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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

EA – 772 CIRCUITOS LÓGICOS

2S-2018 – TURMA A

Aula 12

Circuitos combinatórios e mapas de

Karnaugh

PROF. JOSÉ W M BASSANI

EA-772 Circuitos Lógicos – Aula 12 Segundo Semestre de 2018, Professor: Bassani, JWM

2

AGOSTO DE 2018

Aula 12.

Funções booleanas e circuitos digitais

Circuitos digitais

Circuitos combinatórios

Circuito lógico combinatório

a1

a2

an

.

.

.

s= f(a1, a2, a3)

Para construir o circuito combinatório partimos da especificação, que é a tabela verdade (TV).

TV

linha x y z f

0 0 0 0 1

1 0 0 1 1

2 0 1 0 1

3 0 1 1 1

4 1 0 0 0

5 1 0 1 1

6 1 1 0 1

7 1 1 1 0

Combinacionais ou combinatórios

(sem memória)

Seqüenciais

(com memória)

A saída depende apenas da

combinação atual das entradas

A saída depende das entradas atuais

e do estado interno do circuito

saída entradas

Definições:

1. Mintermo (AND): produto lógico das

variáveis de entrada, complementadas

se seu valor for zero;

2. Maxtermo (OR): soma lógica das

variáveis de entrada, complementadas

se seu valor for 1;


3

Pela TV: Linha 2: mintermo= x’·y·z’

maxtermo= x+ y’+ z

Linha 4: mintermo= x·y’·z’

maxtermo= x’+ y+ z

3. Soma canônica: soma lógica (OR) dos mintermos para as saídas iguais a 1;

4. Produto canônico: produto lógico (AND) dos maxtermos para as saídas iguais a 0.

Exemplo: Sc= fmin= x’y’z’ + x’y’z + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’

Pc= fmax= (x’ + y + z) · (x’ + y’ + z’)

fmin fmax

As combinações das entradas podem ser expressas em decimal. Assim, a especificação do

nosso exemplo fica:

f(x, y, z)= S(0, 1, 2, 3, 5, 6)

= P(4, 7)

Exercício: Mostre que fmin equivalente a fmax para:

Desenvolvendo o lado direito de fmax:

(aa + ab’ + ba + bb’) · (a’ + b)

(a + ab’ + ba) · (a’ + b)

aa’ + ab + aa’b’ + ab’b + baa’ + bab

ab + ab

ab = fmin

a b x

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

fmin= ab

fmax= (a+b)·(a+b’)·(a’+b)


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5. Especificação na presença de don’t care:

Exemplo:

fs(x, y)= x’y + xy’ ← Considerando X= 1

fp(x, y)= (x + y) · (x’ + y’) · (x’ + y) ← Considerando X= 0

Exemplo:

Para casa: Fazer para X= 0.

x y z f

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 X

5 1 0 1 0

6 1 1 0 X

7 1 1 1 0

x y s

0 0 0 0

1 0 1 1

2 1 0 X

3 1 1 0

a b f

0 0 1

0 1 X

1 0 1

1 1 0

fmin(x, y, z)= S(1,3) + D(4,6)

fmax(x, y, z)= P(0,2,5,7) · D(4,6)

Don’t care

fmin(x, y, z)= S(1) + D(2)

fmax(x, y, z)= P(0,3) · D(2)

Para X= 1:

fmin(a, b)= a’b’+ab’+a’b= S(0,2) + D(1)

fmax(a, b)= a’+b’= P(3)


5

6. Mapas de Veitch-Karnaugh (Mapas de Karnaugh – MK)

Mapeamento biunívoco da TV. Criados inicialmente por Edward Veitch (1952) e aperfeiçoados

pelo engenheiro de comunicações Maurice Karnaugh.

TV MK

A organização do MK é tal que as células adjacentes (vizinhas) diferem em apenas uma

posição binária.

7. Definição: As células vizinhas podem caracterizar subcubos de ordem 2n. Uma célula do

mapa é um subcubo de ordem 20= 1. As células dos subcubos podem ser combinadas

formando um novo mintermo.

a b c f

0 0 0 0 1

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 0

7 1 1 1 1


6

Simplificação de funções booleanas usando MK

1. Juntar células adjacentes em subcubos de ordem 2n= 1, 2, 4, ...;

2. Criar tantos subcubos quantos necessários para “cobrir” toda a função;

3. É um implicante primo da função o subcubo que não estiver contido em outro de ordem

maior;

4. Extrair a função canônica mínima pela soma lógica de todos os mintermos (implicantes

primos);

Exemplos:

F = a´bć + abć + abc + abc´

F = ab + bć

F= ab + bć

Como descobrir esta

combinação

“automaticamente”?


7

5. Fmin= ∑ implicantes primos

Mais exemplos:

F= bd

F= b´c´d + bd´


8

F= a´bd + ab´d´

F= b

F= ab

F= b´ + a’ + c


9

Exercícios para casa:

1. Dada a TV, fazer o MK e obter a função mínima:

2. Dada a TV

a b c x

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

a b c liga

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 X

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 1

a’bc’d + bd =

= bd(a’c’+1)= bd

F= acd + bd + a´b´cd´

F= b’d’


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E se não houver o don’t care? Assuma que X= 0 e resolva novamente. No caso anterior, a

existência do don’t care possibilitou assumir X=1 e melhorar a simplificação.

Bibliografia

-Bassani JWM. Notas de aula – Circuitos Lógicos. -Veja a lista de referencias indicadas na primeira aula (Veja no site indicado para a disciplina o material didático e bibliografia indicada)

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