aula 24 fatores de forma de radiaÇÃo tÉrmica- … · transferência de calor por radiação...

Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor e Massa

____________________________ www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Novembro/2016

208

AULA 24 – FATORES DE FORMA DE RADIAÇÃO

TÉRMICA- cont...

Na aula anterior, estudamos o caso de fatores de forma e como se pode calcular a troca

líquida de calor por radiação entre duas superfícies. Vamos explorar mais este ponto

nesta aula e ampliar para mais superfícies e outra situações.

Troca de Calor Entre duas Superfícies Cinzentas

1 1J A

2 2J A

1,2 1 1F J A

2,1 2 2F J A

221,2112,1)(21 JAFJAFQ liq

Pela lei de reciprocidade 1,222,11 FAFA

122

21

211

21)(21

/1/1

FA

JJ

FA

JJQ liq

O termo jii FA ,/1 forma uma resistência espacial entre as superfícies. Mas, tem-se

também que

11

1

111 1

A

JEQ n

é a taxa líquida de transferência de calor que deixa a sup. 1.



209

11

11

1

AR

é a resistência da superfície 1.

22

2

222 1

A

JEQ n

é a taxa líquida de transferência de calor que deixa a sup. 2.

22

22

1

AR

é a resistência da superfície 2.

De forma que:

22

2

21111

1

4

2

4

121)(21 111

)(

AFAA

TT

R

EEQ nn

liq

J1 J2

1

1

1

A

1

A

2

2

1

A

41T 4

2T

Transferência de calor por radiação térmica entre três superfícies que formam um

involucro fechado

121

1

FA



210

Analogia elétrica:

Para resolver este sistema linear, primeiramente adotam-se direções das taxas de calor

quaisquer, como indicado na figura.

33

33

22

22

11

11

1;

1;

1

AR

AR

AR

311

31

322

32

211

21

1;

1;

1

FA

RFA

RFA

R

Usa-se o fato de que a taxa de calor em cada nó tem que se conservar, isto é:

Nó 1: 31121 QQQ

Nó 2: 032212 QQQ

Nó 3: 32313 QQQ

mas,

1

111

R

JEQ n

, 2

222

R

JEQ n

, 3

333

R

JEQ n

e

31

1331

R

JJQ ,

32

2332

R

JJQ ,

21

2121

R

JJQ

O sistema linear acima tem 9 equações e 9 incógnitas e pode ser resolvido por qualquer

método conhecido.



211

SUPERFÍCIE NÃO –CONDUTORA REIRRADIANTE

Define-se uma superfície não-condutora reirradiante como uma superfície adiabática,

ou seja, não transporta calor para ou do meio por outra forma que não seja radiação

térmica. Por exemplo, no esquema anterior se a superfície 2 fosse não condutora

reirradiante, então Q2 = 0 . Isto implicaria que sua radiosidade seria o seu próprio poder

emissivo de corpo negro, isto é, J2 = En2. O exemplo seguinte vai fixar este conceito.

EXEMPLO

A tampa do invólucro (lata) do exemplo da aula anterior é mantida a uma temperatura

uniforme de 250°C (523,2 K), enquanto que a superfície inferior é mantida a uma

temperatura de 60°C (333,2 K). A superfície cilíndrica que une as duas tampas é não

condutora–reirradiante. A emissividade das três superfícies vale 0,6. Determine a taxa

de calor transferido por radiação entre a tampa e o fundo e estime a temperatura da

superfície não condutora–reirradiante.

