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Aula 19 – Convecção Forçada: Escoamento InternoEscoamento Interno

UFJF/Departamento de Engenharia de Produção e Mecânica

Prof. Dr. Washington Orlando Irrazabal Bohorquez

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Escoamento Interno

Camada limite fluidodinâmica laminar em um tubo circular

Características de escoamentos internos:

• Escoamento confinado por superfícies;

• A camada limite se desenvolve com restrição;• A camada limite se desenvolve com restrição;

• Existem regiões distintas: de entrada do escoamento (camadalimite em desenvolvimento) e desenvolvida (camada limitedesenvolvida);

• Efeito viscoso é sentido ao longo de todo o escoamento;

• Escoamento desenvolvido: u=u(r).

Condições de Escoamento

Laminar

Escoamento Interno

Escoamento Externo

Turbulento

Laminar

Região de entrada

Região plenamente desenvolvida

Escoamento Interno

Turbulento

desenvolvida

Região de entrada

Região plenamente desenvolvida

Condições de escoamento: Tubo circular

• Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular:

Escoamento Interno

• Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular:

Onde:- um é a velocidade média do fluido na seção transversal;- D é o diâmetro do tubo.- D é o diâmetro do tubo.

• Número de Reynolds crítico:

• Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento laminar


Escoamento Interno

•(Re ≤ 2300, entrada convergente arredondada).

• Comprimento de entrada fluidodinâmica para escoamento turbulento(Re > 2300).(Re > 2300).

• Para escoamento turbulento será admitido (x/D) >10.

A Velocidade Média

• Escoamento externo → Velocidade da corrente livre.


Escoamento Interno

• Escoamento externo → Velocidade da corrente livre.

• Escoamento interno → Velocidade média.

m trm u A

mm

u

Isolando um resulta:

mtr

uA

Número de Reynolds então fica:

m2

tr

u D D m D m 4mRe

A DD

4

4mRe

D

Representando a vazão mássica pela integral de .u na

A Velocidade Média


Escoamento Interno

Representando a vazão mássica pela integral de .u naseção transversal, tem-se:

Como entãom trm u A

Escoamento Interno

Considerações Térmicas

• Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme que é menor

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• Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme que é menordo que a temperatura da superfície do tubo ocorre a transferênciade calor por convecção e uma camada limite térmica começa a sedesenvolver.

• Se tivermos uma condição imposta de temperatura na superfície oufluxo de calor constante na parede do tubo termina-se em umacondição térmica completamente desenvolvida.

• Comprimento de entradatérmica para escoamento Analisando:

Escoamento Interno


térmica para escoamentolaminar.

• Em comparação ao

cd ,tD

lam

0 ,05 Re PrD

Analisando:Se Pr > 1, a camada limite fluidodinâmica se desenvolve mais rapidamente que a camada limite térmica (xcd,v < xcd,t), enquanto o inverso é verdadeiro para Pr < 1.

Para Pr ≥ 100 (extremamente elevados, como óleos) xcd,v é muito menor que o

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• Em comparação aocomprimento de entradafluidodinâmica.

cd ,v

D

lam

0 ,05 ReD

como óleos) xcd,v é muito menor que o comprimento de entrada térmico, sendo razoável admitir um perfil de velocidades plenamente desenvolvido ao longo de toda a região de entrada térmica.


Escoamento Interno

● Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento

cd ,t

tur

10D

São praticamente independente do Pr

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turD


A Temperatura Média

Escoamento Interno

Escoamento Externo Escoamento Interno

Velocidade na corrente livre Velocidade Média

Temperatura na corrente livre Temperatura Média

q mc T T

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● As temperaturas nas seções transversais não são uniformes para a convecção em escoamento interno

● É necessária a definição de uma temperatura média

p sai entq m c T T


A Temperatura Média

mc T uc TdA

Escoamento Interno

tr

p m p tr

A

m c T uc TdA

tr

p tr

A

m

p

uc TdA

Tmc

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Para escoamento em tubo circular com e cp constantes e :

p

or

m 2m 0 0

2T uT r dr

u r

m trm u A


Lei do Resfriamento de Newton

Escoamento Interno

s s mq h(T T )

Onde h é o coeficiente de transferência de calor local

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Tm e T∞ (para esc. externo) são essencialmente diferentes

- T∞ é constante ao longo do escoamento (ao longo de x)

- Tm varia ao longo do escoamento (ao longo de x)


Condições Plenamente Desenvolvidas

Escoamento Interno

As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato

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As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato atingidas?

Se houver transferência de calor, dTm/dx nunca será igual a zero. Então,Tm sempre variará e seu valor aumentará com x se a transferência decalor for da superfície para o fluido (Ts > Tm), e Tm diminuirá com x se atransferência de calor for do fluido para a superfície (Ts < Tm).



O valor de Tm ou perfil de T(r) sempre estará mudando com x e a condição deplenamente desenvolvida nunca será atingida. Esta contradição é reavaliada

Escoamento Interno

plenamente desenvolvida nunca será atingida. Esta contradição é reavaliadacom o uso da temperatura adimensional definida por:

Embora o perfil de temperaturas T(r) continue variando com x, a forma relativadesse perfil permanece inalterado e, portanto, podemos afirmar que oescoamento está termicamente plenamente desenvolvido. A exigência para tal

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escoamento está termicamente plenamente desenvolvido. A exigência para talcondição é estabelecida por

Válida para - Temperatura Superficial Uniforme e - Fluxo Térmico Uniforme na superfície



Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x,

Escoamento Interno

Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x, sua derivada em relação a r também é independente de x, ou seja:

s

s m s m r rcd ,t o

T T 1 Tf ( x )

r T T T T r

Da Lei de Fourier

sT T

q k k

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Da Lei de Fourier

Da Lei do Resfriamento de Newton

sy 0 r ro

q k ky r

s s mq h T T

Manipulando as 3 equações anteriores, resulta:



Escoamento Interno

h

f ( x )k

● Conclui se que o coeficiente de convecção localé uma constante, independente de x, no

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é uma constante, independente de x, noescoamento termicamente plenamentedesenvolvido de um fluido com propriedadesconstantes.

● Na entrada, h varia com x



a) A derivada da temperatura

Escoamento Interno

a) A derivada da temperaturaadimensional em relação à x não énula para a região de entrada.

b) Como a espessura da camada limitetérmica é zero na entrada do tubo ocoeficiente de convecção éextremamente elevado em x=0.

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Variação de h em um tubo.

a) Entretanto, h decai rapidamente àmedida que a camada limite térmica sedesenvolve até que o valor constante,associado às condições plenamentedesenvolvidas, seja atingido.

O Balanço de Energia

Objetivo: Avaliar como Tm varia ao longo da tubulação,Avaliar como qconv é relacionada com as diferenças de temperaturas na entrada e saída do tubo.

Escoamento Interno

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ent,msai,mpconv TTcmq

conv p m m mdq m c T dT T conv p mdq mc dT


Escoamento Interno

conv p mdq mc dT

mspp

sm TThcm

P

cm

Pq

dx

dT

representando s p mq P dx mc dT

Rearranjando e substituindo


Escoamento Interno

mspp

sm TThcm

P

cm

Pq

dx

dT

A solução da equação depende da condição térmica dasuperfície. Serão consideradas dois casos:

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superfície. Serão consideradas dois casos:

- Fluxo térmico constante na superfície;

- Temperatura superficial constante.


Fluxo Térmico Constante na Superfície

Escoamento Interno

T xxdT q P q P

A taxa de transferência de calor é dada por: L.Pqq sconv

mspp

sm TThcm

P

cm

Pq

dx

dT

E integrando a Equação desde x=0:

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xm s s

mp pT 0m,ent

dT q P q PdT dx

dx mc mc

s

m m,ent sp

q PT ( x ) T x q cons tan te

m c


Fluxo Térmico Constante na Superfície

q P

Escoamento Interno

s

m m,ent sp

q PT ( x ) T x q cons tan te

m c

Podemos concluir que:- A temperatura média varia

linearmente com x ao longo do tubo;

- Na entrada Ts-Tm cresce com x,

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- Na entrada Ts-Tm cresce com x, porque h=h(x) cai com x (qs" = h (Ts-Tm)=cte);

- Na região desenvolvida, h=cte e Ts-Tm

também.


Temperatura Constante na Superfície

Fazendo (Ts-Tm)= T na equação

Escoamento Interno

Th

cm

P

dx

Td

dx

dT

p

m

Fazendo (Ts-Tm)= T na equação

mspp

sm TThcm

P

cm

Pq

dx

dT

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cmdxdx p

Separando variáveis e integrando

L

0p

T

T

dxhcm

P

T

Tdsai

ent

Resolvendo a integração, resulta:



Escoamento Interno

Resolvendo a integração, resulta:

L

0pent

sai dxhL

1

cm

PL

T

Tln

Lembrando que é, por definição oL

0

1hdx

L

25

0L

coeficiente de convecção médio ,ou tem-se:Lh

tetanconsThcm

PL

T

Tln sL

pent

sai

h

saiT PLln h



Escoamento Interno

Reordenando resulta: saiL

ent p

T PLln h

T mc

tetanconsThcm

PLexp

TT

TT

T

Ts

pent,ms

sai,ms

ent

sai

Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x

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Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição xno interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral:

tetanconsThcm

Pxexp

TT

)x(TTs

pent,ms

ms



Escoamento Interno

teconsThcm

Px

TT

xTTs

pentms

ms tanexp)(

,

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(Ts-Tm) Decai exponencialmente com x

● Taxa de transferência de calor



Escoamento Interno

saientpsai,msent,mspconv TTcmTTTTcmq


Da equação

Somando e subtraindo Ts

entmsaimpconv TTcmq ,,

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Substituindo tirado da Equação

p Lsai

ent

PLmc h

Tln

T

pmc

L

pent

sai hcm

PL

T

T

ln




Escoamento Interno

tetanconsTTAhq mlsconv


Onde

sA

T

- É a área da superfície do tubo L.PAs

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mlT

ent

sai

entsaiml

T

Tln

TTT

- É a diferença média logarítmica de temperaturadada por:


Temperatura do fluido externo ao tubo


Escoamento Interno


Se no lugar da temperatura da superfície for conhecida atemperatura do fluido externo ao tubo, tem-se:

p

s

ent,m

sai,m

ent

sai

cm

AUexp

TT

TT

T

T

mls TAUq

pent,ment cmTTT

e

Onde é o coeficiente global de transferência de calorU


Temperatura do fluido externo ao tubo


Escoamento Interno


As equações podem ser escritas como:

m,saisai

ent m ,ent p tot

T TT 1exp

T T T mc R

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e

Onde

tot

ml

R

Tq

tots

1R

UA

Escoamento Laminar em Tubos Circulares

Análise Térmica e Correlações de Convecção

● Região plenamente desenvolvida

Escoamento Interno

● Região plenamente desenvolvida

Para fluxo de calor constante

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Obs.: - Fluido incompressível com propriedades constantes- k é avaliado em Tm

Para temperatura na superfície constante

Exercício 19.1Vapor condensando na superfície externa de um tubo deparedes finas de 50 mm de diâmetro de 6 m de comprimentomantém constante a temperatura do tubo em 100 ᵒC. Águaescoa através do tubo à taxa de 0,25 kg/s, e as temperaturasescoa através do tubo à taxa de 0,25 kg/s, e as temperaturasmédias na entrada e na saída o tubo são Tm,ent = 15 oC e Tm,sai

= 57 oC, respectivamente. Qual é o coeficiente médio de trocade calor por convecção neste caso? (Para Tmédia = 36 oC cp

= 4178 J/(kg∙K)).

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Premissas:a) Desprezível a resistência por condução nas

paredes do tubo;b) Líquido incompressível e dissipação viscosa

desprezível;desprezível;c) Propriedades constantes;

Do balanço de energia e a taxa de transferência decalor:

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Da temperatura logarítmica média:

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