aula de Álgebra linear - 29 de setembro
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l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
l g e b r a L i n e a r
E s p a o s V e t o r i a i s : S u b e s p a o s V e t o r i a i s
P r o f . E s p . : T h i a g o V e d o V a t t o
U n i v e r s i d a d e F e d e r a l d e G o i s
C a m p u s J a t a
C o o r d e n a o d e M a t e m t i c a
1 6 d e o u t u b r o d e 2 0 1 1
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
O b j e t i v o s d a A u l a
D e n i o d e E s p a o V e t o r i a l ( R e c a p i t u l a n d o )
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V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
O b j e t i v o s d a A u l a
D e n i o d e E s p a o V e t o r i a l ( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l
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V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
O b j e t i v o s d a A u l a
D e n i o d e E s p a o V e t o r i a l ( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l
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T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
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E x e m p l o 7
O b j e t i v o s d a A u l a
D e n i o d e E s p a o V e t o r i a l ( R e c a p i t u l a n d o )
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E x e m p l o 2
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E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
D e n i o ( E s p a o V e t o r i a l )
D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
R q u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
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D e n i o ( E s p a o V e t o r i a l )
D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
R q u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
1 . E x i s t e u m a a d i o (u , v ) = u + v e m V n a q u a l v a l e m :
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E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
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D e n i o ( E s p a o V e t o r i a l )
D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
R q u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
1 . E x i s t e u m a a d i o (u , v ) = u + v e m V n a q u a l v a l e m :
1 . 1 u+
v=
v+
u ,
u,
v
V ;
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D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
R q u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
1 . E x i s t e u m a a d i o (u , v ) = u + v e m V n a q u a l v a l e m :
1 . 1 u+
v=
v+
u ,
u,
v
V ;
1 . 2 u+ (
v+
w) = (
u+
v) +
w , u , v , w V ;
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E x e m p l o 2
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E x e m p l o 7
D e n i o ( E s p a o V e t o r i a l )
D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
R q u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
1 . E x i s t e u m a a d i o (u , v ) = u + v e m V n a q u a l v a l e m :
1 . 1 u+
v=
v+
u ,
u,
v
V ;
1 . 2 u+ (
v+
w) = (
u+
v) +
w , u , v , w V ;1 . 3 o V |u + o = u , u V ;
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D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
R q u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
1 . E x i s t e u m a a d i o (u , v ) = u + v e m V n a q u a l v a l e m :
1 . 1 u+
v=
v+
u ,
u,
v
V ;
1 . 2 u+ (
v+
w) = (
u+
v) +
w , u , v , w V ;1 . 3 o V |u + o = u , u V ;1 . 4
u
V ,
(u
) V
|u
+ (u
) =o .
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D e n i o ( E s p a o V e t o r i a l )
D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
R q u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
1 . E x i s t e u m a a d i o (u , v ) = u + v e m V n a q u a l v a l e m :
1 . 1 u+
v=
v+
u ,
u,
v
V ;
1 . 2 u+ (
v+
w) = (
u+
v) +
w , u , v , w V ;1 . 3 o V |u + o = u , u V ;1 . 4
u
V ,
(u
) V
|u
+ (u
) =o .
2 . E x i s t e u m a m u l t i p l i c a o d e R V e m V , o q u e s i g n i c a q u e a c a d a p a r
(,u
)d e R V e s t a s s o c i a d o
u m n i c o e l e m e n t o d e u V , e v a l e m :
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E x e m p l o 5
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D e n i o ( E s p a o V e t o r i a l )
D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
Rq u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
1 . E x i s t e u m a a d i o (u , v ) = u + v e m V n a q u a l v a l e m :
1 . 1 u+
v=
v+
u ,
u,
v
V ;
1 . 2 u+ (
v+
w) = (
u+
v) +
w , u , v , w V ;1 . 3 o V |u + o = u , u V ;1 . 4
u
V ,
(u
) V
|u
+ (u
) =o .
