FUNÇÕES LÓGICAS – PORTAS LÓGICAS

1- Breve histórico

Em meados do século passado George Boole desenvolveu um sistema matemático de análise lógica. Esse sistema é conhecido como Álgebra de Boole.

No início da era Eletrônica, todos os problemas eram resolvidos por sistemas analógicos, também conhecidos por sistemas lineares.Com o avanço da tecnologia , esses mesmos problemas começaram a ser solucionados através da eletrônica digital. Esse ramo da eletrônica emprega nas suas máquinas, tais como: computadores, processadores de dados, sistemas de controle e de comunicação digital, codificadores, decodificadores etc., apenas um pequeno grupo de circuitos lógicos básicos, que são conhecidos como portas lógicas OU, E, NÃO e Flip-Flops.

Através da combinação desses circuitos, criou-se a Lógica Combinacional e foi possível implementar todas as expressões geradas pela Álgebra de Boole.

2- FUNÇÕES: E , OU, NÃO, NE e NOU

Para i início da nossa análise, façamos as seguintes considerações:

Nível 0 – Chave aberta – Lâmpada apagadaNével 1 – Chave fechada – Lâmpada acesa

2.1 – Função “E” ou “AND”

A função “E” é aquela que opera a multiplicação de duas ou mais variáveis binárias.

S = A . B onde se lê, S = A e B

Representação da função E através de um circuito elétrico.

E => é uma bateria;

Ch A e Ch B => são chaves;

S => é a saída que está representada por uma lâmpada.

2.1.1 – Montagem da tabela verdade do circuito apresentado.

Chave A Chave B Lâmp - S

Aberta Aberta Apagada

Aberta Fechada Apagada

Fechada Aberta Apagada

Fechada Fechada Acesa

2.1.2 - Tabela Verdade de uma função E ou AND

A B Saída

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

2.1.3 - Simbologia da porta E ou AND

Obs: A e B são as variáveis de entrada da porta E, ou seja, 2 variáveis, logo, 4 combinações possíveis.

O nº de combinações será igual a 2N , onde N é o nº de variáveis de entrada.

2.1.4 - Simbologia da porta E de 3 entradas

2.1.5 - Tabela Verdade da porta E com 3 variáveis de entrada

S = A . B . C => é a expressão Booleana resultante da submissão das 3 variáveis a porta E ou AND.

N = 3 pois temos 3 variáveis de entrada (A,B e C), logo o nº de combinações possíveis é igual 23, ou seja, 8 combinações como podem ser observadas na tabela verdade.

2.2 - Função OU ou função OR

É aquela que assume valor 1 (um) quando uma ou mais variáveis forem iguais a 1 (um) e assume valor 0 (zero), se e somente se, todas as variáveis forem 0 (zero).

A representação algébrica para duas variáveis de entrada é:

S = A + B, onde se lê, S = A ou B.

Representação da função OU através de um circuito elétrico.

E => é uma bateria;

Ch A e Ch B => são chaves;

S => é a saída que está representada por uma lâmpada.

2.2.1 - Tabela Verdade do circuito (ckt) apresentado:

Ch A Ch B Lamp - S

Aberta Aberta Apagada

Aberta Fechada Acesa

Fechada Aberta Acesa

Fechada Fechada Acesa

Aberto = 0;

Apagado = 0;

Fechado = 1;

Aceso = 1

2.2.2 - Tabela Verdade da porta OU ou porta OR

A B Saída

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Obs: A e B são as variáveis de entrada da porta OU, ou seja, 2 variáveis, logo, 4 combinações possíveis.

O nº de combinações será igual a 2N , onde N é o nº de variáveis de entrada.

2.2.3 - Simbologia da porta OU ou porta OR

2.2.4 - Simbologia da porta OU de 4 entradas.

S = A + B + C + D => é a expressão Booleana resultante da submissão das 4 variáveis a porta OU ou OR .

2.2.5 - Tabela Verdade da porta OU com 4 variáveis de entrada.

N = 4 pois temos 4 variáveis de entrada (A, B, C e D), logo o nº de combinações possíveis é igual 24, ou seja, 16 combinações como podem ser observadas na tabela verdade.

2.3 - Função NÃO ou NOT

A função NÃO é aquela que inverte ou complementa o estado da variável, ou seja, se a variável estiver em 0 (zero), a saída vai para 1 (um) e se estiver em 1 (um), a saída vai para 0 (zero). É representada algebricamente da seguintes formas:

S = A ou S = A’ ; onde se lê A barra ou NÃO A.

2.3.1 - Representação da função OU através de um circuito elétrico.

E => é uma bateria;

R => é uma resistência que limita a corrente de curto circuito;

Ch A => é uma chave;

S => é a saída que está representada por uma lâmpada.

2.3.2 - Análise do ckt apresentado.

