aula 7 - planos e direções cristalográficas

Pontos, Direes e Planos para o Sistema Cbico

Trata-se de um esquema reticulado necessrio para

especificar pontos num determinado "espao" com

dimenses.

Cartesiano um adjetivo que se refere ao matemtico

francs e filsofo Descartes que, entre outras coisas,

desenvolveu uma sntese da lgebra com a geometria

euclidiana, que permitiu o desenvolvimento de reas

cientficas como a geometria analtica, o clculo e a

cartografia.

O sistema de coordenadas cartesiano

B (6,5)

C (4,5; -3,5)

A (-5,3)

D

A

B

C

D (0,0)

Determine as direes A, B, C e D.

Determine as posies:

As posies so

representadas por

nmeros inteiros

ou no, separados

por vrgulas.

0, 0, 1

0, 0, 0

0, 1, 0

1, 0, 0

1, 0, 1

0, 1, 1

1, 1, 1

1,1,0

x, y, z

1

2 3

4

5

7 8

9 6

, ,

, ,

0, 0, 0

0, 1, 0

0, 1, 1

1, 1, 1

, , 1

, 1,

, 0,

, ,0 , ,

I

II

III

IV

V

Exerccio

Para a clula unitria mostrada na figura (a), localize

os pontos que possuem coordenadas 1 .

qa = (0,48 nm) = 0,12 nm

Eixo X ponto N

rb = 1(0,46 nm) = 0,46 nm

Paralelamente ao eixo Y ponto O

sc = (0,40 nm) = 0,20 nm

Paralelamente ao eixo Z ponto P.

N O

P ( 1 )

0,46 nm

0,20 nm

Uma direo cristalogrfica definida como uma

linha entre dois pontos, ou um vetor, com seu

ponto inicial na origem de um sistema cartesiano

de referncia e seu ponto final em uma posio

qualquer, dependendo da direo considerada.

Direes Cristalogrficas

Direes nos Cristais

a, b e c definem os eixos de

um sistema de coordenadas

em 3D. Qualquer linha (ou

direo) do sistema de

coordenadas pode ser

especificada atravs de dois

pontos: um deles sempre

tomado como sendo a

origem do sistema de

coordenadas, geralmente

(0,0,0) por conveno;

A posio de um ponto

do espao descrita

fornecendo-se sua

localizao relativa a trs

eixos coordenados

perpendiculares entre si,

que se interceptam na

origem O.


Dizemos que um ponto P do espao tem coordenadas

retangulares (ou cartesianas) x, y, z.


Se P= (x,y,z) um ponto

qualquer do espao, o

vetor posio:

pode ser escrito na

forma:

e os nmeros x, y e z

chamam-se

respectivamente,

componentes i, j e k.

OPR

zkyjxiR


1221 RRPP

kzjyixkzjyixPP 11122221

kzzjyyixxPP 12121221

Se P1 = (x1,y1,z1) e P2 = (x2,y2,z2) so dois pontos

quaisquer do espao, a distncia entre eles o

comprimento do vetor de P1 a P2. 21PP


Para descrever a

estrutura cristalina

necessrio escolher

uma notao para

posies, direes e

planos.

Posies so

definidas dentro de

um cubo com lado

unitrio.


So representadas entre colchetes;

Direes nos Cristais

Determine os pontos da Origem; Determine os pontos da Extremidade; Subtraia a Extremidade da Origem; Reduza a nmeros inteiros; Escreva entre colchetes;


Se a subtrao der negativa, coloca-se uma barra sobre o nmero.

Direes nos Cristais


Quando passa pela origem.

Direes nos Cristais


Os nmeros devem ser

divididos ou

multiplicados por um

fator comum para dar

nmeros inteiros.

Direes nos Cristais

26

A simetria da estrutura cbica permite que as

direes equivalentes sejam agrupadas para formar

uma famlia de direes:

Direes para o Sistema Cbico

para as faces;

para as diagonais das faces;

para a diagonal do cubo.

No sistema CCC os

tomos se tocam ao

longo da diagonal do

cubo, que corresponde a

famlia de direes .

Ento, a direo a

de maior empacotamento

atmico para o sistema

CCC.

Direes para o Sistema CCC

No sistema CFC os

tomos se tocam ao

longo da diagonal da

face, que corresponde a

famlia de direes

Ento, a direo a

de maior empacotamento

atmico para o sistema

CFC.

Direes para o Sistema CFC

A adoo de um sistema de eixos permite a

localizao de tomos na rede bem como a

identificao de direes e planos cristalinos.