2 . E x i s t e u m a m u l t i p l i c a o d e R V e m V , o q u e s i g n i c a q u e a c a d a p a r
(,u
)d e R V e s t a s s o c i a d o
u m n i c o e l e m e n t o d e u V , e v a l e m : 2 . 1 ( u ) = ()u ;
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D e n i o ( E s p a o V e t o r i a l )
D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
Rq u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
1 . E x i s t e u m a a d i o (u , v ) = u + v e m V n a q u a l v a l e m :
1 . 1 u+
v=
v+
u ,
u,
v
V ;
1 . 2 u+ (
v+
w) = (
u+
v) +
w , u , v , w V ;1 . 3 o V |u + o = u , u V ;1 . 4
u
V ,
(u
) V
|u
+ (u
) =o .
2 . E x i s t e u m a m u l t i p l i c a o d e R V e m V , o q u e s i g n i c a q u e a c a d a p a r
(,u
)d e R V e s t a s s o c i a d o
u m n i c o e l e m e n t o d e u V , e v a l e m : 2 . 1 ( u ) = ()u ;2 . 2
( + )u
= u
+ u ;
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D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
Rq u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
1 . E x i s t e u m a a d i o (u , v ) = u + v e m V n a q u a l v a l e m :
1 . 1 u+
v=
v+
u ,
u,
v
V ;
1 . 2 u+ (
v+
w) = (
u+
v) +
w , u , v , w V ;1 . 3 o V |u + o = u , u V ;1 . 4
u
V ,
(u
) V
|u
+ (u
) =o .
2 . E x i s t e u m a m u l t i p l i c a o d e R V e m V , o q u e s i g n i c a q u e a c a d a p a r
(,u
)d e R V e s t a s s o c i a d o
u m n i c o e l e m e n t o d e u V , e v a l e m : 2 . 1 ( u ) = ()u ;2 . 2
( + )u
= u
+ u ;
2 . 3 (u + v ) = u + v ;
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D i z e m o s q u e u m c o n j u n t o V = u m E s p a o V e t o r i a l s o b r e
Rq u a n d o , e s o m e n t e q u a n d o :
1 . E x i s t e u m a a d i o (u , v ) = u + v e m V n a q u a l v a l e m :
1 . 1 u+
v=
v+
u ,
u,
v
V ;
1 . 2 u+ (
v+
w) = (
u+
v) +
w , u , v , w V ;1 . 3 o V |u + o = u , u V ;1 . 4
u
V ,
(u
) V
|u
+ (u
) =o .
2 . E x i s t e u m a m u l t i p l i c a o d e R V e m V , o q u e s i g n i c a q u e a c a d a p a r
(,u
)d e R V e s t a s s o c i a d o
u m n i c o e l e m e n t o d e u V , e v a l e m : 2 . 1 ( u ) = ()u ;2 . 2
( + )u
= u
+ u ;
2 . 3 (u + v ) = u + v ;2 . 4 1 u
=u .
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E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
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S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
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T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
D e n i o ( S u b e s p a o V e t o r i a l )
S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R. U m S u b e s p a o V e t o r i a l
d e V u m s u b c o n j u n t o W
V , t a l q u e :
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l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
D e n i o ( S u b e s p a o V e t o r i a l )
S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R. U m S u b e s p a o V e t o r i a l
d e V u m s u b c o n j u n t o W
V , t a l q u e :
1 . o
W ;
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V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
D e n i o ( S u b e s p a o V e t o r i a l )
S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R. U m S u b e s p a o V e t o r i a l
d e V u m s u b c o n j u n t o W
V , t a l q u e :
1 . o
W ;
2 . u , v W , u + v W ;
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E x e m p l o 1
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T e o r e m a
E x e m p l o 4
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D e n i o ( S u b e s p a o V e t o r i a l )
S e j a V u m e s p a o v e t o r i a l s o b r e R. U m S u b e s p a o V e t o r i a l
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V , t a l q u e :
1 . o
W ;
2 . u , v W , u + v W ;
3 . R e u W , u W
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V , t a l q u e :
1 . o
W ;
2 . u , v W , u + v W ;
3 . R e u W , u W
E m 2 a a d i o d e V , r e s t r i t a a W , u m a a d i o e m W ,
n e s s e c a s o d i z e m o s q u e W f e c h a d o p a r a a a d i o ;
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V , t a l q u e :
1 . o
W ;
2 . u , v W , u + v W ;
3 . R e u W , u W
E m 2 a a d i o d e V , r e s t r i t a a W , u m a a d i o e m W ,
n e s s e c a s o d i z e m o s q u e W f e c h a d o p a r a a a d i o ;
E m 3 e s t d e n i d a u m a m u l t i p l i c a o d e R W ;
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d e V u m s u b c o n j u n t o W
V , t a l q u e :
1 . o
W ;
2 . u , v W , u + v W ;
3 . R e u W , u W
E m 2 a a d i o d e V , r e s t r i t a a W , u m a a d i o e m W ,
n e s s e c a s o d i z e m o s q u e W f e c h a d o p a r a a a d i o ;
E m 3 e s t d e n i d a u m a m u l t i p l i c a o d e R W ;
O c o n j u n t o
{o
}, c u j o n i c o e l e m e n t o o v e t o r n u l o , e o
e s p a o i n t e i r o V s o e x e m p l o s t r i v i a i s ( i m p r p r i o s ) d e
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . T o d o e s p a o , e m s i
m e s m o , u m e s p a o v e t o r i a l .
