aula 2 balanco de massa
TRANSCRIPT
Operações UnitáriasAula 2
Sistema de unidadesPrincípios de conservaçãoBalanco materialNumeros adimensionais
Silvana Palmeira
Sistemas de unidades
Quem é maior 8 ou 80?
2
Para se responder a esta pergunta deve-se pensar em definir a grandeza de forma
qualitativa e quantitativa
A pergunta necessita de sentido porque não há termo de comparação.
Evidentemente que 8 m3 significa mais que 80 litros (80 dm3).
Sendo de outra forma, identificando-se a dimensao, fica mais facil de responder: 8 kg e 80 kg
3
Importância das dimensões
Para se definir uma grandeza existem duas dimensões a qualitativa e a quantitativa
Qualitativamente – a grandeza será definida pela equação dimensional, sendo esta constituída
pela base MLT ou FLT, onde o expoente indica o grau de dependência entre a grandeza derivada
e a grandeza fundamental (MLT ou FLT)
4
Sistemas de unidades
Sistemas de unidades
A depender da base utilizada, as "unidades" de grandezas físicas permitem organizar o trabalho científico e técnico sendo que, com apenas sete grandezas básicas é possível formar um sistema que abranja todas necessidades. :Dimensões de um corpo, Velocidade, Força, TrabalhoPotência
5
Tradicionalmente a Engenharia usava 3 sistemas:
MKS (metro, quilograma, segundo)
ou
CGS (centímetro, grama, segundo),
MKfS (metro, kilogramaforça, segundo)
Sistemas de unidades
6
A definição quantitativa depende do sistema de unidade considerado
Por exemplo, se considerarmos o Sistema Internacional (SI), temos como grandezas fundamentais ou primarias:
M – massa – kg (quilograma)L – comprimento – m (metro)T – tempo – s (segundo)
7
A definição quantitativa depende do sistema de unidade considerado
Mas existem outros sistemas que utilizam outras unidades:
Massa SI Americano Inglês kg oz lbm
8
A definição quantitativa depende do sistema de unidade considerado
Comprimento
m (SI)ft (Inglês)in jdmillg
9
A definição quantitativa depende do sistema de unidade considerado
Tempos (SI) min h diasemanamêsanosécmilênio10
11
As demais grandezas são denominadas grandezas derivadas:
Grandeza Unidade Equação dimensionalv(velocidade) m/s [v] = L/TF (força) N (newton) [F] = (M*L)/T2
dv/dy hz ou 1/s [dv/dy] = T-1
(gradiente de velocidade) [dv
dy ]=LT -1
L=T -1= 1
T12
Energia = Força * DistânciaEnergia = (Kg*m/s2) * (m)Energia = kg*m2/s2 = J (Joule) 13
14
512.106 [bytes] = 512 [Mbytes] = 512.000.000 bytes
400.10-9 [s] = 400 [ns]
HD com 80Gbytes
80.000.000.000 bytes
80 bilhões de bytes 15
As unidades não podem ser canceladas ou fundidas a menos que sejam homogêneas.
Elas contêm quantidades sinificativas de informações que não podem ser ignoradas.
16
Sistemas de unidades
5 quilogramas + 3 calorias (massa e energia)Não tem significado, pois as dimensões dos dois termos são diferentes !!!
