑅1+1

𝑅2(20)

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Potência em circuitos elétricos

• A quantidade de carga que atravessa um circuito em um intervalo de tempo é dado por: 𝑖 𝑑𝑡;

• Para o circuito fechado, temos que a energia potencial da carga 𝑑𝑞 diminui este valor é dado por:

𝑑𝑈 = 𝑑𝑞 𝑉 = 𝑖 𝑑𝑡 𝑉 ⇒𝑑𝑈

𝑑𝑡= 𝑖𝑉 (21)

• Essa redução da energia potencial elétrica deve ser acompanhada por uma conservação de energia. Assim a energia potencial elétrica se transforma em alguma outra;

• A potência associada a essa conversão é a taxa de transferência de energia 𝑑𝑈/𝑑𝑡. Assim, pela equação 21 chegamos que:

𝑑𝑈

𝑑𝑡= 𝑃 = 𝑖 𝑉 (22)

• 𝑃 é a taxa com a qual a energia é transferida da bateria para o componente (algum dispositivo);

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• A unidade de potência é dada por:

1 𝑉. 𝐴 = 1𝐽

𝐶1𝐶

𝑠= 1

𝐽

𝑠= 1𝑊

• Para o caso do componente ser um resistor*:

𝑉 = 𝑅 𝑖; 𝑃 = 𝑖 𝑉 = 𝑖2 𝑅 (22)

Ou

𝑖 =𝑉

𝑅; 𝑃 = 𝑖 𝑉 =

𝑉2

𝑅(23)

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Força eletromotriz e circuitos

Força eletromotriz• É o agente que faz a corrente fluir do potencial mais

baixo para o mais elevado;

• Atenção: a 𝑓𝑒𝑚 não é uma força, logo esse termo não é o mais adequado;

• A 𝑓𝑒𝑚 é uma grandeza com dimensão de energia por unidade de carga (𝐽/𝐶);

• O trabalho feito por um fonte pode ser representado por (figura ao lado):

• Se o circuito for aberto 𝐹𝑛 = 𝐹𝑒, assim não há movimento resultante das cargas;

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• 𝑓𝑒𝑚 e ddp são conceitos diferentes;• 𝑓𝑒𝑚: trabalho não-eletrostático (relacionado com processo interno

da fonte) por unidade de carga;

• Ddp: diferença de potencial elétrico entre dois pontos, ou, trabalho eletrostático por unidade de carga;

• Se a fonte for ideal, temos que:

𝑉𝑎𝑏 = 𝜀

• Para um circuito fechado, temos:

𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 = 𝐼𝑅

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Resistência interna de uma fonte• A ddp entre os terminais de uma fonte real não é igual a 𝑓𝑒𝑚;

• Isso devido à resistência interna da fonte, designada pela letra 𝑟;

• Se essa resistência obedece à lei de Ohm, teremos:

𝑉𝑎𝑏 = 𝜀 − 𝐼𝑟

• A corrente sofre uma queda de potencial igual a 𝐼𝑟;

• Logo, 𝜀 > 𝑉𝑎𝑏;

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Variações de potenciais em torno de um circuito

• A variação total de potencial em um circuito completo é igual a zero;

𝜀 − 𝐼𝑅 − 𝐼𝑟 = 0

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