aula 18 regra de lhospital. introdução determine caso exista o limite a seguir: solução:
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Aula 18
Regra de L’Hospital
Introdução
Determine caso exista o limite a seguir:
3
1 2lim
3x
x
x
Solução:
3 3
Observe que lim 1 2 0 e lim 3 0,logox x
x x
3
1 2 0lim
3 0x
x
x
"indeterminação"
Introdução
Vamos levantar a indeterminação.
1 2
3
x
x
1 4
3 1 2
x
x x
1
1 2x
1 2 1 2
3 1 2
x x
x x
221 2
3 1 2
x
x x
3
3 1 2
x
x x
Introdução
Sendo assim, vamos finalmente calcular olimite pretendido.
3
1 2lim
3x
x
x
3
1lim
1 2x x
1
3 1 2
1
4
Obs: O próximo resultado vai facilitar a resolução deste tipo de exercício.
Regra de L’Hospital
Teorema: ( L’Hospital) Sejam e funções
deriváveis num domínio que pode ser um
intervalo aberto ou uma reunião de
intervalos abertos, exceto possivelmente
num ponto e , para todo .
f g
fD
a 0g x x a
Regra de L’Hospital
(i) Se lim lim 0 lim ,
então lim lim .
x a x a x a
x a x a
f xf x g x e L
g x
f x f xL
g x g x
(ii) Se lim lim 0 e lim ,
então lim lim .
x x x
x x
f xf x g x L
g x
f x f xL
g x g x
Regra de L’Hospital
(iv) Se lim lim e lim ,
então lim lim .
x a x a x a
x a x a
f xf x g x L
g x
f x f xL
g x g x
(iii) Se lim lim e lim ,
então lim lim .
x a x a x a
x a x a
f xf x g x L
g x
f x f xL
g x g x
Regra de L’Hospital
Se e sãoaplicações deriváveis,entãof g
0
e g lim .h
g x h g xx
h
Logo substituindo em limx a
f x
g x
Prova doítem( ):i
0
limh
f x h f xf x
h
Regra de L’Hospital
0
0
limlim lim
lim
h
x a x a
h
f x h f xf x h
g x h g xg xh
0
0
limlim
limh
x a
h
f x h f x
g x h g x
0
limlimx a h
f x h f x
g x h g x
Regra de L’Hospital
Sendo lim lim 0x a x af x g x
e trocando a ordem dos limites, temos:
0
limlimh x a
f x h f x
g x h g x
0
lim limlim
lim limx a x a
h
x a x a
f x h f x
g x h g x
0
limlim
limx a
h
x a
f x h f x
g x h g x
0
limh
f a h
g a h
limx a
f x
g x
Aplicação
Determine o limite a seguir:
3
1 2lim
3x
x
x
Solução:
3 3
Observe que lim 1 2 0 e lim 3 0,logox x
x x
3
1 2 0lim
3 0x
x
x
"indeterminação"
Aplicando o teorema de L’Hospital no limitedado, temos:
3
1 2lim
3x
x
x
Solução:
3
1 2lim
3x
x
x
3
1
2 1lim1x
x
3
1lim
2 1x x
1
2 3 1
1
4
Aplicação
Determine o limite a seguir:
1
lnlim
1x
x
x
Solução:
1 1
Observe que limln 0 e lim 1 0,logox x
x x
1
ln 0lim
1 0x
x
x
"indeterminação"
Aplicação
Aplicando o teorema de L’Hospital no limitedado, temos:
1
lnlim
1x
x
x
Solução:
1
lnlim
1x
x
x
1
1
lim1x
x
1
1limx x
1
Aplicação
Determine o limite a seguir:
0
1 coslim
senx
x
x
Solução:
0 0
Observe que limsen 0 e lim 1 cos 0,logox x
x x
0
1 cos 0lim
sen 0x
x
x
"indeterminação"
Aplicação
Aplicando o teorema de L’Hospital no limitedado, temos:
0
1 coslim
senx
x
x
Solução:
0
1 coslim
senx
x
x
0
senlim
cosx
x
x
sen 0
cos0 0
Aplicação
Determine o limite a seguir . 20
tglimx
x x
x
Solução:
2
0 1Observe que lim tg 0 e lim 0,logo
x xx x x
Aplicação
20
tg 0lim
0x
x x
x
"indeterminação"
Aplicando o teorema de L’Hospital no limite
, temos:
Aplicação
20
tglimx
x x
x
20
tglimx
x x
x
2
0
sec 1lim
2x
x
x
0 2
tglimx
x x
x
0
0
"indeterminação"
Aplicando novamente o teorema de L’Hospital
no limite , temos:
Aplicação
2
0
sec 1lim
2x
x
x
2
0
sec 1lim
2x
x
x
2
0
sec 1lim
2x
x
x
2
0
2sec tglim
2x
x x
2
0lim sec tg 0x
x x
Portanto o limite de
Aplicação
20
tglim 0x
x x
x
Determine o limite . 20
1lim
x
x
e x
x
Solução:
2
0 1Observe que lim 1 0 e lim 0,logox
x xe x x
Aplicação
20
1 0lim
0
x
x
e x
x
"indeterminação"
Aplicando o teorema de L’Hospital no limite
, temos:
Aplicação
20
1lim
x
x
e x
x
20
1lim
x
x
e x
x
0
1lim
2
x
x
e
x
0 2
1lim
x
x
e x
x
0
0
"indeterminação"
Aplicando o teorema de L’Hospital no limite
, temos:
Aplicação
0
1lim
2
x
x
e
x
0
1lim
2
x
x
e
x
0
1lim
2
x
x
e
x
0lim
2
x
x
e
0
2
e
1
2
20
1 1portanto lim
2
x
x
e x
x
Produto Indeterminado
Se lim 0 e lim ou , entãox a x af x g x
não está claro lim existe.x a
f x g x
Neste caso dizemos que lim é
indeterminado.x a
f x g x
Solução:
Exemplo
Calcule o limite , caso exista.
0
lim lnx
x x
0 0Observe que lim 0 e limln ,logo
x xx x
0
lim lnx
x x
é indeterminado.
Levantando a indeterminação e cálculando o limite
temos:
Exemplo
0
lim lnx
x x
0
lnlim
1x
x
x
0limx
0
limx
0
1lim
1x
x
0lim 0x
x
ln x
1
x
2
1
x
1
x
0
lim ln 0x
x x
Calcule o limite , caso exista.
Solução:
Exemplo
2
lim sec tgx
x x
2
2
0 3
2
3
2
2 2
1
1
Gráfico
da
função
tangente
/2lim tgx
x
Calcule o limite , caso exista.
Solução:
Exemplo
2
lim sec tgx
x x
Gráfico
da
função
secante
/2lim secx
x
2
2
0 3
2
3
2
2 2
1
1
Exemplo
/2 /2Observe que lim sec e lim tg ,
logo
x xx x
/2lim sec tg
xx x
é indeterminado.
Sendo assim temos:
Exemplo
/2
1 senlim
cos cosx
x
x x
/2
1 senlim
cosx
x
x
/2
1 senlim
cosx
x
x
/2
coslim
senx
x
x
0 /2
coslim
senx
x
x