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Aula E – Planejamento Fatorial 2k

(Conceitos; Importância e Algoritmo)

ANDRÉ LUIZ FIQUENE DE BRITO, ANDRÉ LUIZ FIQUENE DE BRITO, DrDr..UFCG/UAEQ/CCTUFCG/UAEQ/CCT

andre@deq.ufcg.edu.br ou andrefiquene2009@hotmail.com

Universidade Federal de Campina Grande – UFCGCentro de Ciências e Tecnologia – CCT

Unidade Acadêmica de Engenharia Química – UAEQ

LABGER

Campina Grande PB – Campina Grande PB – 2015.22015.2

Programa de Pós Graduação em Engenharia Química

Projeto de experimento fatorial do tipo 2k (fatores)

I) O que Significa?

• k fatores ensaiados em 2 níveis cada;– k = 2 22 = 4 tratamentos(experimentos);– k = 3 23 = 8 tratamentos(experimentos);

II) Características !• Usados para: interpretação dos efeitos e

ANOVA;• Muito usado como estratégia inicial quando se

tem muitos fatores: Caracterização de processos. 22

33

• Planejar o experimento para se ter informações suficientes (em termos dos objetivos da pesquisa) com o menor número possível de ensaios.

• Analisar os dados de forma compatível com o projeto experimental realizado.

1 - Projeto e Análise de Experimentos

44

2 - Estratégias no Planejamento de Experimentos

1. Reconhecer, estabelecer e delimitar claramente o problema;2. identificar os possíveis fatores que podem afetar o problema em

estudo;3. Verificar quais fatores que poderão ser mantidos fixos e, portanto,

não terão os seus efeitos avaliados no estudo experimental;4. Identificar, para cada fator, o intervalo de variação e os níveis que

entrarão no estudo;5. Escolher um projeto experimental adequado, isto é, saber como

combinar os níveis dos fatores de forma que se possa resolver o problema proposto com o menor custo possível;

6. Escolher a resposta adequada, ou seja, a variável Y que mede adequadamente o resultado (a qualidade, o desempenho, etc.) do processo ;

7. Planejar a forma como será a análise dos dados do experimento.

55

3 - Roteiro Para a Realização de um Experimento

1. Identificar e estabelecer o problema;2. Escolha dos fatores(k) e de seus níveis(b):

bk;3. Seleção da variável resposta (Y);4. Escolha do projeto experimental;5. Realização do experimento;6. Análise estatística dos dados;

• significativo x relevante

7. Conclusões e recomendações.

ExemploIr:Slide 12

66

4 - Estudo Experimental

• Manipula-se de forma planejada certas variáveis independentes ou fatores (A, B, C, ...) para verificar o efeito que esta manipulação provoca numa certa variável dependente ou resposta Y.

Processoentradas saídas

y

...x1 x2 xpfatores controláveis:

...z1 z2 zqfatores não controláveis

(Variáveis independentes)

(Variáveis independentes)

77

Ex. 1: Encontrar a melhor condição de operação de um processo químico. A resposta Y pode ser o rendimento da reação química e os fatores podem ser:

O tempo de reação (A) e;– A temperatura da reação (B).

5 – Exemplos do Tipo 22

88

5 – Exemplos do Tipo 24

Ex 2: Verificar quais são os fatores que mais interferem na resistência à compressão (Y) de um concreto. Os fatores a serem estudados podem ser:

Tempo de hidratação (A);A dosagem de cimento (B); A qualidade do cimento (C) eO uso de aditivos (D).

99

6 - Projeto de experimentos fatorial do tipo 2k

• Supõe-se:1. Aleatorização;2. Variação aleatória (erro experimental) com

distribuição normal;3. Para fatores quantitativos, supõe-se efeitos

lineares; e4. Dados balanceados (mesmo número de

observações em cada combinação dos níveis dos fatores).

1010

6.1. Exemplo: Um Químico realizou experimento para encontrar a % de conversão de uma reação, conforme tabela abaixo. Os dados do planejamento foram: k = 2 com dois Níveis(- e +) e 2 repetições (n) por tratamento.

A

B

+

+(1) a

b ab

1)Representação:2k.: 22 = 4 Observações Geralmente na forma de um Quadrado: Dois fatores e dois níveis (um alto e um baixo);

2)Objetivos: 1º:Encontrar os coeficientes(efeitos do modelo; 2º: Fazer a ANOVA. (soma quadrática).

Ensaios Tratamento X A B AB y

1 (1) + - - + 59

2 a + + - - 90

3 b + - + - 54

4 ab + + + + 68

Obs.: n: mínimo 02 a 03 réplicas

6.2 - Algoritimo Para Cálculo dos Efeitos

Ensaio

1234

Trata-mento

(1)abab

Efeito FatorialI A B AB

+ ++ + + + + + + +

(1) a

b ab

+

+

B

A

1111

• Sinal algébrico para o cálculo dos efeitos num projeto 22.

Continuação: Exemplo de Aplicação: 22

- Um grupo de engenheiros detectou um problema no rendimento de uma reação numa indústria;

- O problema tem que ser resolvido o mais rápido possível devido aos custos e qualidade do produto final;

- Encontre a resposta para o problema.

1212

Solução ? : 7 Etapas?

1 - Realizar o planejamento do experimento;2 - Verificar os efeitos T x C;3 - Encontrar os coeficientes do modelo;4 - Achar a ANOVA;5 - Fazer a avaliação (relatório técnico).