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E x e m p l o 7
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S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
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E x e m p l o 1
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E x e m p l o 3
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E x e m p l o 7
T h e o r e m
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ;
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E x e m p l o 1
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T h e o r e m
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
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E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ;
l g e b r a L i n e a r
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
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S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
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D e n i o d e
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( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
3 .
o
V|
u+
o=
u ,
u
W ;
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V e d o V a t t o
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( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
3 .
o
V|
u+
o=
u ,
u
W ; , W s u b e s p a o d e V
l g e b r a L i n e a r
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T h i a g o
V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
3 .
o
V|
u+
o=
u ,
u
W ; , W s u b e s p a o d e V
4 . u W , ( u ) W | u + ( u ) = o .
l g e b r a L i n e a r
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V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
3 .
o
V|
u+
o=
u ,
u
W ; , W s u b e s p a o d e V
4 . u W , ( u ) W | u + ( u ) = o . ,u
W
u
W , p o i s W s u b e s p a o d e V
l g e b r a L i n e a r
T h e o r e m
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V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
3 .
o
V|
u+
o=
u ,
u
W ; , W s u b e s p a o d e V
4 . u W , ( u ) W | u + ( u ) = o . ,u
W
u
W , p o i s W s u b e s p a o d e V
5 . ( u ) = () u ;
l g e b r a L i n e a r
T h e o r e m
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P r o f . E s p . :
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V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
3 .
o
V|
u+
o=
u ,
u
W ; , W s u b e s p a o d e V
4 . u W , ( u ) W | u + ( u ) = o . ,u
W
u
W , p o i s W s u b e s p a o d e V
5 . ( u ) = () u ; , W V
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T h e o r e m
-
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
3 .
o
V|
u+
o=
u ,
u
W ; , W s u b e s p a o d e V
4 . u W , ( u ) W | u + ( u ) = o . ,u
W
u
W , p o i s W s u b e s p a o d e V
5 . ( u ) = () u ; , W V
6 .( + )
u=
u+
u ; , W V
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V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
3 .
o
V|
u+
o=
u ,
u
W ; , W s u b e s p a o d e V
4 . u W , ( u ) W | u + ( u ) = o . ,u
W
u
W , p o i s W s u b e s p a o d e V
5 . ( u ) = () u ; , W V
6 .( + )
u=
u+
u ; , W V
7 . ( u + v ) = u + v ;
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( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
3 .
o
V|
u+
o=
u ,
u
W ; , W s u b e s p a o d e V
4 . u W , ( u ) W | u + ( u ) = o . ,u
W
u
W , p o i s W s u b e s p a o d e V
5 . ( u ) = () u ; , W V
6 .( + )
u=
u+
u ; , W V
7 . ( u + v ) = u + v ; , W V
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e W u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V , e n t o W t a m b m u m
e s p a o v e t o r i a l s o b r e R.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s v e r i c a r t o d o s o s t e n s d a
D e n i o 1 :
1 . u + v = v + u , u , v W ; , p o i s W V
2 . u + ( v + w ) = (u + v ) + w , u , v , w W ; , W V
3 .