Solução

O circuito de radiação para a determinação do calor transferido por radiação entre as

superfícies do invólucro está mostrado abaixo. Os valores dos fatores de forma podem

ser obtidos do cálculo já realizado acima. Os valores da resistência para o circuito são

2

3

11

1 /188,84)10854,7(6,0

6,011m

A

2

3

22

2 /188,84)10854,7(6,0

6,011m

A

2

3

3,223,11

/14,205)62,0)(10854,7(

111m

FAFA



212

4

11 TEn

1J

2J

11

11

A

211

1

FA

22

21

A

4

22 TEn

322

1

FA

311

1

FA 1J

2J

88,84

4)2,333(

4)2,523(

4,205

1,335

4,205

88,84

1J

2J

88,84

4)2,333(

4)2,523(

6,184

88,84

Os valores das resistências, bem como das resistências equivalente também estão

indicados. A resistência equivalente é

2/16,1841,3358,410

)1,335(8,410mRe

A taxa de calor transferido entre as superfícies da tampa e o fundo é determinado

usando

R

EEQ nn

liq21

)(21

A soma das resistências entre as duas superfícies é

2/14,35488,846,18488,84 mR

A taxa de calor transferido é

WQ liq 02,10

4,354

2,3332,5231067,5 448

)(21



213

As radiosidades, J1 e J2, podem ser determinadas por

111

11)(21

/)1( A

JEQ n

liq

ou

8884

2523106750210 1

48

,

J),(,,

42

1 /398.3 KmWJ

e

222

22)(21

/)1( A

EJQ n

liq

O que dá J2 = 1.549 W/m2K

4. O valor de J3, que é igual a 4

3T , é obtido usando

42

3132

312321

3

31

31

32

23 /5,2473 KmWRR

RJRJJ

R

JJ

R

JJ

4

33 TJ T3 = 457,0 K (183,8°C)

Comentário

Uma parte da taxa total de calor transferido entre a tampa e o fundo acontece

diretamente entre as duas superfícies, enquanto que o restante do calor é trocado com a

superfície não condutora – reirradiante antes de alcançar a tampa ou o fundo.

A taxa de transferência direta é

WFA

JJQD 5,5

1,335

14593398

)/1( 2,11

21



214

E a indireta é

WFAFA

JJQID 5,4

4,2054,205

15493398

)/1()/1( 3,223,11

21

OUTRO EXEMPLO

Determine a taxa de transferência de calor de uma esfera pequena aquecida instalada em

uma superfície cilíndrica fechada mantida em vácuo, como indicado na figura abaixo. A

esfera tem 10 cm de diâmetro com uma emissividade de 0,8 e é mantida a uma

temperatura uniforme de 300°C (573,2 K). A superfície interna do cilindro, cuja área é

de 2 m2, tem uma emissividade de 0,2 e é mantida a uma temperatura uniforme de 20°C

(293,2 K).

1

2

1nE 1J2J

11

11

A

211

1

FA 22

21

A

2,05,0

8,0031,0

2

2

2

1

2

1

mA

mA

2nE

Esfera inserida em uma cavidade cilíndrica fechada.

Solução

O circuito de radiação equivalente está mostrado na figura anterior. A área da esfera

pode ser rapidamente calculada e vale 0,031m2. O fator de forma de radiação é F1,2 = 1,

já que toda a radiação emitida pela esfera vai atingir a superfície cilíndrica. A taxa de

transferência de calor é obtida através de

2



215

W,

,

,,,

)(,/),()(,/),(,/),(

,,,

A/)(FA/A/)(

)TT(

R

EEQ nn

)liq(

71343248

2293257310675

220201103101031080801

2293257310675

111

448

448

222121111

42

4121

21

PEQUENA SUPERFÍCIE ENVOLVIDA POR OUTRA MUITO MAIOR

Uma simplificação pode ser adotada quando uma pequena superfície A1 é

completamente envolvida por outra superfície A2 que é muito maior. Nesse caso, a

resistência equivalente, Re, pode assim ser simplificada. Lembrando que pelo fato da

superfície 1 ser completamente envolvida pela superfície 2, tem-se, também, F12 = 1.

112

2

0

2

1

1

1

1

22

2

12111

1

111

11

111

A

)(

A

A)(

AR

A

)(

FAA

)(R

e

e

De forma, que neste caso, a troca de calor por radiação térmica será, aproximadamente:

)TT(AR

EEQ

e

nn 42

4111

2121

Confira com o resultado acima, do último exemplo!