Após etapa 5, fazer ANOVA e o relatório conclusivo

1. Identificar e estabelecer o problema;S = Baixo rendimento do processo2. Escolha dos fatores(k) e de seus níveis(b): bk;S Fatores: F1 = Temperatura e F2 = Tipo de Catalisador Níveis do F1: T= 40ºC (baixo = -) e T = 60º C (alto = +) Níveis do F2: C = A (baixo = -) e C = B (alto = +)

3. Seleção da variável resposta (Y);S = Rendimento da reação em %

4. Escolha do projeto experimental;S = Projeto: 2k ou 22: Dois níveis (base) e dois fatores (k)

5. Realização do experimento;S = Achar as concentrações. O experimento foi conduzido num

laboratório, com o objetivo de obter o melhor rendimento do um processo.

Solução:

+(1) a

b ab

+F2

F1

1313

1414

Cont: Resultado do Experimento22

F1 +

F2

+

(1) = 59 a = 90

b = 54 ab = 68

Todas Possíveis Combinações dos Fatores e Níveis:

1. - e - = 59% (baixo e baixo) (1)

2. + e - = 90% (alto e baixo) (b)

3. - e + = 54% (baixo e alto) (a)

4. + e + = 68% (alto e alto) (ab)

6 - Análise Estatística dos Dados: significativo x relevante (Achar: Efeitos, F0, Valor P)

I) Achar os efeitos, ou seja, os coeficientes do modelo;

II) Fazer a partir do Sinal algébrico para o cálculo dos efeitos num projeto 22.

Procedimento: Algorítmo para calcular os efeitos:

• Fazer a matriz de experimentos;

• Escolhe-se uma coluna;

• Aplica-se os sinais às respostas;

• Faz-se a soma algébrica;(fazer o Contraste)

• Divide-se o resultado por 2 (-1 a + 1 = 2) e encontra-se o efeito;

• Na média divide-se por 4 (04 observações).

1515

Um algoritmo é uma seqüência finita de instruções bem definidas e não ambíguas, cada uma das quais pode ser executada num período de tempo finito.

a) Achar os Efeitos

- Matriz de Experimentos

Ensaio

1234

Tratamento

(1)abab

Efeito FatorialX F1 F2 F1xF2

+ ++ + + + + + + +

Y(%)

59905468

1616

12 kn

ContrasteEfeito

•Ensaio 1 59 •Ensaio 2 90•Ensaio 3 54•Ensaio 4 68

Obs.: n: número de repetição k: número de fatores

Para achar o efeito, faz-se o contraste(usa-se a média) e em seguida divide por dois.

nContrasteEfeito

2

Para K≥2

Para K=2

- Achar os Efeitos: Achar os Efeitos: Para n =1(Para n =1(rep)rep); k = 2 ; k = 2 Efeitos da Temperatura (F1) Fator T

5,22245

268549059

TTT

Efeitos do Catalisador (F2) Fator C

5,132

68549059

CC

Efeitos da Interação: Temperatura e Catalisador (F1 x F2)

5,82

68549059

TxCTxC

Efeitos da Média(X)

75,674

68549059

XX

1717

+59 90

54 68

+F2

F112

kn

ContrasteEfeito

12

kn

ContrasteEfeito

12

kn

ContrasteEfeito

12 kn

ContrasteEfeito

n2k-1= 1 . 22-1= 2 K = fatorn = replicas

1818

- Achar os Coeficientes do Modelo Obtido: Modelo Linear (1º - Achar os Coeficientes do Modelo Obtido: Modelo Linear (1º Grau) Grau)

TxCCTY 3210Onde:Y : Variável resposta0 : Média dos valores(X) Igual ao efeito1 : Coeficiente do fator T T/2 (Cod. -1 a +1)2 : Coeficiente do fator C C/2 (Cod. -1 a +1)3 : Coeficiente da Interação T x C CxT/2 (Cod. -1 a +1) :Erro

Portanto, O modelo obtido com os coeficientes é mostrado a seguir:

TxCCTenton 25,475,625,1175,67dimRe%

•Logo, substituindo T = -1 e C = -1, temos: Y = 67,25%;

•Significa que: Sob uma T = a 40oC e com o catalisador do tipo A o rendimento será 67,25%(Este valor é chamado de valor previsto do modelo).

Obs.: Para encontrar o erro é só fazer a diferença:Obs.: Para encontrar o erro é só fazer a diferença:

Erro=Experimental – Previsto(aula de resíduo)

1919

2020

Interpretação:Temperatura e CatalisadorInterpretação:Temperatura e Catalisador

T=F1

40º ()

C=F2

A =

B = +

59 90

54 68

60º (+)

+31%

1. Quando usamos o catalisador A e elevamos a T de 40ºC para 60ºC o rendimento médio passa de 59% para 90% (aumento de +31%);

T=F1

40º ()

C=F2

A =

B = +

59 90

54 68

60º (+)

+14%

2. Quando usamos o catalisador B, e elevamos a T de 40º para 60º o rendimento sobe apenas +14% (68 – 54).

• Logo, o efeito da temperatura, quando elevamos de 40º a 60º depende do nível em que o catalisador está.

2121

T=F1

40º ()

C=F2

A =

B = +

59 90

54 68

60º (+)

-5%

3. A 40ºC a mudança de catalisador diminui em média 5% do rendimento, ou seja, -5% (54-59);

2222

T=F1

40º ()

C=F2

A =

B = +

59 90

54 68

60º (+)

-22%

4. A 60º a mudança de catalisador diminui o rendimento médio em 22%, ou seja, em -22%(68-90).

• Logo, o efeito de Temperatura depende do catalisador. Pode-se concluir que as duas variáveis ou os dois fatores interagem entre si.

Próxima etapa: achar FPróxima etapa: achar F00 e Valor P, e Valor P, 2323