o
V|
u+
o=
u ,
u
W ; , W s u b e s p a o d e V
4 . u W , ( u ) W | u + ( u ) = o . ,u
W
u
W , p o i s W s u b e s p a o d e V
5 . ( u ) = () u ; , W V
6 .( + )
u=
u+
u ; , W V
7 . ( u + v ) = u + v ; , W V
8 . 1 u=
u . , W V
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E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
l g e b r a L i n e a r
E x a m p l e
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3
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E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
)
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E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
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E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ;
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E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ; , p o i s s a t i s f a z a d e n i o d e W
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V e t o r i a l
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ; , p o i s s a t i s f a z a d e n i o d e W , o = ( 0 , 0 , 0 )
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S u b e s p a o
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ; , p o i s s a t i s f a z a d e n i o d e W , o = ( 0 , 0 , 0 ) e0 + 0 = 0
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T e o r e m a
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E x e m p l o 5
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E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ; , p o i s s a t i s f a z a d e n i o d e W , o = ( 0 , 0 , 0 ) e0 + 0 = 0
2 .
u,
v
W , u+
v
W ;
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E x e m p l o 3
T e o r e m a
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E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ; , p o i s s a t i s f a z a d e n i o d e W , o = ( 0 , 0 , 0 ) e0 + 0 = 0
2 .
u,
v
W , u+
v
W ; , s e j a m u = (x1
,y
1
,z
1
) W e
v = ( x2
, y2
, z2
) W
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V e d o V a t t o
D e n i o d e
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( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ; , p o i s s a t i s f a z a d e n i o d e W , o = ( 0 , 0 , 0 ) e0 + 0 = 0
2 .
u,
v
W , u+
v
W ; , s e j a m u = (x1
,y
1
,z
1
) W e
v = ( x2
, y2
, z2
) W , e n t o x1
+ y1
= x2
+ y2
= 0 .
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V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ; , p o i s s a t i s f a z a d e n i o d e W , o = ( 0 , 0 , 0 ) e0 + 0 = 0
2 .
u,
v
W , u+
v
W ; , s e j a m u = (x1
,y
1
,z
1
) W e
v = ( x2
, y2
, z2
) W , e n t o x1
+ y1
= x2
+ y2
= 0 . C o m o u + v = ( x
1
+ x2
, y1
+ y2
, z1
+ z2
)
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S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ; , p o i s s a t i s f a z a d e n i o d e W , o = ( 0 , 0 , 0 ) e0 + 0 = 0
2 .
u,
v
W , u+
v
W ; , s e j a m u = (x1
,y
1
,z
1
) W e
v = ( x2
, y2
, z2
) W , e n t o x1
+ y1
= x2
+ y2
= 0 . C o m o u + v = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) e( x
1
+ x2
) + (y1
+ y2
) = ( x1
+ y1
) + ( x2
+ y2
) = 0 + 0 = 0
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S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ; , p o i s s a t i s f a z a d e n i o d e W , o = ( 0 , 0 , 0 ) e0 + 0 = 0
2 .
u,
v
W , u+
v
W ; , s e j a m u = (x1
,y
1
,z
1
) W e
v = ( x2
, y2
, z2
) W , e n t o x1
+ y1
= x2
+ y2
= 0 . C o m o u + v = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) e( x
1
+ x2
) + (y1
+ y2
) = ( x1
+ y1
) + ( x2
+ y2
) = 0 + 0 = 0
3 . R e u W , u W
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S e j a W = {(x , y , z ) R3 | x + y = 0 }. M o s t r e q u e W s u b e s p a o d e R
3
.
D e m o n s t r a o .
P a r a d e m o n s t r a r e s s e f a t o d e v e m o s m o s t r a r q u e W R3 ( , b v i o p o i s c o m p o s t o p o r e l e m e n t o s d e R
3
) e v e r i c a r t o d o s
o s t e n s d a D e n i o d e S u b e s p a o V e t o r i a l .
