aula 7: valor absoluto prof. mário alves fundamentos de anÁlise i

Aula 7: Valor AbsolutoAula 7: Valor Absoluto

Prof. Mário AlvesProf. Mário Alves

FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I



Conteúdo Programático desta aula

Teoremas envolvendo valor absoluto; Propriedades de valor absoluto; e Alguns teoremas sobre valor absoluto.



MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO- O módulo ou valor absoluto de um número x

pertencente a um corpo K é definido por:

- Trabalharemos com o corpo dos números reais:

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http://www.google.com.br/imgres?um=1&sa=N&biw=1242&bih=638&hl=pt-BR&tbm=isch&tbnid=PiNgkFuiNewx_M:&imgrefurl=http://www.brasilescola.com/matematica/equacao-modular.htm&docid=HI1CjnFp3xXxfM&imgurl=http://www.brasilescola.com/upload/e/Untitled-1(88).jpg&w=330&h=74&ei=ZxY2Uv3KJYjk9gTB7YGoDw&zoom=1&ved=1t:3588,r:14,s:0,i:121&iact=rc&page=1&tbnh=59&tbnw=264&start=0&ndsp=17&tx=76.0909423828125&ty=26.636383056640625



MÓDULO OU VALOR ABSOLUTOInterpretação Geométrica na reta numérica:

- O ponto O, na reta numérica, representa o número 0 e é considerado a origem da reta.

- Identifica-se o ponto a com o número a.

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MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO- Se o número a > 0 então o ponto a se situa à direita da origem

O e sua distância até a origem O é: a−0 = a unidades.

- Se o número a < 0 então o ponto a se situa à esquerda da origem O e sua distância até a origem O é: 0−a = −a unidades.

- Se o número a = 0 então o ponto a coincide com a origem O e sua distância até a origem O é: 0−0 = 0 unidades

.



MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO- Comparando a definição de módulo de a com a

distância do ponto, ou seja, do número a , até a origem O, temos:

- Se a > 0 então a distância de a até a origem O é igual a: a−0 = a

Em Módulo: |a| = a- Se a < 0 então a distância de a até a origem O é igual

a: 0−a = −a Em Módulo: |a| = −a- Se a = 0 então a distância de a até a origem O é igual

a: a−0 = 0−0 = 0 Em Módulo: |a| = |0| = 0.

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MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO- IMPORTANTE: |a| representa a distância do ponto a

ou do número a até a origem O.

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MÓDULO OU VALOR ABSOLUTOInterpretação Geométrica de |b−a|:

- Se b > a então sabemos que o ponto b está à direita de a.

- Além disso, o ponto b dista b−a unidades de a.

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- Se b < a então o ponto b está à esquerda de a :

- Além disso, o ponto b dista a−b unidades de a.

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- Se b = a então o ponto b coincide com o ponto a:

- Além disso, o ponto b dista b−a = a−a = 0 unidades de a.

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MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO

- IMPORTANTE: |b-a| representa a distância entre b e a.

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PROPRIEDADES DE MÓDULO- As seguintes propriedades são válidas, :

1) - Suponha ;- Sabemos que a > o, a < 0 ou a = 0;- Se a > 0, temos que |a| = a > 0;- Se a < 0, sabemos que –a > 0 e temos que |a| = -a

> 0;- Se a = 0, temos que |a| = 0.- Assim, temos que , .

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PROPRIEDADES DE MÓDULO2)

- Suponha, por absurdo, que |a|=0 e .- Se , temos que a > 0 ou a < 0. Assim, |a| > 0.- Temos uma contradição, já que assumimos que |a| =

0.

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- Suponha ;- Consideremos os casos possíveis de sinais de a e b:

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DESIGUALDADE TRIÂNGULAR

- Sabemos que e ;- Somando termo a termo, temos:

- Logo, está demonstrado.

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