Coordenadas Cristalinas

Coordenadas de um tomo em

uma Rede Cbica Simples

As coordenadas do tomo vermelho so (a,a,0);

Podem ser escritas em termos dos parmetros de rede como

(1,1,0);

Devido regularidade da estrutura cristalina formam-

se colunas de tomos. Estas colunas atmicas podem

ser identificadas por sua direo.

Coluna de tomos na direo [010].

Direes Cristalinas

Certos processos fsicos envolvem a interao entre

os tomos dispostos segundo certas direes. Por

exemplo, um feixe de luz sendo transmitido atravs de

uma estrutura cristalina. O feixe percorre a estrutura

em uma dada direo e interage com os tomos. Uma

trao agindo em certa direo em uma estrutura

cristalina tende a afastar os tomos naquela direo.

A distncia entre os

tomos destas colunas

depende do tipo de rede e

da direo da coluna.

As diferentes distncias interatmicas das diferentes

direes resultam em diferentes respostas do material

ao estmulo externo. Certas propriedades dependem

das direes cristalinas em que so medidas, como o

ndice de refrao e o mdulo de elasticidade. A

dependncia que as propriedades exibem com a

direo cristalina em que so medidas d-se o nome

de anisotropia.

Uma direo cristalina identificada por trs ndices

entre colchetes [u,v,w]. Estes ndices representam um

vetor.

Direes Cristalinas

As coordenadas so determinadas [a,a,a/2];

Os parmetros de rede so descartados [1,1,1/2];

Os ndices so multiplicados por um fator que os transforme

no conjunto de menores

inteiros possveis;

As vrgulas so retiradas [221]; Caso algum ndice for negativo

uma barra colocada sobre o

respectivo ndice [201];

Direes Cristalinas

Existem direes cristalinas consideradas equivalentes

porque as colunas de tomos formadas naquelas

direes so semelhantes, ou seja, os tipos de

tomos, a densidade de tomos e a distncia entre

os tomos daquelas direes so iguais.

As direes cristalinas formam uma famlia de

direes, que so representadas pelos ndices de uma

das direes equivalentes entre os sinais < > .

Por exemplo, as direes [100], [010] e [001] so

equivalentes para o sistema cbico.

Tem-se a famlia .

Direes Cristalinas

A regularidade da estrutura cristalina tambm forma

planos de tomos. Estes planos so representados

por ndices, denominados ndices de Miller.

Planos Cristalinos

A distncia entre planos

cristalinos conforme o tipo de

rede e a direo perpendicular

ao plano cristalino.

Plano atmico (001) em rede CS.

A clivagem de certos minerais ocorre em determinados

planos atmicos. A supercondutividade eltrica de

certas fases cristalina existe em certos planos

cristalinos.

So os planos cristalinos que emitem os sinais na

tcnica de difrao de Raios X, largamente empregada

na investigao de materiais.

A plasticidade dos metais est relacionada ao

movimento de defeitos cristalinos, as discordncias,

em planos cristalinos preferenciais. Isto justifica o

estudo dos planos cristalinos.

Planos Cristalinos

ndices de Miller so uma notao utilizada em

cristalografia para definir famlias de planos em uma

Rede de Bravais.

Isto feito indicando-se as coordenadas de um vetor

no espao recproco, que normal famlia de planos.

Em trs dimenses, os ndices de Miller so

representados pela tripla entre parnteses (hkl), onde

h,k e l so inteiros com maior divisor comum igual a 1.

Se algum dos inteiros negativo, a conveno

escrever o nmero com uma barra em cima.

ndices de Miller

As coordenadas dos pontos em que o plano intercepta

cada eixo de coordenadas

so determinadas: (a/2, 0,0),

(0,a/2,0), (0,0,a/2).

Os ndices so multiplicados por um fator que os

transforme no conjunto de

menores inteiros possveis:

(1,1,1,).

As vrgulas so retiradas(111);

Caso algum ndice for negativo o sinal colocado

sobre o respectivo ndice;

ndices de Miller

Quando o plano paralelo a

um eixo de coordenadas, seu

ponto de interseo com o

eixo correspondente o

infinito. Logo, o ndice de

Miller correspondente zero.

ndices de Miller

As coordenadas dos pontos em que o plano corta cada

eixo de coordenadas so

determinadas: (a, 0,0),

(0,a,0) e paralelo a Z.

Os parmetros de rede so descartados (11);

Os ndices so multiplicados por um fator que os

transforme no conjunto de

menores inteiros possveis:

(1,1,0).

As vrgulas so retiradas (110);

ndices de Miller

Planos paralelos possuem os mesmos ndices de Miller.

Estes planos so equivalentes.

Um plano equivalente a outro quando a configurao

espacial dos tomos nestes planos igual, ou seja o

arranjo dos tomos e as distncias entre eles so

iguais.

Planos equivalentes formam uma famlia de planos

equivalente, que representada pelos ndices de um

dos planos da famlia entre chaves, {120}.

No sistema cbico, os planos (100), (010) e (001)

pertencem famlia {100}.

ndices de Miller

Quando o plano passa pela origem, o procedimento

usado anteriormente deve ser modificado, pois a

operao de inverso das coordenadas divergiria.

A soluo para isso trabalhar com um plano paralelo

que no passa pela origem.

Como dito, eles so equivalentes e possuem os

mesmos ndices.

ndices de Miller

O plano A passa pela origem do sistema de

coordenadas. Para

determinar seus ndices

de Miller o plano paralelo

B deve ser usado.

Este plano corta o eixo Z nas coordenadas

(0,0,a/2). paralelo ao

eixo Y. Corta o eixo X em

(-a,0,0).

Usando o procedimento j descrito os ndices so

determinados (102).

ndices de Miller

Para a determinao da estrutura cristalina

Os mtodos de difrao medem diretamente a

distncia entre planos paralelos de pontos do

reticulado cristalino. Esta informao usada para

determinar os parmetros do reticulado de um cristal.

Os mtodos de difrao tambm medem os ngulos

entre os planos do reticulado. Estes so usados para

determinar os ngulos interaxiais de um cristal.

Planos Cristalinos - Por qu so

importantes?

Para a deformao plstica

A deformao plstica (permanente) dos metais ocorre

pelo deslizamento dos tomos, escorregando uns

sobre os outros no cristal. Este deslizamento tende a

acontecer preferencialmente ao longo de planos

direes especficos do cristal.


importantes?

Regime de deformao em que ocorre mudana dimensional permanente decorrente do deslocamento de tomos ou molculas para novas posies no

reticulado. Os cristais deformados plasticamente possuem mais energia que os no-deformados, pois tiveram suas discordncias, lacunas e outras

imperfeies aumentadas.

Para as propriedades de transporte

Em certos materiais, a estrutura atmica em

determinados planos causa o transporte de eltrons

e/ou acelera a conduo nestes planos, e,

relativamente, reduz a velocidade em planos distantes

destes.


importantes?

Supercondutores a base de

YBa2Cu3O7

Alguns planos contm

somente Cu e O. Estes planos

conduzem pares de eltrons

(chamados pares de cobre) que

so os responsveis pela

supercondutividade. Estes

supercondutores so

eletricamente isolantes em

direes perpendiculares as

dos planos Cu-O.


importantes?

So representados de maneira similar s direes.

So representados pelos ndices de Miller = (hkl).

Planos paralelos so equivalentes tendos os mesmos ndices.

Planos Cristalinos

Planos (010)

So paralelos aos eixos x e z (paralelo face)

Cortam um eixo (neste exemplo: y em 1 e os eixos x e z em )

1/ , 1/1, 1/ = (010)

Planos Cristalinos

Planos (110)

So paralelos ao eixo (z)

Cortam dois eixos (x e y)

1/ 1, 1/1, 1/ = (110)

Planos Cristalinos

Planos (111)

Cortam os 3 eixos cristalogrficos

1/ 1 , 1/1, 1/ 1 = (111)

Planos Cristalinos

Quando as intercesses no

so bvias desloca-se o plano

at obter as intercesses

corretas

Planos Cristalinos

Fonte: Prof. Sidnei Paciornik, Departamento de Cincia dos Materiais e

Metalurgia da PUC-Rio.

Famlia de Planos {110} (paralelo um eixo)

Famlia de Planos {111} Intercepta os 3 eixos

A simetria do sistema cbico faz com que a famlia de planos tenham o mesmo arranjamento e densidade.

A deformao em metais envolve o deslizamento de planos atmicos. O deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e direes de maior densidade atmica.

Planos no Sistema Cbico

A famlia de planos {110} no sistema CCC o de maior

densidade atmica.

Planos de maior densidade atmica no

sistema CCC

A famlia de planos

{111} no sistema cfc

o de maior

densidade atmica.

Planos de maior densidade atmica no

sistema CFC

aula 7 - planos e direções cristalográficas

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