RADIAÇÃO TÉRMICA EM CAVIDADE – CORPO NEGRO

Uma cavidade é uma abertura de um invólucro por onde entra radiação térmica, como

ilustrado no esquema abaixo. Dessa forma, a cavidade é uma forma geométrica que

visa otimizar a absorção de radiação. Para isso, uma pequena abertura permite a entrada

de radiação térmica para dentro da cavidade, o que causa que a radiação incidente seja

absorvida e refletiva diversas vezes no interior da cavidade até que seja totalmente



216

absorvido. Nesse processo uma temperatura (adiabática) de equilíbrio é estabelecida. A

absortividade efetiva da cavidade tende para unidade, independentemente do material

construtivo da cavidade, desde que a razão entre a área de abertura e a área interna total

da cavidade seja muito pequena. Isto é, a cavidade se comporta como um corpo negro.

Fator de forma da área de abertura para a área interna da

cavidade: 𝐹𝑎−𝑐 = 1

Fluxo total de calor incidente: 𝑞𝑇 = 𝑞′′𝐴𝑎 , onde:

[𝑞′′] =𝑤

𝑚2 (fluxo de radiação incidente)

𝐴𝑎 – área da abertura [𝑚2]

𝐴𝑐 – área da cavidade [𝑚2]

𝛼𝑐 – absortividade da cavidade

𝜀𝑐 – emissividade da cavidade (superfície interna)

Pela Lei de Kirchoff, tem-se que 𝛼𝑐 = 𝜀𝑐, como já visto.

Circuito elétrico equivalente:

𝑞𝑇 = 𝑞′′𝐴𝑎 =𝐸𝑐−𝐸𝑎

𝑅𝑒𝑞 (A)

onde,

𝑅𝑒𝑞 =1−𝜀𝑐

𝜀𝑐𝐴𝑐+

1

𝐴𝑎𝐹𝑎−𝑐, ou rearranjando 𝑅𝑒𝑞 =

1

𝐴𝑎[1 +

𝐴𝑎

𝐴𝑐(1−𝛼𝑐

𝛼𝑐)] (B)

Subst. (B) em (A) → 𝑞′′𝐴𝑎 =𝐸𝑐−𝐸𝑎

1

𝐴𝑎[1+

𝐴𝑎𝐴𝑐(1−𝛼𝑐𝛼𝑐

)]→ 𝑞′′ =

𝜎(𝑇𝑐4−𝑇∞

4 )

1+𝐴𝑎𝐴𝑐(1−𝛼𝑐𝛼𝑐

)

seja, a absortividade efetiva da cavidade definida por: 𝛼𝑒𝑓 =1


)



217

logo,

𝑞′′ = 𝛼𝑒𝑓𝜎(𝑇𝑐4 − 𝑇∞

4)

Sendo, 𝛼𝑒𝑓 =1


)

Independentemente da absortividade do material interno da cavidade, 𝛼𝑐, se a razão das

áreas da abertura para a cavidade 𝐴𝑎

𝐴𝑐 for muito pequena, então 𝛼𝑒𝑓 ≈ 1, como pode ser

visto pela análise da equação anterior por meio do gráfico a seguir para várias

absortividades do material interno da cavidade. Isto significa que a cavidade se

comporta como um corpo negro tendo toda a radiação térmica incidente na área de

abertura sendo absorvida, 𝛼𝑒𝑓 ≈ 1



218

Exemplo:

Para uma cavidade cilíndrica de abertura 3 cm, diâmetro interno de 10 cm e

comprimento 30 cm, a razão de áreas é bem pequena e, por isso, a absortividade do

material escolhido para a cavidade tem pouca influência na sua absortividade efetiva.

Neste caso, 𝐴𝑎

𝐴𝑐= 0,0065 e a absortividade segue a tabela abaixo:

𝜶𝒄 (absortividade do material)

𝜶𝒆𝒇

(absortividade efetiva)

0,9 0,999

0,5 0,994

0,2 0,975

0,1 0,945

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