Importância das dimensões
17
1 kg + 500 gramas (massa) Mesma dimensão. Tem significado, mas ainda não pode ser executada. As unidades devem ser transformadas em iguais, sejam libras, gramas, kg, onças e assim por diante, para que a operacao seja efetuada.1 kg =1000 gramas, então, 1000 g + 500 g pode ser somado, resultando em 1500g
Cuidado
1 hp + 300 W (Potencia)As dimensões são as mesmas (potência = energia por unidade de tempo), porém as unidades são diferentes. Precisam ser transformadas em unidades iguais para depois somar os termos:1 hp = 746 W (caderno de dados ou outras tabelas)746 W + 300 W = 1046 W
18
Importância das dimensões
19
Equivalentes estão na mesma linha
Transformação de unidades
20
Equivalentes estão na mesma linha
Transformação de unidades
21
Transformação de unidadesEquivalentes estão na mesma linha
22
Equivalentes estão na mesma linhaTransformação de unidades
Equivalentes estão na mesma linha
7,5 1
23
Transformação de unidades
Equivalentes estão na mesma linha
1
24
Transformação de unidadesEquivalentes estão na mesma linha
Exemplo: Transforme 400 in3/dia em cm3/min
400 in3
dia (2,54 cmin )
3 1 dia24 h
1 h60min
=4,56 cm3
min
25
Transformação de unidades
Muitas unidades possuem nomes especiais:Força = Newton = N F = m * a
N=kg . ms2
Outros exemplos:
J = JouleW = Watt
26
Transformação de unidades
Massa = M Comprimento = L Tempo = ØTemperatura = T
Exemplo: qual a dimensão da força?F = m . a
F=M . Lφ2
M = kg, g, ton, lb, etc...L = m, cm, mm, km, pé, polegada, etc...Ø = h, min, s, dia, ano, etc…T = °C, K, °R, °F
F=kg . ms2
27
Consistencia dimensional
Sistema MKfS
Um outro sistema bastante utilizado até hoje é o MkfS. Neste sistema as grandezas fundamentais adotadas para o estudo dos Fenômenos de Transporte são:Grandeza UnidadeF (força) kgf (1 kgf = 9,8 N)L (comprimento) m (metro)T (tempo) s (segundo)
28
Algumas grandezas derivadas no MKfS:
Grandeza Unidade
M (massa) utm (1 utm = 9,8 kg)
- massa específica kg/m³
M= F×T 2
L
ρ= ML3 =F×T2
L4
29
30
7 Passos para a resolução1- Faça um desenho esquemático do sistema (geometria do problema)2 - Verifique a consistência do Sistema de medidas e a compatibilidade dos algarismos significativos3- Declare de forma concisa a informação dada e a solicitada para resolução do problema 4 - Liste as leis matemáticas básicas5- Relacione as hipóteses simplificadoras6- Faça uma análise algébrica7- Introduza valores numéricos
Princípios e técnicas para resolução de problemas
31
Princípio
Aprende-se melhor, fazendo!!!!!
O domínio vem com a prática
Princípios e técnicas para resolução de problemas
32
7 Passos para a resolução1- Faça um desenho esquemático do sistema (geometria do problema)2 - Verifique a consistência do Sistema de medidas e a compatibilidade dos algarismos significativos3- Declare de forma concisa a informação dada e a solicitada para resolução do problema 4 - Liste as leis matemáticas básicas5- Relacione as hipóteses simplificadoras6- Faça uma análise algébrica7- Introduza valores numéricos
Princípios e técnicas para resolução de problemas
33
Tabela de conversão1 ft 0,3048 m 1 gl 231 in3
1 lb 0,4536 Kg 1 in3 0,01639litros1 lbf 4,4482 N 1 psi 6, 895x103 Pa1 ft 12 in 1W 1,341x 10-3HP1in 2,54 cm
O domínio vem com a prática
Princípios e técnicas para resolução de problemas
34
Exercícios exemplo
35
Se um avião voa a uma velocidade duas vezes superior à do som ( 1.100 ft/s), qual será sua velocidade em milhas por hora?
2 1100 1 mi 60s 60 min = 1500 mi/h S 5.280 ft 1min 1h
Exercício resolvido
1.13 FOX 6ª ed.EnunciadoA massa da bola de golfe oficial inglesa é 45,9 g e o seu diâmetro
médio é 41,1 mm. Determine a massa específica e a densidade relativa da referida bola. (ρH2O = 1000 kg/m3)
Resolução: Passos 1 – 31- Geometria do problema2- Declaração das informações dadas e solicitadas3- Formulação básica
36
Exercício 1.13 FOX 6ª ed.
Resolução: Passos 1 – 3 Modelo Físico e Dados Modelo matemático
37
Exercício 1.13 FOX 6ª ed
38
Exercício 1.13 FOX 6ª ed
39
Três enfoques para o estudo dos processamentos industriais iniciais
1. Estudar a tecnologia de um certo tipo de indústria, por exemplo: cervejarias, laticínios, industria açucareira, etc...2. Estudar as operações usuais a muitas indústrias, por exemplo: evaporação, extração, centrifugação, etc...3. Estudar os fenômenos de transferência de quantidade de movimento, calor e massa.
Princípios básicos
Existe um pequeno número de princípios elementares, técnicas matemáticas e leis da físico-química que são fundamentais e formam a base para o estudo da transferência de momento, calor e massa e os processos de separação. Quem pretende operar processos industriais deve ter um bom domínio destes conhecimentos.
41
a)a) Princípios ou leis da Princípios ou leis da conservação de massa,conservação de massa, quantidade de movimento e energiaquantidade de movimento e energia
b)b) Equações constitutivas ou descritivas do Equações constitutivas ou descritivas do fenômeno de transferênciafenômeno de transferência
c)c) Equações de estado (gases ideais, Van der Equações de estado (gases ideais, Van der Walls, etc.)Walls, etc.)
Princípios básicos
As operações unitárias e os princípios de transferência
Força ou Força ou fluxo por fluxo por
unidade de unidade de superfíciesuperfície
Coeficiente Coeficiente de de
transferênciatransferência
Gradiente Gradiente de de
potencialpotencial
GradienteGradienteVelocidadeVelocidadeTemperaturaTemperatura
FluxoFluxoMomentumMomentumCalorCalor
Conservação da massa
Como se sabe, “na natureza nada se cria, nada se destrói, tudo se transforma”, ou seja, a matéria não é criada e muito menos destruída, e, portanto, num balanço material envolvendo um certo sistema, a massa que neste entra deverá ser a mesma que dele estará saindo.
A massa de um produto que entra em um sistema, mesmo que transformada em outros produtos, sempreserá a mesma que está saindo deste sistema.
Vazoes Vazoesde deEntrada Saida
Balanço de massa
sistema
PROCESSOS ESTACIONÁRIO Balanços para os quais o termo de acumulação é igual a zero. Regime Permanente – aquele em que as propriedades do sistema não variam com o tempo.
PROCESSOS NÃO - ESTACIONÁRIO Balanços para os quais as quantidades e as condições operacionais variam com o tempo no interior do sistema. Regime transiente – aquele em que as propriedades do sistema variam com o tempo.
Balanço de massa
A tecnica de balanco de massa demanda um tratamento sistematico do problema, com a realizacao de algumas etapas para sua resolucao.1. Esquematizar um fluxograma basico do processo2. Identificar as correntes de entrada e saida3. Quantificar as substancias que compoem as correntes4. Escolher uma base de calculo e indica-la com clareza5. Fazer os balancos global e por componente
Balanço de massa
Balanço de massa
Em um Balanço Material, não se deve confundirmassa com volume, pois as massas específicasdos produtos são diferentes.
massaentrando
righ
massagerada
righ
massasaindo
righ
massaconsumida
righ
[ ]
A tecnica de balanco de massa demanda um tratamento sistematico do problema, com a realizacao de algumas etapas para sua resolucao.1. Esquematizar um fluxograma basico do processo2. Identificar as correntes de entrada e saida3. Quantificar as substancias que compoem as correntes4. Escolher uma base de calculo e indica-la com clareza5. Fazer os balancos global e por componente
Balanço de massa
Estudo de caso Produção de salsichas
Balanço de massa
Para produção de 25 Kg de salsicha com teor de gordura de 30% utilizam-se carne de gado e gordura de gado. A carne de gado contém 18% de proteína, 70% de água e 12% de gordura. E a gordura contém 78% de gordura, 17% de água e 5% de proteína. Faça um balanço global da massa do sistema e de cada componente da mistura.
Balanço de massa
1. Esquematizar um fluxograma basico do processo2. Identificar as correntes de entrada e saida3. Quantificar as substancias que compoem as correntes4. Escolher uma base de calculo e indica-la com clareza5. Fazer os balancos global e por componente
Balanço de massa
Base de Cálculo: 25 Kg de salsicha
Corrente de Entrada = C + GCorrente de Saida = S
Balanço de massa global: C + G = S Carne gordura salsicha
Balanço de gordura: 0,12C + 0,78G = 0,3(25)
Balanço de massa
Base de Cálculo: 25 Kg de salsicha
Balanço de massa global: C + G = 25 (1) Carne gordura salsicha
Balanço de componente: 0,12C + 0,78G = 0,3(25) (2) (gordura)Temos um sistema de equação, que pode ser resolvido por um dos 2 métodos. Vamos resolver por substituição:
Balanço de massa
Base de Cálculo: 25 Kg de salsicha
Substituindo a equacao 1 em 2 e resolvendo a equação para o balanço de gordura, temos: 0,12 (25 – G) + 0,78 G = 7,5 3,0 – 0,12 G + 0,78 G = 7,5 0,66 G = 4,5 G = 4,5 / 0,66 G = 6,82 Kg Massa de gordura = 6,82Kg
Balanço de massa
Base de Cálculo: 25 Kg de salsicha
Balanço de massa global: C + G = 25 (1) Carne gordura salsicha
Balanço global: C + 6,82 = 25 C = 25 – 6,82 C = 18,18 Kg de carne
Balanço de massa
Estudo de caso Evaporacao
Balanço de massa
Se alimenta um evaporador de forma continua com 25 Ton/h de uma solucao que contem 10% de NaOH, 10% de NaCl e 80% de H2O. Durante a evaporacao se elimina agua e o sal se precipita na forma de cristais, que sedimentam. A solucao concentrada que sai do evaporador contem 50% de NaOH, 2% de NaCl e 48% de agua. Calcule a vazao massica (Kg/h):a) De solucao concentradab) De agua evaporadac) De sal que precipita
Balanço de massa
ES
Evap
P
Base de Cálculo: Tomar o NaOH como componente para a base de calculo, visto que não se precipita e sua massa não se modifica nas correntes de entrada e saida.Dados ENTRADA 25Ton/h SAIDA SENaOH = 10% SNaOH = 50%
ENaCl = 10% SNaCl = 2%
EH2O = 80% SH2O = 48%
Balanço de massaE
SP
Evap
Calculo da vazao massica dos componentes na corrente de entrada em (Kg/h) Base de calculoENTRADA E = 25Ton/h MNaOH = ENaOH* E = 0,1*25.000 = 2.500 Kg/h
MNaCl = ENaCl* E = 0,1*25.000 = 2.500 Kg/h
MH2O = EH2O* E = 0,8*25.000 = 20.000 Kg/h
Balanço de massa
SOLUCAOCálculo da massa dos componentes da corrente de saida (solucao concentrada)BALANCOSAIDA S (Kg/h)MNaOH entra = MNaOH sai 2.500 = SNaCl* S
2500 = 0,5 * S S = 5.000Kg/h MNaCl = SNaCl* S = 0,02* 5.000 = 100Kg/h
MH2O = SH2O* S = 0,48 * 5.000 = 2.400 Kg/h
Balanço de massa
SOLUCAOCálculo da massa de agua evaporadaBALANCOENTRADA(Kg/h) SAIDA (kg/h)NaOH = 2.500 2.500NaCl = 2.500 100H2O = 20.000 2.400
MH2O evaporada = MH2O(entra – sai) = 20.000 – 2.400
MH2O evaporada = 17.600Kg/h
Balanço de massa
SOLUCAOCálculo da massa de sal que precipitaBALANCOENTRADA(Kg/h) SAIDA (kg/h)NaOH = 2.500 2.500NaCl = 2.500 100H2O = 20.000 2.400
MNaCl precipita = MNaCl(entra – sai) = 2.500 – 100
MNaCl precipita = 2.400Kg/h
Balanço de massa
Se alimenta um evaporador de forma continua com 25 Ton/h de uma solucao que contem 10% de NaOH, 10% de NaCl e 80% de H2O. Durante a evaporacao se elimina agua e o sal se precipita na forma de cristais, que sedimentam. A solucao concentrada que sai do evaporador contem 50% de NaOH, 2% de NaCl e 48% de agua. Calcule a vazao massica (Kg/h):a) De solucao concentradab) De agua evaporadac) De sal que precipita
Balanço de massa
ES
Evap
P
Base de Cálculo: Tomar o NaOH como componente para a base de calculo, visto que não se precipita e sua massa não se modifica nas correntes de entrada e saida.Dados ENTRADA 25Ton/h SAIDA SENaOH = 10% SNaOH = 50%
ENaCl = 10% SNaCl = 2%
EH2O = 80% SH2O = 48%
Balanço de massaE
SP
Evap
Base de Cálculo: Tomar o NaOH como componente para a base de calculo, visto que não se precipita e sua massa não se modifica nas correntes de entrada e saida.Dados ENTRADA 25Ton/h SAIDA SENaOH = 10% SNaOH = 50%
ENaCl = 10% SNaCl = 2%
EH2O = 80% SH2O = 48%
Balanço de massaE
SP
Evap
SOLUCAO Base de Calculo E = 25.000 Kg/hBALANCO GLOBAL: E = S + P + Evap (1)BALANCO POR COMPONENTENaOH: 0,1E = 0,5 S (2)NaCl: 0,1E = 0,02 S + P (3)H2O: 0,8 E = 0,48 S + Evap (4)
a) Calculo da corrente de Saida S: (2)0,1* 25.000 = 0,5 * S S = 5.000 Kg/h
Balanço de massaE
SP
Evap
SOLUCAO Base de Calculo E = 25.000 Kg/hBALANCO GLOBAL: E = S + P + Evap (1)BALANCO POR COMPONENTENaOH: 0,1E = 0,5 S (2)NaCl: 0,1E = 0,02 S + P (3)H2O: 0,8 E = 0,48 S + Evap (4)
b) Calculo da massa de precipitado P: (3)0,1* 25.000 = 0,02 * S + P P = 2.500 – 0,02* 5.000 P = 2.400 Kg/h
Balanço de massaE
SP
Evap
SOLUCAO Base de Calculo E = 25.000 Kg/hBALANCO GLOBAL: E = S + P + Evap (1)BALANCO POR COMPONENTENaOH: 0,1E = 0,5 S (2)NaCl: 0,1E = 0,02 S + P (3)H2O: 0,8 E = 0,48 S + Evap (4)
c) Calculo da massa de agua evaporada Evap: (3)0,8* 25.000 = 0,48 * S + Evap Evap = 20.000 – 0,48* 5.000 = 17.600 Evap = 17.600 Kg/h
Balanço de massaE
SP
Evap
SOLUCAO Base de Calculo E = 25.000 Kg/hBALANCO GLOBAL: E = S + P + Evap (1)Confirmacao dos resultados (validando 1)E = 25.000S = 5.000P = 2.400Evap = 17.600E = S + P + Evap 25.000 = 5.000 + 2.400 + 17.600 (Kg/h)
Balanço de massaE
SP
Evap
IntroduçãoVamos analisar a queda de pressão para o escoamento de um fluido com viscosidade numa tubulação cilíndrica, retilínea, horizontal e cuja parede apresente rugosidade. Algumas variáveis devem ser consideradas.
71
Análise dimensional
72
Análise dimensional
O ideal seria a resolução analítica do problema para,através de uma lei física, relacionar a variável dependente ∆P, com as variáveis independentes, relacionadas com as características do tubo e do fluido
73
Análise dimensional
Solução empírica
Que experimentos devem ser conduzidos para determinar a queda de pressão dentro do tubo?
De que depende a queda de pressão?
Que parâmetros são significativos para a resolução do problema?
Análise dimensional
Vamos especificar alguns parâmetros cujo senso comum nos leva a crer que variáveis são significativos:
Com relação à tubulação : O comprimento: L O diâmetro do tubo: D A variação média do raio interno do tubo: ε (altura média da rugosidade)
74
Análise dimensional
Vamos especificar alguns parâmetros cujo senso comum nos leva a crer que variáveis são significativos:
Com relação ao fluido: A viscosidade : μ A massa específica do fluido: ρ
Com relação ao escoamento: A velocidade média: V A queda de pressão: ∆P
75
IntroduçãoPelo menos 7 parâmetros estão envolvidos:Comprimento do tubo: LDiâmetro do tubo: DRugosidade do tubo: Velocidade do escoamento: vMassa específica do fluido: ρViscosidade do fluido: μQueda de pressão: ΔP
76
Análise dimensional
Análise dimensional
∆P = f(L,D,V, ρ, μ, ε)7 variáveis
77
Análise dimensional
O uso da análise dimensional permite obter resultados significativos com pouco esforço.
Teorema de Buckingham (1867 – 1940)
78
Teorema dos Buckingham
O lorde do condado de Buckingham descobriu, no início do século XX, uma relação de enorme valor.
Como ele usou a letra grega para designar osgrupos adimensionais seu teorema ficou conhecido como o teorema dos .
79
Análise dimensional
Análise dimensional
Dado um problema físico que possa ser expresso pela relação:
q1 = f (q2, q3,..., qn)
Onde: q1: é o parâmetro dependente
q2, q3,..., qn: são os (n-1) parâmetros independentes
80
Análise dimensional
Matematicamente podemos expressar a expressão funcional equivalente por:
g = f (q1,q2, q3,..., qn) = 0
Onde: g: é uma função não especificada, diferente de f
81
Análise dimensional
Contextualizando para o exemplo citado, podemos escrever:
g = f (∆P, x,D,V, ρ, μ, ε) = 0
82
Análise dimensional
O Teorema de Buckingham afirma que o investigador não precisa tomar em consideração cada uma das variáveis em separado, para obter uma expressão válida de uma lei física.
Pode-se reduzir o número de variáveis em uma quantidade igual ao número de dimensões em que se expressam estas variáveis.
83
Análise dimensional
Ou seja, os parâmetros podem ser agrupados em uma quantidade de razões adimensionais, dadas pela fórmula:
n – K
Onde:n: números de parâmetros do problema k: número mínimo de dimensões independentes necessárias para especificar as dimensões de todos os parâmetros 84
Análise dimensional
Pesquisando-se o conjunto de grandezas da Mecânica, observa-se a existência de somente 3 grandezas independentes (primárias), a partir das quais, podem ser relacionadas as demais grandezas (derivadas).
Na base MLT, tem-se as grandezas primárias: Massa, comprimento e tempo;
Na base FLT, tem-se as grandezas primárias: Força, comprimento e tempo;85
Teorema dos Pi BuckinghamPasso 1: Listagem dos parâmetros (n) envolvidosSe todos os parâmetros pertinentes não forem incluídos, uma relação pode ser obtida, mas não fornecerá a história completa. Se houver inclusão de parâmetros que não têm efeito sobre o fenômeno físico em estudo, o processo de análise dimensional mostrará que eles não entram na relação buscada.
ΔP = g(x, D, ρ, μ, ε , v)
G = (∆P,x,D, ρ, μ, ε,v) = 0 (n = 7 parâmetros)
86
Análise dimensional
Teorema dos Pi BuckinghamPasso 2: Escolha das dimensões básicas (k)
Selecione um conjunto (k) de dimensões primárias.
Por exemplo:MLT ou FLT (Em ambos os casos k = 3)
87
Análise dimensional
Teorema dos Pi Buckingham Passo 3: Expressão dos parâmetros em termos das
dimensões básicasExpresse todos os parâmetros em termos das dimensões básicas (MLT), G =(∆P,x,D, ρ, μ, ε,v) = 0 ∆P [M/LT2] x [L] D [L] ρ μ ε v88
Análise dimensional
Análise dimensional
Passos para determinação dos grupos :
Listar as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias: (MLT)
Variável D x ∆P V ε ρ μ
Dimensão L L ML-1 t -2 L t -1 L ML -3 ML-1 t -1
89
Teorema dos Pi de Buckingham
Passo 4: Determinação do número de termos Pi
n (Pi) = n – k = 4
90
Análise dimensional
Teorema dos Pi de Buckingham
Passo 5: Escolha das variáveis de referência
Escolha uma quantidade de variáveis de referência (r), que seja igual ao número de dimensões básicas. Estes parâmetros não podem ter as mesmas dimensões finais.
Ex.: (ρ,v, D ) r = k = 3
91
Análise dimensional
Teorema dos Pi BuckinghamOs 7 parâmetros envolvidos no cálculo da queda de pressão em um tubo horizontal podem ser classificados:Comprimento do tubo: xDiâmetro do tubo: DRugosidade do tubo: εMassa específica do fluido: ρViscosidade do fluido: μVelocidade do escoamento: vQueda de pressão: ΔP
92
Análise dimensional
GEOMÉTRICOS(dimensões lineares)
FÍSICOS
CINEMÁTICOS
Análise dimensional
Passos para determinação dos grupos :
Selecionar da lista um nº de parâmetros a serem repetidos (r), igual ao nº de dimensões primárias (m), desde que sejam incluídas todas as dimensões primárias
m = r = 3 parâmetros a serem repetidos
Variável D x ∆P V ε ρ μ
Dimensão L L ML-1 t -2 L t -1 L ML -3 ML-1 t -1
93
Análise dimensional
Passo 6: Construção dos termos PiEstabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no Passo 5 com cada um dos outros parâmetros a fim de formar grupos adimensionais.
G = (∆P, x , ρ, v, D, μ, ε) = 0
1 = ρa Vb Dc ∆P 2 = ρd Ve Df x 3 = ρg Vh Di ε 4 = ρj Vk Dm μ94
Teorema dos Pi de BuckinghamPasso 7: Resolução dos sistemas de equações dos termos Resolva as equações dimensionais para obter os n-k grupos adimensionais. G = (∆P, x, ρ, v, D, μ, ε) = 0
95
Análise dimensional
π 1= ρ a v b D c ΔP
M 0 L 0 T 0 = (ML3)a
(LT )b (L) c ( MLT 2)
M : 0 = a + 1 ⇒ a = −1L : 0 = − 3 a + b + c − 1 ⇒ c = 0T : 0 = −b − 2 ⇒ b = − 2
Análise dimensional
Encontrando o grupo adimensional 1: 1 = ρa Vb Dc ∆P =
M: a + 1 = 0 a = - 1L: -3a + b + c – 1 = 0 c = 0T: - b + 2 = 0 b = - 2
1 = ρ-1 V-2 D0 ∆P
96
Teorema dos Pi de BuckinghamPasso 7: Resolução dos sistemas de equações dos termos PiAgora resolva as equações dimensionais para obter os outros n-k grupos adimensionais.
97
Análise dimensional
π 2= ρ d v e D f x π 2
=LD
π 3= ρ g v h D i ∈¿
¿π 3
= ∈ D
π 4= ρ j v k D m μ
π 4=
μρ v D
Teorema dos Pi de BuckinghamPasso 8: Verificando a adimensionalidade dos termos Pi
98
Análise dimensional
π 2=
xD
LL = 1
π 3= ∈ D π 1
=ΔPρ v 2
π 4=
μρ v D
Teorema dos Pi de BuckinghamDada uma relação entre n parâmetros, então os n
parâmetros podem ser agrupados em n-k razões independentes adimensionais, ou parâmetros que podem ser expressos na forma funcional por:
99
Análise dimensional
π 1= g (π 2 , π 3
, . . . , π n−k)
G = (π 1, π 2 , π 3, . . . , π n−k)= 0
Teorema dos Pi de Buckingham
100
Análise dimensional
π 1=
ΔPρ v 2 π 4
=μ
ρ v Dπ 3
= ∈ Dπ 2
=LD
π 1= g (π 2 , π 3
, . . . , π n−k)
ΔPρ v 2 = g( xD , e
D, μρ v D)
Passo 9: Encontrando a função dos termos
Teorema dos Pi de Buckingham
A forma da função deve ser determinada experimentalmente. Entretanto, em vez de realizar 1 milhão de experimentos, pode-se estabelecer a natureza da função a partir de 10 experimentos apenas.
101
Análise dimensional
ΔPρ v 2 = g(LD ,
D, μρ v D)
Teorema dos Pi de Buckingham
Somente o parâmetro precisa ser variado. E isto pode ser feito simplesmente pela variação da velocidade, por exemplo.
102
Análise dimensional
ΔPρ v 2 = g(LD ,
D, μρ v D)
π 4=
μρ v D
Teorema dos Pi de Buckingham
Encontrar a relação entre os termos Pi usando as dimensões F L T.
