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Aula 17: Planos de CorteOtimização Linear e Inteira

Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br

BCC464/PCC174 – 2019/2Departamento de Computação – UFOP

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Branch-and-bound em programação inteira

Desigualdades válidas

Cortes combinatórios

(continuação hoje...)

2 / 33 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 17: Planos de Corte

Aula de Hoje

1 Cortes Combinatórios

2 Caixeiro Viajante - Algoritmo de plano de cortes

3 Cortes Baseados em ArredondamentoExemplo de arredondamentoCortes de Chvátal-GomoryCortes de Gomory

4 Exercícios


Cortes da Mochila

Considere que variáveis binárias xj aparecem numa restrição do tipo:∑j∈N

ajxj ≤ b (aj ≥ 0 para todo j ∈ N)

Um Conjunto C ⊆ N é uma Cobertura (Cover) se:∑j∈C

ajxj > b

O que define o seguinte Corte de Cover :∑j∈C

xj ≤ |C| − 1


Cortes de Cover

Exemplo

Considere a seguinte restrição sobre as variáveis binárias xj :

11x1 + 6x2 + 6x3 + 5x4 + 5x5 + 4x6 + x7 ≤ 19

Alguns cortes de cover:

x1 + x2 + x3 ≤ 2

x1 + x2 + x6 ≤ 2

x1 + x5 + x6 ≤ 2

x3 + x4 + x5 + x6 ≤ 3

Os cortes acima são cortes de cover minimais, no sentido que qualquer variávelretirada da restrição descaracteriza a cobertura.


Exemplo - Problema da Mochila

Exemplo: problema com 4 itens e C = 6:

item valor peso ‘densidade’1 7 4 1,752 4 3 1,333 9 5 1,804 3 2 1,50

Solução ótima da relaxação linear

seleciona item 3

seleciona 14 do item 1

solução com valor 10,75

A solução ótima do problema da mochila 0-1 é portanto menor ouigual a 10,75, ou seja, obtemos um limite superior.


Cortes de Cover : separação

Considere a solução fracionária x∗.

Desigualdades violadas de Cover podem ser geradas resolvendo-se oproblema DP:

DP =

σ(x∗) = min

∑j∈N

(1− x∗j )zj

s.a.∑j∈N

ajzj > b

zj ∈ {0, 1} ∀j ∈ N

Uma desigualdade válida violada de cover é descoberta quando tem-sez∗ com σ(x∗) < 1.


Empacotamento de Nós

Cliques

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 1

x1

x2 x3

x4 x5



Ciclo Ímpar

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 2

x1

x2x5

x4 x3



Roda

2x6+x1+x2+x3+x4+x5 ≤ 2

x1

x2x5

x4 x3

x6


Aula de Hoje




4 Exercícios


Caixeiro Viajante - Traveling Salesman Problem

Um vendedor precisa visitar n cidades, exatamente uma vez e entãoretornar ao seu ponto de partida.

A distância (ou o tempo esperado de locomoção) entre uma cidade i eoutra cidade j é dada por dij . Deve-se encontrar uma ordenação dascidades que permita a conclusão da viagem no menor tempo possível.


Caixeiro Viajante - Formulação

Variáveis

xij =

{1 se a aresta (i, j) fará parte da rota0 caso contrário

Restrições: chega 1 vez na cidade∑i=1,...,n:i 6=j

xij = 1 ∀j = 1, . . . , n

Restrições: sai 1 vez da cidade∑j=1,...,n:j 6=i

xij = 1 ∀i = 1, . . . , n


Caixeiro Viajante - Formulação

Variáveis

xij =

{1 se a aresta (i, j) fará parte da rota0 caso contrário

Restrições de Miller-Tucker-Zemlin (MTZ)

