Faculdades Integradas Einstein de Limeira – Eng. Civil –Resistência dos Materiais II - 2012 1

FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA Curso de Graduação em Engenharia Civil

Resistência dos Materiais II - 2012

Prof. José Antonio Schiavon, MSc.

NOTAS DE AULA – Aula 3: Flexão Oblíqua

1. Objetivo: determinar as tensões normais nas seções

transversais de uma viga ou pilar submetido a

carregamentos em duas direções perpendiculares entre

si.

2. Introdução Até agora vimos como se determinar as tensões normais

em barras submetidas a um carregamento em uma

direção, por exemplo, a vertical. Estudamos barras

submetidas também a uma força normal. Mas às vezes

ocorrem situações em que pilares ou vigas sofrem

carregamento em duas direções ortogonais entre si. Por

exemplo, um pilar de canto que deverá resistir a cargas

verticais de compressão e carregamento lateral em duas

direções:

O pilar acima sofrerá flexão em torno dos dois eixos

principais de inércia da seção transversal, além de

esforço normal de compressão devido à carga vertical.

Quando há flexão em dois planos perpendiculares entre

si, chamamos esta de flexão oblíqua. Se há também

atuação de esforço normal, temos a flexão oblíqua

composta.

A flexão oblíqua também acontece quando o

momento fletor não atua em torno de um dos eixos

principais de inércia. Nas cantoneiras, os eixos

principais de inércia não coincidem com os eixos

vertical (z) e horizontal (y) da figura. Então, teremos

que decompor o vetor momento em relação aos dois

eixos principais de inércia 1 e 2.

Em torno de um determinado eixo temos o valor

maximo do momento de inercia. Num outro eixo,

perpendicular a este primeiro, teremos o mínimo

momento de inercia. Estes dois eixos são chamados de

eixos principais de inércia.

3. Flexão Oblíqua A viga abaixo sofre a ação de cargas num plano que não

coincide com o plano formado pelo eixo x e por um dos

eixos principais de inércia (z e y neste caso). O

carregamento é aplicado num ângulo α em relação ao

eixo z.

O vetor momento M é perpendicular ao plano das

cargas e forma também um ângulo α em relação ao eixo

y. O vetor que representa esse momento pode ser

decomposto nos vetores My e Mz, respectivamente nas

direções y e z.

Dessa maneira, podemos escrever as componentes

do momento M em relação aos eixos principais de

inércia, que nesse caso já coincidem com os eixos y e z.

αcosMM y =

αMsenM z =

A decomposição do vetor momento depende do

ângulo α, que neste caso foi dado em relação ao eixo y.

Toda vez que se decompor um vetor, deve-se observar

se o ângulo é dado em função do eixo y ou z, para se

fazer a correta decomposição.

A tensão normal num ponto com coordenadas y e z

será determinada pela soma das tensões originadas por

My e Mz:

yI

Mz

I

M

z

z

y

y+=σ

Ao invés de se trabalhar com convenção de sinais

em função do sentido do eixo coordenado y ou z, pode-

se analisar o sinal da tensão resultante de outra maneira:

• Verifique qual o sentido de giro do momento;

• Se a seta do momento estiver saindo do ponto:

momento está tracionando o ponto;

• Se a seta chegar no ponto: ocorre compressão.

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Vamos analisar a viga abaixo:

Ponto My Mz

1 tração tração

2 tração compressão

3 compressão tração

4 compressão compressão

Portanto teremos a máxima tração no ponto 1 e a

máxima compressão no ponto 4.

Exemplo 1 – determinar o valor da tensão normal nos

quatro vértices da seção transversal. Dados:

M = 8 kNm; α = 20°.

1° Passo: determinação dos esforços solicitantes. Como

o momento fletor já foi dado, será necessário decompô-

lo em função dos eixos principais de inércia, que neste

exercício coincidem com os eixos coordenados.

- Momento em relação ao eixo de inércia principal

maior (maior inércia na flexão em torno desse eixo):

kNcmkNm,M,cosMM y 7525279400 ==== α

- Momento em relação ao eixo de inércia principal

menor (menor inércia na flexão em torno desse eixo):

kNcmkNm,M,MsenM z 1404011740 ==== α

2° Passo: características geométricas da seção

transversal.

