Aula 13

Lembra...

• F(n)=F(n/2)+3 com F(1)=5• Obrigamos n a ser potência de 2, geralmente

isso não agrada muito, pois os valores de n ficam muito restritos.

• Podemos melhorar isso, mas vai ajudar em algo?

Sejamos mais precisos...

• um método é executado com n/2 arredondado ou para cima ou para baixo.

• F(n)=F(n/2)+3 com F(1)=5 (verm)• F(n)=F(n/2)+3 com F(1)=5 (az)

• Qual a diferença entre essas recorrências precisamente computadas e 3*lg2(n)+5 (pt)?

f(n)=3*log(n)+5 p/n>1

0 200 400 600 800 1000

510

15

20

25

30

35

n

f

Lembre que isso quer dizer tempo de execução ou quantidade de memória.

• ... então podemos nos contentar com um limitante (superior/inferior).

• Uma forma fácil de escrever esses limitantes é a notação O-grande!!!!

T(n) = 2 T(n/2) + 7n + 2

• Que tipo de algoritmo tem complexidade com esse tipo de recorrência?

• Lembra do anterior...• F(n)=F(n/2)+3 com F(1)=5• Sabemos que o tempo de execução da busca

binária tem essa recorrência e T(n)=O(lg(n))

... geralmente é difícil escrever uma recorrência!

• T(n) = 2 T(n/2) + 7n + 2 • ... como começar?• por similaridade, desconfio que seja: algo com

cara de n*log(n)...• ... precisamos determinar a solução exata??

Lembre de 2 slides atrás!!• ... um limitante é suficiente!

Proposição: T(n) ≤ 10n lg n p/n>2

T(n) = 2T(n/2) + 7n + 2 ≤ ≤ 2(10 n/2) lg(n/2) + 7n + 2 ≤ ≤ 20 (n/2) lg(n/2) + 7n + 2 == 10n (lg n − lg 2) + 7n + 2 == 10n lg n − 10n + 7n + 2 == 10n lg n − 3n + 2 ≤ ≤ 10n lg n .

Prova por indução

É sempre assim? Uma fórmula cai do céu e provamos por indução??

Existem outros jeitos de chegar ao limitante!

• T(n) = 2 T(n/2) + 7n + 2• F(n)=F(n/2)+3