1 . o
W ; , p o i s s a t i s f a z a d e n i o d e W , o = ( 0 , 0 , 0 ) e0 + 0 = 0
2 .
u,
v
W , u+
v
W ; , s e j a m u = (x1
,y
1
,z
1
) W e
v = ( x2
, y2
, z2
) W , e n t o x1
+ y1
= x2
+ y2
= 0 . C o m o u + v = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) e( x
1
+ x2
) + (y1
+ y2
) = ( x1
+ y1
) + ( x2
+ y2
) = 0 + 0 = 0
3 . R e u W , u W ( e x e r c c i o )
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P a r a t a n t o c o n s i d e r e m o s o s c o n j u n t o s U e W c o m o
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o )
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s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o ) e q u e o m e s m o s a t i s f a z a
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V t a m b m u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V .
D e m o n s t r a o .
P a r a t a n t o c o n s i d e r e m o s o s c o n j u n t o s U e W c o m o
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o ) e q u e o m e s m o s a t i s f a z a
d e n i o d e s u b e s p a o v e t o r i a l .
1 . o
W
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V t a m b m u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V .
D e m o n s t r a o .
P a r a t a n t o c o n s i d e r e m o s o s c o n j u n t o s U e W c o m o
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o ) e q u e o m e s m o s a t i s f a z a
d e n i o d e s u b e s p a o v e t o r i a l .
1 . o
W
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V t a m b m u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V .
D e m o n s t r a o .
P a r a t a n t o c o n s i d e r e m o s o s c o n j u n t o s U e W c o m o
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o ) e q u e o m e s m o s a t i s f a z a
d e n i o d e s u b e s p a o v e t o r i a l .
1 . o
W
U ; o
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W , l o g o o
U
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V t a m b m u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V .
D e m o n s t r a o .
P a r a t a n t o c o n s i d e r e m o s o s c o n j u n t o s U e W c o m o
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o ) e q u e o m e s m o s a t i s f a z a
d e n i o d e s u b e s p a o v e t o r i a l .
1 . o
W
U ; o
U e o
W , l o g o o
U
W
2 . u , v W U , u + v W U ;
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A i n t e r c e s s o d e d o i s s u b e s p a o s v e t o r i a i s d o m e s m o e s p a o
V t a m b m u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V .
D e m o n s t r a o .
P a r a t a n t o c o n s i d e r e m o s o s c o n j u n t o s U e W c o m o
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o ) e q u e o m e s m o s a t i s f a z a
d e n i o d e s u b e s p a o v e t o r i a l .
1 . o
W
U ; o
U e o
W , l o g o o
U
W
2 . u , v W U , u + v W U ; ( e x e r c c i o )
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E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
A i n t e r c e s s o d e d o i s s u b e s p a o s v e t o r i a i s d o m e s m o e s p a o
V t a m b m u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V .
D e m o n s t r a o .
P a r a t a n t o c o n s i d e r e m o s o s c o n j u n t o s U e W c o m o
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o ) e q u e o m e s m o s a t i s f a z a
d e n i o d e s u b e s p a o v e t o r i a l .
1 . o
W
U ; o
U e o
W , l o g o o
U
W
2 . u , v W U , u + v W U ; ( e x e r c c i o )
3 .
R e
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U ,
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V e d o V a t t o
D e n i o d e
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S u b e s p a o
V e t o r i a l
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
A i n t e r c e s s o d e d o i s s u b e s p a o s v e t o r i a i s d o m e s m o e s p a o
V t a m b m u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V .
D e m o n s t r a o .
P a r a t a n t o c o n s i d e r e m o s o s c o n j u n t o s U e W c o m o
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o ) e q u e o m e s m o s a t i s f a z a
d e n i o d e s u b e s p a o v e t o r i a l .
1 . o
W
U ; o
U e o
W , l o g o o
U
W
2 . u , v W U , u + v W U ; ( e x e r c c i o )
3 .
R e
u
W
U ,
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W
U T o m e m o s
R e
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P r o f . E s p . :
T h i a g o
E x a m p l e
http://find/http://goback/ -
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67/125
V e d o V a t t o
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
A i n t e r c e s s o d e d o i s s u b e s p a o s v e t o r i a i s d o m e s m o e s p a o
V t a m b m u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V .