- Momento de inércia principal maior (Iy):

43

3375012

cmhb

I y =×

=

- Momento de inércia principal menor (Iz):

43

50843712

cm,bh

I y =×

=

3° Passo: determinação da tensão normal. O sentido de

giro dos vetores momento é dado pela regra da mão

direita.

- ponto 1

57508437

14015

33750

7521 ,

,y

I

Mz

I

M

z

z

y

y+−=+−=σ

²cmkN,2101 −=σ

- ponto 2

²cmkN,,,

46057508437

14015

33750

7522 −=−−=σ

- ponto 3

²cmkN,,,

46057508437

14015

33750

7523 =+=σ

- ponto 4

²cmkN,,,

21057508437

14015

33750

7523 =−=σ

3.1. Posição da Linha Neutra Já foi visto que a linha neutra é o lugar geométrico na

seção transversal onde a tensão normal é nula.

Mas se não conhecermos tal linha, poderemos

determiná-la facilmente igualando a zero a equação da

obtenção da tensão normal.

yI

Mz

I

My

I

Mz

I

M

z

z

y

y

z

z

y

y+=→+= 0σ

Após algumas transformações, teremos uma equação

da reta do tipo y = a·z:

zI

I

M

My

y

z

z

y××

−

=

Os momentos My e Mz são resultado de uma

decomposição do vetor M segundo os eixos principais

de inércia.

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temos que:

y

z

M

Mtg =α

A equação da linha neutra também poderá ser

expressa em função do ângulo α:

zI

I

M

My

y

z

z

y××

−

=

Já que temos a equação da reta, para desenharmos

ela basta adotarmos dois valores de z para calcularmos

y. Obteremos dois pares de coordenada

plotar em um gráfico em escala, juntamente com a seção

transversal do elemento em análise.

Como o diagrama das tensões normais na seção

transversal é linear, a tensão máxima surge no ponto

mais afastado da linha neutra, seja ela tração ou

compressão. Se as coordenadas deste ponto forem y

z1:

11 yI

Mz

I

M

z

z

y

ymáx +=σ

Exemplo 2 – Determinar a posição da linha neutra,

e σmin. Dados: a = 40mm; A = 4450 mm²;

mm4; Iz = 6,00 x 10

6 mm

4.

1° Passo: determinação dos esforços solicitantes. Como

a carga é excêntrica em relação ao centro geométrico

nas duas direções y e z. Trata-se de um caso de flexão

oblíqua composta.

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linha neutra também poderá ser

Já que temos a equação da reta, para desenharmos

ela basta adotarmos dois valores de z para calcularmos

de coordenadas que poderemos

gráfico em escala, juntamente com a seção

Como o diagrama das tensões normais na seção

transversal é linear, a tensão máxima surge no ponto

mais afastado da linha neutra, seja ela tração ou

coordenadas deste ponto forem y1 e

Determinar a posição da linha neutra, σmáx

A = 4450 mm²; Iy = 9,16 x 106

1° Passo: determinação dos esforços solicitantes. Como

a carga é excêntrica em relação ao centro geométrico

se de um caso de flexão

,,PaM y 45135040 =×=×=

No eixo y, a distância entre o CG e o ponto de aplicação

da carga é: b = 27 - 6/2 = 24 mm

,,PbM z 2431350240 =×=×=

O esforço normal será: N = P = 135 kN.

2° Passo: características da seção transversal.

O momento de inércia Iy é o máximo momento de

inércia e o Iz é o mínimo momento de inércia. Temos

então que os eixos y e z são os eixos principais de

inércia.

Iy = I1 = 916 cm4

Iz = I2 = 600 cm4

A = 44,50 cm²

3° Passo: equação da linha neutra. A equação tensão

normal de um elemento submetido a flexão oblíqua

composta é dada por:

A

Ny

I

Mz

I

M

z

z

y

y++=σ

A equação da linha neutra é obtida igualando

A

Ny

I

Mz

I

M

z

z

y

y++=0

Substituindo,

5044

135

600

324

916

5400 y

,yz →−+=

Adotando duas coordenadas z

zII = - 1,02 cm, teremos yI = 4,50 cm e y

Repare que estas coordenadas tem a origem no CG.