Sejam variáveis auxiliares ui ≥ 0 (i = 1, ...n):

u1 = 1

ui − uj + nxi,j ≤ n− 1 ∀i, j ∈ {2, ..., n}, i 6= j


Alternativas para remover Sub-Rotas

Restrições Cut-set ∑i∈S

∑j /∈S

xij ≥ 1 ∀S ⊂ N,S 6= ∅

ou

Restrições de Eliminação de Sub-Rotas∑i∈S

∑j∈S

xij ≤ |S| − 1 ∀S ⊂ N, 2 ≤ |S| ≤ n− 1


Alternativas para remover Sub-Rotas

As restrições de eliminação de sub-rotas apresentadas no último slidepodem ser incluídas por demanda:

Existe um número exponencial de restrições e, portanto, é inviávelinserir todas as restrições.

Alternativa: resolvemos o problema (violando sub-rotas) e inserimosapenas as restrições que estão sendo violadas.

Repetimos o procedimento até não haver nenhuma restrição violada.


Aula de Hoje




4 Exercícios


Introdução

Considere o Programa Inteiro a seguir:

Maximize:k∑

j=1

cjxj

Sujeito a:k∑

j=1

aijxj ≤ bi ∀i = 1, 2, . . . ,m (1)

xj ≥ 0 ∀j = 1, 2, . . . , k (2)

xj ∈ Z ∀j = 1, 2, . . . , k (3)


Cortes Baseados em Arredondamento

Cortes de Gomory

Mixed Integer Rounding

Chvátal-Gomory


Exemplo de corte

Considere a restrição:2x1 + 4x2 ≤ 17 (satisfeita por x1 = 1, 7 e x2 = 3, 4).

Vamos gerar outra restrição dividindo a primeira por 2:x1 + 2x2 ≤ 8, 5

Note que do lado esquerdo temos apenas coeficientes inteiros e o valordas variáveis também deve ser inteiro. Portanto:x1 + 2x2 ≤ 8

A restrição acima denomina-se Desigualdade Válida ou Corte.Note que um corte não invalida nenhuma solução inteira válida.


Cortando

1

2

3

4

1 2 3 4

Solução Inicial:x1 = 1, 67x2 = 3, 4z = 27, 11

Com o corte:x1 = 1, 8x2 = 3, 1z = 26, 4


Cortes de Chvátal-Gomory

k∑j=1

aijxj ≤ bi ∀i = 1, 2, . . . ,m (1)

temos que:m∑i=1

ui

k∑j=1

aijxj ≤m∑i=1

uibi (2)

Desse modo, todas as soluções que satisfazem (1) e xj ≥ 0 também satisfazem:

k∑j=1

⌊m∑i=1

uiaij

⌋xj ≤

m∑i=1

uibi (3)


Cortes de Chvátal-Gomory

Tendo:

k∑j=1

⌊m∑i=1

uiaij

⌋xj ≤

m∑i=1

uibi (1)

e considerando que xj ∈ Z obtemos o corte de Chvátal-Gomory :

k∑j=1

⌊m∑i=1

uiaij

⌋xj ≤

⌊m∑i=1

uibi

⌋(2)


Exemplo 1

Maximize:

2x1 + x2

Sujeito a:

7x1 + x2 ≤ 28

−x1 + 3x2 ≤ 7

−8x1 − 9x2 ≤ −32x1, x2 ≥ 0

x1, x2 ∈ Z

1

2

3

4

1 2 3 4 x1

x2


Exemplo 1

Restrições:

7x1 + x2 ≤ 28

−x1 + 3x2 ≤ 7

−8x1 − 9x2 ≤ −32

Quais valores de u1...u3 nosoferecem um corte em:

k∑j=1

⌊m∑i=1

uiaij

⌋xj ≤

⌊m∑i=1

uibi

⌋

u1 = 0, u2 = 13, u3 = 1

3

−3x1 − 2x2 ≤ −9

u1 = 121, u2 = 7

22, u3 = 0

x2 ≤ 3

1

2

3

4

1 2 3 4 x1

x2


Exemplo 2

Seja o modelo de Programação Inteira P a seguir:

min∑j∈J

cjxj

s.t.∑j∈J

aijxj ≤ bi ∀i ∈ I

xj ∈ Z+ ∀j ∈ J

Limites inferiores fortes para P podem ser obtidos pela inclusão derestrições de Chvàtal-Gomory na relaxação linear de P :

buTAcx ≤ buT bc


Exemplo 2

Considere as seguintes desigualdades:

i1 : 2x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 3

i2 : x1 + x4 ≤ 1

i3 : 3x1 − 2x2 ≤ 2

Seja u = {0.25; 0.15; 0.5}Desta forma, temos: 2.15x1 + 0.25x2 + 0.75x3 + 0.15x4 ≤ 1.9

αx1 = 2

αx2 = 0

αx3 = 0

αx4 = 0

α0 = 1

Corte de Chvàtal-Gomory produzido: 2x1 ≤ 1


Como encontrar cortes de Chvàtal-Gomory?

Fischetti e Lodi (2007) propuseram o MIP a seguir, S:

max :

n∑j=1

αjx∗j − α0

s.t. fj = uTAj − αj ∀j ∈ J∗

f0 = uT b− α0

αj ∈ Z+ ∀j ∈ J∗ ∪ {0}0 ≤ fj ≤ 1− ε ∀j ∈ J∗

0 ≤ ui ≤ 1− ε ∀i ∈ I

J∗ é o conjunto de variáveis ativas na solução fracionária

fj é a variável de folga para capturar o coeficiente fracionário

ε é a tolerância (para melhorar estabilidade numérica)


ExercíciosConsiderando as restrições anteriores:

7x1 + x2 ≤ 28

−x1 + 3x2 ≤ 7

−8x1 − 9x2 ≤ −32

1 Encontre valores de u1, u2, u3 que resultam no plano de corte:−x1 − x2 ≤ −4

2 Encontre, se existirem, valores de u1, u2, u3 que resultam nadesigualdade: −x1 ≤ −2Dica: prepare um sistema de desigualdades com as variáveis u1, u2, u3


Cortes de Gomory

x1 x2 s1 s2 rhs

z : 0 0 1, 25 0, 75 5, 25

r1 : 0 1 2, 25 −0, 25 2, 25

r2 : 1 0 −1, 25 0, 25 3, 75

Um corte pode ser gerado a partir de uma solução fracionária notableau (exemplo acima).

Seja a segunda restrição (r2):

x1 − 1, 25s1 + 0, 25s2 = 3, 75

Podemos utilizá-la para gerar cortes de Gomory!


Cortes de Gomory

x1 x2 s1 s2 rhs

z : 0 0 1, 25 0, 75 5, 25

r1 : 0 1 2, 25 −0, 25 2, 25

r2 : 1 0 −1, 25 0, 25 3, 75

Como as variáveis são inteiras (lembre-se do arredondamento):

x1 − b1, 25cs1 + b0, 25cs2 ≤ b3, 75c ∴ x1 − 2s1 − 3 ≤ 0

Se separamos a parte inteira da fracionária, teríamos:

x1 + (−2 + 0, 75)s1 + (0 + 0, 25)s2 = (3 + 0, 75)

x1− 2s1 − 3 = 0, 75− 0, 75s1 − 0, 25s2

0, 75− 0, 75s1 − 0, 25s2 ≤ 0


Aula de Hoje




4 Exercícios


Exemplo - Problema da Mochila

Exemplo: problema com 4 itens e C = 6:

item valor peso ‘densidade’1 7 4 1,752 4 3 1,333 9 5 1,804 3 2 1,50

ExercícioEncontre uma desigualdade de cobertura (cover) violada para a soluçãoótima da relaxação do problema apresentado (solução a seguir).{x1 =

1

4, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 0

}, com custo z = 10, 75


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