aula 5. teste de hipóteses ii. capítulo 12, bussab&morettin estatística básica 7ª edição
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Aula 5. Teste de Hipóteses II.
Capítulo 12, Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição
Procedimento teste de hipótese para proporção. Resumo.
(1) Estabelecer as hipóteses:
H: contra uma das alternativas
A: , A: ou A: .
(2) Escolher um nível de significância .
(3) Determinar a região crítica RC da forma
, ou ,
respectivamente às hipóteses alternativas, onde é número de elementos na amostra com o atributo desejado, .
(4) Selecionar uma amostra aleatória e determinar o número de elementos na amostra com o atributo desejado.
(5) Decidir, usando a evidência , ao nível de significância , e concluir.
RC rejeitamos H. RC não rejeitamos H.
Procedimento teste de hipótese para proporção. Resumo.
Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica.
Estatística do teste é que é número de elementos na
amostra com o atributo desejado, a distribuição de é a
distribuição binomial . A região crítica é determinada
em forma , ou ,
respectivamente às hipóteses alternativas, que depende de
nível de significância do teste e da estatística do teste
Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica.
Estatística do teste pode ser também a proporção
em que , como antes, é número de elementos na amostra
com o atributo desejado. Neste caso a região crítica é
determinada em forma
respectivamente às hipóteses alternativas
Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal.
Estatística do teste pode ser também -estatística
em que , como antes, é número de elementos na amostra
com o atributo desejado. Neste caso a região crítica é
determinada em forma
(1) H:
A:
(2) Escolher um nível de significância .
(3) Determinar a região crítica RC da forma
ou
onde estatística do teste
Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal.
(3) Determinar a região crítica RC da forma
onde estatística do teste
Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal.
Achamos pela tabela da distribuição normal
(4) Selecionar uma amostra aleatória e determinar o
número de elementos na amostra com o atributo
desejado.
(5) Decidir, usando a evidência
rejeitamos H. não rejeitamos H.
(4) Calcular o valor observado da estatística do teste
Procedimento teste de hipótese para proporção. Região crítica. Aproximação normal.
Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal.
Exemplo: A proporção de analfabetos em um município era de 15% na gestão anterior. No início da sua gestão, o prefeito atual implantou um programa de alfabetização e após 2 anos afirma que reduziu a proporção de analfabetos.
Para verificar a afirmação do prefeito, n = 200 cidadãos foram entrevistados.
Seja o número de analfabetos entre os 200 cidadãos entrevistados e , sendo a proporção atual de analfabetos no município (após o programa de alfabetização).
Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal.
(1) Estabelecer as hipóteses:
H: contra alternativa
A: .
H: A proporção de analfabetos no município não se alterou
(a afirmação do prefeito está incorreta).
A: A proporção de analfabetos no município diminuiu
(a afirmação do prefeito está correta).
(2) Escolher um nível de significância .
Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal.
(3) Determinar a região crítica RC da forma
onde achamos pela tabela da distribuição normal
Então, a região crítica RC é
(4) Buscar a evidência na amostra para concluir. Se observamos 20 analfabetos entre os 200 entrevistados, qual a conclusão?
Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal.
Calculemos a estatística do teste
Procedimento teste de hipótese para proporção. Aproximação normal.
(5) Decisão e conclusão:
decidimos por rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 5%.
Concluímos que temos evidência suficiente para afirmar que a proporção de analfabetos (após o programa de alfabetização) é inferior a 15%, isto é, há evidência suficiente de que a afirmação do prefeito seja correta.
Procedimento teste de hipótese para média populacional.
amostra
populaçãonormal
: sãoindependentes e
2
2
)(
2)(
2
2
x
exf
𝑋 1 , 𝑋 2 , …,𝑋𝑛
𝑋 𝑖 𝑁 (𝜇 ,𝜎2)
Nosso objetivo agora é apresentar procedimentos estatísticos simples para verificar se um conjunto de dados amostrais dá ou não suporte à uma conjectura sobre o valor médio (desconhecido) de uma característica de interesse, observável em “indivíduos” de uma população (normal).
Procedimento teste de hipótese para média populacional.
Mais precisamente, procedimentos para testar hipóteses sobre , tomando como base o valor médio dessa característica, observado em uma amostra casual simples de tamanho desses “indivíduos”.
Exemplo: Em períodos de pico, os clientes de um banco são obrigados a enfrentar longas filas para sacar dinheiro nos caixas eletrônicos. Dados históricos de vários anos de operação indicam que o tempo de transação nesses caixas tem distribuição normal com média igual a 270 segundos.
Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das transações realizadas nesses caixas.
Procedimento teste de hipótese para média populacional.
As etapas a serem cumpridas para este teste de hipóteses são as mesmas que vimos anteriormente.
(1) Formular as hipóteses nula H e a alternativa A
Hipótese Nula : afirmação ou conjectura sobre contra a qual estaremos buscando evidência nos dados amostrais.
Hipótese Alternativa : afirmação ou conjectura sobre que suspeitamos (ou esperamos) ser verdadeira.
H: contra uma das alternativas
A: , A: ou A:
Procedimento teste de hipótese para média populacional.
H: seg.
A: seg.
(2) Fixar o nível de significância do teste. Seja .
Procedimento teste de hipótese para média populacional.
(3) Determinar a região crítica RC da forma
ou
ou
ou
respectivamente às hipóteses alternativas
A estatística do teste ou vai ser definida dependendo do conhecimento de variância populacional como
caso é conhecida, e
caso é desconhecida
Procedimento teste de hipótese para média populacional.
Valores e são definidos pelas hipóteses e :
ou usando tabela normal
ou
ou usando tabela T-Student
Procedimento teste de hipótese para média populacional.
No exemplo supomos não que sabemos variância populacional então usaremos a estatística do teste
Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das 24 transações realizadas nesses caixas.
Achamos de condição
RC
Procedimento teste de hipótese para média populacional.
(4) Buscar a evidência na amostra para concluir:
Para aliviar essa situação o banco resolve instalar, em caráter experimental, alguns caixas eletrônicos de concepção mais avançada. Após o período de experiência, o banco pretende examinar o tempo médio obtido em uma amostra casual simples das 24 transações realizadas nesses caixas.
Amostra de 24 trasações oferece seguintes dados:
Valor observado da estatística do teste é
(5) Decisão e conclusão:
decidimos por rejeitar a hipótese nula ao nível de significância de 5%.
Concluímos que temos evidência suficiente para afirmar que a média de transição diminuiu nas novos caixas eletrônicos
Procedimento teste de hipótese para média populacional.
Ou seja, queremos testar H: O processo está sob controle. A: O processo não está sob controle.
Exemplo: Um industrial afirma que seu processo de fabricação produz 90% de peças dentro das especificações. O IPEM deseja investigar se esse processo de fabricação está sob controle.
Seja a proporção de peças produzidas dentro das especificações.
H: A:
As hipóteses de interesse são:
Selecionamos uma amostra aleatória de 15 itens e observamos o número de itens satisfatórios.
Então:
Região crítica: RC= { X k }
Para temos e RC
Para temos e RC
Nível descritivo. Introdução.
Crítica: Arbitrariedade na escolha da RC (ou do nível de significância).
a) 10 RC Rejeitamos H ao nível de significância de 6%.
Se observamos x = 10 peças satisfatórias, então:
Sugestão: Determinar o nível de significância associado à evidência experimental, que é denominado nível descritivo ou p-valor.
b) 10 RC Não rejeitamos H ao nível de significância de 1%.
Nível descritivo. Introdução.
No exemplo, a região crítica é da forma RC .
Para ,o nível descritivo ou valor é calculado por:
O valor é igual à probabilidade de ocorrerem valores de tão ou mais desfavoráveis para a hipótese nula do que o valor observado .
Assim, se o processo estivesse sob controle, a probabilidade de encontrarmos uma amostra de 15 peças com 10 ou menos peças satisfatórias é de apenas 1%.
Isso sugere que a hipótese nula deve ser rejeitada.
Nível descritivo. P-valor.
Se o valor é “pequeno”, então é pouco provável observarmos valores iguais ou mais extremos que o da amostra, supondo a hipótese nula verdadeira. Assim, há indícios de que a hipótese nula não seja verdadeira e tendemos a rejeitá-la.
Assim, P “pequeno” rejeitamos H P “não pequeno” não rejeitamos H
Quão “pequeno” deve ser o valor de P para rejeitarmos H ?
Por outro lado, para valores “não tão pequenos” de , não fica evidente que a hipótese nula seja falsa, portanto tendemos a não rejeitá-la.
Nível descritivo. P-valor.
rejeitamos não rejeitamos
Se , dizemos que a amostra forneceu evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula .
Lembrando que a ideia inicial de era considerar um nível de significância associado à evidência amostral, podemos compará-lo a um nível de significância fixado, de modo que:
PP
rejeitamos H não rejeitamos H
Nível descritivo. P-valor.
No exemplo: P = 0,0127.
Adotando = 0,05, temos que P < , portanto
rejeitamos H ao nível de significância 5%.
Assim, o processo não está sob controle.
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Observações:
• Quanto menor o valor P, maior é a evidência contra a hipótese nula H contida nos dados.
• Quando a hipótese nula é rejeitada para um nível de significância fixado, dizemos também que a amostra é significante ao nível de significância .