O desenho da linha neutra e dos dois pontos mais

distantes do CG em relação a uma linha perpendicular à

linha neutra serão:

Como a carga de compressão está aplicada na

direita da seção transversal, logicamente o ponto que

sofrerá a maior tensão de compressão (

da direita. Consequentemente o ponto de maior tensão

My

Mz

3

kNcmkNm 5404 =

No eixo y, a distância entre o CG e o ponto de aplicação

6/2 = 24 mm

kNcmkNm 32424 =

O esforço normal será: N = P = 135 kN.

2° Passo: características da seção transversal.

é o máximo momento de

é o mínimo momento de inércia. Temos

então que os eixos y e z são os eixos principais de

3° Passo: equação da linha neutra. A equação tensão

elemento submetido a flexão oblíqua

A equação da linha neutra é obtida igualando-se σ = 0:

61850921 ,z,y +−=

Adotando duas coordenadas zI = 1,02 cm e

= 4,50 cm e yII = 6,73 cm.

Repare que estas coordenadas tem a origem no CG.

O desenho da linha neutra e dos dois pontos mais

distantes do CG em relação a uma linha perpendicular à

Como a carga de compressão está aplicada na aba

direita da seção transversal, logicamente o ponto que

sofrerá a maior tensão de compressão (σmin) será o ponto

da direita. Consequentemente o ponto de maior tensão

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normal de tração (σmáx) estará no outro ponto mais

distante do CG, que é a extremidade da aba esquerda.

O ponto submetido à máxima tensão normal terá

coordenadas z = 10,2 e y = 2,1. O ponto sujeito à

mínima tensão normal tem coordenadas z = -10,2 e

y = 2,7.

3.2. Núcleo Central de Inércia Uma barra tracionada por força axial tem o diagrama de

tensões uniformemente distribuídas ao longo de sua

seção transversal. A linha neutra está situada no infinito

acima da peça.

Se deslocarmos a força para baixo do eixo

baricêntrico, a distribuição das tensões deixa de ser

uniforme. A linha neutra se aproxima da seção, embora

ainda não a intercepte.

Ao deslocar a força axial um pouco mais para baixo,

ao longo do eixo z, a linha neutra vai coincidir com a

borda superior da peça. As tensões normais na seção

transversal ainda serão de tração, exceto na borda

superior, onde serão nulas.

Ao abaixar um pouco mais a força começaria a

aparecer tensões de compressão acima do eixo

baricêntrico da peça.

Se repetirmos o procedimento com o deslocamento

da força para o lado de cima do eixo baricêntrico, a

linha neutra se aproximará da seção vindo de baixo, até

atingir a borda inferior.

Se deslocarmos a carga para a esquerda, ao longo do

eixo horizontal da seção transversal, a linha neutra será

paralela ao eixo vertical da seção transversal. A linha

neutra se aproximará da face direita da peça.

Se a força for deslocada para o lado oposto, ou seja,

lado direito do eixo vertical, a linha neutra se

aproximará pela esquerda.

Temos então quatro pontos, dois em cada eixo

central de inércia. Um ponto situado sobre a linha que

une o ponto inferior e o direito produzirá uma linha

neutra que passa pelo vértice formado pela linha neutra

desses dois pontos.

Em qualquer ponto situado sobre os segmentos que

unem os quatro vértices do losango, a linha neutra

tocará apenas um ponto da seção.

O losango formado é chamado de Núcleo Central de

Inércia. Se uma força normal de tração for aplicada

dentro desse núcleo, surgirão apenas tensões normais de

tração. Se a força normal for de compressão, apenas

surgirão tensões normais de compressão.

Todas as seções tem um núcleo central. O das

circunferências também é um círculo de mesmo centro,

e raio igual a ¼ do raio da seção.

x

x

LN

x

LN

xLN

x

LN

LN

LN

LN

h/3

b/3

D

D/4