103
Análise dimensional
104
Análise dimensional
Grupos adimensionais
Existem várias centenas de grupos adimensionais de importância para a engenharia.
Seguindo a tradição, cada um desses grupos recebeu o nome de um cientista que pela primeira vez o utilizou.
Alguns são fundamentais para a mecânica dos fluidos. Nós hoje encontramos um deles.
105
Análise dimensional
Grupos adimensionais
Alguns são fundamentais para a mecânica dos fluidos. Nós hoje encontramos um deles. O número de Reynolds. (Osborne Reynolds, 1880)
Re=1π 4
=ρ v Dμ
Análise dimensional
Grupos adimensionais importantes para a MF
Com o passar dos tempos vários grupos adimensionais diferentes foram identificados. Seguindo uma tradição, cada um recebeu o nome do cientista que o utilizou pela primeira vez.Alguns ocorrem com muita frequencia que vão ser apresentados na lâmina a seguir.
106
Análise dimensional
Números adimensionais:
1880 – Número de Reynolds:
Re =
Parâmetro chave para determinar o regime de um escoamento. É a razão entre forças de inércia e forças viscosas.
Escoamentos com Re muito grandes são turbulentos. Aqueles em que as forças de inércia são pequenas
comparadas com as viscosas, são chamados escoamentos laminares10
7
Análise dimensional
Números adimensionais:
Número de Euler:
Eu =
É a razão entre forças de pressão e forças de inércia. É conhecido como coeficiente de pressão. É utilizado no
estudo de fenômenos de cavitação.
108
Análise dimensional
Números adimensionais:
Número de Froude:
Fr2 =
O número de Froude elevado ao quadrado pode ser interpretado como a razão entre forças de inércia e a gravidade.
É utilizado no estudo de escoamento em canais abertos, onde L (o comprimento característico é a profundidade da água). Número de Froude < 1, indicam escoamento subcrítico e > 1, escoamento supercrítico.10
9
110
Análise dimensional
Exercício proposto 7.14 FOX 6ªed.Medições da altura de líquido a montante de uma obstrução colocada em um escoamento de canal aberto podem ser usadas para determinar a vazão em volume (Q). Admita que a vazão sobre um vertedor é uma função da altura a montante (h), da gravidade (g) e da largura do canal (b). Utilize a análise dimensional para determinar a dependência funcional de Q em relação às outras variáveis.
111
Análise dimensional
Exercício proposto 7.17 FOX 6ªed. O tempo (t) para drenagem de óleo para fora de um recipiente de calibração depende da viscosidade (), da massa específica do fluido (), do diâmetro do orifício (D), e da gravidade (g). Utilize a análise dimensional para determinar a dependência funcional do tempo (t) em relação às outras variáveis.
112
Análise dimensional
Exercício proposto 7.17 FOX 6ªed. Encontre um conjunto adequado de parâmetros adimensionais para organizar dados oriundos de uma experiência de laboratório, na qual um tanque é drenado através de um orifício a partir de um nível inicial de líquido (h0). O tempo (t) para esvaziar o tanque depende do seu diâmetro (D), do diâmetro do orifício (d), da aceleração da gravidade (g), da massa específica () e da viscosidade do fluido (). Quantos parâmetros adimensionais resultarão? Quantas variáveis de referência devem ser selecionadas? Explicite o parâmetro que contém a viscosidade.
Referências BROWN, George Granger. Operaciones basicas de la
Ingenieria Quimica. Editorial Marin. Barcelona: 1965 ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecânica dos fluidos:
Fundamentos e aplicações. McGraw Hill do Brasil. 2007. FOUST, Alan S. ; WENZEL, Leonard A.; CLUMP, Curtis W.;
MAUS, Louis. Principios de Operaciones Unitarias. Companhia Editorial Continental. Mexico. 13ªed.
FOX, Robert W.; McDONALD, Alan T. Introdução à mecânica dos fluidos. Ed. LTC: Rio de Janeiro. 2009. 6ªed.
McCABE, Warren L; SMITH, Julian C.; PETER, Harriott, Operações basicas da Engenharia Quimica. McGraw Hill do Brasil. 5ed.
113