1ª condição => Chave A aberta

Qd a chave A está aberta, a corrente atravessa a resistência R, passando pela lâmpada S e fazendo com que fique acesa.

2ª condição => Chave A fechada

Qd a chave A está fechada, a corrente do ckt atravessa a resistência R e retorna pela chave A, ou seja nenhuma corrente passa pela lâmpada S, fazendo com que fique apagada.

Aberto = Apagado = 0 (zero)

Fechado = Aceso = 1 (um)

2.3.3 - Tabela Verdade da porta NÃO ou NOT

A S

0 1

1 0

2.3.4 - Simbologia do INVERSOR

O Inversor é o bloco lógico que executa a função NÃO ou NOT.

2.4 - Função NÃO E , NE ou NAND

Conforme o nome NÃO E, essa função é uma composição da função E com a função NÃO, ou seja, teremos a função E invertida.

A representação algébrica é a seguinte: S = (A . B) , onde o travessão em cima do produto, significa que o resultado dessa operação será invertido.

A B S

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

2.4.1 - Tabela Verdade da função NE ou NAND

2.4.2 - Simbologias da porta NE ou NAND

Simbologias do Inversor , da porta NÃO

OBS: Podem ser encontrados no mercado circuitos integrados AND, NAND e NOT separadamente, mas não há impedimento para que a porta NAND seja estabelecida a partir de portas AND e NOT separadamente conforme a figura.

2.5 - Função NÃO OU, NOU ou NOR

Da mesma forma que a função NE, a função NOU é a composição da função NÃO coma a função OU, ou seja, a função NOU será o inverso da função OU.

A representação algébrica e da seguinte forma: S = (A + B), onde o travessão indica a inversão da soma Booleana (A +B)

2.5.1 – Tabela Verdade da função NOU ou NOR

A B S

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

2.5.2 – Simbologias da porta NOU ou NOR

Simbologias do Inversor , da porta NÃO

OBS: Podem ser encontrados no mercado circuitos integrados OR, NOR e NOT separadamente, mas não há impedimento para que a porta NOR seja estabelecida a partir de portas OR e NOT separadamente conforme a figura.

2.6 – Quadro RESUMO

3 – Expressões Booleanas obtidas de Circuitos Lógicos

Todo ckt lógico executa uma expressão booleana e por mais complexo que seja, é formado pela interligação das portas lógicas básicas.

Podemos obter a expressão boolena que é executada por um ckt lógico qualquer.

3.1 - Vejamos o exemplo a seguir.

Para facilitar a análise vamos dividir o ckt em duas partes distintas.

S1= A . B

S = S1 + C , logo

S = (A . B) + C

3.1.1 – Exercício Resolvido

Escreva, ou determine a expressão booleana executada pelo ckt abaixo:

Comecemos escrevendo a expressão de saída de cada bloco (porta), submetendo-as ao último bloco (porta).

S = (A + B) . (C + D)

3.1.2 – Exercícios Propostos

a)

b)

c)

3.2 – Circuitos obtidos a partir de Expressões Booleanas

Assim como foi possível obter expressões Booleanas de CKTs lógicos, é possível que CKTs lógicos sejam estabelecidos a partir de expressões Booleanas, como se estivéssemos executando uma engenharia reversa.

Conhecida uma determinada expressão Boolena, deve-se buscar a identificação da função das porta lógicas dentro da expressão dada. Veja o exemplo a seguir:

S = (A + B) . C . (B + D)

Para a solução a partir de expressões, devemos sempre respeitar a hierarquia das funções aritméticas, ou seja, para exemplo apresentado, iniciaremos avaliando os conteúdos entre parênteses. Pode-se identificar com facilidade que tem-se duas somas Boolenas entre parênteses, que são: (A+B) que chamaremos de expressão 1 e (B+D) que chamaremos de expressão 2. Logo, S = Expressão 1 . C . Expressão 2.

Passo 1 - A solução para a expressão 1 é a porta OU.

Passo 2 - A solução para a expressão 2 também é a porta OU.

Passo 3 – A solução é a multiplicação através de uma porta AND de 3 entradas.

Passo 4 – A solução final e como deve ser apresentada é a seguinte:

Desenhe o ckt que executa a expressão Booleana a seguir:

S = A . B .C + (A + B) . C

Passo 1 – Identificar e separar as portas lógicas na expressão dada.

Passo 2 – Definir as portas lógicas que compõem cada segmento.

Passo 3 – Montar o ckt final com todas as portas lógicas interligadas.

Desenhe os CKTs para as seguintes expressões:

3.3 – Tabelas Verdade Obtidas de Expressões Booleanas

Como vimos anteriormente quando estudamos as Portas e Funções lógicas (OR, NOR, AND e NAND), uma maneira de se fazer o estudo de uma função Booleana, é um mapa onde se colocam todas as situações possíveis de dada expressão, juntamente com o valor por esta assumido. Para que se extraia a tabela verdade de uma dada expressão, segue-se o seguinte procedimento:

1º - Identifica-se quantas variáveis compõem a expressão;

2º - Monta-se a o quadro de possibilidades baseado na seguinte fórmula: 2N , onde N é o nº de variáveis que compõem a expressão. Veja o exemplo.

2 variáveis (A e B) – 22 – 4 possibilidades;

3 variáveis (A, B e C) – 23 – 8 possibilidades;

4 variáveis (A, B, C e D) – 24 – 16 possibilidades;

5 variáveis (A, B, C, D e E) – 25 - 32 possibilidades.

3º - Montam-se colunas para os vários membros da expressão;

4º - Preenchem-se essas colunas com os respectivos resultados das expressões;

Para o melhor entendimento deste processo, vamos utilizar a expressão a seguir:

S = A . B . C + A . D + A . B . D

Temos na expressão, 4 variáveis: A, B, C e D, logo , teremos 24 possibilidades de combinação de entrada.

Vamos, a seguir, montar o quadro de possibilidades com 4 variáveis de entrada, 3 colunas auxiliares, sendo uma para cada membro da expressão e uma coluna para o resultado final (S).

Um outro modo de resolução para a expressão anterior, que é mais prático, mas requer mais atenção, consiste em montar a tabela de possibilidades sem utilizar as colunas auxiliares, ou seja, apenas as possibilidades e o resultado final.

Façamos a tabela verdade para a expressão: S = A + B + A . B . C

Primeiramente, monta-se o quadro de possibilidades com 23 linhas ou possibilidades

Logo após, vamos preencher a tabela utilizando os casos notáveis, que permitem a conclusão do resultado final imediato:

1 – Nos casos onde A = 0 (A = 1), temos a o resultado da expressão S = 1, pois, sendo A = 1, temos na expressão: S = 1 + B + A . B . C = 1 (qualquer que sejam os valores assumidos pela variável B ou pelo termo A . B . C).

2 – Nos casos remanescentes onde B = 1, temos S = 1, pois da mesma forma que nos casos anteriores S = A + 1 + A . B . C = 1.

3 – O termo A . B . C será igual a 1 somente no caso remanescente 100.

4 – Por exclusão, ou ainda por substituição dos valores, concluímos que no último caso (101), temos na saída S = 0

Exercícios

Prove as identidades abaixo relacionadas:

a) A . B ≠ A . B

b) A + B ≠ A + B

c) A . B = A + B

d) A + B = A . B

Levantar a tabela verdade dos termos das identidades apresentadas como se os termos pertencessem a uma mesma expressão S

Solução para as identidades apresentadas

Levante a tabela verdade da expressão:

S = (A + B) . (B . C)

Monte a tabela verdade da expressão:

S = [ (A + B) . C ] + [ D . (B + C) ]

Analise o comportamento do CKT abaixo:

Expressão de S = ?

Tab. Verdade = ?

3.4 - Expressões Booleanas obtidas de Tabelas da Verdade

Determine a expressão Booleana em função da tabela abaixo.

Dada a expressão, estabeleça o ckt lógico correspondente

Monte o ckt lógico correspondente a expressão apresentada

3.5 -

Simbologia da porta OU EXCLUSIVO

OBS : Existe disponível no mercado de componentes eletrônicos o circuito integrado TTL de nº 7486, que é um QUAD GATE OU EXCLUSIVO ( 4 x portas OU EXCLUSIVO)

DATASHEET do CI 7486 do fabricante FAIRCHILD

DATASHEET do CI 7486 do fabricante FAIRCHILD

DATASHEET do CI 7486 do fabricante FAIRCHILD

DATASHEET do CI 7486 do fabricante FAIRCHILD

Detalhes referentes ao encapsulamento do CI

Determine o sinal de saída (S) em função dos sinais de entrada

Determine a expressão de saída e monte a tabela verdade para o ckt apresentado.

DICAEnumere as portas lógicas envolvidas e realize a expressão Boolena referente a cada uma.

A porta lógica NE com as entradas curtocircuitadas, ou interligadas como na figura abaixo, funciona como se fosse uma porta NÃO.

Um outro caminho para que se obtenha a porta NÃO a partir de uma porta NOR.

Esta é uma das identidades, ou equivalências obtidas através do Teorema de De Morgan.

Agora vamos substituir cada porta lógica pelo equivalente composto por portas NE

Observando o ckt, verificamos que surgiram portas inversoras consecutivas, o que nos permitirá realizar uma simplificação do ckt acima.

Ckt simplificado com a exclusão das portas NÃO consecutivas.

Como primeiro passo, implemente o ckt conforme a expressão e em seguida, realize a equivalência com portas NOU.

Após a entrada das portas NOU devemos verificar a existência de portas NÃO que estejam em série e em seguida eliminá-las. O ckt abaixo já está simplificado, ou seja, com as portas NÃO em série eliminadas.

S = ?

Não esqueça que na resolução deste tipo de exercício, para facilitar a análise, devemos montar a expressão Booleana de cada uma das portas lógicas apresentadas.

1 -

2 -

3 -

Postulados da COMPLEMENTAÇÃO

Chamaremos A o complemento de A :

1º ) Se A = 0, logo A = 1

2º ) Se A = 1, logo A = 0

Através deste postulado, podemos estabelecer a seguinte identidade:

Se A= 1 , temos: A = 0 e se A = 0 , A = 1

Se A = 0 , temos A = 1 e se A = 1 , A = 0

Postulado da ADIÇÃO

Este postulado mostra como são as regras da Adição na Algebra de Boole.

1º) 0 + 0 = 02º) 0 + 1 = 13º) 1 + 0 = 14º) 1 + 1 = 1

Através deste postulado, podemos estabelecer as seguintes identidades:

A + 0 = A , para qualquer valor de A.

A + 1 = 1 , para qualquer valor de A.

A + A = A , para qualquer valor de A.

A + A = 1, para qualquer valor de A.

Postulado da MULTIPLICAÇÃO

É o postulado que determina as regras da multiplicação Booleana:

1º) 0 . 0 = 02º) 0 . 1 = 03º) 1 . 0 = 04º) 1 . 1 = 1

Através deste postulado, podemos estabelecer as seguintes identidades:

A . 0 = 0 , para qualquer valor de A.

A . 1 = A , para qualquer valor de A.

A . A = A , para qualquer valor de A.

A . A = 0 , para qualquer valor de A.

PROPRIEDADES

As principais propriedades algébricas no manuseio e simplificação de expressões Boolenas são:

Comutativa

Associativa

Distributiva

Propriedade Comutativa

Esta propriedade é válida tanto na Adição quanto na Multiplicação.

Adição: A + B = B + A

Multiplicação: A . B = B . A

Propriedade Associativa

Esta propriedade é válida tanto na Adição quanto na Multiplicação.

Adição: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C

Multiplicação: A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C

Propriedade Distributiva

A . (B + C) = A . B + A . C

A . (B + C) = A . B + A . C

1ª)

2ª)

3ª)

IMPORTANTE TER EM MENTE AS PROPRIEDADES, OS POSTULADOS, OS TEOREMAS E AS IDENTIDADES DESTE QUADRO RESUMO

Utilizando a Álgebra de Boole podemos simplificar expressões e conseqüentemente os circuitos que realizam as funções lógicas dessas expressões.

Para efetuar simplificações existem dois métodos que são:

1 – Simplificação através da Álgebra de Boole;

2 – Simplificação através do diagrama de Veitch Karnaugh.

Ao utilizarmos a Álgebra de Boole para a simplificação, é o mesmo que dizer que vamos nos valer dos postulados, identidades e teoremas para simplificar ao máximo as expressões apresentadas.

De Morgam demonstra

que: C + B = C . B

Utilizando as identidades da ADIÇÃO

Sublinhados os termos envolvidos, onde foi aplicado ALGEBRISMO MATEMÁTICO

Sublinhados os termos envolvidos, onde foi aplicado ALGEBRISMO MATEMÁTICO

Aplicando a teremos :

Aplicando a teremos :

Aplicando a teremos :

Aplicando a teremos :

Aplicando a teremos :

Aplicando-se a Propriedade Distributiva que é puro algebrismo matemático teremos:

Aplicando identidade da Multiplicação teremos:

S = A C + B C

Colocando-se C em evidência teremos:

S = [ C ( A + B )]

Aplicando a teremos :

Aplicando a

IMPORTANTE

Sem parênteses;

Sem duplos travessões;

CIs de duas entradas (E e OU);

4 portas lógicas (2 x NÃO; 1 E ; 1 OU)

Aplicando a propriedade Distributiva no 1º termo entre parênteses e De Morgan no 2º termo entre parênteses internos aos colchetes teremos:

X + Y + Z = X . Y . Z

De Morgan

Expressão final que não permite mais simplificações

Retirando da tabela a expressão de S apenas nos casos verdadeiros S = 1, teremos:

Já simplificados pelo por Karnaugh

ATENÇÃO com a quadra formada na letra (c), devemos imaginar um cilindro estabelecido, como se uníssemos uma folha de papel retangular

Minimize o ckt que realiza a tabela abaixo:

LÓGICA COMBINACIONAL CIRCUITOS FLIP - FLOP

ENTRADAS SET e RESET

GERADOR DE PRODUTOS CANÔNICOS

ENCADEAMENTO DE MUX p/ OBTER MUX MAIORES