D e m o n s t r a o .
P a r a t a n t o c o n s i d e r e m o s o s c o n j u n t o s U e W c o m o
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o ) e q u e o m e s m o s a t i s f a z a
d e n i o d e s u b e s p a o v e t o r i a l .
1 . o
W
U ; o
U e o
W , l o g o o
U
W
2 . u , v W U , u + v W U ; ( e x e r c c i o )
3 .
R e
u
W
U ,
u
W
U T o m e m o s
R e
u W U . C o m o u U e u W , e n t o u U e
u
W
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
E x a m p l e
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68/125
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
A i n t e r c e s s o d e d o i s s u b e s p a o s v e t o r i a i s d o m e s m o e s p a o
V t a m b m u m s u b e s p a o v e t o r i a l d e V .
D e m o n s t r a o .
P a r a t a n t o c o n s i d e r e m o s o s c o n j u n t o s U e W c o m o
s u b e s p a o s v e t o r i a i s d e V . D e s t e m o d o d e v e m o s m o s t r a r q u e
o c o n j u n t o U
W
V ( b v i o ) e q u e o m e s m o s a t i s f a z a
d e n i o d e s u b e s p a o v e t o r i a l .
1 . o
W
U ; o
U e o
W , l o g o o
U
W
2 . u , v W U , u + v W U ; ( e x e r c c i o )
3 .
R e
u
W
U ,
u
W
U T o m e m o s
R e
u W U . C o m o u U e u W , e n t o u U e
u
W , l o g o
u
U
W
l g e b r a L i n e a r
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( R e c a p i t u l a n d o )
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V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o a s e g u i r :
l g e b r a L i n e a r
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70/125
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o a s e g u i r :
S
H
=
x
+y
z
=0
4 y
z=
0
l g e b r a L i n e a r
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E x e m p l o 1
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E x e m p l o 3
T e o r e m a
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E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o a s e g u i r :
S
H
=
x
+y
z
=0
4 y
z=
0
N o t e q u e ( 3 , 1 , 4 ) e (6 ,2 , 8 ) s o s o l u e s d e SH
.
l g e b r a L i n e a r
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V e d o V a t t o
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72/125
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o a s e g u i r :
S
H
=
x
+y
z
=0
4 y
z=
0
N o t e q u e ( 3 , 1 , 4 ) e (6 ,2 , 8 ) s o s o l u e s d e SH
.
S o m a d e s o l u e s
l g e b r a L i n e a r
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73/125
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o a s e g u i r :
S
H
=
x
+y
z
=0
4 y
z=
0
N o t e q u e ( 3 , 1 , 4 ) e (6 ,2 , 8 ) s o s o l u e s d e SH
.
S o m a d e s o l u e s
V e j a q u e (
3,
1,
4) + (
6,
2,
8) = (
3,
1,
4)
.
l g e b r a L i n e a r
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o a s e g u i r :
S
H
=
x
+y
z
=0
4 y
z=
0
N o t e q u e ( 3 , 1 , 4 ) e (6 ,2 , 8 ) s o s o l u e s d e SH
.
S o m a d e s o l u e s
V e j a q u e (
3,
1,
4) + (
6,
2,
8) = (
3,
1,
4)
. A t e r n a
o b t i d a t a m b m s o l u o d e S
H
l g e b r a L i n e a r
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o a s e g u i r :
S
H
=
x
+y
z
=0
4 y
z=
0
N o t e q u e ( 3 , 1 , 4 ) e (6 ,2 , 8 ) s o s o l u e s d e SH
.
S o m a d e s o l u e s
V e j a q u e (
3,
1,
4) + (
6,
2,
8) = (
3,
1,
4)
. A t e r n a
o b t i d a t a m b m s o l u o d e S
H
M u l t i p l i c a o d e s o l u e s p o r n m e r o r e a l
l g e b r a L i n e a r
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E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o a s e g u i r :
S
H
=
x
+y
z
=0
4 y
z=
0
N o t e q u e ( 3 , 1 , 4 ) e (6 ,2 , 8 ) s o s o l u e s d e SH
.
