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Sinais e Sistemas – Capítulo 1

Simon Haykin

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Classificação de Sinais Usaremos sinais unidimensionais, ou seja, para

cada valor de t há um único valor de f(t) Os sinais podem ser de valor real ou complexo

mas o tempo (variável independente) é sempre real

Pode-se identificar 5 métodos de classificação de sinais: Sinais de tempo contínuo e tempo discreto Sinais pares e ímpares Sinais periódicos e não-periódicos Sinais determinísticos e sinais aleatórios Sinais de energia e de potência

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Classificação de Sinais: sinais de tempo contínuo e de tempo discreto

Um sinal x(t) é um sinal de tempo contínuo se ele for definido para todo tempo t

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Classificação de Sinais: sinais de tempo contínuo e de tempo discreto

Um sinal de tempo discreto x[n] é definido somente em instantes isolados de tempo e pode ser derivado de um sinal de tempo contínuo x(t) fazendo amostragem a uma taxa uniforme , tal que , de modo que y~ ynt ~

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Classificação de Sinais: sinais pares e ímpares

Um sinal é dito ser Par se ele satisfaz a condição

x(-t)=x(t),

Isto é, simétrico ao eixo vertical.

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Classificação de Sinais: sinais pares e ímpares

Um sinal é dito ser Ímpar se ele satisfaz a condição

x(-t)=-x(t),

Isto é, antissimétrico ao eixo do tempo.

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Classificação de Sinais: sinais pares e ímpares

-

+

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Classificação de Sinais: sinais pares e ímpares O exemplo anterior foi para sinal real Para sinal de valor complexo, diz-se que ele tem

conjugado simétrico se

Onde:

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Classificação de Sinais: sinais pares e ímpares Ou seja, um sinal complexo é conjugado

simétrico se sua parte real for par e a parte imaginária for ímpar

Uma observação similar se aplica a um sinal de tempo discreto

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Classificação de Sinais: sinais pares e ímpares

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Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos Um sinal periódico satisfaz a condição x(t)=x(t+T), em

que T é uma constante positiva Se esta condição valer para T=T0, então vale para

T=2T0, 3T0, ..., onde T0 é o período fundamental de x(t), cuja frequência fundamental é f=1/T e a frequência angular é dada por ω=2π/T

Já o sinal aperiódico ou não-periódico não satisfaz a condição acima

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Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos

Sinal Periódico, com amplitude A=1 e período T

Sinal Aperiódico

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Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos

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Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos Sinais discretos são periódicos se x[n]=x[n+N], para

todos os números inteiros de n, sendo N um número inteiro positivo

O menor valor inteiro de N para o qual a equação acima é satisfeita é chamado de período fundamental, cuja frequência angular é dada por

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Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos

Sinal Periódico Discreto

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Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos

Sinal Aperiódico Discreto

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Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos

ω =2π/NN=8ω =π/4

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Classificação de Sinais: sinais determinísticos e sinais aleatórios Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe

nenhuma incerteza com respeito a seu valor em qualquer instante. Podem ser modelados por uma função.

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Classificação de Sinais: sinais determinísticos e sinais aleatórios Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual

há incerteza antes de sua ocorrência real Um sinal aleatório pertence a um grupo de

sinais onde cada sinal é diferente do outro e tem sua probabilidade de ocorrência

O conjunto de sinais aleatórios é chamado de processo aleatório

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Classificação de Sinais: sinais determinísticos e sinais aleatórios Ex.: sinal de EEG

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Classificação de Sinais: sinais de energia e sinais de potência Corrente e tensão são sinais de sistemas elétricos Da lei de Ohm, temos que uma tensão v(t) aplicada sobre um

resistor R faz com que circule uma corrente i(t) A potência instantânea dissipada sobre o resistor é

p(t)=v2(t)/R

ou

p(t)=Ri2(t) Se R=1Ω (normalização), então, das equações acima, temos que

p(t)=x2(t),

onde x(t) pode ser tanto v(t) quanto i(t).

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Classificação de Sinais: sinais de energia e sinais de potência Daí, a energia total do sinal de tempo contínuo x(t) é:

A Potência Média do sinal é dada por

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Classificação de Sinais: sinais de energia e sinais de potência Se o sinal é periódico, com período fundamental T, então

onde P é o valor quadrático médio ou RMS.

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Classificação de Sinais: sinais de energia e sinais de potência Para o caso discreto, temos que

Para um sinal periódico com período fundamental N, temos que

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Classificação de Sinais: sinais de energia e sinais de potência Um sinal é sinal de energia se e somente se a

energia total satisfaz: 0<E<∞ Um sinal é sinal de potência se e somente se

0<P<∞ Um sinal de energia tem potência média zero e

um sinal de potência tem energia infinita Os sinais periódicos e aleatórios são geralmente

sinais de potência, enquanto sinais determinísticos e não-periódicos são sinais de energia

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Classificação de Sinais: sinais de energia e sinais de potência

dttxE 2

22em,0

22em,

11

11

Tte

Tt

Tt

TA

tx

2

22

2

22

2

1

1

1

1

00T

T

T

T

dtdtAdt 12TA

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Classificação de Sinais: sinais de energia e sinais de potência

20em,1

02

em,1

Tt

tT

tx 1P

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Classificação de Sinais: sinais de energia e sinais de potência

Tarefa para casafaça os exercícios 1.6, 1.7 e 1.8 da página 40