Parte 1 – Mecânica

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Aula 16. Diagramas Horários (II) 1. Introdução Daremos ênfase, neste módulo, ao estudo das propriedades geométricas dos diagramas horários, principalmente ao significado das áreas (entre o gráfico e o eixo dos tempos) nos diagramas horários da velocidade e da aceleração para um movimento qualquer.

2. Cálculo de Áreas O deslocamento escalar ( s) num certo intervalo de tempo ( t), para um movimento qualquer, pode ser determinado através do cálculo da área existente entre o gráfico v x t e o eixo dos tempos, limitada pelo intervalo de tempo escolhido. Observe isso no diagrama abaixo:

O diagrama horário da velocidade pode indicar que o movimento é composto por etapas, de tal forma que podemos, em cada trecho, identificar suas características e também calcular seus respectivos deslocamentos escalares.

Analogamente, a área calculada no diagrama horário da aceleração, entre o gráfico e o eixo dos tempos, limitada

por um t, indica a variação de velocidade ocorrida

naquele intervalo.

Observação A área sob o gráfico espaço x tempo não tem significado físico prático. Logo, não há razão para efetuarmos seu cálculo.

3. Declividades Vimos no estudo de movimento uniforme que a declividade (tg ) da reta inclinada do gráfico s x t indica o valor da velocidade escalar constante do móvel. Ou seja:

Em decorrência disso, num movimento variado a

declividade da reta tangente ao gráfico s x t, num certo

instante t, representa numericamente a velocidade

escalar do móvel naquele instante. Isto é:

Analogamente, o cálculo de declividade num gráfico v x t leva-nos a encontrar a aceleração escalar do movimento ou a que ocorre num determinado instante.

Observação No cálculo de declividades (tg ) em diagramas horários, procuramos não substituir o ângulo (em graus) já que os eixos cartesianos dos diagramas na Física normalmente apresentam escalas diferentes.

Resumo

Cálculo de Áreas

• Gráfico v x t

• Gráfico a x t

Declividades

• Gráfico s x t

• Gráfico v x t

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Exercícios Resolvidos 01. O gráfico a seguir indica como varia a velocidade

escalar de uma composição de metrô, em função do

tempo, durante seu tráfego entre duas estações.

Com base no gráfico:

a) Calcule o deslocamento escalar da composição entre as duas estações. b) Construa o diagrama horário da ace-leração escalar para esse movimento.

Resolução a) A área do trapézio, sob o gráfico v x t dado, representa o deslocamento escalar ocorrido, isto é:

b) Primeiramente, vamos calcular a aceleração escalar nas três etapas do movimento. • Nos primeiros 15 s: (M.U.V.)

• Entre os instantes 15 s e 45 s: a = 0 (M.U.). • Nos últimos 15 s: (M.U.V.)

A partir desses valores, temos:

02. A performance de um atleta numa corrida de curta duração (12 s) é indicada através do diagrama horário de sua aceleração escalar. Considere que em t = 0 o atleta parte do repouso ( v0 = 0) e da origem (s0 = 0).

a) Esboce o diagrama horário de sua ve- locidade escalar. b) Calcule a distância percorrida pelo atleta nos 12 s de prova. c) Esboce o gráfico espaço x tempo.

Resolução a) Nos primeiros 4,0 s de M.U.V., o atleta atinge uma velocidade de: v = vo + a · t = 0 +2,5 · 4,0 =10 m/s Poderíamos também chegar ao resultado acima calculando a área sob o gráfico a x t, ou seja:

v = área (A) v - 0 = (2,5)(4,0) v = 10 m/s Lembrando que o atleta vai manter esta velocidade até o final (pois, na seqüência, a = 0), vem:

b) Pela área sob o gráfico v x t, temos:

s = área (A)

c) Nos primeiros 4,0 s de M.U.V., o gráfico s x t será um arco de parábola com concavidade voltada para cima (pois, a > 0) , a partir da origem (s0 = 0) e com vértice nesse ponto (pois, v0 = 0). Entre os instantes 4,0 s e 12 s de M.U., o gráfico segue retilíneo e inclinado. Para traçarmos o gráfico s x t usaremos os deslocamentos ocorridos em cada etapa, que podem ser obtidos através da área sob o gráfico v x t. Ou seja: