aula 4 - resistencia dos materiais
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Resistncia de MateriaisGisele Duarte Caboclo, M. C.giselecaboclo@yahoo.com.br
Aula 4
Problemas estaticamente indeterminados Em alguns problemas as foras internas no podem ser determinadas apenas com as equaes da esttica Consideraes geomtricas do corpo
Exemplo 2.02Uma barra de comprimento L e rea da seco transversal A1, com mdulo de elasticidade E1, foi colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento L, mas de rea de seco transversal A2 e mdulo de elasticidade E2. Qual a deformao da barra e do tubo, quando uma fora P aplicada por meio de uma placa rgida?
Da geometria do problema:1 =PL 1 A1 E 1
2 =
P2 L A2 E 2
A deformao nas duas barras devem ser iguaisP P 1 = 2 A1 E 1 A2 E2A1 E1 P A1 E1 + A2 P2A2 E2 P A1 E1 + A2 P2
P= 1
P2 =
A deformao das barras pode ser calculada por qualquer uma das equaes
Exemplo 2.03A barra AB de comprimento L e seco transversal de rea constante presa a suportes indeslocveis em A e B antes de ser carregada. Quais so os valores das tenses em AC e BC, devido aplicao da carga P no ponto C?
R A + RB = P
A deformao da barra deve ser nula:=
= 1 + 2 = 0
P L1 PL 1 + 2 2 =0 AE AE
P = RA 1
P2 = RB
RA L1 RB L2 = 0
Utilizando a eq. 1 e a ltima eq.:RA = PL2 L
RB =
PL1 L
Podemos calcular as tenses nas partes AC e BC dividindo P1=RA e P2=RB, respectivamente, pela rea
Mtodo da superposio Uma estrutura estaticamente indeterminada quando estiver ligada a mais suportes do que o necessrio para manter seu equilbrio O nmero de equaes a determinar maior que o nmero de equaes de equilbrio Estrutura superabundante Fora desconhecida
Exemplo 2.04
A barra de ao presa a dois apoios fixos A e B. Determinar as reaes nestes apoios quando se aplica o carregamento indicado.
Reao em B superabundante (retira-se o apoio e deixa-se o carro livre nesta extremidade). RB ser uma fora desconhecida
A barra dividida em quatro partes . Da equao temos a deformao FP =0 1P2 = P3 = 600 x103 N
Pi Li = i Ai EiP4 = 900 x103 N
A1 = A2 = 400 x10 6 m 2
A3 = A4 = 250 x10 6 m 2
L1 = L2 = L3 = L4 = 0,150m
600 x103 N 600 x103 N 900 x103 N 0,150m = 0 + + + 6 2 6 2 6 2 400 x10 m 250 x10 m 250 x10 m E 1,125 x109 F = E PL F = i i i Ai Ei
Para a determinao de R devido RB, divide-se a barra em duas partes e escreve-se:P = P2 = RB 1
A1 = 400 x10 6 m 2
A2 = 250 x10 6 m 2
L1 = L2 = 0,300mP L1 P2 L2 1,95 x103 RB = 1 + = AE AE E
Para o clculo da deformao, temos:
Como a deformao da barra deve ser igual a zero: = F +R = 0 Levando os valores de F e R, na equao anterior, temos: 1,125 x109 (1,95 x103 ) RB = =0 E E Dessa ltima expresso calcula-se o valor de Rb 3
Rb = 577 x10 N = 577kN
A reao de RA no apoio superior e obtida do diagrama de corpo livre da barra. Temse ento:
F
v
= 0;
RA 300kN 600kN + RB = 0
RA = 900kN RB = 900kN 577 kN = 323kN
Exemplo 2.05Calcular as reaes em A e B, na barra do exemplo anterior supondo que existe uma distncia de 4,5mm entre a barra e o apoio B, quando o carregamento aplicado. Adotar E=200GPa.
Considerar como superabundante o apoio em B Calcular as deformaes F e R A barra pode ser alongada, logo sua deformao no nula ( =4,5mm)
= F + R = 4,5 x10 3 mUtilizando os valores de F e R que foram calculados no exerccio anterior na equao acima, e lembrando que E=200GPa:1,125 x109 (1,95 x103 ) RB 3 = = 4,5 x10 9 9 200 x10 200 x10
Essa expresso nos leva ao valor de RB
RB = 115,4 103 N = 115,4kNA reao no apoio A obtida do diagrama de corpo livre da barra:
F
v
= 0;
RA 300kN 600kN + RB = 0
RA = 900kN RB = 900kN 155,4kN = 785kN
Um poste de concreto armado de 1,5m de comprimento tem seis barras de ao de 22mm de dimetro. Sabendo-se que Es=200GPa e que Ec=20GPa, determinar a tenso normal no concreto quando uma fora axial de 900kN aplicada ao poste.
Pc= Fora axial no poste de concreto Ps= Fora nas seis varas de ao
==
Pc L Ac EcPs L As Es L
Pc =Ps =
Ec Ac LEs As L
P = Pc + Ps = ( Ec Ac + Es As )
=
P = L Ec Ac + Es As
2 3 2 As = 6 d s = 1,5 3,14 ( 22 x10 ) = 2279,64 x10 6 m 2 4Ac = ( bxh ) c As = 250 x10 3 250 x10 3 2279 x10 6 = 0,06m 2
(
)
L = 1,5m 900 x103 = = 543,47 x10 6 ( 20 x109 0,06) + ( 200 x109 0,00228)
s = Es = 200 x109 ( 543,47 x10 6 ) = 108694kPa s = Es = 20 x109 ( 543,47 x10 6 ) = 1089,4kPa
Uma placa rgida transmite ao bloco composto da figura uma fora axial centrada P=385kN. Determinar as tenses normais: a) na placa interna de ao; b) nas placas externas de alumnio.Placa interna de aoPlaca rgida Placa de alumnio
200mm
50mm
20mm 30mm 20mm
Pb= Carga axial na placa interna de ao Pa= Carga nas placas de Pb L Eb Ab alumnio = Pb = Ab Eb LPa L = Aa Ea Ea Aa Pa = L
P = Pb + Pa = ( Eb Ab + Ea Aa ) L
=
P = L Eb Ab + Ea Aa
Ab = (30mm) x(50mm) = 1500 x10 6 m 2 Aa = 2.(20mm).(50mm) = 2000 x10 6 m 2 385 x103 = = 0,002 9 6 9 6 (105 x10 x1500 x10 + 70 x10 x 200 x10 )
b = Eb = 105 x109 x0,002 = 210 MPa a = Ea = 70 x109 x0,002 = 140MPa