S o m a d e s o l u e s
V e j a q u e (
3,
1,
4) + (
6,
2,
8) = (
3,
1,
4)
. A t e r n a
o b t i d a t a m b m s o l u o d e S
H
M u l t i p l i c a o d e s o l u e s p o r n m e r o r e a l
V e j a t a m b m q u e 2 ( 3 , 1 , 4 ) = ( 6 , 2 , 8 ) .
l g e b r a L i n e a r
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T h i a g o
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E x a m p l e
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V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o a s e g u i r :
S
H
=
x
+y
z
=0
4 y
z=
0
N o t e q u e ( 3 , 1 , 4 ) e (6 ,2 , 8 ) s o s o l u e s d e SH
.
S o m a d e s o l u e s
V e j a q u e (
3,
1,
4) + (
6,
2,
8) = (
3,
1,
4)
. A t e r n a
o b t i d a t a m b m s o l u o d e S
H
M u l t i p l i c a o d e s o l u e s p o r n m e r o r e a l
V e j a t a m b m q u e 2 ( 3 , 1 , 4 ) = ( 6 , 2 , 8 ) . A t e r n a o b t i d a t a m b m s o l u o d e S
H
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
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V e d o V a t t o
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V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o a s e g u i r :
S
H
=
x
+y
z
=0
4 y
z=
0
N o t e q u e ( 3 , 1 , 4 ) e (6 ,2 , 8 ) s o s o l u e s d e SH
.
S o m a d e s o l u e s
V e j a q u e (
3,
1,
4) + (
6,
2,
8) = (
3,
1,
4)
. A t e r n a
o b t i d a t a m b m s o l u o d e S
H
M u l t i p l i c a o d e s o l u e s p o r n m e r o r e a l
V e j a t a m b m q u e 2 ( 3 , 1 , 4 ) = ( 6 , 2 , 8 ) . A t e r n a o b t i d a t a m b m s o l u o d e S
H
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
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D e n i o d e
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( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
E x a m p l e
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o s o b r e R d o t i p o m n :
l g e b r a L i n e a r
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80/125
D e n i o d e
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( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
E x a m p l e
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o s o b r e R d o t i p o m n :
S
H
=
a
1 1
x
1
+ a1 2
x
2
+ . . . + a1 n
x
n
= 0a
2 1
x
1
+a
2 2
x
2
+ . . . +a
2 n
x
n
=0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m 1
x
1
+ am 2
x
2
+ . . . + am n
x
n
= 0
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
http://find/http://goback/ -
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( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
E x a m p l e
C o n s i d e r e o s i s t e m a l i n e a r h o m o g n e o s o b r e R d o t i p o m n :
S
H
=
a
1 1
x
1
+ a1 2
x
2
+ . . . + a1 n
x
n
= 0a
2 1
x
1
+a
2 2
x
2
+ . . . +a
2 n
x
n
=0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m 1
x
1
+ am 2
x
2
+ . . . + am n
x
n
= 0
C h a m e o c o n j u n t o s o l u o d o s i s t e m a p o r S
H
.
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
O b s e r v a e s
http://find/http://goback/ -
8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 29 de Setembro
82/125
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
O b s e r v a e s
1 . A s o l u o t r i v i a l (
0,
0, . . . ,
0)
s o l u o d e s s e s i s t e m a ;
http://find/http://goback/ -
8/3/2019 Aula de lgebra Linear - 29 de Setembro
83/125
D e n i o d e
E s p a o V e t o r i a l
( R e c a p i t u l a n d o )
D e n i o d e
S u b e s p a o
V e t o r i a l
T e o r e m a
E x e m p l o 1
E x e m p l o 2
E x e m p l o 3
T e o r e m a
E x e m p l o 4
E x e m p l o 5
E x e m p l o 6
E x e m p l o 7
l g e b r a L i n e a r
P r o f . E s p . :
T h i a g o
V e d o V a t t o
O b s e r v a e s
1 . A s o l u o t r i v i a l (
0,
0, . . . ,
0)
s o l u o d e s s e s i s t e m a ;
( o SH
)
http://find/http://gob