aula 4 - resistencia dos materiais

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Resistncia de MateriaisGisele Duarte Caboclo, M. C.giselecaboclo@yahoo.com.br

Aula 4

Problemas estaticamente indeterminados Em alguns problemas as foras internas no podem ser determinadas apenas com as equaes da esttica Consideraes geomtricas do corpo

Exemplo 2.02Uma barra de comprimento L e rea da seco transversal A1, com mdulo de elasticidade E1, foi colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento L, mas de rea de seco transversal A2 e mdulo de elasticidade E2. Qual a deformao da barra e do tubo, quando uma fora P aplicada por meio de uma placa rgida?

Da geometria do problema:1 =PL 1 A1 E 1

2 =

P2 L A2 E 2

A deformao nas duas barras devem ser iguaisP P 1 = 2 A1 E 1 A2 E2A1 E1 P A1 E1 + A2 P2A2 E2 P A1 E1 + A2 P2

P= 1

P2 =

A deformao das barras pode ser calculada por qualquer uma das equaes

Exemplo 2.03A barra AB de comprimento L e seco transversal de rea constante presa a suportes indeslocveis em A e B antes de ser carregada. Quais so os valores das tenses em AC e BC, devido aplicao da carga P no ponto C?

R A + RB = P

A deformao da barra deve ser nula:=

= 1 + 2 = 0

P L1 PL 1 + 2 2 =0 AE AE

P = RA 1

P2 = RB

RA L1 RB L2 = 0

Utilizando a eq. 1 e a ltima eq.:RA = PL2 L

RB =

PL1 L

Podemos calcular as tenses nas partes AC e BC dividindo P1=RA e P2=RB, respectivamente, pela rea

Mtodo da superposio Uma estrutura estaticamente indeterminada quando estiver ligada a mais suportes do que o necessrio para manter seu equilbrio O nmero de equaes a determinar maior que o nmero de equaes de equilbrio Estrutura superabundante Fora desconhecida

Exemplo 2.04

A barra de ao presa a dois apoios fixos A e B. Determinar as reaes nestes apoios quando se aplica o carregamento indicado.

Reao em B superabundante (retira-se o apoio e deixa-se o carro livre nesta extremidade). RB ser uma fora desconhecida

A barra dividida em quatro partes . Da equao temos a deformao FP =0 1P2 = P3 = 600 x103 N

Pi Li = i Ai EiP4 = 900 x103 N

A1 = A2 = 400 x10 6 m 2

A3 = A4 = 250 x10 6 m 2

L1 = L2 = L3 = L4 = 0,150m

600 x103 N 600 x103 N 900 x103 N 0,150m = 0 + + + 6 2 6 2 6 2 400 x10 m 250 x10 m 250 x10 m E 1,125 x109 F = E PL F = i i i Ai Ei

Para a determinao de R devido RB, divide-se a barra em duas partes e escreve-se:P = P2 = RB 1

A1 = 400 x10 6 m 2

A2 = 250 x10 6 m 2

L1 = L2 = 0,300mP L1 P2 L2 1,95 x103 RB = 1 + = AE AE E

Para o clculo da deformao, temos:

Como a deformao da barra deve ser igual a zero: = F +R = 0 Levando os valores de F e R, na equao anterior, temos: 1,125 x109 (1,95 x103 ) RB = =0 E E Dessa ltima expresso calcula-se o valor de Rb 3

Rb = 577 x10 N = 577kN

A reao de RA no apoio superior e obtida do diagrama de corpo livre da barra. Temse ento:

F

v

= 0;

RA 300kN 600kN + RB = 0

RA = 900kN RB = 900kN 577 kN = 323kN

Exemplo 2.05Calcular as reaes em A e B, na barra do exemplo anterior supondo que existe uma distncia de 4,5mm entre a barra e o apoio B, quando o carregamento aplicado. Adotar E=200GPa.

Considerar como superabundante o apoio em B Calcular as deformaes F e R A barra pode ser alongada, logo sua deformao no nula ( =4,5mm)

= F + R = 4,5 x10 3 mUtilizando os valores de F e R que foram calculados no exerccio anterior na equao acima, e lembrando que E=200GPa:1,125 x109 (1,95 x103 ) RB 3 = = 4,5 x10 9 9 200 x10 200 x10

Essa expresso nos leva ao valor de RB

RB = 115,4 103 N = 115,4kNA reao no apoio A obtida do diagrama de corpo livre da barra:

F

v

= 0;

RA 300kN 600kN + RB = 0

RA = 900kN RB = 900kN 155,4kN = 785kN

Um poste de concreto armado de 1,5m de comprimento tem seis barras de ao de 22mm de dimetro. Sabendo-se que Es=200GPa e que Ec=20GPa, determinar a tenso normal no concreto quando uma fora axial de 900kN aplicada ao poste.

Pc= Fora axial no poste de concreto Ps= Fora nas seis varas de ao

==

Pc L Ac EcPs L As Es L

Pc =Ps =

Ec Ac LEs As L

P = Pc + Ps = ( Ec Ac + Es As )

=

P = L Ec Ac + Es As

2 3 2 As = 6 d s = 1,5 3,14 ( 22 x10 ) = 2279,64 x10 6 m 2 4Ac = ( bxh ) c As = 250 x10 3 250 x10 3 2279 x10 6 = 0,06m 2

(

)

L = 1,5m 900 x103 = = 543,47 x10 6 ( 20 x109 0,06) + ( 200 x109 0,00228)

s = Es = 200 x109 ( 543,47 x10 6 ) = 108694kPa s = Es = 20 x109 ( 543,47 x10 6 ) = 1089,4kPa

Uma placa rgida transmite ao bloco composto da figura uma fora axial centrada P=385kN. Determinar as tenses normais: a) na placa interna de ao; b) nas placas externas de alumnio.Placa interna de aoPlaca rgida Placa de alumnio

200mm

50mm

20mm 30mm 20mm

Pb= Carga axial na placa interna de ao Pa= Carga nas placas de Pb L Eb Ab alumnio = Pb = Ab Eb LPa L = Aa Ea Ea Aa Pa = L

P = Pb + Pa = ( Eb Ab + Ea Aa ) L

=

P = L Eb Ab + Ea Aa

Ab = (30mm) x(50mm) = 1500 x10 6 m 2 Aa = 2.(20mm).(50mm) = 2000 x10 6 m 2 385 x103 = = 0,002 9 6 9 6 (105 x10 x1500 x10 + 70 x10 x 200 x10 )

b = Eb = 105 x109 x0,002 = 210 MPa a = Ea = 70 x109 x0,002 = 140MPa